【精品】第07章02一阶微分方程
《一阶常微分方程》课件
06
CATALOGUE
一阶常微分方程的总结与展望
总结与回顾
1 2 3
定义与性质
一阶常微分方程是描述一个函数随时间变化的数 学模型，具有丰富的理论体系和应用领域。
历史发展
一阶常微分方程的发展可以追溯到早期的微积分 学，随着科学技术的进步，其理论和应用得到了 不断深化和拓展。
解法研究
一阶常微分方程的解法研究是核心内容之一，包 括初值问题、边值问题、积分方程等，以及各种 数值解法。
举例
简单的一阶常微分方程如 dy/dx = y，描述了y随x的变化率与其自身成正比的情况；复杂的一阶常微分方程如 dy/dx = x^2 + y^3，描述了更复杂的函数关系。
02
CATALOGUE
一阶常微分方程的解法
初值问题
定义
已知一阶常微分方程及其在某一点的初 始值，求解该方程在该点的邻域内的解 。
一阶常微分方程
CATALOGUE
目 录
• 一阶常微分方程的定义 • 一阶常微分方程的解法 • 一阶常微分方程的应用 • 一阶常微分方程的扩展 • 一阶常微分方程的实例分析 • 一阶常微分方程的总结与展望
01
CATALOGUE
一阶常微分阶常微分方程是包含一个未知函数 和其导数的等式，形式为 f(x, y', y) = 0。
在工程中的应用
控制工程
在控制工程中，系统的动态特性可以用一阶常 微分方程来描述。
航空航天工程
描述飞行器的运动轨迹和姿态变化，可以用一 阶常微分方程来建模。
机械工程
描述机械系统的动态特性，如振动、位移等，可以用一阶常微分方程来建模。
04
CATALOGUE
一阶常微分方程的扩展
经济数学微积分一阶微分方程
y ( A)e Be kx
kx
由此可知，微分方程
dy kx dx
的解当 k>0 时总是指数增长的， 当 k<0 时，总是指数衰减的.
例 3 衰变问题 : 铀的衰变速度与未衰变原子含 量 M 成正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含
量 M ( t )随时间 t 变化的规律. 解 衰变速度 dM , 由题设条件
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
dy 2 xy 的通解. 例1 求微分方程 dx 解 分离变量 dy 2 xdx , y dy 两端积分 y 2 xdx ,
3 2
微分方程的解为 ( y x ) 2 C 2 y( y 2 x ) 3 .
三、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
dy y x2 , 例如 dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt
微分方程的通解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
例5 求解微分方程
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
2
y y 2 2 dy 2 y xy x x 解 2 2 2, dx x xy y y y 1 x x y 令 u , 则 dy u x du , x dx dx
高等数学高数课件 7.2一阶微分方程
1
H Ce
kHt
逻辑斯谛方程
故所求通解为
h(
t
)
C2 1
He kHt C 2e kHt
1
H Ce
kHt
其中
C C
1 C2
e C1H
0
是正常数.
函数h(t )的图象称为Logistic曲线. 由于它的形状, 一
般也称为 S 曲线. 可以看到,它基本符合我们描述的
树的生长情形. 另外还可以算到
lim h(t) H.
逻辑斯谛方程 则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
逻辑斯谛方程
则显然不符合两头 尤其是后期的生长情形, 因为树不
可能越长越快;但如果假设树的生长速度 正比于最大
高度与目前高度的差,则又明显不符合 中间一段的生
长过程.折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的
高度, 又与最大高度和目前高度之差成正比.
第二、三节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
dy dx
F
(
x,
y)
如果其右端函数 能分解成 F ( x, y) f ( x)g( y),即有
dy dx
f (x)g( y)
(1)
则称方程 (1)为可分离变量的微分方程, 其中 f ( x),
例 3 已知 f (sin2 x) cos 2x tan2 x, 当 0 x 1 时, 求 f ( x). 解 设 y sin2 x, 则 cos 2x 1 2sin2 x 1 2 y,
tan2
x
sin 2 cos2
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx
一阶微分方程
Dept. Math. & Sys. Sci.
