1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的
取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔
2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔
1．已知两个函数2()816f x x x k =+-，
32()254g x x x x =++，其中k 为实数
.
(1)若对任意的[]33，
-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围； (2)若对任意的[]3321，
、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. (3)若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.
【分析及解】 (1) 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23,
问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可
∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F ,
由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .
∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，,
∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .
(2)由题意可知当[]33，
-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x .
∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(,
∴120)(max +-=k x f .
由04106)(2'=++=x x x g 得3
21-=-=x x 或, ∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 27
28)32(-=-g , ∴21)(min -=x g .
则21120-≤-k , 解得141≥k .
(3) 若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，
由(2)可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+，
32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，
于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.
k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤
2．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，
则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=-
∴045)(max ≤-=a x F
∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。
3．函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，
即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x
a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a
注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x
a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小4. 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.
解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2
)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-2
37)2()(22m in a f x f a 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--.
值。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔
2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔
