2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析

2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合}034{2<+-=x xx A ，}032{>-=x x B ，则A B =I（A ）)23,3(-- （B ）)23,3(- （C ）)23,1( （D ）)3,23( 【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{na 前9项的和为27，810=a，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a Sa +⨯====，故53a =，而108a=，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098aa d =+=．故选C ．（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ．（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是 （A ）)3,1(- （B ）)3,1(- （C ）)3,0( （D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．（6每个圆中328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28 【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ．（7）函数xex y -=22在]2,2[-的图像大致为（（C ） （D ）【解析】：()22288 2.80f e=->->，排除A ；()22288 2.71f e=-<-<，排除B ；x >时，()22xf x xe =-，()4xf x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ． （8）若1>>b a ，10<<c ，则 （A ）ccb a< （B ）ccba ab< （C ）cb c a a blog log< （D ）cc b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c ca b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c ca b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；要比较log ba c 和log ab c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b和ln ln c a a，只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln abc cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log ac 和log bc ，只需比较ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误；故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的=x 则输出y x ,的值满足（A ）x y 2= （B ）x y 3= （C ）x y 4= （D ）x y 5= 【解析】：第一次循环：220,1,136x y xy ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y xy ==+=<；第三次循环：223,6,362x y xy ==+>；输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为22ypx =()0p >，设圆的方程为222xy r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22ypx=上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222xy r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(02A x 在圆222x y r +=上，∴228xr +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI平面ABCD m =，I α平面nAABB =11，则n m ,所成角的正弦值为 （A ）23（B ）22 （C ）33 （D ）31 【解析】：如图所示：αAA 1B1DC1D 1F∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D I 平面1ABCD m =，则1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B DC I 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小．而1111B C B D CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=．故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x Q 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122Tππω∴-=≤≤接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减。

故选B ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ．【解析】：由已知得：()1,3a b m +=+r r，∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++r r r r ，解得2m =-．（14）5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）【解析】：设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈，∴()5552155C 2C 2k kkkk kk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T xx --==，故答案为10．（15）设等比数列}{na 满足1031=+a a ，542=+a a，则12na a a L 的最大值为 ．【解析】：由于{}na 是等比数列，设11n naa q -=，其中1a 是首项，q是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()32...4121...2n n a a a -+-++-⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭()211749722241122n n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...na a a ⋅⋅⋅的最大值为64．（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【解析】：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥目标函数2100900z x y=+；作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)，在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）ABC∆的内角CB A ,,的对边分别为cb a ,,，已知cA bB aC =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【解析】：⑴()2cos cos cos C a B b A c+=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=>∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C = ⑵ 由余弦定理得：2222cos ca b ab C=+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=+（18）（本小题满分12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，︒=∠=90,2AFD FD AF ，且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60． （Ⅰ）证明：平面⊥ABEF 平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的余弦值．【解析】：⑴ ∵ABEF 为正方形，∴AF EF ⊥，∵90AFD ∠=︒，∴AF DF⊥，∵=DF EF F I∴AF ⊥面EFDC ，AF ⊂面ABEF ，∴平面ABEF ⊥平面EFDC⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒，∵AB EF ∥，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∵面ABCD I 面EFDC CD = ∴AB CD ∥，∴CD EF ∥ ∴四边形EFDC 为等腰梯形 以E为原点，如图建立坐标系，设FD a=，()()000020E B a ，，，，()302202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，，ABCD E()020EB a=uu r，，，22aBC a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭uu u r，，()200AB a=-uu u r，，，设面BEC法向量为()m x y z=u r，，，0m EBm BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu ru r uu u r，即111120202a yax ay z⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩，11101x y z===-，，)01m=-u r，设面ABC法向量为()222n x y z=r，，，=0n BCn AB⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u rr uu u r.即222220220ax ayax⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z===，，()04n=r，设二面角E BC A--的大小为θ.cosm nm n⋅===⋅u r ru r rθ，∴二面角E BC A--的余弦值为（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求5.0P，确定n的最小值；X)(≥≤n（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n之中选其一，应选用哪个？=n与20=【解析】：⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件A为第一台机器3年内换掉7i+个零件i()1,2,3,4i=记事件B为第二台机器3年内换掉7i+个零件i()i=1,2,3,4由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++<Q ，0.040.160.240.240.5+++≥ 则n 的最小值为19；⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=|||M NMN y y=-当20n=时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=所以应选用19n=（20）（本小题满分12分）设圆015222=-++xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明EBEA+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E过B且与l四边形MPNQ【解析】：⑴圆A标()1,0-，如图，BE ACQ∥，则C EBD=∠∠，由,AC AD D C==则∠∠，EBD D∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB∴+=+==>22⑵221:143x yC+=(:1PQ y m x=--联立1l C 与椭圆：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()2234690my my ++-=，则圆心A 到PQ 距离|11|m d ---==所以||PQ =，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+（21）（本小题满分12分） 已知函数2)1()2()(-+-=x a ex x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x． 【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112xx f x x ea x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20xx ea e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减;即：故()f x 在()1,+∞上至多一个零点，在(),1-∞上至多一个零点由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <，根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，xe e<，210x -<-<，故()()()()()()()222212111xf x x e a x e x a x a x e x e=-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =+，21t =， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点．此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a xe a ea -+<+=， 即()()()'120xf x x e a =-+>，()f x 单调递增；当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a xea ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增． 即：而极大值()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2e a =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a xea ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a xea ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a xea e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a xea ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a xea ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：故当()ln 2x a -≤时，()f x 在1x =处取到最大值()1f e =-，那么()0f x e -<≤恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞．⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211xx x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x =()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111mm h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x>，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔->整理得：122x x+<．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（22）（本小题满分10分）选修4图，OAB ∆是等腰三角形，∠AOBOA 21为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点D C ,在⊙O 上，且D C B A ,,,四点共圆，证明：CD AB //． 【解析】：⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，,∴30sin302OA OK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行,CD 与AB 交于F ,2FK FC FD =⋅①∵A B C D 、、、四点共圆,∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+∵AK BK =,∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾,∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221xy a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin xy y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y xρρθρρθ==+=Q ，224x y x∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a-=,∴1a =（24）（本小题满分10分）选修4已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【解析】：⑴ 如图所示：⑵()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ,()1f x >,①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤②312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，。