高中数学函数与导数练习题

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高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1.已知函数f (x )=ln x ,g (x )=ax (a >0),设F (x )=f (x )+g (x ). (1)求函数F (x )的单调区间;(2)若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的最小值.解 (1)F (x )=f (x )+g (x )=ln x +ax (x >0), F ′(x )=1x -a x 2=x -ax 2.∵a >0,由F ′(x )>0⇒x ∈(a ,+∞), ∴F (x )在(a ,+∞)上是增函数. 由F ′(x )<0⇒x ∈(0,a ), ∴F (x )在(0,a )上是减函数. 综上,F (x )的单调递减区间为(0,a ), 单调递增区间为(a ,+∞).(2)由F ′(x )=x -a x 2(0<x ≤3),得k =F ′(x )=x -a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥-12x 20+x 0(0<x 0≤3)恒成立.∵当x 0=1时,-12x 20+x 0取得最大值12, ∴a ≥12,即实数a 的最小值为12.2.(2015·重庆卷)设函数f (x )=3x 2+axe x (a ∈R ).(1)若f (x )在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若f (x )在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )=(6x +a )e x -(3x 2+ax )e x (e x )2=-3x 2+(6-a )x +a e x, 因为f (x )在x =0处取得极值, 所以f ′(0)=0,即a =0.当a =0时,f (x )=3x 2e x ,f ′(x )=-3x 2+6x e x , 故f (1)=3e ,f ′(1)=3e ,从而f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3e =3e (x -1), 化简得3x -e y =0.(2)由(1)知f ′(x )=-3x 2+(6-a )x +ae x , 令g (x )=-3x 2+(6-a )x +a ,由g (x )=0解得x 1=6-a -a 2+366,x 2=6-a +a 2+366. 当x <x 1时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 故f (x )为减函数;当x 1<x <x 2时,g (x )>0,即f ′(x )>0, 故f (x )为增函数;当x >x 2时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 故f (x )为减函数.由f (x )在[3,+∞)上为减函数, 知x 2=6-a +a 2+366≤3, 解得a ≥-92,故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-92,+∞.3.已知f (x )=x 3+ax 2-a 2x +2.(1)若a =1,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若a ≠0,求函数f (x )的单调区间;(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )+a 2+1恒成立,求实数a 的取值范围. 解 (1)∵a =1,∴f (x )=x 3+x 2-x +2, ∴f ′(x )=3x 2+2x -1,∴k =f ′(1)=4,又f (1)=3,∴切点坐标为(1,3), ∴所求切线方程为y -3=4(x -1), 即4x -y -1=0.(2)f ′(x )=3x 2+2ax -a 2=(x +a )(3x -a ), 由f ′(x )=0,得x =-a 或x =a3. ①当a >0时,由f ′(x )<0,得-a <x <a3. 由f ′(x )>0,得x <-a 或x >a3, 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,a 3,单调递增区间为(-∞,-a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,+∞. ②当a <0时,由f ′(x )<0,得a3<x <-a . 由f ′(x )>0,得x <a3或x >-a ,此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,-a ,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,a 3和(-a ,+∞).综上,当a >0时,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫-a ,a 3,单调递增区间为(-∞,-a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,+∞. 当a <0时,f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3,-a ,单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,a 3和()-a ,+∞. (3)依题意x ∈(0,+∞),不等式2x ln x ≤f ′(x )+a 2+1恒成立,等价于2x ln x ≤3x 2+2ax +1在(0,+∞)上恒成立,可得a ≥ln x -32x -12x 在(0,+∞)上恒成立, 设h (x )=ln x -3x 2-12x ,则h ′(x )=1x -32+12x 2=-(x -1)(3x +1)2x 2. 令h ′(x )=0,得x =1,x =-13(舍), 当0<x <1时,h ′(x )>0;当x >1时,h ′(x )<0. 当x 变化时,h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1,+∞)h ′(x ) + 0 - h (x )单调递增-2单调递减∴当x =1时,h (x )取得最大值,h (x )max =-2, ∴a ≥-2,即a 的取值范围是[-2,+∞). 4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )=e mx +x 2-mx .(1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.解 (1)f ′(x )=m (e mx -1)+2x .若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f ′(x )>0.若m <0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f ′(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m ,f (x )在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f (x )在x =0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|≤e-1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)-f (0)≤e -1,f (-1)-f (0)≤e -1,即⎩⎪⎨⎪⎧e m-m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g (t )=e t -t -e +1,则g ′(t )=e t -1. 当t <0时,g ′(t )<0;当t >0时,g ′(t )>0.故g (t )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又g (1)=0,g (-1)=e -1+2-e<0, 故当t ∈[-1,1]时,g (t )≤0.当m ∈[-1,1],g (m )≤0,g (-m )≤0,即①式成立;当m >1时,由g (t )的单调性,g (m )>0,即e m -m >e -1,不符题意; 当m <-1时,g (-m )>0,即e -m +m >e -1,不符题意. 综上,m 的取值范围是[-1,1].5.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=x 3+ax +14,g (x )=-ln x . (1)当a 为何值时,x 轴为曲线y =f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x >0),讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y =f (x )与x 轴相切于点(x 0,0), 则f (x 0)=0,f ′(x 0)=0,即⎩⎨⎧x 30+ax 0+14=0,3x 20+a =0.解得x 0=12,a =-34.因此,当a =-34时,x 轴为曲线y =f (x )的切线. (2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x <0, 从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0, 故h (x )在(1,+∞)上无零点. 当x =1时,若a ≥-54,则f (1)=a +54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0, 故x =1是h (x )的零点;若a <-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0, 故x =1不是h (x )的零点. 当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数.①若a ≤-3或a ≥0,则f ′(x )=3x 2+a 在(0,1)上无零点,故f (x )在(0,1)上单调.而f (0)=14,f (1)=a +54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)上有一个零点; 当a ≥0时,f (x )在(0,1)上没有零点.②若-3<a <0,则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,-a 3上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-a 3,1上单调递增,故在(0,1)中,当x = -a3时,f (x )取得最小值,最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫-a 3=2a 3-a 3+14.a .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 3>0,即-34<a <0,f (x )在(0,1)上无零点; b .若f ⎝⎛⎭⎪⎫-a 3=0,即a =-34,则f (x )在(0,1)上有唯一零点;c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 3<0,即-3<a <-34,由于f (0)=14,f (1)=a +54,所以当-54<a <-34时,f (x )在(0,1)上有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)上有一个零点.综上,当a >-34或a <-54时,h (x )有一个零点;当a =-34或a =-54时,h (x )有两个零点;当-54<a <-34时,h (x )有三个零点.。

高中数学导数的运算精选题

高中数学导数的运算精选题

导数的运算精选题32道一.选择题(共11小题)1.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)<f′(x),且f (0)=2,则不等式的解集为()A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.(﹣∞,2)D.(2,+∞)2.若函数f(x)=x2+,则f′(﹣1)=()A.﹣1B.1C.﹣3D.33.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是()A.10B.9C.8D.4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=()A.1B.﹣1C.﹣e﹣1D.﹣e5.设函数f(x)的导函数是f'(x),若,则=()A.﹣B.C.D.﹣6.已知,则=()A.B.C.D.7.已知f(x)=lnx,则f′(e)的值为()A.1B.﹣1C.e D.8.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于()A.2B.0C.﹣2D.﹣49.已知函数f(x)=2x+3f′(0)•e x,则f′(1)=()A.e B.3﹣2e C.2﹣3e D.2+3e10.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8),则f′(0)=()A.26B.29C.212D.21511.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=()A.e2B.ln2C.D.e二.多选题(共2小题)(多选)12.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是()A.()′=B.(cos2x)'=﹣2sin2xC.D.(lgx)′=(多选)13.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x C.D.f(x)=e x+x 三.填空题(共12小题)14.已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为.15.已知函数f(x)=e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.16.已知函数f(x)=f′()cos x+sin x,则f()的值为.17.设函数f(x)=,若f′(1)=,则a=.18.若函数y=f(x)满足f(x)=sin x+cos x,则=.19.若函数,则f'(1)=.20.已知函数f(x)=﹣+2xf'(2021)+2021lnx,则f′(2021)=.21.已知的导函数为f′(x),则f′(﹣1)=.22.设函数f(x)满足f(x)=x2+3f′(1)x﹣f(1),则f(4)=.23.已知:若函数f(x),g(x)在R上可导,f(x)=g(x),则f′(x)=g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…,则a0=,=.24.已知函数f(x)=3x2﹣f'()x4,则f'()=.25.已知f(x)=x2+3xf′(2),则f′(2)=.四.解答题(共7小题)26.求下列函数的导数.(1)y=3x2+x cos x;(2)f(x)=.27.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x﹣1);(2)f(x)=;(3)y=ln.28.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系.29.求下列函数的导数:(1)y=(2x2﹣1)(3x+1);(2)y=e x cos x;(3).30.求下列函数的导数(1)f(x)=lnx+xa x;(2).31.求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x﹣1);(2);(3)y=(1+cos2x)3.32.求下列函数的导数.(1)y=(2x2﹣1)(3x+1);(2).导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)<f′(x),且f (0)=2,则不等式的解集为()A.(﹣∞,0)B.(0,+∞)C.(﹣∞,2)D.(2,+∞)【分析】根据条件构造函数g(x)=,利用导数求函数的单调性,即可解不等式.【解答】解:设g(x)=,则g′(x)=,∵f(x)<f′(x),∴g′(x)>0,即函数g(x)单调递增.∵f(0)=2,∴g(0)=,则不等式等价为,即g(x)>g(0),∵函数g(x)单调递增.∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选:B.【点评】本题主要考查导数的应用,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.2.若函数f(x)=x2+,则f′(﹣1)=()A.﹣1B.1C.﹣3D.3【分析】可先求出导函数,把x换上﹣1即可求出f′(﹣1)的值.【解答】解:;∴f′(﹣1)=﹣2﹣1=﹣3.故选:C.【点评】考查基本初等函数的求导,已知函数求值的方法.3.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是()A.10B.9C.8D.【分析】求出原函数的导函数,由f′(1)=2a+b=2,得,把变形为后整体乘以1,展开后利用基本不等式求最小值.【解答】解:由f(x)=ax2+bx,得f′(x)=2ax+b,又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2a+b=2,即.则=.当且仅当,即时“=”成立.所以的最小值是9.故选:B.【点评】本题考查了导数的运算,考查了利用基本不等式求最值,考查了学生灵活变换和处理问题的能力,是中档题.4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=()A.1B.﹣1C.﹣e﹣1D.﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'(e)的等式解之.【解答】解:由关系式f(x)=2xf′(e)+lnx,两边求导得f'(x)=2f'(e)+,令x =e得f'(e)=2f'(e)+e﹣1,所以f'(e)=﹣e﹣1;故选:C.【点评】本题考查了求导公式的运用;关键是对已知等式两边求导,得到关于f'(x)的等式,对x取e求值.5.设函数f(x)的导函数是f'(x),若,则=()A.﹣B.C.D.﹣【分析】对函数f(x)的解析式求导,得到其导函数,把x=代入导函数中,列出关于f'()的方程,进而得到f'()的值,再求出f′()即可.【解答】解:,则f′(x)=﹣f′()sin x﹣cos x,∴f′()=﹣f′()sin﹣cos,∴f′()=0,∴f′(x)=﹣cos x,∴f′()=﹣,故选:A.【点评】本题主要考查了导数的运算,运用求导法则得出函数的导函数,求出常数f'()的值,从而确定出函数的解析式是解本题的关键,属于基础题.6.已知,则=()A.B.C.D.【分析】对f(x)进行求导,再将x=代入f′(x),进行求解,从而求出;【解答】解:∵,∴f′(x)=﹣×cos x+,∴f′()=﹣×cos+=﹣,∵f(π)==﹣,∴=﹣﹣=﹣,故选:D.【点评】此题主要考查导数的运算,解决此题的关键是能否对f(x)进行求导,是一道基础题;7.已知f(x)=lnx,则f′(e)的值为()A.1B.﹣1C.e D.【分析】利用导数的运算法则即可得出.【解答】解:∵,∴.故选:D.【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键.8.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于()A.2B.0C.﹣2D.﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′(x),令x=1得到关于f′(1)的方程,解方程求出f′(1),求出f′(x);令x=0求出f′(0).【解答】解:∵f′(x)=2f′(1)+2x∴f′(1)=2f′(1)+2∴f′(1)=﹣2∴f′(x)=﹣4+2x∴f′(0)=﹣4故选:D.【点评】在求导函数值时,应该先利用导数的运算法则求出导函数,再求导函数值.9.已知函数f(x)=2x+3f′(0)•e x,则f′(1)=()A.e B.3﹣2e C.2﹣3e D.2+3e【分析】可求出导函数f′(x)=2+3f′(0)•e x,然后即可求出f′(0)=﹣1,从而得出f′(x)=2﹣3e x,然后即可求出f′(1)的值.【解答】解:f′(x)=2+3f′(0)•e x,∴f′(0)=2+3f′(0),解得f′(0)=﹣1,∴f′(x)=2﹣3e x,∴f′(1)=2﹣3e.故选:C.【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式,已知函数求值的方法,考查了计算能力,属于基础题.10.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8),则f′(0)=()A.26B.29C.212D.215【分析】对函数进行求导发现f′(0)在含有x项均取0,再利用等比数列的性质求解即可.【解答】解:考虑到求导中f′(0),含有x项均取0,得:f′(0)=a1a2a3…a8=(a1a8)4=212.故选:C.【点评】本题考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法.11.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0=()A.e2B.ln2C.D.e【分析】由题意求导f′(x)=lnx+1,从而得lnx0+1=2;从而解得.【解答】解:∵f′(x)=lnx+1;故f′(x0)=2可化为lnx0+1=2;故x0=e;故选:D.【点评】本题考查了导数的求法及应用,属于基础题.二.多选题(共2小题)(多选)12.以下四个式子分别是函数在其定义域内求导,其中正确的是()A.()′=B.(cos2x)'=﹣2sin2xC.D.(lgx)′=【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可.【解答】解:,(cos2x)′=﹣2sin2x,,.故选:BC.【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题.(多选)13.若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x C.D.f(x)=e x+x 【分析】根据题意,依次求出选项中函数的导数,分析其导函数的奇偶性,据此分析可得的答案.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)=3cos x,其导数f′(x)=﹣3sin x,其导函数为奇函数,图象不关于y 轴对称,不符合题意;对于B,f(x)=x3+x,其导数f′(x)=3x2+1,其导函数为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于C,f(x)=x+,其导数f′(x)=1﹣,其导函数为偶函数,图象关于y轴对称,符合题意;对于D,f(x)=e x+x,其导数f′(x)=e x+1,其导函数不是偶函数,图象不关于y轴对称,不符合题意;故选:BC.【点评】本题考查导数的计算,涉及函数奇偶性的分析,属于基础题.三.填空题(共12小题)14.已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为3.【分析】先求导,再带值计算.【解答】解:∵f(x)=(2x+1)e x,∴f′(x)=2e x+(2x+1)e x,∴f′(0)=2e0+(2×0+1)e0=2+1=3.故答案为:3.【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题.15.已知函数f(x)=e x lnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为e.【分析】根据导数的运算法则求出函数f(x)的导函数,再计算f′(1)的值.【解答】解:函数f(x)=e x lnx,则f′(x)=e x lnx+•e x;∴f′(1)=e•ln1+1•e=e.故答案为:e.【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题,是基础题.16.已知函数f(x)=f′()cos x+sin x,则f()的值为1.【分析】利用求导法则:(sin x)′=cos x及(cos x)′=﹣sin x,求出f′(x),然后把x 等于代入到f′(x)中,利用特殊角的三角函数值即可求出f′()的值,把f′()的值代入到f(x)后,把x=代入到f(x)中,利用特殊角的三角函数值即可求出f()的值.【解答】解:因为f′(x)=﹣f′()•sin x+cos x所以f′()=﹣f′()•sin+cos解得f′()=﹣1故f()=f′()cos+sin=(﹣1)+=1故答案为1.【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值,会根据函数解析式求自变量所对应的函数值,是一道中档题.17.设函数f(x)=,若f′(1)=,则a=1.【分析】先求出函数的导数,再根据f′(1)=,求得a的值.【解答】解:∵f(x)=,∴f′(x)=,f′(1)==,∴=,则a=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查求函数的导数,属于基础题.18.若函数y=f(x)满足f(x)=sin x+cos x,则=.【分析】由f(x)=sin x+cos x,利用导数的运算法则,再令x=,即可得出.【解答】解:∵f(x)=sin x+cos x,∴f′(x)=cos x﹣sin x,令x=,则=cos﹣sin,解得:=.故答案为:.【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.19.若函数,则f'(1)=.【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′(x),然后即可求出f′(1)的值.【解答】解:∵,∴.故答案为:.【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式,已知函数求值的方法,考查了计算能力,属于基础题.20.已知函数f(x)=﹣+2xf'(2021)+2021lnx,则f′(2021)=2020.【分析】先求出导函数f'(x),再令x=2021求解即可.【解答】解:∵,∴,∴f'(2021)=﹣2021+2f'(2021)+1,∴f'(2021)=2020.故答案为:2020.【点评】本题考查了导数的运算,主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用,属于基础题.21.已知的导函数为f′(x),则f′(﹣1)=﹣4.【分析】先根据导数的运算法则求出f′(x),再求f'(﹣1).【解答】解:∵,∴,∴f'(﹣1)=﹣3﹣1=﹣4,故答案为:﹣4.【点评】本题主要考查导数的基本运算,属于基础题.22.设函数f(x)满足f(x)=x2+3f′(1)x﹣f(1),则f(4)=5.【分析】求函数的导数,先求出f′(1),f(1)的值,求出函数的解析式,即可得到结论.【解答】解:∵f(x)=x2+3f′(1)x﹣f(1),∴f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,则f′(1)=2+3f′(1),即f′(1)=﹣1,则f(x)=x2﹣3x﹣f(1),令x=1,则f(1)=1﹣3﹣f(1),则f(1)=﹣1,即f(x)=x2﹣3x+1,则f(4)=42﹣3×4+1=16﹣12+1=5,故答案为:5.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据导数的公式求出f(1),f′(1)的值以及函数的解析式是解决本题的关键.23.已知:若函数f(x),g(x)在R上可导,f(x)=g(x),则f′(x)=g′(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…,则a0=1,=.【分析】令x=0,可得到a0=1,先求导数对比得到2a n=(n+1)a n+1,再把数列裂项求和即可.【解答】解:令x=0,则a0=e0=1,∵e2x=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…,∴(e2x)′=2e2x=a1+2a2x+…+na n x n﹣1+(n+1)a n+1x n+…,∴2a n=(n+1)a n+1,∴=,∴==2(﹣),∴=2(1﹣++•+﹣)=.故答案为:1;.【点评】本题主要考查导数的基本运算,数列裂项求和的应用,属于中档题.24.已知函数f(x)=3x2﹣f'()x4,则f'()=2.【分析】先求出f′(x),然后将代入解出即可.【解答】解:,所以,解得:.故答案为:2.【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力.属于较易题.25.已知f(x)=x2+3xf′(2),则f′(2)=﹣2.【分析】把给出的函数求导,在其导函数中取x=2,则f′(2)可求.【解答】解:由f(x)=x2+3xf′(2),得:f′(x)=2x+3f′(2),所以,f′(2)=2×2+3f′(2),所以,f′(2)=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则,考查了求导函数的值,解答此题的关键是正确理解原函数中的f′(2),f′(2)就是一个具体数,此题是基础题.四.解答题(共7小题)26.求下列函数的导数.(1)y=3x2+x cos x;(2)f(x)=.【分析】根据导数的公式即可得到结论.【解答】(1)f′(x)=6x+cos x﹣x sin x;(2)∵∴.【点评】本题主要考查导数的基本运算,比较基础.27.求下列函数的导数.(1)y=(2x2+3)(3x﹣1);(2)f(x)=;(3)y=ln.【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可.【解答】解:(1)函数y=(2x2+3)(3x﹣1),所以y'=(2x2+3)′(3x﹣1)+(2x2+3)(3x﹣1)′=4x•(3x﹣1)+3(2x2+3)=18x2﹣4x+9;(2)函数f(x)=,所以;(3)函数y=ln,所以.【点评】本题考查了导数的运算,主要考查了常见函数的导数,和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用,解题的关键是熟练掌握公式,属于基础题.28.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系.【分析】(1)利用导数研究函数g(x)的单调性极值最值即可得出.(2)令h(x)=g(x)﹣=2lnx+﹣x(x>0).可得h′(x)=≤0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.由于h(1)=0,即可得出大小关系.【解答】解:(1)(x>0).∴g(x)=lnx+(x>0).∴=,令g′(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当1<x时,g′(x)>0,函数g (x)单调递增.∴当x=1时,函数g(x)取得极小值即最小值,g(1)=1.综上可得:函数g(x)单调递减区间为(0,1);函数g(x)单调递增区间为[1,+∞),最小值为1.(2)g(x)=lnx+(x>0),=﹣lnx+x.令h(x)=g(x)﹣=2lnx+﹣x(x>0).∴h′(x)=﹣﹣1=≤0,∴函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.当x=1时,h(1)=0,此时g(x)=.当0<x<1时,h(x)>0,此时g(x)>.当1<x时,h(x)<0,此时g(x)<.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的思想方法、构造函数法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.29.求下列函数的导数:(1)y=(2x2﹣1)(3x+1);(2)y=e x cos x;(3).【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可.【解答】解:(1)因为y=(2x2﹣1)(3x+1)=6x3+2x2﹣3x﹣1,所以y′=18x2+4x﹣3;(2)y′=(e x cos x)′=(e x)′cos x+e x(cos x)′=e x cos x﹣e x sin x=e x(cos x﹣sin x);(3)y′===.【点评】本题考查了导数的运算,主要考查了常见函数的导数,和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用,解题的关键是熟练掌握公式,属于基础题.30.求下列函数的导数(1)f(x)=lnx+xa x;(2).【分析】(1)直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可;(2)利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可.【解答】解:(1)因为f(x)=lnx+xa x,所以;(2)因为,所以.【点评】本题考查了导数的运算,涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用,属于基础题.31.求下列函数的导数(1)y=(2x2+3)(3x﹣1);(2);(3)y=(1+cos2x)3.【分析】(1)(2)(3)根据导数的运算法则求导即可.【解答】解:(1)方法一:y'=(2x2+3)′(3x﹣1)+(2x2+3)(3x﹣1)′=4x(3x﹣1)+3(2x2+3)=18x2﹣4x+9,方法二:∵y=(2x2+3)(3x﹣1)=6x3﹣2x2+9x﹣3,∴y'=18x2﹣4x+9.(2)=,(3)y′=3(1+cos 2x)2•(1+cos 2x)′=3(1+cos 2x)2•(﹣sin 2x)•(2x)′=﹣6sin 2x•(1+cos 2x)2=﹣6sin 2x•(2cos2x)2=﹣6sin 2x•4cos4x=﹣48sin x cos5x.【点评】本题考查了导数的运算,熟练掌握导数的运算法则是解题的关键,是基础题.32.求下列函数的导数.(1)y=(2x2﹣1)(3x+1);(2).【分析】(1)直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可;(2)直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可.【解答】解:(1)因为y=(2x2﹣1)(3x+1)=6x3+2x2﹣3x﹣1,所以y'=18x2+4x﹣3;(2)=.【点评】本题考查了导数的运算,解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律,属于基础题.。

