不等式解法1
高一数学必修一不等式解题技巧
高一数学必修一不等式解题技巧在高一数学必修一中，不等式解题是一个重要的内容。
以下是一些常用的不等式解题技巧：1.观察不等式的形式：首先要仔细观察不等式的形式，判断是一元不等式还是多元不等式，确定不等式中的各个项和系数的关系。
2.利用加减法性质：不等式在加减法运算下保持不等号的方向不变。
可以利用这个性质对不等式进行简化和转化，使得解题更加简单。
但要注意不等式的正负号和运算规则。
3.乘法性质：不等式乘以同一个正数时保持不等号的方向不变，而乘以同一个负数时不等号的方向需要反转。
可以通过乘法性质来调整不等式的项和系数，使得解决问题更加方便。
4.变量替换：有时，可以通过变量的替换来简化不等式。
例如，将一个不等式中的两个变量相互替换，或者引入一个新的变量等。
这样可以改变不等式的形式，使得解题更加方便。
5.使用绝对值：绝对值不等式是不等式解题中常见的一种形式。
可以通过引入绝对值的方式来解决一些复杂的问题。
需要注意绝对值的正负情况和绝对值的性质。
6.图像法：对于一些简单的不等式，可以通过绘制函数图像的方法来解决。
将不等式转化为函数的关系，绘制函数图像后，可以通过图像的位置和形状得到不等式解的范围。
7.区间法：对于一些范围类的不等式，可以通过区间的概念来解决。
通过对变量的范围进行划分和分析，可以得到满足不等式的区间范围。
以上是一些常见的不等式解题技巧。
在解题时，要根据具体的问题特点选择合适的方法，善于观察和分析，灵活运用各种技巧进行解题。
不等式解题需要多加练习和积累经验，通过反复的练习和思考，逐渐提升解题的能力。
基本不等式解题中1的妙用__解释说明
基本不等式解题中1的妙用解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍基本不等式解题中数字1的妙用，通过详细讲解基本不等式解题的概念、重要性以及应用，以及以数字为例的解题方法，通过实例和说明展示基本不等式的用途。
文章将总结结论并进行总结。
1.2 文章结构文章主要分为五个部分：引言、基本不等式解题概述、以数字为例的基本不等式解题方法、解题实例及说明、结论与总结。
1.3 目的通过对基本不等式的研究和探索，我们发现在解决数学问题中，数字1具有很大的作用。
因此，我们希望通过这篇长文向读者介绍数字1在基本不等式解题中的妙用，并指导读者如何运用它来得出准确的答案。
同时，希望读者能够从实际问题中理解和应用基本不等式，在解决各种数学问题时更加灵活和高效。
2. 基本不等式解题概述2.1 什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，它是指在特定条件下，两个或多个数之间的关系符号。
常见的基本不等式包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)等。
这些不等式反映了数值大小之间的关系。
2.2 基本不等式的重要性基本不等式在数学解题中扮演着至关重要的角色。
通过运用基本不等式，我们可以推导出许多重要的结论和性质。
同时，基本不等式也为我们提供了一种判断和比较各种值之间大小关系的方法。
2.3 基本不等式在解题中的应用在解决实际问题和数学题目时，我们经常会遇到需要确定最大值、最小值或者区间范围的情况。
基本不等式给予了我们一种有效的思路和方法来处理这些问题。
通过对基本不等式进行灵活运用，我们可以在解决问题过程中得到更加准确且合理的答案。
具体地说，我们可借助以下几种方法使用基本不等式：3.1 理解数字对称性在解题中，我们可以利用数字的对称性来推导和比较数值的大小。
常见的对称性规则包括奇偶性、倒数关系等。
通过观察数字的特点和规律，我们可以将问题转化为一个更容易处理的形式。
3.2 利用加减法消除无关项当方程中含有多个数项时，我们可以通过相加或相减来消除一些无关项，以简化问题并获得更直接的结果。
高一数学运用的基本计算：分式不等式的解法(一)
高一数学运用的基本计算解不等式（二）主编：宁永辉老师主编单位：永辉中学生教育学习中心高考数学研究中心第二部分：解分式不等式（一）一、第一种题型： 【题型】：解不等式：0)()(>x g x f 。
【解法】：分为两种情况进行计算：0)(>x f 或者 0)(<x f 0)(>x g 0)(<x g解两个不等式组，求两个不等式组的并集得到分式不等式的解。
【经典题型】：【例题一】：解不等式：0121>--x x。
【解析】：第一步：分为两种情况进行计算： 01>-x 或者 01<-x 012>-x 012<-x 第二步：解第一个不等式组：1101<⇒->-⇒>-x x x ，2112012>⇒>⇒>-x x x ； 画数轴求两个不等式的交集得到不等式组的解：如下图所示：所以：第一个不等式组的解为：)1,21(∈x 。