例4 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有
应用数学教研室
0.1℅的 CO2, 为了降低车间内空气中CO2的含量, 用
一台风量为每秒 20立方米的鼓风机通入含0.03℅的 CO2的新鲜空气, 分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t) ℅, 在[t, t dt ] 内, CO2的含量的改变量为 dx(t) ℅, 同时以同样的风量将混合均匀的 空气排出, 问鼓风机开动10分钟后, 车间内CO2 的百
y 微分方程的解为 sin ln x C. x
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
dx dy 2 . 例6 求解微分方程 2 2 x xy y 2 y xy
解
dy dx
y 令u , x
y y 2 2 2 y xy x x , 2 2 2 x xy y y y 1 x x dy du 则 ux , dx dx
u 1 u (u 2)
3 2
Cx.
2 3 ( y x ) Cy ( y 2 x ) . 微分方程的解为
高等数学分级教学A2班教学课件
Dept. Math. & Sys. Sci.
dy ax by c 形如 f( ) 的微分方程. dx a1 x b1 y c1
(2) 0, 上述方法不能用.
当 b1 0 时,
a1与 b 中必至少有一个为零 .
高等数学分级教学A2班教学课件
若 b 0, 原方程可分离变量的微分方程.
第二节一阶微分方程-精选文档28页
由通解公式即可得到方程的通解为
y Cecosx.
例 7 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
ddxy1x22xy0,
这是一个线性齐次方程， 且P(x)1x22x,
y eC1 1 , x
令 C 2 eC 1,则 yC 21 x,C 20.
另外，y = 0 也是方程的解，所以yC2 x
中的 C2 可以为 0， 因此 C2 为任意常数．
这样，方程的通解是
y C . x
求解过程可简化为：
分离变量得 两边积分得 即通解为
dy dx , yx
ddxy1y22 y x1, 这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次 方程， 其中 P(y)1y22 y, 它的自由项 Q(y) = 1.
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
xe1y22ydyC
12ydy e y2 dy
1
1
1
y2ey(Cey)y2(1Cey),
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程
yP(x)y0
是可分离变量方程. 分离变量，得
两边积分，得
dy P(x)dx, y
ln yP (x)d xln C ,
所以，方程的通解公式为
yCeP(x)dx.
例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解. 解 所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 则
解 分离变量得
dy kdx, y(ya)
即
一阶微分方程ppt课件
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0
02-一阶齐次线性微分方程PPT
一阶齐次线性微分方程一阶线性微分方程形如)()(x q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。
时，当0)(≡x q 方程称为一阶齐次线性方程。
方程称为一阶非齐次线性方程。
时，当0)(≡x q 习惯上，称0)(=+'y x p y 为方程)()(x q y x p y =+'所对应的齐方程。
时，方程有唯一解。
、一般说来，当函数 C x q x p ∈)()(, 是一个变量可分离方程方程0)(=+'y x p y 运用分离变量法，得 ，dx x p y dy )(-= ，)0(≠y 两边积分，得1，C dx x p y +-=⎰)(||ln 故1.)(⎰-⋅±=dx x p C e e y的通解为，得一阶齐次线性方程记1C e C ±= .)(⎰-=dx x p Ce y对应于0=y0＝C 表示一个原函数一阶齐次线性微分方程解.的通解求02=-'xy y，，)),(()(2)(∞+-∞∈-=C x p x x p 故该一阶齐次线性方程的通解为.22x dx x dx x p Ce Ce Ce y ===⎰⎰---)()(套公式！例1.20sin 2==+'=πx y x y y ，求解初值问题：先求此一阶齐次线性方程的通解：， )),((sin )(∞+-∞∈=C x x p .cos sin x xdx Ce Cey ==⎰- 代入通解中，得将22==πx y )2(2cos =πCe 因为 2，=C 故该初值问题的解为.2cos x e y =例2解，则一阶齐次线性方程若C x p ∈)( 0)(=+'y x p y 的解存在，且唯一，其通解为.)(⎰=-dx x p Ce y。
一阶微分方程
dx dy x ln y y ln y
1 y ln y x 1 y
y ln y x ln y
1 y ln y 1 y
则它既不是线性方程, 又不能分离变量.
若将方程写成
即
dx dy
x
以x为未知函数,
y 为自变量的 一阶非齐次线性方程.
18
ye
P ( x ) dx
[ Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
例 求方程 y 解 P(x)
y e
1 x
1 x
y
sin x x
的通解.
