湖南省衡阳市八中高一数学上学期期末考试试题湘教版

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湖南衡阳八中高一期末考试__数学

2009年衡阳市八中高一08-09学年度过关考试试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上。

） 1、2弧度的角所在的象限是（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、下列说法中错误的是（）A ．零向量的长度为0B ．若a 是非零向量，则a ＞0C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的3、cos80cos35sin80sin35+o o o o的值是（）0A 、 12B 、 2C 、 D4、ABC ∆中，已知008,45,75,a A C ===则（）A 、4b =B 、b =C 、b =D 、b =5、若向量),2,1(),1,1(),1,1(-=-==c b a 则=c（）A 、;2321b a +-B 、;2321b a -C 、;2123b a -D 、;2123b a +-6、已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直，则实数λ的值为（）A 、;23-B 、;23C 、;23± D 、;17、函数sin(2)3y x p=-的单调递减区间是（）A 、;32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-ππππ B 、;1252,122Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C 、;125,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D 、;3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ8、设,c o s s i n )c o s (s i n αααα⋅=+f 则)6(sin πf 的值为（） A 、;83- B 、;81C 、;81-D 、;83 二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．将正确的答案填入答题卡上）9、已知点)2,1(),1,0(),1,2(),0,1(--D C B A ，则AB 与CD 的夹角大小为 .10、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南偏东60°,则A,B 之间相距为：。

湖南省衡阳市八中-度高一数学上学期期末考试

衡阳市八中2007-2008年度高一上学期期末考试数学一选择题（每小题3分，共30分）1．若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是（） A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．三棱锥 D ．三棱台2．以下命题正确的是（）A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合 3．.过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y= （） A ．1 B 。

-1 C 。

5 D 。

-54．.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（）（A ）没有（B ）有一条（C ）有无数条（D ）α内所有直线5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为（）AB、 CD 、26．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于（） A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°7．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（）（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n8．若直线x+ay-a=0与直线ax -（a-1）y -1=0互相垂直，则a 的值是（ C ）A 、2B 、-3或1C 、2或0D 、1或09．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（） A ．3122a B ．123aC ．3123a D ．63a10．平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ D ） A. 052=+-y x B. 052=--y xC. 052052=-+=++y x y x 或D. 052052=--=+-y x y x 或二．填空题（本题每小题3分，共15分）11．有半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为 12．．空间到定点A(-1,0,4)的距离等于3的点的集合是 ,其方程是 .13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1—BD —C 的正切值为．14．与直线和曲线x 2+y 2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是15．下列命题正确的是．①平面内α的两条相交直线分别平行平面β内的两条相交直线，则平面α平行于平面β； ②两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③若平面α平行于平面β，平面β平行于平面γ，则平面α平行于平面γ； ④若α⊥γ，β⊥γ则α∥β； ⑤α⊥β，β⊥γ则α⊥γ．三、解答题16．（7分） △ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．17．（10分）在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点. （1）求异面直线BC 、DF 所成的角的正切值（2）若在正方体内放置一个铁球，求可放置的最大球的体积（3）求证：四边形B 1EDF 是菱形；A C118．（10分）一圆和已知圆x 2+y 2-2x=0相外切，并和直线相切于点（3，求圆的方程19．（10分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明：P A∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；.20。

湖南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（）{}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A ． B ． {}2x x ≤-{}22x x -≤<C ． D ．{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得， {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选：B2．”是“”的（） b >2a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，但不满足，故充分性不满足； 4,3a b ==-b >2a b >当，故满足必要性； 20a b >≥b >综上所述，”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（） ()21y f x =-[]0,1()y f x =A ． B ．C ．D ．[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求 x 21x -【详解】因为，所以， 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（）2()||1x f x x =+A ．函数是奇函数B ．函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C ．函数在R 上是增函数D ．方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ，，故是偶函数，，不是奇函数，2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误，对于B ，当时，，由对勾函数性质知，0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数，的值域是，故B 错误，()f x ()f x [0,)+∞对于C ，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数，故在上单调递减，故C 错误，()f x ()f x (,0)-∞对于D ，当时，，即，解得，故D 正确， 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（）()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A ． B ．C ．D ．[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时，单调递减，且，0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减，因为，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以，解得，即实数的取值范围为：. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =（） A ．B ．(,1)-∞(,1]-∞-C ．D ．[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意，，22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时，，1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同，即为，()f x y x =R 需满足，解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（）()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． B ． b a c >>b c a >>C ． D ．c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解：∵，||()x f x e -=∴f （x ）为偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵， 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴， b a c >>故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（）0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ，【详解】当取最值时，．()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即， ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知，故． ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即．33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时，；时，； 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时，，此时在上必有最值点．32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上，所求．133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D ．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象，则（）A ．的图象关于轴对称B ．的最小正周期是 ()g x y ()g x πC ．的图象关于点对称D ．在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数，最小正周期为，则A 错误，B 正确. 2ππ2=令，，解得，，当时，， ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称，则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令，，解得，，π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时，即得在上单调递减，则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD.10．下列说法正确的是（）A ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B ．若命题，则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C ．在中，“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D ．若对恒成立，则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ；由全称量词命题的否定可判断B ；由充要条件的判断可判断C ；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A ：不等式的解集为，220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根，故，1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得，所以，故A 正确； 2,4a c =-=2a c +=对于B ：命题， ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为，故B 正确；p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C ：由可得， sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以， sin2sin2A B =又， 0<222πA B +<所以或， π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件，故C 错误；sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D ：令，由对恒成立，()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则，解得， ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为，故D 正确； x ()2,1--故选：ABD11．下列说法正确的是（）A ．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 αα-B ．如果，是第一象限的角，且，则 αβαβ<sin sin αβ<C ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ23πD ．若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答. 【详解】对于A ，是第一象限的角，即，则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角，A 正确；α-对于B ，令，，是第一象限的角，且，而，B 不正确； 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有，解得，扇形面积，C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确；对于D ，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==，D 正确. 故选：AD12．已知函数，，，有，()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是（） A ． B ．1 C ．D ．31252【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．()()12min min f x g x ≤当时，令，则，因为在上为增函数，在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为， ()22g x x x a =-+1x =∴当时，，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴，解得． 11a ≤-2a ≥故选：CD ．三、填空题13．函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义，需满足：， 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得； 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为： 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，()20.8log 43y x x =-+-令，即，解得，2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减， 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数，0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为：.(1,2]15．已知是第四象限角，且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设， sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据，，分类讨论，数形结合，求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得：；2210x x am ---=221x x am -=+当时，，则，解得：∵，，满足题意； 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时，；若存在唯一的，使得成立，则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得：，则；1a <01a <<当时，,结合图象可得：，解得：，则；a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述：原命题成立的充要条件为， 11a -<<故答案为：-1<a <1.四、解答题17．设集合，.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若，求a 的值； {}2,1,6A B =- (2)若，求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得； A A B ⋃1B ∈（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合． B A ⊆a 【详解】（1）由，解得或，所以， 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为， {}2,1,6A B =- 所以，则， 1B ∈120a ⋅-=所以；2a =（2）因为，则， A B B = B A ⊆当时，； B =∅0a =当时，；{}2B =-1a =-当时，，{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18．已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若，求的取值范围; ()0f x …x (2)当时，求函数的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1)；1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可； 2log x t =t x （2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.t t 【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤，所以，解得， 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，因为，且当，有最小值；184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时，有最大值4； 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1），；（2）见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间； ()f x （2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】（1）函数的最小正周期为， ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是． ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）设，则，24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知，当时，即，y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时，即，． 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知定义域为R 的函数是奇函数， ()221x f x a =++（1）求的值．a （2）判断函数在上的单调性并加以证明；()f x R （3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围． ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】（1）；（2）减函数；（3）1a =-(),3-∞-【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R 上的奇函数，则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立，所以()()f x f x -=-1a =-（2）证明：设， 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为，所以，故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x （3）由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以，即的取值范围为3k <-k (),3∞--21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当p t 时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳．（1）试求的函数关系式；()p f t =（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）1232t -≤≤【详解】【解】（1）当时， [014]t ∈，设，2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时，. [014]t ∈，21()(12)824p f t t ==--+当时，将(14，81)代入，得 [1440]t ∈，()log 583a y x =-+1.3a =于是（2）解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，1432.t ≤<故当时，，1232t -<<()80p t >答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．()1232t ∈-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数；()sin ,()224x x f x x g x π-==-（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；()y f x =（2）设，证明：有且只有一个零点，且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足123x =2x ；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈，即，整理得，但是，矛盾，所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. （2）易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞，①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为，， 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理，存在，使得， ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时，因为单调递增，所以，因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-，所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上：有且只有一个零点. ()h x 0x 因为，即，()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以，. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减，所以，所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高一上学期期末考

