高中数学B版必修1第三章3.4数学建模活动：数学建模论文示例 2个课时

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数学人教B必修第一册：数学建模活动 PPT模板

对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。
这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位. 例如，当C0=10，a= 时，有Y=5I+50，因此：如果投资I=10，那么Y=5×10+50=100；如果投资l=15，那么Y=5×15+50=125. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位。
此时，C0
国民收入、消费与投资的关系
4.验证结果、改进模型
怎样才能确定上述f（x），g（t），h（t）呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。
我们可以假设f（x）和g（t）都是一次函数，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假设h（t）是一个二次函数，且h（t）=at2+bt+c.
则有
z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2 ）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.
国民收入、消费与投资的关系
2.分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系. 为了简单起见，可以做出以下假设：（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；（2）收入只用于投资和消费；（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a. 值得注意的是，以上假设都是合理的。例如一个家庭的收入，一般面言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）。由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为

高中数学人教B版必修第一册《34_数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》(有答案)

人教B 版必修第一册《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》同步练习卷一、选择题1. 某购物网站在2013年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42. 一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的a 倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（） A.√a 11−1 B.√a 12−1C.a11D.a123. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（） A.6升 B.8升C.10升D.12升4. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低（）元． A.2元 B.2.5元C.1元D.1.5元5. 如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（）（单位：cm 2）．A.8B.10C.16D.206. 某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元（不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的（）A. B.C. D.7. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=，剩余续航里程=）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A.等于12.5B.12.5到12.6之间C.等于12.6D.大于12.68. 如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）A.248m2B.288m2C.328m2D.368m29. 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n−10)，n>10（其中n是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元），而k(n)＝，现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多（）A.600元B.900元C.1600元D.1700元二、填空题《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两________文．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：f(x)={−720x+1,0<x≤11 5+920x−12,1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有________．（注：请写出所有正确结论的序号）有一批材料可以建成360m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），则围成场地的最大面积为8100m2（围墙厚度不计）．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示），则占地面积的最小值为648m2．三、解答题如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S(x)；（2）求广告牌的面积的最小值．某地的出租车价格规定：起步费11元，可行驶3千米；3千米以后按每千米2.1元计价，可再行驶7千米；以后每千米都按3.15元计价．（1）写出车费y（元）与行车里程x（千米）之间的函数关系式．（2）在右侧的坐标系中画出（1）中函数的图象．（3）现某乘客要打车到14千米的地方，有三个不同的方案打出租车．甲方案：每次走完起步费的路程后就重新打出租车，直到走完全部路程；乙方案：先乘出租车走完10千米的路程，再重新打出租车一直走完剩下的路程；丙方案：只乘一辆出租车到底．试比较哪种方案乘客省钱？某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元∼1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为y＝f(x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25, 1600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；（3）f(x)≤x恒成立．）5+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（1）判断函数f(x)=x30（2）已知函数g(x)=a√x−5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝a+2，设甲城市的投入为3√2a−6，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q=14x（单位：万元），两个城市的总收益为f(x)（单位：万元）．（1）求f(x)及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？