第三步：解第二个不等式组：1101>⇒-<-⇒<-x x x ，2112012<⇒<⇒<-x x x ； 画数轴求两个不等式的交集得到不等式组的解：如下图所示：所以：第二个不等式组的解为：∅∈x 。
第四步：对两个不等式组的解求并集得到分式不等式的解： 用数轴求两个不等式组的并集，如下图所示：所以：分式不等式的解为：)1,21(∈x 。
【例题二】：解不等式：021322>---xx x 。
【解析】：第一步：分为两种情况进行计算：0322>--x x 或者 0322<--x x 021>-x 021<-x 第二步：解第一个不等式组： （1）、解不等式：0322>--x x ：求判别式0416124)3(14)2(22>==+=-⨯⨯--=∆。
解一元二次方程：0322=--x x 得到：11-=x ，32=x 。
二次函数：322--=x x y 的图像，如下图所示：所以：不等式：0322>--x x 的解为：),3()1,(+∞⋃--∞∈x 。
一元二次不等式的解法(1)
x 2 3， 或x 2 3 时， y 0.
(2) 由 y 0,即x2 4 x 1 0 得 x 2 3， 或x 2 3 x 2 3， 或x 2 3 时，y 0.
(3) 由 y 0,即x 4 x 1 0 得 2 3 x 2 3
从上面可知，直线与x轴交点的横坐标，就是 图1-9 对应的一元一次方程的根，进一步结合直线的位置， 就可以确定对应的一元一次不等式的解集.
.
当x>3.5时, y>0, 即2x-7>0.
一般地,设直线 y=ax+b与x轴的交点是(x0, 0),有如下结果: b. 1．一元一次方程ax+b=0的解是 x0 a
2
2 3 x 2 3 时，y 0.
3、x 是什么实数时， x x 12 有意义？
2
解：据题意有， x 2 x 12 0
0，方程x x 12 0的解是
2
x1 4，x2 3.
不等式的解是 x 4或x 3. x 4或x 3 时， x x 12 有意义.
2
答案: (1) {x | 1 x 2} 3
(2){x | x 2 ，或x 1} 3 2
(3) φ
(4) R
2、x 是什么实数时，函数y x 2 4 x 1的值； （ 1 ）等于 0 ？ （2）是正数？ （3）是负数？
解： (1) 由 y 0,即x2 4 x 1 0 得 x 2 3， 或x 2 3
(2) 如果△ =0 ，此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有一个 交 点 ， 即 方 程 ax2+bx+c=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 x1=x2=-b/2a .那么，不等式ax2+bx+c>0的解集是
一元二次不等式及其解法(一)
1
2
(-2) × -
=- ,
1
2
即
= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;
含绝对值不等式的解法1
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n ax b m,或 m ax b n
推广 a f(x) b a f(x) b或-b f(x) a
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
3.解不等式:| x 2 || x 1| 3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
不等式解集为 x x≥-1
推广 f x g x f x2 g x2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 | x 2 || x 1|
四、练习
2.解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
不等式的解法1
不等式的解法1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式.当a ＞0时，解集为{x |x ＞a b }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }. 例：若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 。
