黑龙江省哈六中高三数学第一次模拟考试 文
黑龙江省哈六中2019届高三第一次模拟考试(数学文)
哈尔滨市第六中学2019届高三第一次模拟考试数学（文史类）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{{},sin ,P Q y y R θθ=-==∈，则=P Q （ ）A.∅B.{}0 C. {}1,0-D. {-2．设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 （ ） A. 12- B. 2- C. 12D.23．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．4.长方体1111A B C D A B C D-的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::AB AD AA =O ABCD -的体积为（ ）C.3 5．数列{}{},n n a b 满足*11111,2,n n n nb a b a a n N b ++==-==∈，则数列{}n a b 的前10项和为（ ） A.()94413- B. ()104413- C. ()91413- D. ()101413- 6．下列说法中，正确的是 （ ）A. 命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是假命题.B.设,αβ为两个不同的平面，直线l α⊂，则""l β⊥是 ""αβ⊥ 成立的充分不必要条件.C.命题“2,0x R xx ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”.D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件. 7．已知圆22:12C x y +=，直线:4325l x y +=，圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．148．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += （ ）4 D. 139．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60︒的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 （ ）A. 4 D.810．曲线2122y x x =--在点)2,0(-处的切线与直线02x y x ==+和所围成 的区域内（包括边界）有一动点(,)P x y ，若2z x y =-，则z 的取值范围是 （ ） A ．[-2，2]B ．[-2，4]C ．[-4，-2]D ．[-4，2]11.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为 （ ）A.12．定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．已知等比数列{}n a 中，364736,18.a a a a +=+=若12n a =， 则n = .14．如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 15．在ABC ∆中，D 为BC 中点，5,3,,,AB AC AB AD AC ==成等比数列，则ABC ∆的面积为 . 16．给出下列四个命题：①若ABC ∆三边为c b a ,,，面积为S ,内切圆的半径cb a Sr ++=2，则由类比推理知四面体ABCD 的内切球半径43213S S S S VR+++=(其中，V 为四面体的体积，4321,,,S S S S 为四个面的面积)；②若回归直线的斜率估计值是23.1，样本点的中心为)5,4(,则回归直线方程是08.023.1+=∧x y ； ③若偶函数()()f x x R ∈满足(2)()f x f x +=，且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =有3个根． ④若圆02:221=++x y x C ，圆012:222=-++y y x C ，则这两个圆恰有2条公切线．其中，正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．把答案填写在答题纸相应位置上．17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21cos cos sin 32=-C C C ，且3=c （1）求角C ；（2）若向量)sin ,1(A =与)sin ,2(B =共线，求a 、b 的值．18．（本小题满分12分）某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（2）从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．19．（本小题满分12分）已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD ∆是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是BC PC PD ,,的中点． （1）求平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段CD 上一动点，试判断三棱锥EFG M -的体积是否为定值，若是，求出该三棱锥的体积；若不是，请说明理由。
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哈尔滨市第六中学校2010届第一次模拟考试文科数学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本的平均数柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数i a z +=)(R a ∈在复平面内对应的点在二象限，且2|)1(|>+⋅i z ，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1>a 或1-<a （B ）1-<a （C ）12+>a 或21-<a （D ）1>a 2．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若8,653==a S ，则912S S -的值是（ ）（A ）24 （B ）42 （C ）60 （D ）783．用二分法求函数()lg 3f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到1.0）为（ ）（参考数据：409.05625.2lg ,419.0625.2lg ,439.075.2lg ,398.05.2lg ≈≈≈≈）（A ） 4.2 （B ）5.2 （C ） 2.6 （D ）56.24．已知点),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则y x z 2-=的最大值是（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）25．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A ）1?,60+=>i i x （B ）1?,60+=<i i x （C ）1?,60-=>i i x （D ）1?,60-=<i i x6．已知双曲线12222=-by a x 的焦点到渐近线的距离为32，且双曲线右支上一点P 到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）3 （C ）2 （D ）217．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为（ ）（A ）3,1 （B ）1,1- （C ）3,1- （D ）3,1,1-①②8．已知函数)cos()(ϕ+=x x f （πϕ<<0）的导函数)('x f 的图象如图所示，则=ϕ（ ）（A ）6π（B ）32π （C ）3π（D ）65π9．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l ,； ④若γαβα⊥⊥,，则βα//其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠90BAD ，且121===CD AD AB ，M 是AB 的中点，且ND BN 2=，则AN CM ⋅的值为（ ）（A ）45 （B ）45- （C ）67 （D ）67-11．利用计算机在区间)1,0(上产生两个随机数a 和b ，则方程x a xb-=2有实根的概率为（ ）（A ）31 （B ）21（C ）32 （D ）112．设函数⎩⎨⎧>-≤-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]1[,1]2.1[,2]2.1[==-=-，若k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）]31,41( （B ）]41,0( （C ）]31,41[ （D ）)31,41[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，若N 为l 上一点，当MNF ∆为等腰三角形，22=NF 时，则=p _____14．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为32的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为_____15．已知数列}{n a 满足)2,(*112≥∈=+-n N n a a a n n n ，若4,111164654==++a a a a a ，则=++654a a a _____ 16．已知圆1)s i n 2()c o s 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中：①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切；②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线；③当6πθ=时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4．其中正确命题的序号为______三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．PADBC17．