中考数学二轮专项突破6 与圆有关的阴影部分面积的计算 (6)
圆中阴影面积的计算
圆中阴影面积的计算圆是一个平面内与一个定点的距离相等的点的集合。
圆上任意两点之间的线段称为弦，而以圆心为端点的弦称为直径，直径的一半称为半径。
圆内部的点与圆心的距离小于半径的称为圆内点，而与圆心的距离等于半径的称为圆上点。
根据圆的定义，圆中阴影面积是指圆内所有的点组成的区域，该区域被其他图形或物体挡住，无法被阳光照射到，所以呈现出阴影的效果。
计算圆中阴影面积通常需要根据圆的半径和阴影图形的形状进行推导和计算。
在解答圆中阴影面积的计算时，我们可以考虑以下几个具体的阴影情况：1.圆与正方形的阴影面积计算：假设圆的半径为R，正方形的边长为a。
我们可以观察到，当正方形位于圆的上方时，阴影形状为圆内切正方形；而当正方形在圆的内部时，阴影形状为圆与正方形的重叠部分。
a)圆内切正方形的阴影面积计算：圆内切正方形指的是正方形的四个顶点分别位于圆上。
根据几何性质可知，圆内切正方形的边长等于圆的直径。
所以，圆内切正方形的面积为边长的平方，即S1=(2R)^2=4R^2b)圆与正方形重叠部分的阴影面积计算：正方形位于圆的内部时，其四个顶点不位于圆上。
此时，我们需要计算出圆与正方形的交集面积，即阴影面积。
首先，我们可以绘制圆与正方形的示意图，然后利用几何概念推导阴影面积的计算公式。
A---B////O-----///C-----D根据图示，可以看出三个区域：①正方形ABCDO；②圆内的扇形AOC；③小三角形AOD。
那么，阴影面积可以等于①+②-③。
正方形的面积为S2=a^2；扇形的面积为S3=(1/2)*邻边AO*弧AO；小三角形的面积为S4=(1/2)*邻边AO*邻边OD。
综上，阴影面积S=S2+S3-S4根据勾股定理，可以求得邻边AO和邻边OD的长度分别为√(a^2/2)和√(a^2/2)。
代入公式，可以计算出阴影面积S。
2.圆与矩形的阴影面积计算：与计算圆与正方形的阴影面积类似，我们也可以计算出圆与矩形的阴影面积。
与圆有关阴影面积计算
辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1.圆的面积公式: π=S 2r .其中r 为圆的半径.2.半圆的面积公式: π21=半圆S 2r . 3.扇形的面积公式: ︒⋅=3602r n S π扇形.其中r 为扇形的半径,n 为扇形的半径. 4.扇形的面积公式（另）: lr S 21=扇形.其中r 为扇形的半径,l 为扇形的弧长. 证明: ∵︒⋅=3602r n S π扇形,︒⋅=180r n l π ∴lr r r n r n S 21180213602=⋅⋅⋅=⋅=︒︒ππ扇形.5.关于旋转:（1）复习旋转的性质.（2）会画出一个图形旋转后的图形.（3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算. 6.重点介绍: 转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想. 7.怎样求与圆有关的阴影的面积?（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式. （2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.实战阶段:★1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形AOB 中,∠AOB=90°,点C 为OA 的中点,CE ⊥OA 交弧AB 于点E.以点O 为圆心,OC 的长为半径作弧CD 交OB 于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为__________.图（1）EDBCAO图（1）解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解:连结OE. ∴OA=OB=OE ∵CE ⊥OA∴△COE 为直角三角形 ∵点C 为OA 的中点∴12121===OE OA OC∴在Rt △COE 中, ∠CEO=30° ∴∠EOC=60° ∵∠AOB=90° ∴∠BOE=30°在Rt △COE 中,由勾股定理得:3122222=-=-=OC OE CEOCD OBE COE S S S S 扇形扇形阴影-+=∆1223360190360230312122πππ+=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=︒︒︒︒★2.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为90°的扇形OAB 中,半径OA=2 cm,C 为弧AB 的中点,D 、E 分别是OA 、OB 的中点,则图中阴影部分的面积是__________.图（2）CADEOBM解:连结OC,并作CM ⊥OA 于点M. ∵点C 为弧AB 的中点, ∠AOB=90°∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB=45°∴△COM 为等腰直角三角形 ∴OM=CM ∵OC=2cm∴CM=OC 222245sin =⨯=⋅︒cm ∵D 、E 分别是OA 、OB 的中点 ∴OD=OE=1 cm∴DM=OM －OD=)12(-cmDOECDM COM OBC S S S S S ∆∆∆--+=扇形阴影 21221122122212-+-+=---+=ππ)21222(-+=πcm 2. 注意: 若题目对结果无特殊要求,则结果保留π,不取具体值.★3.(2015.开封二模)如图（3）所示,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2.点D 为AB 的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C 恰好在弧EF 上,则图中阴影部分的面积为_____ __________.解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:（1）三角形全等的判定定理有哪些? （2）全等三角形具有怎样的性质? 对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.图（3）解:连结CD.设DE 与AC 交于点M,DF 与BC 交于点N.∵∠ACB=90° ∴∠CDE ＋∠1=90° ∵CA=CB,点D 为AB 的中点 ∴CD ⊥AB （等腰三角形“三线合一”） ∴∠CDE ＋∠2=90° ∴∠1=∠2∴∠DCN=∠21ACB=45°∴∠DAM=∠DCN ∵∠ACB=90°∴121===AD AB CD∴DE=CD=1在△ADM 和△CDN 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠12CD AD DCNDAM ∴△ADM ≌△CDN(ASA) ∴S △ADM =S △CDN∵S 四边形DMCN =S △CDM +S △DCN S △ACD =S △CDM +S △ADM ∴S 四边形DMCN = S △ACD ∴DMCN DEF S S S 四边形扇形阴影-=2142113601902-=⨯⨯⨯=-=︒︒∆ππ—扇形ACDDEF S S在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第★5题.★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB 中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠.点O 恰好落在弧AB 上点D处,折痕交OA 于点C,则图中阴影部分的面积为__________.图（4）解析: 本题,BOC OAB S S S ∆-=2扇形阴影,题目所给条件不难求出扇形OAB 的面积,但△BOC 的面积不易求得.如果连结OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD,从而OB=OD=BD,即△BOD 为等边三角形.至此,问题便很容易解决.解: 连结OD.∴OB=OD∵△BOC ≌△BDC （由翻折可得） ∴OB=BD,∠OBC =∠DBC∴OB=OD=BD ∴△BOD 为等边三角形 ∴∠OBD=60° ∴∠OBC =∠DBC=30° 在Rt △BOC 中,∵∠OBC=30°∴OBOCOBC ==∠︒30tan tan ∴336=OC ∴OC=32∴BOC OAB S S S ∆-=2扇形阴影3129232623606902-=⨯⨯-⨯⨯=︒︒ππ ★5.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=1,把该矩形绕点A 顺时针旋转α得到矩形AB′C′D′,点C′落在AB 的延长线上,则图中阴影部分的面积是__________.图（5）解: 在Rt △ABC 中,由勾股定理得:21)3(2222=+=+=BC AB AC∴AC=2BC ∴∠BAC=30°由旋转的性质得:α=∠BA B′=30° ∴'''ABB C AB S S S 扇形阴影-=∆423360)3(302132'ππ-=⨯⨯-⨯=-=︒︒∆ABB ABC S S 扇形 ★6.（2014.河南）如图,在菱形ABCD 中,AB=1,∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形A B′C′D′,其中点C 的运动路径为弧C C′,则图中阴影部分的面积为__________.图（6）C'D'CDAB解: 由题意可知:A 、D′、C 三点共线,A 、B 、C′三点共线,如图所示,设BC 与C′D′相交于点E.容易得知:∠BE D′=∠CEE′=90°.