沙市中学“习坎服务部”对某种新上市的品牌商品进行促销活动，已知此品牌的一个水杯定价20元，一个钥匙扣定价5元，且该服务部推出两种优惠活动方式；（1）买一个水杯赠送一个钥匙扣；（2）按购买两种商品的总费用90%付款若某宿舍4位同学需集体购买水杯4个，钥匙扣x个（不低于4个），试按两种不同优惠方式写出实付款y元关于x的函数关系式，并讨论选择那种购买优惠方式更划算？我国开展扶贫T作始于上世纪80年代中期，通过近30年的不懈努力，很多贫困地区和家庭都已脱贫致富，扶贫T作取得了举世公认的辉煌成就．2013年11月，习总书记又作出了“精准扶贫”的重要指示，我国于2014年开始全面推动了“精准扶贫”的工作．某单位甲在开展“精准扶贫”中，为帮扶“精准扶贫”对象--农户乙早日脱贫致富，与乙协商如下脱贫致富方案：让乙种植一年生易种药材，当乙种植面积不超过4亩时，甲投入2万元的成本；当乙种植面积超过4亩时，每超过1亩（不足1亩时按1亩计算），甲再追加投入2千元的成本，且甲投入的成本乙必须全部用于该药材种植．而每年该药材的总收益R(x)（单位：元）满足R(x)＝−100x2+3200x+45000（其中x为种植药材面积，其单位为亩，且x∈N∗，x≤20）．(l)试表示甲这一年扶贫乙时所投入的成本g(x)（单位：元）关于种植该药材面积x的函数；试表示乙这一年的纯收益f(x)（单位：元）（注：纯收益一总收益一成本），当乙种植多少亩该药材时，才能使他当年的纯收益最大？其最大纯收益为多少元？参考答案与试题解析人教B版必修第一册《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳售出时间点》同步练习卷一、选择题1.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用【解析】因是选择题，可进行分步计算，用42=9+11+11+11易得．【解答】解：∵原价是：48×42=2016(元)，2016×0.6=1209.6(元)，∵每张订单金额（6折后）满300元时可减免100，∴若分成10，10，11，11，由于48×10=480，480×0.6=288，达不到满300元时可减免100，∴应分成9，11，11，11．∴只能减免3次.故选C．2.【答案】A【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】设月平均增长率为x，建立方程关系，进行求解即可．【解答】解：设月平均增长率为x，一月份的产量为1，∵一年中12月份的产量是1月份产量的a倍，∴(1+x)11=a，11，即1+x=√a11−1，即x=√a故选：A3.【答案】C【考点】函数的概念及其构成要素【解析】根据题意及表中数据可看出，行驶600公里，用60升油，从而可求出该车每100千米的平均耗油量．【解答】由题意知，行驶600公里，用油60升；∴在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为10升．4.【答案】D【考点】函数模型的选择与应用二次函数的性质【解析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．【解答】解：设每件降价0.1x元，则每件获利(4−0.1x)元，每天卖出商品件数为(1000+100x)．经济效益：y=(4−0.1x)(1000+100x)=−10x2+300x+4000=−10(x2−30x+225−225)+4000=−10(x−15)2+6250．∴x=15时，y max=6250．即每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．故选D．5.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】连接OC，设|OB|＝x(0<x<4)，将BC用x表示，得出矩形ABCD面积的表达式，再利用基本不等式可求出该矩形面积的最大值．【解答】如图所示，连接OC，设|OB|＝x(0<x<4)，则|BC|＝，又|AB|＝2|OB|＝2x，∴矩形ABCD的面积为S＝|AB|⋅|BC|＝2x•＝2≤(16−x2)+x2＝16，当且仅当16−x2＝x2，即x＝2时，等号成立，6.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定．【解答】解：∵出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km），∴(0, 3]对应的值都是5，∵以后每1km价为1.8元，∵不足1km按1km计价，∴3<x≤4时，y=5+1.8=6.8，4<x≤5时，y=5+1.8+1.8=8.6，故选：B7.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据累计耗电量公式计算．【解答】4100×0.126−4000×0.125＝516.6−500＝16.6．8.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式及其应用【解析】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，得3xy＝200，可得试验田ABCD的面积S＝(3x+4)(y+2)，然后利用基本不等式求最值．【解答】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy＝200，∴y＝，即矩形区域ABCD的面积：S＝(3x+4)(y+2)＝(3x+4)（+2)＝208+6x+≥208+2＝368．当且仅当6x＝，即x＝20时取“＝”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为368平方米．9.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型众数、中位数、平均数【解析】由已知求得k(18)与k(21)，进一步求得f(18)与f(21)的值，作差得答案．【解答】∵k(18)＝200（元），∴f(18)＝200×(18−10)＝1600（元），又∵k(21)＝300（元），∴f(21)＝300×(21−10)＝3300（元），∴f(21)−f(18)＝3300−1600＝1700（元）．二、填空题【答案】6【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】设肉价是每两x文，由题意得16x−30＝8x+18，解得x＝6，即肉价是每两6文．【答案】①②【考点】命题的真假判断与应用【解析】由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由f(9)的值可判断②；由f(26)的值可判断③．【解答】f(x)={−720x+1,0<x≤11 5+920x−12,1<x≤30.，可得f(x)随着x的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)=15+920x−12，f(9)=15+920⋅9−12=0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)=15+920⋅26−12>15，故③错误．【答案】8100【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，再利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值．【解答】设每个小矩形的高为am，则长为b＝(360−4a)m，记面积为Sm2则S＝3ab＝a⋅(360−4a)＝−4a2+360a(0<a<90)∴当a＝45时，S max＝8100(m2)∴所围矩形面积的最大值为8100m2【答案】648【考点】根据实际问题选择函数类型基本不等式及其应用【解析】设游泳池的长为xm，占地面积为ym2，则游泳池的宽为m，依题意写出函数y的解析式，再利用基本不等式求最值．【解答】设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为m，再设占地面积为ym2，依题意得，y＝(x+8)（+4)＝424+4(x+）≥424+8＝648，当且仅当x＝，即x＝28时，取“＝”．