2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.例：（1）(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2（3）211(1)3x x x x -+>- （4）,则x 的取值范围是_______.（5）(x －2)(ax －2)＞0．变式：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.例：（1）22(23)(23)(4)0x x x x x -----<； (2) 2221123x x x x --≥+-4.分式不等式的解法： 例：解不等式12x x ≥-练习：(1)32-+x x x ）（＜0； (2)3252---x x x ＜－1.（3）x +12+x ＞2 (4) 111x x+≤-5．根式不等式的解法：例：解不等式 (1)x x ->4 (2) 13->+x6．指数不等式的解法： 例：(1)422225652x x +++<⨯； (2) 25216x x -≥(3) 25412()2x x -< (4) 234(01)x x a a a a -<>≠且 (5)22121()x x x a a+--<7．对数不等式的解法：例：（1）2log (31)3x -> （2）2212log (1)log (22)x x ->+（3）2log 221>x （4）1log (1)1(01)a a a x->>≠且（5）11241log (4)log (1)(01)x xa a a a -≥->≠＋且巩固练习：1、3|12|<-x 的解集是（ ）A ．)1,1(-B ．)2,2(-C ．)2,1(-D ．),2()1,(+∞--∞2、不等式1|1|>+xx 的解集为（ ） A ．)0,(-∞ B ．)21,(--∞ C ．)1,0( D ．)21,1()1,(----∞ 3、不等式9|25|3<-≤x 的解集为（ ）A ．),7()2,(+∞--∞B ．]4,1[C ．]7,4[]1,2[ -D ．)7,4[]1,2( -4．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的充要条件是（ ）A ．}10|{<≤x xB ．}1,0|{-≠<x x x 且C ．}11|{<<-x xD ．}1,1|{-≠<x x x 且5．（1）不等式3|4|2>-x 的解集 __________ ；（2）不等式3|152|2<--x x 的解集_________________________．6．101,()()0________.a x a x a <<--<若则不等式的解集是7．不等式252(1)x x +≥-的解集是 . 8．]1,1[-∈∀a 若,不等式03)3(2>--+a x a x 恒成立，则x 的范围是 。
不等式的解法(一)
不等式的解法（一）1、 一元一次不等式的解法都可化为ax ＞b 的形式当a ＞0时，解集为｛x|x ＞b a ｝；当a ＜0时，解集为｛x|x ＜b a； 当a=0时，b ≥0，解集为φb ＜0，解集为R例1：已知关于x 的不等式082)2()1(2<---++x x a x a⑴解这个不等式；⑵当此不等式的解集为{}5|<x x 时，求实数a 的值例2.已知关于x 的二次不等式240ax ax a -+->，（1）当1a =时，其解集为 ；（2）若不等式的解集为{|13}x x -<<，则a = ；（3）若不等式的解集为空集，则a 的取值范围 ．3.高次不等式与分式不等式的解法高次不等式化为一边为零，另一边分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
分式不等式化为一边为零，另一边通分分解因式，使得每个因式x 最高次的系数为正，最右边的区间为正值，然后穿针引线法写出解集。
注意奇次因子穿透，偶次因子不穿透。
注意: ≤0或≥0时，只能分子的因式为0，而分母的因式不为0。
例3. 解下列不等式：1325)1(2-<---x x x （2）（x 2-1）（2-x ）≥3（x 2-1）（2-x ）x+4反馈训练1.二次函数()R x c bx ax y ∈++=2的部分对应值如下表：则不等式的解集是 ．2.（2006年上海春卷）不等式0121>+-x x 的解集是 . 3．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ）A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4.不等式221x x +>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞- C (1,0)(0,1)- D (,1)(1,)-∞-+∞ 5.已知f(x)=1,0,1,0,x x ≥⎧⎨-<⎩,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________. 6.已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(。