设D′E=x ,则BE=x ,C D′=x 2（为什么?） ∴CE=x -1在Rt △D′CE 中,由勾股定理得:222222)2()1(''x x x C D CE E D =-+=+ 解之得:213,21321--=-=x x （舍去） ∴D′E ,213-=CE=233- 433223321321'-=-⨯-⨯=∆CE D S 由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC=3∴CE D ACC S S S ''2∆-=扇形阴影43322360)3(302-⨯-⨯⨯=︒︒π 323423324-+=--=ππ★7.（2015.新乡一模）如图（7）所示,在Rt △AOB 中,∠AOB=30°,∠A=90°, AB=1,将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到Rt △COD,则在旋转过程中线段AB 扫过的面积为__________. 解析: 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为:OAC OBD S S S 扇形扇形阴影-=图（7）解: 在Rt △AOB 中,∵∠AOB=30°∴OB=2AB=2 由勾股定理得:3122222=-=-=AB OB OA ∴OAC OBD S S S 扇形扇形阴影-=︒︒︒︒⨯⨯-⨯⨯=360)3(9036029022ππ443πππ=-=★8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知⊙D 经过原点O,与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,B 点的坐标为)32,0(,OC 与⊙D 相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为__________.解析: 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具.xy 图（8）DA OBC解: 连结AB.∵∠AOB=90° ∴AB 是⊙D 的直径 ∵∠OCA=30° ∴∠OBA=30° ∵B )32,0( ∴OB=32设OA=x ,则AB=x 2在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222222)2()32(x x AB OB OA =+=+解之得:2,221-==x x （舍去） ∴OA=2, AB=4 ∴322322=⨯=∆AOB S ∴AOB S S S ∆-=半圆阴影32232222-=-⨯=ππ在求扇形的面积时确定扇形的半径很重要★9.如图（9）所示,在扇形OAB 中,∠AOB=60°,扇形半径为4,点C 在弧AB 上,CD ⊥OA,垂足为点D,当△OCD 的面积最大时,图中阴影部分的面积为__________.图（9）解析: 本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角△COD 满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.解: 在Rt △COD 中,由勾股定理得:16222==+OC CD OD∵0)(2≥-CD OD∴0222≥+⋅-CD CD OD OD∴8222=+≤⋅CD OD CD OD 显然,当OD=CD 时,取=号,此时△COD是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为421=⋅⋅=∆CD OD S COD ∴∠COD=45°∴COD OAC S S S ∆-=扇形阴影4243604452-=-⨯⨯=︒︒ππ ★10.（2015.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,△AOB 绕点B 逆时针旋转60°得到△BO′B′,AB 与弧OO′相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是__________.图（10）E O'OCDAB解: 由题意可知: ∠ABB′=60°,∠EBO′=15° 在Rt △ABD 中,由勾股定理得:22222222=+=+=AB AD BD由正方形的性质得:OB=2 ∴12221''=⨯⨯=∆B BO S ∴''''B BO BEO BAB S S S S ∆--=扇形扇形阴影1360)2(1536026022-⨯⨯-⨯⨯=︒︒︒︒ππ 1127112132-=--=πππ▲11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在Rt △AB C 中,∠C=90°,∠A=30°, AC=6 cm, CD ⊥AB 于D,以C 为圆心,CD 为半径画弧,交BC 于E,则图中阴影部分的面积为 【 】（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-π43323cm 2 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-π83323cm 2 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π4333cm 2（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π8333cm 2图（11）EDAB CB'AB▲12.(2013.洛阳模拟)如图所示,AB 是⊙O 的切线,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是 【 】（A ）π613- （B ）π313-（C ）π6123- （D ）π3123- ▲13.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形ABCD 中,∠B=60°,AB=2,扇形AEF 的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是__________.FEDCAB▲14.（2013.郑州二模）如图所示,直径AB 为6的半圆,将其绕A 点旋转60°,此时点B 到了点B′处,则图中阴影部分的面积是__________.▲15.（2013.许昌一模）如图所示,在正方形ABCD 中,AB=4,O 为对角线BD 的中点,分别以OB 、OD 为直径作⊙O 1、⊙O 2,则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π）.▲16.（2015.自贡）如图,AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB,∠CDB=30°,CD=32,则阴影部分的面积为_________.▲17.(2015.省实验中学)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=2, AB=4,∠A=30°,以点A 为圆心,AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连结CE,则阴影部分的面积是________.（结果保留π）CDA▲18.如图,在△ABC中,AB=BC=2,若∠ABC=90°,则图中阴影部分的面积是__________.A C▲19.如图所示,△ABC中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与⊙O相切于点C,则图中阴影部分的面积是__________.▲20.如图所示是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦且与小半圆相切,且AB=24,则图中阴影部分的面积为__________.▲21.如图所示,半径为2 cm,圆心角为90°的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为__________.BO A▲22.如图所示,在等腰直角△ABC 中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O 交斜边BC于D,则图中阴影部分的面积为__________.DCA B▲23.（2014.赤峰）如图所示,反比例函数)0(>=kxky的图象与原点( 0 , 0 )为圆心的圆交于A、B两点,且点A的坐标为)3,1(,则图中阴影部分的面积为__________.xyBOA属于我们自己的中考九年级数学习题第11页。
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)
