高中数学函数与导数综合复习
高中高考数学专题复习《函数与导数》
50．设奇函数 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为.
51．函数 在定义域 内可导，其图
象如图，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为_____________
52．由直线 ， ，曲线 及 轴所围成的图形的面积是．
53．曲线y＝ex在 处的切线方程是.
54．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数 ，请你根据上面探究结果，计算
9．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（）
A BLeabharlann C 和 D 和10．曲线 在点 处的切线方程是
A． B．
C． D．
11．若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（）
A 2米/秒B 3米/秒C 4米/秒D 5米/秒
12．函数 图象上关于原点对称点共有（ ）
高中高考数学专题复习<函数与导数>
1．下列函数中，在区间 上是增函数的是（）
A． B. C. D.
2．函数 的图象关于()
A．y轴对称B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称D．直线y＝x对称
3．下列四组函数中，表示同一函数的是()
A．y＝x－1与y＝ B．y＝ 与y＝
C．y＝4lgx与y＝2lgx2D．y＝lgx－2与y＝lg
A．“函数与方程”的上位B．“函数与方程”的下位
C．“函数模型及其应用”的上位D．“函数模型及其应用”的下位
29．已知 （）
A、 B、 C、 D、
(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结
高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。
f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。
函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。
复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。
函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。
判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。
在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。
多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
高三一轮复习建议——单元五：函数与导数
1、13年11题【考题分析】：本题考查分段函数及导数的几 何意义。体现了数形结合思想和化归与转化思想，函数与 方程思想。
解析： 可画出 y1=|f(x)|的图象如图所示． 当 a＞0 时，y＝ax 与 y＝|f(x)|恒有公共点，所以排除 B，C； 若 x ≤0，则以 y＝ax 与 y＝|－x2＋2x|相切为界限，由
' x
，可以看到，主要研究的是 ex 与一次函
数，应该说不难；
14 年第二问证明不等式，转化为 两个常见函数（xlnx 与 x/ ex ）的最值问题(最小值大于最大值)。
就是研究我们所说的
3.16 年与 17 年的第一问就开始提升难度（是否是刻意为之）；16 年的第一问是求通 过零点个数讨论参数范围，求导后核心函数是：
（一）本单元近五年来全国高考试题卷（Ⅰ）统计分析 （理科）
年份 （理） 题号 2013 11 16 21 3 2014 11 21 分值 5 5 12 5 5 12 题型 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 知识考点 分段函数 函数的对称性 导数的 几何意义，导 数与函数的最 值， 导数与函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程 导数的几何 意义， 导数与函数 的单调性， 两小一大 利用导数求函数的最值 22 分 12 2015 13 21 7 2016 8 21 5 2017 11 21 5 12 5 5 12 5 5 12 填空题 解答题 选择题 选择题 解答题 选择题 选择题 解答题 5 选择题 函数的 图象与性 质、导数公式 和导数运 算法则 函数的奇偶性 导数的 几何意义，分 段函数的处理 ，函 数的零点 函数的图象 幂函数、指数函数 、对数函数 函数的零点，不等式的 证明 函数的单调性、奇偶性 对数与对数函数 函数的零点，导数与函 数的单调性 22 分 22 分 两小一大 22 分 两小一大 两小一大 22 分 两小一大 说明
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧知识总结一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2.导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线P T 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于P时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线P T的斜率k，即3.导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f （x）的导函数有时也记作，即。
二.导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2.函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值；3.函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
函数导数专题分析课件-2025届高三数学一轮复习
深度和广度。思维量加大，灵活，与其他知识的交汇，比如在不等式，数列，解析几何中的应
用，这就要求我们在复习中注重基础知识的理解和思维能力的培养。
（二）深入考查直观想象素养。 （三）扎实考查数学运算素养。
二、创设自然真实情境 助力应用能力考查 2023高考试题评价
（一）创设现实生活情境（二）设置科学研究情境（三）设计劳动生产情境
三、落实“四翼”考查要求 助力“双减”政策落地
（一）突出基础性要求。 （二）彰显综合性要求。
如新课标Ⅱ卷第22题和全国甲卷理科第21题，将导数和三角函数巧妙地结合起来， 通过对导函数的分析，考查函数的单调性、极值等相关问题，通过对导数、函数不 等式等知识，深入考查分类讨论的思想、转化与化归的数学思想。
高考导数知识点梳理