衡阳市八中 2020 级高一上学期期末考试试题化学试题请注意：时量 60 分钟满分 100 分可能用到得相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 P-31 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Cu-64第I 卷选择题（共 50 分）一、单项选择题（本题包括 1~10 共 10 小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题 3 分，共 30 分）1．下列各组物质分类正确的是A ．酸：硫酸、醋酸、NaHSO 4、硝酸B ．碱：纯碱、烧碱、乙醇、熟石灰C ．盐：生石灰、硝酸钾、CaCO 3、苛性钾D ．同素异形体：金刚石、石墨、C 60、无定形碳2.目前，科学家发现在负压和超低温条件下，可将水形成像棉花糖一样的气溶胶的冰，该冰称为“气态冰”。

下列说法不正确的是 A ．该冰具有丁达尔效应B ．“气态冰”与普通冰化学性质相同C ．“气态冰”分子中存在极性共价键D ．18g“气态冰”在标准状况下的体积等于 22.4L3．下列说法不正确的是A ．Na 2O 2 中阴阳离子的个数之比为 1:2B ．二氧化硫能漂白某些物质，说明它有氧化性C ．金属钠与氧气反应有多种产物，这些物质在空气中最后都变成 Na 2CO 3D ．二氧化硫是造成酸雨的原因之一4．下列说法正确的是A ．摩尔质量就是物质的相对分子质量或相对原子质量的 6.02×1023 倍B ．摩尔质量就等于物质的相对分子质量或相对原子质量+ - 4 2 2 2+ - - 2+ - 3+ - 3 3 3 4 3 4C ．HNO 3 的摩尔质量是 63gD ．H 2SO 4 和 H 3PO 4 的摩尔质量相等 5．下列说法不正确的是()A ．打翻燃着的酒精灯，立即用湿抹布盖灭B ．氯气大量泄漏时用浸有 NaOH 溶液的毛巾捂住口鼻C ．水银洒到地面上，撒硫粉处理D ．钠着火时，立即用沙子盖灭6．类推时要注意物质的相似性和特殊性，下列类推结论正确的是( )选项化学事实类推结论A 钠与水反应生成碱和 H 2高温下铁与水蒸气反应也能生成碱和 H 2 BNa 2CO 3、NaHCO 3 溶液均显碱性钠盐溶液均能使酚酞溶液变红CAl （OH ）3 受热分解为 Al 2O 3 和 H 2OMg （OH ）2、Fe （OH ）3 也能受热分解生成相应价态的金属氧化物和 H 2OD溶解度：CaCO 3＜Ca （HCO 3）2溶解度:Na 2CO 3＜NaHCO 37．下列离子方程式书写正确的是()A ．将足量的氯气通入 FeI 2 溶液中：2Cl 2+2Fe +2I =2Fe +4Cl +I 2B ．氧化铜与稀硫酸反应：CuO+4H ++SO 2-=Cu 2++SO ↑+2H OC ．向 AgNO 3 溶液中通入过量的氯气：Ag +Cl =AgCl ↓D ．向 Ca （HCO 3）2 溶液中加入过量的 Ca （OH ）2 溶液：Ca +OH +HCO 3 =CaCO 3↓+H 2O8．物质间常常相互联系、互相影响，微粒也不例外。

湖南省衡阳市高一上学期数学期末考试试卷

湖南省衡阳市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高二下·怀仁期末) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （1分） (201920高三上·长宁期末) 下列函数中，值域为的是（）A .B .C .D .3. （1分） (2016高一上·普宁期中) 已知函数f（3x+1）=x2+3x+2，则f（10）=（）A . 30B . 6C . 20D . 94. （1分）已知角α在第四象限，且cosα= ，则等于（）A .B .C .D .5. （1分）计算的结果为（）A .B .C .D .6. （1分） (2017高一上·深圳期末) 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是（）A . （0，4]B .C .D .7. （1分） (2016高一下·黄陵开学考) y=（sinx﹣cosx）2﹣1是（）A . 最小正周期为2π的偶函数B . 最小正周期为2π的奇函数C . 最小正周期为π的偶函数D . 最小正周期为π的奇函数8. （1分） (2018高一下·遂宁期末) 在中，已知，那么一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 正三角形9. （1分）集合,则有（）A . M=NB . M NC . N MD .10. （1分）(2017·绵阳模拟) 将函数f（x）=sin（ +x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A . 在（0，）上单调递增，为奇函数B . 周期为π，图象关于（）对称C . 最大值为，图象关于直线x= 对称D . 在（﹣）上单调递增，为偶函数11. （1分）定义在R上的偶函数f（x﹣2），当x＞﹣2时，f（x）=ex+1﹣2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x0∈（k﹣1，k），则k的取值集合是（）A . {0}B . {﹣3}C . {﹣4，0}D . {﹣3，0}12. （1分）已知函数f（x）＝, 对任意m∈[－3，3]，不等式f（mx－1）＋f（2x）＜0恒成立，则实数x的取值范围为（）A . （－1，）B . （－2，）C . （－2，）D . （－2，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·北京期中) △ABC中，cosAcosB－sinA sinB=－，则角C的大小为________.14. （1分） (2016高一上·河北期中) 欧巴老师布置给时镇同学这样一份数学作业：在同一个直角坐标系中画出四个对数函数的图象，使它们的底数分别为和．时镇同学为了和暮烟同学出去玩，问大英同学借了作业本很快就抄好了，详见如图．第二天，欧巴老师当堂质问时镇同学：“你画的四条曲线中，哪条是底数为e 的对数函数图象？”时镇同学无言以对，憋得满脸通红，眼看时镇同学就要被欧巴老师训斥一番，聪明睿智的你能不能帮他一把，回答这个问题呢？曲线________才是底数为e的对数函数的图象．15. （1分）(2019·奉贤模拟) 在△ 中，角、、的对边分别为、、，面积为，若，则角B的值为________（用反正切表示）16. （1分） (2019高二上·集宁月考) 已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是________．三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2019高一上·昌吉期中) 计算：（1）；（2） .18. （2分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（4，3），若A，B，C三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC，且直线BC与x轴交于点D．（1）求cos∠CAD的值；（2）求点C的坐标．19. （2分）已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）= ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．20. （2分）(2013·辽宁理) 设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．21. （2分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）解不等式f（x）＞1．（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．22. （2分） (2019高一上·太原月考) 已知函数 .（1）判断在区间上的单调性并证明；（2）求的最大值和最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

