2018江苏高考数学试题及答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．

2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．

5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．

7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-

+=22

2sin ππ

ϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为

c 2

3

，则其离心率的值是

． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x

x f π， 则()()

15f f 的值为 ．

10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．

11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122

3

在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最

小值的和为 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与

直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．

13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，ο

120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，

且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．

14．已知集合{

}*

∈-==N

n n x x A ,12|，{}*

∈==N n x x B n

,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排

列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．

16．（本小题满分14分）

已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=，5cos()αβ+=．

（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．

17．（本小题满分14分）

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧

MPN （P 为此圆弧的中点）

和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为

4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1

(3,)2，焦点

12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；

（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26

，求直线l 的方程．

19．（本小题满分16分）

记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．

（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；

（3）已知函数2

()f x x a =-+，e ()x

b g x x

=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在

区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；

（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．