2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)

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【高考真题】2017年江苏省高考数学试卷 含答案解析

【高考真题】2017年江苏省高考数学试卷 含答案解析

2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱CC 1上,求l 没入水中部分的长度;(2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱GG 1上,求l 没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 20.(16分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +1(a >0,b ∈R )有极值,且导函数f′(x )的极值点是f (x )的零点.(Ⅰ)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)证明:b 2>3a ;(Ⅲ)若f (x ),f′(x )这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a 的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP ⊥PC ,P 为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB ; (2)AC 2 =AP•AB .[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,当a=1时,A={1,1},B={1,4},成立;a2+3=1无解.综上,a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60件进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α﹣)===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2,3],则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y=±x,所以P(,),Q(,﹣),F1(﹣2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[﹣1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R 上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣的导数为:f′(x)=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f(x)为奇函数,则f(a﹣1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤﹣f(a﹣1)由f(﹣(a﹣1))=﹣f(a﹣1),f(2a2)≤f(1﹣a),即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=3.【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域,联立,解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],故答案为:[﹣5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最小值﹣2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标;方法二:设P(m,n),当m≠1时,=,=,求得直线l 1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)方法一:设P(x 0,y0),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x﹣1),直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k1=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),联立,解得:,则Q(﹣x0,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=,∴y02=x02﹣1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).方法二:设P(m,n),由P在第一象限,则m>0,n>0,当m=1时,不存在,解得:Q与F 1重合,不满足题意,当m≠1时,=,=,由l 1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),①直线l2的方程y=﹣(x﹣1),②联立解得:x=﹣m,则Q(﹣m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2﹣n2=1,或m2+n2=1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos∠EGM=﹣,根据正弦定理得:=,∴sin∠EMG=,cos∠EMG=,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1), =2a n +2a n +2a n , =2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ,②则a n+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,③,﹣1②+③﹣①,得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n,即2a n=a n﹣1+a n+1,(n≥4),因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4(a3+d)﹣a3﹣(a3+2d)﹣(a3+3d)=a3﹣d,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,所以b=+(a>3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y0),则=,即x0=2y,y0=x,∴x=y0,y=,∴,即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当时取等号.∴﹣8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A1AD的一个法向量为.∴cos<>==.∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A 2|A1)P(A1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E(X)<.【解答】解:(1)解法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A 2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.解法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X)<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。