（本小题满分12分）“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角为60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求C B ,两救援中心间的距离；（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离． 18．（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，则样本中男、女生各有多少人；（2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95； 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，①若规定80分（含80分）以上为良好，90分（含90分）以上为优秀，在良好的条件下，求两科均为优秀的概率；根据上表数据可知，变量y 与x 之间具有较强的线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：a bx y +=^，其中∑∑==---=ni i ni i i x x y y x x b 121)())((，x b y a -=；参考数据：5.77=x ，875.84=y ，1050)(812≈-∑=i i x x ，688))((81≈--∑=i i i y y x x ，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈）19．（本小题满分12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是一直角梯形， 90=∠BAD ，a AD AB BC AD ==,//，=BC 2（1）求三棱锥PAC B -的体积；（2）在PD 上是否存在一点F ，使得//PB 平面ACF ，若存在，求出FDPF的值；若不存在，试说明理由； 20．（本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，且32=⋅，32=∆AOB S ，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分） 已知x x f ln )(=，xax x g +=)()(R a ∈． BADC P东 北（1）求)()(x g x f -的单调区间；（2）若1≥x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围；请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分． 22．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （1）求ADF ∠的度数；（2）若AC AB =，求BC AC :． 23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθcos sin 2y x （θ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==12t y tx （t 为参数）. （1）若将曲线1C 与2C 上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线'1C 和'2C ，求出曲线'1C 和'2C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与'2C 垂直的极坐标方程． 24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，R x ∈． （1）解不等式5)(≤x f ； （2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．文科数学答案1-5 BCCDA 6-10 CABBD 11-12 AD 13．2， 14．π+6，15.4， 16.①③④ 17：解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形 (1)分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米. …………………………5分 （2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDAD ADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分18．（1）抽取男生数584025=⨯人，384015=⨯…………2分 （2）41=P ………………8分 （3）655.0≈b ，11.34≈a （09.34≈a 或10.34≈a 也算正确）则线性回归方程为：11.34655.0+=x y …………………………12分 19．（1）1=v …………………………4分（2）存在点F 使//PB 平面ACF ，2=DFPF …………………………5分连接BD 交AC 于E ，连接EF ，a BC a AD BC AD 2,,//==，所以21===PF DF EB DE BC AD ，所以EF PB //……………………………9分 又⊆EF 平面ACF ，PB 不在平面ACF 内，所以//PB 平面ACF …………………………12分 20．（1）短轴长1,22==b b ，22==ac e …………………………1分又222c b a +=，所以1,2==c a ，所以椭圆的方程为1222=+y x …………………………4分 （2）设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=++=2222y x mkx y ，消去y 得，0224)21(222=-+++m mkx x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212122214k m x x k mk x x ，…………………………6分 322121=+=⋅y y x x 即3221223222=+--kk m 即810922+=k m …………………………8分 32)21()21(821]4)[(21||||212222221221221=+-+=-+=-=∆k m k m x x x x m x x m S AOB即22222)21()21(9k m k m +=-+…………………………10分⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+8109)21()21(92222222k m k m k m ，解得2,122==m k ，所以2±±=x y …………………12分21．（1）)0(ln )()()(>--=-=x xax x x g x f x F 222'11)(x a x x x a x x F ++-=+-=…………………………1分 当041≤+=∆a ，即41-≤a 时，0)('≤x F ，所以)(x F 在),0(+∞上单调递减………………3分 当041>+=∆a ，即41->a 时，,2141,2141,0)(21'++=++-==a x a x x F①041≤<-a 时，0,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x (5)分②0>a 时，0,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x ……………6分综上：①41-≤a 时，)(x F 在),0(+∞上单调递减（只要写出以上三种情况即得6分） ②041≤<-a 时，0,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x ③0>a 时，0,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x（2）xax x +≤ln 恒成立，等价于max 2]ln [x x x a -≥…………………………8分2ln )(x x x x k -=，x x x k 2ln 1)('-+=，021)]([''<-=xx k)('x k 在),1[+∞上单调递减，01)1()(''<-=≤k x k ，)(x k 在),1[+∞上单调递减 (10)分，所以)(x k 的最大值为1)1(-=k ，所以1-≥a …………………………12分 22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分 因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分 又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分. 所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分（2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，所以ABAE BCAC =，…7分在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分 23．解：（1）⎩⎨⎧==θθcos sin :'1y x C （θ为参数），………2分 ⎩⎨⎧+==1:'2t y t x C （t 为参数）………4分 '1C 的普通方程：122=+y x ，'2C 的普通方程：1+=x y ………………6分 （2）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线'2C 垂直的直线方程：即为x y -=……………8分在极坐标系中，直线化为1tan =θ，方程为4πθ=或43πθ=………………10分（少写一个扣一分）24．（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->54423x x …………3分不等式的解集为]49,41[-∈x ………5分（2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(≠+m x f 恒成立，即0)(=+m x f 在R 上无解7分又2|3212||32||12|)(=+--≥-+-=x x x x x f ，)(x f 的最小值为2，…………9分 所以2-<m ………………………………………………10分。
黑龙江哈六中高三一模数学文
