安徽省2019年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习九 函数的图象与性质
2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练
2019-2020年中考数学复习第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练针对演练1. 若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0, x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.2. 设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为(a ，b )、(c ，d )，当a ＝－c ，b ＝2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝x 2＋nx 和二次函数y 2＝nx 2＋x ；函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，求n .3. 函数y ＝k x 和y ＝－k x (k ≠0)的图象关于y 轴对称，我们定义函数y ＝k x 和y ＝－k x(k ≠0)相互为“影像”函数：(1)请写出函数y ＝2x －3的“影像”函数：________；(2)函数________的“影像”函数是y ＝x 2－3x －5;(3)若一条直线与一对“影像”函数y ＝2x (x ＞0)和y ＝－2x(x ＜0)的图象分别交于点A 、B 、C (点A 、B 在第一象限)，如图，如果CB ∶BA ＝1∶2，点C 在函数y ＝－2x(x ＜0)的“影像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B 的坐标．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1，又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2，如此下去，得到线段OP 3，OP 4…，OP n (为正整数)．(1)求点P 3的坐标；(2)我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|x n |，|y n |)称为点P n 的“绝对坐标”，根据图中P n 的分布规律，求出点P n的“绝对坐标”．第4题图考向2) 几何类(杭州：2015.19；台州：2016.23，2015、2013.24；绍兴：2017.22，2013.22，2012.21)针对训练1. (2017绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．第1题图2. 阅读下面的材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①，▱ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．请解决下列问题：(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；(2)若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；(3)若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图②，请画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”，并说明理由．第2题图)3. (2017常州)如图①，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足________时，四边形MNPQ是正方形；(2)如图②，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点．①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．第3题图4. (2017黄石)在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD 中，P 为DC 边上一定点，且CP ＝BC ，如下图所示．(1)如图①，求证：BA ＝BP ；(2)如图②，点Q 在DC 上，且DQ ＝CP ，若G 为BC 边上一动点，当△AGQ 的周长最小时，求CG GB的值；(3)如图③，已知AD ＝1，在(2)的条件下，连接AG 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，T 为BF 的中点，M 、N 分别为线段PF 与AB 上的动点，且始终保持PM ＝BN ，请证明：△MNT 的面积S 为定值，并求出这个定值．第4题图5. 对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中，∠B ＝∠D ，AB ＝AD ；如图②中，∠A ＝∠C ，AB ＝AD 则这样的四边形均为奇特四边形．(1)在图①中，若AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，∠C ＝120°，请求出四边形ABCD 的面积； (2)在图②中，若AB ＝AD ＝4，∠A ＝∠C ＝45°，请直接写出四边形ABCD 面积的最大值； (3)如图③，在正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 是AD 延长线上一点，且BE ＝DF ，连接EF ，取EF 的中点G ，连接CG 并延长交AD 于点H ，若EB ＋BC ＝m ，问四边形BCGE 的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含m 的代数式表示)；如果不是，请说明理由．第5题图6. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图①，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形A B CD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；(3)如图②，小红作了一个Rt △ABC ，其中∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A′B′C′，连接AA ′，BC ′.小红要使平移后的四边形ABC ′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB ′的长)?第6题图7. (2017江西)我们定义：如图①，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知 (1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图②，当△ABC 为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD ＝____BC ； ②如图③，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则AD 长为________． 猜想论证(2)在图①中，当△A B C 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明． 拓展应用 (3)如图④，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠D ＝150°，BC ＝12，CD ＝23，DA ＝6.在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．第7题图 答案1. 解：(1)不是．理由如下：∵解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3， ∴|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|， ∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”； (2)存在．理由如下：∵方程x 2－6x －27＝0，x 2＋6x －27＝0是“偶系二次方程”，∴假设c ＝mb 2＋n ，当b ＝－6，c ＝－27时，有－27＝36m ＋n ， ∵x 2＝0是“偶系二次方程”，∴n ＝0，m ＝－34，∴c ＝－34b 2.又∵x 2＋3x －274＝0也是“偶系二次方程”，当b ＝3时，c ＝－274＝－34×32，∴可设c ＝－34b 2，对任意一个整数b ，当c ＝－34b 2时，b 2－4ac ＝b 2－4c ＝4b 2，∴x ＝－b±2|b|2，∴x 1＝－32b ，x 2＝12b ，∴|x 1|＋|x 2|＝32|b |＋12|b |＝2|b |.∵b 是整数，∴对于任意一个整数b ，存在实数c ，当且仅当c ＝－34b 2时，关于x 的方程，x 2＋bx ＋c＝0是“偶系二次方程”．2. 解：(1)∵y ＝x 2＋x ＋1，∴y ＝(x ＋12)2＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为(－12，34)，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(12，32)，∴反倍顶二次函数的解析式为y ＝(x －12)2＋32＝x 2－x ＋74；(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ＝(n ＋1)(x 2＋x )＝(n ＋1)(x ＋12)2－n ＋14， ∴顶点的坐标为(－12，－n ＋14)，y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ＝(1－n )(x 2－x)＝(1－n)(x －12)2－1－n4， ∴顶点的坐标为(12，－1－n4)，由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”， 则－2×1－n 4＝－n ＋14， 解得n ＝13.3. 解：(1)y ＝－2x －3；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝－2x －3.(2)y ＝x 2＋3x －5；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝x 2＋3x －5.(3) 如解图，作CC ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，AA ′⊥x 轴垂足分别为C′、B′、A′，第3题解图设点B (m ，2m )，A (n ，2n)，其中m ＞0，n ＞0， 由题意，将x ＝－1代入y ＝－2x中解得y ＝2，∴点C (－1，2)，∴CC ′＝2，BB ′＝ 2m ，AA ′＝2n，又∵A′B′＝n －m ，B ′C ′＝m ＋1，CC ′∥BB ′∥AA ′，CB ∶AB ＝1∶2, 则B′C′∶A′B′＝1∶2，则⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2（m ＋1）2m －2n ＝23（2－2n ），消去n 化简得到3m 2－2m －3＝0,解得m ＝1＋103或1－103(舍弃)，∴2m ＝21＋103＝－2＋2103，∴点B 坐标为(1＋103，－2＋2103)．4. 解：(1)根据题意，得OP 3＝2OP 2＝4OP 1＝8OP 0＝8,根据等腰直角三角形的性质，得P 3(－42，42); (2)由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x 轴或y 轴上， 但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数， 因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当P n 的n ＝0，4，8，12…，则点在x 轴上，则“绝对坐标”为(2n，0) ，②当P n 的n ＝2，6，10，14…，则点在y 轴上，则“绝对坐标”为(0，2n) ； ③当P n 的n ＝1，3，5，7，9…，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为(2n －12，2n －12)．考向2 几何类针对演练1. 解：(1)①∵AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB ＝BC ，∴▱ABCD 是菱形． 又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 为正方形， ∴BD ＝2；②如解图①，连接AC ，BD ，第1题解图①∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 又∵BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CBD ， ∴AD ＝CD ；(2)若EF 与BC 垂直，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件； 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如解图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，第1题解图②∴AE ＝AB ＝5；②当BF ＝AB 时，如解图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，第1题解图③∴BF ＝AB ＝5. ∵DE ∥BF ，∴△PED ∽△PFB ，∴ED FB ＝PD PB ＝12， ∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，AE 的长为5或6.5. 