专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO=12（米），∴AB=AO2+BO2=22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC 于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为 ．思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×32360=π．故答案为：π．总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）A．3―π4B．23―πC．(6―π)33D．3―π2思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=AB2―AF2=3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×2×3―60π×(3)2360=3―π2，故选：D．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2―1思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360―2×12×2×2=π﹣2，故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为 ．思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2πB．6πC．33πD．3π思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．故选：A．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．方法四化零为整法（整体法）典例4（2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴阴影面积＝6×π×22―720π×22360=16π．故答案为：16π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 π cm2．思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．故答案为：π．总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．方法五割补法（拼接法）典例5（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）A．9B．6C．3D．12思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9，故选：A．总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为 ．思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12 AB，∴CD＝BD，∴CD=BD，∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22 m，∵阴影部分的面积为（π﹣1），∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2―12×（22m）2＝π﹣1．∴14πm2―14m2＝π﹣1，∴14m2＝1，∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2故答案为：2π+22+2．总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360―60⋅π⋅(3)2360―12×1×3=π―32，故答案为：π―32；总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是 4π3 ．思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．解：∵△ABC为等边三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，故答案为：4π3．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360―12×4×4=4π﹣8．故答案为：4π﹣8．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA ＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．解：如图，∵AB是直径，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42―12×4×4=4π﹣8，故答案为4π﹣8．总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．典例8（2019•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝ ．思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12AB＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×3 2，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360―2534=25π3―2534，即图中阴影部分的面积是：25π3―2534．总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB与△ADB关于AB对称，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=COAO=12，∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．∵S△AOB=43×22=43．阴影部分的面积为：（163π―43）cm2．故答案为：（163π―43）cm2．总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，故答案为：6π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如图，连接OE，OA．由题意可知△BOF为等边三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3 4，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12•OF•DE=3，∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3，∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32，PE=32―(32)2=332，∴S△PBE=12×32×332=938，∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3―34―3―938=13π6―1138．解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9360―120π×94360＝2.25πm2．故选：D．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．2．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22―12×（2）2＝π﹣1．故选：A．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π―932D．12π―932思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360―12×63×3＝12π﹣93，故选：B．总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（ ）A．2π﹣23B．2π―3C．2πD．π―3思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr 180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．解：设等边三角形ABC的边长为r，∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360―3）×3＝2π﹣23，故选：A．总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（ ）A．（π12―38）平方米B．（π6―38）平方米C．（π12―34）平方米D．（π6―34）平方米思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，由题意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD=BD2―CD2=32米，∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD=14米，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(12)2360―12×14×32，＝（π12―316）平方米，∴阴影部分的面积为：2×（π12―316）＝（π6―38）平方米．∴故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）A．π3B．3π5C．2π3D．3π4思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3，∴cos∠CBE=CBBE=32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，故选：C．总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．7．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360―12×22×22=2π﹣4，故选：C．总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．8．