2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析).docx

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2017 年江苏省高考数学试卷一 .填空题1(.5 分)已知集合 A={ 1,2} ,B={ a,a2+3} .若 A∩B={ 1} ,则实数 a 的值为.2.(5 分)已知复数 z=( 1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是.3.(5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.( 5 分)如图是一个算法流程图:若输入 x 的值为,则输出 y 的值是.5.(5 分)若 tan(α﹣)=.则tanα=.6.( 5 分)如图,在圆柱 O1 O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1 2 的体积为1,球O 的体积为2,则的值是.O V V7.( 5 分)记函数 f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则 x∈ D 的概率是.8.(5 分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q,其焦点是 F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是.9.( 5 分)等比数列 { a n} 的各项均为实数,其前n 项和为 S n,已知S3=,S6=,则 a8=.10.(5 分)某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元 / 次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数 f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a﹣ 1) +f(2a2)≤ 0.则实数 a 的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且 tan α=7,与的夹角为 45°.若 =m +n( m,n∈ R),则 m+n=.13.( 5 分)在平面直角坐标系xOy 中, A(﹣ 12,0), B( 0, 6),点 P 在圆 O:x2+y2=50 上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.( 5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间 [ 0,1)上, f(x)=,其中集合 D={ x| x=, n∈ N* } ,则方程 f(x)﹣ lgx=0 的解的个数是.二 .解答题15.( 14 分)如图,在三棱锥 A﹣ BCD中, AB⊥AD, BC⊥ BD,平面 ABD⊥求证:(1)EF∥平面 ABC;(2) AD⊥AC.16.( 14 分)已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣),x∈[ 0,π].( 1)若,求x的值;( 2)记 f (x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值.17.( 14 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 E:=1( a> b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点 P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点 F1作直线 PF1的垂线 l1,过点 F2作直线 PF2的垂线l2.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)若直线 l1,l2的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.18.( 16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm,容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为 14cm 和 62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将 l 放在容器Ⅰ中, l 的一端置于点 A ,另一端置于棱 CC1上,求 l 没入水中部分的度;(2)将 l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点 E ,另一端置于棱 GG1上,求 l 没入水中部分的度.19.(16 分)于定的正整数k,若数列 { a n} 足:a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n(n>k)成立,称数列{ a n}是“P(k)数列”.( 1)明:等﹣1差数列 { a n } 是“P(3)数列”;( 2)若数列 { a n} 既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,明:{ a n} 是等差数列.20.( 16 分)已知函数f( x) =x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极,且函数 f ′( x)的极点是 f(x)的零点.(Ⅰ)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定域;(Ⅱ)明: b2> 3a;(Ⅲ)若 f( x),f ′(x)两个函数的所有极之和不小于,求数a的取范.二 .非,附加( 21-24 做)【修 4-1:几何明】(本小分0分)21.如, AB 半 O 的直径,直 PC切半 O 于点 C,AP⊥PC,P 垂足.求:(1)∠PAC=∠CAB;(2) AC2 =AP?AB.[ 修 4-2:矩与 ]22.已知矩 A=,B=.(1)求 AB;( 2)若曲 C1:=1在矩AB的作用下得到另一曲2,求CC2的方程.[ 修 4-4:坐系与参数方程 ]23.在平面直角坐系xOy 中,已知直 l 的参数方程(t参数),曲 C 的参数方程(s参数).P曲C上的点,求点P 到直 l 的距离的最小.[修 4-5:不等式]24.已知 a,b,c, d 数,且 a2+b2=4,c2+d2=16,明 ac+bd≤ 8.【必做】25.如,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中, AA1⊥平面 ABCD,且 AB=AD=2,AA1=,∠ BAD=120°.(1)求异面直 A1B 与 AC1所成角的余弦;(2)求二面角 B A1D A 的正弦.26.已知一个口袋有 m 个白球, n 个黑球( m,n∈N*,n≥2),些球除色外全部相同.将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如所示的号1,2,3,⋯,m+n 的抽内,其中第 k 次取出的球放入号k 的抽( k=1,2,3,⋯,m+n).123⋯m+n( 1)求号 2 的抽内放的是黑球的概率p;( 2)随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数,E( X)是 X 的数学期望,明E( X)<.2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题2+3} .若 A∩B={ 1} ,则实数 a 的值为 1 ..(分)已知集合1 5A={ 1,2} ,B={ a,a【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合 A={ 1,2} ,B={ a,a2+3} .A∩B={ 1} ,∴a=1 或 a2+3=1,当a=1 时, A={ 1,1} , B={ 1, 4} ,成立;a2+3=1 无解.综上, a=1.故答案为: 1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5 分)已知复数 z=( 1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数 z=( 1+i)(1+2i) =1﹣2+3i=﹣ 1+3i,∴ | z| ==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000 件,而抽取60 件进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18 件,故答案为: 18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.( 5 分)如图是一个算法流程图:若输入 x 的值为,则输出y的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值 x=,不满足x≥1,所以 y=2+log2=2﹣=﹣ 2,故答案为:﹣ 2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5 分)若 tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵ tan(α﹣)===∴6tan α﹣6=tan α+1,解得 tan α=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.( 5 分)如图,在圆柱 O1 O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱 O1 2 的体积为1,球O 的体积为2,则的值是.O V V【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,23.圆柱的体积为:πR?2R=2πR则 == .故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.( 5 分)记函数 f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则 x∈ D 的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0,得﹣ 2≤ x≤ 3,则 D=[ ﹣2,3] ,则在区间 [ ﹣ 4, 5] 上随机取一个数 x,则 x∈ D 的概率 P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5 分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线﹣ y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P, Q,其焦点是 F1,2,则四边形 1 2.F F PF Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到 P,Q 坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣ y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:±x,y=所以 P(,),Q(,﹣),F1(﹣,). 2(,).20 F 2 0则四边形 F1PF2Q 的面积是:=2.故答案为: 2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.( 5 分)等比数列 { a n} 的各项均为实数,其前n 项和为 S n,已知S3=,S6=,则a8= 32 .【分析】设等比数列 { a n的公比为≠, 3, 6,可得=,}q 1 S =S = =,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列 { a n} 的公比为 q≠ 1,∵ S3, 6,∴,,解得 a1=,q=2.则 a8==32.故答案为: 32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5 分)某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买 x 吨,运费为 6 万元 / 次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4× 2×=240(万元).当且仅当 x=30 时取等号.故答案为: 30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题..(分)已知函数3﹣2x+e x﹣,其中 e 是自然对数的底数.若 f(a 11 5f(x)=x﹣ 1) +f(2a2)≤ 0.则实数 a 的取值范围是[ ﹣ 1, ] .【分析】求出 f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在 R 上递增;再由奇偶性的定义,可得 f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤ 1﹣ a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数 f (x) =x3﹣ 2x+e x﹣的导数为:f ′(x)=3x2﹣2+e x+ ≥﹣ 2+2=0,可得 f (x)在 R 上递增;3+2x+e ﹣x x 3x又 f(﹣ x) +f (x)=(﹣ x)﹣e +x﹣2x+e ﹣ =0,可得 f (x)为奇函数,则f( a﹣ 1) +f (2a2)≤ 0,即有 f (2a2)≤﹣ f(a﹣1)由 f(﹣( a﹣1))=﹣ f( a﹣1),f(2a2)≤ f(1﹣a),即有 2a2≤1﹣a,解得﹣ 1≤a≤,故答案为: [ ﹣1,] .【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5 分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且 tan α=7,与的夹角为45°.若=m +n(m,n∈ R),则 m+n= 3.【分析】如图所示,建立直角坐标系. A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得 cosα=, sin α= . C.可得°°cos(α+45 ) =. sin(α+45 )=.B.利用=m +n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴ cosα=,sinα=.∴ C.°( cosα﹣sin α)=.cos(α+45) =sin(α+45°(sin α+cosα)=.)=∴ B.∵=m +n (m, n∈ R),∴ =m﹣ n, =0+ n,解得 n=,m=.则m+n=3.故答案为: 3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.( 5 分)在平面直角坐标系xOy 中, A(﹣ 12,0), B( 0, 6),点 P 在圆 O:x2+y2=50 上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[ ﹣5,1].【分析】根据题意,设 P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设 P(x0, y0),则有 x02+y02=50,=(﹣ 12﹣ x0,﹣ y0)?(﹣ x0,6﹣y0)=( 12+x0)x0﹣ y(0 6﹣ y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为: 12x0﹣6y0+30≤0,即 2x0﹣y0+5≤ 0,表示直线 2x﹣ y+5=0 以及直线上方的区域,联立,解可得 x0﹣或0 ,= 5x =1结合图形分析可得:点P 的横坐标 x0的取值范围是 [ ﹣5,1] ,故答案为: [ ﹣5 ,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0的关系式.14.( 5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间 [ 0,1)上, f(x)=,其中集合 D={ x| x=,n∈ N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中 f( x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,在区间 [ 0,1)上, f ( x)=,其中集合D={ x| x=,n∈ N*},分析f(x)的图象与y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间 [ 0,1)上, f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又 f( x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数,∴在区间 [ 1,2)上, f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx 有且只有一个交点;同理:区间 [ 2, 3)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 3, 4)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 4, 5)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 5, 6)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 6, 7)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 7, 8)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;区间 [ 8, 9)上, f( x)的图象与 y=lgx 有且只有一个交点;在区间 [ 9,+∞)上, f(x)的图象与 y=lgx 无交点;故f( x)的图象与 y=lgx 有 8 个交点;即方程 f(x)﹣ lgx=0 的解的个数是 8,故答案为: 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二 .解答题15.( 14 分)如图,在三棱锥 A﹣ BCD中, AB⊥AD, BC⊥ BD,平面 ABD⊥平面BCD,点 E、F(E 与 A、D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF⊥ AD.求证:(1)EF∥平面 ABC;(2) AD⊥AC.【分析】(1)利用 AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段 CD上点 G,连结 FG、EG使得 FG∥ BC,则 EG∥ AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为 AB⊥ AD, EF⊥AD,且 A、B、E、F 四点共面,所以 AB∥EF,又因为 EF?平面 ABC,AB? 平面 ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面 ABC;(2)在线段 CD上取点 G,连结 FG、 EG使得 FG∥BC,则 EG∥AC,因为 BC⊥BD, FG∥ BC,所以 FG⊥BD,又因为平面 ABD⊥平面 BCD,所以 FG⊥平面 ABD,所以 FG⊥AD,又因为 AD⊥EF,且 EF∩FG=F,所以 AD⊥平面 EFG,所以 AD⊥EG,故 AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.( 14 分)已知向量 =(cosx,sinx), =(3,﹣),x∈[ 0,π].( 1)若,求x的值;( 2)记 f (x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,( 2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵ =(cosx, sinx), =(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴ tanx=﹣,∵ x ∈[ 0,π] ,∴ x=,( 2) f (x )==3cosx ﹣ sinx=2(cosx ﹣ sinx )=2 cos (x+),∵ x ∈[ 0,π] ,∴ x+ ∈[, ] ,∴﹣ 1≤cos (x+ )≤,当 x=0 时, f (x )有最大值,最大值 3,当 x=时, f (x )有最小值,最小值﹣ 2 .【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.( 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :=1( a > b >0)的左、右焦点分别为 F 1, 2 ,离心率为 ,两准线之间的距离为 8 .点 P 在椭圆FE 上,且位于第一象限,过点F 作直线 PF 的垂线 l ,过点 F 作直线 PF 的垂线1 112 2 l 2.