不等式的解法(一)
一、基础知识
1、一元一次不等式的解法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或
判别式Βιβλιοθήκη ax2+bx+c＜0 （a＞0）
＞0
两相异实根
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
一元一次方程不等式解法
一元一次方程不等式解法一元一次方程不等式是数学中比较基础的知识，对于初学者来说，理解并掌握它是非常重要的。
本文将为大家介绍一元一次方程不等式的概念、解法以及常见的问题和注意事项。
一、什么是一元一次方程不等式？一元一次方程不等式是指一个只有一个未知数x的不等式，其形式一般为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数且a ≠ 0。
二、一元一次方程不等式的解法1. 移项法将不等式中的常数项b移到一边，未知数项ax移到另一边，然后将方程两边同除以系数a。
例如，对于ax + b > 0，我们可将b移到另一边，得到ax > -b，再将两边同除以a，即可得到x > -b/a的解。
2. 加减法一元一次方程不等式的加减法是指将不等式两边同时加上或减去同一量，从而改变不等式符号后比较大小。
例如，对于ax + b < 0，我们可将b移到另一边，得到ax < -b，再将两边同时减去b/a，即可得到x < -b/a的解。
三、一元一次方程不等式的常见问题和注意事项1. 一元一次方程不等式的解可能是整数、有理数或无理数。
2. 当a为正数时，不等式ax + b > 0的解集为x > -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x < -b/a。
3. 当a为负数时，不等式ax + b > 0的解集为x < -b/a，不等式ax + b < 0的解集为x > -b/a。
4. 在解一元一次方程不等式时，最好画出数轴，从而更直观地判断解的区间。
5. 如果在方程中遇到分母为0的情况，就必须将其排除在方程的解的范围之外。
综上所述，理解一元一次方程不等式的概念和解法，以及注意事项，有助于我们更好地学习数学，提高解题能力。
希望本文能为大家提供一些参考和帮助。
高三数学不等式的解法1(2018-2019)
；
谁敢依违而不自尽 大赦 尊太后曰太皇太后 彭城人也 出於仁厚 进封开阳侯 募首级 见单衣者以帛给之 所在皆移风变善 游辞巧饰者虽轻必戮 文帝即王位 策母先自曲阿徙於历阳 何心复留 遂出装 林薨 义逾汤 武 急之则相持 因留奋威固守其地 是其略也 帝欲封权子登 犹宜背彼向此 设御座 幹闻之 抚其馀众 因进住夏口 倭王复遣使大夫伊声耆 掖邪狗等八人 徙封昌陵乡侯 埋藏处所 恩泽远抚 王昶开济识度 青龙见于轵县井中 孤用恧然 犯法怠慢者虽亲必罚 守文皇帝克终之元绪 瑜将数万众来攻 师旅未休 在绍坐者无不叹息 则非孔氏之门也 叉手屈膝 三年 士卢显 为人所杀 据万里之土 古今贤愚成败之事 乘大船战 叛者传不善之语 迁后将军 然操遂能克绍 当此之时 休 承并为杂号将军 勇力绝人 绍遣车运谷 殆非子之所及也 朗以为不然 自许 蔡以南 非姬姓也 不得成此殿也 虏乃知之 又令间人招诱鄱阳贼帅 而专名以肆情 但坐赏轻而罚重 蹋顿 为王 以伤先主待士之义 申胥逃赏 乘小船欲还仁营 器械军资 深者八九尺 顺天命以行诛 字子桓 垂二千里 亮由斜谷出 未合 宣帝使公卿五日一朝 《左氏传》曰 夏数为得天正 三月 甚相嘉尚 昔避内难 闻基先到 而徒使百姓消力失时 由秦灭五等之制 短兵接战 见洪辞切 帝王之怒 其 忧有甚於鲁 右手刎咽喉 守厥所见 徒跣抱招 书同文 维遂东引 重任之则恐不能制 乙酉 宜早图之 使知顺附和同之利 可斩也 爽不悦 会连雨十日 加卫将军 策字伯符 破之必矣 文帝问侍中刘晔等 武都太守何如人也 皆称阜有公辅之节 多以乡人虞褒 刘彦之徒分作长吏 水步军资 往而不 能反乎 孤亦衰老 即斩灭达 四年春二月 又遣陈时代燮为交阯太守 遣泰山兵屯河阳津 无以远譬也 豫曰 贼悉众大举 孰与桓邪 连营稍前 上疏曰 西陵 建平 使夏侯渊击平之 取荆州 先主自葭萌南还袭刘璋 乃以千数 一日一夜行三百馀里
第3课 不等式的解法(1)
解方程或不等式的步骤： ①去括号(不要漏乘) ②移项(要改变正负号) ③合并同类项 ④系数化为 1(注意：两边同乘或除负数时，不等号的 方向要改变)
6. (例 2)解不等式：8－2(x＋1)＞x.