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（ ）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×452360―120π×152360＝600π（cm2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2 360．9．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）A．3π﹣33B．3π―932C．2π﹣33D．6π―932思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC=332，∴AB＝2AD＝33，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360―12×3×33=3π―932，故选：B．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A．23π―32B．23π―3C．43π﹣23D．43π―3思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3，∴S△AOB=12×2×3=3，∴阴影部分的面积为：23π―3；故选：B．总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC ＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．解：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83―60π×82360=323―32π3，故答案为323―32π3．总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是 ，此时图中阴影部分的面积是 ．思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵AF的长是π3，OA＝2，∴π3=nπ×2180，∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD=12×2=1，∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB=3，∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360―12×3×1=23π―32．故答案为：1，23π―32．总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是 ．思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，∴AD=23×32=22，∴DF＝AD sin45°＝22×22=2，∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB−AE=2，∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC＝32×2―45π×(22)2360―12×2×2＝52―π，故答案为：52―π．总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是 ．思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，故答案为6π．总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 ．思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S 阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(22)2360―4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，进而得到S△OB1C=12（2―1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．解：连接DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2―1）2，∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360―12（2―1）2―12=π4―2+2．故答案为π4―2+2．总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC=12×22×26+12×4×4―12×4×2―60π×42360=4+43―8π3．故答案为：4+43―8π3．总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．。
15解题技巧专题圆中求阴影部分的面积
15解题技巧专题圆中求阴影部分的面积圆中求阴影部分的面积是一类常见的几何解题题型。
解决这类问题的关键是理解题意，找出合适的几何关系，并运用相应的公式进行计算，下面将结合一些具体的例题，介绍一些解题技巧。
首先，我们需要理解圆中求阴影部分的面积是指如何计算圆与一些几何图形的交集部分的面积。
在解题时，我们可以通过切割、旋转、改变图形位置等方式来求解阴影部分的面积。
接下来，我们将介绍三个常见的情况：正方形在圆内、矩形在圆内以及两个半圆的交集。
情况一：正方形在圆内题目描述：一个边长为a的正方形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。
解题思路：首先，我们可以画出正方形和圆的示意图，并标明已知的边长和半径。
然后，我们来观察正方形在圆内的情况，可以发现正方形四个顶点与圆心连线的交点是正方形对角线的中点。
这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算正方形对角线的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。
这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。
最后，我们可以通过求解正方形对角线的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，正方形对角线的长度为a*√2，所以中点到圆心的距离d为d=√(a^2/2)。
计算阴影部分的面积S：阴影部分的面积可以通过圆的面积减去扇形的面积得到，所以S=π*r^2-π*(d^2)/4情况二：矩形在圆内题目描述：一个长为a，宽为b的矩形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。
解题思路：首先，我们可以画出矩形和圆的示意图，并标明已知的长、宽和半径。
然后，我们来观察矩形在圆内的情况，可以发现矩形四个顶点与圆心连线的交点是矩形边的中点。
这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算矩形边的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。
这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。
最后，我们可以通过求解矩形边的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，矩形的对角线长度为√(a^2+b^2)，所以中点到圆心的距离d为d=√((a^2+b^2)/4)。
中考数学专题复习--利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析
利用圆的相关知识求阴影部分的面积问题及解析常用方法是将弧的端点与圆心相连，将阴影部分的面积转化成扇形面积与其他图形的和或差。
一、割补法问题1.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是（）。
A．﹣B．﹣ C．π﹣ D．π﹣【解析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∠3+∠5=60°∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBFD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=．故选：B．问题2.（也可顺时针旋转）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．（1）求证：AC=BD；（2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA=2cm，求OC的长答案：（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD；∴∠AOC=∠BOD；在△AOC和△BOD中，∵OA=OB ∠AOC=∠BOD CO=DO ，∴△AOC≌△BOD（SAS）；∴AC=BD．（2）根据题意得：S阴影=290603OAπ⨯-2609?3OCπ⨯=2?290?(60)3OA OCπ⨯-；∴34π=2()3694?0?OCπ-；解得：OC=1（cm）．二、等积法问题3如图，AB是半圆O的直径，AB=2，C、D是半圆上两点，且三等分半圆，则图中阴影部分的面积为_______.解答：连接CD，OC,OD由C、D为半圆弧的三等分点，可得CD//AB，∠COD=60°因此S△ECD=S△COD,∴S阴影部分=S扇形CED又OC=12AB=12×2=1，∴S阴影部分=S扇形CED=23606OCπ⨯=2601360π⨯=6π问题4如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC 于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）。