2. 解：(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；(2)2；【解法提示】如解图①的矩形BCAF 、矩形ABED 为Rt △ABC 的两个“友好矩形”；第2题解图(3)此时共有3个“友好矩形”，如解图②的矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小．理由如下： ∵矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK 均为△ABC 的“友好矩形”，∴这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2S a ＋2a ，L 2＝2S b ＋2b ，L 3＝2S c＋2c ，∴L 1－L 2＝(2S a ＋2a )－(2S b ＋2b )＝2S ab (b －a )＋2(a －b )＝2(a －b)·ab －S ab，而ab ＞S ，a ＞b ，∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2，同理可得，L 2＞L 3，∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小． 3. 解：(1)①矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形．②垂直；【解法提示】∵四边形ABCD 是等角线四边形，∴AC ＝BD ，∵M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴MN ＝PQ ＝12AC ，PN ＝MQ ＝12BD ，∴MN ＝PQ ＝PN ＝MQ ，∴四边形MNPQ 是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形MNPQ 有一个角是直角，又易知MN ∥PQ ∥AC ，PN ∥QM ∥BD ，∴要使四边形MNPQ 是正方形需要AC ⊥BD .(2)①3＋221； ∵AD ＝BD ，∴D 在AB 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 是等角线四边形， ∴AC ＝BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC ＝5， ∴BD ＝5，如解图①，取AB 的中点为M ，则DM ⊥AB ，第3题解图①在Rt △ADM 中，AD ＝BD ＝5，AM ＝BM ＝2，由勾股定理得DM ＝21；∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DM ＋12BC ·BM＝12×4×21＋12×3×2＝3＋221； ②四边形ABED 面积最大值为18，理由如下： 如解图②，设AE 与BD 交于点O ，夹角为α，则第3题解图②S 四边形ABED ＝S △AED ＋S △ABE ＝12AE ·ODsin α＋12AE ·OBsin α＝12AE ·BDsin α，∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ＝12AE 2sin α，∴当AE 最大，且α＝90°时，四边形ABED 的面积最大， 此时延长AC 交圆C 于E ，则AE 最大为5＋1＝6， ∴四边形ABED 的最大面积为12×62＝18.4. (1)证明：如解图①所示，第4题解图①∵PC ＝BC ，∠BCP ＝90°， ∴BP ＝2BC ，又∵矩形ABCD 为“标准矩形”，∴AB ＝2BC ， ∴AB ＝BP ；(2)解：如解图②，作点Q 关于直线BC 对称的点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接QE 、GF ，第4题解图②∵DQ ＝CP ，∴CQ ＝DP ＝CF 且AQ 为定值， ∴EQ ＝EF ，GQ ＝GF ，∵AQ 为定值，要使△AGQ 的周长最小时， ∴只需AG ＋GQ ＝AG ＋GF 最小，显然AG ＋GF ≥AF ＝AE ＋EF ＝AE ＋EQ ，即当点G 与点E 重合时，△AGQ 的周长最小， 此时CG GB ＝CE EB ＝CF AB ＝DPAB，∵DP AB ＝CD －CP AB ＝AB －BC AB ＝1－BC AB ＝1－22，∴当△AGQ 的周长最小时，CG GB ＝1－22； (3)证明：如解图③，MN 交AF 于点K ，连接KT ，第4题解图③由(2)可知，CF ＝DP ， ∴PF ＝AB 且PF∥AB ，∴四边形ABFP 为平行四边形， 又由PM ＝BN ， ∴MF ＝AN ，∴△MFK ≌△NAK ，∴点K 为AF 与MN 的中点， 又∵点T 为BF 的中点， ∴KT 为△FAB 的中位线， ∴S △FKT ＝S △TMK ＝S △TKN ，∴S △MNT ＝2S △FKT ＝12S △FAB ＝14S 平行四边形ABFP ＝14×2＝24，∴△MNT 的面积S 为定值，这个定值为24. 5. 解：(1)如解图①，设AC 与BD 交于点O ；第5题解图①∵AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝AD ＝BD ＝4, ∠ABD ＝∠ADB ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠CBD ＝∠CDB ， ∵∠BCD ＝120°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°， ∴CB ＝CD ， ∵AB ＝AD ， ∴AC ⊥BD ，∴BO ＝OD ＝2，OA ＝AB ·sin60°＝23，OC ＝OB ·tan30°＝233，∴S 四边形ABCD ＝12·BD ·OA ＋12·BD ·OC ＝12·BD ·(OA ＋OC )＝1633；(2)2；【解法提示】如解图②，作DH ⊥AB 于H ，过点B 、D 、C 作圆，连接BD ，第5题解图②∵∠C ′＝∠C ＝45°， ∴当C′B ＝C′D 时，△BDC ′的面积最大，此时四边形ABC ′D 的面积最大， 易证四边形ABC′D 是菱形， 在Rt △AHD 中，∵∠A ＝45 °，∠AHD ＝90°，AD ＝4， ∴AH ＝HD ＝22，∴四边形ABC′D 的面积＝AB·DH ＝82， ∴四边形ABCD 的面积的最大值为8 2. (3)四边形BCGE 的面积是定值，理由如下： 如解图③，连接EC 、CF ，作FM ⊥BC 于M .第5题解图③在△BCE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ∠EBC ＝∠FDC，BC ＝DC∴△BCE ≌△DCF (SAS)， ∴CE ＝CF ， ∵EG ＝GF ， ∴S △ECG ＝S △FCG ，∵四边形CDFM 是矩形，∴BC ＝DC ＝MF ，DF ＝BE ＝CM ， ∴BM ＝m ，BE ＋FM ＝m ，∴△FCM ，△DCF ，△BCE 的面积相等， ∴S 四边形BCGE ＝12·S 四边形BEFM ＝12·12·m ·m ＝14m 2.6. 解：(1)AB ＝BC 或BC ＝CD 或CD ＝AD 或AD ＝AB ； (2)解：小红的结论正确． 理由如下：∵四边形的对角线互相平分， ∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”， ∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形；(3)由∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，得：AC ＝5， ∵将Rt △ABC 平移得到Rt △A ′B ′C ′，∴BB ′＝AA′，A′B′∥AB，A ′B ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝1，A ′C ′＝AC ＝5， (Ⅰ)如解图①，当AA′＝AB 时，BB ′＝AA′＝AB ＝2；第6题解图①(Ⅱ)如解图②，当AA′＝A′C′时，BB ′＝AA′＝A′C′ ＝5；第6题解图②(Ⅲ)当A′C′＝BC′＝5时，如解图③，延长C′B′交AB 与点D ，则C′B ′⊥AB ，第6题解图③∵BB ′平分∠ABC ，∴∠ABB ′＝12∠ABC ＝45°，∴∠BB ′D ＝∠ABB′＝45°， ∴B ′D ＝BD ，设B′D＝BD ＝x ，则C′D ＝x ＋1，BB ′＝2x ，∵根据在Rt △BC ′D 中，BC ′2＝C′D 2＋BD 2即x 2＋(x ＋1)2＝5， 解得：x ＝1或x ＝－2(不合题意，舍去)， ∴BB ′＝2x ＝2；第6题解图④(Ⅳ)当 BC′＝AB ＝2时，如解图④，与(Ⅲ)方法同理可得： x ＝－1＋72或x ＝－1－72(舍去)，∴BB ′＝2x ＝－2＋142.故应平移2或5或2或－2＋142的距离．7. 解：(1)①12，②4；【解法提示】①如解图①中，第7题解图①∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB′＝AC′， ∵DB ′＝DC′， ∴A D ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B′AC ′＝180°， ∴∠B ′AC ′＝120°， ∴∠B ′＝∠C′＝30°， ∴AD ＝12AB ′＝12BC .②如解图②中，第7题解图②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∴∠B ′AC ′＝∠BAC ＝90°， ∵AB ＝AB′，AC ＝AC′， ∴△BAC ≌△B ′AC ′， ∴BC ＝B′C ′， ∵B ′D ＝DC′，∴AD ＝12B ′C ′＝12BC ＝4；(2)猜想：AD ＝12BC .理由：如解图③中，延长AD 到M ，使得AD ＝DM ，连接B′M，C ′M ，第7题解图③∵B ′D ＝DC ′，AD ＝DM ，∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC ′＝B′M＝AC ，∵∠BAC ＋∠B′AC′＝180°， ∠B ′AC ′＋∠AB′M ＝180°， ∴∠BAC ＝∠MB ′A, ∵AB ＝AB ′，∴△BAC ≌△AB ′M ， ∴BC ＝AM ， ∴AD ＝12BC ；(3)存在．理由：如解图④中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE ⊥AD 于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于O ，第7题解图④∵∠ADC ＝150°， ∴∠MDC ＝30°， ∴在Rt △DCM 中，∵CD ＝23，∠DCM ＝90°，∠MDC ＝30°， ∴CM ＝2，DM ＝4，∠M ＝60°， 在Rt △BEM 中，∵∠BEM ＝90°，BM ＝BC ＋CM ＝14，∠MBE ＝30°， ∴EM ＝12BM ＝7，∴DE ＝EM －DM ＝3， ∵AD ＝6， ∴AE ＝DE , ∵BE ⊥AD ，∴PA ＝PD ，PB ＝PC ， 在Rt △CDF 中，∵CD ＝23，CF ＝6， ∴∠CDF ＝∠CPE ＝60°， 易证△FCP ≌△CFD ， ∴CD ＝PF ，∵CD ∥PF ， ∴四边形CDPF 是矩形， ∴∠CDP ＝90°，∴∠ADP ＝∠ADC－∠CDP ＝60°， ∴△ADP 是等边三角形， ∴∠APD ＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝（3）2＋62＝39.。
2019年中考数学专题复习 第二讲整式、因式分解 (共68张PPT)精品物理
答案:1
(3)由题意可知:m=-1,n=0,c=1, ∴原式=(-1)2015+2016×0+12017=0. 答案:0
【答题关键指导】 整体代入法求代数式值的三种方法 (1)直接整体代入求值:如果已知的代数式与要求的代 数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直 接代入到要求的式子中,即可得出结果.
(3)(2017·济宁中考)分解因式: ma2+2mab+mb2=____________.
【思路点拨】(1)先提取公因式,再利用平方差公式进 行分解. (2)通过两次提取公因式,来进行因式分解. (3)先提取公因式,再利用完全平方公式进行分解.
【自主解答】 (1)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). (2)原式=x(x-2)+(x-2)=(x+1)(x-2). (3)原式=m(a2+2ab+b2)=m(a+b)2.
【答题关键指导】 幂的运算的应用 (1)同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若 底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题, 转化成同底数,再应用法则.
(2)同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算 的时候要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选择 法则,三是运算符号.
【变式训练】
2.(2017·潍坊中考)下列计算正确的是 ( )
A.a3×a2=a6
B.a3÷a=a3
C.a2+a2=a4
D.(a2)2=a4
【解析】选D.选项A是同底数幂的乘法,结果为a5,故选 项A错误;选项B是同底数幂的除法,结果为a2,故选项B 错误;选项C是合并同类项,结果为2a2,故选项C错误;选 项D是幂的乘方,底数不变,指数相乘,故选项D正确.