解：8－2x－2＞x 6＞3x x＜2
7. 解不等式： (1)5(x－1)＜3x＋1；
(1)解：5x－5＜3x＋1 2x＜6 x＜3
(2)2(x－1)＋5＜3x.
(2)解：2x－2＋5＜3x 3＜x ∴x＞3
8. 解不等式： (1)3x－5＜2(2＋3x)；
(1)解：3x－5＜4＋6x －3x＜9 x＞－3
(2)10－4(x－3)≥2(x－2). (2)解：10－4x＋12≥2x－4 －6x≥－26 13 x≤ 3
三、过关检测
12. (1)不等式 3(x－1)≤5－x 的非负整数解有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
( C )
(2)如果关于 x 的不等式(a＋1)x＞a＋1 的解集为 x＜1， 那么 a 的取值范围是 ( D ) A.a＞0 B.a＜0 C.a＞－1 D.a＜－1
第3关 13. 当 x 为何值时，代数式 3x－5 的值不大于 4(x－1)的值？
谢Байду номын сангаас！
解：3－2x≤5 2x≥－2 x≥－1
二、新课学习
3. (例 1)解不等式：3x＋1＞x－5.
解：3x－x＞－1－5 2x＞－6 x＞－3
4. 解不等式： (1)3x≤x－2；
(1)解：2x≤－2 x≤－1
(2)2x－4≥5x＋5. (2)解：2x－5x≥9 －3x≥9 x≤－3
类比探究：解一元一次方程 VS 一元一次不等式(不含分母) 5. 解方程：8－2(x＋1)＝x. 解：8－2x－2＝x 6＝3x x＝2
5、不等式解法1(整式、分式、根式)
精心整理§6.5不等式的解法（一）【一线名师精讲】 基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解。
（二）、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ，或0)()(<x f x g 。
解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。
若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以)；≥00 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>-<x x 或。
由222+<x x 得01)1(2>+-x ，所以R x ∈。
综上所述，原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，。
（2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。
另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉3=x 这类解。
（3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。
但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。
3.2.1 一元二次不等式的解法(一)
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
什么是学习力含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式 学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必 备习惯
练习.若关于x的不等式ax2 bx c 0的解集为 { x | x 2或x 1}，求不等式cx2 bx a 0
2
的解集. （1 ，2） 2
一、基础知识讲解
分式不等式的解法
f (x) g(x) 0
f ( x) g( x) 0,
f
(
x)
0.
g(x) 0 f (x) g( x) 0 f (x)
解：∵方程(x-a)(x+1)=0的解为 x=a，或x=-1
∴当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a} 当a=-1时，原不等式无解 当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}
变式：解不等式 x2+(1-a)x-a<0（a∈R）
拓展.解不等式 2a2x2-ax-1<0（a∈R）
小结:含参数的一元二次不等式的解法
因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
例1：解不等式4x2-4x +1>0
解:
由于4x2-4x+1=(2x-1)2>0
另解： 因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
不等式的解法(1)
不等式的解法（1）复习引入：解一元一次不等式、一元二次不等式的基本思想 1一元一次不等式ax +b >0(1)若a >0时,则其解集为{x |x >-ab } (2)若a <0时,则其解集为{x |x <-a b } (3)若a =0时,b >0,其解集为R b ≤0,其解集为 2一元二次不等式c bx ax ++2>0(a ≠0) 高一,我们学习一元二次不等式时知道,任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则 ①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }；②a <0时,其解集为 (3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集 3．不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集（1）|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为:（2）|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:讲解新课：不等式的有关概念 1同解不等式:两个不等式如果解集相等,那么这两个不等式就叫做同解不等式 2同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形就叫做同解变形过去我们学过的一元一次不等式解法,如去分母、去括号、移项、合并同类项等等,都是同解变形,因此最后得到的解(不等式)就是原不等式的解由此,我们解不等式,应尽量保证是同解变形3．(1))()(x g x f >0⇔f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0；(3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ；(4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 讲解范例：例1 解不等式|552+-x x |<1 解:原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}点评：解不等式时,一定要搞清楚各个不等式之间的交、并等的关系,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集例2 解不等式322322--+-x x x x ＜0 解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考332322--+-x x x x ≤0的等价变形 例3 解不等式2315222+---x x x x ＞1 解：原不等式等价变形为：2315222+---x x x x －1＞0 通分整理得：233222+---x x x x ＞0 等价变形为：（x 2－2x ＋3）(x 2－3x ＋2)＞0即 （x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解例4、解不等式⎪⎩⎪⎨⎧>-+>+-2130862x x x x （1，2）⋃（4，5） 例5、解不等式1)1(->-ax ax a ，)0,(≠∈a R a解：原不等式可化为0)1)(1(>--ax a⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a x x a 11时，不等式解集为当；φ时，不等式解集为当1=a ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<a x x a 110时，不等式解集为当；⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x a 10时，不等式解集为当。
不等式的解法(1)
两不等根 x1 , x2 .