9•设l,m,门表示三条不同的直线，,,表示三个不同的平面，给岀下列四个命题:哈尔滨市第六中学校 2010届第一次模拟考试文科数学II 卷(非选择题)两部分，满分 150分，考试时间120分钟. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； 选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写 ，字体工整，字迹清楚; 请在各题目的答题区域内作答，超岀答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； 保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 考试说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第 (1) (2) (3) (4) 参考公式： 样本数据x 1, x 2, 柱体体积公式V 锥体体积公式V 1 - 2 — 2 L (X 1 x) (X 2 x)I n Sh ，其中S 为底面面积， 1 _ Sh ，其中S 为底面面积， 3,X n 的标准差s h 为高; h 为高 球的表面积和体积公式 一、选择题：本大题共 求的. 1 •已知复数z a i (A ) a 1 或 a 12•已知S n 是等差数列 (A ) 243•用二分法求函数 到0.1 )为( ) (X n x)2，其中x 为样本的平均数 2 4 S 4 R 2，V - R3第I卷(选择题共60分) 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给岀的四个选项中，只有一个是符合题目要 3，其中R 为球的半径 (a R)在复平面内对应的点在二象限，且 |z (B ) a 1 (C 、2 1 或 a 5 8，则 S 12 42 (C ) 60 x 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 lg2.5 0.398,lg2.75 (C ) a {a *}的前n 项和，若S 3 6,a (B ) f(x) lgx (参考数据： 则实数a 的取值范围是( )(D ) a 1 ) (1 i)| 2， 1 . 2 S 9的值是( (D ) 78 f(x)的一个零点的近似解(精确 0.439,lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409) )的导函数 8.已知函数 为f(x)cos(x ) ( 0 2 (B )3(C )-3f'(x)的图象如图所示，则5(D )6① 若 ② 若③ 若 ④ 若 l , m l ,m ，贝U m ， n 是I 在内的射影, m 是平面 的一条斜线，A , ，则 〃 ) (B ) 2 n ，贝U m l ；A 的一条动直线，则可能有 l 为过 l m, l ;其中真命题的个数为( (A ) 1(C ) (D ) 10 •在直角梯形 ABCD 中，AB // CD , BAD 90 ，且 AB AD 4 丄CD 2 1 , M 是AB 的中点，且BN 2ND ,则CM AN 的值为( (A ) 54(B ) (C ) (D ) 11 •利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数 a 和b ，则方程b 2ax 实根的概率为((A ) 1 3 12 •设函数 f (x) 1 (B)— 2 [x],x2 (C )-3(D ) 1 f (x) kx 1 1 (A ) (J]4 3 f(x 1),x k 有三个不同的根，则实数 (B ) (0,1] 4 0，其中［x ］表示不超过 k 的取值范围是(1 1 (C )［打 第U卷(非选择题 x 的最大整数，如 [1.2] 2,[1.2] 1,[1] 1，若1 1 (D )匕订) 4 3共90分) 本试卷包括必考题和选考题两部分 24题为选考题，考生根据要求作答 • 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 13 •抛物线y 22px(p 0)的焦点为 NF 2迈时，则p _________ 14 •如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示， 其中俯视图为边长为 2爲的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为 ___________ 15 •已知数列｛a n ｝满足a n a n1 1 1 片1, 4，则 a 4 a 5 a 6216 •已知圆 C 1 : (x 2 cos )① 对于任意的 ② 对于任意的 •第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答 •第22题〜第 5分，共20分•将答案填在机读卡上相应的位置. F ，准线I 与x 轴交于点M ，若N 为I 上一点，当 MNF 为等腰三角形, 1 a n a 6)2 1(n N ,n 2) 1与圆C 2 :x 2 若 正豪圉 在下列说法中: (y 2si n ，圆G 与圆C2始终相切； ，圆G 与圆C 2始终有四条公切线； 圆C 1被直线l : • 3x y 1 0截得的弦长为「3 ； ③当 时， 6 ④ P,Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，贝U |PQ|的最大值为4.其中正确命题的序号为 _______ 三、解答题：本大题共 6小题，共70分•解答时应写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17 •(本小题满分12分) “神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救岀， 心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心 B,C,D )•当返回舱距地面 1万米的P 点时(假定以后垂直下落， 陆)，C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为60 , A东地面指挥中 ( 记 为 并在A 点着 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为30 . D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向.(1) 求B,C 两救援中心间的距离； (2)D 救援中心与着陆点 A 间的距离.18 .(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班 抽取一个容量为 8的样本进行分析.(1) 如果按性别比例分层抽样，则样本中男、女生各有多少人; (2) 随机抽取8位同学，数学分数依次为： 物理成绩依次为： 72，77，80，84，88， ① 若规定80分(含80分)以上为良好， 概率；21 .(本小题满分12分)」a 已知 f (x) In x ， g(x) x (a R). x(1) 求f (x) g(x)的单调区间；(2) 若x 1时，f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；学生编号 1 23 4 5 6 7 8 数学分数66 7 7 8899 x 0 5 0 50 5 0 5 物理分数 7 7 8 8 8999y 274835② 若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表： 有较强的线性相关关系，求出 n _ _ (X i x)(y i y) i 1 _______________(X i x)2i 1 y 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01 ).(参考公式:根据上表数据可知, 变量y 与 Ay bx x 之间具a ，其中__ _ _ 8a y bx ；参考数据：x 77.5， y 84.875 ，(X ii 1X)210508 (X i 1 19 .(本小题满分12分) 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，BAD 90，AD//BC,AB AD a ， BC 2a,PD.数底面题第BCD M 共 8 页) (1)求三棱锥B PAC 的体积； x)(Y i y) 688,1050 32.4， ..457 21.4， .550 23.5)(2)在PD 上是否存在一点 F ，使得PB//平面ACF ，若存在，求岀PF FD不存在，试说明理由； 20 .(本小题满分12分) 2 2 已知椭圆务与1 ( a b 0) a b求椭圆的方程； A值；若 的离心率为 —，且短轴长为2.2 (1) (2) 若与两坐标轴都不垂直的直线 I 与椭圆交于 A,B 两点，O 为坐标原点，且 OA OB -，S 3AOB 直线 I 的方程.25位女同学，15位男同学中随机 60，65，70，75，80，85，90，95; 90， 93， 95，90分(含90分)以上为优秀，在良好的条件下，求两科均为优秀的请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分.22 .(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，已知C点在O O直径的延长线上, 于D点.(1)求ADF的度数；(2)若AB AC，求AC : BC .23 .(本小题满分10分) 选修4-4 :坐标系与参数方程x 已知曲线C1的参数方程为y 2sin (为参数)，曲线C2的参数方程为2tcos(t为参1数).(1)若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线曲线C1和C2的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C2垂直的极坐标方程.C i和C 2，求岀24 .(本小题满分10分) 选修4-5 :不等式选讲设函数f(x) |2x 1| |2x 3|，x R.(1)解不等式(2)若g(x)f(x) 5;1f (x) m的定义域为R，求实数m的取值范围. 6-10 CABBD1-5 BCCDA17 :解：(1)由题意知PA文科数学答案11-12 AD 13. 2，14. 6 ，15.4，AC,PA AB，贝U PAC, PAB均为直角三角形••…16.①③④1分CA切O O于A点，DC是ACB的平分线，交AE于F点，交AB2在Rt PAC 中, PA 1, PCA 60，解得 AC _2在Rt PAB 中， PA 1, PBA 30，解得 AB ...3 ............................ ....... 3分 又 CAB 90 , BC 、、AC 2 BC 2 上万米.- 3....... 5分(2) sin ACD sin ACB 3 cos ACD 1 10， 10， 又 CAD 30 , 所以 sin ADC sin(30 ACD) 3 3 1........ 