湖南省衡阳市第八中学高一上学期期末考试数学试题(图

数学参考答案二、填空题11. 12. 425)23()2(22=-++y x 13.或1 14. 15.6 16.①③ 三、解答题 17.（1）（2）{}62)(≤<-=⋃x x B A C U18. （1）证明：连接AC 交BD 于，连接. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴是AC 的中点。

又∵是PA 的中点， ∴PC ∥.∵PC ⊄平面， ⊂平面 ∴PC ∥平面；（2）∵侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA=2，Q 是PA 的中点。

∴棱锥的高QA=1，又∵底面ABCD 是边长为2的正方形， ∴棱锥的底面面积=2， ∴32123131=⨯⨯=⋅=∆-QA S V ABD BAD Q 19.12121221)(+-=+-=x x x x f20. （1）∵正方形∴∵面AC ABC ACDE ABC ACDE =⋂⊥面面面,∴,∴ ∵,∴（2）取EO CO O AB ,,连接中点∵AC BC BC AC ⊥==，2,∴222,===⊥AB AO CO AB CO ，AC ABC ACDE ABC ACDE AC AE =⋂⊥⊥面面面面,,∴CO AE ABC AE ⊥∴⊥,面ABE CO A AB AE 面⊥∴=⋂,,∴成的角与面为ABE EC CEO ∠在直角三角形3362tan 6===∠=EO CO COE EO AEO ，中， 21、解：长为的直线方程为设的坐标为（到直线距离为1041)23(31232222--=++-=a a a d41)23(21212--=⨯=∆a d AC S ABC ∵，∴∴），（，此时时面积最大为23,4981023B a =-22、（1）圆的方程化为m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C(1,2),半径，则圆心C(1,2)到直线的距离为：5121422122=+-⨯+=d由于|MN|=,则|MN|=，有，∴,解得m=4 (2)假设存在直线，使得圆上有四点到直线l 的距离为, 由于圆心 C(1,2)，半径r=1，则圆心C(1,2)到直线的距离为：5515121422122-<=+-⨯+=d 解得。

湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学含答案

衡阳市八中2017年下学期高一期末考试数学试题命题:仇武君审题:孙艳红考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则)(B A C U ⋃=（） A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =r ，(1,1)b =-r，若a b ⊥r r ，则实数x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD 的中点，若AC x AP yBQ =+u u u r u u u r u u u r,则x =（）A ．2B ．83C ．65D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数||sin x y =,)32sin(π+=x y ,)322cos(π+=x y ,|2cos 2sin |22xx y -=中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（） A.3 B.1- C.1 D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为( )A ．14B ．14- C ．34 D.34-9.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件：①0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；BPQDAC图1图2②OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ； ③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围为（）A.(0,2B.2C.D.2) 11.已知向量a r 为单位向量，=3)a b +r r （，4，则|1|a b +r rg的最大值为（） A. 3 B.4 C. 5 D.612. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．[]3,0-二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是；14.已知向量(2,6)a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r rP ，则λ= ；15.已知函数sin 1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = .16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是（填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围.18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （1）求()f x 的解析式；（2）求0x 的值；（3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值.19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =u u u r u u u r，求角α的值；（2）若1AC BC =-u u u r u u u r g ，求tan()4πα+的值．图321.（本题满分9分）已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b b -⊥r r r，集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=r r r r中有且仅有唯一一个元素.（1）求向量a r ，b r的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-rrr r的解集为空集，求实数m 的值.22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数，（1）求实数m 的值；（2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2x f x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；衡阳市八中2017年下学期高一期末考试数学试题命题:仇武君审题:孙艳红考试范围：集合、平面向量、函数及其性质、三角函数与三角恒等变换考生注意：本试卷满分为100分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð=（ A ） A.{2,6} B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}2.已知(3,)a x =r ，(1,1)b =-r，若a b ⊥r r ，则实数x 的值为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．3-3.如图1，边长为2的正方形ABCD 中，P,Q 分别是边BC,CD 的中点，若AC x AP yBQ =+u u u r u u u r u u u r,则x =（ C ）A ．2B ．83C ．65D ．12254.函数3()2f x ax bx a b =++-是奇函数，且其定义域为[34,]a a -，则()f a =（ B ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15.已知212sin 2cos 1=+αα，则=αtan （ A ）A ．2B ．3C ．21D ．316.在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．47.设tan α，tan β是方程2320x x -+=的两根，则tan()αβ+的值为（ D ）A.3B.1-C.1D.3-8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(00)A ωϕπ>><<，，0的部分图象如图2所示，且()f x 为偶函数，△KLM 为等腰直角三角形，KLM ∠＝90°，1KL =，则1()3f 的值为(A)A ．14B ．14- C ．34 D.34-9.若点O 在ABC ∆所在平面内，给出如下条件：①0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ； ②OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ； ③()()0||||||||AC AB BC BAOA OB AC AB BC BA -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ； ④()()0OA OB AB OB OC BC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，则点O 依次为ABC ∆的（ D ）B ．内心、外心、重心、垂心 B ．外心、内心、垂心、重心C ．重心、外心、内心、垂心D ．重心、垂心、内心、外心10.当102x <≤时，4log xa x <，则a 的取值范围为（ B ） A.2(0,) B.2(,1) C.(1,2) D.(2,2) 图211.已知向量a r 为单位向量，=3)a b +r r （，4，则|1|a b +r rg的最大值为（ C ） A. 3 B.4 C. 5 D.613. 定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x +<+，且函数()1y f x =+的图象关于点（-1,0）成中心对称，若当14s ≤≤时,,s t 满足不等式()()2s f f t f s ⎛⎫-≥≥ ⎪⎝⎭，则t s s t -+的取值范围是（ D ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．[]3,0- 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 A C C B A B D A DBCD二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.函数n()24x y ta π=+，(0,]6x π∈的值域是 (1,3] ；14.已知向量(2,6)a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r rP ，则λ= 3- ；15.已知函数sin 1(0)()2log (0)a x x f x x x π⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰好有4对，则实数a = 13.16.不超过实数x 的最大整数称为x 整数部分，记作[]x .已知()cos([])f x x x =-，给出下列结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 是周期函数，且最小正周期为π； ③()f x 的单调递减区间为[,1)()k k k Z +∈； ④()f x 的值域为cos1,1]（.其中正确命题的序号是 ③④ （填上所以正确答案的序号）；三、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分8分）已知全集U R =，集合{-13}A x =≤<，{|224}B x x x =+≥+，（1）求A B ⋂；（2）若{|20}C x x a =->，且B C B ⋃=,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）{|2}B x x =≥，{x |2x 3}A B ⋂=≤<；（2）{|}2aC x x =>，因为B C B ⋃=，C B ⊆，所以22a≥，即4a ≥； 18.（本题满分8分）函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，||ϕ＜π)2的图像（如图3）与y 轴的交点为（0，1），它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +- （3）求()f x 的解析式；（4）求0x 的值；图3（3）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值. 【解析】（1）由题意可得2π2,2π,=4π,4π2T A T ω===即12ω=，………………1()2sin(),(0)2sin 1,2f x x f ϕϕ=+==由||ϕ＜π2,π.6ϕ∴=1π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………………………………………（2）001π()2sin()2,26f x x =+=所以001ππ2π2π+,4π+(),2623x k x k k +==∈Z又Q 0x 是最小的正数，02π;3x ∴=……………………………………………… （3）π122(0,),cos ,sin ,23θθθ∈=∴=Q2742cos22cos 1,sin 22sin cos ,99θθθθθ∴=-=-==…………………………π427467(4)2sin(2)3sin 2cos23699f θθθθ=+=+=⋅-=-．……………19.（本题满分9分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．【解析】（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1π31313cos 2sin 2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 21. （本题满分9分）已知,,A B C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，其中3(,)22ππα∈．（1）若AC BC =u u u r u u u r，求角α的值；（2）若1AC BC =-u u u r u u u r g ，求tan()4πα+的值．【解析】（1）∵(cos 3,sin )AC αα=-u u u r ，(cos ,sin 3)BC αα=-u u u r，∴|AC u u u r ||BC u u u r．由||||AC BC =u u u r u u u r得sin cos αα=．又3(,)22ππα∈，∴54απ=．（2）由1AC BC =-u u u r u u u rg ，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，∴2sin cos 3αα+=，∴sin()043πα+=>．又由322ππα<<，∴344ππαπ<+<，∴cos()4πα+=．故tan()4πα+=．21.（本题满分9分）已知非零向量a r ，b r 满足(2)a b b -⊥r r r，集合2{|(||||)||||0}A x x a b x a b =+++=r r r r中有且仅有唯一一个元素.（1）求向量a r ，b r的夹角θ；（2）若关于t 的不等式||||a tb a mb -<-r r r r的解集为空集，求实数m 的值.【解析】（1）方程2(||||)||||0x a b x a b +++=r r r r 有且仅有唯一一个实根，0∆=， ||||a b =r r，060θ=（2）214()0m m ∆=--+≤，12m =22.（本题满分9分）已知函数+1()log (0-1a mx f x a x =>且1)a ≠是奇函数，（1）求实数m 的值；（2）若12a =，并且对区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2x f x t >+恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与r 的值；【解析】（1）1m =-（舍去）或1m =；（2）1()()2x f x t >+等价于1()()2x f x t ->，令1()()()2x g x f x =-，则()g x 在区间[3,4]上递增，min 9()(3)8g x g ==-。