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。

2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。

3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。

4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。

5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。

二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$,求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。

2. 某物体做直线运动,其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$,求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。

3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$,求曲线在$x=4$ 处的切线方程。

4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。

5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$,求 $f(x)$ 的单调区间。

三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$,求 $f'(x)$。

2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$,求 $f'(x)$。

3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。

4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$,求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。

5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$,求 $f'(x)$。

四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$,求 $f''(x)$。

2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$,求 $f'''(x)$。

3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$,求 $f'(x)$。

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答

高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4[答案] D[解析]y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1,y|x=1=4.2.若对任意xR,f(x)=4x3,f(1)=-1,则f(x)=()A.x4 B.x4-2C.4x3-5 D.x4+2[答案] B[解析]∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c,又f(1)=-11+c=-1,c=-2,f(x)=x4-2.3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n[解析]∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1,m=2,a=1,f(x)=x2+x,即f(n)=n2+n=n(n+1),数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为:Sn=112+123+134+…+1n(n+1)=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,故选A.4.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] C[解析]由题意可设f(x)=ax2+bx,f(x)=2ax+b,由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故2a0,b0,则f(x)=ax+b2a2-b24a,顶点-b2a,-b24a在第三象限,故选C.5.函数y=(2+x3)2的导数为()A.6x5+12x2 B.4+2x3C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x[解析]∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6,y=6x5+12x2.6.(2019江西文,4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)=()A.-1 B.-2C.2 D.0[答案] B[解析]本题考查函数知识,求导运算及整体代换的思想,f(x)=4ax3+2bx,f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b),f(1)=4a +2b,f(-1)=-f(1)=-2要善于观察,故选B.7.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f(1)=()A.0 B.-1C.-60 D.60[答案] D[解析]∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9,f(1)=60.8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()A.22cos2x-B.cos2x-sin2xC.sin2x+cos2x D.22cos2x+4[答案] A[解析]y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.9.(2019高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.12[答案] A[解析]由f(x)=x2-3x=12得x=3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y =f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15 B.0C.15 D.5[答案] B[解析]由题设可知f(x+5)=f(x)f(x+5)=f(x),f(5)=f(0)又f(-x)=f(x),f(-x)(-1)=f(x)即f(-x)=-f(x),f(0)=0故f(5)=f(0)=0.故应选B.二、填空题11.若f(x)=x,(x)=1+sin2x,则f[(x)]=_______,[f(x)]=________.[答案]2sinx+4,1+sin2x[解析]f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2=|sinx+cosx|=2sinx+4.[f(x)]=1+sin2x.12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<),若f(x)+f(x)是奇函数,则=________.[答案] 6[解析]f(x)=-3sin(3x+),f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)=2sin3x++56.若f(x)+f(x)为奇函数,则f(0)+f(0)=0,即0=2sin+56,+56=kZ).又∵(0,),6.13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.[答案]32x(1+2x2)7[解析]令u=1+2x2,则y=u8,yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x=32x(1+2x2)7.14.函数y=x1+x2的导数为________.[答案](1+2x2)1+x21+x2[解析]y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.三、解答题15.求下列函数的导数:(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.[解析](1)y=(x)sin2x+x(sin2x)=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.16.求下列函数的导数:(1)y=cos2(x2-x);(2)y=cosxsin3x;(3)y=xloga(x2+x-1);(4)y=log2x-1x+1.[解析](1)y=[cos2(x2-x)]=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)=(1-2x)sin2(x2-x).(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x +1)2=2log2ex2-1.17.设f(x)=2sinx1+x2,如果f(x)=2(1+x2)2g(x),求g(x).[解析]∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx],又f(x)=2(1+x2)2g(x).g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.18.求下列函数的导数:(其中f(x)是可导函数)(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).[解析](1)解法1:设y=f(u),u=1x,则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x2f1x.解法2:y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.要练说,得练看。

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中,导数是一个重要的概念和工具。

它不仅在微积分中起着重要的作用,也在其他数学领域中有广泛的应用。

为了加深对导数的理解和掌握,我们可以通过练习题来提高自己的能力。

一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。

解答:根据导数的定义,我们可以通过求函数的斜率来求导数。

对于f(x) = 3x²+ 2x,我们可以使用求导法则来求导数。

根据常数乘法法则和幂函数求导法则,我们可以得到f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。

解答:对于g(x) = sin(x) + cos(x),我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。

根据三角函数的导数公式,我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数h(x) = e^x的导数。

解答:对于h(x) = e^x,我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。

根据指数函数的导数公式,我们可以得到h'(x) = e^x。

二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。

解答:对于函数y = x³ - 2x² + 3x,我们需要先求导数,然后令导数等于零来求得极值点。

求导得到y' = 3x² - 4x + 3。

令y' = 0,我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。

将这两个x值代入原函数,我们可以得到对应的y值。

所以,极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。

2. 求函数y = x² - 4x的拐点。

解答:对于函数y = x² - 4x,我们需要求二阶导数,然后令二阶导数等于零来求得拐点。

求二阶导数得到y'' = 2。

由于二阶导数恒大于零,所以该函数没有拐点。

3. 求函数y = ln(x)的渐近线。

高中数学基础2000题真题——函数与导数

高中数学基础2000题真题——函数与导数

则( )A .a <b <cB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a 14.(2009全国7) a =lg e ,b =(lg e )2,c =lg e ,则( ) A .c <b <a B .b <c <a C .b <a <c D .a <b <c 15.(2003北京2)设a =40.9,b =80.44,c =0.5-1.5,则( )A .b <a <cB .c <a <bC .c <b <aD .b <c <a 16.(2011天津7)已知a =5log 23.4,b =5log 43.6,c =(15)log 30.3,则( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <c <aD .b <a <c 17.(2011重庆6)设a =log (1/3)12,b =log (1/3)23,c =log 343,则( ) A .a <b <c B .c <b <a C .b <a <c D .b <c <a18.(2010全国10) a =log 32,b =ln 2,c =5-12,则( )A .a <b <cB .b <c <aC .c <a <bD .c <b <a 考点1-5:奇偶性与单调性1.(2012广东4)下列函数是偶函数的是( )A .y =sin xB .y =x 3C .y =e xD .y =ln 1+x 2 2.(2003北京11)f (x )=lg(1+x 2),g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x <-10,|x|≤1-x +2,x >1,h (x )=tan2x ,其中_________为偶函数.3.(2010广东3)若函数f (x )=3x +3-x ,g (x )=3x -3-x ,的定义域均为R ,则( )A .f (x )为偶函数,g (x )为奇函数B .f (x )与g (x )均为奇函数C .f (x )为奇函数g (x )为偶函数D .f (x )与g (x )均为偶函数 4.(2010重庆5)函数f (x )=4x +12x 的图像( ) A .关于原点对称 B .关于直线y =x 对称 C .关于x 轴对称 D .关于y 轴对称 5.(2009全国3)函数y =log 22-x2+x 的图像( )A .关于原点对称B .关于直线y =-x 对称C .关于y 轴对称D .关于直线y =x 对称6.(2009福建5)下列函数f (x )中,满足“对于任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2 C .f (x )=e x D .f (x )=ln(x +1)7.(2010北京6)给定函数①y =x ,②y =log 0.5(x +1) ,③y =|x -1|,④y =2x +1,其中在区间(0,1)单调递减的函数序号是_______.8.(2014陕西7)下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A .f (x )=xB .f (x )=x 3C .f (x )=(12)x D .f (x )=3x9. (1987全国6)在区间(-∞,0)上为增函数的是( ) A .y =-log 0.5(-x ) B .y =x 1-xC .y =-(x +1)2D .y =1+x 2 10.(2009福建8)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f (x )的单调性不同的是( ) A .y =x 2+1 B .y =|x |+1 C .y =⎩⎨⎧ 2x +1(x ≥0)x 3+1(x <0) D .y =⎩⎨⎧e x (x ≥0)e -x (x <0)11.(2012天津6)下列函数中既是偶函数又在(1,2)内是增函数的是( )A .y =cos2x (x ∈R )B .y =log 2|x |(x ∈R ,x ≠0)C .y =12(e x -e -x )(x ∈R ) D .y =3x +1(x ∈R )12.(2012陕西2)下列函数是既是奇函数又是增函数的为( ) y =x +1 B .y =-x 2 C .y =1x D .y =x |x |13.(2017北京5)已知函数f (x )=3x -3-x ,则f (x ) ( ) A .是奇函数,且在R 上是增函数 B .是偶函数,且在R 上是增函数 C .是奇函数,且在R 上是减函数 D .是偶函数,且在R 上是减函数14.(2005山东5)下列函数中既是奇函数又在[-1,1]上单调递减的是( )A .f (x )=sin xB .f (x )=-|x +1|C .f (x )=12(a x -a -x ) D .f (x )=ln 2-x 2+x15.(2011新课标3)下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )A .y =3xB .y =|x |+1C .y =-x 2+1D .y =2-|x | 16.(2011上海16)下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是( )A .y =ln 1|x | B .y =x 3 C .y =2|x | D .y =cos x 考点1-6:奇函数的特别性质1.(2006江苏1)已知a ∈R ,f (x )=sin x +|a |(x ∈R )为奇函数,则a =________.2.(2005江西13)若函数f (x )=log a (x +x 2+2a 2)为奇函数,则a =________.3.(2006全国13)已知函数f (x )=a -12x +1,若f (x )为奇函数,则a =________.。