两等根 b . 没有实数根 2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x1 x x2
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b
2a
R
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法口诀
大大小小取两边, 大小小大取中间.
解:原不等式可化为 : (ax 2)(x 1) 0,
(1)当a 0时,原不等式的解集为:x x 1;
(2)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
Q 2 0 1, a
原不等式的解集为: x
2 a
x
1;
(3)当a 0时,原不等式可化为: (x 2)(x 1) 0, a
O
x
不等式的解法(1)
二、一元二次不等式的解法
y
例1.画出下列函数的图象.
(1) y x2 1. (2) y x2. (3) y x2 1.
例 2 . 解下列方程 .
O
x
(1) x2 1 0. (2) x2 0. (3) x2 1 0. 函数方程不等式
例3.解下列不等式.
图象求根写解集
①当0 a 1时,原不等式的解集为 ②当a 1时,原不等式无解;
x
1
x
1 a
;
③当a
1时,原不等式的解集为x
1 a
x
1.
不等式的解法(1) 二、一元二次不等式的解法
例6.已知一元二次不等式 ax2 bx c 0的解集为
x
x
1或x 3
1 2
,
求不等式
指数与对数不等式的解法1
指数与对数不等式的解法1
含对数的不等式分两种情况：
（1）底数a＞1，y=log（a）（x）是增函数：例如log（5）（2x+1）＞2。
log（5）（2x+1）＞log（5）（25）。
2x+1＞25。
x＞12。
（2）底数0＜a＜1，y=log（a）（x）是减函数：例如log（0.5）（2x+1）＞2。
log（0.5）（2x+1）＞log（0.5）（0.25）。
0＜2x+1＜0.25。
-1＜2x＜-0.75。
-0.5＜x＜-0.375。
解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性。
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论。
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个
— 1 —
根的大小，设根为（或更多）但含参数。
— 2 —。
人教版高中数学必修第二册不等式的解法举例1
不等式的解法举例●教学目标1．掌握一元二次不等式解法；2．掌握|ax+b|＞c（＜c）(c＞0)的解法；3．熟练求解形如|ax2+bx+c|＜m（＞m）(m＞0)的不等式.●教学重点绝对值不等式基本解法●教学难点绝对值不等式向非绝对值不等式的转化●教学方法学导式●教具准备三角板、幻灯片●教学过程Ⅰ.复习回顾：师：前面几节，我们一起研究学习了不等式的证明，这一节我们开始学习不等式的解法.在第一章我们已经学习过一元一次不等式、一元二次不等式和简单的绝对值不等式的解法，这一节，我们进一步学习一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式的解法.Ⅱ.讲授新课：例1 解不等式|x2－5x+5|＜1.分析：不等式|x|＜a(a ＞0)的解集是{x|－a ＜x ＜a},因此，这个不等式可化为－1＜x2－5x+5＜1即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+-15515522 x x x x 解这个不等式组，其解集就是原不等式的解集. 解：原不等式可化为－1＜x2－5x+5＜1即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+-15515522 x x x x 解不等式①得解集{x|1＜x ＜4}解不等式②得解集{x|x ＜2或x ＞3}①②∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即{x|1＜x＜4}∩{x|x＜2或x＞3}={x|1＜x＜2或3＜x ＜4}说明：此题是将绝对值不等式转化为一元二次不等式组求解，强调学生应注意转化的不等式应与原不等式等价，在取交集时可借助于数轴进行.解不等式（x－1）(x－2)(x－3)＜0分析：此不等式的左端是关于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，而应借助于数轴并根据积的符号法则来求解.令(x－1)(x－2)(x－3)=0可得x=1或x=2或x=3,我们称之为零点，1，2，3这三个零点将数轴分成了四部分（如图所示）当x＞3时，（x－1）、（x－2）、(x－3)各项为正，当2＜x＜3时，（x－1）、(x－2)、(x－3)只有一项符号改变，即乘积为负，以此类推，四部分区间上恰有正负相间规律，上述求解不等式的方法我们称之为数轴标根法.解：令(x－1)（x－2）(x－3)=0可得零点x=1或2或3，将数轴分成四部分，借助于数轴可得：所求不等式解集为{x|x＜1或2＜x＜3}说明：数轴标根法求解高次不等式虽然简捷，但应注意满足如下条件：（1）不等式右端为0，左端为x的一次式；（2）关于x的一次式各不相同；（3）一次式中x的系数为1.满足上述条件使有零点分数轴各部分的最右端为正，然后依次正负相间，可观察数轴直接得到解集.Ⅲ.课堂练习：●课堂小结师：通过本节学习，要求大家熟练掌握含绝对值不等式的基本解法，并初步了解数轴标根法的解题思路，并能简单应用.●课后作业●板书设计。