∴占地面积最小为648m2．三、解答题【答案】依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，所以，且x>1，所以广告牌的面积s(x)＝tx＝(x>1)．由（1）知，s(x)＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s(x)min＝s(7)＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．【考点】基本不等式及其应用（1）依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，整理即可求解；（2）由（1）知，s(x)＝tx＝，分离后利用基本不等式可求．【解答】依题意广告牌的高为tm，则(x−1)(t−1.25)＝45，所以，且x>1，所以广告牌的面积s(x)＝tx＝(x>1)．由（1）知，s(x)＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s(x)min＝s(7)＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．【答案】y＝，甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；乙方案：10千米的路程费用为y＝2.1×10+4.7＝25.7（元），剩下的4千米的费用：y＝2.1×4+4.7＝13.1（元）乙方案共计费用为25.7+13.1＝38.8（元），丙方案：3.15×14−5.8＝38.3（元）所以，丙方案乘客省钱．根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据题意列出在不同范围内是的函数表达式，得出分段函数；（2）参考点：A、横纵坐标单位刻度可以不一致，要标注x、y轴的单位；B、要体现出关键点对应的横、纵坐标；C、要是三条折线（段）；D、与y轴的交点要画小圆圈．（3）别计算不同的函数值，比较即可．【解答】y＝，甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；乙方案：10千米的路程费用为y＝2.1×10+4.7＝25.7（元），剩下的4千米的费用：y＝2.1×4+4.7＝13.1（元）乙方案共计费用为25.7+13.1＝38.8（元），丙方案：3.15×14−5.8＝38.3（元）所以，丙方案乘客省钱．【答案】对于函数模型f(x)=x30+10，当x∈[25, 1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)=1603+10≤75，显然恒成立，若函数f(x)=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f(x)=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x30+10，不符合公司要求；x∈[25, 1600]时，g(x)＝a√x−5有意义，∴g(x)max＝a√1600−5≤75，∴a≤2，设a√x−5≤x5恒成立，∴ax≤(5+x5)2恒成立，即a≤25x +2+x25，∵25x +x25≥2√25x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1, 2]【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；（2）先求出g(x)max＝a√1600−5≤75，此时a的范围，再求出满足f(x)≤x5恒成立a 的范围，即可求出【解答】对于函数模型f(x)=x30+10，当x∈[25, 1600]时，f(x)是单调递增函数，则f(x)≤f(1600)=1603+10≤75，显然恒成立，若函数f(x)=x30+10−x5≤0恒成立，即x≥60∴f(x)=x30+10不恒成立，综上所述，函数模型f(x)=x30+10，满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)=x30+10，不符合公司要求；x∈[25, 1600]时，g(x)＝a√x−5有意义，∴g(x)max＝a√1600−5≤75，∴a≤2，设a√x−5≤x5恒成立，∴ax≤(5+x5)2恒成立，即a≤25x +2+x25，∵25x +x25≥2√25x⋅x25=2，当且仅当x＝25时取等号，∴a≤2∵a≥1，∴1≤a≤2，故a的取值范围为[1, 2]【答案】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元．∴f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2=−14x+3√2x+26，依题意得{x≥40120−x≥40，解得40≤x≤80．故f(x)=−=−14x+3√2x+26，(40≤x≤80)．令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．∴y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．当t＝6√2，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元，f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2，即可得出．（2）令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120−x万元．∴f(x)＝3√2x−6+14(120−x)+2=−14x+3√2x+26，依题意得{x≥40120−x≥40，解得40≤x≤80．故f(x)=−=−14x+3√2x+26，(40≤x≤80)．令t=√x，则t∈[2√10, 4√5]．∴y=−14t2+3√2t+26=−14(t−6√2)2+44．当t＝6√2，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【答案】：y1＝80+5(x−4)＝60+5x，x≥4且x∈N，优惠办法：y2＝(80+5x)⋅90%＝72+4.5x，x≥4且x∈N，当y1−y2＝0.5x−12＝0时，解得x＝24．故当4≤x<24时用第一种方案，x＝24时两方案一样，x>24时，采用第二种方案．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据购买的总费用＝水杯的费用+钥匙扣的费用，建立关系式就可以；分3种情况讨论，当y1>y2，y1＝y2，y1<y2时分别求出x的值即可．【解答】：y1＝80+5(x−4)＝60+5x，x≥4且x∈N，优惠办法：y2＝(80+5x)⋅90%＝72+4.5x，x≥4且x∈N，当y1−y2＝0.5x−12＝0时，解得x＝24．故当4≤x<24时用第一种方案，x＝24时两方案一样，x>24时，采用第二种方案．【答案】（1）由题意，g(x)＝＝；（2）f(x)＝．当0<x≤4时，f(x)为增函数，∴f(x)max＝f(4)＝36200；当4<x≤20时，f(x)＝−100(x−6)2+36600．故当x＝6时，f(x)max＝36600．又36600>36200．故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）直接由题意可得g(x)关于种植该药材面积x的函数；（2）写出一年的纯收益f(x)，利用配方法求出两段的最值，取最大值得答案．【解答】（1）由题意，g(x)＝＝；（2）f(x)＝．当0<x≤4时，f(x)为增函数，∴f(x)max＝f(4)＝36200；当4<x≤20时，f(x)＝−100(x−6)2+36600．故当x＝6时，f(x)max＝36600．又36600>36200．故当乙种植该药材的面积为6亩时，其纯收益最大，且最大纯收益36600元．。