2022全国乙卷理21（2）、2022全国乙卷文20 （2）、2021全国新高考Ⅱ22（2）、2020全国Ⅲ 理20（2）、2020全国Ⅲ文21（2）、2020全国Ⅰ 文20（2）、2019全国Ⅰ文20（1）、2019全国Ⅰ 理20（2）、2019全国Ⅱ文21（2）、2018全国 Ⅱ21（2）、2018全国Ⅱ理21（2）、2021全国甲 理 21（2）、2021全国甲文21（2）共13次
2021新高考Ⅱ22（1）、2021甲卷文20（1）、 2021全国乙卷文21（1）、2019全国Ⅰ文20 （1）、2019全国Ⅲ理（20）、2020全国Ⅲ文20 （1）、2018全国Ⅰ理21（1）、2020全国Ⅱ文 21（2）共8次
2022全国乙卷文20（1）、2019全国Ⅱ文 21（1）、2018全国Ⅲ理21（2）、2018 全国Ⅰ文21（1）、2019全国Ⅲ文20 （2）、2019全国理20（2）共6次
单调性、不等式、构造函数 构造函数或利用不等式比较大小
高中总复习二轮数学精品课件 专题一 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用 (2)
(4)形如f(g(x))的函数,可采用换元法,先令g(x)=t,求得当f(t)=0时t的值,然后
根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时x的值的个数即为f(g(x))的零点
的个数,解答时注意数形结合,注意对函数f(x)与g(x)图象及性质的分析.
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)在R上为增函数
C.函数f(x)的值域为(-3,+∞)
D.函数f(x)只有一个零点
)
答案 (1)B (2)AC
解析 (1)由于
1
4
c=log93= ,b=
2
9
1
5
=
2
3
2
5
<
2
3
1
3
=a,又 b=
4
9
1
5
>
1
32
1
5
=
1
,所
2
以 c<b<a.故选 B.
(2)对于选项A,由已知可得函数定义域为R,故A正确;
专题一
第2讲 基本初等函数、函数的应用
内
容
索
引
01
必备知识•精要梳理
02
关键能力•学案突破
必备知识•精要梳理
(1)log
b =logab(a>0,且 a≠1,b>0,m≠0).
n
(2)对数恒等式:lo g =N(a>0,且 a≠1,N>0).
log
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
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高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学（一）函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.【变式训练】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立，因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)都成立，即a ≥x2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立.令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1（x ＋1）2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32.因此实数a 的取值范围为a ≥32.题型二:利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ， 定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【变式训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在t ，t ＋1]上有解.解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间1，2]和－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.题型三:利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x＞0).当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点.当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a x，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜a4且b＜14时，f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【变式训练】已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R).(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解(1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.。
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题2 函数与导数 2.1 基本初等函数、函数的图象和性质
(2021全国乙,文9)
(2021全国甲,文6)
(2022全国乙,文8)
(2018全国Ⅰ,文13)
(2018全国Ⅱ,文12)
(2018全国Ⅲ,文9)
(2019全国Ⅰ,文3)
(2019全国Ⅱ,文6)
(2020全国Ⅰ,文8)
(2020全国Ⅱ,文12)
(2020全国Ⅲ,文12)
(2021全国甲,文4)
周期为2|a-b|;如果函数f(x)的图象关于直线x=a对称,关于点(b,0)(a≠b)对称,
则f(x)为周期函数,周期为4|a-b|.
对点训练2(1)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,
f(-x)=-f(x);当
A.-2
B.-1
C.0
D.2
1
x> 时,f
=1
=0+1-1-2-1=-3.
题后反思 1.单调性是函数在其定义域上的局部性质,函数的单调性使得自
变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.
2.奇偶性和周期性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对
称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数的图象
关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调
所以函数为奇函数,排除B,D选项.
又f(1)=(3-3-1)cos 1>0,故选A.