2019年安徽省合肥市中考数学二模试卷及答案解析
2019年安徽省合肥市中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）如果“+□＝0”，那么“□”里的数是（）A．B．2C．D．﹣22．（4分）下列各式运算正确的是（）A．m10÷m5＝m5B．（2m2﹣m）÷m＝2mC．（﹣2m）3＝﹣6m3D．（m﹣n）2＝m2﹣n23．（4分）如图是几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立方体图形的左视图是（）A．B．C．D．4．（4分）下列多项式，在实数范围内能够进行因式分解的是（）A．x2+4B．C．x2﹣3y D．x2+y25．（4分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里数羊，如果乙给甲9只羊，则甲的羊数为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数相同，设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（4分）甲、乙两人参加射击比赛，每人射击五次，命中的环数如下表：根据以下数据，下列说法正确的是（）序号一二三四五甲命中的环数（环）67868乙命中的环数（环）510767A．甲的平均成绩大于乙B．甲、乙成绩的中位数不同C．甲、乙的众数相同D．甲的成绩更稳定7．（4分）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10B．12C．13D．8．（4分）如图，点A、C、D在⊙O上，AB是⊙O的切线，A为切点，OC的延长线交AB 于点B，∠ABO＝45°，则∠D的度数是（）A．22.5°B．20°C．30°D．45°9．（4分）如图，将两根相同的矩形木条沿虚线MN剪开得到四根完全一样的木条，然后重新围成一个矩形画框．已知矩形木条的两边分别为a、b，且a＞b，则围城的矩形画框的内框ABCD的面积为（）。
安徽中考数学复习专题全辑 专题二 几何图形最值问题
21．(2019·黄冈)如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD＝120°，则 CD 的最大值是________．
而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是确定 图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置 关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时，常常需要作辅助线 帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线， 利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当 P 点在 A1B 上 时，PA＋PB 取得最小值．
A．3 2－1
B．2
C．2 2
D．3 2
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC 上，以 AC 为
对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 最小的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．(2019·合肥 42 中一模)如图，AB 是半⊙O 的直径，点 C 在半⊙O 上，AC＝8cm，
专题二 几何图形最值问题
类型一 线段最值问题
(2017·安徽)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3.动点 P 满足 S ＝ △PAB
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PA＋PB 的最小值为(
)
3
A. 29
B. 34
C．5 2
D. 41
2019年安徽省中考数学试题解析(完美解析,可编辑)
2019年安徽省中考数学试题第22题解析（A）
2019年安徽省中考数学试题第22题解析（B）
2019年安徽省中考数学试题第15题解析
2019年安徽省中考数学试题第16题解析
2019年安徽省中考数学试题第17题解析
应用题千万不要 忘记写“答句”
2019年安徽省中考数学试题第18题解析（A）
2019年安徽省中考数学试题第19题解析（A）
2019年安徽省中考数学试题第19题解析（B）
x＜8.90或x＞ 9.10
非合格品
2019年安徽省中考数学试题第14题解析（C）
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个 数时，将优等品（含特等品）仅算在内. （1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是 否为合格品，并说明理由
2019年安徽省中考数学试题第14题解析（D）
A.
B.
C.
D.
【 答 案 】C
【 考 点 】简 单 组 合 体 的 三 视 图
【 分 析 】找 到 从 上 面 看 所 得 到 的 图 形 即 可 ， 注 意 所 有 的看到的棱都应表现题 】 2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额 接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（ ） A. 1.61109 B. 1.611010 C. 1.611011 D. 1.611012
2019年安徽省中考数学试题第2题解析
【 原 题】 计 算 a3 g(a) 的 结 果 是
2019年中考数学专题复习卷 二次根式(含解析)
二次根式一、选择题1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.2.下列四个数中，是负数的是( )A. B.C.D.3.函数y= 中自变量x的取值范围是（）A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1C. x≠1D. -1≤x＜14.下列各式化简后的结果为3 的是（）A. B.C.D.5.下列计算正确的是（）A. a5＋a2＝a7B. × ＝C. 2-2＝－4 D. x2·x3＝x66.计算|2﹣|+|4﹣|的值是（）A. ﹣2 B. 2C. 2 ﹣6 D. 6﹣27.计算之值为何（）A. 5B. 33C. 3D. 98.下列运算正确的是（）A. B.C. D.9.已知，则代数式的值是（）A. 0B.C.D.10.如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A. 3个B. 4个 C. 5个 D. 6个11.化简为（）A. 5﹣4B. 4 ﹣l C. 2D. 112.下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（）A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题13.函数y＝的自变量x的取值范围是________．14.计算：＝________．15.计算：________。
16.当x=2时，二次根式的值为________．17.计算的结果是________.18.计算（+1）2016（﹣1）2017=________．19.已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ________．20.若实数a、b满足|a+2|+ =0，则=________．21.计算：=________．22.观察下列等式：第1个等式：a1= = ﹣1，第2个等式：a2= = ﹣，第3个等式：a3= =2﹣，第4个等式：a4= = ﹣2，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=________；（2）a1+a2+a3+…+a n=________．三、解答题23.24.计算：（）﹣1﹣6cos30°﹣（）0+ ．25.在平面直角坐标系中，点P（- ，-1）到原点的距离是多少？26.若b为实数，化简|2b-1|- 。
2019年安徽省中考数学试题(含分析解答)_已修改
安徽省2019年中考数学试题（含分析解答）一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)1．(4.00分)﹣8的绝对值是()A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣2．(4.00分)2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为()A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×1083．(4.00分)下列运算正确的是()A．(a2)3=a5 B．a4•a2=a8 C．a6÷a3=a2 D．(ab)3=a3b34．(4.00分)一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置,其主(正)视图为()A． B． C． D．5．(4.00分)下列分解因式正确的是()A．﹣x2+4x=﹣x(x+4) B．x2+xy+x=x(x+y)C．x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2 D．x2﹣4x+4=(x+2)(x﹣2)6．(4.00分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()A．b=(1+22.1%×2)a B．b=(1+22.1%)2a C．b=(1+22.1%)×2a D．b=22.1%×2a 7．(4.00分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a 的值为()A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或18．(4.00分)为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表：甲 2 6 7 7 8乙 2 3 4 8 8关于以上数据,说法正确的是()A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差9．(4.00分)?ABCD中,E,F的对角线BD上不同的两点．下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是()A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF10．(4.00分)如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1．正方形ABCD 的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为()A． B． C． D．二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11．(5.00分)不等式＞1的解集是 ．12．(5.00分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E．若点D是AB的中点,则∠DOE= °．13．(5.00分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 ．14．(5.00分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8．点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为 ．三、解答题(共2小题,每小题8分,满分16分)15．(8.00分)计算：50﹣(﹣2)+×．16．(8.00分)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下：今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问：城中有多少户人家？请解答上述问题．四、解答题(共2小题,每小题8分,满分16分)17．(8.00分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位．18．(8.00分)观察以下等式：第1个等式：++×=1,第2个等式：++×=1,第3个等式：++×=1,第4个等式：++×=1,第5个等式：++×=1,……按以上规律,解决问题：(1)写出第6个等式： ;(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示),并证明．五、解答题(共2小题,每小题10分,满分20分)19．(10.00分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB 的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)20．(10分)如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5．(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长．六、解答题(本大题满分12分)五、解答题(共2小题,每小题10分,满分20分)19．(10.00分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB 的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ;(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由;(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率．七、解答题(本题满分12分)22．(12.00分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少？八、解答题(本题满分14分)23．(14.00分)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E．点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F．(1)求证：CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证：AN∥EM．2019年安徽省中考数学试题（含分析解答）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1．(4.00分)﹣8的绝对值是()A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣〖分析〗计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．〖解答〗解：∵﹣8＜0,∴|﹣8|=8．故选：B．〖点评〗本题考查了绝对值的意义,任何一个数的绝对值一定是非负数,绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0．2．(4.00分)2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为()A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×108〖分析〗科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时,n是正数;当原数的绝对值＜1时,n是负数．〖解答〗解：695.2亿=695 2000 0000=6.952×1010,故选：C．〖点评〗此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．(4.00分)下列运算正确的是()A．(a2)3=a5 B．a4•a2=a8 C．a6÷a3=a2 D．(ab)3=a3b3〖解答〗解：∵(a2)3=a6,∴选项A不符合题意;∵a4•a2=a6,∴选项B不符合题意;∵a6÷a3=a3,∴选项C不符合题意;∵(ab)3=a3b3,∴选项D符合题意．故选：D．〖点评〗此题主要考查了同底数幂的除法法则,同底数幂的乘法的运算方法,以及幂的乘方与积的乘方的运算方法,同底数幂相除,底数不变,指数相减,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：①底数a≠0,因为0不能做除数;②单独的一个字母,其指数是1,而不是0;③应用同底数幂除法的法则时,底数a可是单项式,也可以是多项式,但必须明确底数是什么,指数是什么．4．(4.00分)一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置,其主(正)视图为()A． B． C． D．〖分析〗根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案．