( 1)求椭圆 E 的标准方程;( 2)若直线 l 1,l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得 a=2c ,由椭圆的准线方程 x=±,则 2×=8,即可求得 a 和 c 的值,则 b 2=a 2﹣ c 2 =3,即可求得椭圆方程;( 2)设 P 点坐标,分别求得直线 PF 2 的斜率及直线 P F 1 的斜率,则即可求得 l 2及l1的斜率及方程,联立求得 Q 点坐标,由 Q 在椭圆方程,求得 y02=x02﹣1,联立即可求得 P 点坐标;方法二:设 P(m, n),当 m≠1时,=,=,求得直线l1及l1的方程,联立求得 Q 点坐标,根据对称性可得=± n2,联立椭圆方程,即可求得 P 点坐标.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e== ,则 a=2c,①椭圆的准线方程 x=±,由 2×=8,②由①②解得: a=2,c=1,则 b2 2﹣c2,=a=3∴椭圆的标准方程:;( 2)方法一:设 P(x0,0),则直线 2 的斜率=,y PF则直线 l2的斜率 2 ﹣,直线l 2的方程﹣(﹣),k =y=x 1直线 PF1的斜率=,则直线 l2的斜率1﹣,直线l 1 的方程﹣(),k =y=x+1联立,解得:,则Q(﹣x0,),由 P,Q 在椭圆上, P, Q 的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=,∴y02=x02﹣ 1,则,解得:,则,又 P 在第一象限,所以P 的坐标为:P(,).方法二:设 P(m, n),由 P 在第一象限,则 m> 0, n> 0,当 m=1 时,不存在,解得: Q 与 F1重合,不满足题意,当 m≠1 时,=,=,由 l1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣,直线 l1的方程 y=﹣( x+1),①直线 l2的方程 y=﹣(x﹣1),②联立解得: x=﹣m,则 Q(﹣ m,),由 Q 在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2﹣ n2=1,或 m2+n2=1,由 P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又 P 在第一象限,所以P 的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.( 16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm,容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为 14cm 和 62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)( 1)将 l 放在容器Ⅰ中, l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1上,求 l 没入水中部分的长度;( 2)将 l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1上,求 l 没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在 CC1上的点为 M,玻璃棒与水面的交点为 N,过 N 作NP∥MC,交 AC于点 P,推导出 CC1⊥平面 ABCD,CC1⊥ AC,NP⊥ AC,求出MC=30cm,推导出△ ANP∽△ AMC,由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在 GG1上的点为 M,玻璃棒与水面的交点为 N,过点 N 作 NP⊥ EG,交 EG于点 P,过点 E 作 EQ⊥E1G1,交 E1G1于点 Q,推导出 EE1G1G 为等腰梯形,求出 E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出 sin∠GEM= ,由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在 CC1上的点为 M ,玻璃棒与水面的交点为 N,在平面 ACM 中,过 N 作 NP∥MC,交 AC于点 P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴ CC1⊥平面 ABCD,又∵ AC? 平面 ABCD,∴ CC1⊥AC,∴ NP⊥AC,∴NP=12cm,且 AM2=AC2+MC2,解得 MC=30cm,∵ NP∥MC,∴△ ANP∽△ AMC,∴= ,,得AN=16cm.∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在 GG1上的点为 M ,玻璃棒与水面的交点为 N,在平面 E1EGG1中,过点 N 作 NP⊥EG,交 EG于点 P,过点 E 作 EQ⊥ E1G1,交 E1G1于点 Q,∵ EFGH﹣ E1F1G1H1为正四棱台,∴ EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G 为等腰梯形,画出平面 E1EGG1的平面图,∵ E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得: E1E=40cm,∴sin∠EE1G1= ,sin∠EGM=sin∠EE1G1= ,cos∠EGM=﹣,根据正弦定理得:=,∴ sin∠EMG=,cos∠EMG=,∴sin∠GEM=sin(∠ EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠ EMG= ,∴ EN===20cm.∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm.【点】本考玻璃棒 l 没入水中部分的度的求法,考空中、面、面面的位置关系等基知,考推理能力、运算求解能力、空想象能力,考数形合思想、化与化思想,是中档.19.(16 分)于定的正整数k,若数列 { a n} 足:a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n(n>k)成立,称数列{ a n}是“P(k)数列”.( 1)明:等﹣1差数列 { a n } 是“P(3)数列”;( 2)若数列 { a n} 既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,明:{ a n} 是等差数列.【分析】(1)由意可知根据等差数列的性, a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=( a n+a n+3)+(a n﹣ 2+a n+2)+(a n﹣ 1+a n+1)═2×3a n,根据“P(k)数列”的定,可得﹣3数列 { a n} 是“P(3)数列”;( 2)由已知条件合( 1)中的,可得到 { a n} 从第 3 起等差数列,再通判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系,可知 { a n} 等差数列.【解答】解:( 1)明:等差数列 { a n} 首 a1,公差 d, a n =a1+(n 1)d,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3,=(a n﹣3+a n+3)+(a n﹣2+a n+2)+(a n﹣1+a n+1),=2a n +2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列 { a n} 是“P(3)数列”;( 2 )明:当n ≥ 4 ,因数列{ a n} 是 P( 3 )数列,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n,①因数列 { a n} 是“P( 2)数列”,所以 a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,③,②+③﹣①,得 2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n,即 2a n=a n﹣1+a n+1,( n≥ 4),因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列,设公差为d,注意到 a2+a3+a5+a6=4a4,所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣ a6=4(a3+d)﹣ a3﹣( a3+2d)﹣( a3+3d) =a3﹣ d,因为 a1+a2+a4+a5=4a3,所以 a1 =4a3﹣a2﹣ a4﹣a5=4(a2+d)﹣ a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前 3 项满足等差数列的通项公式,所以 { a n} 为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.( 16 分)已知函数 f( x) =x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f ′(x)的极值点是 f(x)的零点.(Ⅰ)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明: b2> 3a;(Ⅲ)若 f( x),f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ )通过对 f(x) =x3+ax2+bx+1 求导可知 g( x) =f (′x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知 g′(x)=6x+2a,通过令 g′( x) =0 进而可知 f ′(x)的极小值点为 x=﹣,从而 f(﹣)=0,整理可知 b=+ ( a>0),结合 f(x)=x3+ax2+bx+1( a> 0,b∈ R)有极值可知 f ′(x)=0 有两个不等的实根,进而可知 a>3.(Ⅱ)通过( 1)构造函数 h(a)=b2﹣3a=﹣+ =(4a3﹣27)( a3﹣ 27),结合 a> 3 可知 h( a)> 0,从而可得结论;(Ⅲ)通过( 1)可知 f ′(x)的极小值为 f (′﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知 y=f( x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式 b﹣ +﹣+2= ﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ )解:因为 f (x)=x3+ax2 +bx+1,所以 g(x)=f ′( x) =3x2 +2ax+b,g′(x)=6x+2a,令 g′(x)=0,解得 x=﹣.由于当 x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f(′x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f (′x)单调递减;所以 f ′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数 f ′(x)的极值点是原函数f( x)的零点,所以 f (﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以 b=+(a>0).因为 f (x) =x3+ax2 +bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以 f ′(x)=3x2+2ax+b=0 的实根,所以 4a2﹣12b≥ 0,即 a2﹣+≥0,解得a≥3,所以 b=+(a>3).(Ⅱ)证明:由( 1)可知 h(a)=b2﹣3a=﹣+ =(4a3﹣27)( a3﹣ 27),由于 a>3,所以 h(a)> 0,即 b2>3a;(Ⅲ)解:由( 1)可知 f ′(x)的极小值为 f ′(﹣)=b﹣,设 x1, 2 是y=f ()的两个极值点,则 1 2, 1 2,x x x +x =x x =所以 f (x1)+f ( 2)= +(+)+b( 1 2)+2 x+a x +x=(x1+x2)[ (x1+x2)2﹣3x1x2]+ a[ ( x1 +x2)2﹣2x1 x2]+ b(x1+x2)+2 =﹣+2,又因为 f(x), f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以 b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为 a>3,所以 2a3﹣63a﹣54≤0,所以 2a(a2﹣36)+9( a﹣6)≤ 0,所以( a﹣6)( 2a2+12a+9)≤ 0,由于 a>3 时 2a2+12a+9>0,所以 a﹣6≤0,解得 a≤6,所以 a 的取值范围是( 3,6] .【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二 .非选择题,附加题( 21-24 选做题)【选修 4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图, AB 为半圆 O 的直径,直线 PC切半圆 O 于点 C,AP⊥PC,P 为垂足.求证:(1)∠ PAC=∠CAB;(2) AC2 =AP?AB.【分析】( 1 )利用弦切角定理可得:∠ ACP=∠ ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.( 2)由( 1)可得:△ APC∽△ ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线 PC切半圆 O 于点 C,∴∠ ACP=∠ABC.∵AB为半圆 O 的直径,∴∠ ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠ APC=90°.∴∠ PAC=90°﹣∠ ACP,∠ CAB=90°﹣∠ ABC,∴∠ PAC=∠CAB.(2)由( 1)可得:△ APC∽△ ACB,∴ = .∴2AC =AP?AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[ 选修 4-2:矩阵与变换 ]22.已知矩阵 A=,B=.(1)求 AB;( 2)若曲线 C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2,求CC2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;( 2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点 P( x,y)为曲线 C1的任意一点,点P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′( x0,y0),则=,即x0, 0 ,=2y y =x∴x=y0,y= ,∴,即 x02+y02=8,∴曲线 C2的方程为 x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[ 选修 4-4:坐标系与参数方程 ]23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),曲线 C 的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P 到直线 l 的距离的最小值.【分析】求出直线 l 的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线 l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴ P 到直线 l 的距离 d==,∴当 s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修 4-5:不等式选讲]24.已知 a,b,c, d 为实数,且 a2+b2=4,c2+d2=16,证明 ac+bd≤ 8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令 a=2cos α,b=2sin α,c=4cos β,d=4sin β代入. ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:( ac+bd )2≤( a2+b2)( c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵ a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sin α,c=4cosβ,d=4sin β.∴ ac+bd=8( cosαcos+sinβ αsin)β=8cos(α﹣β)≤ 8.当且仅当cos(α﹣β) =1时取等号.因此 ac+bd≤ 8.另解:由柯西不等式可得:( ac+bd)2≤( a2+b2)(c2+d2)=4× 16=64,当且仅当时取等号.∴﹣ 8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】第27页(共 31页)AA1=,∠ BAD=120°.(1)求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值;(2)求二面角 B﹣A1D﹣ A 的正弦值.【分析】在平面 ABCD内,过 A 作 Ax⊥ AD,由 AA1⊥平面 ABCD,可得 AA1⊥ Ax,AA1⊥ AD,以 A 为坐标原点,分别以Ax、AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A, B, C, D,A1,1的坐标,进一步求出,C,,的坐标.( 1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与1所成角的余弦AC值;(2)求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣ A 的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面 ABCD内,过 A 作 Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax? 平面ABCD,∴ AA1⊥Ax, AA1⊥ AD,以 A 为坐标原点,分别以 Ax、AD、AA1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1= ,∠ BAD=120°,∴ A( 0, 0, 0),B(), C(, 1, 0),D(0,2,0),A ( 0, 0,),C ().11= (),= (),,.( 1)∵ cos<>==.∴异面直 A1B 与 1 所成角的余弦;AC( 2)平面 BA1D 的一个法向量,由,得,取 x=,得;取平面 A1 AD 的一个法向量.∴ cos<>==.∴二面角 B A1A 的余弦,二面角B1A的正弦D A D.【点】本考异面直所成的角与二面角,了利用空向量求空角,是中档.26.已知一个口袋有 m 个白球, n 个黑球( m,n∈N*,n≥2),些球除色外全部相同.将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如所示的号1,2,3,⋯,m+n 的抽内,其中第 k 次取出的球放入号k 的抽( k=1,2,3,⋯,m+n).123⋯m+n( 1)求号 2 的抽内放的是黑球的概率 p;( 2)随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数,E( X)是 X 的数学期望,明 E( X)<.【分析】(1)法一:事件 A i表示号i 的抽里放的是黑球,( 2)p=p A=P(A 2| A1)P(A1)+P(A2 |)P(),由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率.法二:按照同种模型的方法,黑球共有m+n 个位置,故排法有种,除去第二个位置放的黑球,剩下n+m 1 个位置,由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率.( 2)X 的所有可能取,⋯,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,⋯,n+m,从而(E X)=()=,由此能明(EX)<.【解答】解:(1)解法一:事件A i表示号 i 的抽里放的是黑球,p=p(A2)=P(A2| A1)P( A1)+P(A2|)P()===.解法二:按照同种模型的方法,黑球共有m+n 个位置,故排法有种,除去第二个位置放的黑球,剩下n+m 1 个位置,∴ 号 2 的抽内放的是黑球的概率p==.明:(2)∵ X 的所有可能取,⋯,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,⋯,n+m,∴ E( X) =()==<==?()第30页(共 31页)==,∴ E( X)<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.第31页(共 31页)。