湖南省衡阳八中2022-2023学年数学高一上期末学业水平测试试题含解析

（2）
【解析】（1）根据图象的特征，列式确定的值；
（2）根据（1）的结果，代入解析式，得，结合同角三角函数基本关系式，即可求解.
【小问1详解】
由图象可知，，解得：，，
，解得：，
当时，，得，
因为，所以，
综上可知，，，，；
【小问2详解】
由（1）可知，
，即 ,
因为，解得：
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
所以二队经常失球，故B错误；
对于C，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；
对于D，因为一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以二队比一队技术水平更稳定，故D正确;
故选：B.
所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
故的解析式为 ,
所以的最小正周期为 .
（2）因为 ,所以 ,
所以 ,则 ,
故在区间上的最大值2,最小值 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查.
【详解】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；

湖南省衡阳八中、澧县一中2022年高一数学第一学期期末达标检测试题含解析

因为，，所以，
若，则，不符合，
所以，所以，
所以，
故答案为：； .
16、②、③
【解析】因为是的内角，故，，从而，，，故选②、③.
点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用这个结论.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
【详解】如图，把该几何体补成正方体ABCD-A1B1C1D1，
此多面体ABCDB1C1D1的体积V= - =63- =180
故选C
【点睛】本题主要考查四棱锥体积的求法，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题
2、A
【解析】利用对数的性质，比较a,b的大小，将b,c与1进行比较，即可得出答案
【详解】令 ,结合对数函数性质,单调递减, ，， .
考点：本题考查了三角函数值的符号
点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题
12、A
【解析】根据指数与对数运算法则直接计算.
【详解】，
所以
故选：A.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】
由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．
【详解】（1）由已知可得圆的标准方程为 ,圆心 ,半径 ,
则到的距离 ,
解得 ,即的取值范围为 .
（2）因为 ,
解得
所以由圆心到直线距离公式可得 .
解得或 .
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系判断,直线与圆相交时的弦长关系及垂径定理应用,属于基础题.
21、（1）或；

2023届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学数学高一上期末复习检测试题含解析

只需要 ,解得 .故选C.
点睛：本题考查函数的零点及函数与方程，解答本题时要注意先根据函数给出的性质对称性和周期性，画出函数的图象，然后结合函数的零点个数即为函数和图象交点的个数，利用数形结合思想求得实数的取值范围.
9、C
【解析】利用零点存在性定理即可求解.
【详解】函数的图像是连续的，；
；ห้องสมุดไป่ตู้
（2）求在区间的最大值和最小值
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】做差法比较与的大小即可得出结论.
【详解】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）．因为，所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，
故选：C
2、B
【解析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.
试题解析：(1)∵ = =
=
∴
(2)∵ A=
∴ A)
(3)非空集合
∴ ，即
∵A
∴ 或即或
∴ 或
20、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
∵ 为的中点，∴ ，
又∵ 平面，平面，
∴ 平面 .
（2）∵ 中，，为中点，∴ ，

2020-2021学年湖南省衡阳市高一上期末考试数学试卷及答案解析

2020-2021学年湖南省衡阳市高一上期末考试数学试卷及答案解析2020-2021学年湖南省衡阳市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设U＝A∪B，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{10以内的素数}，则?U（A∩B）＝（）A．{2，4，7}B．?C．{4，7}D．{1，4，7} 2．θ为第二或第三象限角的充分必要条件是（）A．cosθ＜0B．sin0＜0C．cosθtanθ＜0D．sinθtanθ＜0 3．已知函数f（x）＝﹣1+，若f（a ）＝，则f（﹣a）＝（）A ．B ．﹣C ．﹣D ．﹣4．已知a＝ln，b ＝（），c＝log，则a、b、c的大小关系为（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．函数y＝f（x）为定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2）都有，则下列关系正确的是（）A．f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（﹣3）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（﹣3）6．已知函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）在区间（]上单调递增，在区间[，）上单调递减，则ω＝（）A．6k ﹣，k∈N B．6k +，k∈N C ．D．37．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝1﹣2|x+2|，若关于x的方程f2（x）﹣|a+1|f（x）+a2＝0恰好有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则[1﹣f（x1）][1﹣f（x2）][1﹣f （x3）][1﹣f（x4）]的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（）倍第1 页共15 页。