〖解答〗解：从正面看上边是一个三角形,下边是一个矩形,故选：A．〖点评〗本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的图形是主视图．5．(4.00分)下列分解因式正确的是()A．﹣x2+4x=﹣x(x+4) B．x2+xy+x=x(x+y)C．x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2 D．x2﹣4x+4=(x+2)(x﹣2)〖分析〗直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．〖解答〗解：A、﹣x2+4x=﹣x(x﹣4),故此选项错误;B、x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;C、x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2,故此选项正确;D、x2﹣4x+4=(x﹣2)2,故此选项错误;故选：C．〖点评〗此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式,正确应用公式是解题关键．6．(4.00分)据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()A．b=(1+22.1%×2)a B．b=(1+22.1%)2a C．b=(1+22.1%)×2a D．b=22.1%×2a 〖分析〗根据2016年的有效发明专利数×(1+年平均增长率)2=2018年的有效发明专利数．〖解答〗解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,所以b=(1+22.1%)2a．故选：B．〖点评〗考查了列代数式,掌握2次增长或下降之类方程的等量关系是解决本题的关键．7．(4.00分)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1〖分析〗将原方程变形为一般式,根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出结论．〖解答〗解：原方程可变形为x2+(a+1)x=0．∵该方程有两个相等的实数根,∴△=(a+1)2﹣4×1×0=0,解得：a=﹣1．故选：A．〖点评〗本题考查了根的判别式,牢记“当△=0时,方程有两个相等的实数根”是解题的关键．8．(4.00分)为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据,如下表：甲 2 6 7 7 8乙 2 3 4 8 8关于以上数据,说法正确的是()A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差〖分析〗根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;对于n个数x1,x2,…,x n,则xˉ=(x1+x2+…+x n)就叫做这n个数的算术平均数;s2=[(x1﹣xˉ)2+(x2﹣xˉ)2+…+(x n﹣xˉ)2]进行计算即可．〖解答〗解：A、甲的众数为7,乙的众数为8,故原题说法错误;B、甲的中位数为7,乙的中位数为4,故原题说法错误;C、甲的平均数为6,乙的平均数为5,故原题说法错误;D、甲的方差为4.4,乙的方差为6.4,甲的方差小于乙的方差,故原题说法正确;故选：D．〖点评〗此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数,关键是掌握三种数的概念和方差公式．▱中,E,F的对角线BD上不同的两点．下列条件中,不能得出四边9．(4.00分)ABCD形AECF一定为平行四边形的是()A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF〖分析〗连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,只要证明得到OE=OF即可,然后根据各选项的条件分析判断即可得解．〖解答〗解：如图,连接AC与BD相交于O,在?ABCD中,OA=OC,OB=OD,要使四边形AECF为平行四边形,只需证明得到OE=OF即可;A、若BE=DF,则OB﹣BE=OD﹣DF,即OE=OF,故本选项不符合题意;B、若AE=CF,则无法判断OE=OE,故本选项符合题意;C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意;D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A,故本选项不符合题意;故选：B．〖点评〗本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．10．(4.00分)如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1．正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为()A． B． C． D． 〖分析〗当0＜x≤1时,y=2x,当1＜x≤2时,y=2,当2＜x≤3时,y=﹣2x+6,由此即可判断;〖解答〗解：当0＜x≤1时,y=2x,当1＜x≤2时,y=2,当2＜x≤3时,y=﹣2x+6,∴函数图象是A,故选：A．〖点评〗本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识,解题的关键是理解题意,学会构建函数关系式解决问题,属于中考常考题型．二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11．(5.00分)不等式＞1的解集是 x＞10．B、若AE=CF,则无法判断OE=OE,故本选项符合题意;C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意;D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A,故本选项不符合题意;故选：B．〖点评〗本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12．(5.00分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E．若点D是AB的中点,则∠DOE=60°．〖分析〗连接OA,根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即可．〖解答〗解：连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∵点D是AB的中点,∴直线OD是线段AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∴∠AOD=∠AOB=30°,同理,∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,故答案为：60．〖点评〗本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键13．(5.00分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 y=x﹣3．〖点评〗本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键〖解答〗解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),∴2m=6,解得：m=3,故A(2,3),则3=2k,解得：k=,故正比例函数解析式为：y=x,∵AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,∴B(2,0),∴设平移后的解析式为：y=x+b,则0=3+b,解得：b=﹣3,故直线l对应的函数表达式是：y=x﹣3．故答案为：y=x﹣3．〖点评〗此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,正确得出A,B点坐标是解题关键．14．(5.00分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8．点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为 或3．〖分析〗根据勾股定理求出BD,分PD=DA、P?D=P?A两种情况,根据相似三角形的性质计算．〖解答〗解：∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=90°,∴BD==10,当PD=DA=8时,BP=BD﹣PD=2,∵△PBE∽△DBC,∴=,即=,解得,PE=,′′时,点P′为BD的中点,当P D=P A′′CD=3,∴P E=故答案为：或3．〖点评〗本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质,掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．三、解答题(共2小题,每小题8分,满分16分)〖点评〗此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,正确得出A,B点坐标是解题关键．14．(5.00分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8．点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为 或3．〖分析〗根据勾股定理求出BD,分PD=DA、P?D=P?A两种情况,根据相似三角形的性质计算．16．(8.00分)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下：今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问：城中有多少户人家？请解答上述问题．〖分析〗设城中有x户人家,根据鹿的总数是100列出方程并解答．〖解答〗解：设城中有x户人家,依题意得：x+=100解得x=75．答：城中有75户人家．〖点评〗考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系,列出方程．四、解答题(共2小题,每小题8分,满分16分)17．(8.00分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1,B1),画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 20个平方单位．〖分析〗(1)以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,即可画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1,即可画出线段A2B1;(3)连接AA2,即可得到四边形AA1B1A2为正方形,进而得出其面积．〖解答〗解：(1)如图所示,线段A1B1即为所求;(2)如图所示,线段A2B1即为所求;(3)由图可得,四边形AA1B1A2为正方形,∴四边形AA1B1A2的面积是()2=()2=20．故答案为：20．〖点评〗此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用,利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．18．(8.00分)观察以下等式：第1个等式：++×=1,第2个等式：++×=1,第3个等式：++×=1,第4个等式：++×=1,第5个等式：++×=1,……按照以上规律,解决下列问题：(1)写出第6个等式： ;(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示),并证明．〖分析〗以序号n为前提,依此观察每个分数,可以用发现,每个分母在n的基础上依次加1,每个分字分别是1和n﹣1〖解答〗解：(1)根据已知规律,第6个分式分母为6和7,分子分别为1和5故应填：(2)根据题意,第n个分式分母为n和n+1,分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立〖点评〗本题是规律探究题,同时考查分式计算．解答过程中,要注意各式中相同位置数字的变化规律,并将其用代数式表示出来．五、解答题(共2小题,每小题10分,满分20分)19．(10.00分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)〖分析〗根据平行线的性质得出∠FED=45°．解等腰直角△DEF,得出DE=DF=1.8米,EF=DE=米．证明∠AEF=90°．解直角△AEF,求出AE=EF•tan∠AFE≈18.036米．再解直角△ABE,即可求出AB=AE•sin∠AEB≈18米．〖解答〗解：由题意,可得∠FED=45°．在直角△DEF中,∵∠FDE=90°,∠FED=45°,∴DE=DF=1.8米,EF=DE=米．∵∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°．在直角△AEF中,∵∠AEF=90°,∠AFE=39.3°+45°=84.3°,∴AE=EF•tan∠AFE≈×10.02=18.036(米)．在直角△ABE中,∵∠ABE=90°,∠AEB=45°,∴AB=AE•sin∠AEB≈18.036×≈18(米)．故旗杆AB的高度约为18米．〖点评〗本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,平行线的性质,掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．20．(10.00分)如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5．(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长．〖分析〗(1)利用基本作图作AE平分∠BAC;(2)连接OE交BC于F,连接OC,如图,根据圆周角定理得到=,再根据垂径定理得到OE⊥BC,则EF=3,OF=2,然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=,在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．〖解答〗解：(1)如图,AE为所作;(2)连接OE交BC于F,连接OC,如图,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∴=,∴OE⊥BC,∴EF=3,∴OF=5﹣3=2,在Rt△OCF中,CF==,在Rt△CEF中,CE==．〖点评〗本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作．也考查了三角形的外心．六、解答题(本大题满分12分)21．(12.00分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：(1)本次比赛参赛选手共有 50人,扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 30%;(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由;(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率．〖分析〗(1)用“59.5～69.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数再计算出“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比,然后用1分别减去其它三组的百分比得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比;(2)利用“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为40%可判断他不能获奖;(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出恰好选中1男1女的结果数,然后根据概率公式求解．〖解答〗解：(1)5÷10%=50,所以本次比赛参赛选手共有50人,“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为×100%=24%,所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%=30%;故答案为50,30%;(2)他不能获奖．理由如下：他的成绩位于“69.5～79.5”之间,而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%=40%,因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖,他位于后40%,所以他不能获奖;(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数,其中恰好选中1男1女的结果数为8,所以恰好选中1男1女的概率==．