浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)
浙江省湖州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题
浙江省湖州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN =( ▲ )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0( 2．“1-=m ”是“直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直”的(▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为（ ▲ ）A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=4．圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ▲ ）A ．22(2)5x y -+=B ．5)2(22=-+y xC ．22(1)(1)5x y -+-= D ．22(1)(1)5x y +++= 5.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ▲ ）.A. x x f -=)( B. xx f 1)(=C.x x x f 22)(-=-D. x x f tan )(-= 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1313113a S a ===，则（ ▲ ）A.14-B.13-C.12-D.11- 7.下列命题中，错误的是（▲ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线不平行于平面α，则在平面α内不存在与平行的直线8.设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ▲ )A ．()2,1 B ．)+∞C ． ()2,1D ．()+∞,29.半径为R 的球的内部装有4个相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值为（▲ ）AR B RC RD ．12R10.已知定义在R 上的函数[)[)⎩⎨⎧-∈-∈+=0,1,21,0,2)(22x x x x x f ，且)()2(x f x f =+，则方程 252)(++=x x x f 在区间[]1,5-上的所有实根之和为（▲ ）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>-≤-=0),2(0),15(log )(2x x f x x x f ，则)3(f =____▲ . 12. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ▲.13．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-0306k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为6，则常数k = ▲ ．14. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则652a a +的最小值为 ▲. 15.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减．则ω的取值范围是 ▲ . 16．已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ▲ .17．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=, ▲ .三、解答题（本大题共5小题，其中18~20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为，求a .19.若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆ 是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PCD OE 平面//； (Ⅱ)求直线CE 与平面PDC 所成角的正弦值．21.已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．22.已知函数bx a x x x f +-=)( （Ⅰ）当2=a ，且)(x f 是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；；（Ⅱ）当2-=b ，且对任意)4,2(-∈a ，关于x 的方程)()(a tf x f =总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.A D O C P BE浙江省湖州中学2014学年第一学期高三期中考试数学答卷（理）一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，11．_________________________ 12．_________________________ 13．_________________________ 14．_________________________ 15．_________________________16．_________________________ 17．_________________________三、解答题（本大题共5小题，其中18~20题每小题14分，第21、22题各15分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为，求a .19. 若}{n a 是各项均不为零的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n N *∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PCD OE 平面//； (Ⅱ)求直线CE 与平面PDC 所成角的正弦值．ADOCPBE21.已知,A B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）如图，已知,P Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．23.已知函数bx a x x x f +-=)( （Ⅰ）当2=a ，且)(x f 是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；；（Ⅱ）当2-=b ，且对任意)4,2(-∈a ，关于x 的方程)()(a tf x f =总有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.浙江省湖州中学2015届高三第一次月考数 学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.20．解：（Ⅰ）在221n n a S -=中，令1,2n =，解得11,2a d ==，…………2分从而21n a n =-，11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦。
2014-2015年浙江省台州中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年浙江省台州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．异面2．（5分）下列命题中正确的是（）A．一直线与一平面平行，这个平面内有无数条直线与它平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D．两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与该平面平行3．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣34．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．5．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．26．（5分）正方体的外接球与其内切球的体积之比为（）A．B．3：1 C． D．9：17．（5分）已知坐标原点O在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．m＜C．m≤D．m＞08．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y=0的对称点Q的坐标为．12．（3分）若A（3，﹣2），B（﹣9，4），C（x，0）三点共线，则x=．13．（3分）把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是．14．（3分）A是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为．15．（3分）过点A（0，），B（7，0）的直线l1与过（2，1），（3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为．16．（3分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M 为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为．17．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（8分）直线L过点P（4，1），（1）若直线L过点Q（﹣1，6），求直线L的方程；（2）若直线L在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线L的方程．19．（9分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．20．（12分）已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．21．（10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）设二面角E﹣BC﹣D的平面角为α，求sinα；（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（6，3）．（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=的最大值和最小值；（2）已知点N（﹣6，3），直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C交于点A、B．当k为何值时取到最小值．2014-2015学年浙江省台州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．异面【解答】解：由于直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的斜率相等，都等于2，而在y轴上的截距分别为﹣7 和1，不相等，故两直线平行，故选：B．2．（5分）下列命题中正确的是（）A．一直线与一平面平行，这个平面内有无数条直线与它平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面D．两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与该平面平行【解答】解：对于A，如果一条直线与一平面平行，那么过该条直线作平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，∴这个平面内有无数条直线与该直线平行，A正确；对于B，平行于同一直线的两个平面平行，也可能相交，∴B错误；对于C，与两相交平面的交线平行的直线，平行于这两个相交平面，也可能在这两个平面内，∴C错误；对于D，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也可能在这个平面内，也可能与这个平面平行，∴D错误．故选：A．3．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选：B．4．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（）A．B． C．πD．【解答】解：此几何体是一个底面直径为1，高为1的圆柱底面周长是故侧面积为1×π=π故选：C．5．（5分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C．D．2【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选：B．6．（5分）正方体的外接球与其内切球的体积之比为（）A．B．3：1 C． D．9：1【解答】解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为，故所求的比为3：1，故选：C．7．（5分）已知坐标原点O在圆x2+y2﹣x+y+m=0外，则m的取值范围是（）A．0＜m＜B．m＜C．m≤D．m＞0【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则1+1﹣4m＞0，∴m，x2+y2﹣x+y+m=0，则有（x﹣）2+（y+）2=﹣m，要满足条件，则有圆心到圆点的距离应大于半径，即＞，＞﹣m，即m＞0，故选：A．8．（5分）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【解答】解：由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；故选：C．9．（5分）过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．有最大值为令，则，当，即时，S△ABO．此时由，解得k=﹣．故选：D．10．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED 内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）11．（3分）点P（﹣1，3）关于直线x﹣y=0的对称点Q的坐标为（3，﹣1）．【解答】解：设M（﹣1，3）关于直线y=x的对称点为M0（x0，y0），则MM0的中点为（，），则（，）在直线y=x上，∴=①再由直线MM 0与直线y=x垂直，得=﹣1 ②联立①②解得：x0=3，y0=﹣1．∴点P（﹣1，3）关于直线y=x的对称点的坐标是（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．12．（3分）若A（3，﹣2），B（﹣9，4），C（x，0）三点共线，则x=﹣1．【解答】解：∵A、B、C三点共线，∴与共线；∵=（﹣9﹣3，4+2）=（﹣12，6），=（x﹣3，2），∴6（x﹣3）=﹣12×2=0，解得x=﹣1；故答案为：﹣113．（3分）把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是y=x．【解答】解：直线x﹣y+﹣1=0的斜率为1，倾斜角为45°，把直线x﹣y+﹣1=0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的倾斜角变为45°+15°=60°，故所得直线l的斜率为tan60°=，再利用点斜式求得所得直线l的方程为y﹣=（x﹣1），即y=x，故答案为：y=x．14．（3分）A是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l 的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为60°．【解答】解：由题意可知A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB=，A到l的距离为2，如图：AO⊥l于O，因为AB⊥平面β于点B，连结OB，所以∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，或补角，所以sin∠AOB=，∴∠AOB=60°或120°．∵α﹣l﹣β是锐二面角，∴二面角α﹣l﹣β的平面角大小为60°．故答案为：60°15．（3分）过点A（0，），B（7，0）的直线l1与过（2，1），（3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为．【解答】解：∵过点A﹙0，﹚，B﹙7，0﹚的直线l1与过点C﹙2，1﹚，D﹙3，k+1）的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，∴根据四点共圆的条件可知l1与l2是相互垂直，即l1与l2对应的斜率满足k1•k2=﹣1，即=﹣1，解得k=3．16．（3分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2cos∠AMC1==﹣故sin∠AMC1=△AMC1的面积为×××=故答案为17．（3分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，则棱锥A﹣BCD的体积V==又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：：（﹣）=π：（64﹣π）故答案为：三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（8分）直线L过点P（4，1），（1）若直线L过点Q（﹣1，6），求直线L的方程；（2）若直线L在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线L的方程．【解答】解：（1）直线L的方程…（3分）L的方程：x+y﹣5=0 …（5分）（2）设直线L的方程为y﹣1=k（x﹣4）…（6分）L在y轴上的截距1﹣4k，在x轴上的截距4﹣…（8分）故1﹣4k=2（4﹣）得k=或k=﹣2 …（10分）直线L的方程y=x或y=﹣2x+9 …（12分）19．（9分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知EN DC，又ABCD是矩形，∴DC AB，∴EN AB又M是AB的中点，∴EN AM，∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD∴MN∥平面PAD证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．20．（12分）已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为，求l方程．【解答】解：（1）圆心C（0，1），半径r=，则圆心到直线L的距离d=，∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（4分）（2）设中点M（x，y），因为L：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒过定点P（1，1）斜率存在时则，又，k AB•K MC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆；斜率不存在时，也满足题意，所以：=，表示圆心坐标是（），半径是的圆．（4分）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）解方程组得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②联立①②解得，则，即A（）将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，∴直线方程为x﹣y=0和x+y﹣2=021．（10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，DC=8，（1）证明：BD⊥平面BCF；（2）设二面角E﹣BC﹣D的平面角为α，求sinα；（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵面ABCD⊥面CDEF，且矩形CDEF中FC⊥DC，∴FC⊥面ABCD，FC⊥DB在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC，∵FC∩BC=C，∴BD⊥平面BCF（3分）（2）解：∵FC⊥面ABCD，ED∥FC，∴ED⊥面ABCD又DB⊥BC，∴EB⊥BC，∴∠EBD二面角E﹣BC﹣D的平面角α，∴sinα=sin∠EBD=（7分）（3）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则∵M（2，0，0），设P（0，0，a），（0≤a≤4），P为DE上一点，∴=（﹣2，0，a），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），则，取=（1，1，2），∵MP∥平面BCE，∴⊥，∴（﹣2，0，a）•（1，1，2）=﹣2+2a=0，∴a=1．∴当DP=1时，MP∥平面BCE（10分）22．（10分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0及点Q（6，3）．（1）若M（x，y）为圆C上任一点，求K=的最大值和最小值；（2）已知点N（﹣6，3），直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C交于点A、B．当k为何值时取到最小值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x﹣14y+45=0转化为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣7）2=8直线kx﹣y﹣6k+3=0与圆C有公共点则：d=．解不等式得：即K=的最大值为：．最小值为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程kx﹣y﹣6k+3=0代入圆的方程得：（k2+1）x2﹣4（3k2+2k+1）x+12（3k2+4k+1）=0由于直线与圆交于A、B两点，所以：，所以：=（x1+6）（x2+6）+（y1﹣3）（y2﹣3）=+36（k2+1）=24（7+4）=24（7+4）当k=1﹣时，取到最小值．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学(文) Word版含答案
