2012年考研数学三试题
2012年考研数学三真题及标准答案
2012年考研数学三真题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)(1)曲线y=x 2+xx2−1渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。
【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2−1=1=limx→−∞y=limx→−∞x2+xx2−1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;由limx→1y=limx→1x2+xx−1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线;由limx→−1y=limx→−1x2+xx−1=12得x=−1不是曲线的渐近线;综上所述,本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n),其中n为正整数,则f′(0)=(A)(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!(C)(−1)n−1(n)! (D)(−1)n(n)!【答案】A【解析】【方法1】令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n),则f (x )=(e x −1)g (x )f ′(x)=e xg (x )+(e x −1)g′(x )f ′(0)=g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!故应选A.【方法2】由于f (0)=0,由导数定义知f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.【方法3】排除法,令n =2,则f (x )=(e x −1)(e 2x −2)f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)f ′(0)=1−2=−1则(B)(C)(D)均不正确综上所述,本题正确答案是(A )【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续,则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2(B) ∫dx 20∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。
2012年考研数学(三)真题
2
,
X3
X4 2
2 2
~
x2
1
,
X1
X2 2
X3
X4 2
2
2
1 X1 X 2 ~ t 1
X3 X4 2
。
二、填空题 9.
【答案】 e 2
【解析】
1
lim(tan x)cos xsin x
1
lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
lim tan x1
ex cos xsin x 4
(y) 6y 1 y2 C
C(x, y) 20x x2 6 y 1 y2 C
6. 【答案】B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Q
【解析】
P
1 0
1 0
0 1
Q
1
1 0
1 0
0 1
P
1
,可得
Q
1
AQ
1 0
1 0
0 1
P
1
AP
1 0
1 0
0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0
Q 1 AQ
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
f (x 2 y 2 )dy
(B) 0
2x x2
2
4x2
dx
x 2 y 2 f (x 2 y 2 )dy
(C) 0
1 2 x x2
2
4x2
dx
f (x 2 y 2 )dy
(D) 0
1 2 x x2
(1) n
4.已知级数 i1
2012年考研数学三真题
2012年考研数学三真题2012年考研数学三真题一、选择题1.已知当x→0时,函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03.设是数列,则下列命题正确的是A若收敛,则收敛B若收敛,则收敛C若收敛,则收敛D若收敛,则收敛4.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A为3阶矩阵,将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=A B C D14.设二维随机变量(X,Y)服从,则三、解答题15.求极限16.已知函数具有连续的二阶偏导数,是的极值,。
求17.求18.证明恰有2实根。
19.在有连续的导数,,且,,求的表达式。
20.,,不能由,,线性表出, 求;‚将,,由,,线性表出。
21.A为三阶实矩阵,,且(1)求A的特征值与特征向量;(2)求A。
22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求:(1)(X,Y)的分布;(2)Z=XY的分布;(3)23.(X,Y)在G上服从均匀分布,G由x-y=0,x+y=2与y=0围成。
(1)求边缘密度;(2)求。
答案:一选择题CBABBCDD二填空题9. 10. 11.2x+y=012. 13. 14.三解答题15.解:原式=16.解:由于是的极值,可知故18.证明:19.解:21.解:1)22.解:Y-101X01/301/3 01/301/31/3 11/31/31/3Z-101P1/31/31/323.解:如图。
2012真题数三全
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析:211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-,故1y =是水平渐近线. 1lim x y →=∞,故1x =是垂直渐近线.11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-,故1x =-不是渐近线.无斜渐近线,故选C.(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则'(0)f =( ) (A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n - 【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★解析:方法一、由导数定义知:200()(0)(1)(2)()0(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→-----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选A.