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一,它在数学和实际问题中具有广泛的应用。

为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力,本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。

希望通过这些练习题的训练,同学们能够更好地理解导数的概念和运用。

练习题一:1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x,求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。

3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。

答案一:1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为:f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为:f'(x) = 2x + 3。

3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为:f'(-1) = 0。

练习题二:1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2,求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。

3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。

答案二:1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2,极值为 f(1/2) = 47/16。

2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。

3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。

练习题三:1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

2. 已知函数 f(x) = ln(x),求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。

导数概念练习题

导数概念练习题

导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念,它描述了函数在某一点处的变化率,即函数在该点处的斜率。

导数的概念在许多学科中都有广泛的应用,如物理学、工程学、经济学等。

下面是一些导数概念的练习题,帮助大家更好地理解这个概念。

已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1,求f'(x)。

已知函数f(x) = sin(x),求f'(x)。

已知函数f(x) = log(x),求f'(x)。

已知函数f(x) = e^x,求f'(x)。

已知函数f(x) = x^n,求f'(x)。

已知函数f(x) = x/ln(x),求f'(x)。

解:f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x),求f'(x)。

已知函数f(x) = e^(arctan(x)),求f'(x)。

解:f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x),求f'(x)。

解:f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x),求f'(x)。

解:f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念,并掌握一些常见的导数计算方法。

导数是数学中一个非常重要的概念,它描述了一个函数在某一点处的变化率。

求导数是数学分析中的一个基本技能,也是解决许多实际问题中必不可少的工具。

下面是一些求导数的练习题,供大家参考。

(1)θ=sinx,y=cosx。

(x)=3xx=0为函数的极值点。

随着素质教育的不断推进,高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念,其中导数概念便是之一。

导数概念作为微积分的核心概念之一,对于高中生而言,是一个极具挑战性的知识点。

因此,本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况,为教师提供有益的教学参考,从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。

高中数学练习题(含答案)

高中数学练习题(含答案)

第一章 导数及其应用1.已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切,则=a ( ) A .-1 B .-2 C .0 D .2 2.设函数]65,0[,142cos 3sin 3)(23πθθθ∈-++=x x x x f ,则导数)1('-f 的取值范围是( )A .]343[+,B .]63[,C .]634[,- D .]3434[+-, 3.2222π=--⎰-dx x x m,则m 等于( )A .-1B .0C .1D .24.曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ,则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是( ). A .1 B .112 C . 43 D .345.定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”,若函数()g x x =,()ln(1)h x x =+,3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则,,αβγ的大小关系为( ) A .γαβ>> B .βαγ>> C .αβγ>> D .βγα>> 6.若()f x 在R 上可导,()()2223f x x f x '=++,则()3f x dx =⎰( )A .16B .54C .﹣24D .﹣187.若)(x f 满足23'22)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x-==-.则0>x 时,)(x f ( ) A .有极大值,无极小值 B .有极小值,无极大值C .既有极大值,又有极小值D .既无极大值,也无极小值8.已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ,且p≠q ,不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .[15,)+∞B .](,15-∞C .](12,30D .](12,15- 9.已知()()201f x x xf '=--,则()2014f 的值为( )A .20122014⨯B .20132014⨯C .20132015⨯D .20142016⨯10.若函数()y f x '=在区间()12,x x 内是单调递减函数,则函数()y f x =在区间()12,x x 内的图象可以是( )11.设a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-2)x 的导数是)('x f ,且)('x f 是偶函数,则曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( )A .y=-2xB .y=3xC .y=-3xD .y=4x12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =,且对于任意的x ,21)(<'x f 恒成立,则不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为( ) A .1(0,)10 B .1(0,)(10,)10+∞U C .1(,10)10 D .(10,)+∞ 13.曲线y =2x 3-3x +1在点(1,0)处的切线方程为( )A .y =4x -5B .y =-3x +2C .y =-4x +4D .y =3x -314.若点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小值为( ) A .1 B 2 C .22D 315.已知函数2221y x x =-+的导数为y ',y '=( )A .22x -B .41x +C .42x -D .21x + 16.已知曲线f (x )=ln x 在点(x 0,f (x 0))处的切线经过点(0,-1),则x 0的值为( ) A .1eB .1C .eD .10 17.已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数,0)1(=-f ,当0>x 时,0)()(>-'x f x f x ,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是( )A .)1,0()1,(Y --∞B .),1()0,1(+∞-YC .)1,0()0,1(Y -D .),1()1,(+∞--∞Y18.曲线sin e x y x =+(其中e =2.71828…是自然对数的底数)在点(01),处的切线的斜率为 ( )(A )2 (B )3 (C )13(D )1219.曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A .30° B .45° C.60° D.120°20.若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴,则k =( )A .1-B .0C .1D .221.计算120(11)x dx +-⎰的结果为( ).A .1B .4πC .14π+D .12π+ 22.函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是( ) A .01=-+y x B .012=-+y x C .012=+-y x D .01=+-y x 23.如果对定义在R 上的函数()f x ,对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个24.【函数f (x )=(x 2﹣2x )e x(e 为自然数的底数)的图象大致是( ).25.若0cos2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( ).A.6π B.2π C.56πD.π26.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237B.)5,5(C.)25,437(D.(5,25)27.已知函数()()12ln +=x x f ,则()='0f ( ) A . 0B . 1C . 2D .28.⎰+1)2(dx x e x 等于 ( )A. 1B. eC. 1-eD. e + 129.已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+,则该函数()f x 的单调递减区间为( )A.[1,)-+∞B.(,2]-∞C.(,1),(1,2)-∞-D.[2,)+∞ 30.函数1)(23++-=x x x x f 在点(1,2)处的切线的斜率是( ) A .B . 1C . 2D . 331.设()x f '是函数()x f 的导函数,将()x f y =和()x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) A .B .C .D .32.曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为( ) A. 42ln 2- B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 2ln 233.函数a ax x x f --=3)(3在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围为( ) A .10<≤a B .10<<aC .11<<-aD .210<<a34.已知定义域为R 的奇函数()x f 的图象是一条连续不断的曲线,当()+∞∈,1x 时,()0<'x f ;当()1,0∈x 时()0>'x f ,且()02=f ,则关于x 的不等式()()01>+x f x 的解集为( ) A .(﹣2,﹣1)∪(0,2) B . (﹣∞,﹣2)∪(0.2)C .(﹣2,0)D . (1,2)35.曲线sin e x y x =+(其中e =2.71828…是自然对数的底数)在点(01),处的切线的斜率为( )(A )2 (B )3 (C )13(D )1236.已知函数32()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈,则(1)f -的取值范围是( )A .[3,12]B .3[,6]2-C .3[,3]2-D .3[,12]2-37.已知函数f (x )=﹣x 3+ax 2﹣x ﹣1在(﹣∞,+∞)上是单调函数,则实数a 的取值范围是A . B . C .D .38.已知函数()sin cos f x x x =+,且'()3()f x f x =,则x 2tan 的值是( )A .34-B .34C .43-D .43 39.过原点作曲线ln y x =的切线,则切线斜率为 ( ) A .2e B .21e C .e D .1e40.曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线方程是( )A .330x y -+=B .220x y -+=C .210x y -+=D .310x y -+= 41.由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )A .4B .6C .103 D .16342. ()f x '是函数()f x 的导数,函数()xf x e是增函数( 2.718281828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),()f x '与()f x 的大小关系是( )A .()()f x f x '=B .()()f x f x '>C .()()f x f x '≤D .()()f x f x '≥43.已知函数()f x 的定义域是R ,()f x '是()f x 的导数.()514f =-,对R x ∀∈,有()f x e '≤-( 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数).不等式()2215ln 24f x x x x <-的解集是( )A .()0,1B .()1,+∞C .()0,+∞D .1,12⎛⎫⎪⎝⎭44.设''()y f x =是'()y f x =的导数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0a ≠)都有对称中心00(,())x f x ,其中x 0满足''0()0f x =.已知32115()33212f x x x x =-+-,则1232014()()()()2015201520152015f f f f ++++=L ( )A .2012B .2013C .2014D .201545.已知函数x e xx f =)(,给出下列结论:①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间;②当)1,(e k -∞∈时,直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点; ③函数)(x f y =的图象与12+=x y 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是( )A.①②③B.①③C.①②D.②③ 46.定义在(0,)2π上的函数()f x ,()'f x 是它的导函数,且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立.则( )A 3()()63f ππ<B .)1(1cos 2)6(3f f ⋅>⋅πC 6()2()64f ππ>D 2()()43f ππ> 47.已知函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+')(2)(2,8)2(2e f =,则当0>x 时,)(x f ( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值,也有极小值D .既无极大值,也无极小值48.定义在R 上的可导函数()f x ,当()1,x ∈+∞时,()()()10x f x f x '-->恒成立,()())12,3,2122a fb fc f ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A .c a b << B .b c a << C .a c b << D .c b a <<49.若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是( )A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,61 B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,132 D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,6150.已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ,且1(0,1),x ∈2x ∈()1,+∞,点(,)P m n 表示的平面区域为D ,若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围是( ) A .(]1,3 B . ()3,+∞ C .()1,3 D .[)3,+∞51.若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”,有下列四个命题:①有且只有两条直线l 使得曲线221:4C x y +=和曲线222:4240C x y x y +-++=为“相关曲线”; ②曲线211:12C y x =+和曲线221:12C y x =-是“相关曲线”; ③当0b a >>时,曲线21:4C y ax =和曲线2222:-C x b y a +=()一定不是“相关曲线”; ④必存在正数a 使得曲线1C :ln y a x =和曲线2:C 2y x x =-为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4 52.已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数),直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切,且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1,则a 的值为( )A .1B .1-C .12-D .2 53.某工厂生产的机器销售收入1y (万元)是产量x (千台)的函数:2117x y =,生产总成本2y (万元)也是产量x (千台)的函数;)0(2232>-=x x x y ,为使利润最大,应生产( ) A .9千台 B .8千台 C .7千台 D .6千台54.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点,则m 的取值范围为 .55.已知函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ,则()()33f f '+的值是 56.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 .57.已知函数f (x )=x 3+ax 2﹣a (a∈R),若存在x 0,使f (x )在x=x 0处取得极值,且f (x 0)=0,则a 的值为 .58.若函数()x f 在定义域D 内某区间I 上是增函数,且()xx f 在I 上是减函数,则称()x f y =在I 上是“弱增函数”.已知函数()()b x b x x h +--=12在(0,1]上是“弱增函数”,则实数b的值为59.已知点P 在曲线14+=x e y 上,α为曲线在点P 处切线的倾斜角,则α的取值范围是 .60.如图,线段AB =8,点C 在线段AB 上,且AC =2,P 为线段CB 上一动点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x , △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ; '()f x 的零点是 .61.曲线y =xln x 在点(e ,e )处的切线与直线x +ay =1垂直,则实数a 的值为________. 62.函数()3123f x x x =-+,()3xg x m =-,若对[]11,5x ∀∈-,[]20,2x ∃∈,()()12f x g x ≥,则实数m 的最小值是 .63.若曲线ln y ax x =-在()1,a 处的切线平行于x 轴,则实数a = .64.已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下,则()y f x =有 个极大值点.65.已知函数()326)1(f x x mx m x ++++=存在极值,则实数m 的取值范围为_ _________.66.求曲线y=ln (2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______.67.曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 . 68.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .69.已知函数()f x 的定义域是R ,()f x '是()f x 的导数,()1f e =,()()()g x f x f x '=-,()10g =,()g x 的导数恒大于零,函数()()xh x f x e =-( 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数)的最小值是 . 70.对于函数b x a x a x x f +-+-=)3(231)(23有六个不同的单调区间,则a 的取值范围为 .ACP BD71.函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ,,规定(),A Bk k A B ABϕ-=(AB 为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”,给出以下命题:①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2,则(),3A B ϕ>;②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点,则(),2A B ϕ≤;④设曲线xy e =(e 是自然对数的底数)上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且,若(),1t A B ϕ⋅<恒成立,则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 72.已知22:1O x y +=e .若直线2y k x =+上总存在点P ,使得过点P 的O e 的两条切线互相垂直,则实数k 的最小值为 . 73.已知()1cos f x x x =,则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭. 74.已知函数),(ln )(R n m nx x m x f ∈+= ,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.(1)=+n m ;(2)若1x >时,()0kf x x+<恒成立,则实数k 的取值范围是 .75.对于函数()f x ,若对于任意的123,,x x x R∈,()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三边长,则称()f x 为“可构成三角形的函数”.已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构成三角形的函数”,则实数t 的取值范围是( )A .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[]0,1C .[]1,2D .()0,+∞76.已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)ln(1)n n n++>+都成立.77.已知函数f (x )=alnx ﹣ax ﹣3(a <0). (Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)若函数y=f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[0,1],函数g (x )=x 3+x 2[f′(x )+m]在区间(t ,2)上总不是单调函数,其中f′(x )为f (x )的导函数,求实数m 的取值范围.78.已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈ (Ⅰ)求()1f x x =在处的切线方程;(Ⅱ)若不等式()0f x ≤恒成立,求a 的取值范围;(Ⅲ)数列11{},2,21n n n a a a a +==+中,数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ,求证:124.2n n n T -+<-79.已知函数()23bx ax x f +=的图象经过点M (1,4),曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数b a ,的值;(2)若函数()x f 在区间[]1,+m m 上单调递增,求m 的取值范围80.已知函数()()R a ax x f ∈=,()1ln -=x x g .(1)若函数()()()x x f x x g x h 221--+=存在单调递减区间,求a 的取值范围; (2)当0>a 时,试讨论这两个函数图象的交点个数.81.已知()x a x f ln =,()()cx bx x f x g ++=2,且()12='f ,()x g 在21=x 和2=x 处有极值.(1)求实数c b a ,,的值;(2)若0>k ,判断()x g 在区间()k k 2,内的单调性.82.设函数()()0ln >--=a x a x x f .(1)若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值;(2)若0>a ,求()x f 的单调区间;(3)试比较222222ln 33ln 22ln nn +++Λ与()()()12121++-n n n 的大小.其中()2≥∈*n N n 且,并证明你的结论.83.已知函数)0()(>++=a c x b ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出b ,c ;(2)证明:当21≥a 时,x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立; (3)证明:)()1(2)1ln(131211*N n n n n n ∈+++>++++Λ.84.已知函数()()2f x x x a =-,()()21g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ).(Ⅰ)如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点,求a 的值,并直接写出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)令()()()F x f x g x =-,讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。