台州中学2014学年第一学期期中试题高三 数学（文科）命题人：李超英 审题人：阮洋洋参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh =其中R 表示球的半径 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M （ ▲ ）A.{}1 B. {}1,0,1- C.{}1,0 D. {}1,1- 2. “0a =”是 “0ab =”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ▲ ）A ．()2x f x -=B ．2()1f x x =+C ．21()f x x=D ． 3()f x x =4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 则h 的值为（ ▲ ）A ．．．5.在空间中，a 、b 、c 是两两不重合的三条直线，α、β、γ是两两不重合的三个平面，下列命题正确的是 （ ▲ ）A.若两直线a 、b 分别与平面α平行，则//a bB.若直线a 与平面β内的一条直线b 平行，则//a βC.若直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直，则a β⊥D.若平面β内的一条直线a 垂直平面,γ则βγ⊥6. 若实数x y 、满足约束条件0124y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，目标函数z x y =+的最大值等于 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．17. 函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是( ▲ )8.若直线2=-y x 被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ▲ ） A.1-或或4 C.–2或6 D. 1或39. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 ( ▲ ) A ．332 B ．2C ．3D ．210．如图所示，等边ABC ∆的边长为2，D 为AC 中点，且ADE ∆也是等边三角形，在ADE ∆以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD CE A.]23,21[ B.]21,31[ C.)34,21( D.)35,41(二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11.若直线320x y +-=与直线01=--y ax 垂直，则实数a 的值为 ▲12.已知焦点在y 轴上的椭圆22110x y m+=的长轴长为8，则m 等于 ▲13.已知函数()()()1,0,11,0.xx x f x f f a x -≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a 的值等于 ▲14.已知α是钝角，3cos 5α=-，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭▲ 15．已知点),(n m A 在直线012=-+y x 上，则n m 42+的最小值为 ▲ 16. 设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1 ▲17．设R a ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a 的值为 ▲ 三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18. （本小题满分14分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,已知cos .32a A B A π===+ （1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积.19.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知5103,40a S =-=- （1)求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b a 为等比数列，且8,521==b b ，求数列{}.n n T n b 项和的前 20.(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中,已知侧面PAD 为等腰直角三角形， 底面A B C 为直角梯形,CD AB //，o 90=∠=∠APD ABC ,侧面⊥PAD 底面A B,且4=AB ,2====CD BC PD AP . （1）求证:BD PA ⊥；（2）若E 为侧棱PB 的中点，求直线AE 与底面ABCD 所成角的 正弦值.21. （本小题满分15分）已知函数2()3f x x a =+ ，()21g x ax =+ （a R ∈ ） (1)若函数()f x 在(0,2) 上无零点，研究函数()y g x = 在(0,2)上的单调性； (2)设()()()F x f x g x =- ，若对任意的[]0,1x ∈ ，恒有()1F x < 成立，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分15分）已知圆N ：8)2(22=++y x 和抛物线C ：x y 22=，圆的切线l与抛物线C 交于不同的两点A ，B ， (1)当直线l 的斜率为1时，求线段AB 的长； (2)设点M 和点N 关于直线x y =对称，问是否存在直线l 使得MB MA ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.台州中学2014学年第一学期期中参考答案第22题图高三 数学（文科）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）11.312.1613.214.10-15.16.3417.32三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18(1)cos sin A A ==,sin sin()cos 2B A Aπ=+==sin sin abA B =sin sin a B b A∴=== ……………………7分(2)21sin sin()sin(2)cos 22cos 123C A B A A A π=+=+==-=111sin 2232ABC S ab C ∆===……………………14分 5110119(1)43,104540a a d S a d =+=-=+=-15, 2.27n a d a n ∴==-∴=-+ ……………………6分(2)12583,9b b a a a a ==-==- 13,333n n n b q a -∴==-⨯=-273n n b -+=- ,1(37)2nn b =+ 2317(3333)22nn T n =+++++ 13(13)72132n n ⨯-=⨯+- =37(31)42n n -+……………………14分20(1) 证：由已知条件易得：22,4===BD AD AB ,则AD BD ⊥,又平面⊥ADP 平面ABCD ，平面 ADP 平面ABCD =AD ,⊂BD 平面ABCD ,AC故⊥BD 平面ADP ,又⊂AP 平面ADP ,从而有BD AP ⊥ ……………………6分 (2)解：如图，取AD 中点O ，连接,PO OB ，并取OB 中点H ,连接,AH EH ，PA PD =,∴PO AD ⊥,又平面PAD ⊥ 平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD = AD , PO ⊂平面PAD ,PO ∴⊥平面ABCD ,又 //EH PO ,EH ∴⊥ 平面ABCD 则EAH ∠ 即为直线AE 与平面ABCD 的所成角 由（1）BD AP ⊥，又,AP PD PDBD D ⊥=APPBD ∴⊥平面,AP PB PB∴⊥∴== AE∴=sin EH EAH AE ∴∠===直线AE 与平面ABCD 的所成角的正弦值为14. ………………14分 21.(1)()f x 在(0,2) 上无零点0a ∴≥ 或12a ≤-当0a ≥时，()21y g x ax ==+ 在(0,2)上递增； 当12a ≤-，()21y g x ax ==+在10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上递减，在1,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增. ……………………6分(2)[]2()321,0,1F x x ax a x =-+-∈(0)1,(1)2F a F a =-=-111221a a a ⎧-<⎪∴<<⎨-<⎪⎩12(,)333a x ∴=∈ {}min max ()(),()max (0),(1)3aF x F F x F F ∴==∴ ()1033(0)12(1)11aF a F a F a ⎧>-⎪<<⎧⎪⎪<∴<⎨⎨⎪⎪<>⎩⎪⎩12a ∴<< ………………15分22. 解：因为圆N ：8)2(22=++y x ，所以圆心N 为（-2,0），半径22=r ，设),(11y x A ，),(22y x B ，（1）当直线l 的斜率为1时，设l 的方程为m x y +=即0=+-m y x 因为直线l 是圆N 的切线，所以2222=+-m，解得2-=m 或6=m （舍）此时直线l 的方程为2-=x y ，由⎩⎨⎧=-=,2,22x y x y 消去x 得0422=--y y ，所以0>∆，221=+y y ，421=y y ， 204)()(21221221=-+=-y y y y y y 所以弦长10211212=-⋅+=y y k AB ………………6分（2）设直线l 的方程为a m y x +=即0=--a m y x （m 必存在）因为直线l 是圆N 的切线，所以22122=+--ma ，得048422=--+m a a ………①由⎩⎨⎧=+=,2,2x y a m y x 消去x 得 0222=--a m y y ， 所以0842>+=∆a m 即022>+a mm y y 221=+，a y y 221-=.因为点M 和点N 关于直线x y =对称，所以点M 为)2,0(- 所以)2,(11+=y x ，)2,(22+=y x ，因为MB MA ⊥，所以=∙MB MA 1x 2x + )2(1+y )2(2+y 0=1212122()40x x y y y y ++++=22440a a m -++= ……… ②①+②得 0482222=+-+m m a a即0)12)(2(=+-+m a m a ，解得m a 2-=或12-=m a当m a 2-=时，代入①解得2,1=-=a m ，满足条件022>+a m ；当12-=m a 时，代入①整理得 07442=+-m m ，无解.综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为2+-=x y………………15分。
浙江省台州中学高三数学上学期第三次统练试卷 理(含解析)
2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|y=}，则M∪（∁R N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜2} D．∅2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．3．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||5．若p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是（）A．q＞p＞0 B．p＞q＞0 C．p＜q＜0 D．p=q≠06．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．7．定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为d=．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1﹣d2=0，则直线P1P2与直线l平行B．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交8．如图，正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（）A．线段 B．圆C．一段圆弧 D．一段抛物线二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设函数，则= ；若f（f（a））=1，则a的值为．10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率是2，则m= ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是．11．若函数f（x）=是奇函数，则a= ，使f（x）＞3成立的x的取值范围为．12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为．13．设等差数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为．14．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x ﹣y}，则z的取值范围是．15．平面向量满足|=2，当|= ， |= 时，的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．（1）求的取值范围；（2）已知BD是△ABC的中线，若•=﹣2，求||的最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求二面角P﹣BN ﹣C的余弦值．18．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（I）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣≤a＜0），存在实数b，使不等式f（x）≤x+对于任意x∈[2a ﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．19．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．20．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|y=}，则M∪（∁R N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中函数的定义域确定出N，根据全集R求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，由N中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴N={x|x≥1}，∵全集为R，∴∁R N={x|x＜1}，则M∪（∁R N）={x|x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，如图，即图中在长方体中红色的部分．知棱锥的底面是一个以4为底，以2为高的三角形，棱锥的高为2，故棱锥的体积V=•（4）•2•2=．故选A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键．3．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理即可判断出．【解答】解：A．平面α⊥平面β，过α内任意一点在α内作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β，利用面面垂直的性质定理可知，当此点在交线上时，此垂线可能不在平面α内，故不正确；B．平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β，由A可知正确；C．平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，由线面垂直的判定定理可知正确；D．平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ，线面垂直的判定定理可知正确．故选：A．【点评】本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】由命题的否定的定义知命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．【解答】解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．【点评】本题考查命题的否定，解题时要熟练掌握基本定义．5．若p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是（）A．q＞p＞0 B．p＞q＞0 C．p＜q＜0 D．p=q≠0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】利用绝对值不等式的性质即可判断出．【解答】解：|p|＜|q|⇔p2﹣q2＜0，可得：p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是q＞p＞0．故选：A．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为d=．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1﹣d2=0，则直线P1P2与直线l平行B．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交【考点】点到直线的距离公式．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据有向距离的定义，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：设点P1，P2的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则d1=，d2=．A，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，即=，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴A错误．B，由A知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴B错误．C，由A知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴C错误．D，若d1•d2＜0，则﹣＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强．8．如图，正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（）A．线段 B．圆C．一段圆弧 D．一段抛物线【考点】抛物线的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】构造一个直角三角形PRQ，使∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，由已知得sinα=，得到PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，由抛物线的定义得出结论．【解答】解：如图：过点P作AB的垂线段PR，连接RQ，则RQ是PR在面ABC内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QR⊥AB，∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，又已知PQ=PS•sinα，∴sinα=，∴=，∴PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为一段抛物线，故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直角三角形中的边角关系，以及抛物线的定义得应用，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设函数，则= 2 ；若f（f（a））=1，则a的值为．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可．第二问，通过分类讨论求解方程的解即可．【解答】解：函数，则=f（3×）=f（1）=2；f（f（a））=1，a＜时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得a=．当a≥1时，2a＞1，f（f（a））=1，不成立；当时，f（f（a））=1，23a﹣1=1，解得a=，（舍去）．综上a=．故答案为：．【点评】本题考查分段函数以及方程根的解法，考查分类讨论思想的应用，是基础题．10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率是2，则m= 3 ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是（x﹣2）2+y2=3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式，计算即可得到m，求出双曲线都将揭晓方程，再由直线和圆相切的条件可得d=r，运用点到直线的距离公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的a=1，b=，c=，则e===2，解得，m=3；则有双曲线的方程为x2﹣=1，其右焦点为（2，0），渐近线方程为y=x，由题意可得，d=r==，则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2=3．故答案为：3，（x﹣2）2+y2=3【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．11．若函数f（x）=是奇函数，则a= 1 ，使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，可得a 值，进而解指数不等式可得使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，即==﹣，解得：a=1，令f（x）=＞3，即1＜2x＜2，解得：x∈（0，1），故答案为：1，（0，1）【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而问题转换为焦点到A点距离与A点到B的距离问题，推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=4，表示为以（﹣3，﹣3）为圆心设为O，2为半径的圆，抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0），根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，此时|FO|==5，∴|BF|=|AF|+|AB|=3，即m+1+|AB|的最小值为3，∴m+|AB|的最小值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决，属于中档题．13．设等差数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为1008 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|，由题意易得结论．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008，故答案为：1008．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，属基础题14．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是﹣7≤Z≤10．【考点】简单线性规划的应用．【专题】作图题；新定义．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Z max=10，平移到点N（﹣2，1）时Z min=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Z min=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Z max=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．15．平面向量满足|=2，当|= ， |= 时，的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．结合题意及投影概念可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn 即可得出的最小值，并求得m，n的值，进一步得到|，||．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵，∴不妨设，∵，，∴可设．∴=（﹣1，m﹣n）．∵，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴mn≥﹣，当且仅当m=﹣n=±时取等号．∴=2+mn≥2﹣=．此时，∴，．故答案为：．【点评】本题考查数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，由已知结合投影概念设出向量坐标是解答该题的关键，属难题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．（1）求的取值范围；（2）已知BD是△ABC的中线，若•=﹣2，求||的最小值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，结合三角函数的恒等变换公式，化简可得B=120°，再由正弦定理，化简可得所求范围；（2）运用中点的向量表示和向量的数量积的定义，结合基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（1）向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．即有﹣bcosA=（2c+a）cosB，即sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosB，即有sin（A+B）=sinC=﹣2sinCcosB，cosB=﹣，由B为三角形的内角，则B=120°，A+C=60°，故====cos（30°﹣C），由0°＜C＜60°，可得﹣30°＜30°﹣C＜30°，即有＜cos（30°﹣C）≤1，则有的取值范围是（1，]；（2）=（+），即有||2=（2+2+2•）=（c2+a2﹣4），由•=﹣2，即cacos120°=﹣2，可得ac=4，故||2=（c2+a2﹣4）≥（2ac﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当a=c=2时，取得最小值．故||的最小值为1．【点评】本题考查向量共线和数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求二面角P﹣BN ﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量，由且AM⊄面PCD内得答案；（Ⅱ）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置，然后再求出平面PBN的一个法向量，而是平面PAB的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值求得二面角P﹣BN﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），则，，设平面PCD的法向量是，则，即，令z=1，则x=2，y=﹣1，于是．∵，∴，即AM∥平面PCD；（Ⅱ）解：∵点N是线段CD上的一点，∴可设，=（1，0，0）+λ（1，2，0）=（1+λ，2λ，0），=（1+λ，2λ﹣1，﹣1），又面PAB的法向量为．设MN与平面PAB所成的角为θ，则==||=||．∴当，即时，sinθ最大，MN与平面PAB所成的角最大此时，设平面PBN的法向量为．则．令x1=2，得，又，平面BNC，=．又由图知二面角P﹣BN﹣C为钝角，∴二面角P﹣BN﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了运用空间向量求证线面的垂直关系，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．18．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（I）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣≤a＜0），存在实数b，使不等式f（x）≤x+对于任意x∈[2a﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的表达式，讨论a，b的取值即可求函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）根据函数恒成立，转化为求函数的最值，求出m（a）的表达式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，∵a＞0，∴当b＞0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，当b=0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，此时函数f（x）有2个零点，当b＜0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，若判别式△=a2+4b＜0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上无解，判别式△=a2+4b=0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，判别式△=a2+4b＞0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有两个不同的解，综上在a＞0的条件下，当或时，函数f（x）有一个零点，当或时，函数f（x）有2个零点，当时，函数f（x）有3个零点．（Ⅱ）首先记g（x）=f（x）﹣x=，原问题等价于：当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max≤，最大实数b的值．由已知可得2a+1＞a，2a﹣1＜，＜．当﹣≤a＜0时，2a﹣1＜＜a＜＜2a+1，∴g（x）在[2a﹣1，]上为增函数，在[，]上为减函数，在[，2a+1]上为增函数，∴当2a﹣1≤x≤2a+1，∴g（x）max=max{g（），g（2a+1）}=g（）=，由≤，解得1﹣≤a≤1+，则﹣≤a＜0恒成立．此时最大的b满足g（）=，从而b max=m（a）=﹣=，∴m（a）=，（﹣≤a＜0），由对称轴为a=1，区间[﹣，0）为增区间，解得m（a）的取值范围是[，）．【点评】本题主要考查函数的零点的判断，以及函数恒成立问题，考查学生的分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．19．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）由|PQ|=3，可得=3，…（2分）又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…（3分）故椭圆方程为=1…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…（6分）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…（8分）得，，则=，…（9分）令t=，则t≥1，则，…（10分）令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．20．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．【考点】二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．【专题】综合题．【分析】（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．【解答】解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．。