衡阳市第八中学2022年高一上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

【解析】直线
的斜率
，其倾斜角为．
考点：直线的倾斜角． 10、D 【解析】推导出 A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1，从而 D1O⊂平面 BDD1，由此得到 A1C1⊥D1O
【详解】
∵O 为正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 底面 ABCD 的中心，
∴A1C1⊥BD，A1C1⊥DD1， ∵BD∩DD1＝D， ∴A1C1⊥平面 BDD1， ∵D1O⊂平面 BDD1， ∴A1C1⊥D1O 故答案为：D 【点睛】本题考查与已知直线垂直的直线的判断，是中档题，做题时要认真审题，注意线面垂直的性质的合理运用 11、D
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、C
【解析】根据已知和对数运算得 f (x 2) 2 f (x 2) f (x) ， f (log2 41) f (6 log2 41) ，再由指数运算和
对数运算法则可得选项.
【详解】因为 5 log2 41 6 ， f (x 2) f (x) f (x 2) 2 f (x 2) f (x)，
球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 a, b, c ，则其外接球半径公式为: 4R2 a2 b2 c2 .
（2）若“ x P ”是“ x Q ”必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
19．已知集合 A x x 3 ， B x 3 a x a 1 .
（1）当 a 4 时，求 R A B ；
（2）若 A B A ，求实数 a 的取值范围.
20．已知函数 f (x) cos2 (x ), g(x) 1 1 sin 2x.
2a
5 4
，故
B
对；对于
C，因
2 , 3a 2 无法比较大小，故 C 错；对于 D，取 a 1 2