2017年江苏数学高考试卷含答案和解析

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2017年江苏数学高考试卷一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D 的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且ta nα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若∥,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.1(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠P AC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).1 2 3 …m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏高考数学参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)(2017•江苏)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)(2017•江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)(2017•江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60辆进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)(2017•江苏)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)(2017•江苏)若tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α﹣)===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)(2017•江苏)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)(2017•江苏)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2,3],则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y=x,所以P(,),Q(,﹣),F1(﹣2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)(2017•江苏)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)(2017•江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f (a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[﹣1,].【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣的导数为:f′(x)=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f(x)为奇函数,则f(a﹣1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤﹣f(a﹣1)=f(1﹣a),即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)(2017•江苏)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且ta nα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=3.【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1].【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0+6y0+30≤0,即2x0+y0+5≤0,表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立,解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],故答案为:[﹣5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.14.(5分)(2017•江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)(2017•江苏)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC,AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,所以FG⊥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)(2017•江苏)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若∥,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最大值﹣2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)(2017•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标;【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)设P(x0,y0),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x﹣1),直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x+1),联立,解得:,则Q(﹣x0,),由Q在椭圆上,则y0=,则y02=x02﹣1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)(2017•江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG 于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos,根据正弦定理得:=,∴sin,cos,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)(2017•江苏)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.1(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=(a n﹣3+a n+3)+(a n﹣2+a n+2)+(a n﹣1+a n+1)═2×3a n,根据“P(k)数列”的定义,可得数列{a n}是“P(3)数列”;(2)由“P(k)数列”的定义,则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1,即可证明数列{a n}是等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n}首项为a1,公差为d,则a n=a1+(n﹣1)d,则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3,=(a n﹣3+a n+3)+(a n﹣2+a n+2)+(a n﹣1+a n+1),=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)证明:由数列{a n}是“P(2)数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n,①数列{a n}是“P(3)数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,②由①可知:a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1,③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,④由②﹣(③+④):﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得:2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.【分析】(1)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(2)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(3)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(1)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b>0,即a2﹣+>0,解得a>3,所以b=+(a>3).(2)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(3)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.(2017•江苏)如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠P AC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠P AC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠P AC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.(2017•江苏)已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y0),则=,即x0=2y,y0=x,∴x=y0,y=,∴,即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.(2017•江苏)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd化简,利用三角函数的单调性即可证明.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.(2017•江苏)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A1AD的一个法向量为.∴cos<>==.∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.(2017•江苏)已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).1 2 3 …m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E(X)<.【解答】解:(1)设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X)<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。