2015届浙江省台州中学高三上学期期中考试(数学文)
台州中学2014学年第一学期期中试题高三 数学（文科）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh =其中R 表示球的半径 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =+其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，，则（ ▲ ）A. B. C. D.2. “0a =”是 “0ab =”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ▲ ） A ．()2x f x -= B ．2()1f x x =+ C ．21()f x x=D ． 3()f x x = 4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 则h 的值为（ ▲ ）{}1==x x M {}x x x N ==2=⋃N M {}1{}1,0,1-{}1,0{}1,1-A．． 5.在空间中，a 、b 、c 是两两不重合的三条直线，、、是两两不重合的三个平面，下列命题正确的是 （ ▲ ）A.若两直线a 、b 分别与平面平行，则//a bB.若直线a 与平面内的一条直线b 平行，则C.若直线a 与平面内的两条直线b 、c 都垂直，则D.若平面内的一条直线a 垂直平面则6. 若实数满足约束条件0124y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，目标函数z x y =+的最大值等于 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．17. 函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是( ▲ )8.若直线被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ▲ ） A.1-或4 C.–2或6 D. 1或39. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点,是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 ( ▲ ) A ．B．C ．D ．αβγαβ//a ββa β⊥β,γβγ⊥x y 、||x y a =sin y ax =0a >1a ≠2=-y x P 6021=∠PF F 33223210．如图所示，等边ABC∆的边长为2，D为AC中点，且ADE∆也是等边三角形，在ADE∆以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD CE的取值范围是（▲A.]23,21[ B.]21,31[ C.)34,21( D.)35,41(二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11.若直线320x y+-=与直线01=--yax垂直，则实数a的值为▲12.已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为8，则等于▲13.已知函数()()()1,0,11,0.xx xf x f fa x-≤⎧==-⎨>⎩若，则实数a的值等于▲14.已知α是钝角，3cos5α=-，则sin4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭▲15．已知点),(nmA在直线012=-+yx上，则nm42+的最小值为▲16.设正数数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则▲17．设Ra∈，若0x>时均有2[(1)1](1)0a x x ax----≥，则a的值为▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）18. （本小题满分14分）在ABC∆中,角A、B、C所对的边分别为a b c、、,已知cos.2a A B Aπ===+（1）求b的值；（2）求ABC∆的面积.19.（本小题满分14分）设等差数列{}n a的前n项和为n S,已知5103,40a S=-=-（1)求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b a为等比数列，且8,521==bb，求数列{}.nnTnb项和的前y22110x ym+=m{}na nnS{}n a n S=+da120.(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中,已知侧面PAD 为等腰直角三角形， 底面A B C 为直角梯形,CD AB //，o 90=∠=∠APD ABC ,侧面⊥PAD 底面A B C ,且4=AB ,2====CD BC PD AP . （1）求证:BD PA ⊥； （2）若E 为侧棱PB 的中点，求直线AE 与底面ABCD 所成角的 正弦值.21. （本小题满分15分）已知函数2()3f x x a =+ ，()21g x ax =+ （a R ∈ ） (1)若函数()f x 在(0,2) 上无零点，研究函数()y g x = 在(0,2)上的单调性；(2)设()()()F x f x g x =- ，若对任意的[]0,1x ∈ ，恒有()1F x < 成立，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分15分）已知圆N ：和抛物线C ：，圆的切线与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，(1)当直线的斜率为1时，求线段AB 的长； (2)设点M 和点N 关于直线对称，问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.8)2(22=++y x x y 22=l l x y =l MB MA ⊥l 第22题图台州中学2014学年第一学期期中参考答案高三 数学（文科）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分） 11.312.1613.214.15.16.3417.32三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18(1)cos sin A A ==,sin sin()cos 2B AA π=+==sin sin abA B =sin sin a B b A∴=== ……………………7分(2)21sin sin()sin(2)cos 22cos 123C A B A A A π=+=+==-=111sin 223ABC S ab C ∆===……………………14分 5110119(1)43,104540a a d S a d =+=-=+=-15, 2.27n a d a n ∴==-∴=-+ ……………………6分(2)12583,9b b a a a a ==-==- 13,333n n n b q a -∴==-⨯=-273n n b -+=- ,1(37)2nn b =+ 2317(3333)22nn T n =+++++ 13(13)72132n n ⨯-=⨯+- =37(31)42n n -+AC……………………14分20(1) 证：由已知条件易得：22,4===BD AD AB ,则AD BD ⊥,又平面⊥ADP 平面ABCD ，平面 ADP 平面ABCD =AD ,⊂BD 平面ABCD , 故⊥BD 平面ADP ,又⊂AP 平面ADP ,从而有BD AP ⊥ ……………………6分 (2)解：如图，取AD 中点O ，连接,PO OB ，并取OB 中点H ,连接,AH EH ，PA PD =,∴PO AD ⊥,又平面PAD ⊥ 平面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD = AD , PO ⊂平面PAD ,PO ∴⊥平面ABCD ,又 //EH PO ,EH ∴⊥ 平面ABCD 则EAH ∠ 即为直线AE 与平面ABCD 的所成角由（1）BD AP ⊥，又,AP PD PDBD D ⊥=APPBD ∴⊥平面,AP PB PB∴⊥∴==AE ∴sin 14EH EAH AE ∴∠===,直线AE 与平面ABCD 的所成角的正弦值为14. ………………14分 21.(1)()f x 在(0,2) 上无零点0a ∴≥ 或12a ≤-当0a ≥时，()21y g x ax ==+ 在(0,2)上递增； 当12a ≤-，()21y g x ax ==+在10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭ 上递减，在1,22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增. ……………………6分(2)[]2()321,0,1F x x ax a x =-+-∈(0)1,(1)2F a F a =-=-111221a a a ⎧-<⎪∴<<⎨-<⎪⎩ 12(,)333a x ∴=∈ {}min max ()(),()max (0),(1)3aF x F F x F F ∴==∴ ()1033(0)12(1)11aF a F a F a ⎧>-⎪<<⎧⎪⎪<∴<⎨⎨⎪⎪<>⎩⎪⎩12a ∴<< ………………15分22. 解：因为圆N ：，所以圆心N 为（-2,0），半径， 设，，（1）当直线的斜率为1时，设的方程为即 因为直线是圆N 的切线，所以，解得或（舍）此时直线的方程为，由 消去得，所以，，， 所以弦长 ………………6分（2）设直线的方程为即（必存在）因为直线是圆N 的切线，所以，得 ………①由 消去得 ， 所以即，.因为点M 和点N 关于直线对称，所以点M 为 所以，，8)2(22=++y x 22=r ),(11y x A ),(22y x B l l m x y +=0=+-m y x l 2222=+-m2-=m 6=m l 2-=x y ⎩⎨⎧=-=,2,22x y x y x 0422=--y y 0>∆221=+y y 421=y y 204)()(21221221=-+=-y y y y y y 10211212=-⋅+=y y kAB l a m y x +=0=--a m y x m l 22122=+--ma 048422=--+m a a ⎩⎨⎧=+=,2,2x y a m y x x 0222=--a m y y 0842>+=∆a m 022>+a m m y y 221=+a y y 221-=x y =)2,0(-)2,(11+=y x )2,(22+=y x因为，所以+1212122()40x x y y y y ++++= 22440a a m -++= ……… ②①+②得即，解得或当时，代入①解得，满足条件；当时，代入①整理得 ，无解.综上所述，存在满足条件的直线，其方程为………………15分⊥=∙1x 2x )2(1+y )2(2+y 0=0482222=+-+m m a a 0)12)(2(=+-+m a m a m a 2-=12-=m a m a 2-=2,1=-=a m 022>+a m 12-=m a 07442=+-m m l 2+-=x y。
《解析》浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞06．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：化简集合A={x|x＞4或x＜﹣1}，从而求∁R A={x|﹣1≤x≤4}再求（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}．解答：解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|﹣2≤x≤3}，∁R A={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}，故选C．点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据三角公式可得），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ），φ=kπ，k∈z，再由充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ）sinφ=0，即φ=kπ，k∈z，∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件，故选：A点评：本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的运算公式，属于中档题．3．（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．解答：解：∵y=sin（2x+2）=sin2（x+1），∴将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，故选：C点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，根据三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用数列{a1a n}的后一项与前一项的差大于0得答案．解答：解：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，且数列{a1a n}为递增数列，∴a1a n﹣a1a n﹣1=a1（a n﹣a n﹣1）=a1d＞0．故选：D．点评：本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的性质，是基础题．6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型；空间位置关系与距离．分析：若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断A；若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，即可判断B；运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断C；运用面面垂直的判定定理，即可判断D．解答：解：对于A．若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；对于B，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，故B错；对于C．若a∥b，则由线面平行的判定定理得，a∥β，再由线面平行的性质定理，可得a∥c，故C对；对于D．若a⊥b，a⊥c，如果b∥c，则α、β不垂直，只有b、c相交，才有α⊥β，故D错．故选C．点评：本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2）B．（1，4）C．（2，4）D．（3，4）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：三点A，B，C在圆O：x2+y2=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到对两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9，并求出．可以判断，所以，解该不等式即得x的取值范围．解答：解：根据已知条件知：；∴对两边平方可得：1=；∵x＞0，∴；∵A，B，C是不同三点；∴，∴；∴，解得2＜x＜4；∴正实数x的取值范围为（2，4）．故选C．点评：考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组．8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再=2，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率．解答：解：因为F（c，0），所以过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x﹣c，渐近线的方程是：y=x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（c﹣，﹣），=（﹣，﹣﹣），又，解得：b=3a，所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，所以e=．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：首先证明通过线面垂直进一步证明所以BD⊥平面PAC，然后当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可，过O点作OM⊥PC，不影响线面的夹角．由于PA=AC=a，进一步求出结果，解答：解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，所以：PA⊥BDAC⊥BD．所以BD⊥平面PAC进一步求出：BM=DM过O点作OM⊥PC于M，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．若PA=AC=a所以：∠ACP=即为所求．故选：B点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理．属于基础题．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合A，B，C的表示形式及元素与集合的关系知：任意的x∈A，都有x∈C，而任意的x∈C，都有x∈A，所以A=C，同样的办法可得到A=B，所以A，B，C的关系为：A=B=C．解答：解：根据集合A，B知：对应∀x∈A，能得到x∈B，x∈C，即A中任意一个元素都是集合C的元素；根据集合C知：对应∀x∈C，都有x∈A，即C中任意一个元素都是集合A的元素；∴集合A，C的元素相同，即A=C；同理可得A=B；∴A=B=C．故选A．点评：考查描述法表示集合，以及元素与集合的关系，也可通过子集的概念：根据已知条件知，A⊆B⊆C⊆A，所以A=B．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=﹣．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：∵角α终边经过点P（12，﹣5），∴x=12，y=﹣5，r=|OP|==13，则sinα==﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=10．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将其代入解析式lgx求出值为﹣1，﹣1＜0代入解析式10﹣x求出值．解答：解：，f[f（）]=f（﹣1）=10故答案为：10点评：本题考查分段函数求函数值，关键是判定出自变量所属的范围，属于基础题．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：令n=1，得a1=2，当n≥2时，2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2，由此推导出数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，从而得到．解答：解：令n=1，得2a1=3a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，由2S n=3a n﹣2n（n∈N*），得2S n﹣1=3a n﹣1﹣2（n﹣1），两式相减得2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2整理得=3，∴数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，∴，∴a n=3n﹣1．故答案为：．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为﹣1≤m≤2．考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围．解答：解：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，则由上图可知，若使y﹣mx≤2恒成立，则﹣1≤m≤2，故答案为：﹣1≤m≤2．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想．解答：解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），∴f（x）=，当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，∴≤2或，又a＞0，∴0＜a≤4或a≥16．故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．点评：本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线方程，再利用直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，可得y1y2=，求出直线方程令y=0，可得直线AB恒过定点（﹣，0）．解答：解：∵抛物线y2=2px过点M（，），∴p=1，∴抛物线方程为y2=2x，设A（，y1），B（，y2），则∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，∴8=，∴y1y2=，直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，∴直线AB恒过定点（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．点评：本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，]．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：设3x+3y=t，由题设条件结合基本不等式得t的范围，将所求化简为﹣t2+t，利用二次函数区间的最值求范围．解答：解：设3x+3y=t≥2，∴3x+y≤，又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）2﹣2×3x+y，∴3x+y=＞0，∴t＞1；∴即t2﹣2t≤0，解得0≤t≤2；∴1＜t≤2；由已知，==3x+3y﹣3x+y=t﹣=﹣t2+t=（t）2+，∴t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；所以的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．