1 x
1 x
, Q(x)
dx
sin x x
,
1 x dx
一阶线性非 齐次方程
d x C
sin x x e
22
( 1 ) f ( xy ) y d x g ( xy ) x d y 0
解 令 u xy, 求微分得du xdy y d x , 代入方程
[ f ( u ) g ( u )]
z
dx
dz dx
(
2 x
x 2
x 2
通解为 z e
2 x
dx
e
2 x
dx
dx C ) x (
2
1 2
ln | x | C )
故原方程的通解为
y x (
4
1 2
ln | x | C )
2
21
五、利用变量代换求解方程
例 求解下列微分方程
武汉大学高等数学B1课件7.2一阶微分方程
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
练习:
解法 1 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
解法 2 令u x y,
故有 积分
u 1 eu
(1 eu ) eu
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 解初值问题
xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为：
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
提示:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
dy
dy
积分得 ln ( v 1 v2 ) ln y ln C
故有
y2 C2
2y v C
1
( y v)2 1 v2 C
得 y2 2C ( x C ) (抛物线)
2
故反射镜面为旋转抛物面.
三、一阶线性微分方程
一阶微分方程的解法及应用
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
9. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
6. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
第07章02一阶微分方程
第2节 一阶微分方程2.1 变量已经分离的方程 （i ）辨认类型：()()p y dy q x dx = （ii ）解法：两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰（解析：（1）这是隐函数的通解；（2）任意常数已经单独写出，做不定积分时不需写任意常数。
） 2.2可分离变量的方程（i ）辨认类型：(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为（ii ）解法：（a ）变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型；（b ）两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法。
方法虽然简单，但是，分离变量法是微分方程解法的总根。
不管什么方程最后都分离变量求通解。
【例2.1】解方程0x y +=.解、原方程0+=分离变量为=。
两边积分C '=-+⎰通解C =【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y +++=满足初始条件离 散数 学0x y==的特解．解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x=-++。
两边积分 ()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。
所求特解为()()22111y x ++=第1章集 合2.3可化为可分离变量型的方程 2.3.1齐次方程（i ）辨认类型：y y x ϕ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ii ）解法：（a ）作变量代换yu x=即y xu =（u 为新的未知函数，u 出来了y 也就有了）。
《常微分方程》第7章 一阶线性偏微分方程ppt课件
2021-5-10
7
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
设微分方程组有 n 个首次积分
1(t, x1, x2 ,, xn ) c1,,n(t, x1, x2 ,, xn ) cn
如果在某区域内它们的Jacobi行列式
1
x1
1
x2
1
xn
D(1,,n )
D(x1,, xn )
经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中
几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.
2021-5-10
5
例 4 求解方程组 dx y, dy x
dt
dt
解 将两个方程相加得 d (x y) x y
dt
以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得
2021-5-10
13
小结：寻找首次积分的方法（技巧性强）
为了求得首次积分，通常把如下方程组
xi' fi (t, x1,, xn ) i 1,2,, n
写成对称形式 d x 1 = d x 2 = ... = d x n = d t
f1
f2
fn
1
方法1 (积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子 为某一函数的全微分形式。（教材P350）
2u x 2
x2
2u y 2
1
于是偏微分方程 u x
2u xy
3u y3
f
(x, y)便可简单
记为L[u] f 或Lu f .
算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a,b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。
一阶线性微分方程
微积分Calculus一阶线性微分方程一定义一阶线性微分方程标准形式:)()(d d x Q y x P x y=+若Q (x ) ≡0, 若Q (x ) ≡0, 称为非齐次方程.称为齐次方程;0)(d d =+y x P x y 分离变量两边积分得C x x P y ln d )(ln +−=⎰故通解为xx P e C y d )(⎰−=二一阶线性齐次微分方程的解法的通解为一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解是怎样的？我们已知，那么，三一阶线性非齐次微分方程的解法是一阶线性非齐次微分方程，将方程变形为很容易看出方程的左边，正好是求导之后的结果，xy 即两边同时积分得即（原方程的通解）例我们得到一个很重要的方法：积分因子法即对于如下的微分方程，关键是找到积分因子I(x)我们来推导出这个积分因子的结构。