2017江苏高考数学真题(含答案)

2017江苏高考数学真题(含答案)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ,{}=+2,3B a a ,若A B I ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图,在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ,则12V V 的值是7.记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ,其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为S n ,已知36763,44S S ==, 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ,其中e 是自然数对数的底数,若()()2a-1+2a ≤f f 0,则实数a 的取值范围是 。

2017高考江苏卷数学试卷(解析版)

2017高考江苏卷数学试卷(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式:柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.球体积公式34π3R V =,其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合{1,2}A =,2{,3}B a a =+,若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位,则z 的模是 ▲ .【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=,故答案为18.4. 右图是一个算法流程图,若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-,故答案为-2. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---.故答案为75.6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ,则213223423V r r V r ππ⨯==.故答案为32. 7.记函数()f x D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ .【答案】59【解析】由260x x +-≥,即260x x --≤,得23x -≤≤,根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==,渐近线为y =,则P,Q,1(F,2F,则S ==9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时,显然不符合题意;当1q ≠时,3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩,解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则7812324a =⨯=. 10. 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.11.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-, 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥,所以数()f x 在R 上单调递增,221a a ≤-,即2120a a +-≤,解得112a -≤≤,故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 12. 如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】313. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=:上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[52,1]-α A CB(第12题)【解析】设(,)P x y ,由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ,易得250x y -+≤,由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩,可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩,由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ,可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ,学#科网则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证:(1)EF ∥平面ABC ; (2)AD ⊥AC .【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明:(1)在平面ABD 内,因为AB ⊥AD ,EF AD ⊥,所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC . (2)因为平面ABD ⊥平面BCD , 平面ABD I 平面BCD =BD ,BC ⊂平面BCD ,BC BD ⊥,所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ,所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ,BC AB B =I ,AB ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AD ⊥平面ABC , 又因为AC ⊂平面ABC , 所以AD ⊥AC.16.(本小题满分14分)已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)5π6x =(2)0x =时,取得最大值,为3; 5π6x =时,取得最小值,为23-.(2)π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为,所以ππ7π[,]666x +∈, 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,取到最小值23-.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上,且位于第一象限,过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】(1)22143x y +=(2) 【解析】解:(1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以12c a =,228a c=,解得2,1a c ==,于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.(2)由(1)知,1(1,0)F -,2(1,0)F .设00(,)P x y ,因为点P 为第一象限的点,故000,0x y >>. 当01x =时,2l 与1l 相交于1F ,与题设不符.当01x ≠时,直线1PF 的斜率为001y x +,直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥,22l PF ⊥,所以直线1l 的斜率为001x y -+,直线2l 的斜率为001x y --,从而直线1l 的方程:001(1)x y x y +=-+, ① 直线2l 的方程:001(1)x y x y -=--. ② 由①②,解得20001,x x x y y -=-=,所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上,由对称性,得20001x y y -=±,即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上,故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,无解.因此点P的坐标为4737(,).18.(本小题满分16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,11E G的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱1CC上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱1GG上,求l没入水中部分的长度.【答案】(1)16(2)20答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为24cm)(2)如图,O ,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1⊥平面 EFGH , 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ,O 1O ⊥EG . 同理,平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1,O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ,K 为垂足, 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14,E 1G 1= 62,所以KG 1=6214242-=,从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π,所以3cos 5α=-.在ENG △中,由正弦定理可得4014sin sin αβ=,解得7sin 25β=. 因为02βπ<<,所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2,过 P 2作P 2Q 2⊥EG ,Q 2为垂足,则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ,故P 2Q 2=12,从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶,则结果为20cm) 19.(本小题满分16分)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”.(1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】证明:(1)因为{}n a 是等差数列,设其公差为d ,则1(1)n a a n d =+-, 从而,当4n ≥时,n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=,1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6, 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.(2)数列{}n a 既是“()P 2数列”,又是“()3P 数列”,因此, 当3n ≥时,n n n n n a a a a a --+++++=21124,①当4n ≥时,n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知,n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++,③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+,④将③④代入②,得n n n a a a -++=112,其中4n ≥, 所以345,,,a a a L 是等差数列,设其公差为d'.在①中,取4n =,则235644a a a a a +++=,所以23a a d'=-, 在①中,取3n =,则124534a a a a a +++=,所以122a a d'=-, 所以数列{}n a 是等差数列.20.(本小题满分16分)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:23b a >;(3)若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值范围.【答案】(1)3a >(2)见解析(3)36a <≤【解析】解:(1)由32()1f x x ax bx =+++,得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时,()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=,又0a >,故2239a b a=+. 因为()f x 有极值,故()=0f x '有实根,从而231(27a )039a b a-=-≤,即3a ≥. 3a =时,()>0(1)f x x '≠-,故()f x 在R 上是增函数,()f x 没有极值;3a >时,()=0f x '有两个相异的实根1=3a x --,2=3a x -+列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >,因此2239a b a=+,定义域为(3,)+∞.(3)由(1)知,()f x 的极值点是12,x x ,且1223x x a +=-,22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ,()f x '所有极值之和为()h a ,因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+,所以213()=9h a a a-+,3a >. 因为223()=09h a a a '--<,于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -,于是()(6)h a h ≥,故6a ≤.因此a 的取值范围为(36],.数学II21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题......,并在相应的答题区域内作...........答.,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1);PAC CAB∠=∠(2)2AC AP AB=⋅.【答案】见解析【解析】证明:(1)因为PC切半圆O于点C,所以PCA CBA=∠∠,因为AB为半圆O的直径,所以90ACB=︒∠,因为AP⊥PC,所以90APC=︒∠,所以PAC CAB∠=∠.(2)由(1)知APC ACB△∽△,故AP ACAC AB=,所以2·AC AP AB=B. [选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线221:182x yC+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2C,求2C的方程. 【答案】(1)(2)228x y+=【解析】解:(1)因为A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦,所以AB=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C. [选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值. 45【解析】解:直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上,设2(2,22)P s s , 从而点P 到直线l 的的距离2222422)5(1)(2)s d ==-+-当2s =min 45d =因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知,,,a b c d 为实数,且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【解析】证明:由柯西不等式可得:22222()()()ac bd a b c d +≤++, 因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤, 因此8ac bd +≤.【必做题】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内...........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值; (2)求二面角B-A 1D-A 的正弦值.【答案】(1)17(2)7(1) 11(3,1,3),(3,13)A B AC =--=u u u r u u u u r,则111111(3,1,3)(3,1,3)1 cos,77||||A B ACA B ACA B AC⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.从而(3,0,0)(3,3,2)3cos,4||||34AEAEAE⋅⋅===⨯u u u ru u u ru u u r mmm,设二面角B-A1D-A的大小为θ,则3|cos|4θ=.因为[0,]θ∈π,所以27sin1cosθθ=-=.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.23.(本小题满分10分)已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】(1)nm n+(2)见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为:11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.。