9分 2分7分ADC 中，由正弦定理, 在 10分 AD sin ACD AC sin ADC AC sin ACD 9 3 万米 ....... AD 12分 sin ADC (1)抽取男生数1325 c … 15 8 5人， 8 3 40 40 (3)b 0.655, a 则线性回归方程为： 19. ( 1) V 1 ........ (2) 存在点F 使PB//平面 连接 所以 BD 交AC 于E ，连接 AD DE DF 1 —5 BC EB PF 2 34.11 ( a 34.09 或 a 34.10也算正确) y 0.655x 34.11 .......................................... 12 分4分 PF (2)DF AD//BC,AD a, BC 2a , ACF EF ，所以 PB // EF 又EF 平面ACF , PB 不在平面20 . (1)短轴长 2b 2, b ACF 内，所以PB //平面 二 (2)ACF 1分 12分又a 2 b 22 c ,所以a (2) 设直线 I 的方程为y x 2 ，所以椭圆的方程为 — 2 kx m(k 0) , A(x 1, %), B(x ?, y ?) 2,c 1 X 1X1kx m 2y 24mk 1 2k 2 , 2m 2 2 2k 2 X 2OA ，消去 y 得，(1 2k 2)x 2224mkx 2m 2 0 OB X 1X 2 y“2 2即 3m 2 2k 2 3 1 2k 21 SAOB 1 m 11 X 1X 212 2即 9m (1 2k 9m 2 (1 2k 2 m 2 9m 2 10k 2 8I 1,m 2[(x 1 m 2) (1 2k 2)2X 2)2 4玄2] 2.,2 2 2-即 9m 2 10k 2 3 ~2 2 2~8m (1 2k m )(1 2k 2)2 (1 2 2 2k ) ................................... 解得k 2 1,m 2 2，所以 10 21 .( 1) F(x) f(x) g(x) ln x x — (x 0) x F (x) 4a 0 4a 012分1 '时，F (x) 0,所以 F(x)在(0,41时 ■J1 4a 1，时，F (X) 0,X !,X 242)上单调递减1 4a 11①一a0时，为0,X 2 0,单调增区间为(0,X 2)，单调减区间为(X 2,) ................... 5分4② a 0时，X ! 0,X 2 0，单调增区间为(X 1，X 2),，单调减区间为(0,X !),(X 2, ) .................................... 6分1综上：①a —时，F(X )在(0,)上单调递减(只要写岀以上三种情况即得 6分)41② 一a 0时，X 1 0,X 2 0,单调增区间为(0,X 2)，单调减区间为(x 2,)41 9不等式的解集为X [ -,-] ................... 5分4 4 (2)若g (X ) 1__ 的定义域为 R ，则f (X ) m 0恒成立，即f(x) m 0在R 上无解7分f (X ) m又 f(x) |2X1| |2X 3| |2X 1 2X 3| 2， f (X )的最小值为 2， .......................... 9 分a 2 恒成立，等价JUX max分k(x) xlnxx 2，k '(x)1 In X 2X ， [k '(x)]'-2Xk '(x)在[1, )上单调递减，k '(x) k '(1) 1 0， k(x)在[1,\ P |¥i 单 ..... )上单调递减 ..所以k(x)的最大值为k(1)1，所以 a d ....................12分 1 .............22 . (1)因为 AC 为O O 的切线，所以 B EAC• 1分因为DC 是 ACB 的平分线, 所以 ACD DCB .2分所以 B DCB EAC ACD ，即 ADF AFD ，.... 3分10 分,DAE 90 ....5 分(2)因为 BEAC ，所以 ACB ACB ，所以ACE 在 ABC 中，又因为 AB AC ，所以 BACB 30， Rt AC ABE 中， -BC AEABtanB tan 303-10分23 . 解：(1) C ： X 1• y sincos( 为参数)， ....... 2分'XC 2 : G 的普通方程：x 22y1，C 2的普通方程：yX 1 .s BCA ，所以竺_AE ，…7分BC ABtt 1(t为参数)在极坐标系中，直线化为 tan1，方程为C 2垂直的直线方程：即为 y X3 410分(少写一个扣一分)24. (1) X 4 124X3 2 4X 45③ a 0时，X 1 0,X 2 0，单调增区间为(禺公2),，单调减区间为(0,禺),区，)4分. 又因为BE 为O O 的直径，所以所以ADF (2)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线12(180 DAE) 45 .所以m 2 .............................................................. 10分。
黑龙江哈尔滨市第六中学校2020届高考数学(文)一模试题(含答案)
* 2 2⎪π考号哈尔滨市第六中学校 2020 届第一次模拟考试试题5.已知平面向量 a , b 的夹角为 3 ，且| a |= 2,| b |= 1 ，则| a 2 b |= （ ）1 A.4 B.2 C.1 D.6文科数学姓名考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 班级书写, 字体工整, 字迹清楚；6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示， 若最终输出的 x = 0 ，则一开始输入的x 的值为（ ） 37 15 31A. B. C. D. 4 8 16 327.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试 题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项m 2 m 1 =5 lg E 1 2 E 2，其中星等为m k 的星的亮度为 E k (k = 1,2) 。
已知太阳的星等是-26.7，天狼 装 中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {1,2,3,4,5}， B = {0,2,4,6}，则集合 A ⋂ B 的子集共有（ ）A. 2 个B.4 个C.6 个D.8 个订 2.已知复数 z 满足 ( z + i )(1 i ) = 3 + 3i ，则| z |= （ ）A.2B. 3C.4D. 2星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C. lg10.1D.1010.18.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对 兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(文科)
2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5 分)(1 i)(3 i）在复平面内对应的点位于A.第一象限 C.第三象限 D.第四象限2 . （5分）设集合A {x|(x 2)(x3),{a}，若A U B 则a的最大值为（3 .4.5 .6 .7 . A. 2(5分)若函数B. 2C. 3D.(5分)C.(5(5C.f (x) cos( x—)( 30）的最小正周期为万'则已知函数(1) ff（x）为偶函数分）已知向量10分）2 x92 x36(5分)已知椭圆2 y82 y35f(x)(2)B. 3C.B.D.D.f（x）的定义域为3]f（x）在［0, 3］上为增函数uuuABB.2C:x2a(1,2)802yb2uumBC1(a2019年庆祝中华人民共和国成立来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”(x,C.A ,B , C三点共线，则ACgBCr10 D. 800）的焦距为2,且短轴长为6,则C的方程为2 xB.—102 xD.—372X 192L 13670周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注, 还得到了无数外国人的关注. 某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有5位，若从这6位外国人中任意选取2位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（）9. （5分）我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题:盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？”为了解决这个问题，某人设计了11. （5分）现有下列四条曲线： ①曲线y 2exB.C.D.8. （5分）已知 （4，万）,且sin （4)3 10 10B.C. 3D.12 5“今有共买金，人出四百,C. 32, 9500D. 33, 9800 10. (5分)在四棱锥 P ABCD 中，PB PD 2 , AB AD 1 , PC73PA 3, BAD 120 ,AC 平分 BAD,则四棱锥P ABCD 的体积为 A -62B,而C.;②曲线y 2sinx ；③曲线y 3x如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的A. 30, 8900B. 31, 9200④曲线y x 3 x 2 .直线y 2x 与其相切的共有（ ）右焦点， M 为虚轴的一个端点，若 | MP | |PF 2 |的最小值为| FF 2 ],则C 的离心率为（）A . 2 V6B. 2 褥C. 4 76D. 4娓22二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.像K 1一 ，一， 13. （5分）若x, y 满足约束条件Q ，则x y 的取小值为x 2y, 314. （5分）在正方体 ABCD AB 1G D 1的12条棱中，与平面 BCQ 1平行的棱共有15. （5分）已知3a12, b 210g 32 ,现有下列四个结论： ①a 2b ；②a b 1；③a 2b ； ④a b3 .