高中数学北师大版必修一数学建模的主要步骤课件

即 t^2-25t+150≤0，解得10≤t≤15.
即税率应控制在10%-15%为宜.
环节三
学习与反思
检测
1.某新产品投放市场后第一个月销售
100台，第二个月销售200台，第三个
月销售400台，第四个月销售790台，
则下列函数模型中能较好地反映销量
y与投放市场的月数x之间关系的是
(
)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋
一般不容易求得精确值,这就
要根据需要求近似解.
(4)检验结果
用实际现象或数据检验求得
的解是否符合实际.如果不符
合实际情况,就要重新建模.
环节二
案例分析
案例分析
例1.某工厂今年1月、2月、3月生产
某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3
万件.为了估计以后每个月的产量，
以这三个月的产品数量为依据，用一
设围成的矩形场地的长为x m，
－
－
则宽为
m，则S＝
＝ (－

x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．
检测
3.已知投资x万元经销甲商品所获得

的利润为P＝；投资x万元经销乙商

品所获得的利润为Q＝

(a＞0)．
若投资20万元同时经销这两种商品或
个函数来模拟该产品的月产量y与月
份x的关系.模拟函数可以选择二次函
数或函数y=a•bx+c(其中a，b，c为常
数)，已知4月该产品的产量为1. 37万
件，试问用以上哪个函数作为模拟函
数较好？并说明理由
解：由题意，设 1 =
= 2 +qx+r(p≠0),

高一【数学(人教B版)】数学建模活动(1)-教学设计

14 分钟
最低？消费者：什么时候是买苹果的最佳时间？
营销者：什么时候是卖苹果的最佳时间？
2. 分析问题、建立模型：
（1）明确问题：苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间
点。
（2）必要假设，简化问题：
i.除储存成本外，无其他成本
ii.你具有的苹果数量是个定值。（如：果园产量为定值）
iii.苹果都能售出。
计算出参数 k1, l1, k2 ,l2 , a,b, c
iv. 确定函数模型；确定函数：
y f (x) 0.5x 5 C g(t)=0.01t 0.1
x h(t)=0.002t2 0.14t 9.6
因此，我们可以得到收益关于时间的函数：
z 0.001t2 0.06t 0.1
z y C f (x) g(t) f (h(t)) g(t)
k1at 2 (k1b k2 )t k1c l1 l2
3. 确定参数、计算求解: ii. 收集数据；
x / 万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t /天 C/元
1 0.11
2 0.12
t /天 x / 万吨
1 9.462
但是，应用题的数量关系是确定的，答案当然也是确定的，相比应用题，
数学建模
（1）（2）
（3）（4）
问题是自己发现、提出的；数量关系是自己分析出来的；数据是自己收集的；函数关系或者说数学模型是自己建立的
课时小结 3分钟
实际问题
数学抽象
实际问题
还原说明
数学模型推理验算
数学模型
2 9.328
3 9.198
iii. 代入确定参数；