方法二、22()(1)[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx f x e e e n e e e n '''=---+---L L 22[(2)()](1)[(2)()]x x nx x x nx e e e n e e e n '=--+---L L20(0)(12)(1)(1)[(2)()]x x nx x f n e e e n =''=--+---L L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L 故选(A ).(3)设函数()f t 连续,则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A ) 222422222d ()d x x xx x y f x y y --++⎰⎰(B ) 22242202d ()d x x xx f x y y --+⎰⎰(C ) 2224222211d ()d y yy x y f x y x -+-++⎰⎰(D ) 222422011d ()d y yy f x y x -+-+⎰⎰【答案】B【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析:2cos r θ=,对应过原点且圆心在)0,1(点的圆 即221(1)x y =-+;2r =对应圆心在原点,半径为2的圆, 即224x y +=及0x =, 区域D 如图,因此22242202d ()d x x x I x f x y y --=+⎰⎰.故选(B ).(4)已知级数11(1)sin nn n n α∞=-∑绝对收敛,级数21(1)n n nα∞-=-∑条件收敛,则( )(A )102α<≤(B )112α<≤ (C )312α<≤ (D )322α<< 【答案】D【考点】p 级数及其收敛性 【难易度】★★★ 【详解】解析:因为11(1)sinn n n n α∞=-∑绝对收敛 所以11sinn n nα∞=∑收敛 等价于111211n n n n n αα∞∞-===∑∑收敛所以112α->即32α>又因为21(1) n n n α∞-=-∑条件收敛,即21(1) nn nα∞-=-∑收敛,211 n n α∞-=∑发散 所以021α<-≤,即12α≤< 综上,322α<<.故选(D ).(5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A )123,,ααα (B ) 124,,ααα (C )134,,ααα (D )234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】解析:(A )1231123001,,011c c c c ααα=-=-不恒为零, (B )1241124001,,011c c c c ααα-==不恒为零,(C )13412311,,0110c c c ααα-=-=, (D )23443342342341101111,,111100c c c c c c c c c c ααα--=-==-=-不恒为零,所以134,,ααα必线性相关.故选(C ).(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则1Q AQ -= ( )(A ) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B ) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C ) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析:12100110(1)001Q P PE ⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭,又⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-100011001)1(112E故111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选B. (7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则{}221P X Y +≤=( )(A )14 (B ) 12 (C ) 8π (D )4π【答案】D【考点】常见二维随机变量的分布 【难易度】★★ 【详解】解析:方法一:因为随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布所以(,)X Y 服从{}(,)01,01x y x y <<<<上的二维均匀分布, 所以根据面积之比得{}2214P X Y π+≤=故选D.方法二:因为随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布故1,01,01,(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其他从而{}222222111(,)14D x y x y P X Y f x y dxdy dxdy S π+≤+≤+≤====⎰⎰⎰⎰.故选D.(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本,则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A )N (0,1) (B )t (1) (C )2(1)χ (D )(1,1F ) 【答案】B【考点】2χ分布;t 分布【难易度】★★★★ 【详解】解析:方法一:关于统计量四大抽样分布,其定义形式各有特点,(A )正态分布自然不必多作说明,(C )222212(),~(0,1),1,2,,n i n x x x x N i n χ=+++=L L ;分布形式上的重点在于是平方和的形式,(D )nn m m n m F )()(),(22χχ=分布形式上的重点在于平方和的比,(B )nn N n t )()1,0()(2χ=分布形式上的重点在于开方后的比;由于统计量1234|2|X X X X -+-符合t 分布的形式,而不符合其他分布,故选(B )方法二:因为2(1,)i X N σ:,所以212(0,2)X X N σ-:(0,1)N :, 234(2,2)X X N σ+:(0,1)N :,22342(2)(1)2X X χσ+-:. 又1234,,,X X X X与2342(2)2X X σ+-也相互独立,于是(1)t :,即1234(1)|2|X X t X X -+-:. 