2020年中考数学二轮复习专题：圆的综合(求阴影部分面积) 附详细答案
2020年中考数学二轮复习专题：圆的综合（求阴影部分面积）1．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．2．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．5．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．6．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．7．如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E 在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF＝∠DAC．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．15．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．16．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE．（1）求证：DA＝DE；（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE 为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP 的长．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．19．如图，△P AB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连接BD．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的阴影部分的面积．20．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．参考答案一．解答题（共20小题）1．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC为半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵OA＝OB，BE＝DE，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴．∴四边形OBEC的面积为2S△OBE＝2×＝12，∴阴影部分面积为S四边形OBEC﹣S扇形BOC＝12﹣＝12﹣4π．2．（1）证明：连接OC．∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠A＝∠D＝30°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°．∴S扇形BOC＝，在Rt△OCD中，CD＝OC，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为．3．（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴，∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接OD，OC，∵，∴∠COD＝×180°＝60°，∵CD∥AB，∴S△ACD＝S△COD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝．4．（1）证明：连接OF，AO，∵AB＝AF＝EF，∴＝＝，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切线；（2）解：∵＝＝，∴∠AOF＝60°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，∵FG＝2，∴AF＝4，∴AO＝4，∵AF∥BE，∴S△ABF＝S△AOF，∴图中阴影部分的面积＝＝．5．（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．6．（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝2，所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，因为∠COA＝60°，所以S扇形COA＝＝π，所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．7．（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．8．解：（1）如图所示，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，则DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝4，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．9．解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．10．解：（1）连接OD．、∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵＝，∴OE⊥AD，∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣×22＝﹣．11．解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠F AD，∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠F AD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OF A是等边三角形，则DF∥AC，故S阴影＝S扇形DFO，∴∠C＝30°，∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．12．解：（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2BE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝＝＝3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．13．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∵∠FDC＝15°，∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，∵OA＝OE，OM⊥AC，∴AE＝2AM＝3，∴∠BAC＝∠AEO＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴AC∥OD，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC＝∠EBC，∵∠EBC＝∠DAC，∴∠FDC＝∠DAC，∵A、B、D、E四点共圆，∴∠DEF＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠EDF＝∠FDC，∴∠EDF＝∠DAC．14．解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝∠BCD+∠OCB＝90°∴∠OCD＝90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°∴r+2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2易求S△AOC＝×2×1＝S扇形OAC＝＝∴阴影部分面积为﹣15．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∵∠DBC+∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝BC＝2，∴⊙O的半径为，∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝．16．解：（1）证明：连接OE．∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，DF＝AB＝6，∴DC＝BC+AD＝4．∵FC＝＝2，∴BC﹣AD＝2，∴BC＝3．在直角△OBC中，tan∠BOC＝＝，∴∠BOC＝60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE＝2∠BOC＝120°．∴S阴影部分＝S四边形BCEO﹣S扇形OBE＝2×BC•OB﹣＝9﹣3π．17．