2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版

2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集

第五章统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用第三章函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用本书拓展阅读目录对数发明起源的简介素数个数与对数指数运算与生活哲学我国古代统计工作简介用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率向量的推广与应用
人教B版（2019）必修三第七章三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角与斜率
11.1 空间几何体

人教版(B版)高中数学必修第2册数学建模活动(3)

提出问题建立模型参数求解模型检验
你能进一步改进这个模型吗？
可以以第9段为界分段描述或者更换函数模型.
若以第9段为界分段描述：将 H (9) 153.6, H (11) 180.79 代入 H (x) AeBx ，可解得：
H (x) 74.096e0.081x ,
所以
0.458e0.670x , H (x) 74.096e0.081x ,
年龄/岁身高/cm 年龄/岁身高/cm
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
你能看出7岁以下女童身高的哪些生长规律？
0
-3.53 0
0
x 8, x 9.
4 7.73
6.68 -1.05
10 174.9
-8.34
69.56
5 16.55 13.05 -3.5
11 180.79
0
0
6 经计算， 32.55 在H(x)模型 25.51 下，误差的 -7.04 平方和约为
145.06.
因此，我们可以通过计算不同模型下误差的平方和来比较模型之间的优劣. 在玉米植株生长规律问题中，
对于女童身高生长规律问题，利用
提出问题
g(x) 26.7 x 49.7 计算对应函数值，可得下表：
年龄/岁 0 0.5
1
1.5
2
2.5
3 建立模型
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
g(x) 49.7 68.6 76.4 82.4 87.5 91.9 95.9 参数求解

新教材人教B版必修一第三章3.4数学建模活动：数学建模论文示例第2课时

.4 数学建模活动：数建模论文示例》
主讲人：王光图潍坊一中
一、提出问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果和展示解决实际问题的过程，我们还需要将建模结果整理成论文的形式.
一、提出问题
一般情况下，数学建模的论文的结构可以按照建模的过程来确定，一般结构为：
论文标题
一、背景介绍
五、数据的收集和模型的求解
二、问题提出与分析
六、模型的检验
三、模型假设与符号说明
七、模型的评价
四、模型的建立
八、作者，摘要，参考文献，附录等
二、分工合作、完成论文
以“决定苹果的最佳出售时间点”或者“停车距离的数学模型”
为例或者自行选择题目，完成数学建模论文写作. 分工合作：一般情况下，对于一些综合性比较强的问题而言，数学
建模的过程中需要做的事情比较多，比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模型将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等，因此数学建模的过程中，往往采用分工合作的方式进行.一般来说，一个数学建模小组由3-4人组成.
理想的小组中，既要有数学基础扎实的同学，也要有能熟练使用计算机的同学，还要有写作表达能力强的同学.
谢谢看
观

高中数学第四章数学建模活动三1数学建模实例课件(1)北师大版选择性必修第一册

系:an+1=an+5,a1=220;bn+1=bn+1,b1=34.由此得到an=215+5n和bn=33+n,于
是有bn=0.2an-10.
进一步,将脚长和对应的鞋号记作(a,b),在平面直角坐标系中描点,视察到
线性关系,然后建立关系式b=0.2a-10.
构建数据表,利用计算工具的电子表格作出散点图,选择几种函数模型进行
二档、第二档与第三档的两个电量临界值,即75%和95%这两个电量临界
值.
通过样本估计总体百分位数的要领是对样本数据进行排序,得到有序样本
(在统计学中称之为顺序统计量).
利用电子表格软件,对上面的样本数据进行排序,可以得到下面的结果:
8
18
22
31
42
48
49
50
51
56
57
57
60
61
61
61
62
社会上对这种制定阶梯电价的原则和方法存在不同意见,教师可以引导学
生讨论制定合理阶梯电价的原则和方法.
本课结束
知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中
阶段数学课程的重要内容.
本专题在必修课程和选择性必修课程的基础上,通过具体实例,建立一些基
于数学表达的经济模型和社会模型,包括存款贷款模型、投入产出模型、
经济增长模型、凯恩斯பைடு நூலகம்型、生产函数模型、等级评价模型、人口增长
模型、信度评价模型等.在教学活动中,要让学生知道这些模型形成的背景、
(3)当a=282时,代入公式b=0.2a-10,得b=46.4.分两种情况:如果简单地进行
“四舍五入”,那么选46号鞋;如果想穿鞋不挤脚,可以选47号鞋.