故选B.二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=【答案】e【考点】两个重要极限 【难易度】★★★ 【详解】解析:求1∞型极限441cos sin 411(tan 1)tan 1cos sin 4tan 1limcos sin (sin cos )cos limcos sin lim(tan )lim(1tan 1)x x x xx x x x xx x x x x x xx xx x e ee ππππ→→-→---→----=+-===(10)设函数()ln ,121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩, ()()y f f x =,则x e dy dx ==【答案】1e【考点】复合函数;复合函数求导 【难易度】★★★ 【详解】解析:复合函数求导,[()]()[()]()x ex ey f f x f x f f e f e =='''''==因为1()2f e ==,11()(ln )22x ef e x e =''==,121()(21)22x f x =''=-=所以111()()222x edyf f e dxe e=''==⋅=.(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =【答案】2dx dy -【考点】无穷小量的比较;全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★★ 【详解】解析:根据全微分的定义,若当0,0→∆→∆y x 时()()22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆,即()()0lim220=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆y x yB x A z y x 或()()0)()(),(),(lim2020000000=-+--+---→→y y x x y y B x x A y x f y x f y y x x ,则),(y x f z =可微,并有yz B x z A ∂∂=∂∂=,。
2012年考研数学三真题与答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =( )(A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3)设函数()f t 连续,则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛,级数21(1)n a n n∞-=-∑条件收敛,则( )(A)102a <≤(B)112a <≤ (C)312a <≤ (D)322a << (5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B)124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(123,,ααα),1223(,,)ααααα=+,则1Q AQ -=( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则{}221P X Y +≤=( )(A)14 (B)12 (C)8π (D)4π (8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(σ>0)的简单随机样本,则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为( )(A)N (0,1) (B)t(1) (C)2(1)χ (D)F(1,1)二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩, ()()y f f x =,则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵,3A =,*A 为A 的伴随矩阵。
2012数学三真题及答案解析
2012考研数学三真题1.选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数为( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2)设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…(-),其中n 为正整数,则(0)f '=( )(A )1(1)(1)!n n --- (B )(1)(1)!n n -- (C )1(1)!n n -- (D )(1)!n n -(3)设函数()f t 连续,则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ⎰⎰=( )(A )2224222202()x x x dx x y f x y dy --++⎰⎰ (B )22242202()x x x dx f x y dy --+⎰⎰(C )2222220214()2x dx x y f x y dy x x -+++-⎰⎰(D )22220214()2x dx f x y dy x x -++-⎰⎰(4)已知级数11(1)sin ni n n α∞=-∑绝对收敛,21(1)ni nα∞-=-∑条件收敛,则α范围为( )(A )0<α12≤ (B )12< α≤1 (C )1<α≤32 (D )32<α<2 (5)设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ,,,为任意常数,则下列向量组线性相关的是( ) (A )123ααα,, (B )124ααα,, (C )134ααα,, (D )234ααα,,(6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且P -1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 123=P ααα(,,),1223=Q αααα(+,,)则1=Q AQ -() (A )121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B )112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ (C )212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D )221⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则+P X Y ≤22{1}( ) (A )14 (B )12 (C )8π (D )4π (8)设1234X X X X ,,,为来自总体N σσ>2(1,)(0)的简单随机样本,则统计量1234|+-2|X X X X -的分布( )(A )N (0,1) (B )(1)t (C )2(1)χ (D )(1,1)F 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→(10)设函数0ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.