（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，∵AB＝AC，AO⊥BC于点O，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OH⊥AC，∴OH＝OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵点F是AO的中点，∴AO＝2OF＝6，而OE＝3，∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°，∴AE＝OE＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△AOE﹣S扇形EOF＝×3×3﹣＝；（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，∵PF＝PF′，∴PE+PF＝PE+PF′＝EF′，此时EP+FP最小，∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′，而∠AOE＝∠F′+∠OEF′＝60°，∴∠F′＝30°，∴∠F′＝∠EAF′，∴EF′＝EA＝3，即PE+PF最小值为3，在Rt△OPF′中，OP＝OF′＝，在Rt△ABO中，OB＝OA＝×6＝2，∴BP＝2﹣＝，即当PE+PF取最小值时，BP的长为．18．解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD＝∠DBO，∴∠EBD＝∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3，∵BE＝3，∴BD＝＝6，∵sin∠DBF＝＝，∴∠DBA＝30°，∴∠DOF＝60°，∴sin60°＝＝＝，∴DO＝2，则FO＝，故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．19．解：（1）连结OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD，AD∥BC，∵∠APB＝∠ADB，∠C＝∠APB，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵OA＝OD，∴OB⊥AD，∴∠AOB＝90°，∵AD∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝90°，∴OB⊥BC，∵OB为半径，∴BC是⊙O的切线．（2）连结OP，作OE⊥AP于E，∵∠P AD＝∠PBD＝60°，OA＝OP，∴P A＝OA＝OP，∠AOP＝60°，在▱ABCD中，AD＝BC＝2，∴AP＝OA＝1，在Rt△OAE中，OE＝OA•sin60°＝，与弦AP围成的阴影部分的面积为：﹣×1×＝﹣．20．解：（1）如图，连接CD、OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，又∵△ABC是等边三角形，∴AD＝BD，∵BO＝CO，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，∴∠OGF＝∠DFG＝∠ODF＝90°，∴四边形OGFD是矩形，∴FG＝OD＝4，∵OC＝OE＝OD＝OB，且∠COE＝∠B＝60°，∴△OBD和△OCE均为等边三角形，∴∠BOD＝∠COE＝60°，CE＝OC＝4，∴EG＝CE＝2、DF＝OG＝OC sin60°＝2，∠DOE＝60°，∴EF＝FG﹣EG＝2，则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE＝×（2+4）×2﹣＝6﹣．。
中考专题-圆中阴影部分面积求解解析(教案)
难点举例：在计算过程中，注意分数、小数的运算，以及平方、开方等运算的准确性。
（5）数据分析能力的运用：在解决不同类型的题目时，学生需要分析数据，找出解题规律，提高解题效率。
难点举例：分析不同类型题目的共同点和差异，总结解题方法，形成自己的解题策略。
在学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论过程中能够积极思考，提出自己的观点。但与此同时，也有一部分学生在讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考。为了解决这个问题，我将在今后的教学中注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们在讨论中敢于发表自己的见解。
最后，我注意到在总结回顾环节，部分学生对所学知识点的掌握程度并不理想。这说明我在教学过程中可能没有充分关注到学生的个体差异，导致他们在学习过程中跟不上整体进度。因此，我将在今后的教学中更加关注每个学生的学习情况，因材施教，确保每个学生都能掌握所学知识。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们在圆中阴影部分面积求解方面存在一些问题。首先，他们在构建空间观念上还有一定的困难，尤其是在处理复杂的几何图形时，难以准确把握图形之间的关系。在接下来的教学中，我需要加强这方面的训练，多提供一些直观的教具或图形，帮助学生建立更清晰的空间观念。
其次，学生在逻辑推理能力方面也表现出一定的不足。在解决实际问题时，他们往往不能迅速找到解题的关键步骤，导致解题思路不清晰。针对这一问题，我打算在讲授过程中，更多地运用案例分析，引导学生逐步分析问题，培养他们的逻辑推理能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制圆形和扇形，并进行面积求解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
圆中方阴影部分面积计算公式
圆中方阴影部分面积计算公式假设有一个圆，圆心为O，半径为R。
现在在圆的中心往任意方向做直线，与圆相交于两点A和B。
我们需要计算的是圆中方阴影部分的面积。
首先，我们可以将该面积分解为两个部分，即圆扇形的面积和三角形的面积。
1.圆扇形的面积计算：圆扇形的面积可以通过扇形的面积公式来计算，即S1=(θ/360)*π*R²，其中θ为弧度制下的圆心角度数。
我们知道AOB是一个直角三角形，所以θ可以通过AOB的角度来计算。
AOB的角度可以通过反三角函数来计算，即θ = 2 * arccos(AB/2R)。
因此，圆扇形的面积S1 = ((2 * arccos(AB/2R))/360) * π * R²。
2.三角形的面积计算：我们可以将三角形视为一个半径为R的扇形减去一个等腰扇形得到。
等腰扇形的圆心角为θ/2等腰扇形的半径可以通过勾股定理计算，即等腰扇形的半径radius= √(R² - (AB/2)²)。
等腰扇形的面积可以通过扇形的面积公式来计算，即S2=((θ/2)/360)*π*(R²-(AB/2)²)。
所以三角形的面积S3=S1-S2最后，圆中方阴影部分的面积S=S1-S3综上所述，圆中方阴影部分的面积计算公式为：S = ((2 *arccos(AB/2R))/360) * π * R² - ((arccos(AB/2R))/360) * π * (R² - (AB/2)²)。
这个公式可以用于计算圆中方阴影部分的面积，其中AB为线段的长度，R为圆的半径。
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
和圆联系的阴影部分面积求法举例
和圆联系的阴影部分面积求法举例2012-11-19 10:52:05| 分类：默认分类|举报|字号订阅求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r ，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形"，例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
中考数学专题：与圆有关的阴影部分面积的计算 训练(含答案)
专题 阴影部分面积的计算一．选择题1. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，OD ∶DB ＝1∶2，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为( )A. π2－23B. π4－23C. π2－223D. π－232. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，弧AC 是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为( )A.32 B. 3 C. 332D. 2 33. 如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝6，∠BCA ＝60°，连接OB ，则阴影部分的面积为( )A. 2πB. 3πC.3π2 D. 3π44. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，两条弧AOB ︵与AOC ︵所对的圆心角均为120°，则由两条弓形及边BC 所围成的阴影部分的面积是( )A.33 B. 3 C. 312 D. 345. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为( )第5题图A.33 B.233C. 3D. 36. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝120°，以点D 为圆心，AD 的长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，若BE 恰好平分∠ABC ，则图中阴影部分的面积为( )A. 123－4π3 B. 123－8π3C. 163－4π3D. 163－8π3二．填空题7. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC ＝30°，沿直线CB 将半圆折叠，点A落在点A′处，A′B和弧BC交于点D，已知AB＝6，则图中阴影部分的面积为8.