(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习

(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习

几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法规(一)[A基础达标 ]1.给出以下结论:① (sin x ) ′= cos x ;②若 f ( x ) =12,则 f ′(3) =- 2 ;x27③ (e x ) ′= e x ;1④ (log 4x ) ′= x ln 4 .此中正确的有 ( )A .1 个B .2 个C .3 个D .4 个1′= ( x - 2-分析:选 D. 因为 (sinx ) ′= cosx ,因此①正确; f ′(x ) = x 2) ′=- 2x32xx,因此③正确;因为(log 41,则 f ′(3) =- 27,因此②正确;因为(e ) ′= e x ) ′= x ln 4 ,因此④正确.α1 12.若幂函数 f ( x ) = mx 的图象经过点 A 4, 2 ,则它在点 A 处的切线方程是 ()A . 2x - y = 0B . 2x + y = 0C . 4x - 4y + 1=0D . 4x + 4y + 1=0分析:选 C. 因为函数f ( x ) =α为幂函数,因此= 1. 又幂函数f ( ) =x α的图象经过mxmx111111点A ,因此f ( x ) = , ′()= , ′f ( x ) 的图象在, α= ,因此2 x =1,因此4 2 2x 2 f x f 411点 A 处的切线方程为 y - 2= x -4,即 4x - 4y + 1= 0.π 13.过曲线 y =cos x 上一点 P 3,且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线方程为 ()2 2π3A . 2x - 3y - 3 + 2 = 03π -1=0B. 3x + 2y -32π3C . 2x + 3y - 3 + 2 = 0D. 3x+ 2y-3π3+1=0分析:选 A. 因为y = cosx,因此y′=- sinx,曲线在点Pπ,1处的切线斜率是′|32y xπ=- sin π3P 且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的斜率为2==-2,因此过点,所333以所求的直线方程为y -1=2x-π,即 2x- 3 -2π+3= 0.233y324.设曲线y =n+ 1(∈N*) 在点 (1 ,1) 处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,则x1· 2· · n x n x x的值为 ()11A. nB.n+1nC.n+1D. 1n分析:选 B. 由题意得x n=n+1,1 23- 1n=1,应选 B.则 x1· x2· · x n=× × × ×n×n+12 34n n+1x cos xP 处的切线的倾斜角,则α 的取5.已知点P在曲线y= 2sin上,α为曲线在点22值范围是 ()3ππ 3πA.4,πB. -4,4π3ππ3πC.4,4D.0,4∪ 4,π分析:选 D. 因为y= 2sin x x x,因此 y′=cos x,设 P( x ,y) .由题意,知2cos 2= sin切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cos x ,因此-1≤tanα≤1.π3π因为 0≤α<π,因此α∈ 0,4∪4,π ,应选 D.16.已知函数f ( x) =x,且f′ ( a) -f ( a) =- 2,则a= ________.11分析: f ( x)=x,因此 f ′(x)=-x2,1 1f′ ( a) -f ( a) =-a2-a=- 2.即 2a2-a- 1= 0,解得 a = 1 或 a =- 12.1 答案:1或-27.曲线 y = x 3 在点 (1 ,1) 处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为 ________ .分析:因为22y -1= 3( xy ′= 3x . 因此切线的斜率为y ′|x = 1=3×1= 3,因此切线方程为2 012-28 -1) ,与 x 轴的交点为, ,与直线 x = 2 的交点为 (2 ,4) .因此 S = 2 × 3 ×4=3 .38答案: 3x18.设曲线 y = e 在点 (0 ,1) 处的切线与曲线 y = x ( x >0) 上点 P 处的切线垂直, 则点 P 的坐标为 ________.分析:设f ( x ) = e x ,则 ′( ) = e x ,fx1因此 f ′(0) = 1. 设 g ( x ) = x ( x >0) ,1则 g ′(x ) =- x 2 . 由题意可得 g ′(x P ) =- 1,解得 x P =1.因此 P (1 ,1) .答案: (1 , 1)9.求与曲线 y = f ( x ) = 3 x 2在点 P (8 ,4) 处的切线垂直,且过点(4 , 8) 的直线方程.33 221211 2y ′= ( ) ′=2 -= -3 解:因为 y =x ,因此x x 3′= x 3. 因此 f ′(8)3 × 8 = ,即33 曲线在点 P (8 ,4) 处的切线的斜率为13. 因此合适条件的直线的斜率为-3. 从而合适条件的直线方程为 y - 8=- 3( x - 4) ,即 3x + y - 20= 0.xP 到直线 y = x 的最小距离.10.点 P 是曲线 y = e 上任意一点,求点 解:依据题意设平行于直线 y = x 的直线与曲线 = e x 相切于点 ( 0, 0) ,该切点即为y P x y与 y = x 距离近来的点,如图.则在点 P ( x , y ) 处的切线斜率为 1,0 0即 y ′|x = x = 1.因为 y ′= (e x ) ′= e x ,xx因此 e 0= 1,得 x 0= 0,代入 y =e ,得 y 0= 1,即 P (0 ,1) .2利用点到直线的距离公式得距离为2 .[B 能力提高 ]11.若函数y=f ( x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直,则称 y= f ( x)拥有T性质.以下函数中拥有T性质的是 ()A.y=sin x B.y=ln xC.y=e x D.y=x3分析:选 A. 设函数y =(x) 的图象上两点(1,1),( 2,2),则由导数的几何意义f P x y Q x y可知,点 P,Q处切线的斜率分别为 k = f ′(x ),k=f ′(x ),若函数拥有T性质,则 k ·k211221=f ′(x1)· f ′(x2)=-1.对于A选项, f ′( x)=cos x,明显 k1· k2=cos x1·cos x2=-1有无数组解,因此该函数拥有1( x> 0) ,明显k1·k2=1·1 T 性质;对于 B 选项,f′ ( x) =x xx21=- 1 无解,故该函数不拥有T 性质;对于 C 选项,f′ ( x) = e x>0,明显k1·k2= e x1·e x2=- 1 无解,故该函数不拥有T 性质;对于 D 选项,f′( x) = 3x 222=≥ 0,明显k1·k= 3x1·3x2-1 无解,故该函数不拥有T 性质.应选 A.12.设f0( x) = sin x,f1( x) =f′0 ( x) ,f2( x) =f′1( x) ,,f n+1( x) =f′n( x) ,n∈ N,则 f 2 018( x)=________.分析:由已知 f 1( x)=cos x, f 2( x)=-sin x,f 3( x)=-cos x, f 4( x)= sin x,f5( x)=cos x,挨次类推可得,函数呈周期变化,且周期为3,则f2 018 ( x) =f2( x) =- sin x.答案:- sin x13.若曲线f ( x) =x-2在点 ( a,a-2)( a>0) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,求 log 3a的值.2解:由题意,得 f ′(x)=-2x-3,因此曲线 f( x) 在点 ( a,a - 2- 2- 3) 处的切线方程为y- a =-2a ( x- a),3a令 x=0,得 y=3a-2,令 y=0,得 x=2.因此1× 3 -2×3=3,2a2a3解得a=4.因此log3a=2.214.( 选做题) 已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,能否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线相互垂直?并说明原由.解:不存在.原由以下:因为y1=sin x,y2=cos x,设两条曲线的一个公共点为P( x0,y0) ,因此两条曲线在P( x0, y0)处切线的斜率分别为k1=y′1| x= x0=cos x0, k2=y′2| x=x0=- sin x0.若使两条切线相互垂直,一定使cos x· ( - sin x )=-1,即sin x ·cos x= 1,也0000就是 sin 2x0=2,这是不行能的,因此两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.。

高中数学 2-2导数与函数的单调性练习(一) 试题

高中数学 2-2导数与函数的单调性练习(一) 试题

某某省毫州市蒙城县坛城镇芮集高中数学 2-2导数与函数的单调性练习(一)1.若函数y =f(x)在R 上可导,且满足不等式xf ′(x)>-f(x)恒成立,且常数a ,b 满足a>b ,则下列不等式一定成立的是________.①af(b)>bf(a); ②af(a)>bf(b); ③af(a)<bf(b); ④af(b)<bf(a)2.函数f(x)的定义域为(0,π2),f ′(x)是它的导函数,且f(x)<f ′(x)tan x 恒成立,则下列结论正确的是________. ①3f(π4)>2f(π3); ②f(1)<2f(π6)sin 1; ③2f(π6)>f(π4); ④3f(π6)<f(π3).3.函数f(x)在定义域R 内可导,若f(x)=f(2-x),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f′(x)<0,设a =f(0),b =f ⎝⎛⎭⎫12,c =f(3),则( )A .a<b<cB .c<b<aC .c<a<bD .b<c<a4.若函数f(x)=x2+ax +1x 在⎝⎛⎭⎫12,+∞上是增函数,则a 的取值X 围是( ) A .[-1,0] B .[-1,+∞)C .[0,3] D .[3,+∞)5.已知函数f(x)=x2+mx +ln x 是单调递增函数,则m 的取值X 围是________.6.若函数f(x)=13x3-32x2+ax +4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a 的值为________. 7.已知函数f(x)=ln x +k ex(k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行.(1)求k 的值;(2)求f(x)的单调区间.8.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a ≠0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值X 围.9.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值X围;若不是,请说明理由.10.已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,b∈R,a>1),e是自然对数的底数.(1)试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(2)当a=e,b=4时,求整数k的值,使得函数f(x)在区间(k,k+1)上存在零点.11.已知函数f(x)=ln x+mx2(m∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若A,B是函数f(x)图像上不同的两点,且直线AB的斜率恒大于1,某某数m的取值X 围.1.答案 ②解析 令F(x)=xf(x),则F ′(x)=xf ′(x)+f(x),由xf ′(x)>-f(x),得xf ′(x)+f(x)>0 即F ′(x)>0,所以F(x)在R 上为递增函数.因为a>b ,所以af(a)>bf(b).2.答案 ④解析 f(x)<f ′(x)tan x ⇔f(x)cos x<f ′(x)sin x ,构造函数g(x)=f(x)sin x, 则g ′(x)=f ′(x)sin x -f(x)cos x sin2x, 根据已知f(x)cos x<f ′(x)sin x ,5.答案 [-22,+∞)解析 依题意知,x>0,f ′(x)=2x2+mx +1x, 令g(x)=2x2+mx +1,x ∈(0,+∞),当-m 4≤0时,g(0)=1>0恒成立,∴m ≥0成立, 当-m 4>0时,则Δ=m2-8≤0,∴-22≤m<0, 综上,m 的取值X 围是m ≥-2 2. 6.解析:∵f(x)=13x3-32x2+ax +4, ∴f′(x)=x2-3x +a ,又函数f(x)恰在[-1,4]上单调递减,∴-1,4是f′(x)=0的两根,∴a =(-1)×4=-4.7.解:(1)由题意得f′(x)=1x -ln x -k ex 又f′(1)=1-k e =0,故k =1.(2)由(1)知,f′(x)=1x -ln x -1ex.设h(x)=1x -ln x -1(x>0),则h′(x)=-1x2-1x<0,即h(x)在(0,+∞)上是减函数.由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f′(x)>0;当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).8.解 (1)f ′(x)=3ax2+6x +3,f ′(x)=0的判别式Δ=36(1-a).①若a ≥1,则f ′(x)≥0,且f ′(x)=0当且仅当a =1,x =-1,故此时f(x)在R 上是增函数. ②由于a ≠0,故当a<1时,f ′(x)=0有两个根x1=-1+1-a a ,x2=-1-1-a a. 若0<a<1,则当x ∈(-∞,x2)或x ∈(x1,+∞)时,f ′(x)>0,故f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;当x ∈(x2,x1)时,f ′(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数;若a<0,则当x ∈(-∞,x1)或x ∈(x2,+∞)时,f ′(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数;当x ∈(x1,x2)时,f ′(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f ′(x)=3ax2+6x +3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0,解得-54≤a<0. 综上,a 的取值X 围是[-54,0)∪(0,+∞).9.解:(1)当a =2时,f(x)=(-x2+2x)ex ,∴f′(x)=(-2x +2)ex +(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex.令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-2<x<2, ∴函数f(x)的单调递增区间是(-2,2).(2)若函数f(x)在R 上单调递减,则f′(x)≤0对任意x ∈R 都成立.即[-x2+(a -2)x +a]ex≤0对任意x ∈R 都成立.∵ex>0,∴x2-(a -2)x -a≥0对任意x ∈R 都成立.∴Δ=(a -2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.故函数f(x)不可能在R 上单调递减.若函数f(x)在R 上单调递增,则f′(x)≥0对任意x ∈R 都成立,即[-x2+(a -2)x +a]ex≥0对任意x ∈R 都成立.∵ex>0,∴x2-(a -2)x -a≤0对任意x ∈R 都成立.而Δ=(a -2)2+4a =a2+4>0, 故函数f(x)不可能在R 上单调递增.综上可知函数f(x)不是R 上的单调函数.10.解:(1)f′(x)=axln a +2x -ln a =2x +(ax -1)ln a.∵a>1,∴当x ∈(0,+∞)时, ln a>0,ax -1>0,∴f′(x)>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f(x)=ex +x2-x -4,∴f′(x)=ex +2x -1,∴f′(0)=0,当x>0时,ex>1,∴f′(x)>0,∴f(x)是(0,+∞)上的增函数;同理,f(x)是(-∞,0)上的减函数.又f(0)=-3<0,f(1)=e -4<0,f(2)=e2-2>0,当x>2时,f(x)>0,∴当x>0时,函数f(x)的零点在(1,2)内,∴k =1满足条件;f(0)=-3<0,f(-1)=1e -2<0,f(-2)=1e2+2>0, 当x<-2时,f(x)>0,∴当x<0时,函数f(x)的零点在(-2,-1)内,∴k =-2满足条件.综上所述,k =1或-2.11.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),。

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。

高中数学导数专题常考练习题

高中数学导数专题常考练习题

高中数学导数专题常考练习题高考数学中,导数是一个常考的题型。

下面介绍几道典型的导数题目。

1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件:①当$f'(x)>0$时,$x2$;②当$f'(x)<0$时,$-1<x<2$;③当$f'(x)=0$时,$x=-1$或$x=2$。

则函数$f(x)$的大致图象是什么?2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切(其中$e$为自然对数的底数),则实数$a$的值是多少?3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数,则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少?4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10,则数对$(a,b)$为什么?5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4,则$m$的值为多少?6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数,则实数$m$的取值范围为什么?7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$,且满足$f(1)=0$。

当$x>0$时,$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么?8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切,则$a$等于多少?9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值,则实数$a$的取值范围是什么?10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数,$f(1)=e$,$x\in\mathbb{R}$,且$2f(x)-f'(x)>0$。

则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么?11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$,讨论 $f(x)$ 的单调性。