(11)函数(,)z f x y =满足221(,)22lim0,(1)x y f x y x y x y →→-+-=+-则(0,1)dz =_______.(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.(13)设A 为3阶矩阵,|A |=3,A *为A 的伴随矩阵,若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ,则|BA *|=________. (14)设A,B,C 是随机事件,A,C 互不相容,11(),(),23P AB P C ==则C P AB ()=_________.三、 解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)计算222cos 40lim x xx e e x-→- (16)(本题满分10分) 计算二重积分xDe xydxdy ⎰⎰,其中D 为由曲线1y x y x==与所围区域.(17)(本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入的固定成本为10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件),且固定两种产品的边际成本分别为20+2x(万元/件)与6+y (万元/件).1)求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y (万元)2)当总产量为50件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?求最小的成本.3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义.(18)(本题满分10分)证明:21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<- (19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=1)求表达式()f x2)求曲线的拐点220()()xy f x f t dt =-⎰(20)(本题满分10分)设1001010100100010a a A b a a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, (I )求|A|(II )已知线性方程组Ax b =有无穷多解,求a ,并求Ax b =的通解. (21)(本题满分10分)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2, (1) 求实数a 的值;(2) 求正交变换x=Qy 将f 化为标准型.(22)(本题满分10分)已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示:X 012P 121316Y 012P 13 13 13XY 012 4P712 13 0112求(1)P (X =2Y );(2)cov(,)XY X Y Y -ρ与. (23)(本题满分10分)设随机变量X 和Y 相互独立,且均服从参数为1的指数分布,min(,),=max(,).V X Y U X Y =求(1)随机变量V 的概率密度;(2)()E U V +.。
2012真题数三全
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点:(i )当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时,如果M 到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
(ii )渐近线分为水平渐近线(lim ()x f x b →∞=,b 为常数)、垂直渐近线(0lim ()x x f x →=∞)和斜渐近线(lim[()()]0x f x ax b →∞-+=,,a b 为常数)。
(iii )注意:如果(1)()limx f x x→∞不存在;(2)()lim x f x a x→∞=,但lim[()]x f x ax →∞-不存在,可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中,函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞,故1x =是垂直渐近线.(而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-,故1x =-不是渐近线).又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-,故1y =是水平渐近线.(无斜渐近线) 综上可知,渐近线的条数是2.故选C.(2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则'(0)f = ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点:00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==V V V V V V . 在本题中,按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L .故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点:()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中,用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0,故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--L 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L故选(A ).