点评：本题考查了繁分式的化简；关键是由已知得到t的范围，借助于二次函数求最值，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角B的值；（Ⅱ）利用余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…（10分）所以≤…（13分）当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）点评：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出a n与S n；（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得Sn2=Sm•Sp，把S n代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立．解答：解：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，且a＞0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，则（a﹣1）2=a（a﹣2）或（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）或（a﹣1）2=a（a﹣3）或（a﹣2）2=a（a﹣3），又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，所以a n=5﹣n，S n==．（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由S m，S n，S p成等比数列得，S n2=S m•S p，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9﹣n）2，且mp≤=n2，则，当且仅当m=p时取等号．故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．点评：本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠MON是钝角．解答：（Ⅰ）解：由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，…（3分）所以直线AB的方程是y=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2，即b=2．…（5分）所以a2=b2+c2=5，故椭圆的标准方程为：．…（7分）（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，由韦达定理，得，，代入上式可以得到：=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=，…（12分）因为直线l与圆C2相切，则=1，所以m2=1+k2，…（14分）代入上式：=，所以∠MON是钝角．…（15分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查角为钝角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由p+q=3便可得到f（x）=x2+px+3﹣p，讨论判别式△的取值，从而判断f（x）≥0解的情况：△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）≥0满足在[﹣2，2]上恒成立；△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，对于方程x2+px+3﹣p=0的两根，大根，或小根，所以通过解不等式求出△＞0时p的取值范围，再合并﹣6≤p≤2即可得到p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须，（1），然后通过解该不等式组能够得出p的取值范围，并求出的范围，可判断f（x）的对称轴在区间[1，5]上，所以f（x）在[1，5]上的最小值f（﹣）≥﹣2，该不等式结合不等式组（1）通过求p的取值范围，能够求出p=﹣6，将p带入前面不等式，同样通过求q的范围能够得到q=7，所以便得到满足条件的实数对只一对为（﹣6，7）．解答：解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3﹣p；∴f（x）=x2+px+3﹣p；x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立：（1）若△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）满足该条件；（2）若△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，则p需满足：，或；解得﹣7≤p≤﹣4，∴﹣7≤p＜﹣6；综合（1）（2）得﹣7≤p≤2；∴p的取值范围是[﹣7，2]；（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：，即（3）；∴；①+②得﹣7≤p≤﹣5；f（x）的对称轴为x=，；∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：，即，即q；结合（3）可得到p，q需满足：，解该不等式组得：p=﹣6，带入该不等式组可得q=7；所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（﹣6，7）．点评：考查一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，一元二次方程的求根公式，以及二次函数的对称轴，及顶点处的函数值，可结合二次函数f（x），|f（x）|图象求解本题．。
浙江省台州中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学 Word版含答案
台州中学2014学年第一学期期中试题高一 数学命题：周波 审题：林薇一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}1,0,1M =-，集合{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 2．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =（10≠>a a 且）3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．()2log 0y x x =>B ．()3y x x x R =-∈C ．()3y xx R =∈D ．()10y x x=-≠4．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A ．14B ．4C ．4-D ．14-5. 函数31()()2xf x x =-的零点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 6．设3log 2a =，ln 2b =，125c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 7．函数()pf x x x=-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞8．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．010a <<B ．110a <<C ．01a <<D ．01110a a <<<<或9．设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞上是增函数，则()1f a +与()2f b +的 大小关系是（ ）A. ()()12f a f b +=+B. ()()12f a f b +>+C. ()()12f a f b +<+D. 不能确定10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=（ ） A ． 2 B ． 4 C ．8 D ． 随a 值变化二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 11．函数y =的定义域是 ．12. 设奇函数()f x 的定义域为[]6,6-,当[]0,6x ∈时()f x 的图象如右图，不等式()0f x >的解集用区间表示为 ． 13．函数212log (6)y x x =--的单调递增区间是 ．14．函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f _______________． 15．函数()log 23a y x =-图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 图象上， 则()9f = ．16．函数122log (1)x y x =-+在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为 ．17．设二次函数2().f x x ax b =++对任意实数x ，都存在y ，使得()()f y f x y =+，则a的最大值是 ．三、解答题（本大题共5题，共8+9+10+10+12=49分）18．（1）求值：4160.250321648200549-+---（）（）（2）已知5log 35m =，试用m 表示7log 1.4 19．已知集合{A x y ==，集合)}127lg(|{2---==x x y x B ，集合}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围．20. 已知函数33()(log )(log 3)27xf x x = (1) 若11[,]279x ∈,求函数()f x 最大值和最小值; (2) 若方程()0f x m +=有两根,αβ，试求αβ的值.21. 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足2(log )1x a f x x -+=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；22．已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． （1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若()03|12|2|12|=--⋅+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．台州中学2014学年第一学期期中考试参考答案高一 数学三、解答题：（本大题共5题，共8+9+10+10+12=49分） 18.解：（1）原式=100 （2）72log 1.41m m -=- 19.解：（1）∵),7[]2,(+∞--∞= A ，)3,4(--=B ， ∴)3,4(--=B A ． （2） ∵A C A = ∴A C ⊆．①φ=C ,112+<-m m ,∴2<m ．②φ≠C ,则⎩⎨⎧-≤-≥2122m m 或⎩⎨⎧≥+≥712m m ．∴6≥m ．综上，2<m 或6≥m 20.解: (1)33()(log 3)(log 1)f x x x =-+令3log ,[3,2]x t t =∈-- 2()23,[3,2]g t t t t ∴=--∈--()g t 对称轴1t = max min ()(3)12()(2)5f x g f x g ∴=-==-=(2)即方程233(log )2log 30x x m --+=的两解为,αβ33log log 2αβ∴+= 3log 29αβαβ∴=∴=21解：（1）21()12x x f x -+=+（2）减函数证明：任取121221,,,0x x R x x x x x ∈<∆=->，由（1）12212112212(22)12121212(12)(12)()()x x x x x x x x f x f x ---++++-=-=12121212,022,220,(12)(12)0x x x x x x x x <∴<<∴-<++> 21()()0f x f x ∴-<22．解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（2）由已知可得21)(-+=xx x f ， 所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为xx x k 22212⋅≥-+，化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故()min 0h t =， 所以k 的取值范围是(],0-∞．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ．记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ① 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ②解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．。
【真题】15年浙江省深化课程改革协作校联考高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年浙江省深化课程改革协作校联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞06．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2） B．（1，4） C．（2，4） D．（3，4）8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5 D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD 所成的角为（）A．B．C．D．10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin （+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F 为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．2014-2015学年浙江省深化课程改革协作校联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤3}，则（∁R A）∩B=（）A．R B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，3]D．[﹣2，4]【解答】解：A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，B={x|﹣2≤x≤3}，∁R A={x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B={x|﹣1≤x≤3}，故选：C．2．（5分）已知函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），则“f（x）是偶函数”是“φ=π”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵函数f（x）=Acos（x+φ）（A＞0，φ∈R），f（x）是偶函数∴f（﹣x）=f（x），Acos（﹣x+φ）=Acos（x+φ）sinφ=0，即φ=kπ，k∈z，∴根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件，故选：A．3．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B．4．（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动2个单位长度B．向右平行移动2个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度【解答】解：∵y=sin（2x+2）=sin2（x+1），∴将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{a1a n}为递增数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0【解答】解：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，且数列{a1a n}为递增数列，∴a1a n﹣a1a n﹣1=a1（a n﹣a n﹣1）=a1d＞0．故选：D．6．（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，α和β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，α∩β=c．下列命题中正确的是（）A．若a与b是异面直线，则c与a，b都相交B．若a不垂直于c，则a与b一定不垂直C．若a∥b，则a∥cD．若a⊥b，a⊥c则α⊥β【解答】解：对于A．若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故A错；对于B，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则有b⊥a，故B错；对于C．若a∥b，则由线面平行的判定定理得，a∥β，再由线面平行的性质定理，可得a∥c，故C对；对于D．若a⊥b，a⊥c，如果b∥c，则α、β不垂直，只有b、c相交，才有α⊥β，故D错．故选：C．7．（5分）已知A，B，C是圆O：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）A．（0，2） B．（1，4） C．（2，4） D．（3，4）【解答】解：根据已知条件知：；∴对两边平方可得：1=；∵x＞0，∴；∵A，B，C是不同三点；∴，∴；∴，解得2＜x＜4；∴正实数x的取值范围为（2，4）．故选：C．8．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若=2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．5 D．【解答】解：因为F（c，0），所以过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x﹣c，渐近线的方程是：y=x，由得：B（，），由得，C（，﹣），所以=（c﹣，﹣），=（﹣，﹣﹣），又，解得：b=3a，所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，所以e=．故选：D．9．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA=AC=a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD 所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AC，BD交于O，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，所以：PA⊥BDAC⊥BD．所以BD⊥平面PAC进一步求出：BM=DM过O点作OM⊥PC于M，当△MBD的面积为最小时，只需OM最小即可．若PA=AC=a所以：∠ACP=即为所求．故选：B10．（5分）已知非空集合A，B，C，若A={y|y=x2，x∈B}，B={y|y=，x∈C}，C={y|y=x3，x∈A}，则A，B，C的关系为（）A．A=B=C B．A=B⊊C C．A⊊B=C D．A⊊B⊊C【解答】解：根据集合A，B知：对应∀x∈A，能得到x∈B，x∈C，即A中任意一个元素都是集合C的元素；根据集合C知：对应∀x∈C，都有x∈A，即C中任意一个元素都是集合A的元素；∴集合A，C的元素相同，即A=C；同理可得A=B；∴A=B=C．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知角α终边经过点P（12，﹣5），则sinα=﹣．【解答】解：∵角α终边经过点P（12，﹣5），∴x=12，y=﹣5，r=|OP|==13，则sinα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）设f（x）=，则f[f（）]=10．【解答】解：，f[f（）]=f（﹣1）=10故答案为：1013．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若2S n=3a n﹣2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：令n=1，得2a1=3a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，由2S n=3a n﹣2n（n∈N*），得2S n=3a n﹣1﹣2（n﹣1），﹣1两式相减得2a n=3a n﹣3a n﹣1﹣2整理得=3，∴数列{a n+1}是首项为3公比为3的等比数列，∴，∴a n=3n﹣1．故答案为：．14．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若y﹣mx≤2恒成立，则实数m的取值范围为﹣1≤m≤2．【解答】解：由题意作出其平面区域，y﹣mx=2恒过点（0，2），且m是y﹣mx=2斜率，则由上图可知，若使y﹣mx≤2恒成立，则﹣1≤m≤2，故答案为：﹣1≤m≤2．15．（4分）若函数f（x）=x|2x﹣a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递增，则实数a的取值范围是（0，4]∪[16，+∞）．【解答】解：∵f（x）=x|2x﹣a|（a＞0），∴f（x）=，当x≥时，f（x）=2x2﹣ax，函数f（x）在[，+∞）为增函数，当x＜时，f（x）=﹣2x2+ax，函数f（x）在（﹣∞，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2x﹣a|在[2，4]上单调递增，∴≤2或，又a＞0，∴0＜a≤4或a≥16．故答案为：（0，4]∪[16，+∞）．16．（4分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．【解答】解：∵抛物线y2=2px过点M（，），∴p=1，∴抛物线方程为y2=2x，设A（，y1），B（，y2），则∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，∴8=，∴y1y2=，直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，∴直线AB恒过定点（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．17．（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，] ．【解答】解：设3x+3y=t≥2，∴3x+y≤，又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）2﹣2×3x+y，∴3x+y=＞0，∴t＞1；∴即t2﹣2t≤0，解得0≤t≤2；∴1＜t≤2；由已知，==3x+3y﹣3x+y=t﹣=﹣t2+t=（t）2+，∴t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；所以的取值范围是（1，]．故答案为：（1，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin （+B）•sin（﹣B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），即sinB=cos2B﹣sin2B，由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB=或sinB=﹣1…（5分）因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，把b=1，B=代入可以得到：≥，所以=2…（10分）所以≤…（13分）当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为﹣1，首项为正数，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；（Ⅱ）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．【解答】解：（Ⅰ）由题意设前4项为a、a﹣1、a﹣2、a﹣3，且a＞0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，则（a﹣1）2=a（a﹣2）或（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）或（a﹣1）2=a（a﹣3）或（a﹣2）2=a（a﹣3），又a＞0，且a≠1、2、3，解得a=4，所以a n=5﹣n，S n==．（Ⅱ）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由S m，S n，S p成等比数列得，S n2=S m•S p，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9﹣n）2，且mp≤=n2，则，当且仅当m=p时取等号．故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且S m，S n，S p成等比数列．20．（14分）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F 为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．21．（15分）若椭圆C1：=1（a＞b＞0），过点Q（1，）作圆C2：x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆C2相切于点P，且交椭圆C1于点M，N，求证：∠MON是钝角．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：c=1，k OQ=，则k AB=﹣2，…（3分）所以直线AB的方程是y=﹣2（x﹣1），即y=﹣2x+2，即b=2．…（5分）所以a2=b2+c2=5，故椭圆的标准方程为：．…（7分）（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m2﹣20=0，则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，由韦达定理，得，，代入上式可以得到：=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=，…（12分）因为直线l与圆C2相切，则=1，所以m2=1+k2，…（14分）代入上式：=，所以∠MON是钝角．…（15分）22．（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，q∈R．（Ⅰ）若p+q=3，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求p的取值范围；（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．【解答】解：（Ⅰ）∵p+q=3，∴q=3﹣p；∴f（x）=x2+px+3﹣p；x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立：（1）若△=p2﹣4（3﹣p）≤0，即﹣6≤p≤2时，f（x）满足该条件；（2）若△=p2﹣4（3﹣p）＞0，即p＜﹣6，或p＞2时，则p需满足：，或；解得﹣7≤p≤﹣4，∴﹣7≤p＜﹣6；综合（1）（2）得﹣7≤p≤2；∴p的取值范围是[﹣7，2]；（Ⅱ）要使|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则需满足：，即（3）；∴；①+②得﹣7≤p≤﹣5；f（x）的对称轴为x=，；∴f（x）的对称轴在区间[1，5]内；∴要使|f（x）|＞2，在区间[1，5]上无解，还需满足：，即，即q；结合（3）可得到p，q需满足：，解该不等式组得：p=﹣6，带入该不等式组可得q=7；所以满足题意的实数对（p，q）只有一对：（﹣6，7）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