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单一性与导数测试题(附答案)选修 2-21.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1.设 f(x) =ax3+ bx2+ cx+d(a0),则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A .b2- 4ac0 B.b0, c0C.b=0,c D . b2- 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0,f(x)为增函数,f(x) =3ax2+ 2bx+ c0 恒建立,=(2b)2- 43ac= 4b2- 12ac0, b2-3ac0.2.(2009 广东文, 8)函数 f(x) = (x- 3)ex 的单一递加区间是() A .(-, 2) B. (0,3)C.(1,4) D . (2,+ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用.f(x) =(x- 3)ex+ (x- 3)(ex) = (x- 2)ex,令 f(x)0 ,解得 x2,应选 D.3.已知函数y= f(x)(xR) 上任一点 (x0, f(x0)) 处的切线斜率k =(x0 -2)(x0 + 1)2,则该函数的单一递减区间为 ()A .[-1,+ ) B.(-, 2]C.(-,- 1)和 (1,2) D . [2,+ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单一减区间为 (-, 2] .4.已知函数y=xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 ),下边四个图象中,y= f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ,故 y=f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ,f(x)0 ,故 y= f(x) 在(1,+ )上为增函数,所以否认 A、B、D 应选 C.5.函数 y=xsinx + cosx, x(-)的单一增区间是()A. -,- 2 和 0,2B.- 2, 0 和 0,2C.-,- 2,D.- 2,0 和[答案]A[ 分析 ] y=xcosx,当- x2 时,cosx0, y=xcosx0 ,当 02 时, cosx0,y= xcosx0.6.以下命题建立的是 ()A .若 f(x) 在 (a,b)内是增函数,则对任何 x(a,b),都有 f(x)0B.若在 (a, b)内对任何x 都有 f(x)0 ,则 f(x) 在 (a, b)上是增函数C.若 f(x) 在 (a, b)内是单一函数,则f(x) 必存在D .若 f(x) 在 (a, b)上都存在,则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a,b)内是增函数,则f(x)0 ,故 A 错; f(x)在(a,b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系,故 C 错;f(x) =2 在 (a, b)上的导数为f(x) = 0 存在,但f(x) 无单一性,故D错.7. (2019 福建理, 11)已知对随意实数 x ,有 f( - x) =- f(x) ,g(-x) = g(x) ,且 x0 时, f(x)0 ,g(x)0 ,则 x0 时 () A .f(x)0 ,g(x) B . f(x)0 , g(x)0C.f(x)0 ,g(x) D . f(x)0 , g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数, g(x) 为偶函数,奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 ),x0 时, f(x)0 ,g(x)0. 8. f(x) 是定义在 (0,+ )上的非负可导函数,且知足xf(x) +f(x)0 ,对随意正数 a、 b,若 ab,则必有 ()A .af(a)f(b)B . bf(b)f(a)C.af(b)bf(a) D .bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) + f(x)0 ,且 x0 ,f(x)0 ,f(x) -f(x)x ,即 f(x) 在(0,+ )上是减函数,又 0< a< b, af(b)bf(a) .9.对于 R 上可导的随意函数f(x) ,若知足 (x -1)f(x)0 ,则必有()A .f(0) + f(2)2f(1)B . f(0) + f(2)2f(1)C.f(0) + f(2)2f(1) D . f(0) + f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x-1)f(x)0得f(x)在[1,+)上单一递加,在(-,1] 上单一递减或f(x) 恒为常数,故 f(0) + f(2)2f(1) .故应选 C.10.(2019 江西理, 12)如图,一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面,记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) =0),则导函数y= S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增减增减,此中恰露出一个角时变化不连续,应选 A.二、填空题11.已知 y =13x3 + bx2+ (b+ 2)x+ 3 在 R 上不是单一增函数,则 b 的范围为 ________.[ 答案 ] b-1 或 b2[ 分析 ]若y=x2+2bx+b+20恒建立,则=4b2-4(b+2)0,-12,由题意 b<- 1 或 b>2.12.已知函数f(x) =ax- lnx ,若 f(x) > 1 在区间 (1,+ )内恒建立,实数 a 的取值范围为 ________.[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a>1+lnxx在区间(1,+)内恒建立.设 g(x) = 1+ lnxx ,则 g(x) =- lnxx2 < 0(x> 1),g(x) = 1+ lnxx 在区间 (1,+ )内单一递减,g(x) < g(1),∵g(1)= 1,1+ lnxx < 1 在区间 (1,+ )内恒建立,a1.13.函数 y=ln(x2 - x-2)的单一递减区间为__________.[答案 ] (-,- 1)[ 分析 ]函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+)(-,-1),令 f(x) = x2-x - 2, f(x) = 2x-10,得 x12 ,函数 y= ln(x2 -x- 2)的单一减区间为 (-,- 1).14.若函数y= x3 - ax2+ 4 在 (0,2)内单一递减,则实数 a 的取值范围是 ____________ .[答案 ] [3,+ )[ 分析 ] y=3x2 - 2ax,由题意知3x2- 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立,即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立, a3.三、解答题15.设函数 f(x) =x3- 3ax2+ 3bx 的图象与直线12x +y- 1=0 相切于点 (1,- 11).(1)求 a、 b 的值;(2)议论函数f(x) 的单一性.[ 分析 ] (1)求导得 f(x) = 3x2-6ax+3b.因为 f(x) 的图象与直线12x+y - 1=0 相切于点 (1,- 11),所以 f(1) =- 11,f(1) =- 12,即 1- 3a+3b=- 113-6a+3b=- 12,解得 a= 1,b=- 3.(2)由 a= 1, b=- 3 得f(x) =3x2- 6ax+3b= 3(x2- 2x- 3)=3(x +1)(x - 3).令 f(x)0 ,解得 x -1 或 x3;又令 f(x)0 ,解得- 13.所以当 x(-,- 1)时, f(x) 是增函数;当x(3 ,+)时,f(x) 也是增函数;当 x( - 1,3)时, f(x) 是减函数.16.求证:方程x- 12sinx= 0 只有一个根x= 0.[ 证明 ]设f(x)=x-12sinx,x(-,+),则 f(x) = 1-12cosx> 0,f(x) 在(-,+ )上是单一递加函数.而当 x= 0 时, f(x) = 0,方程 x- 12sinx =0 有独一的根x= 0.17.已知函数y= ax 与 y=- bx 在(0,+ )上都是减函数,试确立函数 y=ax3+ bx2+ 5 的单一区间.[ 剖析 ] 可先由函数 y=ax 与 y=- bx 的单一性确立 a、b 的取值范围,再依据 a、 b 的取值范围去确立 y= ax3+ bx2+ 5 的单一区间.[ 分析 ]∵函数y=ax与y=-bx在(0,+)上都是减函数,a <0,b<0.由 y= ax3+bx2+ 5 得 y= 3ax2+ 2bx.令 y> 0,得 3ax2+ 2bx>0,- 2b3a< x< 0.当 x- 2b3a, 0 时,函数为增函数.令 y< 0,即 3ax2+ 2bx<0,x<- 2b3a,或 x> 0.在-,- 2b3a,(0,+ )上时,函数为减函数.18. (2019 新课标全国文,21)设函数 f(x) =x(ex - 1)- ax2.(1)若 a= 12,求 f(x) 的单一区间;(2)若当 x0 时 f(x)0 ,求 a 的取值范围.[ 分析 ] (1)a=12 时, f(x) =x(ex - 1)-12x2,f(x) =ex- 1+ xex- x= (ex- 1)(x + 1).当 x( -,- 1)时, f(x)0 ;当 x(- 1,0)时, f(x)0 ;当 x(0 ,+ )时, f(x)0.故 f(x) 在 (-,- 1], [0,+ )上单一递加,在[ -1,0] 上单一递减.(2)f(x) = x(ex - 1- ax).令 g(x) = ex- 1- ax,则 g(x) =ex- a.若 a1,则当 x(0,+ )时, g(x)0 , g(x) 为增函数,而 g(0)= 0,进而当 x0 时 g(x)0 ,即 f(x)0.教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分,我常采纳范读,让少儿学习、模拟。

高中数学导数大题

高中数学导数大题

1、已知函数在某区间内单调递增,且其一阶导数为正,二阶导数为负,则下列说法正确的是:A. 函数在该区间内始终大于零B. 函数在该区间内的增长速度逐渐减慢C. 函数在该区间内可能存在拐点D. 函数的一阶导数在该区间内先增后减(答案)B2、设函数f(x)在x=a处取得极大值,则下列关于f'(a)和f''(a)的说法正确的是:A. f'(a) = 0,f''(a) > 0B. f'(a) ≠ 0,f''(a) = 0C. f'(a) = 0,且f''(a)的存在性无法确定,但f(x)在x=a左右两侧导数符号相反D. f'(a) = 0,f''(a) < 0(答案)C3、若函数f(x)在区间(a, b)上可导,且f'(x) > 0,f''(x) < 0,则下列结论正确的是:A. f(x)在(a, b)上单调递减B. f(x)在(a, b)上先增后减C. f(x)在(a, b)上单调递增,但增长速度逐渐减慢D. f(x)在(a, b)上的凹凸性无法确定(答案)C4、已知函数f(x)在R上可导,且f'(x) = 2x - 3,则f(x)在x = 2处的切线斜率为:A. -1B. 0C. 1D. 2(答案)C5、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2x,则f(x)的极值点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 3(答案)C6、已知函数f(x)在x=1处取得极小值,且f'(1) = 0,f''(1) > 0,则下列说法正确的是:A. f(x)在x=1处不可导B. f(x)在x=1处单调性改变C. f(x)在x=1处取得最大值D. f''(x)在x=1处必为零(答案)B7、若函数f(x)在区间[a, b]上连续,在(a, b)内可导,且f'(x)在(a, b)内恒大于零,则f(x)在[a,b]上的最小值为:A. f(a)B. f(b)C. f((a+b)/2)D. 无法确定(答案)A8、设函数f(x) = ex - x - 1,则f(x)在x = 0处的切线方程与x轴的交点横坐标为:A. -1B. 0C. 1D. 2(答案)A。