(2)已知函数 f(x)=x
1
A.y=f(x)+g(x)4
1
B.y=f(x)-g(x)4
C.y=f(x)g(x)
()
D.y=
()
2
1
高三数学高考复习 《函数与导数》综合问题复习建议 课件(共31张PPT)
关于函数与导数
• 求解步骤（方法显性化，把握大方向）
– 分析问题：归类、联系
– 构建函数：确定研究对象，不要僵化，可能是局 部函数，也可能需要用化归的思想（将复杂的， 困难的问题转化为简单的，容易的，熟悉的问 题），也可能需要进行适当变形 – 研究函数：由性质得草图（比单纯描点效率高）
– 解决问题：看图说话，用形思考（但不能以图代 证），用数说理
《函数与导数》综合问题复习建议
内容提纲
1
关于《函数与导数》
2
举例说明
几点建议
3
关于函数与导数
• 为什么研究函数？
– 出于实际需要：生活中的变化无处不在，运动 是绝对的，静止是相对的，用函数来刻画变量 之间的依赖关系 – 数学建模的过程： 实际 情境 提出 问题 分析 问题
建立 模型
Hale Waihona Puke 确定 参数计算 求解
举例：“适当变形”选择研究对象
• 何时变形？
– 当研究对象的形式或问题的求解过程比较复杂 时：如需多于两次求导，或需分很多情况讨论
• 怎样变形？
– 变形以提取局部函数； – 分离变量（为避免讨论，但前提是方便分离且 分离后的函数方便研究性质）； – 方程、不等式的等价转化
例 设函数 f ( x) x ln x . （1）若对任意 x (0, ) ， 2 f ( x) x2 ax 3 恒成立，求 a 的取值范围.
（17 北京理）已知函数 f ( x) e x cos x x ． （Ⅰ）求曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
π （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
关于函数与导数
高中数学函数与导数章节知识点总结
高中数学函数与导数章节知识点总结高中数学的函数与导数章节是数学课程中的重要部分。
它深入研究了函数的性质和变化规律，以及导数的概念和应用。
本文将从函数的基本概念、函数的性质、函数的几何意义、导数的定义和基本性质以及导数的应用等方面总结高中数学函数与导数章节的知识点。
一、函数的基本概念1.函数的定义：函数是一个具有输入和输出的关系，通常用f(x)表示。
2.定义域：函数能够取值的变量的集合。
3.值域：函数所有可能的输出值的集合。
4.图像：函数在坐标系中的表示，由点(x,f(x))组成。
二、函数的性质1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。
2.周期性：如果对于函数f(x)，存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。
3.单调性：一个函数在定义域上递增或递减。
4.有界性：一个函数是否存在上界或下界。
5.奇点和极限：函数在定义域上的不连续点和趋于无穷大的点。
三、函数的几何意义1.函数的图像：函数在坐标系中的表示，可用于分析函数的性质和变化规律。
2.函数的对称轴：函数的奇偶性可用于确定函数的对称轴。
3.零点：函数的图像与x轴交点的横坐标值。
4.极值：函数的最大值和最小值。
5.拐点：函数图像由凸变凹或由凹变凸的点。
四、导数的定义和基本性质1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。
2.导数的几何意义：导数表示函数的斜率，即函数在特定点处的切线斜率。
3.导数的基本性质：导数可以用于求函数的变化率、斜率、切线方程等。
4.高阶导数：函数的导数再次求导，可以得到高阶导数。
五、导数的应用1.函数的极值：导数可以用来求函数的极大值和极小值。
2.函数的单调性：导数可以用来确定函数的递增区间和递减区间。
3.函数的最大值和最小值：导数可以用来确定函数的最大值和最小值。
高考数学知识点归纳(完整版)
高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
函数与导数的复习
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.
所以对任意x R，有f(x)-x2+x=x0.