)()(x Q y x P dx dy=+I(x)得在方程两边同时乘上即则方程的通解可以很容易获得。
所以为了找到积分因子，我们必须研究将它展开得整理后得因为只要找到一个积分因子就行，故可令，得C=1这是一个关于的可分离变量的微分方程，I(x)所以可得用积分因子法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要在方程的两边同时乘以积分因子再两边同时积分即可得到通解为：方法总结对应齐次方程通解xx P e C y d )(⎰−=常数变易法:,)()(d )(⎰−=x x P e x u x y 则⎰−'x x P e u d )()(x P +⎰−x x P e u d )()(x Q =即作变换⎰−−x x P e u x P d )()(Cx e x Q u x x P +=⎰⎰d )(d )(两端积分得齐次方程通解非齐次方程特解⎰−x x P Ce d )(故原方程的通解xe x Q e x x P x x P d )(d )(d )(⎰⎰⎰−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰−C x e x Q e y x x P x x P d )(d)(d )(=y 即用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程，只需要先求出对应的齐次微分方程的通解，然后做常数的变易并代回到原微分方程中去，通过方法总结积分即可得到原微分方程的通解dy dx +3x2y=6x2四相关练习例二解方程解这是一阶线性非齐次方程，积分因子为I(x)=e3x2dx=e x3方程两边同时乘以，可得e x3两边同时积分，可得即通解为解: 先解,012d d =+−x y x y 即1d 2d +=x x y y 积分得即2)1(+=x C y y =23(x +1)ൗ32+C 例三解方程)1(2)1(2+⋅++⋅'='x u x u y 代入非齐次方程得解得故原方程通解为用常数变易法求特解. 令,)1()(2+⋅=x x u y 则。
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第2节一阶微分方程2。
1变量已经分离的方程(i ）辨认类型：()()p y dy q x dx =(ii ）解法：两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰（解析：（1）这是隐函数的通解；（2）任意常数已经单独写出，做不定积分时不需写任意常数.）2.2可分离变量的方程(i ）辨认类型：(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为（ii ）解法：（a)变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型；(b ）两边积分得通解()()p y dy q x dx C=+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法.方法虽然简单，但是，分离变量法是微分方程解法的总根。
不管什么方程最后都分离变量求通解。
【例2.1】解方程21d0x y x y.解、原方程0+=分离变量为=。
两边积分C'=-+⎰通解C=【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y满足初始条件0x y的特解．解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x =-++。
两边积分()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。
所求特解为()()22111y x ++=2.3可化为可分离变量型的方程 2。
3.1齐次方程（i ）辨认类型:y y x ϕ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ii ）解法：（a ）作变量代换yu x=即y xu =（u 为新的未知函数，u 出来了y 也就有了）。
y u xu ''=+方程变为()u xu u ϕ'+=（b ）分离变量()11du dx u u xϕ=-两边积分()1ln du x C u u ϕ=+-⎰代回u 得通解()1ln yu xdu x C u u ϕ=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰【例2。
3】 求解22d d y xy xx y ．解、(只有方程没有条件即要求通解。
）原方程22dy xy dx x y =+变型为21y dy x dx y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx ==+，方程变为 21du uu x dx u+=+ 分离变量3111du dx u u x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭两边积分21ln ln 2u x C u-+=-+ 代回u 得通解22ln 2x y Cy-=【例2。
4】 求22()d 2d 0x y x xy y 满足初始条件11x y的特解．解、原方程()2220x y dx xydy -+=变型为212y dy x y dx x⎛⎫- ⎪⎝⎭=。
作变量代换,y dy du u u x x dx dx==+，方程变为 212du u u x dx u-+=分离变量2211u du dx u x=-+ 两边积分()2ln 1ln u x C '+=-+代回u 得通解()22ln ln x y x C '+=+即22x y Cx +=（sgn 0C C e x '=≠。
）把()1,1代入上通解得2C =。
所要求的特解是222x y x+=【例2.5】 求解第1节例1。
2中方程22y xxy．解1、原方程y'=变型)2,yx y y y y x-'''===。
作变量代换,y dy duu u xxdx dx==+，方程变为 1du u x dx u+=分离变量1dx x=两边积分21ln 2x C=+22212112ln 12ln 1u wt tdtt t t ==--+=--=-⎰代回u 得通解ln 1ln x C--=+解2、原方程y '=变型dx xdy y =+y 作自变量，x 作函数）.作变量代换,x dx du u u y y dy dy ==+,方程变为duu yu dy +=+ 分离变量1dy y=两边积分(ln ln u y C '=+代回u 得通解ln ln y y C x ⎛ '+=+ ⎝y Cy x += (此例告诉我们，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量是人为的，看怎么简单而定。
)2.4一阶线性微分方程（i)辨认类型：()()()0dyP x y Q x dxdyP x y dx+=+=非齐次的齐次的（ii ）解法：先解齐次方程()0dyP x y dx+=.分离变量1()dy P x dx y =-。