其中所有正确结论的编号是 .16. （5分）在 ABC 中， B 60 , b 而，若c 2a, m 恒成立，则 m 的最小值为 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分.17. （12分）在公差为2的等差数列｛a n ｝中，a 1 1 , a 2 2,a4成等比数列. （1）求｛a n ｝的通项公式；（2）求数列a n 2n 的前n 项和S n.18. （12分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， DAB 一,3面 PAD 面 ABCD, PA PD .2（1）证明：PB BC;A. 1条B. 2条C. 3条212. （5分）已知P 为双曲线C:4 a2看1(a0,b 0）左支上一点,D. 4条F i, F 2分别为C 的左、条.（2）求点A到平面PBC的距离.19.(12分)国家每年都会对中小学生进行体质健康监测，一分钟跳绳是监测的项目之一. 今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计，发现一分钟跳绳个数最低为10,最高为189.现将跳绳个数分成[10, 40), [40, 70), [70, 100), [100, 130), [130 , 160), [160, 190]六组，并绘制出如下的频率分布直方图.(1)若一分钟跳绳个数达到160为优秀，求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数；(2)上级部门要对该校体质监测情况进行复查，发现每组男、女学生人数比例有很大差别，[10, 40)组男、女人数之比为2:1 , [40, 70)组男、女人数之比为5:1 , [70, 100)组男、女人数之比为11:7, [100, 130)组男、女人数之比为10:11, [130, 160)组男、女人数之比为19:20 , [160, 190]组男、女人数之比为1:6 .试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留整数)2 x 20. (12分)已知函数f(x) ——.lnx(1)求f(x)的单调区间；1(2)若函数g(x) f (x) a在[e3,e2]上只有一个零点，求a的取值范围.2 221.(12分)已知以椭圆E:今彳1(a b 0)的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是a b面积为4的正方形.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l:y kx m(km 0)与椭圆E交于异于椭圆顶点的A, B两点，O为坐标原点，直线AO与椭圆E的另一个交点为C点，直线l和直线AO的斜率之积为1,直线BC与x轴交于点M .若直线BC , AM的斜率分别为K , k2 ,试判断K 2k2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.［选彳4-4 :坐标系与参数方程］x 2 2cos ..........22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线ly 2 |sin |x 1 3t.的参数方程为，(t为参数).y a 4t(1)若a f ,求C与l的普通方程；3(2)若l与C有两个不同的公共点，求a的取值范围.［选彳4-5:不等式选讲］23.已知函数f (x) | x 1| |x a |.(1)若a 1 ,求不等式f(x)…1的解集；⑵若“ x R, f(x) |2a 1|"为假命题，求a的取值范围.2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.C.第三象限D.第四象限【解答】解：Q(1 i)(3 i) 2 4i,B A,a 的最大值为3.【解答】解：因为f(x)为奇函数，故C 错误; Q f(0) f (3)0,故 D 错误.1. (5分)(1 i)(3 i)在复平面内对应的点位于(1 i)(3 i)在复平面内对应的点的坐标为(2, 4),位于第四象限. 2. (5分)设集合 A {x|(x 2)(x 3), 0}{a},若 A U B A,则a 的最大值为(A. 2B. 2C. 3D.【解答】解：Q A {x| 2娥 3}, B{ a},且 A U B A、选择题：本题共 A.第一象限3. (5分)若函数 f(x) cos( x -)(0)的最小正周期为 一，则2B. 3C.D.4. (5分)已知函数 f(x) (2)B. f(x)的定义域为 3]C. f(x)为偶函数D. f(x)在［0, 3］上为增函数【解答】解：Q f (1) f(x) 2 5(1) f (2),故 A 错误;由 9 x 2- 0，得 3gOx 3,f(x)的定义域为 3, 3］,故B 正确;uuu uuir uur uurAB (1,2) , BC (x, 4),若 A, B, C 三点共线，则 ACgBC ()A. 10B. 80C.10 【解答】解：因为A, B, C 三点共线，uuu uur 所以 AB//BC ,贝U 2x 4, x 2 ,uur uur uur 所以 AC AB BC (1,2);22所以C 的方程为二L 1 .10 97. （5分）2019年庆祝中华人民共和国成立 70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起 来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃” “强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队 的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人，其中关注此次大阅兵的有 5位，若从这6位外国人中任意选取 2位做一次采 访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（ ）5. （5分）已知向量 D. 80uuruur ACgBC(1) (2) (2) (4) 10 ； 2X6. （5分）已知椭圆C ：F a2卜b 0）的焦距为2,且短轴长为 6,则C 的方程为（A .2X9 2 X 36 2y 8 2 y 352x10 2 x 37 上19 2上136【解答】解：依题意可得2c 2, 2b6 ,则 c 1, b 3 ,所以 a 22 2b c 10,A-3 AB. 2 D. 3【解答】解：这6位外国人分别记为a E,其中a未关注此次大阅兵, 从这6位外国人中任意选取2位做一次采访,基本事件有(a,A), (a,B), (a,C), (a,D), (a,E)，(A,B)(A,C)，(A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E) (D,E),共15 个, 其中被采访者都关注了此次大阅兵的基本事件有10个,故被采访者都关注了此次大阅兵的概率为10158. （5分）已知A. 2 (7,5)，且sin(B. 43 1010则tanC. 3所以又sin(所以cos （所以tan 解：因为3.104) k10—) -- ,则tan(4 107) 3,12D.—53 1tan( --)-----------4 4 1 39. （5分）我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题: “今有共买金，人出四百,盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的AC 平分 BAD,则四棱锥P ABCD 的体积为（）C.【解答】解：由已知可得，PA 2 AB 2 PB 2,则PA AB, 同理可得PA AD,又AB] AD A,PA 平面 ABCD,则 PA AC .Q PC 73PA 3, AC J 3 (J 3)2而.Q BAD 120 ,且 AC 平分 BAD, 四边形ABCD 的面积为1 席手 手， 从而四棱锥P ABCD 的体积为13丝 73 32C. 32, 9500 【解答】解：根据算法的功能，可知输出的D. 33, 9800 程可得 x 33, y 9800.10. （5分）在四^麴隹P ABCD 中，PBx, y 是方程组300x 100, 400x 3400的解，解此方PD 2 , AB AD 1 , PC73PA 3, BAD 120 ,11. (5分)现有下列四条曲线： ①曲线y 2e x 2；②曲线y 2sin x;③曲线y 3x 」；x④曲线y x 3x 2 .直线y 2x 与其相切的共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【解答】解：若f(x) 2e x2,则由f (x) 2e x2,得x 0,点(0,0)在直线y 2x 上， 则直线y 2x 与曲线y 2e x2相切；若 f(x) 2sinx,则由 f(x) 2cosx 2,得 x 2k (k Z),所以 f(2k ) 0,则直线 y 2x 与曲线y 2sinx 相切；41. 1 一 . ........右f(x) 3x —,则由f (x) 3 F 2 ,得x 1 ,因为(1,4) , (1, 4)都不在直线y 2x x x上，所以直线y 2x 与曲线y 3x -不相切；x若f(x) x 3x 2,则由f(x) 3x 2 1 2,得x 1,其中(1,2)在直线y 2x 上，所以 直线y 2x 与曲线y x 3x 2相切. 故共有3条曲线与直线y 2x 相切,2x12. (5分)已知P 为双曲线C ：-y a|MP | | PF 2 |的最小值为| F 1F 2 I,则C 的离心率为()A. 2 J6B. 2'C. 4 662【解答】解：由双曲线的定义可得IPF 2 I IPF 1I 2a, 则 | MP | | PF 211Mp | | PF 1 | 2a …|MF 1| 2a,2\ 1(a 0,b 0)左支上一点, bF 1 , F 2分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若D.与平面BC 1D 1平行的为棱AB 1与棱CD.共2条.当M , P , F1三点共线时，取得最小值 | MF i | 2a ,即为Jb 2 c 2 2a , 由题意可得而c2 2a 2c,移项平方可得 b 2c 22c 2 a 24c 2 8ca 4a 2, 化为 2c 2 8ac 5a 2 0 ,由 e — (e 1), a可得2e 28e 5 0,解得e 2 —(2 —(舍去)， 2 2 故选：D .14. （5分）在正方体 ABCD AB 1C 1D 1的12条棱中，与平面 BC 1D 平行的棱共有【解答】解：在正方体ABCD ABCD 的12条棱中, 故答案为：2.U G二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.1颈X 1 … ，一13. （5分）若x, y 满足约束条件，则x y 的取小值为—3x 2y, 3............. ................. 俺（fx 1 . .. 【解答】解：作出x, y 满足约束条件 "表示的可行域，x 2y, 3如图所示，当直线z x y 经过点A （ 1,2）时，2_条.4 815.(5分)已知3a12, b 210g32 ,现有下列四个结论：①a 2b；②a b 1；③a 2b；④a b 3 .其中所有正确结论的编号是②③.【解答】解：由3a12, b 210g32,得a 1og312, b 1og34 ,则2b 1og316,所以a b log3 3 1 , a 2b, a b 1og3 48 1og3 27 3,即正确的有②③，故答案为：②③.16.(5分)在ABC中，B 60 , b 点，若c 2a, m恒成立.则m的最小值为" . 【解答】解：Q B 60 , b点，由正弦定理可得，一a- ^2 ,sin A sin C /32a 2sin A, c 2sinC 2sin(120 A),c 2a 2sin(120 A) 4sin A 3cosA 3sin A 2 3cos(A 60 )Q0 A 120 ,600 A 60 180 ,11cos(A 60 )-, 22芯 2 V3cos(A 60 ) 73,Qc 2a, m恒成立，则mi --73 ,即m的最小值为73 ,故答案为：方.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60分.17. （12分）在公差为2的等差数列｛a 。