在上式中令x=x0,有f(x0)-x +x0=x0,
又因为f(x0)=x0，所以 =0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即
简析：令 即可得（1）
令 ， 即可得（2）
设 ，则
即可得（3）
例４．函数ƒ(x)的定义域为R，并满足以下条件：
1对任意x R，ƒ(x)﹥０；
2对任意ｘ，ｙ R，有ƒ(xｙ)＝[ƒ(x)]
3ƒ( )﹥１
(Ⅰ)求ƒ(０)的值；
(Ⅱ)求证：ƒ(x)在Ｒ上是单调增函数；
(Ⅲ)若a﹥b﹥c﹥０，且b =ac,求证： ƒ(a)+ƒ(c)﹥2ƒ(b)
解：(1)由题意知 an=n+ ，∴bn=2000( )
(2)∵函数y=2000( )x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2
则以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，
即( )2+( )－1>0，解得a<－5(1+ )或a>5( －1) ∴5( －1)<a<10
如：
求： 的值域
3）消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x)；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法
3．值域：
常用求法 配方法、复合函数法、分离系数法（ 、单调性法、数形结合法、换元法（ ）、
高中数学总复习函数与导数专题练习
一、选择题1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩(B)等于（ ）A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.设有三个命题，甲：相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交.那么，当甲成立时（ ） A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3.已知命题p ：“|x -1|＞2”，命题q ：“x ∈Z ”，如果“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）A.{x|x≥3或x≤-1,x ∉Z }B.{x|-1≤x≤3,x Z }C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S)，设 A,B 都为有限集合，给出下列命题,其中真命题的序号是（ ）①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ⊄B 的充分条件是card(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B)A.③④B.①②C.①④D.②③5.（理）已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R }，B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ}，其中x ，t ∈R ，则A∩B 等于（ ）A.[-3，-2]B.（-3，-2）C.（-3，-2）D.（-∞，0）∪[2，-∞)（文）已知集合M={（x,y ）|y-1=k(x-1),x 、y ∈R }，集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R }，那么M∩N 中（ ）A.恰有两个元素B.恰有一个元素C.没有元素D.至多有一个元素6.已知f(x)=-24x -在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（ ） A.[-2，2] B.[-2，0] C.[0，2] D.(-2，2)7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++.0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.48.（理）已知x ∈(-∞,1)时，不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6］ （文）函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间（1，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.[0,1]B.(-∞,-1)C.{-1}D.(-∞,5］ 9.若x<0，则函数y=x 2+21x-x-x1的最小值是（ ）A.-94B.0C.2D.410.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x 2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2，则F （f(41),1）等于（ ）A.-1B.5C.-8D.312.(理)指数函数f(x)=a x （a ＞0，且a≠1）的图象如图所示，那么方程［f -1(x)］2-2f -1(x)-3=0的解集为（ ）A.｛-1，3｝B.｛271，3｝C.｛271｝ D.｛31，27｝（文）已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y=f -1(x)的图象是（ ）13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(35π)的值为( )A.-21 B.21 C.-23 D. 2314.函数y=(21)x与函数y=-162x的图象关于（ ）A.直线x=2对称B.点（4，0）对称C.直线x=4对称D.点（2，0）对称15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥<,1x,log 1,x 1),-0.5)(x -(a a x 在(-∞,+∞)内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，0.5）C.（-∞，0.5）D.（0.5，1） 16.函数f(x)=32x 3-2x+1在区间[0,1]上是（ ）A.单调递增的函数B.单调递减的函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 17.曲线y=31x 3-x 2+5在x=1处的切线的倾斜角是（ ）A.6πB.3πC.4πD.34π18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中，有一个是函数f(x)=31x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)等于（ ）A.31 B.-31 C.37 D.-31或3520.点P 的曲线y=x 3-x+32上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A.［0,2π］ B.［0,2π］∪［43π,π］C.［43π,π］ D.(2π,43π］21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈［m,n ］且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)=0在区间［m,n ］上( )A.至少有三个实数根B.至少有两个实根C.有且只有一个实数根D.无实根22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 21x 的图象重合，则f(x)是（ ）A.y=2-xB.y=2log 4xC.y=log 2(x+1)D.y=21·4x23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在间(1，+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ） A.（-∞，0） B.（0，2） C.（2，+∞） D.（-∞，+∞）25.设点P 是曲线：y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A.［32π,π］B.(2π,65π) C.［0,2π］∪［65π,π］ D.［0,2π)∪［32π,π)二、填空题26.下列判断：（1）命题“若q 则p”与命题“若」p 则」q”互为逆否命题；（2）“am 2<bm 2”是“a<b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；（4）命题“⊂φ{1，2}”为真.则正确说法的序号为_________________.27.（理）已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是___________.（文）已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________.28.已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)，图象如图所示.对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f(x 1)-f(x 2)＞x 1-x 2； ②x 2f(x 1)＞x 1f(x 2)； ③2)()(21x f x f +＜f(221x x +).其中正确结论的序号是________________（把所有正确结论的序号都填上）.29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A(1，4)，且当x=2时，y 有极值0，则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件：①定义域为R ，②是偶函数，③值域是（0，1］，④不是周期函数.（只写出满足条件的一个答案即可）三、解答题31.在M={x||x-1|>4}，P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下：（1）求a 的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；（2）求a 的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.32.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0，2]上有最小值3，求a 的值.34.已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a-1|+2的根的取值范围.35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=193x+x-21.（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性； （2）求y=f(x)的值域； （3）求不等式f(x)>31的解集.36.定义在（-1，1）上的函数f(x)，①对任意x ，y ∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(xyy x ++1)；②当x ∈（-1，0）时，f(x)>0，回答下列问题:（1）判断f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由; （3）（理）若f(51)=21，试求f(21)-f(111)-f(191)的值．37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．38.一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB 宽2m ，渠OC 深为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 39.已知平面向量a=(23,-21),b=(21,23).(1)证明:a ⊥b;(2)若存在不为零的实数t,x,y ,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式； (3)若t ∈［6,+∞］,当f(x)在区间［0,1］上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)=bx ax +2，在x=1处取得极值为2.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围； （3）若P （x 0，y 0）为f(x)=bx ax +2图象上的任意一点，直线l 与f(x)=bx ax +2的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.（文）已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. （1）求f(x)-f(0)的表达式； （2）若对任意的x ∈［-1,4］,都有f(x)>f′(x)成立，求f(0)的取值范围.高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B. 5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解， 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解， 故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0， ∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A.6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x,t ∈(0,2］，则1+2x+(a-a 2)4x>0⇔a 2-a<21tt +=(t1+21)2-41.∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］, ∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D 解析：y=(x+x 1)2-(x+x1)-2=(x+x1-21)2-49，令t=x+x1，因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4.10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个. 11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1.12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271.（文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y,又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x,故选D.15. B解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0， 故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减.17. D 解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π.18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15. 19. B 解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31.20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1,又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］.21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21logx 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21logx 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1， 而g(x)=x+xa -2a ，g′(x)=1-2xa .∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减. 24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx, ∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3， 又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题26.（1）（3）（4） 解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23)解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3,23).28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c,∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4, ∴b=5411+a ,c=51616a-.所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0， 解得q=1或q=-21,当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m ma a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列；综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真.33.解：函数图象的对称轴为x=2a ，①当2a <0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍），②当0≤2a ≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍），③当2a >2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍），综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2,(1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6,∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425, ∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12.35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x -19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x =)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x x x <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数. （2）∵0<193+xx =xx3131+≤21，∴当x≤0时， f(x)=193+x x-21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+xx+1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21).（3）∵f(x)=(-21,21)，又∵f(x)>31，∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+xx(x>0)，令21-193+xx>31，即193+xx<61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x>3+22⇒x>log 3(3+22)， ∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞).36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)． ∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)，f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)，∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23.（2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3, ∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ，∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t).令y=0，则x 1=tt 212+,令y=-23,则x 2=2t ,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m.答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t ,当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增;当x>6t时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减.∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax +2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+,又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x .（2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x.由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x 的单调增区间为（-1，1）.因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x ,∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x ,直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］. （文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x2-6x+3.对任意的x∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f′(x)=x3-6x2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x3+6x2-9x+3.∵F′(x)=-3x2+12x-9,当x∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x∈(1,3)时，F′(x)>0;当x∈(3,4］时，F′(x)<0,又F（-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F（-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。
高中数学知识点函数与导数知识点
n
式子
a
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．根式的性质有：
（i） (n a )n a （ n1，且 nN* ）；
高中数学知识点
（ii）当 n 为奇数时， n an a ；当 n 为偶数时， n an
a a
a0 a0 。
②分数指数幂
m
（i） a n n am
（ii）
a
m n
1
m
（ a 0 , m , nN * ，且 n1）；
（2）二次函数的图象：
图象是抛物线，其对称轴方程为
x
b 2a
．当
a0
时，开口向上；当
a0
时，
开口向下。
（3）二次函数的性质
①
a0
时，单调递减区间 (,
b] 2a
；单调递增区间 [
b 2a
,
)
，
ymin
4ac b 2 4a
。
②
a0
时，单调递增区间 (,
b] 2a
；单调递减区间 [
b 2a
,
)
，
ymax
●5. 一些有用的结论： ①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
②在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数
g(x) 是减函数；
③函数
y
ax
b x
(a
0,b
0)
的单调性：
单调增区间是： (,
b a
]
和
[
b a
,
)
；单调减区间是：
函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以 导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。
高中数学导数知识点归纳总结
高中导数复习资料一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
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高二数学函数与导数综合复习
一、知识梳理：
1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则：
常用函数导数公式：='x ； =')(2
x ；=')(3
x ；=')1
(x
； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ；
=')(x a ； =')(x
e ；=')(log x a ；=')(ln x ；
导数运算法则：（1）/
[()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ⋅= ；
（3）/
()[
]()
f x
g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________;
（2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
4. 利用导数求函数的最值步骤:
⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.