2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)

2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)

2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱CC 1上,求l 没入水中部分的长度;(2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱GG 1上,求l 没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列.20.(16分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +1(a >0,b ∈R )有极值,且导函数f′(x )的极值点是f (x )的零点.(Ⅰ)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b 2>3a ;(Ⅲ)若f (x ),f′(x )这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a 的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP ⊥PC ,P 为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB ;(2)AC 2 =AP•AB .[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,当a=1时,A={1,1},B={1,4},成立;a2+3=1无解.综上,a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60件进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α﹣)===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2,3],则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y=±x,所以P(,),Q(,﹣),F1(﹣2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[﹣1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R 上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣的导数为:f′(x)=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f(x)为奇函数,则f(a﹣1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤﹣f(a﹣1)由f(﹣(a﹣1))=﹣f(a﹣1),f(2a2)≤f(1﹣a),即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=3.【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域,联立,解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],故答案为:[﹣5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最小值﹣2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标;方法二:设P(m,n),当m≠1时,=,=,求得直线l 1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)方法一:设P(x 0,y0),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x﹣1),直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k1=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),联立,解得:,则Q(﹣x0,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=,∴y02=x02﹣1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).方法二:设P(m,n),由P在第一象限,则m>0,n>0,当m=1时,不存在,解得:Q与F 1重合,不满足题意,当m≠1时,=,=,由l 1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),①直线l2的方程y=﹣(x﹣1),②联立解得:x=﹣m,则Q(﹣m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2﹣n2=1,或m2+n2=1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos∠EGM=﹣,根据正弦定理得:=,∴sin∠EMG=,cos∠EMG=,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1), =2a n +2a n +2a n , =2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ,②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,③,②+③﹣①,得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n,即2a n=a n﹣1+a n+1,(n≥4),因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4(a3+d)﹣a3﹣(a3+2d)﹣(a3+3d)=a3﹣d,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,所以b=+(a>3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y0),则=,即x0=2y,y0=x,∴x=y0,y=,∴,即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当时取等号.∴﹣8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA 1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A 1AD的一个法向量为.∴cos<>==.∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A 2|A1)P(A1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E(X)<.【解答】解:(1)解法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A 2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.解法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X )<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.第31页(共31页)。

2017年高考真题——数学(江苏卷) 含解析

2017年高考真题——数学(江苏卷) 含解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。

5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合{}=1,2A ,{}=+2,3B a a ,若A B ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件4.右图是一个算法流程图,若输入x 的值为116,则输出的y 的值是5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= 6.如图,在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切。

记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ,则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈ D 的概率是 8.在平面直角坐标系xoy k ,双曲线2213x y -= 的右准线与学科&网它的两条渐近线分别交于点P,Q ,其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为Sn ,已知36763,44S S ==, 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是11.已知函数()3xx 12x+e -e -f x =x ,其中e 是自然数对数的底数,若()()2a-1+2a ≤f f 0,则实数a 的取值范围是 。

2017年江苏省高考数学卷及答案解析

2017年江苏省高考数学卷及答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考试 时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。

5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。

1.(5分)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a 的值为 . 2.(5分)已知复数z =(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是 . 3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.(5分)如图是一个算法流程图,若输入x 的值为161,则输出y 的值是 .(第4题) (第6题) (第12题) 5.(5分)若tan (α﹣4 )=61.则tan α= .6.(5分)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则21V V 的值是 . 7.(5分)记函数f (x )=26x x -+定义域为D .在区间[﹣4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 .8.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是 . 9.(5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项为S n ,已知S 3=47,S 6=463,则a 8= . 10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 11.(5分)已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=,其中e 是自然对数的底数.若)2()1(2a f a f +-≤0.则实数a 的取值范围是 .12.(5分)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC =m OA +n OB (m ,n ∈R ),则m +n = .13.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,A (﹣12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若PB PA ⋅≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .14.(5分)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2,其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ,则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分。

2017年江苏省高考数学卷及答案解析

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包含非选择题(第1题 ~ 第20题,共20题).本卷满分为160分,考试 时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作 答一律无效。

5.如需改动,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。

1.(5分)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a 的值为 . 2.(5分)已知复数z =(1+i )(1+2i ),其中i 是虚数单位,则z 的模是 . 3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 4.(5分)如图是一个算法流程图,若输入x 的值为161,则输出y 的值是 .(第4题) (第6题) (第12题) 5.(5分)若tan (α﹣4 )=61.则tan α= .6.(5分)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则21V V 的值是 . 7.(5分)记函数f (x )=26x x -+定义域为D .在区间[﹣4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 .8.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是 . 9.(5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项为S n ,已知S 3=47,S 6=463,则a 8= . 10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 11.(5分)已知函数x xee x x xf 12)(3-+-=,其中e 是自然对数的底数.若)2()1(2a f a f +-≤0.则实数a 的取值范围是 .12.(5分)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为1,1,2,OA 与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m +n (m ,n ∈R ),则m +n = .13.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,A (﹣12,0),B (0,6),点P 在圆O :x 2+y 2=50上.若⋅≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 .14.(5分)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,⎩⎨⎧∉∈=Dx x D x x x f ,,)(2,其中集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==*,1|N n n n x x D ,则方程0lg )(=-x x f 的解的个数是 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分。