高中数学 导数 试题及解析

高中数学 导数 试题及解析

高中数学导数试题一.选择题(共25小题)1.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图,则对于函数y=f(x)的描述正确的是()A.在(﹣∞,0)上为减函数B.在x=0处取得最大值C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取得最小值2.如果某物体的运动方程为S=2(1﹣t2)(S的单位为m,t的单位为S),那么其在1.2S 末的瞬时速度为()A.﹣4.8m/S B.﹣0.88m/S C.0.88m/S D.2.8m/S3.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:①函数y=f(x )在区间内单调递增;②当x=﹣2时,函数y=f(x)有极小值;③函数y=f(x)在区间(﹣2,2)内单调递增;④当x=3时,函数y=f(x)有极小值.则上述判断中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.③4.已知函数f(x)=(x3﹣2x)e x ,则的值为()A.﹣e B.1C.e D.05.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+△x的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025),则增量△x的取值范围为()1A.(﹣0.025,0.025)B.(0,0.025)C.(0.025,1)D.(﹣0.025,0)6.设函数f(x)=1+sin2x ,则等于()A.﹣2B.0C.3D.27.一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2(其中s的单位是米,t的单位是秒),那么物体在t=4秒的瞬时速度是()A.6米/秒B.7米/秒C.8米/秒D.9米/秒8.若小球自由落体的运动方程为s(t )=(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为,在t=2的瞬时速度为v2,则和v2关系为()A .>v2B .<v2C .=v2D.不能确定9.已知函数f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=()A.2B.1C .D.010.一物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t﹣t2,则该物体在t=3s时的瞬时速度是()A.﹣1m/s B.1m/s C.2m/s D.6m/s11.一质点按规律s=2t3运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为_____m/s,在t=1时的瞬时速度为_____m/s.()A.12,3B.10,5C.14,6D.16,6 12.若函数f(x)=ax3﹣3x2+x+8存在极值点,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,3)B.(﹣∞,3]C.(﹣∞,0)∪(0,3]D.(﹣∞,0)∪(0,3)13.在函数y=x2图象上取一点(1,1)及附近一点(1+△x,1+△y),则为()A.4△x+2△x2B.4+2△x C.△x+2D.4+△x 14.对于函数,当△x=2.018时,△y的值是()A.2018B.﹣2018C.0D.不能确定15.函数f(x)=x3﹣e x的图象在x=1处的切线斜率为()A.3B.3﹣e C.3+e D.e16.若函数f(x)=2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则b的取2值范围是()A.(﹣∞,﹣8)B.(﹣8,+∞)C.(﹣∞,8)D.(8,+∞)17.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设k =,则下列不等式正确的是()A.k<f'(x1)<f'(x2)B.f'(x1)<k<f'(x2)C.f'(x2)<f'(x1)<k D.f'(x1)<f'(x2)<k18.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α,则的值为()A .B .C .D .19.函数y=f(x)的图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,下列数值排序正确的是()A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)<0B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)<0C.f(3)﹣f(2)<f′(3)<f′(2)<0D.f′(2)<f(3)﹣f(2)<f′(3)<020.已知函数f(x)的图象如图,设f′(x)是f(x)的导函数,则()A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)3B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)C.f(3)﹣f(2)<f′(2)<f′(3)D.f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2))21.已知函数f(x)在R上有导函数,f(x)图象如图所示,则下列不等式正确的是(C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)22.已知函数f(x)在x=x0处的导数为12,则=()A.﹣4B.4C.﹣36D.3623.已知函数,则=()A.4B.2C.﹣2D.﹣424.下列函数中,当x>0时,随x的增大,增长速度最快的是()A.y=x B.y=2x C.y=3x D .25.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为()A .B .C .D .4二.填空题(共25小题)26.已知函数f(x)可导且f′(1)=﹣2,则=.27.已知函数f(x)是可导函数,且f'(a)=1,则等于.28.函数f(x)=3x2在[2,6]内的平均变化率为.29.函数f(x)=sin x在[﹣,]上的平均变化率是.30.质点运动的速度v=(18t﹣3t2)m/s,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是.31.若某物体运动规律是S=t3﹣6t2+5(t>0),则在t=时的瞬时速度为0.32.某汽车启动阶段的路程函数S=2t3﹣3t2(t的单位是s,S的单位是m),则t=2时,汽车的瞬时速度为m/s.33.已知一质点的运动方程为s=2﹣t2,则该质点在一段时间[0,2]内的平均速度为.34.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=.35.某物体做直线运动,其运动规律是(t的单位是秒,s的单位是米),则它在t=2的瞬时速度为.(单位:米/秒)36.已知函数y=x2+1在区间[1,1+△x]上的平均变化率是.37.某物体作直线运动,其位移S与时间t的运动规律为(t的单位为秒,S 的单位为米),则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒.38.若曲线y=x3﹣x2在点P处的切线l与直线y=﹣x垂直,则切线l的方程为.39.已知函数f(x)=sin x,则=40.设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=x3+f′()x2﹣x,则f′(1)=.41.曲线f(x)=3﹣,在点(0,3)处的切线方程为.42.已知P为函数y=lnx图象上任意一点,点Q为圆x2+(y﹣e2﹣1)2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为.43.函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0,则f(2)+f'(2)=.44.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=.5645.如图函数f (x )的图象在点P 处的切线为:y =﹣2x +5,则f (2)+f ′(2)= .46.函数y =(x ﹣1)e x 的图象在点(1,0)处的切线的斜率是 . 47.若曲线y =e x +e﹣x的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 .48.已知曲线f (x )=ax 2﹣lnx 在点(2,f (2))处的切线斜率为,则f (x )的最小值为 .49.已知函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =x +2,则f (1)+f ′(1)= .50.一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为s =4﹣2t +t 2,则该物体在3秒末的瞬时速度是 .参考答案与试题解析一.选择题(共25小题)1.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图,则对于函数y=f(x)的描述正确的是()A.在(﹣∞,0)上为减函数B.在x=0处取得最大值C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取得最小值【分析】结合图象,求出函数的单调区间,在判断函数的最值.【解答】解:当0<x<2或x>4时,f′(x)<0,故函数f(x)在(0,2),(4,+∞)上单调递减,当2<x<4或x<0时,f′(x)>0,故函数f(x)在(2,4)(﹣∞,0)上单调递增,∴当x=0或x=4时函数取的极大值,∴函数f(x)最大值为,max{f(0),f(4)},无最小值,故选:C.【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值,最值的关系,属于中档题.2.如果某物体的运动方程为S=2(1﹣t2)(S的单位为m,t的单位为S),那么其在1.2S 末的瞬时速度为()A.﹣4.8m/S B.﹣0.88m/S C.0.88m/S D.2.8m/S【分析】根据瞬时变化率和导数的关系求解即可.【解答】解:∵S′=﹣4t,∴在1.2S末的瞬时速度为S′|t=1.2=(﹣4)×1.2=﹣4.8,故选:A.【点评】本题考查了瞬时变化率和导数,考查常见函数的导数,考查计算能力,属于基础题.3.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:7①函数y=f(x )在区间内单调递增;②当x=﹣2时,函数y=f(x)有极小值;③函数y=f(x)在区间(﹣2,2)内单调递增;④当x=3时,函数y=f(x)有极小值.则上述判断中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.③【分析】利用使f′(x)>0的区间是增区间,使f′(x)<0的区间是减区间,导数等于零的值是极值,先增后减是极大值,先减后增是极小值分别对①②③④进行逐一判定【解答】解:对于①,函数y=f(x)在区间(﹣3,﹣)内有增有减,故①不正确;对于②,当x=﹣2时,函数y=f(x)有极小值,故②正确;对于③,函数y=f(x)当x∈(﹣2,2)时,恒有f′(x)>0,则函数y=f(x)在区间(﹣2,2)内单调递增,故③正确;对于④,当x=3时,f′(x)≠0,故④不正确.故选:B.【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性,以及极值问题,属于易错题.4.已知函数f(x)=(x3﹣2x)e x ,则的值为()A.﹣e B.1C.e D.0【分析】先求导,根据导数的定义可得=f′(1),代值计算即可.【解答】解:∵f(x)=(x3﹣2x)e x,∴f′(x)=(x3+3x2﹣2x﹣2)e x,8∴=f′(1)=(1+3﹣2﹣2)e=0,故选:D.【点评】本题考查了导数的定义和求导法则,属于基础题.5.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+△x的平均变化率的取值范围是(1.975,2.025),则增量△x的取值范围为()A.(﹣0.025,0.025)B.(0,0.025)C.(0.025,1)D.(﹣0.025,0)【分析】利用平均变化率的意义即可得出.【解答】解∵函数f(x)在区间[1,1+△x]上的增量△y=f(1+△x)﹣f(1)=(△x+1)2﹣12=△x2+2△x∴f(x)在区间[1,1+△x]上上的平均变化率为=△x+2∵△x+2∈(1.975,2.025),∴△x∈(﹣0.025,0.025),故选:A.【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法,属于基础题.6.设函数f(x)=1+sin2x ,则等于()A.﹣2B.0C.3D.2【分析】利用导数的定义,即可得出结论.【解答】解:∵f′(x)=2cos2x,∴.故选:D.【点评】本题考查导数的定义,考查学生的计算能力,比较基础.7.一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2(其中s的单位是米,t的单位是秒),那么物体在t=4秒的瞬时速度是()A.6米/秒B.7米/秒C.8米/秒D.9米/秒【分析】根据导数的物理意义,求出函数在t=4处的导数即可.【解答】解:∵s=s(t)=t2﹣t+2,∴s'(t)=2t﹣1,∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'(4),即s'(4)=2×4﹣1=7(米/秒),故选:B.9【点评】本题主要考查导数的物理意义,根据导数的公式直接进行计算即可,比较基础.8.若小球自由落体的运动方程为s(t )=(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为,在t=2的瞬时速度为v2,则和v2关系为()A .>v2B .<v2C .=v2D.不能确定【分析】求函数的导数,根据导数的物理意义进行求解即可.【解答】解:平均速度为===2g,∵s(t )=,∴s′(t)=gt,t=2的瞬时速度为v2,∴v2=s′(2)=g×2=2g,∴=v2故选:C.【点评】本题主要考查导数的计算和函数的变化率,比较基础.9.已知函数f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)=()A.2B.1C .D.0【分析】根据题意,由极限的性质分析可得=2×,由导数的定义分析可得答案.【解答】解:根据题意,若=2×=2f′(x0)=1,则f'(x0)=,故选:C.【点评】本题考查导数的定义,涉及极限的性质,属于基础题.1010.一物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t﹣t2,则该物体在t=3s时的瞬时速度是()A.﹣1m/s B.1m/s C.2m/s D.6m/s【分析】根据题意,求出s=5t﹣t2,令t=3计算可得答案.【解答】解:根据题意,位移s与时间t的关系是s=5t﹣t2,其导数s′(t)=5﹣2t,则有s′(3)=5﹣2×3=﹣1,即该物体在t=3s时的瞬时速度是﹣1m/s;故选:A.【点评】本题考查导数的几何意义,涉及变化率的计算,属于基础题.11.一质点按规律s=2t3运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为_____m/s,在t=1时的瞬时速度为_____m/s.()A.12,3B.10,5C.14,6D.16,6【分析】根据题意,由变化率公式可得在时间段[1,2]内的平均速度为=,计算可得答案,求出函数的导数,进而可得s′(1)的值,由瞬时变化率公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,一质点按规律s=2t3运动,则其在时间段[1,2]内的平均速度为==14m/s,其导数s′(t)=6t2,则s′(1)=6,则在t=1时的瞬时速度为6m/s故选:C.【点评】本题考查变化率的计算,关键是掌握变化率与瞬时变化率的定义,属于基础题.12.若函数f(x)=ax3﹣3x2+x+8存在极值点,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,3)B.(﹣∞,3]C.(﹣∞,0)∪(0,3]D.(﹣∞,0)∪(0,3)【分析】由函数的极值得:①当a=0时,x =为函数的极值点,②当a≠0时,函数存在极值点,则△=36﹣12a>0,解得a<3且a≠0,综合①②得:实数a的取值范围是a<3,得解.【解答】解:因为f(x)=ax3﹣3x2+x+8,所以f′(x)=3ax2﹣6x+1,11又f(x)=ax3﹣3x2+x+8存在极值点,①当a=0时,x =为函数的极值点,②当a≠0时,函数存在极值点,则△=36﹣12a>0,解得a<3且a≠0,综合①②得:实数a的取值范围是a<3,故选:A.【点评】本题考查了函数的极值,属简单题.13.在函数y=x2图象上取一点(1,1)及附近一点(1+△x,1+△y),则为()A.4△x+2△x2B.4+2△x C.△x+2D.4+△x【分析】先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值,再化简即可求得.【解答】解:△y=(1+△x)2﹣1=(△x)2+2△x,∴=△x+2,故选:C.【点评】本题主要考查变化的快慢与变化率.通过计算函数值的变化来解,比较简单.14.对于函数,当△x=2.018时,△y的值是()A.2018B.﹣2018C.0D.不能确定【分析】根据函数的变化率即可判断.【解答】解:∵函数y =,∴△y =﹣═∵△x=2.018,∴△y =,不确定,故选:D.【点评】本题考查了变化量的概念,属于容易题,难度不大.15.函数f(x)=x3﹣e x的图象在x=1处的切线斜率为()A.3B.3﹣e C.3+e D.e【分析】根据题意,求出函数的导数,即可得f′(1)的值,由导数的几何意义分析可得答案.12【解答】解:根据题意,函数f(x)=x3﹣e x,其导数f′(x)=3x2﹣e x,则f′(1)=3﹣e,即函数f(x)=x3﹣e x的图象在x=1处的切线斜率k=3﹣e;故选:B.【点评】本题考查导数的几何意义,涉及导数的计算,属于基础题.16.若函数f(x)=2lnx+4x2+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则b的取值范围是()A.(﹣∞,﹣8)B.(﹣8,+∞)C.(﹣∞,8)D.(8,+∞)【分析】根据题意,分析函数的定义域,求出其导数,由导数的几何意义分析可得f′(x )=+8x+b>0在(0,+∞)上恒成立,变形可得b >﹣(+8x)在(0,+∞)上恒成立,结合基本不等式的性质分析可得答案.【解答】解:根据题意,函数f(x)=2lnx+4x2+bx+5,其定义域为(0,+∞),其导数f′(x )=+8x+b,若函数f(x)的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则有f′(x )=+8x+b>0在(0,+∞)上恒成立,变形可得b >﹣(+8x)在(0,+∞)上恒成立,又由+8x≥2×=8,当且仅当x =时等号成立,即+8x有最小值8,若b >﹣(+8x)在(0,+∞)上恒成立,必有b>﹣8,即b的取值范围为(﹣8,+∞);故选:B.【点评】本题考查函数导数的几何意义,涉及函数的最值,属于基础题.17.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设k =,则下列不等式正确的是()A.k<f'(x1)<f'(x2)B.f'(x1)<k<f'(x2)C.f'(x2)<f'(x1)<k D.f'(x1)<f'(x2)<k【分析】根据图象及导数的几何意义即可判断.13【解答】解:函数的增长越来越快,所以函数在该点的斜率越来越大,∴f′(x1)<k<f′(x2).故选:B.【点评】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率,属于基础题.18.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α,则的值为()A .B .C .D .【分析】曲线在x=1处的切线的倾斜角为α,所以y′|x=1=tanα,所以=﹣sin2α=﹣=﹣,将tanα代入即可.【解答】解:依题意,y ′=+,所以tanα==3,所以=﹣sin2α=﹣=﹣=﹣=﹣,故选:D.【点评】本题考查了导数的几何意义,直线的倾斜角与斜率,三角恒等变换,属于基础题.19.函数y=f(x)的图象如图所示,f′(x)是函数f(x)的导函数,下列数值排序正确的是()A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)<0B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)<0C.f(3)﹣f(2)<f′(3)<f′(2)<0D.f′(2)<f(3)﹣f(2)<f′(3)<0【分析】根据题意,设M(2,f(2))、N(3,f(3))为函数的上的点,由导数的几何意义分析可得f′(3)与f′(2)的几何意义,又由f(3)﹣f(2)=,为直线MN的斜率,结合图象分析可得答案.【解答】解:根据题意,设M(2,f(2))、N(3,f(3))为函数的上的点,则f′(2)为函数f(x)在x=2处切线的斜率,14f′(3)为函数f(x)在x=3处切线的斜率,f(3)﹣f(2)=,为直线MN的斜率,结合图象分析可得f′(2)<f(3)﹣f(2)<f′(3)<0;故选:D.【点评】本题考查导数的几何意义,涉及直线的斜率大小比较,属于基础题.20.已知函数f(x)的图象如图,设f′(x)是f(x)的导函数,则()A.f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)B.f′(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)C.f(3)﹣f(2)<f′(2)<f′(3)D.f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2)【分析】由题意,分析f′(3)、f(3)﹣f(2)、f′(2)所表示的几何意义,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,由导数的几何意义:f′(3)表示函数在x=3处切线的斜率,f′(2)表示函数在x=2处切线的斜率,f(3)﹣f(2)=,为点(2,f(2))和点(3,f(2))连线的斜率,结合图象可得:0<f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2),故选:D.【点评】本题考查导数的几何意义,涉及直线的斜率比较,属于基础题.21.已知函数f(x)在R上有导函数,f(x)图象如图所示,则下列不等式正确的是()15A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)【分析】根据题意,由导数的几何意义可得f′(a)、f′(b)、f′(c)分析函数在x=a、x=b和x=c处切线的斜率,结合函数的图象分析可得答案.【解答】解:根据题意,f′(a)、f′(b)、f′(c)分析函数在x=a、x=b和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选:A.【点评】本题考查导数的几何意义,注意比较函数的切线的斜率,属于基础题.22.已知函数f(x)在x=x0处的导数为12,则=()A.﹣4B.4C.﹣36D.36【分析】根据题意,由极限的性质可得则=×,结合导数的定义计算可得答案.【解答】解:根据题意,函数f(x)在x=x0处的导数为12,则=×==4;故选:B.【点评】本题考查极限的计算以及导数的定义,属于基础题.23.已知函数,则=()A.4B.2C.﹣2D.﹣4【分析】根据函数的导数的极限定义进行转化求解得2f′(0),然后求函数的导数即可.【解答】解:=2=2f′(0),16∵,∴f′(x)=3x﹣2e x,则f′(0)=0﹣2e0=﹣2,则2f′(0)=﹣4,故选:D.【点评】本题主要考查函数的导数的计算,结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键.24.下列函数中,当x>0时,随x的增大,增长速度最快的是()A.y=x B.y=2x C.y=3x D .【分析】根据题意,依次计算函数的导数,比较导数的大小,由导数的几何意义分析可得答案.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y=x,其导数y′=1,对于B,y=2x,其导数y′=2x ln2,对于C,y=3x,其导数y′=3x ln3,对于D,y=log3x,其导数y ′=,分析可得:随x的增大,增长速度最快的是y=3x,故选:C.【点评】本题考查函数单调性的性质以及判定,注意导数的几何意义,25.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为()A .B .17C .D .【分析】先从f(x)的图象判断出f(x)的单调性,根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号,判断出导函数的图象【解答】解:由f(x)的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增,再减,在y轴的右侧,函数单调递减,∴导函数y=f′(x)的图象可能为区间(﹣∞,0)内,先有f′(x)>0,再有f′(x)<0,在(0,+∞)再有f′(x)>0.故选:A.【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,属于基础题二.填空题(共25小题)26.已知函数f(x)可导且f′(1)=﹣2,则=1.【分析】先根据导数定义得出f'(x o)=,再计算即可.【解答】解:根据导数的定义,==﹣f'(x )=1,故答案为:1.【点评】本题主要考查了导数的定义,属于基础题.27.已知函数f(x)是可导函数,且f'(a)=1,则等于3.【分析】根据题意,由极限的运算公式可得=3×=3f'(a),计算即可得答案.【解答】解:根据题意,函数f(x)中,f'(a)=1,=3×=3f'(a)=3;故答案为:3.【点评】本题考查导数的定义,涉及极限的运算,属于基础题.28.函数f(x)=3x2在[2,6]内的平均变化率为24.18【分析】根据题意,由平均变化率的计算公式可得=,进而计算可得答案.【解答】解:根据题意,函数f(x)=3x2,其在区间[2,6]内的平均变化率===24;故答案为:24.【点评】本题考查变化率的计算,关键是掌握变化率的计算公式,属于基础题.29.函数f(x)=sin x在[﹣,]上的平均变化率是.【分析】利用平均变化率的定义即可求出.【解答】解:函数f(x)=sin x在[﹣,]上的平均变化率为:==故答案为:【点评】本题考查了平均变化率的定义及其求法问题,是基础题.30.质点运动的速度v=(18t﹣3t2)m/s,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是108.【分析】由速度为0求出t的值为0和6,求出速度函数在[0,6]上的定积分即可.【解答】解:由18t﹣3t2=0,得t=0或t=6.当t∈[0,6]时,质点运动的路程为S=(18t﹣3t2)dt==﹣63+9×62=108;故答案为:108.【点评】本题考查了定积分,考查了定积分的物理意义,关键是对题意的理解,是基础题.31.若某物体运动规律是S=t3﹣6t2+5(t>0),则在t=4时的瞬时速度为0.【分析】利用导数的几何意义即可得出.【解答】解:∵质点按规律S=t3﹣6t2+5运动,∴S′=3t2﹣12t,令S′=3t2﹣12t=0,解得t=4,∴质点在4s时的瞬时速度为0.19故答案为:4【点评】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率,其中根据质点位移与时间的关系时,求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键.32.某汽车启动阶段的路程函数S=2t3﹣3t2(t的单位是s,S的单位是m),则t=2时,汽车的瞬时速度为12m/s .【分析】根据导数的物理意义,计算函数s(t)=2t 3﹣3t2的导数,将t=2代入其中,计算即可得答案.【解答】解:根据题意,位移s与时间t的关系是s(t)=2t3﹣3t2,则s′(t)=6t2﹣6t,则s′(2)=24﹣12=12,即t=2s时,汽车的瞬时速度为12m/s,故答案为:12.【点评】本题主要考查导数的物理意义,以及导数的基本运算,属于简单题.33.已知一质点的运动方程为s=2﹣t2,则该质点在一段时间[0,2]内的平均速度为﹣2.【分析】别求出经过0秒种的位移与经过2秒种的位移,根据平均速度的求解公式平均速度=位移÷时间,建立等式关系即可.【解答】解:由题意==﹣2,故答案为:﹣2【点评】本题主要考查了函数的平均变化率公式,注意平均速度与瞬时速度的区别,属于基础题.34.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=.【分析】利用极限概念直接求解.【解答】解:==f′(1)=故答案为:【点评】本题考查函数的极限的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意极限定义的合理运用.35.某物体做直线运动,其运动规律是(t的单位是秒,s的单位是米),则它在t=2的瞬时速度为.(单位:米/秒)20【分析】根据题意,求出s=t2+的导数,分析可得该物体在2秒末的瞬时速度就是t=2时的导数值,将t=2代入导数即可得答案.【解答】解:根据题意,s=t2+,则其导数s′=2t﹣,该物体在3秒末的瞬时速度就是t=3时的导数值,即s′|t=2=4﹣=,故答案为:.【点评】本题考查导数的意义,关键明确导数的意义.36.已知函数y=x2+1在区间[1,1+△x]上的平均变化率是2+△x.【分析】利用平均变化率的意义即可得出.【解答】解:函数y=x2+1在区间[1,1+△x]上的平均变化率为:=2+△x.故答案为:2+△x.【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法,属于基础题.37.某物体作直线运动,其位移S与时间t的运动规律为(t的单位为秒,S 的单位为米),则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒.【分析】物理中的瞬时速度常用导数来求,故求出S的导数,代入4求值.【解答】解:,∴S′=1+,∴它在4秒末的瞬时速度为1+=,故答案为:.【点评】本题考查变化的快慢与变化率,解答本题关键是理解导数的物理意义,由此转化为求导数的问题.38.若曲线y=x3﹣x2在点P处的切线l与直线y=﹣x垂直,则切线l的方程为y=x ﹣1或.【分析】根据题意可设P,并且可据题意得出y=x3﹣x2在点P 处的切线斜率为1,从而可得出,解出x0,从而可得出点P的坐标,根据直线的点斜式方程进而求出切线的方程.【解答】解:据题意设P,且y=x3﹣x2在点P处的切线斜率为1,y′=3x2﹣2x,∴,解得,或1,∴,或P(1,0),∴切线l的方程为或y=x﹣1.故答案为:或y=x﹣1.【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系,导数的几何意义,直线的点斜式方程,考查了计算能力,属于基础题.39.已知函数f(x)=sin x,则=﹣2【分析】根据题意,由极限的运算性质可得=2×=2f′(π),结合导数的计算公式求出f′(π)的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,=2×=2f′(π),又由f(x)=sin x,则f′(x)=cos x,则有f′(π)=cosπ=﹣1,则=﹣2;故答案为:﹣2.【点评】本题考查导数的计算以及导数的定义,涉及极限的计算,属于基础题.40.设函数f(x)的导数为f′(x),且f(x)=x3+f′()x2﹣x,则f′(1)=0.【分析】根据题意,求出函数的导数f′(x)=3x2+2f′()x﹣1,令x=可得:f′()=3()2+2f′()x﹣1,解可得f′()的值,即可得f′(x)的解析式,将x=1代入计算可得答案.【解答】解:根据题意,f(x)=x3+f′()x2﹣x,其导数f′(x)=3x2+2f′()x﹣1,令x=可得:f′()=3()2+2f′()•﹣1,解可得f′()=﹣1,则f′(x)=3x2﹣2x﹣1,故f′(1)=3﹣2﹣1=0,故答案为:0.【点评】本题考查导数的计算,关键是掌握导数的计算公式,属于基础题.41.曲线f(x)=3﹣,在点(0,3)处的切线方程为x+y﹣3=0.【分析】由导数的几何意义得:f′(0)=﹣1,所以在点(0,3)处的切线方程为y﹣3=﹣x,即x+y+3=0,得解.【解答】解:由f(x)=3﹣,则f′(x)=,所以f′(0)=﹣1,所以在点(0,3)处的切线方程为y﹣3=﹣x,即x+y﹣3=0,故答案为:x+y﹣3=0.【点评】本题考查了导数的几何意义,属简单题.42.已知P为函数y=lnx图象上任意一点,点Q为圆x2+(y﹣e2﹣1)2=1上任意一点,则线段PQ长度的最小值为e﹣1.【分析】圆x2+(y﹣e2﹣1)2=1的圆心坐标为:C(0,e2+1).y=lnx对x求导可得:y′=.设与曲线y=lnx相切的切点为M(x0,lnx0),且满足CM与切线垂直.可得•=﹣1,解得x0,进而得出答案.【解答】解:圆x2+(y﹣e2﹣1)2=1的圆心坐标为:C(0,e2+1).y=lnx对x求导可得:y′=.设与曲线y=lnx相切的切点为M(x0,lnx0),且满足CM与切线垂直.则•=﹣1,化为:lnx0+﹣e2﹣1=0,令g(x)=lnx+x2﹣e2﹣1在(0,+∞)上单调递增,且g(e)=0.∴x0=e.∴切点为:(e,1).∴线段PQ长度的最小值=﹣1=e﹣1.故答案为:e﹣1.【点评】本题考查了导数的几何意义、直线与圆的位置关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.43.函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为2x+y﹣3=0,则f(2)+f'(2)=﹣3.【分析】先将x=2代入切线方程可求出f(2),再由切点处的导数为切线斜率可求出f'(2)的值,最后相加即可.【解答】解:由已知切点在切线上,所以f(2)=﹣1,切点处的导数为切线斜率,所以f'(2)=﹣2,所以f(2)+f′(2)=﹣3.故答案为:﹣3.【点评】本题主要考查导数的几何意义,即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率.44.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=1.【分析】求导数得出f′(x)=3ax2+2bx+c,由图象可看出,x=﹣1,2是f(x)的两个极值点,从而得出x=﹣1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根,根据韦达定理即可得出,从而得出,从而得到.【解答】解:f′(x)=3ax2+2bx+c;根据图象知,x=﹣1,2是f(x)的两个极值点;∴x=﹣1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;根据韦达定理,;∴2b=﹣3a,c=﹣6a;∴.故答案为:1.【点评】考查基本初等函数的求导,函数极值点的定义,根据函数导数求极值点的方法.45.如图函数f(x)的图象在点P处的切线为:y=﹣2x+5,则f(2)+f′(2)=﹣1.【分析】根据导数的几何意义和切线方程求出f′(2),把x=2代入切线方程求出f (2),代入即可求出f(2)+f′(2)的值.【解答】解:∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=﹣2x+5,∴f′(2)=﹣2,f(2)=﹣4+5=1,∴f(2)+f′(2)=﹣2+1=﹣1,故答案为:﹣1【点评】本题考查导数的几何意义,以及切点在切线上的灵活应用,属于基础题.46.函数y=(x﹣1)e x的图象在点(1,0)处的切线的斜率是e.【分析】根据在函数图象上某点的切线的斜率是该函数在该点的导数值,从而只需求函数y=(x﹣1)e x在点(1,0)处的导数即可.【解答】解:y′=xe x,∴x=1时,y′=e,∴y=(x﹣1)e x的图象在点(1,0)处的切线的斜率为e.故答案为:e.【点评】本题考查了导数的几何意义,基本初等函数积的导数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题.47.若曲线y=e x+e﹣x的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为ln2.【分析】设切点的横坐标为x0,求导数由题意可得x0的方程,解方程可得.【解答】解:∵f(x)=e x+e﹣x,∴f′(x)=e x﹣e﹣x,设切点的横坐标为x0,可得e x0﹣e﹣x0=整理可得2()2﹣3﹣2=0,解得=2,或=(舍去)∴x0=ln2故答案为:ln2【点评】本题考查导数值与切线斜率的关系,涉及一元二次方程的求解,属基础题.48.已知曲线f(x)=ax2﹣lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为,则f(x)的最小值为.【分析】求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最值即可.【解答】解:f′(x)=2ax﹣,f′(2)=4a﹣=,解得:a=,故f(x)=x2﹣lnx,f′(x)=x﹣=,令f′(x)>0,解得:x>1,令f′(x)<0,解得:0<x<1,故f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,故f(x)min=f(1)=,故答案为:.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题.49.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=3.【分析】因为切点坐标一定满足切线方程,所以据此可以求出f(1)的值,又因为切线的斜率是函数在切点处的导数,就可求出f′(1)的值,把f(1)和f′(1)代入即可.【解答】解:∵点M(1,f(1))是切点,∴点M在切线上,∴f(1)=+2=,∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线的方程是y=x+2,∴切线斜率是,即f′(1)=,∴f(1)+f'(1)=+=3.故答案为:3.【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系,属于导数的几何意义的应用,属于基础题.50.一个物体的位移s(米)和与时间t(秒)的关系为s=4﹣2t+t2,则该物体在3秒末的瞬时速度是4米/秒.【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度,解答本题可以先求s=4﹣2t+t2的导数,再求得t=3秒时的导数,即可得到所求的瞬时速度.【解答】解:∵一个物体的位移s(米)和与时间t(秒)的关系为s=4﹣2t+t2,∴s′=2t﹣2∴该物体在3秒末的瞬时速度是s′|x=3=2×3﹣2=4米/秒,故答案为4米/秒.【点评】本题主要考查了变化的快慢与变化率,正确解答本题关键是理解导数的物理意义,属于基础题.。