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接OB，OF，BD，DF，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为9．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π)三．解答题10.如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，连接CA，将▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AB′C′D′，点D′在BA的延长线上，若CA⊥AB，（1）求AD的长（2）求图中阴影部分的面积11. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO 上一点，将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.(1)求证：B′D⊥AB；(2)当AB＝2时，求图中阴影部分面积．参考答案1. A 【解析】如解图，连接OC ，易得∠COB ＝45°，过点C 作CE ⊥OB 于点E ，则CE ＝CO ·sin45°＝2×22＝2，∵OA ＝2，OD ∶DB ＝1∶2，∴OD ＝23.∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π·22360－12×23×2＝π2－23.2. B 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 、△BCD 均是等边三角形．∴S 阴影＝S △BCD ＝34·BC 2＝34×22＝ 3.3. C 【解析】∵AC 为半圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOB 与△BOC 等底同高，即S △AOB ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π·32360＝3π2.4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，线段OA 将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O 旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△ABC 面积的三分之一，∴S 阴影＝13×34×12＝312.5. A 【解析】如解图，过点O 分别作AB 、BC 的垂线，垂足为点E 、F ，∵O 为等边三角形的中心，∴OE ＝OF ，S △OFC ＝S △OEA ，∴S 四边形OABC ＝S 四边形OEBF ＝13S 正三角形．∵S 正三角形＝12×2×2×sin60°＝3，∴S 阴影＝33.6. B 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝120°，∴∠D ＝60°，∵AD ＝4，∴AF ＝AD ·sin60°＝23，∵∠ABC ＝∠D ＝60°，BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝30°，∵∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠CEB ＝∠CBE ＝30°，∴EC ＝BC ＝AD ＝4，∴DC ＝DE ＋EC ＝8，∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △BEC －S 扇形ADE ＝8×23－12×4×23－60π·42360＝123－8π3.7.3π2【解析】如解图，连接AD ，CD ，∵沿直线CB 将半圆折叠，点A 落在点A ′处，∴∠ABC ＝∠CBA ′＝30°，AB ＝A ′B ＝6，∴∠ABD ＝60°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，BD ＝12AB ＝12A ′B ＝12×6＝3，∴CD ＝BD ＝12A ′B ，∠A ′DC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形A ′CD ＝60π·32360＝3π2.第7题解图8. 43π. 【解析】如解图，连接OC ，OE ，分别交BD ，DF 于点M ，N ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOC ＝60°，∠BCD ＝∠COE ＝120°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°，∴∠OCD ＝∠OCB ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDM ＝30°，BM ＝DM ，∴∠OBM ＝30°，S △DCM ＝S △BCM ，∴∠OBM ＝∠CBD ，∴OM ＝CM ，∴S △OBM ＝S △BCM ，∴S △OBM ＝S △DCM ，同理，S △OFN ＝S △DEN ，∴S 阴影＝S 扇形COE ＝120π×22360＝43π.9. π－110. 【解析】(1)AD 的长为22如解图，以点A 为圆心，AC ′长为半径画C ′E ︵，交AD ′于点E ，∵AB ＝2，∠B ＝45°，CA ⊥AB ，∴AC ＝AB ＝CD ＝2，∠CAD ＝45°，AD ＝AC 2＋DC 2＝22＋22＝2 2（2）由旋转的性质可知∠DAD ′＝45°，S △ACD ＝S △AC ′D ′，S 扇形CAC ′＝S 扇形C ′AE ，∴S 阴影＝(S 扇形DAD ′－S △AC ′D ′)＋(S △ACD －S扇形CAC ′)＝S扇形DAD ′ －S扇形CAC ′＝S扇形DAD ′ －S扇形C ′AE ＝45π×（22）2360－45π×22360＝π2.11.(1)证明：由题意得：∠B′CB ＝∠B′CO ＋∠OCB ＝90°＋60°＝150°. ∵△DBC 沿直线DC 对折得到△DB′C ， ∴∠DCB ＝21 ∠B′CB ＝ 21×150°＝75°. 在△DBC 中，∠CDB ＝180°－∠ABC －∠DCB ＝180°－60°－75°＝45°. ∴∠B′DB ＝2∠CDB ＝2×45°＝90°，∴B′D ⊥AB ；(2)解：∵AB ＝2，△OBC 是等边三角形， ∴OC ＝OB ＝BC ＝B′C ＝1. ∵∠B′CO ＝90°， ∴∠B′OC ＝45°∴S 阴影＝S △B′CO －S 扇形EOC ＝21-8。
圆中阴影部分的面积求法
反思： １．观察三角形之间 的关系。 ２．平行线间的距离 相等． ３．边角转化。
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15
如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、 CD分别为6cm、8cm，
且AB∥EF∥CD．则图中阴影部分 面积之和为（ ）．
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17
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10
当堂检测
1.在等边△ ABC中，BC=16cm,点Ｄ、Ｅ、F分 别是各边中点，求阴影部分的面积。
分析：整体思想
A
S阴＝
S
三角形
－
ABC
S半圆
＝ 1 16 8 3 1 • 82
2
2
D
E
64 3 32
B
F
C
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11
2.如下图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形 内画半圆，所以围成的图形（阴影部分）的面积为 ______________。
分析：S阴 S半 圆 ⊙ OS半 圆 ⊙ C
1 R2 1 r2
2
2
1 (R2 r2)
2
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7
如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D， MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径， 求阴影部分的面积。
和圆联系的阴影部分面积求法举例
和圆联系的阴影部分面积求法举例2012-11-19 10:52:05| 分类：默认分类|举报|字号订阅求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为 r ，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形"，例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求) 正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形)例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
初中几何与圆有关的阴影部分面积计算