2017年江苏卷高考数学试卷及参考答案与试题解析

2017年江苏卷高考数学试卷及参考答案与试题解析

2017年江苏卷高考数学试卷及参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α-)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{an }的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)-lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,-),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{an }满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k =2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求实数a的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的…,m+n).p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为 1 .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,当a=1时,A={1,1},B={1,4},成立;a2+3=1无解.综上,a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1-2+3i=-1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18 件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60件进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是-2 .【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2-=-2,故答案为:-2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)若tan(α-)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α-)===∴6tanα-6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果. 【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R 3,圆柱的体积为:πR 2•2R =2πR 3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 .【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可. 【解答】解:由6+x -x 2≥0得x 2-x -6≤0,得-2≤x ≤3, 则D =[-2,3],则在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率P ==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F 1,F 2,则四边形F 1PF 2Q 的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q 坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线-y 2=1的右准线:x =,双曲线渐近线方程为:y =±x,所以P(,),Q(,-),F1(-2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)等比数列{an }的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=32 .【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是30 .【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[-1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1-a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3-2x+e x-的导数为:f′(x)=3x2-2+e x+≥-2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(-x)+f(x)=(-x)3+2x+e-x-e x+x3-2x+e x-=0,可得f(x)为奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤-f(a-1)由f(-(a-1))=-f(a-1),f(2a2)≤f(1-a),即有2a2≤1-a,解得-1≤a≤,故答案为:[-1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n= 3 .【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα-sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m-n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[-5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y),则有x2+y2=50,=(-12-x0,-y)•(-x,6-y)=(12+x)x-y(6-y)=12x+6y+x2+y2≤20,化为:12x0-6y+30≤0,即2x0-y+5≤0,表示直线2x-y+5=0以及直线上方的区域,联立,解可得x0=-5或x=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x的取值范围是[-5,1],故答案为:[-5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)-lgx=0的解的个数是8 .【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)-lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D 不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,-),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,-),∥,∴-cosx=3sinx,∴tanx=-,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx-sinx=2(cosx-sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴-1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最小值-2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2-c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x2-1,联立即可求得P点坐标;方法二:设P(m,n),当m≠1时,=,=,求得直线l1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标. 【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)方法一:设P(x0,y),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=-,直线l2的方程y=-(x-1),直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k1=-,直线l1的方程y=-(x+1),联立,解得:,则Q(-x,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y=,∴y02=x2-1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).方法二:设P(m,n),由P在第一象限,则m>0,n>0,当m=1时,不存在,解得:Q与F1重合,不满足题意, 当m≠1时,=,=,由l1⊥PF1,l2⊥PF2,则=-,=-,直线l1的方程y=-(x+1),①直线l2的方程y=-(x-1),②联立解得:x=-m,则Q(-m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2-n2=1,或m2+n2=1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH-E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1 ,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos∠EGM=-,根据正弦定理得:=,∴sin∠EMG=,cos∠EMG=,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)对于给定的正整数k,若数列{an }满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k =2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an }既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1)═2×3an,根据“P(k)数列”的定义,可得数列{an}是“P(3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{an }从第3项起为等差数列,再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系,可知{an}为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{an }首项为a1,公差为d,则an=a1+(n-1)d,则an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3,=(an-3+an+3)+(an-2+an+2)+(an-1+an+1),=2an +2an+2an,=2×3an,∴等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)证明:当n≥4时,因为数列{an }是P(3)数列,则an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,①因为数列{an }是“P(2)数列”,所以an-2+an-1+an+1+an+2=4an,②则an-1+an+an+2+an+3=4an+1,③,②+③-①,得2an =4an-1+4an+1-6an,即2an=an-1+an+1,(n≥4),因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=4a4-a3-a5-a6=4(a3+d)-a3-(a3+2d)-(a3+3d)=a3-d,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3-a2-a4-a5=4(a2+d)-a2-(a2+2d)-(a2+3d)=a2-d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{an}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=-,从而f(-)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2-3a=-+=(4a3-27)(a3-27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(-)=b-,利用韦达定理及完全平方关系可知y =f(x)的两个极值之和为-+2,进而问题转化为解不等式b-+-+2=-≥-,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=-.由于当x>-时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<-时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=-,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(-)=0,即-+-+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,所以4a2-12b≥0,即a2-+≥0,解得a≥3,所以b=+(a>3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2-3a=-+=(4a3-27)(a3-27), 由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(-)=b-,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+a[(x1+x2)2-2x1x2]+b(x1+x2)+2=-+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,所以b-+-+2=-≥-,因为a>3,所以2a3-63a-54≤0,所以2a(a2-36)+9(a-6)≤0,所以(a-6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a-6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°-∠ACP,∠CAB=90°-∠ABC,∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y),则=,即x0=2y,y=x,∴x=y,y=,∴,即x02+y2=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α-β)≤8.当且仅当cos(α-β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当时取等号. ∴-8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B-A1D-A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD, ∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A 1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A1AD的一个法向量为.∴cos<>==.∴二面角B-A1D-A的余弦值为,则二面角B-A1D-A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的…,m+n).p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)法一:设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m-1个位置,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E(X)<.【解答】解:(1)解法一:设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.解法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m-1个位置,∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X)<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。