2021-2022学年湖南省衡阳市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年湖南省衡阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设8log 42a =，则18a =（）A ．2B ．C ．3D ．8【答案】A【分析】利用对数的换底公式可求得a 的值，再利用指数的运算性质可求得结果.【详解】因为32822log 4log 223a a a ===，可得3a =，故()1133822a ==.故选：A.2．“a 为奇数”是“函数()af x x =为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用奇函数定义证明出充分性，举出反例得到必要性不成立.【详解】当a 为奇数时，定义域关于原点对称，()()()a ax x x f f x =--=--=，故函数()a f x x =为奇函数，而()13f x x =为奇函数，但13不是奇数，综上：“a 为奇数”是“函数()a f x x =为奇函数”的充分不必要条件.故选：A 3．若2121tan 3α=+，则cos2=α（） A ．19-B ．13C ．49D ．179【答案】B【分析】由同角三角函数的商数、平方关系，将条件化为22cos 3α=，再根据二倍角余弦公式求目标式的值.【详解】由题设，222221cos 2cos 1tan cos sin 3ααααα===++，又21cos 22cos 13=-=αα.故选：B.4．已知集合{A x y =，则A =R（）A ．{}23x x -<<B ．{}23x x -≤≤C ．{}{}23x x x x <-⋃>D ．{}{}23x x x x ≤-⋃≥【答案】A【分析】先求解一元二次不等式，然后利用补集的概念即可求解.【详解】由题意，2602x x x --≥⇒≤-或3x ≥，所以集合{2A x x =≤-或}3x ≥，所以A =R{}23x x -<<.故选：A5．若()0,1m ∈，设3a m =，3log b m =，3m c =，则（） A ．a c b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B【分析】利用指数、对数、幂函数的性质判断大小关系即可.【详解】由题设，33310log m a m c b m =>>>>==，所以b a c <<. 故选：B6．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g ϕ=（）A ．2B 3C 2D ．1【答案】B【分析】由题待定系数得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据图像平移变换得2sin 2g xx ，再计算函数值即可.【详解】解：根据题意得313341234T πππ=-=，所以T π=，故2ω=，由3x π=时，()0f x =得22,x k k Z ϕππ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈.所以()2sin 222sin 2,33f x x k x k Z πππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()22sin 33g g ππϕ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：B7．已知函数()lg f x x =，若()()f a f b =且a b ，则9a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【分析】根据对数函数的性质可得1ab =且,0a b >，将目标式化为99a b a a+=+，应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件. 【详解】由对数函数的性质，且()()f a f b =且a b ，可知：1ab =且,0a b >，所以996a b a a+=+≥，当且仅当13,3a b ==时等号成立. 故选：C8．设函数()1e ,11,1x x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则满足()()12xf x f ->的x 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0∞-【答案】D【分析】研究出分段函数的单调性，利用单调性解不等式.【详解】1x ≤时，()1e xf x x -=+单调递增，故()11max e 12f x -=+=，当1x >时，由对勾函数得：()1f x x x =+在()1,+∞单调递增，且()()12f x f >=，综上：()1e ,11,1x x x f x x x x -⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩单调递增，因为()()12x f x f ->，所以12x x ->，即210x x +-<，设()21xh x x =+-，可知()h x 单调递增，且()00h =，故0x <，故选：D 二、多选题9．已知角α的终边在直线y =上，则sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可能是（）A．B ．12- C ．12 D ．1【答案】BC【分析】根据直线方程判断α所在象限且tan α=讨论6k ππ+的位置求函数值即可.【详解】由题设，tan α=α在第一或三象限，则3k παπ=+，Z k ∈，又sin sin()66k ππαπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，当6k ππ+在第一象限时，1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当6k ππ+在第三象限时，1sin 62πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：BC10．已知a 、b 、R c ∈，若0a b >>，则（） A ．a c b c > B< C ．c ca b >D ．a b +【答案】BD【分析】A 、C 特殊值法，令0c 即可排除；B 由不等式性质判断；D 应用基本不等式判断即可.【详解】A ：当0c 时，a c b c =，错误；B ：由0a b >>0>>，故0<< C ：当0c 时，c c a b =，错误；D ：由222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，又0a b >>，则a b +< 故选：BD11．若函数()221f x x x =-，则（） A ．函数()f x 为偶函数 B ．函数()f x 在定义域上单调递增 C ．函数()f x 的值域为R D ．()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A ，分别判断(),0x ∈-∞与()0,x ∈+∞时，函数2yx 与21y x=的单调性，从而得函数()f x 的单调性，分析x →-∞与0x -→对应的()f x 取值范围，计算得1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断与()f x 的关系.【详解】因为函数()f x 定义域为()(),00,∞-+∞，()()()()222211f x x x f x x x -=--=-=-，所以函数()f x 为偶函数，A 正确；当(),0x ∈-∞时，2yx 单调递减，21y x =单调递增，所以函数()221f x x x =-单调递减，当()0,x ∈+∞时，2y x 单调递增，21y x=单调递减，所以函数()221f x x x =-单调递增，B 错误；当x →-∞时，221,0→+∞→x x ，所以221⎛⎫-→+∞ ⎪⎝⎭x x ，当0x -→时，2210,→→+∞x x ，所以221⎛⎫-→-∞ ⎪⎝⎭x x ，所以函数()f x 的值域为R ，C 正确；()2222111⎛⎫-=-⎛⎫= ⎪⎝-=- ⎪⎝⎭⎭x x f x x f x x ，D 正确.故选：ACD12．若函数()cos24cos 2f x x a x a =--的最小值为52-，则a 的值可为（）A ．1-B ．74-C ．12D ．13【答案】BC【分析】应用二倍角余弦公式可得22()2(cos )221f x x a a a =----，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论a 与区间[1,1]-的位置关系，求a 的值. 【详解】由题设，222()2cos 4cos 212(cos )221f x x a x a x a a a =---=----，令cos [1,1]t x =∈-，则22()()2()221f x g t t a a a ==----，其开口向上且对称轴为t a =，当1a <-时，min 5()(1)212f x g a =-=+=-，则74a =-；当11a -≤≤时，2min 5()()2212f xg a a a ==---=-，则12a =或32a =-(舍)；当1a >时，min 5()(1)162f x g a ==-=-，则712a =不合前提；综上，74a =-或12a =.故选：BC 三、填空题13．函数tan y x π=的最小正周期是_____. 【答案】1【分析】本题可根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数tan y x π=的最小正周期1T ππ==，故答案为：1.14．若方程3lg x x =-的解在区间(),1k k +上，则整数k =______．【答案】2【分析】令lg 3y x x =+-判断单调性，应用零点存在定理判断零点所在区间，结合题设即可求k 值.【详解】令lg 3y x x =+-，显然y 在(0,)+∞上递增，又2|lg 210x y ==-<，3|lg 30x y ==>，所以函数y 的零点在(2,3)内，故2k =. 故答案为：2.15．50,6x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得关于x 的不等式()R a x x a ∈成立，则a 的最小值是______．【答案】【分析】将不等式右边应用辅助角公式得)6y x π=-，由正弦函数的性质求50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再由不等式能成立求a 的最小值.【详解】令coscos sin ))666y x x x x x πππ==-=-，所以50,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2[,]663x πππ-∈-，故[y ∈，又50,6x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使()R a y a ≥∈成立，故a ≥所以a 的最小值是故答案为：四、双空题16．