浙江台州高三上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
2015学第一学期期中试题 高三 数学（理科）参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1<a B. 1≤a C.21<a D. 21≤a2.若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ）A ．||||b a >B ．b a ->C ．22b a < D ． 011<+ba3．函数()()lg 1f x x =-的大致图象是 （ ）4.{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则216log a =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.已知,sin 3cos R ααα∈+=tan 2α的值是( )A ．34-B ．2C ．43- D ．43 6. “a ≤0”是“函数()=(+1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ）A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->8．已知函数=)(x f 221,0,2,0,x x x x -⎧-≥⎨+<⎩ =)(x g 22,0,1,0.x x x x x⎧-≥⎪⎨<⎪⎩则函数)]([x g f 的所有零点之和是（ ） A. 321+- B. 321+ C.231+- D. 231+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共7小题，9—12题每空格3分，13—15题每小题4分，共36分)9. 已知1tan 41tan 3αα+=-，则tan()4πα+= ，tan α= ；10. 若函数 2()4f x ax x c =-+(0)a ≠的值域为[0，+∞），则19c a+的最小值为 ，若不等式240(0)ax x c a -+<≠的解集为(1,2)-，则a c -= ；11．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →＝(2，4)．(1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，则实数k 的值是 ， (2)若△ABC 为直角三角形，且90B ∠= ，则k 的值是 ;12．若实数,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22y x +的最大值为 ，点(,)x y 所在的区域的面积为 ； 13. 在扇形OAB 中，∠AOB=120°，P 是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是 ;[14.已知)(x f 为偶函数，且)(x f 在[)+∞,0单调递增，若0)2()1(≤--+x f ax f在]1,21[∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ; 15. 已知函数2()2f x x x =-，若关于x 的方程()()0f x f a x t +--=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t 的取值范围为__ _．三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. （本题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．17. （本题满分15分）已知在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， （1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ； （2）若PA=，PC 与侧面APB 所成角的余弦值为，PB 与底面ABC 成60°角，求二面角B ﹣PC ﹣A 的大小．18. （本题满分15分）设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点. （1）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；（2）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；19．（本题满分15分）已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)0,1(Q 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点(4,3)P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为21,k k ，当21k k ⋅最大时，求直线l 的方程．20. （本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n T 满足126n n a T +=+，且16a =． （1）求数列{}n a 的通项公式、数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ； （2）证明：2121113333n nS S S ++<⋅⋅⋅ ．台州中学2015学第一学期期中答案高三 数学（理科）一、ADBBCDCB二、9 、43 , 17 10、3 , 12 11、12 , 3或-1 12、34， 1 13、2 14、]0,2[- 15、312⎛⎫⎪⎝⎭，三、16.【解析】（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17.【解析】（1）证明：∵PA ⊥面ABC ，∴PA ⊥BC ， ∵AB ⊥BC ，且PA∩AB=A ，∴BC ⊥面PAB 而BC ⊂面PBC 中，∴面PAB ⊥面PBC ．…（7分）（2）解法一：过A 作AE ⊥PB 于E ，过E 作EF ⊥PC 于F ，连接AF ，如图所示 则∠EFA 为B ﹣PC ﹣A 的二面角的平面角 ……..(8分)由PA=，在Rt △PBC 中，cos ∠COB=．Rt △PAB 中，∠PBA=60°．∴AB=，PB=2，PC=3∴AE==同理：AF=∴sin ∠EFA=，∴∠EFA=60．…（14分）∴二面角B ﹣PC ﹣A 的大小为60．…….(15分)解法二：向量法：由题可知：AB=，BC=1，建立如图所示的空间直角坐标系…（8分） B （0，0，0），C （1，0，0），A （0，，0），P （0，，），假设平面BPC 的法向量为=（x 1，y 1，z 1）， ∴取z 1=可得平面BPC 的法向量为=（0，﹣3，）同理PCA 的法向量为=（2，﹣，0）∴cos ＜，＞==，∴＜，＞=60°．…（14分）∴二面角B ﹣PC ﹣A 的大小为60． (15))18.【解析】（1）由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 关于2x =对称，则122b a--= 又110a b +-+= 解得11,33a b ==- 214()133f x x x =-+,………（7分） （2）由0a >知只需考虑2a x ≤时的情况 当2ax ≤时()22+f x x a =-可化为22(24)122(22)10+ax a x a x ax a x a +-+=-+---=即221(22)4(1)84400a a a a a a a--∆=-++=-+>< 且所以关于x 的方程()22+f x x a =-存在唯一负实根0x01(1)x a ⎡=--+⎢⎣令11122t t a =->-则071122=x t ⎡⎤⎢⎥⎡⎢--+=-+⎢⎢⎣⎢⎣在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增则0112x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭- ………（15分）19.【解析】（1）由已知得b c 又2224abc =+=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．………（5分） （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+；………（6分） ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x m y =+， 将1x m y =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m ym y ++-=．……（7分） 则12222m y y m -+=+，12232yy m -=+． 又111x m y =+，221x m y =+， 所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++= 2232546m m m ++=+23414812m m +=++． 令41t m =+，则122324225t kk t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤ 所以当且仅当5=t ，即1=m 时，取等号．由①②得，直线l 的方程为10x y --=． ………（15分） 20. 【解析】（1）由126n n a T +=+①得126(2)n n a T n -=+≥②②-①：有1122n n n n a a T T +--=- …………………………2分即13(2)n n a a n +=≥， …………………………4分又16a =，由②有211262618a T a =+=+=知213a a = ………………5分 ∴数列{}n a 是以6为首项，公比为3的等比数列，∴16323n n n a -=⋅=⋅ …6分又由（1）得：11123nn a =⋅， ……………………………7分 得121211(1)111111113133()1233324313n n n n nn S a a a --=++=++=⋅=⋅- ， …8分 （2）证法一：由（2）得：由14331n n n S =⋅- …………9分∵111131331233123n n n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅ ………………………11分∴ 111114442,(1,2,...,)3312331233kk k k k k k k n S ----==≤==⋅-⋅+-⋅………12分2211211111111132(1)23(1)31333333313n n n n n S S S --++≤++++==-<⋅⋅⋅- ……15分证法二： 1112231431346331(31)(31)(31)(31)n n n n n n n n n S +++⋅--===⋅⋅----- 11231166()(31)(31)3131n n n n n ++⋅<⋅=⋅----- ………………………12分212231121111111116[()()()]333313131313131n n n n S S S +∴++<-+-++-⋅⋅⋅------ 111166()3323131n n ++=⋅-<-<-- ………………………15分证法三：当1n =时，不等式显然成立， 当2n ≥时，令14,331n n n n c S ==⋅-1114411411313331333n n n n n c c ---==⋅≤⋅=⋅---…11分12121111112,3333n n n n n c c c c ----∴≤⋅≤⋅≤≤⋅=⋅ ……………………………12分12211111113...2(1...)23(1)31333313nn n n c c c --∴+++≤++++=⋅=-<- .…………15分综上得命题得证.。
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学(理)
浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh =其中R 表示球的半径 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ▲ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)- 2.设函数()y f x =是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ▲ ）A.(2)(1)f f ->B.(2)(1)f f -<-C.(2)(2)f f ->D.(||)()f x f x < abA ．3B ．9C ．3-D ．9-5．若m ．n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确．．．的是 ( ▲ ) A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B ．若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α6.设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ▲ ） A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7．若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b -与b 的夹角为（ ▲ ）A ．6πB.3πC.32π D.65π 8．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，3123123 A9．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||3OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ▲ ）A. )+∞B. C. )+∞D.10.已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a的取值范围是( ▲ )A.⎫⎪⎪⎭B.⎫⎪⎪⎭ C.130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎭ D.⎛- ⎝∞二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为 ▲ 12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)1f x x m =+++， 则(3)f -= ▲ ．13．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值等于 ▲14.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲15．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为 ▲16． 若数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-（n ∈N *），则该数列的前2015项的乘积1232015a a a a ⋅⋅⋅= __▲____17． 对函数f （x ），若任意a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为一三角形的三边长，则称f （x ）为“三角型函数”，已知函数f （x ）=（m ＞0）是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α= 时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sinB C A =，求b c -的值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。
浙江省台州中学高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1 D．a＜12．若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A． B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|3．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．4．公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知α∈R，，tan2α=（）A．B．C．﹣D．﹣6．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．已知函数f（x）=g（x）=，则函数f[g（x）]的所有零点之和是（）A． B．C．D．二、填空题：（本大题共7小题，9-12题每空格3分，13-15题每小题6分，共36分）9．已知，则= ，tanα= ．10．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则+的最小值为；若ax2﹣4x+c＞0的解集为（﹣1，2），则a﹣c= ．11．已知平面上三点A，B，C， =（2﹣k，3），=（2，4）．（1）若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k的值是，（2）若△ABC为直角三角形，且∠B=90°，则k的值是．12．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为，点（x，y）所在的区域的面积为．13．在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是．14．已知f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（ax+1）﹣f（x﹣2）≤0在上恒成立，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）=x2﹣2x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a﹣x）|﹣t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．17．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B﹣PC﹣A的大小．18．设x1，x2为函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+1（a，b∈R，a＞0）两个不同零点．（1）若x1=1，且对任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）；（2）若b=2a﹣3，则关于x的方程f（x）=|2x﹣a|+2是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2取最大值时，求直线l的方程．20．已知数列{a n}的前n项和T n满足a n+1=2T n+6，且a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n；（3）证明： ++ (3)2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a≤1 D．a＜1【考点】集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用．【专题】阅读型．【分析】根据题意A集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A⊆B，求出a符合的条件即可．【解答】解：∵A={x|＜x＜5，x∈Z}，∴A={1，2，3，4}∵A⊆B，∴a＜1故选D【点评】本题考查集合中参数的取值问题．正确理解集合语言是解决此类题的关键．2．若ab＜0，且a+b＞0，则以下不等式中正确的是（）A． B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】把不等式 a+b＞0的两边同时除以负数ab可得＜0，化简可得，从而得出结论．【解答】解：∵a+b＞0，ab＜0，∴＜0，∴，故选A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题．3．函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f（x）=lg（|x|﹣1），∴f（﹣x）=lg（|x|﹣1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或﹣1时，y＜0，故选B；【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；4．公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，知，故a7=4， =32，由此能求出log2a16．【解答】解：∵公比为的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，∴a7=4，∴=32，∴log2a16=log232=5．故选B．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．已知α∈R，，tan2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的正切．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知和平方关系可得sinα和cosα的值，进而可得tanα，代入二倍角的正切公式计算可得．【解答】解：∵，∴，∵sin2α+cos2α=1，∴（﹣3cosα）2+cos2α=1，∴5cos2α﹣3cosα+2=0，∴cosα=或cosα=，∴sinα=﹣或∴tanα=﹣或tanα=2，∴当tanα=﹣时，tan2α===﹣；当tanα=2时，tan2α===﹣．故选D．【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．6．“a≤0”是“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据函数的性质：a≤0，﹣＞0，“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内不是单调递增”；a=10，“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增，可判断答案．【解答】解：函数f（x）=|（ax+1）x|，∵a≤0，﹣＞0，∴“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内不是单调递增”，∵“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”，∴a≤0，不一定成立，如a=10，“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”，∴根据充分必要条件的定义判断：“a≤0”是“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D【点评】本题考查了函数的性质，充分必要条件的定义，属于中档题．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．8．已知函数f（x）=g（x）=，则函数f[g（x）]的所有零点之和是（）A． B．C．D．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先求得f[g（x）]的解析式，x≥0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；x＜0时，由=0，可解得：x=﹣，从而可求函数f[g（x）]的所有零点之和．【解答】解：∵f（x）=g（x）=，∴f[g（x）]=，且f[g（x）]=x2﹣2x+2，（ 0＜x＜2）分情况讨论：①x≥2或x=0时，由，可解得：x=1或1﹣（小于0，舍去）；②x＜0时，由=0，可解得：x=﹣．③当 0＜x＜2时，由x2﹣2x+2=0，无解．∴函数f[g（x）]的所有零点之和是1=．故选：B．