高中数学人教B版教材目录

高中数学人教B版教材目录高中数学（B版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累──自学成才的华罗庚第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程本章小结（1）阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）实习作业本章小结阅读与欣赏对数的发明对数的功绩附录1科学计算自由软件──SCILAB简介附录1部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体实习作业1．2点、线、面之间的位置关系本章小结第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2直线方程2．3圆的方程2．4空间直角坐标系本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例本章小结附录参考程序第二章统计2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量的相关性实习作业本章小结阅读与欣赏附录随机数表第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3．4概率的应用本章小结阅读与欣赏后记高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质数学建模活动本章小结阅读与欣赏第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用本章小结阅读与欣赏第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例实习作业本章小结阅读与欣赏第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列本章小结阅读与欣赏第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-1选修1－1扉页本册导引编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线级其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修1-2封面扉页编写人员版权页本册导引目录第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法本章小结阅读与欣赏复平面与高斯第四章框图4.1 流程图4.2 结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-1选修2-1扉页本册引导编写人员版权页目录第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑联结词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 两个向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-2选修2-2版权页编写内容本册引导目录第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与冥函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯附录部分中英文词汇对照表后记高中课标实验教材B版选修2-3选修2-3扉页本册导引版权页目录编写人员第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3 二项式定理1.3.2 杨辉三角本章小结第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记。

高一数学北师大版必修1教学教案第四章2-3函数建模案例(1)

《函数建模案例》教学设计【教材分析】本节课来自于北师大版高中数学必修一的第四章第二节，是在学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数之后，通过实例让学生感受到函数在实际中的应用。

通过本节课的学习，使学生能从实际情境中抽象出数学模型，培养了学生数学抽象，数学建模的核心素养，在学生收集数据，选择模型的过程中体现了数据分析，直观想象的核心素养，在学生求解模型、完善模型的过程中，渗透数学运算、逻辑推理的核心素养，总之通过建模过程，使学生体验数学建模的思想，培养学生数学核心素养，又强化学生应用数学的意识，也提高了学生的创新精神和应用数学的能力。

同时，本节课的内容为以后学生学习线性相关关系和回归分析做了很好的铺垫．【学情分析】学生通过前面的学习，已经理解了函数的概念，掌握基本初等函数的图象和性质，对函数知识有初步的应用能力．学生能用数学知识描述问题，能用数学模型解决实际问题，这为本节课的学习奠定了知识基础．而高一的学生数学建模能力较弱，不善于将实际问题抽象为数学问题来解决．因此，在教学中要引导学生进行数据分析，建立适当的模型并对模型进行简单的分析，在运用数学知识解决实际问题中，培养学生的数学建模和数学探究能力，渗透数学核心素养。

【设计理念】“加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是高中数学课程标准的基本理念之一。

为了践行该教学理念，在安排学生学习了基本初等函数后，学习本节内容，让学生经历把数学知识应用于生活实际的建模过程，目的是巩固函数概念，体现函数价值，强化学生应用数学的意识，提高学生应用数学的能力，增强学生的数学核心素养。

【教学目标】1.会从实际情境抽象出数学问题，建立恰当的函数模型并求解。

2.经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会数形结合的思想、函数与方程的思想、从特殊到一般的数学思想.3.通过运用信息技术画散点图，求拟合函数等，了解信息技术在解决数学问题中的辅助作用。

3.通过建立数学模型的过程，培养学生数学抽象、直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。

高中数学第三章函数3.4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点学案含解析B版第一册

3。

3 函数的应用（一)3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点素养目标·定方向课程标准学法解读理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题。

1．领会教材中的五个例题，能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型．2．解决数学应用题的关键是建模，顺利建立函数模型并解决问题要具备以下能力:阅读理解能力，逻辑推理能力，计算能力.必备知识·探新知基础知识1．常见的函数模型（1）一次函数模型形如y＝kx＋b（k≠0）的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的性质及图像解题时,应注意：①一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数为负)两种情况;②一次函数的图像是一条直线．(2)二次函数模型形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．思考：一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示:不一定．在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时,必须要考虑这些实际意义．(3）分段函数模型这个模型的实质是一次函数、反比例函数(形如y＝错误!,k≠0)、二次函数中两种及以上的综合．（4）对勾函数模型这个模型的实质是一次函数与反比例函数（形如y＝错误!，k≠0）模型的综合,解决此类问题的最值可用均值不等式求解．基础自测1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0。