黑龙江省哈尔滨市第六中学高三数学下学期第一次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版
2015年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，1）D．（﹣1，1）【考点】：对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：求解一元二次不等式化简集合A，求解对数函数的定义域化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解析】：解：A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x＜1}=[﹣1，1）．故选：C．【点评】：本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4）B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2）【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标．【解析】：解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），故选C．【点评】：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）A．150° B．120° C．60°或120° D．30°或150°【考点】：三角形的面积公式．【专题】：解三角形．【分析】：根据S△ABC=||•||•sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．【解析】：解：∵S△ABC=||•||•sin∠BAC，∴=×2×3×sin∠BAC，∴sin∠BAC=，∴∠BAC为30°，或150°，故选：D．【点评】：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．4．（5分）已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值（）A．是定值6 B．最大值为8C．最小值为2 D．与P点位置有关【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题．【分析】：先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【解析】：解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t+=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选A．【点评】：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．5．（5分）设x＞0，且1＜bx＜ax，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b【考点】：指数函数单调性的应用．【专题】：探究型．【分析】：利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．【解析】：解：∵1＜bx，∴b0＜bx，∵x＞0，∴b＞1∵bx＜ax，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选C．【点评】：本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．6．（5分）掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是（）A．B．C．D．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：向上的点数之和不小于6的情况找出，再利用古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出．【解析】：解：将两骰子投掷一次，共有36种情况，每种情况等可能出现，属于古典概型（1）设事件A={两骰子向上的点数和不小于6}；事件A1={两骰子向上的点数和6}，有5种情况事件A2={两骰子向上的点数和7}；有6种情况事件A3={两骰子向上的点数和为8}，有5种情况事件A4={两骰子向上的点数和为9}；有4种情况事件A5={两骰子向上的点数和为10}；有3种情况事件A6={两骰子向上的点数和为11}；有2种情况事件A7={两骰子向上的点数和为12}；有1中种情况则A1与A2、A3…A7为互斥事件，且A=A1+A2+A3+…+A7P（A）=P（A1+A2+A3+…+A7）=P（A1）+P（A2）+…+P（A7）==故选A【点评】：熟练掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式是解题的关键7．（5分）数列{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项．若b2=5，则bn=（）A．5•B．5•C．3•D．3•【考点】：等比数列的性质；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：由数列{an}是公差不为零的等差数列，利用等差数列的性质得到a8=a5+3d，a13=a5+8d，再由a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，利用等比数列的性质列出关系式，得到a5与d的关系，用d表示出a5，由等比数列的性质得到q=，将表示出的a8代入后，再将表示出的a5代入，约分后求出q的值，由q的值及b2的值，求出首项b1的值，由b1及q的值，利用等比数列的通项公式即可表示出bn的通项．【解析】：解：∵{an}是公差不为零的等差数列，并且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，∴（a5+3d）2=a5（a5+8d），∴，∴q===，∵b2=5，q=，∴b1==3，∴．故选D【点评】：此题考查了等差、等比数列的性质，以及等差、等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B．C．D．3【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解析】：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．9．（5分）如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】：循环结构．【专题】：计算题；简易逻辑．【分析】：根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解析】：解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，判断算法的功能是解答本题的关键．10．（5分）点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=AC=，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．8π C．D．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：综合题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解析】：解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，∴DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4﹣R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选C．【点评】：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．11．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．[0，1] B．C．D．【考点】：直线与圆相交的性质．【专题】：直线与圆．【分析】：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围【解析】：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是[0，]故选：B【点评】：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（20，32）B．（9，21）C．（8，24）D．（15，25）【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得则的取值范围．【解析】：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣（x3+x4）+1=x3x4﹣11，∵2＜x3＜x4＜10∴的取值范围是（9，21）．