【点评】本题主要考察了函数的零点，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．二、填空题：（本大题共7小题，9-12题每空格3分，13-15题每小题6分，共36分）9．已知，则= ，tanα= ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得以及tanα的值．【解答】解：∵ =，∴ =．再根据，求得tanα=，故答案为：；．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．10．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则+的最小值为 3 ；若ax2﹣4x+c＞0的解集为（﹣1，2），则a﹣c= 12 ．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据二次函数的性质求出ac=4，根据基本不等式的性质求出+的最小值即可；（2）问题转化为﹣1，2是方程ax2﹣4x+c=0的解，求出a，c的值即可．【解答】解：∵二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），∴，解得a＞0，c＞0，ac=4，∴+≥2=2=3，若ax2﹣4x+c＞0的解集为（﹣1，2），则﹣1，2是方程ax2﹣4x+c=0的解，∴，解得：，∴a﹣c=12，故答案为：3，12．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．11．已知平面上三点A，B，C， =（2﹣k，3），=（2，4）．（1）若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k的值是，（2）若△ABC为直角三角形，且∠B=90°，则k的值是3或﹣1 ．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；函数思想；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）根据条件利用A，B，C三点共线，所以存在实数λ，有=λ，带入坐标即可求k．（2）△ABC为直角三角形，所以两条直角边相互垂直，所以对应的两个向量的数量积为0，从而求出k的值．【解答】解：（1）∵A，B，C三点不能构成三角形，∴三点A，B，C共线；∴存在实数λ，使=λ；∴，解得k=．∴k满足的条件是：k=．故答案为：．（2）=（2﹣k，3），=（2，4）．=﹣=（k﹣2，﹣3）﹣（﹣2，﹣4）=（k，1）∵△ABC为直角三角形；∴若∠B是直角，则⊥，∴•=﹣k2+2k+3=0，解得k=﹣1或3；综上可得k的值为：3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查的知识点为：共线向量基本定理，向量的相等，数量积的坐标运算，相互垂直的两向量的数量积为0，注意第二问对于角为直角的讨论．12．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为，点（x，y）所在的区域的面积为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；方程思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（﹣，1）的斜率的一半，利用数形结合进行求解即可．直接求解可行域的面积即可得到第二问．【解答】解：作出束条件所对应的可行域（如图阴影），的几何意义是区域内的点到定点P（﹣1，0）的斜率的一半，由图象知可知CD的斜率最大，由，得，即C（1，3），则=，即的最大值为，故答案为：．，可得A（1，1）；，可得B（2，2）．点（x，y）所在的区域的面积为：|AC|×（x B﹣x A）==1．故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．13．在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是上的一个动点，若=x+y，则+的最小值是 2 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义；基本不等式．【专题】作图题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式．【分析】设=a，则≤a≤1，从而可得=a=ax+ay，从而可得ax+ay=1，从而利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：如图，设=a，则≤a≤1，∵=x+y，∴=a=ax+ay，∵A，Q，B三点共线，∴ax+ay=1，故+=+=a（2++）≥4a，（当且仅当=，即x=y=时，等号成立），此时a=；4a=2；故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的应用及平面向量的应用．14．已知f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（ax+1）﹣f（x﹣2）≤0在上恒成立，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反，根据已知中f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，易得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，又由若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，结合函数恒成立的条件，求出x∈[，1]时f（x﹣2）的最小值，从而可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数当x∈[，1]时，x﹣2∈[﹣，﹣1]故f（x﹣2）≥f（1）若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，则当x∈[，1]时，|ax+1|≤1恒成立，解得﹣2≤a≤0故答案为[﹣2，0]【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数在对称区间上单调性相反，证得f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，进而给出x∈[，1]时f（x﹣2）的最小值，是解答本题的关键．15．已知函数f（x）=x2﹣2x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a﹣x）|﹣t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则实数t的取值范围为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=|f（x）|+|f（a﹣x）|，从而可判断h（x）的图象关于x=对称，从而可得a=1；进而化简h（x）=|x2﹣2x|+|（1﹣x）2﹣2（1﹣x）|，再作图求解即可．【解答】解：令h（x）=|f（x）|+|f（a﹣x）|，则h（a﹣x）=h（x）；故h（x）的图象关于x=对称，又∵方程|f（x）|+|f（a﹣x）|﹣t=0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，故4×=2；故a=1；故h（x）=|f（x）|+|f（a﹣x）|=|x2﹣2x|+|（1﹣x）2﹣2（1﹣x）|=；作函数h（x）=的图象如下，关于x的方程|f（x）|+|f（a﹣x）|﹣t=0有4个不同的实数根可转化为函数h（x）=|x2﹣2x|+|（1﹣x）2﹣2（1﹣x）|与y=t有四个不同的交点，故结合图象可知，实数t的取值范围为：．故答案为：．【点评】本题考查了绝对值函数的应用及函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题（共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】①由图象与x轴两个相邻的交点的距离为π确定周期，然后以点M（，）代人函数解析式求φ，②由f（A）=，f（B）=，求出sinA=，sinB=，再求sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，根据正弦定理求边b，然后应用面积公式即可．【解答】解：①依题意T=2π，∴ω=1，∴函数f（x）=sin（x+φ）∵f（）=sin（+φ）=，且0＜φ＜π，∴＜+φ＜π， +φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（x+）=cosx②∵f（A）=cosA=，f（B）=cosB=，∴A，B∈（0，），∴sinA=，sinB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，∵在三角形ABC中， =，∴b=15，∴S△ABC=absinC=×13×15×=84【点评】本题主要考查怎样求函数解析式，灵活运用诱导公式，同角三角函数的基本关系，正弦定理及面积公式．17．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA=，PC与侧面APB所成角的余弦值为，PB与底面ABC成60°角，求二面角B﹣PC﹣A的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；空间角．【分析】（1）由PA⊥面ABC，知PA⊥BC，由AB⊥BC，且PA∩AB=A，知BC⊥面PAB，由此能够证明面PAB⊥面PBC．（2）法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，得到∠EFA为B﹣PC﹣A的二面角的平面角．由此能求出二面角B﹣PC﹣A的大小．法二：由AB=，BC=1，以BA为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣A的大小．【解答】（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，∴BC⊥面PAB而BC⊂面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示则∠EFA为B﹣PC﹣A的二面角的平面角…由PA=，在Rt△PBC中，cos∠COB=．Rt△PAB中，∠PBA=60°．∴AB=，PB=2，PC=3∴AE==同理：AF=…∴sin∠EFA=，…∴∠EFA=60．…解法二：向量法：由题可知：AB=，BC=1，建立如图所示的空间直角坐标系…B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，，0），P（0，，），假设平面BPC的法向量为=（x1，y1，z1），∴取z1=可得平面BPC的法向量为=（0，﹣3，）…同理PCA的法向量为=（2，﹣，0）…∴cos＜，＞==，∴所求的角为60°．…【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．设x1，x2为函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+1（a，b∈R，a＞0）两个不同零点．（1）若x1=1，且对任意x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）；（2）若b=2a﹣3，则关于x的方程f（x）=|2x﹣a|+2是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+1（a，b∈R，a＞0）两个不同零点分别为x1=1，x2=3，从而解得；（2）由题意只需讨论即可，从而化简可得ax2+（2a﹣2）x﹣a﹣1=0，从而可知，从而解得．【解答】解：（1）∵f（2﹣x）=f（2+x），∴函数f（x）关于x=2对称，∵x1=1，∴x2=3，故1+3=﹣，1•3=，解得：，故；（2）∵a＞0，∴只需讨论即可，当时，∵f（x）=|2x﹣a|+2，∴ax2+（2a﹣4）x+1=a﹣2x+2，即ax2+（2a﹣2）x﹣a﹣1=0，∵，∴关于x的方程f（x）=|2x﹣a|+2存在唯一负实根x0，，令，在上单调递增，则．【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，同时考查了分类讨论的应用．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相较于A，B两点，且点P（4，3），记直线PA，PB 的斜率分别为k1，k2，当k1•k2取最大值时，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得：b=c=，a=2，即可得出椭圆C的标准方程为=1．（2）当直线l的斜率为0时，利用向量计算公式可得k1k2=；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得（m2+2）y2+2my﹣3=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系可得k1•k2==，令t=4m+1，只考虑t＞0时，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：b=c=，a=2，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）当直线l的斜率为0时，k1k2==；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为（m2+2）y2+2my﹣3=0，，y1y2=，又x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1•k2=====，令t=4m+1，只考虑t＞0时，∴k1•k2=+=≤1，当且仅当t=5时取等号．综上可得：直线l的方程为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}的前n项和T n满足a n+1=2T n+6，且a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n；（3）证明： ++ (3)【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，以及等比数列的通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式计算即可得到；（3）运用裂项相消求和方法，变形整理即可得证．【解答】解：（1）由a n+1=2T n+6①，得a n=2T n﹣1+6（n≥2）②②﹣①：有a n+1﹣a n=2T n﹣2T n﹣1，即a n+1=3a n（n≥2），又a1=6，由②有a2=2T1+6=2a1+6=18，知a2=3a1，∴数列{a n}是以6为首项，公比为3的等比数列，∴an=6•3n﹣1=2•3n；（2）由（1）得：，得S n=++…+=（++…+）=•=，（3）证明：∵，∴=．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．。
浙江省台州中学届高三数学上学期期中试题文【含答案】
台州中学2015学年第一学期期中试题高三 数学（文科）参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}|05A x x =∈≤≤N ，{}5,3,1=B C A ，则集合=B （ ）A ．{}4,2B ．{}4,2,0C ．{}3,1,0D ．{}4,3,2 2.若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ）A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 3. A 为三角形ABC 的一个内角，若2sin A+cos A=3，则这个三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定4. 函数1()(0)31xf x a x =+≠-，则 “f (1)＝1”是“函数()f x 为奇函数”的 条件．（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要5．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 ( )A ．(,)43ππ B ．(,)44ππ- C ．(0,)3πD ．(,0)3π-6．设向量a ，b 满足1a =，a 与a b -的夹角为0150，则b 的取值范围是（ ）A ．1[1)2，B ．1[+)2∞，C ．[+)2∞ D ．(1+)∞， 7. 函数2xy x a=+的大致图象如图所示，则a 的取值范围是（ ） A ．(10)a ∈-， B ．(01)a ∈， C ．()a ∈-∞，1 D ．(1)a ∈∞，+8．定义在(),0)(0,)-∞+∞上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a ，仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”．现有定义在(),0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()3,x f x =②2(),f x x=③3(),f x x =④ 2()log ,f x x =则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ．A. ①②③④ B ．①④ C. ①②④ D. ②③非选择题部分（共110分）二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分) 9.已知,sin 3cos R ααα∈+=tan 2α的值是 ．10．已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q __ ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = __ ．11. 设二次函数()24()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0，+∞），则19c a+的最小值为 ；若ax 2﹣4x+c<0的解集为 (-1,2),则a c -= ．12. 已知函数5454()22xx x x f x ---+=-，则()f x 的递增区间为________，函数()()g x f x =_______个．13．已知集合(){},1,1A x y x y =≤≤，若存在(),x y A ∈，使不等式20x y m -+≥成立，则实数m 最小值是 ．14. 已知AB AC ⊥，2AB AC -=，点M 是线段BC 上的一点，且()1AM AB AC +=，则AM 的取值范围是 ．15. 已知函数2()()(),t f x x t t t R =--∈设a b <，(),()()(),(),()()a a b ba b f x f x f x f x f x f x f x <⎧=⎨≥⎩若函数()y f x x a b =++-有三个零点，则b a -的值为 ．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分15分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知()sin sin sin a b a cA B A B +-=+-． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若36cos ,3==A b ,求ABC ∆的面积．17.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S +n a =2． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式326321>+++n a a a 的n 的取值范围． 18．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2,1,PA AD AB AC === （Ⅰ）证明：MN PCD 平面；（Ⅱ）求直线MN 与PAD 平面所成角的正切值．19．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(8,4)A -，(2,)(0)P t t <在抛物线22(0)y px p =>上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为123,,k k k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．20．（本题满分14分）已知函数2()2f x x bx c =-++，设函数)()(x f x g =在区间[]11-,上的最大值为M ．（Ⅰ）若2=b ，试求出M ；（Ⅱ）若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．台州中学2015学年第一学期期中参考答案高三 数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一非选择题部分（共110分）二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分)9. 4-3 10． 52，32n -，232n n -11. 3，-12 12. (]1,∞-；2个13．﹣3 14. 1(,1]215. 2+三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分15【解析】（Ⅰ）因为sin()sin sin a b a cA B A B +-=+-， 所以ba c a cb a --=+，所以222a b ac c -=-，…………………………………………………………………3分所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===， 又因为π<<B 0，所以3B π=。
【小初高学习】高三数学上学期第三次统练试卷 理(含解析)
2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|y=}，则M∪（∁R N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜2} D．∅2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．3．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ4．设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||5．若p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是（）A．q＞p＞0 B．p＞q＞0 C．p＜q＜0 D．p=q≠06．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．7．定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为d=．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1﹣d2=0，则直线P1P2与直线l平行B．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交8．如图，正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（）A．线段 B．圆C．一段圆弧 D．一段抛物线二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设函数，则= ；若f（f（a））=1，则a的值为．10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率是2，则m= ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是．11．若函数f（x）=是奇函数，则a= ，使f（x）＞3成立的x的取值范围为．12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为．13．设等差数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为．14．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x ﹣y}，则z的取值范围是．15．平面向量满足|=2，当|= ， |= 时，的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．（1）求的取值范围；（2）已知BD是△ABC的中线，若•=﹣2，求||的最小值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求二面角P﹣BN ﹣C的余弦值．18．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（I）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣≤a＜0），存在实数b，使不等式f（x）≤x+对于任意x∈[2a ﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．19．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．20．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．2015-2016学年浙江省台州中学高三（上）第三次统练数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|y=}，则M∪（∁R N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜2} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中函数的定义域确定出N，根据全集R求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，由N中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴N={x|x≥1}，∵全集为R，∴∁R N={x|x＜1}，则M∪（∁R N）={x|x＜2}．