20元（不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0。

10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550 s，应支付电话费(B) A．1。

00元B．0.90元C．1.20元D．0。

数学北师大版必修第一册第八章数学建模活动课件

(4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等情势展现获得的
成果.
根据上述要求,每个小组要完成以下工作:
(1)选题
(2)开题
可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈说初步测量方案,
教师和其他同学可以提出质疑算高度,教师可以追问:怎么测
量?用什么工具测量?目的是提醒学生,事先设计出有效的测量方法
仰角
第一次
第二次
67°
52°
后退距离为25 m,人的“眼高”为1.5 m,计算可得理想大厦的高度约
为71.5 m,结果与期望值(70 m~80 m)相差不大.误差的原因是铅笔
在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量
高度及仰角,再求平均值,误差就能更小.
(2)镜面反射法
实际测量数据:
铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出,这个角是
待测仰角的余角.
测量间距差的 a 工具:用自行车来测距离,解决了皮
尺长度不够的问题.
照片
说明
左图:测量角的工具(量角器)太小,造成仰角的测量
误差很大.
右上图:用腕尺法测量时,腕尺应与地面垂直,手臂
水平,否则就没有相似的直角三角形.
右下图:用镜子反射法时,要保持镜面水平,否则入
射三角形和反射三角形就不相似.
测量仰角的工具:把一个量角器放在复印机上放大
4 倍复印,在中心处绑上一个铅垂,这样测量视线和
是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动.
【数学建模】
数学建模的基本过程如下:
数学建模活动是环绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研
究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学
问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主

高中数学北师大版必修一数学建模活动的主要过程课件

③数学模型 a．字母的使用次数每个汉字输入时用到的拼音中的每个字母记为输入一次．设某字母在所有 a 开头的汉字中需要输入 x1 次，在 b 开头的汉字中需要输入 x2 次，在 c 开头的汉字中需要输入 x3 次，依此类推，到其使用次数(y)为 y＝x1＋x2＋x3＋…＋x26.
b．手的位移设 Q 为手的位移，字母的使用次数为 x，手指的位移为 T.则有函数关系如下：
说都位居前列，然而现有的键盘字母排列是根据英文单词的输入来排列的，所以我们要研究出一种便于汉字输入的键盘字母排列方案，使汉字的输入更加快捷．
②数据采集及数据分析我们将 3 500 个常用汉字的拼音中字母的使用次数统计出来，比较得出每个字母使用频率的高低，得出新的方案后，通过比较，用本组方案和常用键盘输入同一段文字时手的位移来证明本组方案的合理性，最后得出结论．
撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的最大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告．
解析：
在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教
要解决的问题室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤
离所用时间
选题的原因及意义
建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议
建模问题的可行性教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只
题型四课题研究的主要过程——结题例 3 我们目前使用的键盘都是 QWERTY 键盘布局，以键盘
第一排字母的左边 6 个字母而得名．QWERTY 键盘在 1868 年由 Christopher sholes 提出，旨在解决打字速度过快导致的某些键组合卡键的问题．因此，打字速度最大化并不是 QWERTY 键盘的主要目的．QWERTY 键盘满足了当时的需求，得到了大范围的推广．

高中数学第三章 3.3 3.4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点教师用书新人教B版必修第一册

