专题11 函数与不等式--恒成立问题的解法-2018-2019学年高二数学必修5专题训练含答案

专题11 函数与不等式--恒成立问题的解法
一、选择题 1．设函数
若对于
，
恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ． （﹣∞，0]
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【点睛】
不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即
恒成立⇔
，
恒成立⇔
.
2.若不等式
对一切
恒成立,则的取值范围是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
，
因为
所以
所以
，解得
.
3．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
①当即时，函数在上单调递增，
则当时，解得,又有，所以.
②当即时,在上单调递减，在上单调递增，
当时,
解得,又，则.
③当即时，函数在上单调递减，
则当时，解得,又有，无解.
综上可得.选.
4．若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是()
A． B．
C． (-4,2) D． (-2,4)
【答案】C
5．若关于的不等式在区间上有解,则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
关于的不等式在区间上有解
在上有解
即在上成立，
设函数数，
恒成立
在上是单调减函数
且的值域为
要在上有解，则
即的取值范围是
故选.
6．设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
则必须，
因此，实数的取值范围为
故选
7．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（）
A． (1，4) B． (4，1) C． (，4)(1，+) D． (，1)(4，+) 【答案】B
8．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2＜m＜4 D．－4＜m＜2
【答案】D
【解析】
由基本不等式可得≥2，
若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2
故选：D．
9．已知不等式，若对任意及，该不等式恒成立，则实数的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
∵ 1⩽t⩽3，
∴，
∴.
故选C.
10．对任意任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
任意x∈[0，]，y∈（0，+∞），
不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立⇔≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，
令f（y）=，
则asinx+2﹣2sin2x≤f（y）min，
∵y＞0，∴f（y）=≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3．
∴asinx+2﹣2sin2x≤3，即asinx﹣2sin2x≤1恒成立．
∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，]，
∴g（t）=2t+在区间（0，]上单调递减，
因此，g（t）min=g（）=3，
∴a≤3．
综上，a≤3．
故选：A．
二、填空题
11．已知变量满足约束条件，若恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】
【解析】
由不等式恒成立，可得恒成立，故．
作出不等式组满足约束条件所对应的可行域，可得经过点时有最小值
，所以实数的取值范围为．
12．已知，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
13．若对于任意的x[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是________________．
【答案】(，0)
【解析】
设f(x)＝x2＋mx－1，由题可得f(m)＝2m2－1＜0且f(m＋1)＝2m2＋3m＜0，解得．
故实数m的取值范围是(，0)．
故答案为：(，0).
14．对于实数和，定义运算：，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
15．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切恒成立，则a的最小值为________．
【答案】
【解析】
不等式对一切成立⇔．
令，，，
∴函数在上单调递增，
∴当时，函数取得最大值，，
∴的最小值为．
16．若不等式恒成立，则实数的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
显然恒成立，
所以要使不等式恒成立，只要恒成立即可．
当时，，，此时原不等式只对于成立，故不符合题意；
当时，要使恒成立，需满足，
即，即．综上，实数的取值范围为．
故答案为：
17．若关于的不等式对一切实数都成立，则实数a的取值范围是
_________________．
【答案】
18．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】
【解析】
由，可得x+2y=（x+2y）（）=4+4，
而x+2y＞m2+2m恒成立⇔m2+2m＜（x+2y）min，
所以m2+2m＜8恒成立，
即m2+2m﹣8＜0恒成立，
解得﹣4＜m＜2．
故答案为：﹣4＜m＜2.
19．已知不等式对任意正整数恒成立，则实数取值范围是__________．
【答案】
20．已知首项为2的正项数列{}的前n项和为，且当n≥2时，3－2＝－3．若≤m恒成立，则实数m的取值范围为_______________．
【答案】
【解析】
由题意可得：，两式相减可得：，
因式分解可得：，由与数列为正项数列，
所以，故数列为以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，所以恒成立，即其最大值小于等于m.
由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当n较大时，函数值越来越小，n较小时存在最大值，经
代入验证，当时有最大值，所以.
三、解答题
21．已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．【答案】（1）；（2）
（2）当，时，恒成立，即恒成立，
令，恒成立
函数的对称轴,∴，即
的范围为.
22．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2,6]，f(x)>恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），奇函数；（2） .
(2)由于时，恒成立，
∴>0，
∵，∴在上恒成立．
令，
由二次函数的性质可知，时函数单调递增，时函数单调递减，
即时，，所以.
23．已知函数（、为常数）.
（1）若，解不等式；
（2）若,当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）①当，即时，不等式的解集为：
②当，即时，不等式的解集为：
③当，即时，不等式的解集为：；
（2）.
①当，即时，不等式的解集为，
②当，即时，不等式的解集为，
③当，即时，不等式的解集为；
（Ⅱ）∵,，
∴对时恒成立，（※）
当时，不等式（※）显然成立；
当时，，
∵，∴，
故
又由时不等式恒成立，可知；
综上所述，．
24．已知函数
(1)求方程的根;
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）x=0；（2）4
当且仅当f(x)=,即f(x)=2,x=0时取得最小值.
所以,
所以实数m的最大值为4.
25．已知函数满足：①；②. （1）求函数f(x)的解析式；
（2）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）
（2）由（1）得
设
①当，即时，，故只需，
解得，与不合，舍去
②当，即时，，故只需，
解得，又，故
综上，的取值范围为
26．设函数
（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值. 【答案】(1);(2).
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，
即，
所以.
所以.
∵，
则
当且仅当，即，时，等号成立. 所以的最小值为.。