内蒙古赤峰二中高三数学上学期第二次月考试题 理

赤峰二中2014级高三上学期第二次月考
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.若集合[]{}
,065,3,22=+-==x x x B A 则=B A I ( )
A {}3,2 .
B φ
C . 2
D .[]3,2
2.若复数z 满足i zi +=1，则z 的共轭复数是（ ）
A .i --1 .
B i +1
C i +-1
D i -1
3.若函数()⎩⎨
⎧>-≤+=0
,420,22x x x x f x
，则()()1f f 的值为（ ）
A 10- .
B 10
C 2-
D 2
4.已知向量b a 与的夹角为
3
π
，()1,0,2==b a ，则=-b a 2（ ） A 3 .B 32 C 2 D 4
5.设函数()=x f ()为自然对数的底数e e x
x
32
-，
则使()1<x f 成立的一个充分不必要条件是（ ） A 10<<x .B 40<<x C 30<<x D 43<<x
6.各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（ ）
A 78 .
B 48
C 60
D 72
7.实数y x ,满足⎩
⎨⎧≤+≥10
y x xy ，使y ax z +=取得最大值的最优解有两个，则11++=y ax z 的最小
值为（ ）
A 0 .
B 2-
C 1
D 1-
8.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，ABD G ∆为的重心，记b AC a AB ==,，则=BG ( )
A b a 3121+ .
B b a 3121+-
C b a 3132+-
D b a 6
1
21+-
9.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边c b a ,,，若c
a c B 22sin 2-=，则ABC ∆的形状一定是（ ）
A 直角三角形 .
B 锐角三角形
C 等腰三角形
D 钝角三角形
10.若实数0,0>>b a ，且121=+b a ，则当
8
2b
a +的最小值为m 时，函数()1ln -=-x e x f mx 的零点个数为（ ）
A 0 .
B 1
C 2
D 3
11.函数()⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=6sin πωx A x f ()0>ω的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2
π
的等差数列，要得到函数()x A x g ωcos =的图像，只需将()x f 的图像
A 向左平移
6π个单位长度 .B 向右平移3π
个单位长度 C 向左平移32π个单位长度 D 向右平移3
2π个单位长度 12．已知R b a ∈,,函数()x x f tan =在4π-=x 处与直线2π
++=b ax y 相切，设
()a bx e x g x ++=，若在区间[]2,1上，不等式()22-≤≤m x g m 恒成立，则实数m
（ ）
A 有最小值e - .
B 有最小值22+e
C 有最大值1-
D 有最大值1+e
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二．填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若函数()x
x x f 1
+=，则()=⎰dx x f e 1__________
14.若5
3
4cos =⎪⎭⎫
⎝⎛-απ，则=α2sin __________ 15.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
112123,2++=-=n n
n n a S a S S ，则
=n a __________
16.在ABC ∆中，2,332sin
==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上，且3
3
4,2==BD DC AD ,则=C cos __________
三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17. （本题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前
n
项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足1,311==b a ，
325222,10a b a S b =-=+。

⑴ 求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式。

⑵ 令()()
⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数，
为奇数n b n S C n n n ,2
，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 2。

18. （本题满分12分）
在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 组别 [)50,40
[)60,50
[)
70,60
[)80,70
[)90,80
[]100,90
频数
5
18
28
26
17
6
⑴ 求抽取的样本平均数x 和样本方差2
s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ⑵ 已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布(
)2
,σμN ,且规
定7.82分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附
()
(),
6826.0,,,7.121612=+<<--≈σμσμσμz P N z 则若()9544.022=+<<-σμσμz P ）。

⑶ 已知样本中成绩在[]100,90中的6名考生中，有四名男生，两名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE . 19. （本题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，点C 在平面111C B A 内的射影为11B A 的中点O ,0
190,=∠==ACB AA BC AC , ⑴ 求证：1CC AB ⊥;
⑵ 求二面角B CC A --1的正弦值。

20.（本题满分12分）
已知，椭圆()01:2222>>=+b a b
y a x C 的右焦点是抛物线x y 42
=的焦点，以原点O 为圆心，以椭
圆的长半轴长为半径的圆与直线022=-+y x 相切。

⑴ 求椭圆C 的标准方程。

⑵ 若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于Q P ,两点，且POQ ∆的面积是定值3，试判断直线
OQ OP 与的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值，若不为定值，说明理由。

21. （本题满分12分）
已知函数())(,2
ln 2
R m x x m x x f ∈+-
=； ⑴ 当0>m 时，若()2
1
-≤mx x f 恒成立，求m 的取值范围；
⑵ 当1-=m 时，若()()021=+x f x f ，求证：1321-≥
+x x
请考生在第22.23两题中任选一题作答，如果多做。

则按所做第一题记分 22.（本题满分10分）
已知直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧-=+-=134t y a
t x （t 为参数），在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负
半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为8sin 62
-=-θρρ； ⑴ 求直线l 的普通方程和圆M 的直角坐标方程； ⑵ 若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值； 23. （本题满分10分）
已知不等式1822<-++x x 的解集为A 。

⑴ 求集合A ；
⑵ 若()+∞∈∈∀,0,,x A b a ，不等式m x
x b a ++
<+4
恒成立，求实数m 的取值范围。