故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥，如图，即图中在长方体中红色的部分．知棱锥的底面是一个以4为底，以2为高的三角形，棱锥的高为2，故棱锥的体积V=•（4）•2•2=．故选A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解答本题的关键．3．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理即可判断出．【解答】解：A．平面α⊥平面β，过α内任意一点在α内作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β，利用面面垂直的性质定理可知，当此点在交线上时，此垂线可能不在平面α内，故不正确；B．平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β，由A可知正确；C．平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，由线面垂直的判定定理可知正确；D．平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ，线面垂直的判定定理可知正确．故选：A．【点评】本题考查了面面垂直与线面垂直的判定及其性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+|| C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；简易逻辑．【分析】由命题的否定的定义知命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．【解答】解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有命题p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．【点评】本题考查命题的否定，解题时要熟练掌握基本定义．5．若p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是（）A．q＞p＞0 B．p＞q＞0 C．p＜q＜0 D．p=q≠0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】利用绝对值不等式的性质即可判断出．【解答】解：|p|＜|q|⇔p2﹣q2＜0，可得：p，q∈R，则|p|＜|q|成立的一个充分不必要条件是q＞p＞0．故选：A．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0（a2+b2≠0）的有向距离为d=．已知点P1、P2到直线l的有向距离分别是d1、d2．以下命题正确的是（）A．若d1﹣d2=0，则直线P1P2与直线l平行B．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交【考点】点到直线的距离公式．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据有向距离的定义，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：设点P1，P2的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则d1=，d2=．A，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，即=，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴A错误．B，由A知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴B错误．C，由A知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴C错误．D，若d1•d2＜0，则﹣＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴D正确．故选：D．【点评】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强．8．如图，正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（）A．线段 B．圆C．一段圆弧 D．一段抛物线【考点】抛物线的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】构造一个直角三角形PRQ，使∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，由已知得sinα=，得到PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，由抛物线的定义得出结论．【解答】解：如图：过点P作AB的垂线段PR，连接RQ，则RQ是PR在面ABC内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QR⊥AB，∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，又已知PQ=PS•sinα，∴sinα=，∴=，∴PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为一段抛物线，故选：D．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直角三角形中的边角关系，以及抛物线的定义得应用，属于基础题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设函数，则= 2 ；若f（f（a））=1，则a的值为．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可．第二问，通过分类讨论求解方程的解即可．【解答】解：函数，则=f（3×）=f（1）=2；f（f（a））=1，a＜时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得a=．当a≥1时，2a＞1，f（f（a））=1，不成立；当时，f（f（a））=1，23a﹣1=1，解得a=，（舍去）．综上a=．故答案为：．【点评】本题考查分段函数以及方程根的解法，考查分类讨论思想的应用，是基础题．10．已知双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率是2，则m= 3 ，以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是（x﹣2）2+y2=3 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式，计算即可得到m，求出双曲线都将揭晓方程，再由直线和圆相切的条件可得d=r，运用点到直线的距离公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的a=1，b=，c=，则e===2，解得，m=3；则有双曲线的方程为x2﹣=1，其右焦点为（2，0），渐近线方程为y=x，由题意可得，d=r==，则所求圆的方程为（x﹣2）2+y2=3．故答案为：3，（x﹣2）2+y2=3【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于基础题．11．若函数f（x）=是奇函数，则a= 1 ，使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，可得a 值，进而解指数不等式可得使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）在定义域内恒成立，即==﹣，解得：a=1，令f（x）=＞3，即1＜2x＜2，解得：x∈（0，1），故答案为：1，（0，1）【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．12．设F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，B是圆C：（x+3）2+（y+3）2=4上任意一点，设点A到y轴的距离为m，则m+|AB|的最小值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把圆的方程化成标准式，求得圆的圆心和半径，利用抛物线的标准方程求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而问题转换为焦点到A点距离与A点到B的距离问题，推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=4，表示为以（﹣3，﹣3）为圆心设为O，2为半径的圆，抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F（1，0），根据抛物线的定义可知点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离，进而推断出当A，B，F三点共线时A到点B的距离与点A到抛物线的焦点F距离之和的最小，即m+1+|AB|的值最小，此时|FO|==5，∴|BF|=|AF|+|AB|=3，即m+1+|AB|的最小值为3，∴m+|AB|的最小值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的思想，并利用抛物线的定义解决，属于中档题．13．设等差数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为1008 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|，由题意易得结论．【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014==1007（a1007+a1008）＞0，∴a1007+a1008＞0同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，∴k的值为1008，故答案为：1008．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，属基础题14．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是﹣7≤Z≤10．【考点】简单线性规划的应用．【专题】作图题；新定义．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Z max=10，平移到点N（﹣2，1）时Z min=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Z min=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Z max=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．15．平面向量满足|=2，当|= ，|= 时，的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．结合题意及投影概念可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn 即可得出的最小值，并求得m，n的值，进一步得到|，||．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵，∴不妨设，∵，，∴可设．∴=（﹣1，m﹣n）．∵，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴mn≥﹣，当且仅当m=﹣n=±时取等号．∴=2+mn≥2﹣=．此时，∴，．故答案为：．【点评】本题考查数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，由已知结合投影概念设出向量坐标是解答该题的关键，属难题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．（1）求的取值范围；（2）已知BD是△ABC的中线，若•=﹣2，求||的最小值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，结合三角函数的恒等变换公式，化简可得B=120°，再由正弦定理，化简可得所求范围；（2）运用中点的向量表示和向量的数量积的定义，结合基本不等式即可得到最小值．【解答】解：（1）向量=（﹣b，2c+a），=（cosB，cosA），且∥．即有﹣bcosA=（2c+a）cosB，即sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosB，即有sin（A+B）=sinC=﹣2sinCcosB，cosB=﹣，由B为三角形的内角，则B=120°，A+C=60°，故====cos（30°﹣C），由0°＜C＜60°，可得﹣30°＜30°﹣C＜30°，即有＜cos（30°﹣C）≤1，则有的取值范围是（1，]；（2）=（+），即有||2=（2+2+2•）=（c2+a2﹣4），由•=﹣2，即cacos120°=﹣2，可得ac=4，故||2=（c2+a2﹣4）≥（2ac﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当a=c=2时，取得最小值．故||的最小值为1．【点评】本题考查向量共线和数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求二面角P﹣BN ﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量，由且AM⊄面PCD内得答案；（Ⅱ）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置，然后再求出平面PBN的一个法向量，而是平面PAB的一个法向量，由两个法向量所成角的余弦值求得二面角P﹣BN﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），则，，设平面PCD的法向量是，则，即，令z=1，则x=2，y=﹣1，于是．∵，∴，即AM∥平面PCD；（Ⅱ）解：∵点N是线段CD上的一点，∴可设，=（1，0，0）+λ（1，2，0）=（1+λ，2λ，0），=（1+λ，2λ﹣1，﹣1），又面PAB的法向量为．设MN与平面PAB所成的角为θ，则==||=||．∴当，即时，sinθ最大，MN与平面PAB所成的角最大此时，设平面PBN的法向量为．则．令x1=2，得，又，平面BNC，=．又由图知二面角P﹣BN﹣C为钝角，∴二面角P﹣BN﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了运用空间向量求证线面的垂直关系，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．18．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（I）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣≤a＜0），存在实数b，使不等式f（x）≤x+对于任意x∈[2a﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的表达式，讨论a，b的取值即可求函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）根据函数恒成立，转化为求函数的最值，求出m（a）的表达式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，∵a＞0，∴当b＞0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，当b=0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，此时函数f（x）有2个零点，当b＜0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，若判别式△=a2+4b＜0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上无解，判别式△=a2+4b=0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，判别式△=a2+4b＞0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有两个不同的解，综上在a＞0的条件下，当或时，函数f（x）有一个零点，当或时，函数f（x）有2个零点，当时，函数f（x）有3个零点．（Ⅱ）首先记g（x）=f（x）﹣x=，原问题等价于：当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max≤，最大实数b的值．由已知可得2a+1＞a，2a﹣1＜，＜．当﹣≤a＜0时，2a﹣1＜＜a＜＜2a+1，∴g（x）在[2a﹣1，]上为增函数，在[，]上为减函数，在[，2a+1]上为增函数，∴当2a﹣1≤x≤2a+1，∴g（x）max=max{g（），g（2a+1）}=g（）=，由≤，解得1﹣≤a≤1+，则﹣≤a＜0恒成立．此时最大的b满足g（）=，从而b max=m（a）=﹣=，∴m（a）=，（﹣≤a＜0），由对称轴为a=1，区间[﹣，0）为增区间，解得m（a）的取值范围是[，）．【点评】本题主要考查函数的零点的判断，以及函数恒成立问题，考查学生的分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．19．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN 的周长=4a=8，（|MN|+|F 1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）由|PQ|=3，可得=3，…（2分）又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…（3分）故椭圆方程为=1…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…（6分）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…（8分）得，，则=，…（9分）令t=，则t≥1，则，…（10分）令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．20．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．【考点】二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．【专题】综合题．【分析】（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．【解答】解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．。
2015年浙江省台州中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）2．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1） C．f（﹣2）＞f（2）D．f （|x|）＜f（x）3．（5分）“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件4．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）若m．n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α6．（5分）设{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b67．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h=．12．（4分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+m+1，则f（﹣3）=．13．（4分）设变量x，y满足，若目标函数z=x﹣y+1的最小值为0，则m的值等于．14．（4分）已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为．16．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积a1•a2•a3•…a2015=．17．（4分）对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，满分72分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．19．（14分）数列{a n}的前n项和是S n，且S n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=log3，数列的前n项和为T n，若不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．20．（15分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=PB．（Ⅰ）求证：AP⊥BM（Ⅱ）求二面角E﹣AM﹣P的大小．21．（15分）已知点在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=|f（x）|+g（x），当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省台州中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．2．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1） C．f（﹣2）＞f（2）D．f （|x|）＜f（x）【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（1），∴f（﹣2）＞f（1），故选：A．3．（5分）“3a＞3b”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件【解答】解：若3a＞3b，则a＞b，若lna＞lnb，则a＞b＞0，∴“3a＞3b”是“lna＞lnb”的必要不充分条件，故选：D．4．（5分）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：把sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，整理得：2sinαcosα=﹣＜0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴sinα﹣cosα=，则cos2α=﹣（sinα+cosα）（sinα﹣cosα）=﹣．故选：C．5．（5分）若m．n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若α∥β，m⊥α，则m⊥βB．若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥nC．若m∥α，m⊥β，则α⊥βD．若m∥n，m⊥α，则n⊥α【解答】解：对于A，若α∥β，m⊥α，由面面平行的性质可知，m⊥β，故A正确；对于B，α∩β=m，若m∥n，且n∥α，n∥β，则n与α、β所成的角相等，故B 错误；对于C，若m∥α，m⊥β，不妨令m在平面α内的射影为m′，则m∥m′，故m′⊥β，由面面垂直的性质定理可知，α⊥β，故C正确；对于D，若m∥n，m⊥α，由线线平行的性质可知n⊥α，故D正确．6．（5分）设{a n}，{b n}分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）A．a2＞b2B．a3＜b3C．a5＞b5D．a6＞b6【解答】解：∵a1=4，a4=1∴d=﹣1∵b1=4，b4=1又∵0＜q＜1∴q=∴b2=＜a2=3∴b3=＜a3=2∴b5=＞a5=0∴b6=＞a6=﹣1故选：A．7．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量﹣与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可得，化简可得=0，=3•，∴OA⊥OB，OB=OA．设=，=，=+，则=﹣．则π﹣∠OBC即为向量与﹣的夹角．直角三角形OAB中，由于tan∠OBC==，∴∠OBC=，∴π﹣∠OBC=，即向量与﹣的夹角为，8．（5分）已知函数的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（）A． B． C． D．【解答】解：函数的图象取得最值有2个x值，分别为x=和x=，由正弦函数图象的对称性可得x1+x2=2×=，x2+x3 =2×=．故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3==，故选：C．9．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h=．【解答】解：由三视图知几何体四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为h，四棱锥的底面为矩形，矩形的长和宽分别为5和6；则几何体的体积V=×5×6×h=10，∴h=．故答案为：．12．（4分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=log2（x+1）+m+1，则f（﹣3）=﹣2．