北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数与函数的最大(小)值 课件

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值.
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二 次函数单调性处理
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2。 令f ’(x)=0，即2x-4=0， x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y
'
3
0 2
y
+
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内有极小值为2， 最大值为11，最小值为2
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)，
则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
x [3,1] [2,4] x (1,2)
解方程 f ( x ) 0, 得
3 x1 2
不可导点为 1,2 x
计算 f (3) 20
3 1 f( ) ; 2 4
f (1) 0;
f ( 2) 0
f (4) 6;
， 比较得 最大值 f (3) 20
最小值 f (1) f (2) 0.
一、教学目标：1、知识与技能：会求函数的 最大值与最小值。2、过程与方法：通过具体 实例的分析，会利用导数求函数的最值。3、 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到 抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教学重点：函数最大值与最小值的求法 教学难点：函数最大值与最小值的求法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程：
结合课本练习思考
极大值一定比极小值大吗？
y
y f ( x)
a
x1
o
极 大 值
x2
x3
x4
极 小 值
极 小 值
x5 x6
b
x
结论：不一定
极值是函数的局部性概念
（二）、新课引入
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题， 这就是我们通常所说的最值问题. 导数的应用之三:求函数最值.
从表上可知，最大值是13，最小值是4．
例2 求函数 y x 2 3 x 2 的在[3,4]
上的最大值与最小值 .
解
x 2 3 x 2 x [3,1] [2,4] f ( x) x 2 3 x 2 x (1,2)
2 x 3 f ( x ) 2 x 3
y yf(x ) f(x0) O a x0 b x O a x0 b x y yf(x ) f(x0)
求函数在闭区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值； (2) 求出区间端点处的函数值；
(3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数
的最大值，最小的就是函数的最小值。
观察极值与最值的关系：
y
y f ( x)
ax x x x b x o x 问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？
1 2
3
4
5
6
x
函数的最值
y 观察右边一个定义 在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象，你能找 出函数y=f（x）在区 间[a，b]上的最大值、 a x1 o X X b 最小值吗？ f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值，_________是极 f(b) 大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是 f(x3) _______。
（一）、知识回顾:
函数极值的定义
函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 与 求极值的步骤:1.求导，2.求极值点，3.列表，4.求极值 导 数
y y
函数极值的求法


x

x0
o
x0
o
x
必要条件
设 f ( x )在点 x0 处存在导数,且在 x0 ' 处取得极值,那么必定有 f ( x0 ) 0.
y y
yf(x )
yf(x )
O
a
b
x O
a
b
x
函数的最值一般分为两种情况：
(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x) 的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个最小值.
如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小) 值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数 在区间[a, b]上的最大(小)值。
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有 一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值, 并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除 端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大 值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数 的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处 的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.
课堂练习：
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。 (1) f ( x) sin 2 x x , , 2 2
(2) f ( x) x 1 x , 5 ,1
3 2
最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2
最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+
2 3
x
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条 连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x3)
f(b)
f(x1)
y
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
（三）、新课探析:
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
函数极值的判定定理
x f ’(x) x<a x=a x>a 0 + 极大值和极小值 极大值点和极小值点 单调 统称为极值 单调 f(x) 统称为极值点 极小值 递减 递增 x<b + 单调 递增 x=b 0 极大值 x>b -
f(b) y
x f ’(x) f(x)
a
o b
单调 f(a) 递减
x y=f(x)
+ －9x在上［－4 , 4 ］ 例2 求函数 y = x³ 3 x² 的最大值和最小值。
解 (1) 由 f ´(x)=3x² +6x－9, 得驻点为 x1=－3，x2=1 驻点处的函数值为f (－3)=－27, f (1)=－4
(2) 区间端点［－4 , 4 ］处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76 (3) 比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (－3)=－27
y y=f(x) o y y=f(x) a b x
y
y=f(x)
o a y
y=f(x)
b
x
o
a
b
x
o a
b
x
在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值, 在开区间内的连续函数不一定有最大值与 最小值.
注： 求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质；二是利用不等 式；三是利用导数。 （四）、知识运用:
6
(3) f ( x) 2x 6x 18x 7 , 1, 4
最大值 f (1)=－29，最小值 f (3)= －61
答 案
小结
1. 求 f ( x ) [a , b] 在 上的最大值与最小值的步骤:
) ①求函数 f ( x ) (a , b内的极值； 在
) ②求函数 f ( x在区间端点
例3 求f(x)=x/2 +sinx在区间[0,2π]上 的最值.
思考:你能作出函数f(x)的大致图象吗?
例题讲解
y x4 2x2 5 在区间 例1 求函数
[2,2] 上的最大值与
最小值． y 4 x 3 4 x 解： y 0 ，有 4 x 3 4 x 0 ，解得 x 1,0,1 令 当x 变化时，y, y 的变化情况如下表： x y -2 (-2,-1) — 13 -1 0 4 (-1,0) + 0 0 5 (0,1) — 1 0 4 (1,2) + 2 13
f (a )、f (b) 的值；
③将函数 f ( x ) 在各极值与 f (a )、f (b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的
2.求函数最值的一般方法：①.是利用函数性质；②.是利用 不等式；③.是利用导数