(3)设函数()f t 连续,则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰ (B) 2220d ()d x f x y y +⎰(C)222d ()d y x y x +⎰ (D) 22201d ()d y f x y x +⎰【答案】B【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰在本题中,这是把极坐标变换下的累次积分转换为直角坐标系的累次积分.2222202cos d ()d ()DI f r r r f x y dxdy πθθ==+⎰⎰⎰⎰,D 的极坐标表示:02πθ≤≤,2cos 2r θ≤≤,02πθ⇒≤≤,22cos r r θ≤,2r ≤现转换成D 的直角坐标表示,因222x x y ≤+,224x y +≤区域D 由221(1)x y =-+,224x y +=及0x =围成,因此2220d ()d I x f x y y =+⎰.故选(B ).(4)已知级数11(1)n n α∞=-∑绝对收敛,级数21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛,则 ( ) (A) 102α<≤(B) 112α<≤ (C) 312α<≤ (D)3 22α<< 【答案】D【考点】p 级数及其收敛性 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:p 级数11p n n ∞=∑:当1p >时收敛;当1p ≤时发散.在本题中,由11(1)n n α∞=-∑绝对收敛11121 n n nα∞∞-==⇔=∑收敛⇔112α->即32α>,1211()n n nαα-→∞:又21(1) n n n α∞-=-∑条件收敛,即21(1) n n n α∞-=-∑收敛,211n n α∞-=∑发散021α⇔<-≤,即12α≤< 综上,3 22α<<.故选(D ).(5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点:n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=L在本题中,显然134123011,,0110c c c ααα-=-=, 所以134,,ααα必线性相关.故选(C ).(6) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点: 设A 是一个m n ⨯矩阵,对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵;对A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中,由于P 经列变换为Q ,有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则{}221P X Y +≤= ( )(A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π【答案】D【考点】常见二维随机变量的分布 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点:设G 是平面上的有界区域,其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度1,(,),(,)0,x y G f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他则称(,)X Y 在G 上服从均匀分布.方法一:由条件知(,)X Y 在区域{}(,)01,01D x y x y =<<<<上服从二维均匀分布,要计算相应概率只需利用面积之比,易求得{}2214P X Y π+≤=(14圆的面积除以正方形的面积) 故选D.方法二:由条件知(,)X Y 的联合概率密度1,01,01,(,)()()0,X Y x y f x y f x f y <<<<⎧=⋅=⎨⎩其他 从而{}222222111(,)14D x y x y P X Y f x y dxdy dxdy S π+≤+≤+≤====⎰⎰⎰⎰.故选D.(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本,则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为 ( )(A) N (0,1) (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ) 【答案】B【考点】2χ分布;t 分布【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:设随机变量(0,1)X N :,2()Y n χ:,且X 与Y独立,则随机变量T =所服从的分布称为自由度为n 的t 分布,记为()T t n :.在本题中,因为2(1,)i X N σ:,所以212(0,2)X X N σ-:(0,1)N :, 234(2,2)X X N σ+:(0,1)N :,22342(2)(1)2X X χσ+-:. 又1234,,,X X X X与2342(2)2X X σ+-也相互独立,于是(1)t :,即1234(1)|2|X X t X X -+-:. 故选B.二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=【答案】e【考点】两个重要极限 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:1lim(1)xx e x→∞+=或10lim(1)x x x e →+=在本题中,用求1∞型极限的方法.由于111(tan 1)cos sin tan 1cos sin (tan )(1tan 1)x x xx x xx x ----=+-,而44tan 11sin cos limlim()cos sin cos cos sin x x x x xx x x x xππ→→--==--因此1cos sin 4lim(tan )x xx I x e π-→== (10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩, ()()y f f x =,则x edy dx ==【答案】1e【考点】复合函数;复合函数求导 【难易度】★★★【详解】不必求出[()]f f x 的表达式.