故选：B．【点评】：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知数列{an}中，a2=1，an+1=an+n﹣1，则a5=7．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：an+1=an+n﹣1，变形为an﹣an﹣1=n﹣2（n≥2）．利用“累加求和”即可得出．【解析】：解：∵an+1=an+n﹣1，∴an﹣an﹣1=n﹣2（n≥2）．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=（n﹣2）+（n﹣3）+…+1+1=+1=+1．∴a5=+1=7．故答案为：7．【点评】：本题考查了递推式、数列的其通项公式、“累加求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）如果x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（，）．此时z的最大值为z=2×+=故答案为：【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=1．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．【解析】：解：由题意可知过焦点的倾斜角为30°直线方程为y=（x﹣），联立可得：⇒x2﹣7px+=0，∴x1+x2=7p，x1x2=，∴|x1﹣x2|===4p，∴|AB|=|x1﹣x2|=×4p=8，解得：p=1，故答案为：1【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．16．（5分）已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围为（，+∞）．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得ex﹣m=﹣有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围．【解析】：解：函数f（x）=ex﹣mx+1的导数为f′（x）=ex﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有ex﹣m=﹣有解，即m=ex+，由ex＞0，则m＞．则实数m的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）=2cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（）=﹣，且AC=1，BC=3，求sinA的值．【考点】：余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=﹣cos2x，从而可求最小正周期和最大值；（2）由已知先求得cosC的值，即可求sinC的值，由余弦定理可得：AB的值，从而由正弦定理得sinA的值．【解析】：解：（1）∵f（x）=2cos（2x+）+sin2x=﹣cos2x﹣sin2x+sin2x=﹣cos2x∴函数f（x）的最小正周期T==π，函数f（x）的最大值是1；（2）∵f（x）=﹣cos2x，∴f（）=﹣cosC=﹣，可得：cosC=．∴sinC==∴由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2﹣2×AC×BC×cosC=9+1﹣2×=7，既得AB=∴由正弦定理：可得：sinA===．【点评】：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．18．（12分）某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）从5个小区中任选两个小区，列出所有可能的结果，然后找出选出的两个小区恰有一个为非低碳小区的基本事件，根据古典概型的概率公式解之即可；（II）根据图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”，由图2可求出三个月后的低碳族的比例，从而可判定三个月后小区A是否达到了“低碳小区”标准．【解析】：解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n，…（2分）用（x，y）表示选定的两个小区，x，y∈{A，B，C，m，n}，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是（A，B），（A，C），（A，m），（A，n），（B，C），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n），（m，n）．…（5分）用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们是：（A，m），（A，n），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n）．…（7分）故所求概率为．…（8分）（II）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”．…（10分）由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.76＞0.75，…（12分）所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准．…（13分）【点评】：本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，以及频率分布直方图，同时考查了识图能力，属于基础题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=，M是棱PC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面MQB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣DQM的体积．【考点】：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，证明MN∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面MQB．（Ⅱ）利用VP﹣DQM=VM﹣PDQ，求出M到平面PAD的距离为，然后求解体积．【解析】：证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，∵BC∥AD且，即BC∥AQ，∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又因为点M是棱PC的中点，∴MN∥PA，因为MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，则PA∥平面MQB；…6 分（Ⅱ）VP﹣DQM=VM﹣PDQ，证明出CD⊥平面PAD所以M到平面PAD的距离为…9 分所以…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．（12分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知|AB|=|BC|．（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）利用|AB|=|BC|．设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C（0，2a），求出带入椭圆方程，求解离心率．（2）设椭圆方程为，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．【解析】：解：（1）由|AB|=|BC|．知，设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C （0，2a）所以带入得，3a2=4b2，所以…（5分）（2）由（1）设椭圆方程为，联立y=kx+m和椭圆得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12c2=0，由y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P知△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12c2）=0得m2=c2（3+4k2），（1）…（8分），Q（4，4k+m），…（9分）由PM⊥QM得即m2=（3+4k2），（2）…（10分）由（1），（2）得c2=1所以椭圆方程为…（12分）【点评】：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．21．（12分）已知关于x的函数（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；函数的零点．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）a=﹣1时，求函数f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与极值并求出；（Ⅱ）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．【解析】：解：（Ⅰ），x∈R．当a=﹣1时，f（x），f'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2）2 （2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘ 极小值↗所以，当a=﹣1时，函数f（x）的极小值为﹣e﹣2．（Ⅱ）．①当a＜0时，F（x），F'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2）2 （2，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘ 极小值↗因为F（1）=1＞0，若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞﹣e2，所以此时﹣e2＜a＜0；②当a＞0时，F（x），F'（x）的情况如下表：x （﹣∞，2）2 （2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣f（x）↗ 极大值↘因为F（2）＞F（1）＞0，且，所以此时函数F（x）总存在零点．