高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数优

高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数优

1.2 导数的运算常见函数的导数 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数5分钟训练 (预习类训练,可用于课前)1.f(x)=0的导数是( )A.0B.1C.不存在D.不确定答案:A解析:f(x)=0是常数,常数的导数是0.2.函数y=sinx 的导数为( )A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案:B解析:由常用函数的导数公式可知(sinx)′=cosx.3.函数y=3x-4的导数是( )A.3B.-4C.-1D.12答案:A解析:由函数导数的运算法则知y′=3.4.函数y=x-(2x-1)2的导数是_____________.解析:y=x-4x 2+4x-1=-4x 2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案:5-8x10分钟训练 (强化类训练,可用于课中) 1.y=32x 的导数是( )A.3x 2B.13x 2C.3131--x D.3132-x 答案:D解析:∵y=32x =32x , ∴y′=(32x )′=23132-x =2331-x . 2.y=cosx 在x=6π处切线的斜率为( ) A.23B.23- C.-12D.12 答案:C解析:y′6|π=x =-sin 6π=21-. 3.函数y=sinxcosx 的导数是( )A.sin 2xB.cos 2xC.sin2xD.cos2x答案:D解析:y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos 2x-sin 2x=cos2x.4.函数y=x 2·cosx 的导数为___________.解析:y′=(x 2·cosx)′=(x 2)′·cosx+x 2·(cosx )′=2x·cosx -x 2·sinx.答案:2x·cosx -x 2·sinx5.过原点作曲线y=e x 的切线,则切点的坐标为___________,切线的斜率为___________.解析:将e x 求导知(e x )′=e x .设切点坐标为(x 0,0x e ),则过该切点的直线的斜率为0x e .∴直线方程为y-0x e =0x e (x-x 0).∴y -0x e =0x e ·x -x 0·0x e .∵直线过原点,∴(0,0)符合上述方程.∴x 0·0x e =0x e .∴x 0=1.∴切点为(1,e),斜率为e.答案:(1,e) e6.求下列函数的导数.(1)y=x 4-3x 2-5x+6;(2)y=x·tanx; (3)y=11+-x x ; (4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解:(1)y′=(x 4-3x 2-5x+6)′=(x 4)′-3(x 2)′-5x′+6′=4x 3-6x-5. (2)y′=(x·tanx)′=(xx x cos sin •)′ =x x x x x x x 2cos )'(cos sin cos )'sin (-• =xx x x x x x 22cos sin cos )cos (sin +•+ =xx x x x x x 222cos sin cos cos sin ++• =xxx x x x 222cos sin cos 2sin 21++ =xx x 2cos 222sin +. (3)解法一:y′=(11+-x x )′ =2)1()'1)(1()1()'1(++--+-x x x x x=2)1()1()1(+--+x x x =)1(2+x .解法二:y=112+-x , y′=(112+-x )′=(12+-x )′ =2)1()'1(2)1()'2(++-+-x x x =2)1(2+x .(4)解法一:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.解法二:y=x 3+6x 2+11x+6,∴y′=3x 2+12x+11.30分钟训练 (巩固类训练,可用于课后)1.若y=sint,则y′|t=6π等于( )A.1B.-1C.0D.cost答案:A解析:y′|t=6π=cos6π=1.2.曲线y=2x 3-6x 上切线平行于x 轴的点的坐标是…( )A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)或(1,4)D.(-1,4)或(1,-4)答案:D解析:y′=(2x 3-6x)′=6x 2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x 3-6x,得y=-4或y=4.即所求点的坐标为(1,-4)或(-1,4).3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案:A4.设y=-2e x sinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e x sinxC.2e x sinxD.-2e x (sinx+cosx)答案:D解析:y′=-2(e x sinx+e x cosx)=-2e x (sinx+cosx).5.设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),则f′(0)等于…( )A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案:C解析:∵f(x)=x(x -1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x -1)(x-2)…(x-100)+x·[(x-1)·(x -2)…(x-100)]′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=_______________.解析:∵y=x 3,∴y′=3x 2.∴y=x 3在(a,a 3)点的切线斜率k 为3a 2.∴切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),y=3a 2x-2a 3.令3a 2x-2a 3=0,得x=32a,即y=3a 2x-2a 3与x 轴交点横坐标为32a. 令x=a,得y=3a 2×a -2a 3=a 3,即y=3a 2x-2a 3与x=a 交点纵坐标为a 3.∴S △=21×(a 32-a)×a 3=61.∴a=±1. 答案:±1 7.已知直线l 是曲线y=31x 3+x 的切线中倾斜角最小的切线,则l 的方程是_______________. 解析:∵y′=x 2+1≥1,∴过点(0,0)且斜率为1的切线倾斜角最小.∴直线l 的方程是y=x.答案:y=x8.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解:由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d.于是有⎩⎨⎧=++=+)2(,41)1(,22d b a c a由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=21-. ∴g(x)=x 2+2x 21-. 故g(4)=16+821-=247. 9.设直线l 1与曲线y=x 相切于P,直线l 2过P 且垂直于l 1,若l 2交x 轴于Q 点,又作PK 垂直于x 轴于K,求KQ 的长.解:先确定l 2的斜率,再写出方程,设P(x 0,y 0),则1l k =y′| x=x0=021x . 由l 2和l 1垂直,故2l k =-20x ,于是l 2:y-y 0=-20x (x-x 0),令y=0,则-y 0=-20x (x Q -x 0),即-0x =-20x (x Q -x 0).解得x Q =21+x 0.易得x K =x 0. ∴|KQ|=|x Q -x K |=21. 10.已知抛物线C 1:y=x 2+2x 和C 2:y=-x 2+a.如果直线l 同时是C 1和C 2的切线,称l 是C 1和C 2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a 取什么值时,C 1和C 2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C 1和C 2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.答案:(1)解:函数y=x 2+2x 的导数y′=2x+2,曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)的切线方程是y-(x 12+2x 1)=(2x 1+2)(x-x 1),即y=(2x 1+2)x-x 12.①函数y=-x 2+a 的导数y′=-2x,曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)的切线方程是y-(-x 22+a)=-2x 2(x-x 2),即y=-2x 2x+x 22+a.② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线,则①式和②式都是l 的方程,⎩⎨⎧+=--=+,,1222121a x x x x 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=21-,解得x 1=21-,此时P 与Q 重合,即当a=21-时,C 1和C 2有且仅有一条公切线. 由①得公切线方程为y=x-41. (2)证明:由(1)可知当a<21-时,C 1和C 2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),其中P 在C 1上,Q 在C 2上,则有x 1+x 2=-1,y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a,线段PQ 的中点为(21-,21a +-). 同理,另一条公切线段P′Q′的中点也是(21-,21a +-),所以公切线段PQ 和P′Q′互相平分.。