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=m+1=0，∴m=﹣1，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2．故答案为：﹣2．13．（4分）设变量x，y满足，若目标函数z=x﹣y+1的最小值为0，则m的值等于5．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y+1化为y=x+1﹣z，1﹣z相当于直线y=﹣y=x+1﹣z的纵截距，则由x﹣y+1=0与y=2x﹣1解得，x=2，y=3，则m=2+3=5．故答案为：5．14．（4分）已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为﹣1．【解答】解：由于ab=1，则又由a＜0，b＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1．15．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p ＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为2．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，联立得，解得，∴=2．故双曲线的焦距为．故答案为．16．（4分）若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2015项的乘积a1•a2•a3•…a2015=3．==﹣，则a n+4=a n．【解答】解：由递推关系式，得a n+2∴{a n}是以4为周期的一个周期数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2011•a2015=3．故答案为：3．17．（4分）对函数f（x），若任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是[1，4] ．【解答】解：原函数可化为f（x）=．当m=2时，f（x）=1，显然符合题意；当m≠2时，f（x）=在R上是单调函数，此时若该函数为“三角形函数”，只需2f（x）min＞f（x）max即可．当m＞2时，易知f（x）在定义域内单调递减，此时当x→+∞时，→0，故f（x）→1；又x→﹣∞时，2x→0，故2x+2→2，所以f（x）→1+．此时只需2≥1+．解得2＜m≤4；当m＜2时，易知f（x）在定义域内单调递增，此时当x→+∞时，→0，故f（x）→1；又x→﹣∞时，2x→0，故2x+2→2，所以f（x）→1+．此时需1≤2+2×．解得1≤m＜2；综上，m的范围是[1，4]．三、解答题（本大题共5小题，满分72分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）18．（14分）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f（x）取到最大值．（1）求f（x）的最大值及α的值；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【解答】解：（1）依题．又，则，故当即时，f（x）max=3．（2）由（1）知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，则b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，故b﹣c=0．19．（14分）数列{a n}的前n项和是S n，且S n+=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=log3，数列的前n项和为T n，若不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由①②①﹣②可得，∴，当n=1时，则，∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列，因此．（2），∴，．∵不等式T n＜m，对任意的正整数n恒成立，∴．20．（15分）如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM，点E在线段PB上，且PE=PB．（Ⅰ）求证：AP⊥BM（Ⅱ）求二面角E﹣AM﹣P的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M为DC的中点，∴AM=，BM=，AB2=AM2+BM2，∴BM⊥AM，又∵平面APM⊥平面ABCM，平面APM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ADM，∴BM⊥平面APM，又∵AP⊂平面APM，∴AP⊥BM．（Ⅱ）解：取AM的中点O，AB的中点N，则OA，ON，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，则A（），B（﹣），M（﹣），P（0，0，），N（0，，0），设E（x，y，z），由，得（x，y，z﹣）=，∴E（﹣），由题意为平面APM的一个法向量，令，设平面AME的一个法向量，，=（﹣），则，取b=1，tj ，∴cos＜＞=，∴二面角E﹣AM﹣P的大小为．21．（15分）已知点在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）椭圆C的左焦点为（1，0），∴c=1，椭圆C的右焦点为（﹣1，0）可得，解得a=2，…（2分）∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3，∴椭圆C的标准方程为…（4分）（2）设直线l：y=k（x﹣m），且M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=…（7分）∴|MN|=…（10分）由得设A（x3，y3），B（x4，y4）得得…（12分）而64k4m2﹣16（3+4k2）（k2m2﹣3）=16[（12﹣3m2）k2+9]∴当12﹣3m2=9即m=1时为定值，当k不存在时，定值也为4，∴m=1…（15分）22．（14分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|，（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=|f（x）|+g（x），当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x）可化为|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，则a＜0．（2）由题意，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=，①当＞1，即a＞2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为3a+3≤a2，解得a≥；②当0≤≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，[﹣，1]上递减，在[﹣1，﹣]，[1，2]上递增；且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，h（﹣）=+a+1，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为3a+3≤a2，无解；③当﹣1≤＜0，即﹣2≤a＜0时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，[﹣，1]上递减，在[﹣1，﹣]，[1，2]上递增；且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，h（﹣）=+a+1，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3，则当x∈[﹣2，2]时，不等式h（x）≤a2恒成立可化为a+3≤a2，解得，﹣2≤a≤；④当﹣≤＜﹣1，即﹣3≤a＜﹣2时，结合图形可知h（x）在[﹣2，]，[1，﹣]上递减，在[，1]，[﹣，2]上递增，且h （﹣2）=3a +3＜0，h （2）=a +3≥0，经比较，知此时h （x ）在[﹣2，2]上的最大值为a +3．则当x ∈[﹣2，2]时，不等式h （x ）≤a 2恒成立可化为a +3≤a 2， 解得，﹣3≤a ＜﹣2；⑤当＜﹣，即a ＜﹣3时，结合图形可知h （x ）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，故此时h （x ）在[﹣2，2]上的最大值为h （1）=0，则当x ∈[﹣2，2]时，不等式h （x ）≤a 2恒成立可化为0≤a 2， 则a ＜﹣3；综上所述，实数a 的取值范围为（﹣∞，]∪[，+∞）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
浙江省台州中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(有答案)AqlPlH
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线72=-y x 与直线012=--y x 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．异面 2．下列命题中正确的是 ( )A ．一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行．B ．平行于同一直线的两个平面平行．C ．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．D ．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．3．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则实数a 的值为（ ） A ．-1 B. 1 C. 3 D. -34．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．4π B ．π C ．54π D ．32π 5．点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．6C ．22D ．10 6．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ）A .1:3B . 3:1C .1:33D . 9:17．已知坐标原点O 在圆x 2+y 2-x+y+m=0外，则m 的取值范围是 ( ) A ．0<m<21 B ．m<21 C ． m≤21D ． m>0 8．如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③④ D ．②③④ 9．过点（错误!未找到引用源。
，0）引直线l 与曲线21y x =- 交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．33错误!未找到引用源。
B ．33-C ．33±错误!未找到引用源。
浙江省台州中学2016届高三上学期第三次统练理科数学试题
台州中学2015学年第一学期第三次统练试题高三 数学〔理〕参考公式： 球的外表积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()112213V h S S S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，}02{2<-=x x x M ,}1{-==x y x N ，则=)(N C M R 〔 ▲ 〕 A ．{x|0<x<1} B ．{x|x<2} C ．{x|0<x<2} D ．∅2．已知某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是 〔 ▲ 〕 A ．83 B.833 C. 1633D. 83 3．以下命题中错误的选项是．．．．．．〔 ▲ 〕 A ．如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于βB ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，那么γ⊥l 4．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为〔 ▲ 〕 A. ∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b B. ∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b C. ∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b D. ∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b第2题图ACBS5．假设,p q ∈R ，则p q <成立的一个充分不必要条件是〔 ▲ 〕 A ．0q p >> B.0p q >> C.0p q << D.0p q =≠ 6．将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)φφ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍〔纵坐标不变〕，所得图象关于直线4x π=对称，则φ的最小值为〔 ▲ 〕 A ．B ．C ．D ．7. 定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离为：〔 ▲ 〕2200ba c by ax d +++=.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的选项是〔 ▲ 〕A.假设120d d -=，则直线1P 2P 与直线l 平行；B.假设120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 平行；C.假设120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直；D.假设120d d ⋅<，则直线1P 2P 与直线l 相交。
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浙江省台州中学2015届高三上学期期中考试数学（理）参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh = 其中R 表示球的半径其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|20}A x x x =--…，{|ln(1)}B x y x ==-，则AB =（ ▲ ）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,1)-D ．(1,1)- 2.设函数()y f x =是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ▲ ）A.(2)(1)f f ->B.(2)(1)f f -<-C.(2)(2)f f ->D.(||)()f x f x < abA B C ．．5．若m ．n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确．．．的是 ( ▲ ) A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β B ．若α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n C ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β D ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α6.设实数列{}{}n n a b 和分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是（ ▲ ） A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7．若||2||||a b a b a=-=+，则向量a b -与b 的夹角为（ ▲ ）A ．6πB.3πC.32π D.65π 8．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3A9．已知直线0x yk +-=(0)k >与圆4x y +=交于不同的两点A 、B ，是坐标原点，且有3||||OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是（ ▲ ）A. )+∞B. C. )+∞D.10.已知函数()(1||)f xx a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是( ▲ )A.⎫⎪⎪⎭B.⎫⎪⎪⎭ C.130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎭ D.⎛- ⎝∞二、填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）11．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h 的值为 ▲ 12．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时2()log (1)1f x x m =+++，则(3)f -= ▲ ．13．设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值等于 ▲14.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲15．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为▲16． 若数列{}n a 满足1112,1n n na a a a ++==-（n ∈N *），则该数列的前2015项的乘积1232015a a a a ⋅⋅⋅= __▲____17． 对函数f （x ），若任意a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为一三角形的三边长，则称f （x ）为“三角型函数”，已知函数f （x ）=（m ＞0）是“三角型函数”，则实数m 的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦．设x α= 时()f x 取到最大值．（1）求()f x 的最大值及α的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．19．（本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23log 4n n a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数n 恒成立，求m 的取值范围。
20．（本小题满分15分）如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起到△APM，使得平面APM⊥平面ABCM ，点E 在线段PB 上，且13PE PB =． （1）求证：AP⊥BM（2）求二面角E ﹣AM ﹣P 的大小．21．（本小题满分15分）已知点31,2P -（）在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，椭圆C 的左焦点为（-1，0） （1）求椭圆C 的方程；（2）直线过点T （m,0）交椭圆C 于M 、N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN//AB ，问是否存在正数m ，使2AB MN为定值？若存在，请求m 的值；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分14分）已知函数2()1,()1f x x g x a x =-=-（1）若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =+，当[2,2]x ∈-时，不等式2()h x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围台州中学2014学年第一学期期中参考答案高三 数学（理科）三、简答题：18.（14分）解：（1）依题()1cos(2)21sin 2212sin(2).23f x x x x x x ππ⎡⎤=-+=+=+-⎢⎥⎣⎦ (4),42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22633x πππ-剟，当232x ππ-=即512x πα==时，max () 3.f x =7分 （2）由（1）知123A ππα=-=，由2sin sin sin B C A =即2bc a =，………..9分又222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，则22b c bc bc +-=即2()0b c -=，故0.b c -=.......................14分19.(14分)解：(1)由题 11112n n S a +++= ① 112n n S a += ② ①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则113n n a a +=…………3分当1n =时 11112S a +=，则123a =，则{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，因此111212()333n n n n a a q --=⋅=⋅=. ………………………6分(2)2233log log 324n nn a b n -===-，…………………8分所以21111111()22(2)4(2)82n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++，………….. 10分11111111111113()(1)81324112821216n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++ …………………………………………………………………………………..12分所以316m ≥…………………………………………………………………………14分 20、（15分）（Ⅰ）证明：∵ABCD为长方形，AD=1，AB=2，M 为DC 的中点，∴AM=，BM=，AB 2=AM 2+BM 2，∴BM⊥AM，……………………2分 又∵平面APM⊥平面ABCM ，平面APM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ADM ， ∴BM⊥平面APM ，………………………………………4分 又∵AP ⊂平面APM ，∴AP⊥BM．………………………5分（Ⅱ）解：取AM 的中点O ，AB 的中点N ，则OA ，ON ，OP 两两垂直， 以O 为原点建立空间直角坐标系， 则A （），B （﹣）， M （﹣），P （0，0，），N （0，，0）， 设E （x ，y ，z ），由，得（x ，y ，z ﹣）=，∴E（﹣），…………………7分由题意为平面APM 的一个法向量，令，……………9分设平面AME 的一个法向量，，，则，取b=1，则c=-1,则，…………………11分∴cos＜＞=，…………………………14分∴二面角E ﹣AM ﹣P 的大小为．……………15分21、（15分） 解：（1）椭圆C 的左焦点为(1,0)，∴1c =，椭圆C 的右焦点为(1,0)-可得532422a ==+=，解得2a =， ……2分∴222413b a c =-=-= ∴椭圆C 的标准方程为22143x y += ……………………4分（2）设直线:()l y k x m =-，且1122(,),(,)M x y N x y ，由22143()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222222221222212234()12(34)8412083441234x k x m k x k mx k m k mx x k k m x x k +-=+-+-=+=+-=+……………7分………………………………………………………………………… 10分由22143x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得221234x k =+ 设3344(,),(,)A x y B x y4x -得22248(1)34k AB k+=+……………………12分 而42222226416(34)(3)16[(123)9]k m k k m m k -+-=-+∴当212391m m -==即时24ABMM=为定值，当k 不存在时，定值也为4 1m ∴=…………………………………………………………………15分22、（14分）（1）211x a x -=-即101x x a -=+=或…………2分∴当0a <时，只有一实数解………4分（2）22221,12()111,111,21x ax a x h x x a x x ax a x x ax a x ⎧+--≤≤⎪=-+-=--++-<<⎨⎪-+--≤≤-⎩………6分①当22a-≥即4a ≤-时，max (1)0h -= ②32,4322aa <-<-<<-即时，max (1)0h =③当313222a a ≤-≤-≤≤-即时(2)3,(2)33(2)max 3h a h a h a =+-=+∴=+ ④当2101,20,()1224a a a h a a <-<-<≤-=++即 21()(2)2024a h h a --=-<(2)3,(2)33(2)max 3h a h a h a =+-=+∴=+⑤当0,02,(2)3,(2)332aa h a h a -≤≤≤=+-=+即 max (2)33h a ∴=+综上,max33,0()3,300,3a a h x a a a +≥⎧⎪=+-≤<⎨⎪<-⎩………………12分 ∴不等式2()h x a ≤恒成立时a 的取值范围为3122a a ≥+≤…………14分。