注意1()2f e ==,11()(ln )22x ef e x e =''==,121()(21)22x f x =''=-=于是由复合函数求导法得111[()]()()222x ex edyd f f x f fe dxdx e e ==''===⋅=(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =【答案】2dx dy -【考点】无穷小量的比较;全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点: (i )如果lim0βα=,就说β是比α高阶的无穷小,记作()o βα=. (ii )全微分存在的必要条件 如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分,则该函数在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必定存在,且函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分为z z dz x y x y ∂∂=+∂∂V V .在本题中,由于0x y →→=0011lim[(,)22]0lim (,)1x x y y f x y x y f x y →→→→⇒-+-=⇒=由连续性得(0,1)1f =.已知条件可改写成0x y →→=,由此可知(,)z f x y =在点(0,1)处可微,且()0,1d |2z dx dy =- (12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 【答案】4ln 2【考点】定积分的应用 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:设()f x ,()g x 在[,]a b 连续,则由曲线()y f x =,()y g x =及直线x a =,()x b a b =<所围成的区域D 的面积为()()ba S f x g x dx =-⎰,其中曲线()y f x =,()y g x =([,])x ab ∈可以由有限个交点. 在本题中,曲线4y x=与y x =,4y x =分别交于点(2,2),(1,4). 故所围成平面图形的面积为1201431(4)()4ln 224ln 222S x x dx x dx x =-+-=+-+=⎰⎰. (13)设A 为3阶矩阵,3A =,*A 为A 的伴随矩阵。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
4- x 222012 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上. x 2 + x(1) 曲线 y =(A )0 (B )1(C )2(D )3【答案】: C【解析】: lim x →1x 2-1x 2 + xx 2 -1渐近线的条数为()=∞ ,所以 x = 1为垂直的lim x 2+ x = 1,所以 y = 1为水平的,没有斜渐近线 故两条选C x →∞ x 2 -1(2) 设函数 f (x ) = (e x -1)(e 2x - 2) (e nx - n ),其中n 为正整数,则 f ' (0) =(A ) (-1)n -1(n -1)!(B ) (-1)n (n -1)!(C ) (-1)n -1n !(D ) (-1)n n ! 【答案】:A【解析】: f ' (x ) = ex (e 2x - 2)所以 f '(0) = (-1)n -1(n -1)!π2(3) 设函数 f (t ) 连续,则二次积分⎰2 d θ ⎰ f (r 2 )rdr =()24- x222 2 22 cos θ(A ) ⎰0 dx⎰2 x - x2x (B ) ⎰0 dx⎰2 x - x2f (x + y f (x + y 2 + y 2 )dy)dy24- y 22222(C ) ⎰0dy⎰1+ 1- y 2x + y f (x + y )dx(e nx - n ) + (e x -1)(2e 2x - 2) (e nx - n ) + (e x -1)(e 2x - 2) (ne nx - n )4- y 2 x 2 + y 2 2x - x 2 2n n2n(D ) ⎰0dy⎰1+f (x 2 + y 2 )dx【答案】:(B )【解析】:由 x ≤ 解得 y 的下界为 ,由≤ 2 解得 y 的上界为.故排除答案(C )(D ). 将极坐标系下的二重积分化为 X -型区域的二重积分得到被积函数为 f (x 2 + y 2 ) ,故选(B ).∞n1 ∞ (-1) n(4)已知级数∑(-1)n =1 1 n sin α 绝对收敛, ∑ 2-α 条件收敛,则α 范围为( )i =1 (A ) 0 < α ≤21(B ) 2< α ≤ 13(C )1 < α ≤2 3(D ) 2< α < 2【答案】:(D )∞n1 【解析】:考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的 p 级数的收敛性结论.∑(-1)i =1sinnα3∞ (-1) n绝对收敛可知α > ;∑ 2-α条件收敛可知α ≤ 2 ,故答案为(D )i =1⎛ 0 ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ -1⎫ (5)设α = 0 ⎪,α = 1 ⎪,α = -1⎪, α = 1 ⎪ 其中c , c , c , c 为任意常数,则下列向量组线性相关1 ⎪2 ⎪3 ⎪4 ⎪ 1 2 3 4c ⎪ c ⎪ c ⎪ c ⎪ ⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 4 ⎭的是()(A )α1,α2,α3(C )α1,α3,α4 【答案】:(C )【解析】:由于 (α ,α ,α (B )α1,α2,α4(D )α2,α3,α40 1 -1 )= 0 -1 1 = c 1 -1= 0 ,可知α ,α ,α 线性相关。
2012考研数学三【解析版】【无水印】
f ′(1) f ( f (x))
ln
f (x), f (x) ≥ 1 ,而 f (x) ≥ 1 ⇔ x ≥ e2 ,
2 f (x) −1, f (x) < 1
f (x) < 1 ⇔ x < e2
所= 以 y
f ( f= (x))
ln
f (x), x ≥ e2 =
0 0 c3 + c4
−1 1 =(c3 + c4 ) 。 c4
由于 c1, c2 , c3, c4 为任意常数,所以α1,α3,α4 线性相关。故应选(C)。
(6)【答案】B
1 0 0
【分析】考查矩阵的运算。将
Q
用
P
表示,即
Q
=
P
1
1
0
,然后代入计算
0 0 1
即可。
1 0 【详解】由于 P = (α1,α2 ,α3 ) ,所以 Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ) = P 1 1
±1 ,又因为 lim y x→1
=
lim
x→1
x2 + x x2 −1
=
∞,
= lim y x→−1
xl= →im−1 xx22 +−1x
1 ,所以该曲线只有一条铅直渐近线; 2
斜渐近线:
因= 为 lim y x→∞
lxi= →m∞ xx22 +−1x
1 ,所以该曲线没有斜渐近线。
故应选(C).
(2) 【答案】A
【分析】本题考查全微分的概念与多元函数连续的定义。