高中数学总复习函数与导数专题练习

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一、选择题1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A∩(B)等于( )A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}2.设有三个命题,甲:相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l 、m 中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.那么,当甲成立时( ) A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3.已知命题p :“|x -1|>2”,命题q :“x ∈Z ”,如果“p 且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x 为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x ∉Z }B.{x|-1≤x≤3,x Z }C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S),设 A,B 都为有限集合,给出下列命题,其中真命题的序号是( )①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ⊄B 的充分条件是card(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B)A.③④B.①②C.①④D.②③5.(理)已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R },B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ},其中x ,t ∈R ,则A∩B 等于( )A.[-3,-2]B.(-3,-2)C.(-3,-2)D.(-∞,0)∪[2,-∞)(文)已知集合M={(x,y )|y-1=k(x-1),x 、y ∈R },集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R },那么M∩N 中( )A.恰有两个元素B.恰有一个元素C.没有元素D.至多有一个元素6.已知f(x)=-24x -在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( ) A.[-2,2] B.[-2,0] C.[0,2] D.(-2,2)7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++.0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.48.(理)已知x ∈(-∞,1)时,不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立,则a 的取值范围是( ) A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6] (文)函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间(1,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是( )A.[0,1]B.(-∞,-1)C.{-1}D.(-∞,5] 9.若x<0,则函数y=x 2+21x-x-x1的最小值是( )A.-94B.0C.2D.410.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x 2+1,值域为{5,19}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2,则F (f(41),1)等于( )A.-1B.5C.-8D.312.(理)指数函数f(x)=a x (a >0,且a≠1)的图象如图所示,那么方程[f -1(x)]2-2f -1(x)-3=0的解集为( )A.{-1,3}B.{271,3}C.{271} D.{31,27}(文)已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f -1(x)的图象是( )13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈[0,2π]时,f(x)=sinx ,则f(35π)的值为( )A.-21 B.21 C.-23 D. 2314.函数y=(21)x与函数y=-162x的图象关于( )A.直线x=2对称B.点(4,0)对称C.直线x=4对称D.点(2,0)对称15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥<,1x,log 1,x 1),-0.5)(x -(a a x 在(-∞,+∞)内是减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,0.5)C.(-∞,0.5)D.(0.5,1) 16.函数f(x)=32x 3-2x+1在区间[0,1]上是( )A.单调递增的函数B.单调递减的函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 17.曲线y=31x 3-x 2+5在x=1处的切线的倾斜角是( )A.6πB.3πC.4πD.34π18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中,有一个是函数f(x)=31x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)等于( )A.31 B.-31 C.37 D.-31或3520.点P 的曲线y=x 3-x+32上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )A.[0,2π] B.[0,2π]∪[43π,π]C.[43π,π] D.(2π,43π]21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈[m,n ]且f(m)·f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[m,n ]上( )A.至少有三个实数根B.至少有两个实根C.有且只有一个实数根D.无实根22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 21x 的图象重合,则f(x)是( )A.y=2-xB.y=2log 4xC.y=log 2(x+1)D.y=21·4x23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=xx f )(在间(1,+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行,则函数f(x)的单调减区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,+∞)25.设点P 是曲线:y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点,P 点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( ) A.[32π,π]B.(2π,65π) C.[0,2π]∪[65π,π] D.[0,2π)∪[32π,π)二、填空题26.下列判断:(1)命题“若q 则p”与命题“若」p 则」q”互为逆否命题;(2)“am 2<bm 2”是“a<b”的充要条件;(3)“矩形的两条对角线相等”的否命题为假;(4)命题“⊂φ{1,2}”为真.则正确说法的序号为_________________.27.(理)已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③,则实数m 的取值范围是___________.(文)已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________.28.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x),图象如图所示.对满足0<x 1<x 2<1的任意x 1,x 2,给出下列结论:①f(x 1)-f(x 2)>x 1-x 2; ②x 2f(x 1)>x 1f(x 2); ③2)()(21x f x f +<f(221x x +).其中正确结论的序号是________________(把所有正确结论的序号都填上).29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2+cx 的图象过点A(1,4),且当x=2时,y 有极值0,则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件:①定义域为R ,②是偶函数,③值域是(0,1],④不是周期函数.(只写出满足条件的一个答案即可)三、解答题31.在M={x||x-1|>4},P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下:(1)求a 的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件;(2)求a 的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.32.在等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,若S m ,S m+2,S m+1成等差数列,则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明.33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0,2]上有最小值3,求a 的值.34.已知对于x 的所有实数值,二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的,求关于x 的方程2+a x =|a-1|+2的根的取值范围.35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,当x≤0时,f(x)=193x+x-21.(1)判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性; (2)求y=f(x)的值域; (3)求不等式f(x)>31的解集.36.定义在(-1,1)上的函数f(x),①对任意x ,y ∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f(xyy x ++1);②当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题:(1)判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; (3)(理)若f(51)=21,试求f(21)-f(111)-f(191)的值.37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ,g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行,求a 的值;(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根,求a 、b 的值;并求此时函数y=f(x)的单调区间.38.一水渠的横截面如下图所示,它的横截面曲线是抛物线形,AB 宽2m ,渠OC 深为1.5m ,水面EF 距AB 为0.5m.(1)求截面图中水面宽度;(2)如把此水渠改造成横截面是等腰梯形,要求渠深不变,不准往回填土,只准挖土,试求截面梯形的下边长为多大时,才能使所挖的土最少? 39.已知平面向量a=(23,-21),b=(21,23).(1)证明:a ⊥b;(2)若存在不为零的实数t,x,y ,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式; (3)若t ∈[6,+∞],当f(x)在区间[0,1]上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)=bx ax +2,在x=1处取得极值为2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间(m ,2m +1)上为增函数,求实数m 的取值范围; (3)若P (x 0,y 0)为f(x)=bx ax +2图象上的任意一点,直线l 与f(x)=bx ax +2的图象相切于点P ,求直线l 的斜率的取值范围.(文)已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. (1)求f(x)-f(0)的表达式; (2)若对任意的x ∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,求f(0)的取值范围.高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D解析:∵B={1,3,4},∴A∩(B)={1,3}.2. C解析:乙成立时,平面α、β有交点,即丙成立;当丙成立时,若直线l 、m 均不相交,则l 、m 与平面α、β的交线平行,此时l ∥m ,与甲矛盾,故乙也成立,即乙是丙的充要条件. 3. C解析:∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假,q 为真,又|x-1|>2⇔x<-1或x>3, ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ,即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析:令A={1},B={2},则card(A)=card(B),故④为假,排除A 、C ;又令A={1},B={1,2},则card(A)≤card(B),A ⊆B ,排除③,故选B. 5.(理)B解析:{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解, 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解, 故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0, ∴B={t|t≤-2或t≥0},A∩B=(-3,-2]. (文)A解析:直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点(1,1)且斜率存在,故直线与圆相交(不相切),即选A.6. B解析:∵-4-x 2∈[-2,0],∴M ⊆[-2,0],故选B. 7. C 解析:⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0),f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.(理)B解析:设t=2x,t ∈(0,2],则1+2x+(a-a 2)4x>0⇔a 2-a<21tt +=(t1+21)2-41.∵t ∈(0,2),t 1∈[21,+∞], ∴(t 1+21)2-41∈[43,+∞],∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.(文)A解析:令a=-1,则f(x)=-x 2+4x+1,易知不满足题意,排除B 、C 、D ,选A. 9. D 解析:y=(x+x 1)2-(x+x1)-2=(x+x1-21)2-49,令t=x+x1,因x<0,故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在(-∞,-2)递减,∴ y min =(-2-21)2-49=4.10. B解析:令2x 2+1=5,则x=±2;令2x 2+1=19,则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素,故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种,即“孪生函数”有9个. 11. A 解析:f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1.12.(理) B 解析:f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ,由原方程得 f -1(x)=-1或3,故x=3或271.(文)D解析:根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析:f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin3π=23.14. D解析:设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点,关于点(2,0)对称点为(x,y ),则x 0=4-x,y 0=-y,又y 0=(21)x0,故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x,故选D.15. B解析:⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析:f′(x)=2x 2-2,当 x ∈[0,1]时,f′(x)<0, 故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减.17. D 解析:∵y′|x=1=(x 2-2x )|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π.18. A解析:y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y ′=0,得x=2或x=-1(舍).∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15. 19. B 解析:∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1,又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个,知f′(0)=0,故a=-1,f(-1)=-31+a+1=-31.20. B解析:设点P(x 0,y 0),在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1,又∵0≤α≤π,∴α∈[0,2π]∪[43π,π].21. C解析:f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在[m,n ]单调递减,又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间[m,n ]上有且只有一个实数根. 22. D解析:y=2-x 与y=21logx 的图象关于直线y=x 对称;y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称;y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21logx 的图象,故排除A 、B 、C ,选D.23. C解析:f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,故a<1, 而g(x)=x+xa -2a ,g′(x)=1-2xa .∵x>1,a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在(1,+∞)递减. 24. B解析:∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx, ∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析:∵y′=3x 2-3≥-3,∴tanα≥-3, 又α∈[0,π],∴α∈[0,2π]∪[32π,π].二、填空题26.(1)(3)(4) 解析:(2)错在当m=0时不成立,其他根据概念即可判断. 27.(理)m≤9解析:同时满足①②的x 的范围为2<x<3,要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立,则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0,解得m≤9. (文)(-3,23)解析:只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3<p <23或21-<p <1,∴p ∈(-3,23).28.②③解析:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ,故①错,②对,又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方,故③正确. 29. -4解析:∵f′(x)=3ax 2-2bx+c,∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4, ∴b=5411+a ,c=51616a-.所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.(21)|x|等解析:f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解:由题意,M={x|x<-3或x>5},P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.(1)只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.(2)只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解:(1)逆命题:在等比数列 {a n }中,前n 项和为S n ,若a m ,a m+2,a m+1成等差数列,则S m ,S m+2,S m+1成等差数列;(2)设{a n }的首项为a 1,公比为q ,则2a m+2=a m +a m+1,于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0,化简上式得2q 2-q-1=0, 解得q=1或q=-21,当q=1时,∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=(m+1)a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列;当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m ma a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ,∴S m +S m+1=2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1成等差数列;综上得,当公比q=1时,逆命题为假,当q=-21时,逆命题为真.33.解:函数图象的对称轴为x=2a ,①当2a <0即a<0时,f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2(舍),②当0≤2a ≤2即0≤a≤4时,f(2a )=3,∴a=-21(舍),③当2a >2即a>4时,f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3,∴a=5+10或5-10(舍),综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2,(1)当-23≤a <1时,原方程化为x=-a 2+a+6,∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425, ∴当a=-23时,x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时,x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时,x min =6,当a=2时,x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述,49≤x≤12.35.解:(1)设 x 1<x 2<0,则31x <32x ,321x x +<1,∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x -19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x =)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x x x <0,∴f(x 1)<f(x 2),即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数. (2)∵0<193+xx =xx3131+≤21,∴当x≤0时, f(x)=193+x x-21∈(-21,0];当x>0时,f(x)=21-193+xx+1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21).(3)∵f(x)=(-21,21),又∵f(x)>31,∴f(x)∈(31,21),此时f(x)=21-193+xx(x>0),令21-193+xx>31,即193+xx<61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x>3+22⇒x>log 3(3+22), ∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞).36.解:(1)令x=y=0⇒f(0)=0,令y=-x ,则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在(-1,1)上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --),而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时,f(x 1)>f(x 2). ∴f (x )在(0,1)上单调递减.(3)(理)由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31),f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51),∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1.37.解:f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. (1)f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23.(2)令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3, ∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)的单调递减区间是[0,2],递增区间是(-∞,0),[2,+∞]. 38.解:(1)建立如图所示坐标系,则抛物线方程为x 2=32(y+23),当y=-0.5时,x=±36,∴水面宽EF=362m.(2)如上图,设抛物线一点M(t,23t 2-23)(t>0),因改造水渠中需挖土,而且要求挖出的土最少,所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ,∴过点M 的切线斜率为3t ,切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t).令y=0,则x 1=tt 212+,令y=-23,则x 2=2t ,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少,此时下底宽22m.答:故截面梯形的下底边长为0.707米宽时,才能使所挖的土最少. 39.(1)证明:∵a·b=23⨯21-21⨯23=0,∴a ⊥b.(2)解:c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解:若存在t 满足条件,则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t ,当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在[0,6t ]上递增;当x>6t时,f′(x)<0,f(x)在(6t ,+∞)上递减.∴t≥6时,f(x)在[0,1]递增,f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈[6,+∞).综上,存在常数t=8,使f(x)有最大值为12. 40.(理)解:(1)已知函数f(x)=bx ax +2,∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+,又函数f(x)在x=1处取得极值2,∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x .(2)∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x.由f′(x)>0,得4-4x 2>0,即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x 的单调增区间为(-1,1).因函数f(x)在(m ,2m +1)上单调递增,则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0,即m ∈(-1,0)时,函数f(x)在(m ,2m +1)上为增函数. (3)f(x)=142+x x ,∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x ,直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4[11)1(220220+-+x x ].令1120+x =t ,t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈[-21,4],即直线l 的斜率k 的取值范围是[-21,4][或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程,根据该方程有非负根求解]. (文)解:(1)设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.(2)f′(x)=3x2-6x+3.对任意的x∈[-1,4],f(x)>f′(x)⇔f(x)-f′(x)=x3-6x2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x3+6x2-9x+3.∵F′(x)=-3x2+12x-9,当x∈[-1,1)时,F′(x)<0;当x=1或3时,F′(x)=0,当x∈(1,3)时,F′(x)>0;当x∈(3,4]时,F′(x)<0,又F(-1)>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在[-1,4]上的最大值为F(-1)=19,f(0)的取值范围是(19,+∞).。

高中数学导数及微积分练习题

高中数学导数及微积分练习题

1.求导:(1)函数 2cos x x 的导数为(2)y =(x +2);(3)y =(1+ x )2(4)y =3x 2+ ;(5)y =x 2(2x -) . (6)已知y =3),则y ′=1=.2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ).(A).54(B).52 (C).51 (D).53 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ⋅的值为( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定34.()34([0,1])1()1()()0()12f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( )5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ).(A).3V (B).32V (C).34V (D).32V6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18(B).338(C).316 (D).167.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61,则=a 。

8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值.9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.10、已知f (x )32,在x =1与x =-2时,都取得极值。

⑴求a ,b 的值;⑵若x ∈[-3,2]都有f (x )>112c -恒成立,求c 的取值范围。

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1、讨论函数在内的单调性
2、作出函数22||3y x x =--的图像,指出单调区间和单调性
3、求函数[]()251x f x x =
-在区间,的最大值和最小值
4
、使函数y =
的最小值是
2的实数a 共有_______个。

5、已知函数()f x 的定义域为R ,且对m 、n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12
x >-时,()0f x > (1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.
6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数,且(1)(23)f x f x -<-,求x 的取值范围。

四、强化训练
1、已知()f x 是定义在R 上的增函数,对x R ∈有()0f x >,且(5)1f =,设1()()()F x f x f x =+,讨论()F x 的单调性,并证明你的结论。

2、设函数2
()22f x x x =-+(其中[,1]x t t ∈+,t R ∈)的最小值为()g t ,求()g t 的表达式
3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足:(1)(2)1f =;(2)()()()f xy f x f y =+;
(3)当x y >时,有()()f x f y >,若()(3)2f x f x +-≤,求x 的取值范围。

4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈,
都满足()()()f ab af b bf a =+
(1)求(0)f ,(1)f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并加以证明
223f(x)x ax =-+(2,2)-
1
、判断下列函数的奇偶性:①()f x =
()f x = ③()|1||1|f x x x =++-;④ 2、下列判断正确的是( ) A .函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B
.函数()(1f x x =- C
.函数()f x x = D .函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 3
、已知()f x = ( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶 D .非奇非偶
4、定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()2F x af x bg x =++,且()f x 在区间(0,)+∞上的最大值是5,则()F x 在(,0)-∞上的最小值为________________
5、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞
时,(1)(f x x +
=,求()f x .
6、若()f x 在[5,5]-上是奇函数,且(3)(1)f f <,则( )
A .(1)(3)f f -<-
B .(0)(1)f f >
C .(1)(1)f f -<
D .(3)(5)f f ->-
7、若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,在(,0]-∞上是减函数,且(2)0f =,则使得()0f x <的x 的取值范围是
A .(,2)-∞
B .(2,)+∞
C .(,2)(2,)-∞-+∞
D .(2,2)-
四、强化训练
1、已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+,且当1x >时,()0f x >,(2)1f =,
(1)求证:()f x 是偶函数;(2)求证:()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)试比较5()2f -与7()4f 的大小;
2、若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()y f x =的图像关于直线12x =
对称, 则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=____________
2(),[2,3]f x x x =∈-。

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