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解】 (1)由图像可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，得k 1＝15，k 2＝12.所以y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0).(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，使用“便民卡”便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，使用“如意卡”便宜.利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h 时火车行驶的路程.解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115. 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115.火车离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).二次函数模型有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.【解】设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ，则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ，所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23(36＋π). 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大. 由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π，所以当x ＝2l 36＋π，y ＝l －(9＋π)x 6＝l (18－π)6(36＋π)，即x y ＝1218－π时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l23(36＋π).二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.渔场中鱼群的最大养殖量为m (m ＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0).(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值. 解：(1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm，0≤x ＜m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋mk 4，0≤x ＜m ，则当x ＝m2时，y 取得最大值，y max ＝mk4.所以鱼群年增长量的最大值为mk4.分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元.用x (单位：元，且x ∈N )表示每辆自行车的日租金，用y (单位：元)表示出租的自行车的日净收入.(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用)(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：(1)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，y ＝50x －115. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，所以当x ＝11时，y max ＝270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.f (x )＝x ＋ax(a ＞0)模型小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得：当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.应用均值不等式解实际问题的步骤(1)理解题意，设变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元.解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x (x ＞0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元).答案：1601.一定范围内，某种产品的购买量y 与单价x 之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A.820元B.840元C.860元D.880元解析：选C.设y ＝kx ＋b ，则1 000＝800k ＋b ，且2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000，则y ＝－10x ＋9 000.解400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元).2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y 1＝－5x 2＋900x －16 000，y 2＝300x －2 000，其中x 为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )A.11 000元B.22 000元C.33 000元D.40 000元解析：选C.设两个店分别销售出x 与110－x 辆电动车，则两店月利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，所以当x ＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元.3.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用f (x )与x 的函数关系式为 (代金券相当于等价金额).解析：当0＜x ＜10时，f (x )＝40x ；当10≤x ＜20时，f (x )＝35x －10；当20≤x ≤40时，f (x )＝30x －20.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *).30x －20，20≤x ≤40答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *)30x －20，20≤x ≤404.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标等价于存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，所以Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6，所以当它的横坐标a不超过6 km时，可击中目标.[A 基础达标]1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm2 B.4 cm2C.3 2 cm2D.2 3 cm2解析：选D.设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0＜x＜12.则S＝34⎝⎛⎭⎪⎫x32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x32＝318(x－6)2＋23，当x＝6时，S min＝2 3.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为( )A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )A.215份B.350份C.400份D.520份解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表.y ＝[(60x ＋＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N ). 因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数，所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C. 5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费y ＝kv 2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k ＝610×10＝350，费用总和为10v ⎝ ⎛⎭⎪⎫350v 2＋96＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫350v ＋96v ≥10×2350×96＝48，当且仅当350v ＝96v，即v ＝40时取等号. 答案：406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m ”收购这种水果，其中的最佳近似值m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为Ｗ.解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值.答案：207.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是Ｗ.解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2，所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2. ③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ，根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2，所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10. ④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤48.某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝kx －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.9.已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？解：(1)x 的取值范围为[10，90].(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]，即y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90).(3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小.即当垃圾处理厂建在距离A 城市1003km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少.[B 能力提升]10.某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为万元.解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元).答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y 元.(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3(x －2)，2<x ≤4，2m ＋6＋n (x －4)，x >4.当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6. 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5. 故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元. (3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5. 故该用户最多可以用6.5 t 水.12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤2002t －300，200<t ≤300.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0<t ≤200－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0<t ≤200时，整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，当t ＝50时，h (t )取得最大值100；当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.[C 拓展探究]13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L－1)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4x ＋142x －2，x >4.当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1且不高于10 mg ·L－1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8，0<x ≤42x ＋28x －1，x ＞4.当0<x ≤4时，x 24＋8≥4显然成立；当x >4时，由2x ＋28x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 .综上，0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m ，0<x ≤4mx ＋14m 2x －2，x >4，当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0，4]上单调递增，则2m <y ≤3m ；当x >4时，y ＝mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m4≤y <3m . 综上，7m4≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m4≥4且3m ≤10，即167≤m ≤103，- 21 - 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。

2019人教B版高一数学必修(第一册)第三章函数 3.4 数学建模活动：建立函数模型解决实际问题教学设计

数学建模课的教学设计
学情分析：他们已经学习了函数基本概念、指数函数和对数函数，初步具备建立函数的模型的知识基础。

教学工具： ppt, excle 工具软件
教学目标：
1．本次教学的目标是让学生在数学建模过程中，借助信息技术，分析实际数据，
2．类比指数函数模型，发现解决实际问题的方法，并从中体会数学建模的一般步骤，
3．提高协作意识，增强信息技术工具的应用水平，感受数学魅力。

教学内容：
本次教学内容是在函数知识背景下的数学建模活动。

这个建模结合了信息技术，体现了数学猜想，数学验证的数学思维方法。

本次教学活动的重点是函数模型的建立和具体应用。

难点是对数据的分析，对函数模型的修正。

教学过程：
1．给出问题
2．分析变量
3．分析数据
4．模型分析
5．确定模型
6．求解模型
7．检验模型
8．归纳总结
9．作业xtz29-31
附：
1.生活背景：
中国茶文化源远流长，博大精深，为中华民族之国粹。

茶叶中含有儿茶素，咖啡碱，肌醇，叶酸，泛酸，长期饮茶可以解除油腻，帮助消化，还可以对心血管疾病如高血压，冠心病等有一定的防治作用。

茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。

经验表明某种绿茶用85゜C的热水泡制，再等到茶水温度降至60゜C 时饮用，可以产生最佳口感。

2.以下给出某人每隔1min测量一次茶水温度，得到表1的一组数据．
3. 那么在25︒C室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？。