〖点评〗本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．七、解答题(本题满分12分)22．(12.00分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少？〖分析〗(1)设培植的盆景比第一期增加x盆,则第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50﹣x)盆,根据“总利润=盆数×每盆的利润”可得函数解析式;(2)将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式,配方成顶点式,利用二次函数的性质求解可得．〖解答〗解：(1)设培植的盆景比第一期增加x盆,则第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50﹣x)盆,所以W1=(50+x)(160﹣2x)=﹣2x2+60x+8000,W2=19(50﹣x)=﹣19x+950;(2)根据题意,得：W=W1+W2=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950=﹣2x2+41x+8950=﹣2(x﹣)2+,∵﹣2＜0,且x为整数,∴当x=10时,W取得最大值,最大值为9160,答：当x=10时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是9160元．〖点评〗本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系,据此列出函数解析式及二次函数的性质．八、解答题(本题满分14分)23．(14.00分)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E．点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F．(1)求证：CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证：AN∥EM．〖分析〗(1)利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明;(2)利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题;(3)首先证明△ADE是等腰直角三角形,△DEM是等边三角形,设FM=a,则AE=CM=EM=a,EF=2a,推出=,=,由此即可解决问题;〖解答〗(1)证明：如图1中,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠DCB=90°,∵DM=MB,∴CM=DB,EM=DB,∴CM=EM．(2)解：∵∠AED=90°,∠A=50°,∴∠ADE=40°,∠CDE=140°,∵CM=DM=ME,∴∠NCD=∠MDC,∠MDE=∠MED,∴∠CME=360°﹣2×140°=80°,∴∠EMF=180°﹣∠CME=100°．(3)证明：如图2中,设FM=a．∵△DAE≌△CEM,CM=EM,∴AE=ED=EM=CM=DM,∠AED=∠CME=90°∴△ADE是等腰直角三角形,△DEM是等边三角形,∴∠DEM=60°,∠MEF=30°,∴AE=CM=EM=a,EF=2a,∵CN=NM,∴MN=a,∴=,=,∴=,∴EM∥AN．〖点评〗本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题．。
2019中考数学二轮专题复习几何综合问题附答案安徽省
专题林I |几何综合问题1. （2018?I河南）如图1，点F从菱形ABC的顶点A出发，沿
序号)9 . (2018 ?合肥期中)如图,长方形
限内 (1)写出点［B 的坐标，并求长方形〕OAB
A
方形的边的交点，，求点丨丨D |的坐标.丨|解：丨
(1) V A(6,o) I d C(QJ10)
OA^| 6Id O C=
过点F 作FF 丄BC 于 P ，则四边形FP 囘是矩形，
8 x 8 1
2 8 图,将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为
F 点为M,设CD 与〕Eh 交于点|P.，连
接I PF.I 已知BC 4.（1）若M 为A C 的中点，求CF
的长」（2）「随 着点M 在边AC 上取不同的位置，
CM= 12AC A 12BC = 2，由折叠的性质可知， R △ CFM 中,I F M2=|C |F2|+ CM2,即卩 |(4—] x)2
生变化，理由如下：由折叠的性质可知，
①厶P =M 的形
状是否发生变化？〔请说明理由；②求 △ P F M
的
周长的取值范围.〔
解：1（1）•・• M 为I AC
FB = FM 设 CF = ,则 FB = FM= 4 —
=X2 + 22,解得，
32，即 CF =I 32； ⑵①△ P FM 勺形状是等腰直角 三角形，不会发
/ PMF = /B = 45°,・・・ CD 是中垂线，
°, / = ・•・/ = /
/ MPC = / MFC •・[/ PCM= / OCF = 45°
O C OF ・・・|O MP =〕OC O F I POF =| / MoC
△ PF M 是等腰直角三角形P FM 是等。
2019年中考数学二轮复习专题练【几何图形的证明及计算问题】附答案解析
2019年中考数学二轮复习专题练【几何图形的证明及计算问题】附答案解析类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM 上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF 的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB 的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长；(3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求 AC BC 的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A 作AG ⊥AB 交BD 的延长线于点G . ①若CF ＝6，求DG 的长； ②设CF 交BD 于点H ，求HECH 的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ； ②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．第4题图5. 如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，顶点C 恰好在直线l 上，过A 、B 分别作AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E .(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．图①图②图③第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF 与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图类型一 与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∠BAM ＝∠CAM ， ∴∠CAM ＋∠ACM ＝90°， ∵AC ⊥BD ，∴∠MBE ＋∠ACM ＝90°， ∴∠BAN ＝∠CAM ＝∠MBE ， ∵MB ＝MN ， ∴∠MNB ＝∠MBN ，∵∠MNB ＝∠ABN ＋∠BAN ，∠MBN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＋∠BAN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＝∠NBE ， 即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ， ∴MB ＝MN ＝12BC ，∵四边形DNBC 为平行四边形， ∴BN ＝CD ，BN ∥CD ， ∴∠DBN ＝∠BDC ， 由(1)知∠ABN ＝∠DBN ， ∴∠ABN ＝∠BDC ， ∵AB ＝BD ＝1， ∴△ABN ≌△BDC ， ∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，参考答案由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°， ∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ， ∵AE ＝AD ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ， ∴∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠ABF ＝2∠EDC ， ∴∠BAD ＝∠ABF ， ∴△ABF 是等腰三角形； (2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ， ∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点， ∴AN ＝12BH ，∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ， ∴∠CAB ＝∠CBA ， ∴CA ＝CB 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°， ∴∠BAH ＝∠BCM ， ∵GM ＝AB ，AB ＝AC ， ∴AC ＝GM ， ∴CM ＝AG ， ∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM， ∴△BAH ≌△BCM (SAS)， ∴BH ＝BM ， ∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°， ∵CG 平分∠ACB ， ∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°， ∴∠A ＝∠BCG ， 在△BCG 和△CAF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BCGAC ＝BC∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)， ∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ， ∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ， ∴△ACG ≌△BCG (SAS )， ∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°， ∴∠PCG ＝∠PGC ， ∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ， ∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ， ∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33， 由(2)得：△ACG ≌△BCG ， ∴BG ＝AG ＝6， ∴ 12×6×EM ＝33， 解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °， ∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °， ∵∠ACH ＝45°， ∴2x ＋x ＝45， 解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23， AM ＝（23）2－（3）2＝3， ∴M 是AG 的中点，第3题解图∴AE ＝EG ＝23， ∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23， 在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°， ∴CE ＝12BE ＝3＋3，∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3. 4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD， ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点， ∴CF ＝BF ， ∴∠BCF ＝∠CBF ， 由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ， ∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°， ∴∠AMC ＝90°， ∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ， ∴BC ＝AC ＝2 2 ， ∵CE ＝1， ∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ， ∵点F 是BD 中点， ∴CF ＝DF ＝12BD ＝32 ，同理：EG ＝12AE ＝32 ，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点， ∴FH ＝12CD ＝12，∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14， 由(2)知，AE ⊥CF ，∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14，∴ME ＝13 ，∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76 ，∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ， 在△OBC 和△ODC 中，⎩⎨⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，第4题解图∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ， 在△BCO 和△DCO 中，⎩⎨⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△BCO ≌△DCO (SAS)， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ， 即∠DOE ＝∠DCE ， ∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°. 6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎨⎧BC ＝AC∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ， 即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎨⎧BC ＝AC∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°， ∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ， ∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ACD ， 又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ， ∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ， ∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点， ∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎨⎧BM ＝AN∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)， ∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ， ∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ， ∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°， ∴△MCN 是等腰直角三角形， ∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二 与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC . 在△AQP 与△ABC 中， ∵∠AQP ＝∠ABC ， ∠QAP ＝∠BAC ， ∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示． ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ， 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ， ∴P A AC ＝PQBC ，即3－PB 5＝BP 4， 解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示． ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB ， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∠ACB ＝90°， ∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ， ∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA . ∴AD ∥CE ； (3)解：∵CE ∥AD ， ∴∠DAF ＝∠ECF ， 又∵∠DF A ＝∠EFC ， ∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD CE ＝AF CF ， ∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AFCF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF ＝60°，∵AE ＝AF ，∴∠BAC ＝60°.∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，又∵∠BED ＝∠AEF ＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∵AE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ，∴AE AB ＝12.4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA ，①∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF ，②由①②可得CD AC ＝BE BF ，∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12 AC ，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ，∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线，∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ，∠ECF ＝∠ACB ，∴∠CEF ＝∠B ，∵∠ECH ＝∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD ，∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，∴∠HAE ＝∠BHF ，∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴∠AEH ＝∠BFH ，∴△AEH ∽△HFB ，∴ AE HF ＝EH FB ，∴FH ·EH ＝6，∴HE ＝HF ＝6，∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52 ，CM ＝CN ＝532，∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ，∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43，又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，解得y ＝5314或332，∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037 ，∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CFAC ，∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF ，∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32；(2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AC ＝AC∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ADG ＝∠EDCDG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE ，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中第1题解图⎩⎨⎧∠A ＝∠BCEAC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ，∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ， ∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CDBE ＝CF ，∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°， ∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN ；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ， 由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ，∴OF ＝255k ，EF ＝455k ，∴ADEF ＝54，又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54，即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ， ∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎨⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM ＝∠AIN ＝90°，又∵AI ＝AI ，∴△AMI ≌△ANI (ASA)，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴∠BMI ＝∠CNI ，设∠BAI ＝∠CAI ＝α，∠ACI ＝∠BCI ＝β，∴∠NIC ＝90°－α－β，∵∠ABC ＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G. ∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5.(1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠ADC ＝∠CEB∠DAC ＝∠ECBAC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1k AD .证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC ＝k ，∴DC ＝kBE ，CE ＝1k AD ，∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1k AD ；(3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4， 设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12，解得x ＝87，即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°，∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎨⎧CE ＝CF∠DCE ＝∠DCFCD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ， ∴CD CE ＝CF CD ，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，∴(12AB )2＝CE ·CF ，∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ，由①得AB 2＝4CE ·CF ， ∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN 又∵∠ENC ＝∠DNG ∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2，又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ，∴CG ＝BG ＝2， ∴NG ＝13CG ＝23，在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。
安徽省2019年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习一 数与式的运算
二、解答题专题学习突破专题复习(一) 数与式的运算类型1 实数的运算1．(2016·阜阳模拟)计算：12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋8×2－2－(－1)2. 解：原式＝－4＋2－1＝－3.2．(2016·邵阳)计算：(－2)2＋2cos 60°－(10－π)0. 解：原式＝4＋2×12－1＝4＋1－1＝4.3．(2016·滁州模拟)计算：(－3)2＋|－4|×2－1－(2－1)0.解：原式＝3＋4×12－1＝4.4．(2016·马鞍山模拟)计算：－22＋|－3|＋2sin 60°－12.解：原式＝－4＋3＋2×32－2 3 ＝－4.5．(2016·宜宾)计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2－ (－1)2 016－25 ＋ (π－1)0.解：原式＝9－1－5＋1＝4.6．(2016·广安)计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－27＋tan 60°＋||3－23.解：原式＝3－33＋3－3＋23＝0.类型2 整式的运算7．计算：(x －3)(3＋x)－(x 2＋x －1)．解：原式＝x 2－9－x 2－x ＋1＝－x －8.8．化简：a(2－a)－(3＋a)·(3－a)．解：原式＝2a －a 2－(9－a 2)＝2a －9.9．(2016·马鞍山模拟)计算：(x ＋3)(x －5)－x(x －2)．解：原式＝x 2－5x ＋3x －15－x 2＋2x ＝－15.10．(2016·茂名)先化简、再求值：x(x －2)＋(x ＋1)2、其中x ＝1.解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2＋1.当x ＝1时、原式＝2＋1＝3.11．(2016·衡阳)先化简、再求值：(a ＋b)(a －b)＋(a ＋b)2、其中a ＝－1、b ＝12. 解：原式＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋2ab.当a ＝－1、b ＝12时、原式＝2×(－1)2＋2×(－1)×12＝2－1＝1.类型3 分式的化简与求值12．(2016·宿州模拟)化简：⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －x x －1·(x－1)2. 解：原式＝[x 2－1x （x －1）－x 2x （x －1）]·(x－1)2 ＝－1x （x －1）·(x－1)2 ＝1－x x.13．(2016·甘孜州)化简：x ＋3x 2－9＋1x －3. 解：原式＝x ＋3（x ＋3）（x －3）＋x ＋3（x ＋3）（x －3）＝2（x ＋3）（x ＋3）（x －3） ＝2x －3.14．(2016·宣城模拟)先化简、再求值： a 2－2a ＋1a 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3a ＋1、其中a ＝0.解：原式＝（a －1）2（a ＋1）（a －1）÷a ＋1－3a ＋1＝（a －1）2（a ＋1）（a －1）·a ＋1a －2＝a －1a －2. 当a ＝0时、a －1a －2＝12.15．(2016·淮北模拟)先化简、再求值：1a ＋1－a （a ＋1）2、其中a ＝2－1. 解：原式＝a ＋1（a ＋1）2－a （a ＋1）2 ＝1（a ＋1）2. 当a ＝2－1时、原式＝1（2－1＋1）2＝12.16．(2016·娄底)先化简、再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x －1·x 2－x x 2－6x ＋9、其中x 是从1、2、3中选取的一个合适的数． 解：原式＝x －3x －1·x （x －1）（x －3）2＝x x －3. 当x ＝1、3时原方程无意义．当x ＝2时、原式＝22－3＝－2.17．(2016·枣庄)先化简、再求值：a 2＋a a 2－2a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1－1a 、其中a 是方程2x 2＋x －3＝0的解． 解：原式＝a （a ＋1）（a －1）2÷2a －（a －1）a （a －1）＝a （a ＋1）（a －1）2·a （a －1）a ＋1＝a 2a －1. 由2x 2＋x －3＝0、得x 1＝1、x 2＝－32. 又a －1≠0、即a≠1、∴a ＝－32. ∴原式＝（32）2－32－1＝－910.18．(2016·河南)先化简、再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋x －1÷x 2－1x 2＋2x ＋1、其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4的整数解中选取． 解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）·（x ＋1）2（x －1）（x －1） ＝－xx ＋1·x ＋1x －1＝x1－x .解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4得－1≤x<52、 当x ＝－1、0、1时、原方程无意义． 当x ＝2时、原式＝21－2＝－2.。
安徽省2019年中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习九 函数的图