【详解】由于 lim f (x, y) − 2x + y − 2 = 0 ,,所以 lim[ f (x, y) − 2x + y − 2] =0
2012数学三试题及答案
2012数学三试题及答案2012年的数学三试题是一道经典的数学考题,分为多个小题。
以下是试题及答案的完整内容。
一、选择题(每小题3分,共40分)1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1,求f(2)的值。
答案:f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 92. 若a + b = 5,a - b = 1,求a的值。
答案:将两式相加:2a = 6,因此 a = 3。
3. 若log2 x = 3,求x的值。
答案:根据对数的定义,log2 x = 3可以转化为2^3 = x,因此x = 8。
4. 若三角形ABC满足AB = BC,∠ABC = 110°,求∠ACB的度数。
答案:由三角形内角和定理可得,∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC= 180° - 110° - 35° = 35°。
二、填空题(每小题4分,共40分)1. 设正实数a和b满足a + b = 10,且ab的最小值为3,则a的值为____,b的值为____。
答案:由平均值不等式可得:(a + b)/2 ≥ √ab。
代入已知条件,10/2≥ √3,得5 ≥ √3。
由此可知,a和b的取值范围为(5 - √3, 5 + √3)。
因此,a的值为5 - √3,b的值为5 + √3。
2. 若函数f(x) = a(x - 1)^2 - 1在区间[0, 2]上单调递增,则a的取值范围为____。
答案:由题意可知,函数在区间[0, 2]上单调递增,即f'(x) > 0,其中f'(x)为f(x)的导数。
对f(x)进行求导得到f'(x) = 2a(x - 1)。
根据导数的定义,当x ∈ [0, 2]时,2a(x - 1) > 0,解得 0 < a < 1。
因此,a的取值范围为0 < a < 1。
三、解答题(共20分)1. 某商店购进了若干本图书,售价79元一本。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3)设函数()f t 连续,则二次积分22202cos d ()d f r r r πθθ=⎰⎰( )(A)222d ()d x x y y +⎰(B)2220d ()d x f x y y +⎰(C) 222d ()d y x y x +⎰(D)22201d ()d y f x y x +⎰(4)已知级数11(1)n nα∞=-∑绝对收敛,级数21(1)nn nα∞-=-∑条件收敛,则 ( )(A) 102α<≤(B) 112α<≤ (C) 312α<≤ (D)3 22α<< (5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若123(,,)P ααα=,1223(,,)Q αααα=+,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则{}221P X Y +≤= ( ) (A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本,则统计量1234|2|X X X X -+-的分布为 ( )(A) N (0,1) (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ) 二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)()1cos sin 4lim tan x xx x π-→=(10)设函数(),121,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩, ()()y f f x =,则x edy dx ==(11)设连续函数(,)z f x y =满足0x y →→=则()0,1d |z =(12)由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵,3A =,*A 为A 的伴随矩阵。
2012年考研数学三真题及解析
1 x 2x
ln 1x
1 x2
sin x
x
1 x 1 x2
ln 1x
1
x2 x
sin x
当0
x
1时,有 ln 1 x 1x
0,1 1
x2 x2
1 ,所以 1 1
x2 x2பைடு நூலகம்x
sin x
0,
故 f' x
0 ,而 f 0
1x
x2
0,即得 x ln
cos x 1
0
1x
2
所以 x ln 1 x cos x x2 1 。
【答案】:( B)
f (x2
y 2 )dy
【解析】: 由 x x 2 y 2 解得 y 的下界为 2x x 2 ,由 x 2 y 2 2 解得 y 的上界为 4 x 2 .故排
除答案( C)( D) . 将极坐标系下的二重积分化为 X 型区域的二重积分得到被积函数为
f (x2 y2) ,
故选( B) .
10000(万元),设该企
业生产甲、乙两种产品的产量分别为
x(件)和( y 件),且固定两种产品的边际成本分别为
x 20 (万元
2
/件)与 6 y (万元 /件)。
1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 C (x, y) (万元 )
2)当总产量为 50 件时,甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小?求最小的成本。
4
1 , P(C)
2
1 ,则 P( ABC )
3
________。
【解析】: 由条件概率的定义, P AB C
P ABC
,
PC
其中 P C
1 PC
12
2012数学三试题及答案
x→0
x4
( ) 【解析】 lim ex2
e − 2−2cos x
e2−2cos x = lim
e −1 x2 +2cos x−2
x2 + 2 cos x − 2
= lim
=
1
x→0
x4
x→0
x4
x→0
x4
12
(16)(本题满分 10 分)
∫∫ 计算二重积分 ex xydxdy ,其中 D 为由曲线 y = x 与 y = 1 及 y 轴为边界的无界区域
(2) 设函数 y(x) = (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n), 其中 n 为正整数,则 y '(0) =
()
(A) (−1)n−1(n −1)! (B) (−1)n (n −1)! (C) (−1)n−1n!
(D) (−1)n n!
答案:(A)
【解析】因为 y '(0) = lim y(x) − y(0) = lim (ex −1)(e2x − 2)⋯(enx − n) = (−1)n−1(n −1)!