函数())1xf x a =>，若()01f x =，则0x =______，122021202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】120.5 2021【分析】01x =即可求0x ，根据已知解析式求(1)f x -的解析式，进而可得()(1)2f x f x +-=，即可求目标式的值.【详解】由题设，00()1x f x ==，又1a >，则0x a =012x =，而1(1)x f x --==所以()(1)2xf x f x +-==，故1220211202110111010[]202220222022202220222022f f f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=12020()20212f +=.故答案为：12，2021.【点睛】关键点点睛：求各函数值之和时，首先需要证明()(1)2f x f x +-=，再结合目标式的特征求和即可. 五、解答题17．已知集合{}24A x x =-≤≤，{}21B x m x m =-<<．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】(1)126 (2)[]1,2-【分析】（1）利用x ∈Z ，求出{}2,1,0,1,2,3,4A =--，共有7个元素，进而求出非空真子集的个数；（2）根据并集结果得到B A ⊆，先得到B ≠∅，进而列出不等式组，求出实数m 的取值范围. (1)因为{}24A x x =-≤≤，x ∈Z ，所以{}2,1,0,1,2,3,4A =--，A 中共有7个元素，则A 的非空真子集的个数为722126-=； (2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，因为22131024m m m ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，故B ≠∅，则2412m m ⎧≤⎨-≥-⎩，解得：12m -≤≤，从而实数m 的取值范围为[]1,2-. 18．已知函数()()131x f x m m R =+∈-． (1)判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；(2)是否存在常数m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()f x 在()0,+∞上递减，证明见解析；(2)存在12m =使得()f x 为奇函数. 【分析】（1）根据解析式及指数函数的性质判断单调性，再应用单调性的定义证明即可. （2）假设存在m 使()f x 为奇函数，利用奇函数的性质求m ，即可知存在性． (1)()f x 在()0,+∞上递减，证明如下：在()0,+∞内任取1x ，2x ，使12x x <，则()()()()21121212113331313131x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．由于120x x <<，知：12133x x <<，则21330x x ->，2310x ->，1310x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 在()0,+∞上递减. (2)函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，若存在常数m 使()f x 为奇函数，所以由()()f x f x -=-，可得113131x x m m -+=----，解得12m =，因此存在12m =，使得()f x 为奇函数． 19．如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形ABCD ，且其面积为224m ．（注：靠墙的部分不用彩带）(1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过52m ，求BC 的取值范围；(2)当围成四个矩形的彩带总长最小时，求AB 和BC 的值，并求彩带总长的最小值．【答案】(1)[]4,9； (2)4；6；最小值为48【分析】（1）设AB 长为x m ，BC 长为y m ，列关于,x y 的等式2424=⇒=xy x y，表示出彩带总长，计算对应的14464452+=+=x y y y时对应的y 值，从而得y 的范围，即BC 的范围；（2）利用基本不等式求解彩带总长的最小值，计算出此时的,x y 值，即得AB 和BC 的值. (1)设AB 长为x m ，BC 长为y m ，由题意得2424=⇒=xy x y，则四个矩形的彩带总长为14464448+=+≥=x y y y ，当且仅当6y =时，取等号，又14464452+=+=x y y y，可解得4y =或9y =，所以得y 的范围为[]4,9，即BC 的取值范围为[]4,9 (2)四个矩形的彩带总长为14464448+=+≥=x y y y ，当且仅当6y =时，取等号，此时4,6x y ==，则AB 的长为4，BC 的长为6，彩带总长的最小值为48.20．已知函数()sin sin 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求使()f x ≤x 的取值集合．【答案】(1)()511,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)4,Z 23x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由三角恒等变换化简可得()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式()3222Z 232k x k k πππππ+≤-≤+∈可得函数()f x 的单调递减区间；（2）由()f x ≤可得出()27222Z 333k x k k πππππ+≤-≤+∈，解之即可得解. (1)解：()sin sin sin sin 63662f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin cos sin 26623x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()3222Z 232k x k k πππππ+≤-≤+∈，解得()511Z 1212k x k k ππππ+≤≤+∈，所以，函数()f x 的单调递减区间为()511,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)解：由()34f x ≤可得3sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，可得()27222Z 333k x k k πππππ+≤-≤+∈，解得()4Z 23k x k k ππππ+≤≤+∈，所以，使()34f x ≤成立的x 的取值集合为4,Z 23x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 21．如图所示，已知直线12//l l ，1DE l ⊥，并交1l 于E 点，交2l 于D 点，A 是DE 上一定点，B 是直线2l 上一动点，作AC AB ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，设ABD α∠=．(1)若:3AE AD =△AEC 与△ABD 面积的大小； (2)若1AE =，2AD =，求△ABC 与△ABD 面积之和的最小值．【答案】(1)答案见解析； (2)3【分析】（1）由题设易得Rt △AECRt △ABD 且相似比为3AE DB α=，讨论tan α判断△AEC 与△ABD 面积的大小关系；（2）由图知ABDABCECBD AECSSS S+=-，结合（1）求相关线段的长度，进而得到面积关于tan α的表达式，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件. (1)由12//l l ，1DE l ⊥，则2DE l ⊥，又AC AB ⊥，所以Rt △AEC 、Rt △ABD 中90EAC DAB ∠+∠=︒，即EAC ABD ∠=∠，ACE DAB ∠=∠，所以Rt △AEC Rt △ABD，相似比为3tan AD AE AD DB αα==，当tan α32ππα<<时，△AEC 面积比△ABD 大；当tan α3πα=时，△AEC 、△ABD 面积相等；当tan α<03πα<<时，△AEC 面积比△ABD 小； (2)由题设，ABD ABC ECBD AEC S S S S +=-，由（1）知：tan tan EC AE αα==，2tan tan AD BD αα==，所以113()tan 22tan ECBD AEC S SEC BD DE AE EC αα-=+⋅-⋅=+，又tan 0α>，故ECBD AEC S S -≥=tan α= 所以△ABC 与△ABD面积之和的最小值为22．已知函数()()2lg 101x f x kx =+-是偶函数．(1)求k 的值；(2)设函数()()lg 10x g x a =⋅，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1k = (2)[)21,3⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据()f x 为偶函数，有()()f x f x -=可求出k 的值.(2)函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,即(21011010x x x a ++=有且只有一个解，且0a >，然后换元()100x t t =>转化为方程()2110a t --=在()0,∞+有且只有一个实根，根据二次方程根的分布求解.(1)解：因为()f x 为偶函数.所以()()f x f x -=，即()()22lg 101lg 101x x kx kx -++=+-. 所以2221012lg lg102101x x x kx x -⎛⎫+=== ⎪+⎝⎭，解得1k =.所以1k =(2)解：由已知，方程()()22101lg 10lg 101lg 10x x xx a x ⎛⎫+⋅=+-= ⎪⎝⎭有且只有一个解.所以(21011010x x x a +=有且只有一个解，且0a >.整理得()21101010x x a -⋅-=.令100x t =>，则方程()2110a t --=在()0,∞+有且只有一个实根.当1a =时，t =.当1a >时，设方程对应的二次函数为()()211u t a t =--.抛物线开口向上，对称轴0t =<，且()010u =-<，此时方程必有一个正实数根，满足.当10a >>时，抛物线开口向下，对称轴0t =>，且()010u =-<，故234(1)0a a ∆=+-=，解得23a =或2a =-. 综上，实数a 的取值范围是[)21,3⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭.。