两边积分得()0dyP x y dx+=的通解()P x dxy Ce -⎰=。
再解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=. 把()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=中的任意常数C 改为新的未知函数u ,设()()dyP x y Q x dx+=的解为()P x dx y ue -⎰=(这称为常数变异法）。
()()()P x dxP x dx dy du e P x ue dx dx--⎰⎰=- 代入()()dyP x y Q x dx+=变为 ()()()()()()P x dxP x dx P x dx du e P x ue P x ue Q x dx---⎰⎰⎰-+= ()()P x dx duQ x e dx⎰= ()()P x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰所以()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ （任意常数已单独写出,做不定积分是不写任意常数.)为了避免复杂的推导，一般把上式默写下来作为()()dyP x y Q x dx+=通解公式来应用。
因此， 求非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=通解的方法：(1）求不定积分()P x dx ⎰；（2）把()P x dx ⎰的结果代入求不定积分()()P x dxQ x e dx ⎰⎰；（3）把()P x dx ⎰和()()P x dxQ x e dx ⎰⎰的结果代入公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰直接得到()()dy P x y Q x dx +=的通解。
【例2。
6】 解方程32(1)1y yxx.解、要解的方程是一阶线性方程()32(),()11P x Q x x x =-=++.()()()()()222211()ln ,,1111P x dx P x dx P x dx dx e e x x x x -⎰⎰=-===++++⎰⎰,()()32211()(1)21P x dx Q x e dx x dx x x x ⎰=+=++⎰⎰。
通解 ()22112y x x x C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【例2。
7】 求3d ()d 0(0)y x x y y y．解、如果把y 作未知函数，则方程为30dy ydx x y +=-。
它不是线性方程，我们也不认识它的类型。
如果把y 作自变量x 作未知函数,则方程为21dx x y dy y+=。
此是一阶线性方程.()()2111(),(),()ln ,,P y dy P y dy P y Q y y P y dy dy y e y e y y y-⎰⎰======⎰⎰，()24sgn ()4P y dyy Q y e dy y y dy y ⎰==⎰⎰.通解 41sgn 4y x y C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即314C x y y =+(此例说明，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量结果简繁是不一样的。
一般用简单的作函数,用复杂的作自变量。
）【例2.8】 在高空跳伞的过程中，设跳伞者（含降落伞）的质量为m ，在跳伞的下落过程中，跳伞者除受到重力的作用外,还受到空气阻力的作用，阻力大小与下降速度成正比。
设降落伞离开跳伞塔时（0t）的速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解、设下降速度为()v t ,这是未知函数。
先作受力分析.重力mg ，阻力kv -（大小与速度成正比，方向与速度相反）。
加速度dvdt。
根据力学原理建立微分方程dvmmg kv dt=-，即 dv kv g dt m += 这是一个线性方程.(),()kP t Q t g m==。
()()(),,()k k k t t t P t dt P t dt m m mk mg P t dt t e e Q t e dt g e dt e m k ⎰⎰====⎰⎰⎰。
通解 k kt t mm mg v e e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即k t m mgv Ce k -=+ 把(0)0v =代入得mgC k=-。
降落伞下降的规律1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭2。
5伯努利方程 （i ）辨认类型：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠。
（0α=线性方程，1α=可分离变量.所以0,1α≠。
） (ii ）解法：整理1()()dyy P x y Q x dxαα--+=.与线性方程的差别主要在1y α-。
作变量代换1y u α-=，()1dy duy dx dxαα--=.代入之 ()()1()1()duP x u Q x dxαα+-=- 这是线性方程.通解为()()()1()1()1()P x dx P x dx u e Q x e dx C ααα---⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰ ()()dyP x y Q x y dxα+=的通解 ()()()1()1()11()P x dx P x dx y e Q x e dx C αααα----⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰【例2.9】 求方程23d ed x y xy y x的通解．解、整理232x dyy xy e dx----=-。
作变量代换2y u -=，32dy duy dx dx--=。
代入之 222x duxu e dx -+= 2()2()2,()2,(),()2P x dxx P x x Q x e P x dx x Q x e dx x -⎰====⎰⎰.()22x u e x C -=+原方程的通解()222x y e x C --=+习题讲解1．用分离变量法求下列方程的通解：（3）2d e d yxyx x（4)d e (1)1d y yx解、（3)分离变量2y x e dy xe dx --=.两边积分得221124y x x e xe e C ---'-=--+.通解21124y x e x e C --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）分离变量1y ye dy dx e=-.两边积分得ln 1ye x C -'-=-+. 通解1ln1xy Ce -=+（本来0C C e '=±≠,但是，经验证0y =也是原方程的解，取消0C ≠的限制。