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2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱CC 1上,求l 没入水中部分的长度;(2)将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处,另一端置于侧棱GG 1上,求l 没入水中部分的长度.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 20.(16分)已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +1(a >0,b ∈R )有极值,且导函数f′(x )的极值点是f (x )的零点.(Ⅰ)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)证明:b 2>3a ;(Ⅲ)若f (x ),f′(x )这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a 的取值范围.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ,AP ⊥PC ,P 为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB ; (2)AC 2 =AP•AB .[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解:∵集合A={1,2},B={a,a2+3}.A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,当a=1时,A={1,1},B={1,4},成立;a2+3=1无解.综上,a=1.故答案为:1.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:复数z=(1+i)(1+2i)=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==.故答案为:.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取18件.【分析】由题意先求出抽样比例即为,再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目.【解答】解:产品总数为200+400+300+100=1000件,而抽取60件进行检验,抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为:18【点评】本题的考点是分层抽样.分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值,在各层中进行抽取.4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是﹣2.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解:初始值x=,不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累,属于基础题.5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解:∵tan(α﹣)===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为:.【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.【分析】设出球的半径,求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解:设球的半径为R,则球的体积为:R3,圆柱的体积为:πR2•2R=2πR3.则==.故答案为:.【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.【分析】求出函数的定义域,结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0,得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2,3],则在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率P==,故答案为:【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,结合函数的定义域求出D,以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键.8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程,得到P,Q坐标,求出焦点坐标,然后求解四边形的面积.【解答】解:双曲线﹣y2=1的右准线:x=,双曲线渐近线方程为:y=±x,所以P(,),Q(,﹣),F1(﹣2,0).F2(2,0).则四边形F1PF2Q的面积是:=2.故答案为:2.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n,已知S3=,S6=,则a8=32.【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=,S6=,∴=,=,解得a1=,q=2.则a8==32.故答案为:32.【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是30.【分析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240(万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为:30.【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a ﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是[﹣1,] .【分析】求出f(x)的导数,由基本不等式和二次函数的性质,可得f(x)在R 上递增;再由奇偶性的定义,可得f(x)为奇函数,原不等式即为2a2≤1﹣a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解:函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣的导数为:f′(x)=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f(x)在R上递增;又f(﹣x)+f(x)=(﹣x)3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f(x)为奇函数,则f(a﹣1)+f(2a2)≤0,即有f(2a2)≤﹣f(a﹣1)由f(﹣(a﹣1))=﹣f(a﹣1),f(2a2)≤f(1﹣a),即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用,注意运用导数和定义法,考查转化思想的运用和二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=3.【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.∴cosα=,sinα=.∴C.cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.∴B.∵=m+n(m,n∈R),∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=.则m+n=3.故答案为:3.【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是[﹣5,1] .【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,化为:12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域,联立,解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],故答案为:[﹣5,1].【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8.【分析】由已知中f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f (x)=,其中集合D={x|x=,n∈N*},分析f(x)的图象与y=lgx 图象交点的个数,进而可得答案.【解答】解:∵在区间[0,1)上,f(x)=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f(x)是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1,2)上,f(x)=,此时f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;同理:区间[2,3)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[3,4)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[4,5)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[5,6)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[6,7)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[7,8)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;区间[8,9)上,f(x)的图象与y=lgx有且只有一个交点;在区间[9,+∞)上,f(x)的图象与y=lgx无交点;故f(x)的图象与y=lgx有8个交点;即方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为:8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,函数的图象和性质,转化思想,难度中档.二.解答题15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论.【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以由线面平行判定定理可知:EF∥平面ABC;(2)在线段CD上取点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,因为BC⊥BD,FG∥BC,所以FG⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD,所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF,且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG,所以AD⊥EG,故AD⊥AC.【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定,考查空间想象能力,考查转化思想,涉及线面平行判定定理,线面垂直的性质及判定定理,注意解题方法的积累,属于中档题.16.(14分)已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].(1)若,求x的值;(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=﹣,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解:(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0,π],∴x=,(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos(x+)≤,当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,当x=时,f(x)有最小值,最小值﹣2.【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±,则2×=8,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;(2)设P点坐标,分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率,则即可求得l2及l1的斜率及方程,联立求得Q点坐标,由Q在椭圆方程,求得y02=x02﹣1,联立即可求得P点坐标;方法二:设P(m,n),当m≠1时,=,=,求得直线l 1及l1的方程,联立求得Q点坐标,根据对称性可得=±n2,联立椭圆方程,即可求得P点坐标.【解答】解:(1)由题意可知:椭圆的离心率e==,则a=2c,①椭圆的准线方程x=±,由2×=8,②由①②解得:a=2,c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程:;(2)方法一:设P(x 0,y0),则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣,直线l2的方程y=﹣(x﹣1),直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k1=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),联立,解得:,则Q(﹣x0,),由P,Q在椭圆上,P,Q的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则y0=,∴y02=x02﹣1,则,解得:,则,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).方法二:设P(m,n),由P在第一象限,则m>0,n>0,当m=1时,不存在,解得:Q与F 1重合,不满足题意,当m≠1时,=,=,由l 1⊥PF1,l2⊥PF2,则=﹣,=﹣,直线l1的方程y=﹣(x+1),①直线l2的方程y=﹣(x﹣1),②联立解得:x=﹣m,则Q(﹣m,),由Q在椭圆方程,由对称性可得:=±n2,即m2﹣n2=1,或m2+n2=1,由P(m,n),在椭圆方程,,解得:,或,无解,又P在第一象限,所以P的坐标为:P(,).【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查直线的斜率公式,考查数形结合思想,考查计算能力,属于中档题.18.(16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.【分析】(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过N作NP∥MC,交AC于点P,推导出CC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC,NP⊥AC,求出MC=30cm,推导出△ANP∽△AMC,由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,推导出EE1G1G为等腰梯形,求出E1Q=24cm,E1E=40cm,由正弦定理求出sin∠GEM=,由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度.【解答】解:(1)设玻璃棒在CC1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中,过N作NP∥MC,交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱,∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC,∴NP⊥AC,∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2,解得MC=30cm,∵NP∥MC,∴△ANP∽△AMC,∴=,,得AN=16cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(2)设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG,交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1,交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台,∴EE1=GG1,EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm,EG=14cm,EQ=32cm,NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得:E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=,sin∠EGM=sin∠EE1G1=,cos∠EGM=﹣,根据正弦定理得:=,∴sin∠EMG=,cos∠EMG=,∴sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=,∴EN===20cm.∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.19.(16分)对于给定的正整数k ,若数列{a n }满足:a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立,则称数列{a n }是“P (k )数列”.(1)证明:等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”,又是“P (3)数列”,证明:{a n }是等差数列. 【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=(a n﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1)═2×3a n ,根据“P (k )数列”的定义,可得数列{a n }是“P (3)数列”;(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{a n }从第3项起为等差数列,再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系,可知{a n }为等差数列.【解答】解:(1)证明:设等差数列{a n }首项为a 1,公差为d ,则a n =a 1+(n ﹣1)d ,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=(a n ﹣3+a n +3)+(a n ﹣2+a n +2)+(a n ﹣1+a n +1), =2a n +2a n +2a n , =2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P (3)数列”;(2)证明:当n ≥4时,因为数列{a n }是P (3)数列,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ,①因为数列{a n }是“P (2)数列”,所以a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n ,②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1,③,②+③﹣①,得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n,即2a n=a n﹣1+a n+1,(n≥4),因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4(a3+d)﹣a3﹣(a3+2d)﹣(a3+3d)=a3﹣d,因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,也即前3项满足等差数列的通项公式,所以{a n}为等差数列.【点评】本题考查等差数列的性质,考查数列的新定义的性质,考查数列的运算,考查转化思想,属于中档题.20.(16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.【分析】(Ⅰ)通过对f(x)=x3+ax2+bx+1求导可知g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,进而再求导可知g′(x)=6x+2a,通过令g′(x)=0进而可知f′(x)的极小值点为x=﹣,从而f(﹣)=0,整理可知b=+(a>0),结合f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值可知f′(x)=0有两个不等的实根,进而可知a>3.(Ⅱ)通过(1)构造函数h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),结合a>3可知h(a)>0,从而可得结论;(Ⅲ)通过(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,利用韦达定理及完全平方关系可知y=f(x)的两个极值之和为﹣+2,进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因式分解即得结论.【解答】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,所以b=+(a>3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,考查运算求解能力,考查转化思想,注意解题方法的积累,属于难题.二.非选择题,附加题(21-24选做题)【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分0分)21.如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足.求证:(1)∠PAC=∠CAB;(2)AC2 =AP•AB.【分析】(1)利用弦切角定理可得:∠ACP=∠ABC.利用圆的性质可得∠ACB=90°.再利用三角形内角和定理即可证明.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,即可证明.【解答】证明:(1)∵直线PC切半圆O于点C,∴∠ACP=∠ABC.∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°.∵AP⊥PC,∴∠APC=90°.∴∠PAC=90°﹣∠ACP,∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB.(2)由(1)可得:△APC∽△ACB,∴=.∴AC2 =AP•AB.【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵A=,B=.(1)求AB;(2)若曲线C1:=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.【分析】(1)按矩阵乘法规律计算;(2)求出变换前后的坐标变换规律,代入曲线C1的方程化简即可.【解答】解:(1)AB==,(2)设点P(x,y)为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′(x0,y0),则=,即x0=2y,y0=x,∴x=y0,y=,∴,即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8.【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.【分析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离.【解答】解:直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时,d取得最小值=.【点评】本题考查了参数方程的应用,属于基础题.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd≤8.【分析】a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.代入ac+bd 化简,利用三角函数的单调性即可证明.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即可得出.【解答】证明:∵a2+b2=4,c2+d2=16,令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.∴ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号.因此ac+bd≤8.另解:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64,当且仅当时取等号.∴﹣8≤ac+bd≤8.【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【必做题】25.如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.【分析】在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,由AA1⊥平面ABCD,可得AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.结合已知求出A,B,C,D,A1,C1的坐标,进一步求出,,,的坐标.(1)直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量,再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值,进一步得到正弦值.【解答】解:在平面ABCD内,过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD,AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax,AA1⊥AD,以A为坐标原点,分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,∴A(0,0,0),B(),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,),C1().=(),=(),,.(1)∵cos<>==.∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为;(2)设平面BA 1D的一个法向量为,由,得,取x=,得;取平面A1AD 的一个法向量为.∴cos <>==.∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为,则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为.【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角,训练了利用空间向量求空间角,是中档题.26.已知一个口袋有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明E(X)<.【分析】(1)法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P(),由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率.(2)X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,从而E(X)=()=,由此能证明E(X)<.【解答】解:(1)解法一:设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p(A 2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|)P()===.解法二:按照同种模型的方法,对黑球共有m+n个位置,故总排法有种,除去第二个位置放的黑球,还剩下n+m﹣1个位置,∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==.证明:(2)∵X的所有可能取值为,…,,P(x=)=,k=n,n+1,n+2,…,n+m,∴E(X)=()==<==•()==,∴E(X)<.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.。

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