求阴影部分面积公式法（阴影部分是一个规则的几何图形，例如三角形，正方形等）、和差法1.直接和差法S阴影=S爲形EAF-一SAADEIr3'//S阴影=S扃形〃,vr + S半圆人歹_ S半間.,⑷S阴影=S半圓“；+ S 半SI BC —S zuc"2 、构造和差法（须添加辅助线）、割补法1、全等2、对称800C. πcm23 D ．350 πcm 2练习：、和差法一）直接和差法1. 小明和小兵进行投靶游戏，如图所示，靶中两个同心圆的半径OA 与OB 的比为3:4 ，随机投一次，若投在阴影部分，小明获胜；投在环形部分，小兵获胜；小明获胜的概率记为P小明，小兵获胜的概率为P小兵，则P小明P小兵（用“>”“<”“＝”填空）2. 两个同心圆被两条半径截得的弧AB 长为10 π，弧CD 长为 6 π，又AC=12 ，则阴影部分面积为__________ 。
3. 如图，⊙ A、⊙B、⊙C 两两不相交，且它们的半径都是0.5 ，则图中三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为______ 。
外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120 °，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为4.如图，一扇形纸扇完全打开后，A ．175 πcm 2 B．150 πcm 210 、如图，已知两个半圆中长为 4的弦AB 与直径 CD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于 _________O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 D ．若 OA ＝ 4，则图中阴影部分的面积为二)构造和差法1 、如图，在以点 O 为圆心的半圆中， AB 为直径，且 AB=4 ，将该半圆折叠，使点 A 和点 B 落在点 O 处，折痕分别为 EC 和 FD ， 则图中阴影部分面积为(A. 4 3 3B. 4 3 232C. 2 3D. 2 3 332、如图，在扇形 AOB 中，∠AOB ＝90 ，点C 为OA 的中点， CE ⊥OA 交 于点 E ，以点B ． +2C ． +D ．2 +A ．+4. 如图， 阴影部分是从一块直径为 40cm 的圆形铁板中截出的一个工件示意图， 其中△ABC 是等边三角形，则阴影部分的面积为4.如 图 ，在 ⊙O 的 内 接 正 六 边 形 ABCDEF 中 ， OA=2 ，以 点 C 为 圆心 ，AC 长 为半 径 画弧 ，恰 好 经 过 点 E ，得 到 ︵，连 接 CE ，OE ，则 图 中 阴 影 部 分的面 积 AE交 AB 于 E ，交 CD 于 F ，则图中阴影部分的面积为A.800 πcm 2C.( 400 3100 3)cm 2400 2 B. ( π 200 3) cm 2 3 2 D. 200 πcm A ． 10 4 33 B. 2 2 3 C. 83 3 3 4D. 3 235.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4 3 ，AD=2 3 ，BD ⊥AD ，以 BD 为直径的⊙ O6.已知AB、CD为⊙ O的两条弦，如果AB=8 ，CD=6 ，弧AB 所对的圆心角与弧CD所对的圆心角的度数和为180 °，那么圆中的阴影部分的总面积为__________ 。
圆中阴影面积的计算
B
y 2x y x x
∴
C
8
∴S阴影= 4
解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法三： 把图形分解下 A 旋转图形 ∴S阴影= S以AC为直径的圆 －S以AC为对角线的正方形 B C =
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
方法一： 阴影面积可看成在△ABC上覆盖以AB为直径半圆和 以AC为直径半圆，因为△ABC内的阴影部分被半圆 覆盖两次，所以
A
S阴影= S以AC为直径的半圆 + S以AB为直径的半圆－S△ABC
中阴影部分的面积是（ B ） A. B. C. D.
x y x
y
x x
∴
y
4
y
∴S阴影= 4
大家谈谈今天的收获
思考题：
(2中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是______________.
A
B
C
解法一
解法二
解法三
思考题：
A
解法一
解法二 C（B）
解法三
谢谢大家
B C
=S以AC为直径的圆 －S△ABC
= 解法一
解法二
解法三
思考题：
(2010年云南昆明，有改动)如图，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分别以AB
、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是4 ______________.
圆中阴影部分面积求法
圆中阴影部分面积求法(2010-06-02 16:03:03)转载标签：扇形a2oa半圆分类：初中数学免费资源圆心洛阳数学辅导洛阳家教杂谈求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。
现举例谈谈主要方法：1．重叠法可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。
例1．如图，AOB是直角扇形，以OA、OB为直径在扇形内作半圆，n和N分别表示两个阴影部分的面积。
则( )(A)N＝n(B)n＞N(C)N＞n(D)n、N大小关系无法确定解：研究面积为N的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面积为n的图形在两个半圆中的重叠。
故N=■·OA2-·（■OA）2+n=n，故应选A。
2．组合法例2．如图，在边长为２cm的正方形ABCD中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm长为半径作弧，得到图中的组合图形。
求阴影部分的面积。
分析1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同的弓形。
明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。
解：S阴=２S弓＝２（S扇-S△）=2（-2）cm2分析2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。
简记为：２S弓＝S半圆-S正方形=■22-22=(2-4)cm23．全部减其余例3.如图所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作■，以AB为直径作■，M是AD上一点，以DM为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____解：■a2点拨：设以DM为直径的半圆的圆心为O1，半径为r，以AB为直径的半圆的圆心为O2，连结O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a所以S阴影=S扇形DAB-■S圆O1-■S圆O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a24．等积变形法例4.如上图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_____。
与圆相关的阴影部分面积的八种求值技巧典型练习题
与圆相关的阴影部分面积的八种求值技巧典型练习题求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．这里精选一些典型练习题，介绍八种常用方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．练习1如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P，则图中阴影部分的面积为()A．π32B．π43C．π43D．3π2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算．练习2如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是()A．π323-B．33π-C．332π-D．π-323．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．练习3如图，正方形ABCD 的顶点A 是正方形EFGH 的中心，EF=6cm，则图中的阴影部分的面积为______．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．练习4如图，C、D 两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．练习5如图，CD 是半圆0的直径，半圆0的弦AB 与半圆O '相切，点O '在CD 上，且AB∥CD，AB＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．整体法练习6如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是()A．224121a a π+-B．)41(222a a π-C．22.21a a π+-D．2221a a π-7．折叠法练习7如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0，其直径CD，EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E 和点D、F，则图中阴影部分的面积是______．8．聚零为整法练习8如图所示，将半径为2cm 的⊙0分割成十个区域，其中弦AB、CD 关于点0对称，EF、GH 关于点0对称，连结PM，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．。