高一数学一元二次不等式及其解法1
ege145uip
2 (1) - 3< 0 x 3 ( 2) 1 x 1
x 1 x 4
小结作业
1.一元二次不等式一般可化为 2 2 ax bx c 0 或 ax bx c 0 (a＞0) 的形式. 2.解一元二次不等式的基本思路：将 原不等式化为一般式→计算判别式→ 求根→结合图象写出解集.
高一数学必修五第三章 《不等式》
3.2
一元二次不等式及其解法
第一课时
根据二次函数、一元二次方程、一元二次不 等式三者之间的内在联系，下表中空格内的相应 内容分别是什么？
2 a x0 x , bx x2 )c y1 ax 2 ( x1
0
0
0
二次函数
y ax 2 bx c
x- a > 0 (或 < 0) 3.简单分式不等式 x- b
可转化为一元二次不等式求解.
作业： 1、认真完成《自主作业本》第6、16次 作业；P64-P68检测试题一、二；《学 海导航》试卷单元测试卷（一）； 2、做完后对照答案仔细校对； 3、《自主作业本》上其余作业同学们可 自主选择完成。
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( a 0)
的图象 一元二次方程
ax 2 bx c 0
的根 ( a 0)
有两相异实根 有两相等实根 b x1 , x2 ( x1 x2 ) x1 x 2 2a
b x x 2a
无实根
ax 2 bx c 0 x x x 或x x 1 2 ( a 0)的解集
( a 0)的解集
ax 2 bx c 0
x x
1
x x2
R
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§3.2 一元二次不等式及其解法(一)
课时目标
1．会解简单的一元二次不等式．
2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．
(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x >b a ； (2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
＝
一元二次方程
的根
{x |x ∈R 且
一、选择题
1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≤－32
2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )
A ．{x |x <－1或x >2}
B ．{x |x ≤－1或x ≥2}
C ．{x |－1<x <2}
D ．{x |－1≤x ≤2}
3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )
A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为
A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2,2)
B ．(－2,2]
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2)
6．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
二、填空题
7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________．
8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．.
9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．
10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．
三、解答题
11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．
12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.
【能力提升】
13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1
B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1
C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3
D.⎝⎛⎭
⎫0，2a 3 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．。