二．巩固练习：
1．一个物体的运动方程为21s
t t 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时
速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒
2. 在0000()()
()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能 （ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0
3. 已知曲线3
2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( )
A ．2
B ．4
C ．6＋6x ∆＋2(x ∆)2
D ．6
4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12)
21()1(lim 0
-=∆∆--→∆x
x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线
斜率为（ ）
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
a
b
x
y )(x f y ?=
O
5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的 （ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、必要非充分条件 6．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--= ( )
A f ′(x 0)
B 2f ′(x 0)
C －2f ′(x 0)
D 0
7.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0
8. 函数x x y ln 2
12
-=
的单调减区间是（ ） A ．(0,1) B ．(0,1)∪(－∞，－1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，＋∞) 9.若函数f (x )＝1
2 f ′(－1) x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为 ( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
10.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
11．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f '(x)可能为 （ ）
8．函数ln x
y x
=的最大值为 ( )
A ．1e -
B ．e
C ．2
e D ．
10
3
12．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集 （ ）
A (－3，0)∪(3，+∞)
B (－3，0)∪(0，3)
C (－∞，－3)∪(3，+∞)
D (－∞，－3)∪(0，3) 13．曲线3
()
2f x x x
在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为 （ ）
A 、( 1 , 0 )
B 、( 2 , 8 )
C 、( 1 , 0 )和(－1, －4)
D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 14．函数32
3922y
x x x x 有 （ ）
x
y
O
A x
y
O
B x
y
O
C y
O
D
x
A.极大值5极小值－27
B.极大值5极小值－11
C.极大值5无极小值
D.极小值－27无极大值 15.已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为 ( ) A ．a ≥3 B ．a >3 C ．a ≤3 D ．a <3
16. 已知)1(2)(2
f x x x f '+=，则)0(f '＝________.
17. 函数3)2(33)(2
3++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________． 18.若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝______________________ 19. 函数1
4)(2
+=
x x
x f ，∈x [－2,2]的最大值是________，最小值是________． 20.曲线x y ln =在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为_____________________ 21.已知函数)1(ln )1(2
1)(2
-<+-+=
a x a ax x x f . （1）若函数)(x f 在2=x 处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)在（1）的条件下，求出)(x f 的极值.
22.已知函数x b ax x f ln )(2
+=在1=x 处有极值
2
1. （1）求b a 、得值； (2)判断函数)(x f y =的单调性并求出单调区间.
23.已知函数x x a
x
x f ln 23)(2+-=
，其中a 为常数. (1)若1=a ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 在区间[]21，
上为增函数，求实数a 的取值范围.
24已知函数x a x x f ln 2
1)(2
+=
. （1）1-=a ，求函数的极值；
（2）若1=a ，求证：在区间[)+∞,1上，函数)(x f 的图像在3
3
2)(x x g =的图像下方.
25.已知函数)0(13)(3
≠--=a ax x x f . （1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，且直线m y =与)(x f y =的图像有三个不同的交点，求m 的范围.
26.设函数x x x
a
x g x x x f ln )(3)(23
+=
--=，，其中R a ∈. (1)若存在[]2,1,21∈x x ，使得M x f x f ≥-)()(21,求整数M 的最大值 (2)若对任意的⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,21,t s ，都有),()(s g t f ≤求实数a 的范围.。