基本不等式及恒成立问题 - 解析版

基本不等式以及恒成立

【教学目标】

一、基本不等式

基本不等式：如果,a b R ∈，那么2

2222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”号）

当0,0a b >>时，

22+≥即a b +≥a b =时取“=”号）

【例题讲解】 二、基本不等式的构造

（一）分式分离

【知识点】

分式函数求最值，二次比一次型，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()

A y mg x

B A B g x =+

+>>，()g x 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

【例题讲解】

★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x x y x

++=的最小值； 答案：9

★☆☆练习1．函数241

x x y x −+=−在1x >的条件下的最小值为_________；此时x =_________． 答案：5,3

★☆☆练习2．已知0x >，则

24x x x

−+的最小值是 答案：3

解：由于0x >， 41213x x

−=，当且仅当2x =时取等号，此时取得最小值3．

★★☆练习3． 求2710(1)1

x x y x x ++=>−+的最小值。 答案：9

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)x +的项，再将其分离。

知识点要点总结：

关键点在于对分式不等式的分离，明确对于分式不等式以低次幂的为主导来进行配凑，并且注意对于正负的讨论。

（二）整式凑分式分母形式

【知识点】

对整式加分式的形式求最值，使用配凑法。需要调整项的符号，配凑项的系数，使其积为定值，从而利用基本不等式求解最值。

【例题讲解】

★☆☆例题1．已知54

x <，求函数14245y x x =−+−的最大值。 答案：1 12)

45

x −不是常数，所以对拆、凑项， 5,4x <∴1⎫当且仅当5备注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

★☆☆练习1．若11,1

a a a >+−则的最小值是( )

A ．2

B ．a C.

1

a − D ．3 答案：D 解析：由题意知10a −>，

★☆☆练习2．若5x >−，则45

x x ++的最小值为（ ）

A ．-1

B ．3

C ．-3

D ．1

答案：A

★☆☆练习3．已知52x ≥,则24524

x x x −+−有 A ．最大值2 B ．最小值2 C ．最大值1 D ．最小值1

答案：D

知识点要点总结：

整式凑分式分母形式的关键是，既需要调整项的符号，又要配凑项的系数，另外使用均值不等式的条件一正二定三相等是否都满足，不要忘记验证。

（三）“1”的代换

【知识点】

（1）利用两个量的乘积或和为定值，构造“1”的表达式

（2）将所求和“1”的表达式相乘，然后利用均值不等式求解。

（3）若条件式是ax by c +=(a ，b ，c 都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．

【例题讲解】 ★☆☆例1.若正数,a b 满足121a b +

=，则2b a +的最小值为( )

A ．

B ．

C ．8

D ．9 答案：D

解析：0a >，b 2b b a ⎛=+ ⎝2故选D ．

★★☆练习2．若(),0,x y ∞∈+且280x y xy +−=，则x y +的最小值为________

答案：18

★★☆练习3．设 0x >，1y >，且 22x y +=，则 121

x y +− 的最小值为 ________ ． 答案：8

知识点要点总结：

此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，

然后利用均值不等式求解。

（四）部分转化

【知识点】

通过将等式构造形成已知跟所求相类似的形式，寻找其可以使用均值不等式的哪个重要推论，观察新的不等式的两部分，将等式中不需要的那个形式通过不等式转化为所求的形式，利用不等式性质解这个新的不等式即可。

【例题讲解】

★☆☆例1．若正数,a b满足3

ab a b

=++，则ab的最小值是_______ ．

答案：9

∴≥．

9

ab

★☆☆练习2．若正实数26

，满足＋＋＝，则的最小值是________．

m n m n mn mn

答案：18

解析：由26002626

＋＋＝，，，得＋＋＋＝，

m n mn m n m n mn

>>≤

知识点要点总结：

此类问题的特点是题目给的等式总是和所求量相关，并且可以转化成均值不等式来求解。

解题时注意均值不等式转化的方向，总是把所求量留下，把不需要的那个量消去。

（五）分式同除

【知识点】

分式函数求最值，一次比二次型，通常用换元法将一次型的分子t 看成一个整体，将分母化成关于t 的二次函数，然后分子分母同除t ，在分母上构造均值不等式求最值。

二次比二次型可以先化简成常数+一次比二次型，再用上面的方法求解。

【例题讲解】

★☆☆例题1．已知0x >，求函数254x y x x =

++的最大值；

解析：0,94x y x x

>== 42

x x =，即

★☆☆练习1. 已知211,1x x y x x −>=

+−求 的最大值。 1,x >

5

1

1)1x =− 时，等号成立，y 取得最大值★☆☆练习2. 已知1x >，求2233 5

x x y x x +−=−+的最大值。