2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年湖南省衡阳市衡阳县高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}3,1,0,1,2M =--，{}1,0,1,3N =-，则M N =（）A ．{}1,0,1-B ．1,0,1,2C ．{}1,0,1,3-D ．{}3,1,0,1,2--【答案】A【分析】直接利用交集的定义求解即可，或利用排除法【详解】解法一由题意得{}1,0,1M N ⋂=-，解法二因为2N ∉，所以2M N ∉⋂，故排除B ，D ；因为3N ∉，所以3M N ∉⋂，故排除C . 故选：A.2．命题p ：x R ∃∈，20x +≤，则命题p 的否定是（） A ．x R ∃∈，20x +> B ．x R ∀∈，20x +≤ C ．x R ∃∈，20x +≥ D ．x R ∀∈，20x +>【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题p ：x R ∃∈，20x +≤是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即x R ∀∈，20x +>，故选：D3．函数()()lg 31f x x -的定义域为（） A ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【分析】要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解出即可.【详解】要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解得113x <≤所以函数()()lg 31f x x -的定义域为1,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A【点睛】本题考查的是函数定义域的求法，较简单.4．设50.4a =，0.45b =，5log 0.4c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b a c >>【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解. 【详解】因函数0.4x y =在R 上单调递减，50>，则有500.4100.4<=<，又函数5x y =在R 上单调递增，0.40>，则有0.40155>=，而函数5log y x =在(0,)+∞上单调递增，0.41<，则有55log 0.4log 01<=，于是得5045.log 0.40.54<<，所以b a c >>. 故选：D5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边x 轴的非负半轴，若点()3,4M -是角θ终边上一点，则cos θ=（）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】B【分析】根据三角函数的定义可知，cos θ=()3,4M -的坐标，即可求得答案.【详解】解：因为点()3,4M -是角θ终边上一点，所以3cos5θ==-.故选：B.6．已知x ，y 均为正数，且1x y +=，求14x y+的最值（）A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值4【答案】B【分析】根据基本不等式由“1的妙用”可得结果. 【详解】因为x ，y 均为正数，且1x y +=，则()14144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当13x =，23y =时，14x y +有最小值9.故选：B.7．已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.则能够使得2sin y x =变成函数()f x 的变换为（）A ．先横坐标变为原来的12倍，再向左平移24πB ．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移12π C ．先向左平移6π，再横坐标变为原来的12倍D ．先向左平移24π，再横坐标变为原来的2倍【答案】C【分析】先根据给定图象求出函数()f x 的解析式，再求出由2sin y x =到()f x 的变换即得.【详解】观察图象知A =2，()f x 周期为T ，则541264T πππ=-=，即T π=，22T πω==，又26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即22()62k k Z ππϕπ⋅+=+∈，而||2ϕπ<，则0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6f x x π=+，把2sin y x =图象向左平移6π得2sin()6y x π=+图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的12倍即得()f x . 故选：C 二、多选题8．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x >时，恒有1212()()0f x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（） A ．1()f x x x=+ B ．13()f x x =C ．()11x x e f x e -=+D ．220()0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩【答案】BC【解析】由题知“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再依次判断各选项即可得答案.【详解】解：由()()0f x f x +-=知：()f x 为定义域上的奇函数，由12x x >时，()()12120f x f x x x ->-知：()f x 为定义域上的增函数对于A 选项，当(0,1)x ∈时，1()f x x x=+为减函数，A 错误；对于B 选项，13()()f x x f x -=-=-，()f x ∴为奇函数，根据幂函数性质可知，()f x 在定义域上单调递增，B 正确；对于C 选项，111()()()111xx x x x xx xe e e ef x f x f x e e e e ------====-∴+++为奇函数； 122()111x x x e f x e e +-==-++1x y e =+为增函数21x y e ∴=+为减函数2()11x f x e ∴=-+为增函数，C 正确；对于D 选项，当0x <时，2()f x x =为减函数，D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，是中档题.本题解题的关键是由新定义得“理想函数”为定义域内是增函数，且为奇函数，再根据奇偶性的定义与单调性定义判断即可.9．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f a =，则实数a =（）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】AD【分析】按照0,0a a ≤>分类，结合分段函数解析式即可得解.【详解】因为函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，且()4f a =，所以04a a ≤⎧⎨-=⎩或204a a >⎧⎨=⎩，解得a =-4或a =2.故选：AD.10．下列命题为假命题的是（） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+ C ．若a b <，c d <，则ac bd < D ．若0a b c <<<，则b bc a a c+<+ 【答案】AC【分析】对于AC ，举例判断，对于B ，利用不等式的性质判断，对于D ，利用作差法判断【详解】对于A ，若1,1a b ==-，则1111a b=>=-，所以A 错误，对于B ，因为a b >，c d >，所以由不等式的性质可得a c b d +>+，对于C ，若2,1,1,2a b c d =-=-==，则2ac bd =-=，所以C 错误，对于D ，因为0a b c <<<，所以()0,()0c a b a a c ->+>，所以()()()0()()b c b a b c b a c c a b a c a a a c a a c ++-+--==>+++，所以b bc a a c+<+，所以D 正确，故选：AC11．已知函数2()2sin 2f x x x =+，则下列说法中正确的是（）A ．若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x 都有()()12()f x f x f x 成立，则12x x -的最小值为2π B ．函数()f x 的图象关于点,0()212k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 成中心对称 C ．若()f x a 有解，则a 的最小值为1- D ．函数|()|y f x =的图象关于直线6x π=-对称【答案】ACD【解析】先把()f x 整理为()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对照ABCD 四个选项一一验证.【详解】2()2sin 22sin 216f x x x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,作出()y f x =的图像如图所示：对于A ：若存在实数12,x x ，使得对任意的实数x 都有()()12()f x f x f x 成立，，则()()1min,2m ()()ax f x f x f x f x == ，所以12min 22T x x π-==故A 正确；对于B ：由图像可以看出：()f x 的图象的对称中心为,1()212k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故B 错误；对于C ：要使()f x a 有解，只需min ()1a f x ≥=-，故C 正确；对于D ：|()|y f x =的图象如图示，所以直线6x π=-为其一条对称轴.故选：ACD【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-xf x ，给出下列结论，其中正确的是（）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目. 三、填空题13．151lg lg 423-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________.【答案】2-【分析】根据对数的运算法则，以及指数运算进行化简，即可求得结果.【详解】151lg lg 423-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭lg103132-=-=-.故答案为：2-.14．若tan()2πα-=-，则3cos(2)2cos 2sin()sin 2ππααππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭________.【答案】1-【分析】由tan()2πα-=-，可得tan 2α=，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可【详解】由tan()2πα-=-，得tan 2α=，所以3cos(2)2cos cos 2sin 2sin cos sin()sin 2ππααααπααπαα⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 12tan 1tan αα-=+122112-⨯==-+，故答案为：1-15．若x 满足不等式21122log log (32)x x ≥-，则函数22()log log 42x x f x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为________. 【答案】2【分析】根据对数函数的单调性和对数的定义即可得到关于x 的不等式组，从而可得x 的范围，根据对数的运算性质得到222()log 3log 2f x x x =-+，再利用换元法，和二次函数的性质即可求出答案．【详解】解：不等式21122log log (32)x x -，∴2320320x x x x ->⎧⎪-⎨⎪≠⎩，解得12x ， 2222222()(log )(log )(log 2)(log 1)log 3log 242x x f x x x x x ==--=-+，设2log x t =，则01t ，2()32f t t t ∴=-+，其对称轴为32x =， ()f t ∴在[0，1]上单调递减，()(0)2max f t f ∴==，所以函数的最大值为2. 故答案为：2.16．已知函数2141,0()2,0x x x x f x x -⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()g x f x a =-恰好有三个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)1,2【分析】根据函数解析式，作出函数图象，由()()g x f x a =-恰好有3个零点，得到函数()f x 与直线y a =恰有三个不同的交点，结合图象，即可得出结果.【详解】由函数解析可得，函数()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增；且当(),0x ∈-∞时，()23f -=-；又()01f =，()11f =画出函数()f x 的大致图象如下：因为()()g x f x a =-恰好有3个零点，所以方程()f x a =恰有三个不同实根，因此函数()f x 与直线y a =恰有三个不同的交点，由图象，为使函数()f x 与直线y a =恰有三个不同的交点，只有12a ≤<，故答案为：[)1,2. 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题17．已知集合{|22}A x a x a =-+，{}2|41270B x x x =+-.（1）求集合B 的补集B R；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）7{|2R B x x =<-或1}2x >；（2）112a【分析】（1）先解B 中不等式，得出x 取值范围，再利用数轴得到B 的补集；（2）由必要条件得出B 是A 的子集，再通过子集的概念，得出a 的取值范围．【详解】（1）271{|41270}{|}22B x x x x x =+-=-， 7{|2R B x x ∴=<-或1}2x >．（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， ∴722122a a⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：112a，即a 的取值范围是112a．【点睛】本题考查集合的基本运算和简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系. 18．已知αβ，为锐角，4sin ,cos()5ααβ=+=（1）求cos2α的值；（2）求sin β的值．【答案】（1）725-；（2. 【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出3cos5α，sin()αβ+=，根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为4sin 5α，所以2327cos 212sin 12525αα=-=-=-；（2）因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02πα<<，又4sin ,cos()5ααβ=+=3cos5α=，sin()αβ+=，所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455==【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.19．若()2(1)1ax a x f x =-++，R a ∈.(1)若()0f x <的解集为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，求a 的值； (2)当0a >时，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】(1)4；(2)答案见解析.【分析】（1）分析可知14、1是方程()2110ax a x -++=的解，利用韦达定理可求得实数a 的值；（2）由()0f x =可得1x a=或1，对1a 与1的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式()0f x <，即可得解.【详解】(1)解：因为关于x 的不等式()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0a >，所以，14、1是方程()2110ax a x -++=的解，1114114a a a+⎧+=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得4a =. (2)解：()()()110f x ax x =--=，0a >，由()0f x =得1x a =或1. 当01a <<时，11a <，原不等式的解为11x a <<，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅.综上：当01a <<时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，原不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，原不等式的解集为∅. 20．已知函数22()cos sin cos ,()f x x x x x x R =--∈.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，求()y g x =在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值.【答案】(1)π，2ππ,π()36πk k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦(2)()max g x =()min 2g x =-【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，再求其最小正周期和单调增区间即可；（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得()g x ，再利用整体法即可求得函数的最值.【详解】(1)()cos 222cos 3π2f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， ∴最小正周期2ππ2T ==，当π2ππ22π3k x k -≤+≤即π2πππ36k x k -+≤≤-+时()f x 单调递增， ∴函数()f x 的增区间为2ππ,π()36πk k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)由题可知：()π2π2cos 22cos 263π3x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当π1212π7x ≤≤时，5π2π11π2636x ≤+≤，2π1cos 23x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭∴， ()max g x ∴=()min 2g x =-.21．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本()f x （单位：万元）与年产量x （单位：台）的函数关系式为25150,020()64003011700,20x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为300万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润()g x （单位：万元）关于年产量x 的函数解析式（利润＝销售额－投入成本－固定成本）；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)()25150500,020,64001200,20,x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨⎛⎫-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元【分析】（1）根据利润＝销售额－投入成本－固定成本求解函数解析式，（2）当020x <<时，利用二次函数的性质求出其最大值，当20x ≥时，利用基本不等式求出其最大值，然后比较即可【详解】(1)当020,x x N <<∈时，()22()30051505005150500g x x x x x x =-+-=-+-；当20,x x N ≥∈时，64006400()30030117005001200g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()25150500,020,64001200,20,x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨⎛⎫-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)当020,x x N <<∈时，()22()5150500515625g x x x x =-+-=-⨯-+，故当15x =时，()g x 取得最大值()()21551515625625g =-⨯-+=；当20,x x N ≥∈时，6400160x x +≥=，当且仅当“6400x x=”，即“80x =”时等号成立， 6400()120012001601040g x x x ⎛⎫∴=-+≤-= ⎪⎝⎭，即当80x =时，()g x 取得最大值()801040g =，综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.22．若函数()f x 、()g x 都在区间I 上有定义，对任意x I ∈都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 、()g x 为区间I 上的“均分函数”．(1)判断()=4x f x 、()21x g x =-是否为区间(],0-∞上的“均分函数”，并说明理由；(2)若()lg f x x =、()()lg 1g x x =+为区间[),+∞m 上的“均分函数”，求m 的取值范围；(3)若()213f x x =+、()g x kx =为区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“均分函数”，求k 的取值范围．【答案】(1)是均分函数，理由见解析；(2)19m ≥； (3)1733k ≤≤. 【分析】（1）由题设有()()421x x f x g x -=-+，换元法及二次函数的性质求值域，结合“均分函数”定义判断即可.（2）由题设lg 11x x ≤+在[),+∞m 恒成立，列不等式组求x 范围，即可得m 的范围. （3）由题设有2433x k x x x -≤≤+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，分别求不等式左侧最大值、右侧最小值，即可得k 的取值范围．【详解】(1)()()421x x f x g x -=-+，设(]20,1x t =∈，∴()()221331,1244f x g x t t t ⎛⎫⎡⎤-=-+=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()f x 、()g x 是(],0-∞上的均分函数；(2)由题意：()()1f x g x -≤在[),+∞m 恒成立，即()lg lg 1lg11x x x x -+=≤+． ∴11010101x x x x ⎧≤≤⎪+⎪>⎨⎪>-⎪⎩，解得19≥x ，则19m ≥； (3)由题意：()()2113f x g x x kx -=+-≤ ∴21113x kx -≤+-≤，即2433x k x x x-≤≤+．又23y x x =-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，则max 2133x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．由43x x +≥x =1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当1x =时，min 4733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴1733k ≤≤．。