百度文库，精选试题函数的图象与性质专题复习(九)一次函数与反比例函数的图象综合题类型1b. B两点、其解析式为y＝－x＋、已知A(1、m)B(n、1)、直线l过A、1．(2016·合肥瑶海区模拟) 5时、求m、n的值；(1)当b＝k2＋k＝0的解．(x>0)也过A、B两点、求关于x的方程x －bx(1)(2)在的条件下、若此时双曲线y＝x4.＝4、ny＝1时、x＝4、即m＝＋解：(1)当b＝5时、y＝－x5；当x＝1时、y＝4；当21.＝、x5x＋4＝0、解得x＝4、方程为(2)根据题意、得k＝4x－21k轴于点yAB＝y交于点交C(3、n)、直线2．(2016·安徽模拟)已知、如图所示、一次函数y＝x与反比例函数1x k 、求：、3)、2)、交反比例函数y＝于点A(mB(01x k的值；的解析式y＝ax＋b和AB(1)直线2k ＋b≥的解集．(2)在x>0范围内、结合图象求不等式ax x3. ＝y、n)在一次函数＝x解：(1)∵点图象上、∴C(3、3)3．∴ C(k又∵反比例函数y图象经过点C、∴k＝3.又∵A(m、3)在反比例函数y＝图象上、∴3＝.∴m＝1.∴A(1、3)．1xm又∵直线y＝1xk3ax＋b经过A(1、3)、B(0、2)、2a＋b＝3，a＝1，????∴解得??b＝2.b＝2.????∴直线AB的解析式为y＝x＋2.由图象可知、在第一象限内、当x≥1时、y≥y. 12k∴不等式ax＋b≥的解集为x≥1.2(2)xm3．(2016·威海)如图、反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A、B两点、点A的坐标为(2、6)、x点B的坐标为(n、1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E为y轴上一个动点、若S＝5、求点E的坐标．AEB△m解：(1)把点A(2、6)代入y＝、得m ＝12.x试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题12.＝则所求反比例函数的表达式为y x12 、n＝121)代入y＝、得把点B(n、x ．(12、1)则点B的坐标为1??，＝6＋2kb，k＝－??2?解得、点B(12、1)、得由直线y＝kx＋b过点A(2、6) ?1.＝12k＋b????7.＝b17.＋则所求一次函数的表达式为y＝－x 2 (0、7)．P、m)、连接AE、BE、则点的坐标为AB(2)设直线与y轴的交点为P、设点E的坐标为(07|.PE＝|m－∴ S＝5、∵S＝S－AEP△△BEPAEB△11. －7|＝×|m－7|×(12－∴2)＝5.∴|m28.、m＝∴m＝621、8)．的坐标为(0、6)或(0∴点E1k n)．、2)、B(、A(2．(2016·乐山)如图、反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象交于点42x (1)求这两个函数的解析式；k的图象有且只有一个＝轴向下平移m个单位、使平移后的图象与反比例函数y(2)将一次函数y＝ax ＋b的图象沿y x 的值．交点、求mk4.k＝的图象上、∴2)在反比例函数y＝解：(1)∵A(2、x4.y＝∴反比例函数的解析式为x1148.n＝＝4、解得、n)在反比例函数y＝的图象上、∴n又∵B(2x2，b＝2a＋2??，a＝－4?1?? bax＋的图象上、得解得B(由A(2、2)、、8)在一次函数y＝?1210.b＝b.＋a8＝????210.＋＝－4xy∴一次函数的解析式为m. －4x＋10＝－向下平移＝－(2)将直线y4x＋10m个单位得直线的解析式为y4 有且只有一个交点、＝与双曲线－＋＝－∵直线y4x10my x试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题42令－4x＋10－m＝、得4x＋(m－10)x＋4＝0.x218.或m、解得＝2－10)－64＝0∴Δ＝(m8－m ．1、6)(m为常数)的图象经过点A(－5．(2016·宿州灵璧县一模)已知反比例函数y＝x 的值；(1)求m8－m 的坐标．2BC、求点CC、且AB ＝A作直线AC与函数y＝的图象交于点B、与x轴交于点(2)如图、过点x解：(1)∵反比例函数图象过点A(－1、6)、m－8＝6∴、解得m＝2. 1－故m的值为2.(2)分别过点A、B作x轴的垂线、垂足分别为点E、D.由题意、得AE＝6、OE＝1.∵BD⊥x轴、AE⊥x轴、∴AE∥BD.CBBD∴△CBD∽△CAE.∴＝.CAAECB11BD∵AB＝2BC、∴＝.∴＝、即BD＝2.CA336∴点B的纵坐标为2.当y＝2时、x＝－3、即B(－3、2)．设直线AB解析式为y＝kx＋b、－k＋b＝6，k＝2，????把A和B坐标代入、得解得??－3k＋b＝2.b＝8.????∴直线AB解析式为y ＝2x＋8.令y＝0、解得x＝－4.∴C(－4、0)．类型2 求二次函数的解析式．(2016·安徽模拟)二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点(4、3)、(3、0)、求函数表达式、并26求出当0≤x≤3时、y的最大值．y＝x＋bx＋c的图象经过点(4、3)、(3、0)、2解：∵二次函数16＋4b＋c＝3，b＝－4，????∴解得??9＋3b＋c＝0.c＝3.????23. ＋x－4xy∴函数表达式为＝221.2)－＝＋3(x－－y＝x4x3.有最大值是0时、y＝∴当x 11)、．4(3)(07．已知二次函数的图象过点、、顶点坐标为－求这个二次函数的关系式；(1)试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题x轴交点坐标．(2)求这个二次函数图象与12、＝－、解得＝3a＋4)＋11、将(0、3)代入上式可得16a＋11＝解：(1)根据题意、可设该二次函数关系式为ya(x21211.＋(x＋4)故这个二次函数关系式为y＝－2120＝、得 (2)在函数y＝－(x＋4)＋11中、令y 212、＋22、0)＝－4、故这个二次函数图象与－22x轴交点坐标为(－、解得－(x＋4)＋11＝0x ＝－44＋22、x212 ．－22、0)(－42、请解答下列问题：－1、0)c＋2x＋经过点A(0、3)、B(8．如图、抛物线y＝ax求抛物线的解析式；(1) 的长．、连接BD、求BD(2)抛物线的顶点为点D、对称轴与x轴交于点E22x＋c、得1、0)代入抛物线y＝ax＋解：(1)把点A(0、3)、B(－，，a＝－1c＝3????解得??3.0.c ＝a－2＋c＝????23.2x＋∴抛物线的解析式为y＝－x＋224. ＝BE＝2、DE4)D的坐标为(1、、点E坐标为(1、0)、∴1)x(2)y＝－＋2x＋3＝－(x－＋4、顶点22225.＝BD2＝DE＋B＝4＋2是二次函数图象上D、两点、交y轴于点C(03)、点C、和．如图、二次函数的图象与9x轴交于A(－3、0)B(1、0)D. 、的一对对称点、一次函数的图象过点B 点坐标；(1)请直接写出D (2)求二次函数的解析式； (3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．解：(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(－3、0)和B(1、0)两点、－3＋1∴对称轴是x＝＝－1.2又∵点C(0、3)、点C、D是二次函数图象上的一对对称点、∴D(－2、3)．(2)设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)、将C(0、3)代入、得3＝a×3×(－1)、解得a＝－1.∴二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)．y＝－x－2x＋3.2即(3)一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜－2或x＞1.试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题类型3 二次函数的图象与性质的综合题10．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图、直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点、把△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△OCD.(1)请直接写出C、D两点的坐标；(2)求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(3)点P是(2)中抛物线对称轴上的一个动点、当△PAB的周长最小时、求点P的坐标．解：(1)∵直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点、∴当x＝0时、y＝4、则B(0、4)；当y＝0、x＝2、则A(2、0)．∵把△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD、∴C(－4、0)、D(0、2)．(2)∵抛物线与x轴交点为C(－4、0)、A(2、0)、∴设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－2)．把点B(0、4)代入、得－8a＝4.1解得a＝－.2112故抛物线解析式为y＝－(x＋4)(x－2)＝－x－x＋4.2211922(3)∵y＝－x－x＋4＝－(x＋1)＋、222连接BC、交对称轴于点P、此时、△PAB 的周长最小、设直线BC的解析式为y＝kx＋b.b＝4，k＝1，????则解得??－4k＋b＝0.b＝4.????故直线BC的解析式为y＝x＋4.当x＝－1时、y＝3、故P(－1、3)．．已知抛物线y＝x－2mx＋3m＋2m.2211(1)若抛物线经过原点、求m的值及顶点坐标、并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；(2)是否无论m取何实数值、抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m变化时、列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式、并求出该函数的最小函数值．y＝x－2mx＋3m＋2m＝(x－m)＋2m＋2m、2222解：∵(m、2m＋2m)．2∴抛物线顶点为(1)将(0、0)代入抛物线解析式中、2解得m＝0或m＝－.3当m＝0时、顶点坐标为(0、0)；224当m＝－时、顶点坐标为(－、－)．339∵第三象限的平分线所在的直线为y＝x、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题42 )不在该直线上．(－、－∴(0、0)在该直线上、932．2m＋2m)(2)∵抛物线顶点为(m、2m＋2m>0∴①当m>0时、2、此时抛物线的顶点在原点；2m＝2、此时抛物线顶点在第一象限；0m＝0时、2m＋②当22、则顶点坐标在第三象限、2m＋2m<0m<0时、若2m＋2m>0、则顶点坐标在第二象限；若③当为何实数值、抛物线的顶点一定不在第四象限．∴无论m2＋2m、、纵坐标为n、则n＝2m设顶点横坐标为m1122 )－、2m＋2m＝2(m＋∵n＝2211.时、n有最小值－∴当m＝－222B.轴交于另一点C(0、4)两点、与x、＋bx－4a经过A(－10)、12．(2016·芜湖南陵县模拟)如图、抛物线y＝ax 点的坐标；(1)求抛物线的解析式、并直接写出B 对称的点的坐标；1)在第一象限的抛物线上、求点D关于直线BC(2)已知点D(m、m＋的坐标．为抛物线上一点、且∠DBP＝45°、求点PBD(3)在(2)的条件下、连接、点P、4)两点、0)－4a经过A(－1、、解：(1)抛物线y＝ax＋bx，＝－1＝0，aa－b－4a????∴2 C(0解得??3.b＝－4a＝4.????24.＋x＋3x∴抛物线的解析式为y＝－24. 、x＝14＝0、得x＝－令y＝－x＋3x＋21、0)．∴B点的坐标是(4＋1)在抛物线上、(2)∵点D(m、m220. 3＝、即m－2m－3m∴m＋1＝－m＋＋43.m＝∴m＝－1或 4)．D的坐标为(3、∵点D在第一象限、∴点OB. ＝OC由(1)知.°∴∠CBA＝45DE. 、连接关于直线BC的对称点为点E设点D 3. ＝AB、且CD∵C(0、4)、∴CD∥∴∠ECB＝∠DCB＝45°.3. ＝CD＝∴E点在y轴上、且CE ＝1.∴E(0、1)．∴OE 1)．关于直线BC对称的点的坐标为(0、∴点DG. 于点、过点D作DG⊥BC于点(3)如备用图、过点P作PF ⊥ABF. ＝45°、∴∠有OB＝OC＝4OBC由(1) CBD＝∠PBA.＝∵∠DBP45°、∴∠3. 且CD＝∥、、C(04)、D(34)、∴CDOB∵. °＝∠CBO＝∴∠DCG4523.＝＝∴DGCG2试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题23DG tantan.∠CBDPBF＝＝∴＝∠5BG 5t、3t、则BF＝设PF＝4.－5t∴OF＝点在抛物线上．∵P24. ＋4)＋4)∴3t＝－(－5t＋＋3(－5t22.＝舍去∴t＝0()或t25662????，－ P.∴??255、BC在x轴上、且AB＝3、＝213．(2016·桐城三校联考试题)如图、在平面直角坐标系xOy中、矩形ABCD的边3ABG.＝轴于点C、交y3x－23经过点直线y由二次函数对称性得、顶点横坐标为解：(2)＝22355.23＝令x＝、则y3＝×－22235 ．(∴顶点坐标为、)22352.－)＋设抛物线解析式为y＝a(x2232.a代入、得把点D(1＝、23)332352.－)∴解析式为y＋＝(x232 ．23)(m>0)设顶点(3)E在直线上运动的横坐标为m、则E(m、3m－3223.＋3m2设抛物线解析式为y＝－(x－m)3322舍＝0(3－2＝2m－23、解得m3m3)、则EGEG①当FG＝时、FG＝＝2m2mF(0、－2、代入解析式、得m＋133.＝3去)、m－22333722－；＋)＋3＝∴所求的解析式为y3(x－223 、代入解析式、得23m、、则2FGEFGE②当＝时、＝3mF(02－3)试题习题，尽在百度．百度文库，精选试.30、解舍3333322－)∴所求的解析式为y＝；(x－232 时、不存在．FG③当＝FE373232y3＋－或(x综上所述、平移后存在抛物线、使△EFG为等腰三角形、此时抛物线的解析式为y＝3－＋)23233232. )＝－－(x232试题习题，尽在百度．。
安徽省2019年中考数学总复习第二部分(WORD)
题型一 分析判断函数图象类型一 根据函数性质判断函数图象例1 (2017·威海)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b ＋c x在同一坐标系中的大致图象是( C )例1题图A BC D由已知函数图象来确定要求的函数图象大致位置的问题有两种思考方法，一是由已知的函数图象确定要求的函数各字母系数的取值范围，进而确定函数图象的位置，然后直接选择；二是根据已知函数图象，得到已知函数各字母系数的取值范围，然后对各选项进行逐次排除，选出正确答案．类型二分析实际问题判断函数图象例2(2018·宁夏)如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60 s后将容器内注满．容器内水面的高度h(cm)与注水时间t(s)之间的函数关系图象大致是(D)例2题图A B C D解决此类题要有较强的函数图象的识图能力和函数与实际问题结合的应用意识．解题时要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时要理解横、纵坐标表示的含义，以及问题叙述的过程．类型三分析几何动点问题判断函数图象例3(2018·莱芜)如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动(a的起始位置在B点)，速度均为每秒1个单位，运动时间为t(s)，直到b到达C点停止．在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a 和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为(B)例3题图A B C D本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．解答问题的关键是能根据变化过程分析函数图象．要从图象中获取信息，首先要明确横、纵轴的实际意义，能抓住关键点，如起点、交点和终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义．题型二判断结论正误题类型一分析函数图象判断结论正误例1(2018·衡阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－23；③对于任意实数m，a＋b≥am2＋bm总成立；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确有(D)例1题图A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法指导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向得到a ＜0，再由抛物线的对称轴得到b ＝－2a ，则3a ＋b ＝a ，于是可对①进行判断；利用2≤c ≤3和c ＝－3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝n －1有两个交点可对④进行判断．类型二 分析代数问题判断结论正误例2 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即当n 为非负整数时，若n －12≤x ＜n ＋12，则＜x ＞＝n ，如＜0.46＞＝0，＜3.67＞＝4，给出下列关于＜x ＞的结论：①＜1.493＞＝1；②＜2x ＞＝2＜x ＞；③若＜12x －1＞＝4，则实数x 的取值范围是9≤x ＜11；④当x ≥0，m 为非负整数时，有＜m ＋2 013x ＞＝m ＋＜2 013x ＞；⑤＜x ＋y ＞＝＜x ＞＋＜y ＞.其中，正确的结论有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【方法指导】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看所得值的个位数四舍五入后的值，问题可得解．对于①可直接判断，②、⑤可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．类型三 分析几何问题判断结论正误例3 (2017·遂宁)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别从点A ，点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到点D 时，E ，F 停止运动．连接BE ，AF 相交于点G ，连接CG .有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E ，F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为25－2；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积S ＝8＋85 5.其中正确的命题有____①②③___(写出所有正确结论。