=
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
,
若
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
P = (α1,α2 ,α3 ),Q = (α1 + α2 ,α2 ,α3 ), 则 Q−1AQ =
()
⎛1 0 0⎞
(A)
⎜ ⎜
0
2
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛1 0 0⎞
(B)
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 2⎟⎠
⎛2 0 0⎞
(C)
⎜ ⎜
0
2012年考研数学三真题及解析
4
4
tan x
1 tan x tan
= lim
4
4
x 4
- 2 sin x
4
x
= lim
x 4
1 tan x tan
4
4
-2x 4
2
=
-2
=- 2
1
所以 lim tan x cosx sin x
x 4
1
lim tan x 1
x
e4
cosx sin x
= e- 2
( 10)设函数 f ( x) 【答案】: 4
ln x, x 1, y
dy f f ( x) ,求
________ 。
2x 1, x 1
dx x 0
dy
【解析】:
f ' f ( x) f '(x)
f ' f (0) f '(0) f ' 1 f '(0)
dx x 0
x0
由 f (x) 的表达式可知 f ' 0
f '( 1) 2 ,可知 dy
4
dx x 0
D
1,故根据二重积
分的几何意义,知 P X 2 Y 2 1 = ,故选( D) . 4
( 8 )设 X1, X 2 , X 3 , X 4 为来自总体 N 1, 2
0 的简单随机样本,则统计量
X1 X 2 的分布 X3 X4 2
()
( A ) N 0,1
(B) t 1 (C) 2 1
( D ) F 1,1
( 4)已知级数
( 1) n
i1
n sin 1 绝对收敛, n
( 1)n
条件收敛,则
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2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-渐近线的条数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)
()x x nx f x e e e n =---,其中n 为正整数,则'(0)f =( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
(3)设函数()f t 连续,则二次积分2
220
2cos d ()d f r r r π
θ
θ=
⎰⎰
( )
(A)
2
220
d ()d x x y y
+⎰
(B)
2
220
d ()d x f x y y +⎰
(C) 2220
d ()d y x y x +⎰
(D)
2
220
1d ()d y f x y x +⎰
(4)
已知级数1
1
(1)
n n α∞
=-∑绝对收敛,级数21(1)n
n n
α∞
-=-∑条件收敛,则 ( )
(A) 102α<≤
(B) 112α<≤ (C) 3
12
α<≤ (D) 3 22α<< (5)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量
组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.若123(,,)P ααα=,
1223(,,)Q αααα=+,则1
Q AQ -= ( )
(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则{}
221P X Y +≤= ( ) (A)
14 (B) 12 (C) 8π (D)4
π
(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ(0)σ>的简单随机样本,则统计量12
34|2|
X X X X -+-的
分布为 ( )
(A) N (0,1) (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F )
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上. (9)()
1cos sin 4
lim tan x x
x x π
-→
=
(10)设函数(
),1
21,1
x f x x x ⎧≥⎪=⎨
-<⎪⎩, ()()y f f x =,则
x e
dy dx ==
(11)设连续函数(,)z f x y =
满足0x y →→=则()0,1d |z =
(12)由曲线4
y x
=
和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵,3A =,*A 为A 的伴随矩阵。
若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则*BA =
(14)设A 、B 、C 是随机事件,A 与C 互不相容,1()2P AB =,1
()3
P C =,则(|)P AB C =
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限2
22cos 4
0lim x x
x e e x -→-
(16)(本题满分10分)
计算二重积分d d x e xy x y ⎰⎰,其中D
是以曲线y y =及y 轴为边界的无界区域.
(17)(本题满分10分)
某企业为生产甲、乙两种型号的产品,投入的固定成本为10000(万元),设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件),且这两种产品的边际成本分别为202
x
+(万元/件)与6y +(万元/件)。
(Ⅰ)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(,)C x y (万元);
(Ⅱ)当总产量为50件时,甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小?求最小成本;
(Ⅲ)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义.
(18)(本题满分10分)
证明:2
1ln cos 1(11)12
x x x x x x ++≥+-<<-
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+= (Ⅰ)求()f x 的表达式; (Ⅱ)求曲线220()()d x
y f x f t t =-⎰的拐点.
(20)(本题满分11分)
设10010101,001000
10a a A a a
β⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥- ⎪⎢
⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
(Ⅰ)计算行列式A ;
(Ⅱ)当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解.
(21) (本题满分11分)
已知10
10
111001A a a ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪
- ⎪-⎝⎭
,二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2,
(Ⅰ)求实数a 的值;
(Ⅱ)求正交变换x Qy =将f 化为标准形.
(22)(本题满分11分)
设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为
(Ⅰ)求; (Ⅱ)求Cov(,)X Y Y -.
(23)(本题满分11分)
设随机变量X 与Y 相互独立,且服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =,
{}min ,V X Y =
(Ⅰ)求V 的概率密度()V f v ; (Ⅱ)求()E U V +.。