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专题复习(九) 函数的图象与性质类型1 一次函数与反比例函数的图象综合题1．(2016·合肥瑶海区模拟)已知A(1、m)、B(n 、1)、直线l 过A 、B 两点、其解析式为y ＝－x ＋b. (1)当b ＝5时、求m 、n 的值；(2)在(1)的条件下、若此时双曲线y ＝k x (x>0)也过A 、B 两点、求关于x 的方程x 2－bx ＋k ＝0的解．解：(1)当b ＝5时、y ＝－x ＋5；当x ＝1时、y ＝4；当y ＝1时、x ＝4、即m ＝4、n ＝4.(2)根据题意、得k ＝4、方程为x 2－5x ＋4＝0、解得x 1＝4、x 2＝1.2．(2016·安徽模拟)已知、如图所示、一次函数y ＝x 与反比例函数y 1＝kx 交于点C(3、n)、直线AB 交y 轴于点B(0、2)、交反比例函数y 1＝kx 于点A(m 、3)、求：(1)直线AB 的解析式y 2＝ax ＋b 和k 的值；(2)在x>0范围内、结合图象求不等式ax ＋b≥kx的解集．解：(1)∵点C(3、n)在一次函数y ＝x 图象上、∴n ＝ 3. ∴C(3、3)．又∵反比例函数y 1＝kx图象经过点C 、∴k ＝3.又∵A(m、3)在反比例函数y 1＝k x 图象上、∴3＝3m .∴m＝1.∴A(1、3)．又∵直线y 2＝ax ＋b 经过A(1、3)、B(0、2)、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴直线AB 的解析式为y 2＝x ＋2.(2)由图象可知、在第一象限内、当x≥1时、y 2≥y 1. ∴不等式ax ＋b≥kx的解集为x≥1.3．(2016·威海)如图、反比例函数y ＝mx 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于A 、B 两点、点A 的坐标为(2、6)、点B 的坐标为(n 、1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点、若S △AEB ＝5、求点E 的坐标． 解：(1)把点A(2、6)代入y ＝mx、得m ＝12.则所求反比例函数的表达式为y ＝12x .把点B(n 、1)代入y ＝12x 、得n ＝12、则点B 的坐标为(12、1)．由直线y ＝kx ＋b 过点A(2、6)、点B(12、1)、得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，12k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝7.则所求一次函数的表达式为y ＝－12x ＋7.(2)设直线AB 与y 轴的交点为P 、设点E 的坐标为(0、m)、连接AE 、BE 、则点P 的坐标为(0、7)． ∴PE ＝|m －7|.∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝5、∴12×|m－7|×(12－2)＝5.∴|m －7|＝1. ∴m 1＝6、m 2＝8.∴点E 的坐标为(0、6)或(0、8)．4．(2016·乐山)如图、反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2、2)、B(12、n)．(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位、使平移后的图象与反比例函数y ＝kx 的图象有且只有一个交点、求m 的值．解：(1)∵A(2、2)在反比例函数y ＝kx 的图象上、∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x.又∵B(12、n)在反比例函数y ＝4x 的图象上、∴12n ＝4、解得n ＝8.由A(2、2)、B(12、8)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上、得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m. ∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x有且只有一个交点、令－4x ＋10－m ＝4x 、得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∴Δ＝(m －10)2－64＝0、解得m ＝2或18.5．(2016·宿州灵璧县一模)已知反比例函数y ＝m －8x (m 为常数)的图象经过点A(－1、6)．(1)求m 的值；(2)如图、过点A 作直线AC 与函数y ＝m －8x的图象交于点B 、与x 轴交于点C 、且A B ＝2BC 、求点C 的坐标．解：(1)∵反比例函数图象过点A(－1、6)、 ∴m －8－1＝6、解得m ＝2. 故m 的值为2.(2)分别过点A 、B 作x 轴的垂线、垂足分别为点E 、D. 由题意、得AE ＝6、OE ＝1.∵BD ⊥x 轴、AE ⊥x 轴、∴AE ∥BD. ∴△CBD ∽△CAE.∴CB CA ＝BDAE.∵AB ＝2BC 、∴CB CA ＝13.∴13＝BD6、即BD ＝2.∴点B 的纵坐标为2.当y ＝2时、x ＝－3、即B(－3、2)． 设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b 、把A 和B 坐标代入、得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝8.∴直线AB 解析式为y ＝2x ＋8.令y ＝0、解得x ＝－4. ∴C(－4、0)．类型2 求二次函数的解析式6．(2016·安徽模拟)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4、3)、(3、0)、求函数表达式、并求出当0≤x≤3时、y 的最大值．解：∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4、3)、(3、0)、∴⎩⎪⎨⎪⎧16＋4b ＋c ＝3，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3. ∴函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3. y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1. ∴当x ＝0时、y 有最大值是3.7．已知二次函数的图象过点(0、3)、顶点坐标为(－4、11)． (1)求这个二次函数的关系式；(2)求这个二次函数图象与x 轴交点坐标．解：(1)根据题意、可设该二次函数关系式为y ＝a(x ＋4)2＋11、将(0、3)代入上式可得16a ＋11＝3、解得a ＝－12、故这个二次函数关系式为y ＝－12(x ＋4)2＋11.(2)在函数y ＝－12(x ＋4)2＋11中、令y ＝0、得－12(x ＋4)2＋11＝0、解得x 1＝－4＋22、x 2＝－4－22、故这个二次函数图象与x 轴交点坐标为(－4＋22、0)、(－4－22、0)．8．如图、抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0、3)、B(－1、0)、请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为点D 、对称轴与x 轴交于点E 、连接BD 、求BD 的长．解：(1)把点A(0、3)、B(－1、0)代入抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 、得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －2＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4、顶点D 的坐标为(1、4)、点E 坐标为(1、0)、∴BE ＝2、DE ＝4. ∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝2 5.9．如图、二次函数的图象与x 轴交于A(－3、0)和B(1、0)两点、交y 轴于点C(0、3)、点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点、一次函数的图象过点B 、D. (1)请直接写出D 点坐标； (2)求二次函数的解析式；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．解：(1)∵二次函数的图象与x 轴交于A(－3、0)和B(1、0)两点、 ∴对称轴是x ＝－3＋12＝－1.又∵点C(0、3)、点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点、∴D(－2、3)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋3)(x －1)(a≠0)、将C(0、3)代入、得3＝a×3×(－1)、 解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x ＋3)(x －1)．即y ＝－x 2－2x ＋3.(3)一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜－2或x ＞1.类型3 二次函数的图象与性质的综合题10．(2016·安徽中考信息交流卷二)如图、直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点、把△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°得到△OCD.(1)请直接写出C 、D 两点的坐标；(2)求出经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(3)点P 是(2)中抛物线对称轴上的一个动点、当△PAB 的周长最小时、求点P 的坐标． 解：(1)∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点、 ∴当x ＝0时、y ＝4、则B(0、4)； 当y ＝0、x ＝2、则A(2、0)．∵把△AOB 绕着点O 逆时针旋转90°得到△COD、∴C(－4、0)、D(0、2)．(2)∵抛物线与x 轴交点为C(－4、0)、A(2、0)、∴设抛物线解析式为y ＝a(x ＋4)(x －2)． 把点B(0、4)代入、得－8a ＝4. 解得a ＝－12.故抛物线解析式为y ＝－12(x ＋4)(x －2)＝－12x 2－x ＋4.(3)∵y＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92、连接BC 、交对称轴于点P 、此时、△PAB 的周长最小、设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4. 故直线BC 的解析式为y ＝x ＋4. 当x ＝－1时、y ＝3、 故P(－1、3)．11．已知抛物线y ＝x 2－2mx ＋3m 2＋2m.(1)若抛物线经过原点、求m 的值及顶点坐标、并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；(2)是否无论m 取何实数值、抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m 变化时、列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式、并求出该函数的最小函数值．解：∵y＝x 2－2mx ＋3m 2＋2m ＝(x －m)2＋2m 2＋2m 、∴抛物线顶点为(m 、2m 2＋2m)． (1)将(0、0)代入抛物线解析式中、 解得m ＝0或m ＝－23.当m ＝0时、顶点坐标为(0、0)； 当m ＝－23时、顶点坐标为(－23、－49)．∵第三象限的平分线所在的直线为y ＝x 、∴(0、0)在该直线上、(－23、－49)不在该直线上．(2)∵抛物线顶点为(m 、2m 2＋2m)．∴①当m>0时、2m 2＋2m>0、此时抛物线顶点在第一象限；②当m ＝0时、2m 2＋2m ＝0、此时抛物线的顶点在原点；③当m<0时、若2m 2＋2m>0、则顶点坐标在第二象限；若2m 2＋2m<0、则顶点坐标在第三象限、 ∴无论m 为何实数值、抛物线的顶点一定不在第四象限．设顶点横坐标为m 、纵坐标为n 、则n ＝2m 2＋2m 、 ∵n ＝2m 2＋2m ＝2(m ＋12)2－12、∴当m ＝－12时、n 有最小值－12.12．(2016·芜湖南陵县模拟)如图、抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A(－1、0)、C(0、4)两点、与x 轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式、并直接写出B 点的坐标；(2)已知点D(m 、m ＋1)在第一象限的抛物线上、求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； (3)在(2)的条件下、连接BD 、点P 为抛物线上一点、且∠DBP＝45°、求点P 的坐标．解：(1)抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A(－1、0)、C(0、4)两点、∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4a ＝0，－4a ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋3x ＋4.令y ＝－x 2＋3x ＋4＝0、得x 1＝－1、x 2＝4. ∴B 点的坐标是(4、0)．(2)∵点D(m 、m ＋1)在抛物线上、∴m ＋1＝－m 2＋3m ＋4、即m 2－2m －3＝0. ∴m ＝－1或m ＝3.∵点D 在第一象限、∴点D 的坐标为(3、4)． 由(1)知OC ＝OB. ∴∠CBA ＝45°.设点D 关于直线BC 的对称点为点E 、连接DE. ∵C(0、4)、∴CD ∥AB 、且CD ＝3. ∴∠ECB＝∠DCB＝45°.∴E 点在y 轴上、且CE ＝CD ＝3. ∴OE ＝1.∴E(0、1)．∴点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0、1)．(3)如备用图、过点P 作PF⊥AB 于点F 、过点D 作DG⊥BC 于点G. 由(1)有OB ＝OC ＝4、∴∠OBC ＝45°. ∵∠DBP ＝45°、∴∠CBD ＝∠PBA.∵C(0、4)、D(3、4)、∴CD ∥OB 且CD ＝3. ∴∠DCG ＝∠CBO＝45°. ∴DG ＝CG ＝322.∴tan ∠PBF ＝tan ∠CBD ＝DG BG ＝35.设PF ＝3t 、则BF ＝5t 、 ∴OF ＝5t －4.∵P 点在抛物线上．∴3t ＝－(－5t ＋4)2＋3(－5t ＋4)＋4. ∴t ＝0(舍去)或t ＝2225.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，6625. 13．(2016· 桐城三校联考试题)如图、在平面直角坐标系xOy 中、矩形ABCD 的边AB 在x 轴上、且AB ＝3、BC ＝23、直线y ＝3x －23经过点C 、交y 轴于点G.(1)点C 、D 的坐标分别是(2)求顶点在直线y ＝3x C 、D 的抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物23平移、平移后的抛物线交y 轴于点F 、顶点为点E(顶点在y 轴右侧)．平移后是否存在这样的抛物线、使△EFG 为等腰三角形？若存在、请求出此时抛物线的解析式；若不存在、请说明理由．解：(2)由二次函数对称性得、顶点横坐标为1＋42＝52.令x ＝52、则y ＝3×52－23＝32.∴顶点坐标为(52、32)．设抛物线解析式为y ＝a(x －52)2＋32.把点D(1、23)代入、得a ＝233.∴解析式为y ＝233(x －52)2＋32.(3)设顶点E 在直线上运动的横坐标为m 、则E(m 、3m －23)(m>0)． 设抛物线解析式为y ＝233(x －m)2＋3m －2 3.①当FG ＝EG 时、FG ＝EG ＝2m 、则F(0、2m －23)、代入解析式、得233m 2＋3m －23＝2m －23、解得m 1＝0(舍去)、m 2＝3－32.∴所求的解析式为y ＝233(x －3＋32)2＋3－732；②当GE ＝EF 时、FG ＝23m 、则F(0、23m －23)、代入解析式、得m 2∴所求的解析式为y ＝233(x －32)2－32；③当FG ＝FE 时、不存在．综上所述、平移后存在抛物线、使△EFG 为等腰三角形、此时抛物线的解析式为y ＝233(x －3＋32)2＋3－732或y＝233(x －32)2－32.。