综上所述，所求实数a的取值范围是{a|﹣e2＜a＜0}．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况，以及根据函数的单调性和极值讨论函数的零点问题，是易错题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解析】：（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（5分）（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…（10分）【点评】：本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解析】：解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．【点评】：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．选修4-5；不等式选讲．24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解析】：解：（1）f（x）=，…（2分）当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（5分）（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…（10分）【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．。
哈尔滨市第六中学校2020届高三数学第一次模拟考试试题文含解析
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式,以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒,借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，则一开始输入的 的值为( ）
【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，考查考生的运算求解能力，熟记复数模的计算公式是本题的解题关键,属于基础题。
3。 设函数 ，则 的值为（ )
A. —7B. —1C. 0D。
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质即可得出．
【详解】∵函数 ，
∴
故选D
【点睛】（1)求分段函数 函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值,当出现f（f(a））的形式时,应从内到外依次求值．
【答案】B
【解析】
【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点,
当 平面 时，三棱锥 体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛:本题主要考查三棱锥 外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
【答案】
【解析】
【分析】
画出图像，找到可行域，画出目标函数的等值线 ，并在可行域中进行平移，可得目标函数取最值的最优解。
黑龙江省哈六中高三数学第一次模拟考试(文)
黑龙江省哈尔滨市第六中学2009届高三第一次模拟考试数学文科试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟；第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合21{|log ,1},{|(),01}2xA y y x xB y y x ==>==<<，则AB 为 （ ）A ．)21,0(B ． ),21(+∞C ． 1(,1)2D ．(0,2)2．函数()122log 231y x x =-+的递减区间为 （ ）A ．()+∞,1B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43 3．函数x x x f 32sin )232sin()(++=π的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）A 、π3B 、 π6C 、23πD 、43π4．已知向量)1 ,1(-=x a ，=b (1, x x -1)，则||b a+的最小值是 （ ）A ．1B ．2C ．3 D ．25．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += （ ）A．．．-6．下面给出四个命题：① 直线l 与平面α内两直线都垂直，则l α⊥； ② 经过直线a 有且仅有一个平面垂直于直线b ； ③ 过平面α外两点，有且只有一个平面与α垂直；④ 直线l 同时垂直于平面α、β，则α∥β；其中正确的命题个数为 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37．一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，设计者按照每次点亮时，恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是 （ ）A ．28B ．84C ．180D ．3608．直线0ax by b a ++-=与圆2230x y x +--=的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．与a 、b 的取值有关9．已知x ，y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，z ax y =+若的最大值为93+a ，最小值为33a -，则a 的范围为 （ ）A 1≥aB 1-≤aC 11≤≤-aD 11-≤≥a a 或 10．函数1)2()(2-+-+=a x a x x f 是偶函数，则曲线1)(==x x f y 在处的切线方程是 （ ）A ．42+-=x yB ．x y -=C ．22+=x yD ．x y 2=11．椭圆()2222 1 0x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O F A H 、、、，则||||FA OH 的最大值为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．不能确定12．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA β⊂CB β⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α内有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值是 （ ）A ．24B ．32C ．12D ．48第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上． 13．二项式6)2(xx +的展开式中常数项为 ；中，三组对棱棱长分别相等且依次为5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ；15．已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线左支上的 一点，若221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 ；16．对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列命题：① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ；② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立；③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称；④ 函数()f x 的图象关于点)0,43(π对称； ⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()[1f x ∈；其中正确命题的序号是 ；三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n ；（1）求角A 的大小；（2）当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求角B 的大小；18. （本题满分12分）在教室内有10名学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意选3人记录其校徽的号码； （1）求最小号码为5的概率；（2）求3个号码中至多有一个偶数的概率； （3）求3个号码之和不超过9的概率；19. （本小题满分12分）如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC ，且使两个三角板所在平面互相垂直，若90BAC CBD ∠=∠=︒，AB AC =，60BD C ∠=︒，6BC =．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面ACD ．（Ⅱ）求二面角A CD B --的平面角的余弦值． （Ⅲ）求B 到平面ACD 的距离．20. （本题满分12分） 设函数ax x x x f +-=2331)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值； (1) 求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；(2) 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围；ABC21. （本题满分12分）已知数列{}n a 中，211111,(,2)n n n n n a a a a a a n N n +--+==+∈≥，且11n na kn a +=+； （1）求证：1k =；（2）设1()(1)!n n a x g x n -=-，()f x 是数列{()}g x 的前n 项和，求()f x 的解析式；（3）求证：不等式3(2)(3)f g n<对于n N +∈恒成立；（（3）问只理科生做，文科生不做） 22．（本题满分12分）在△ABC 中，32=AC ，B 是椭圆14522=+y x 的上顶点，l 是双曲线222-=-y x 位于x轴下方的准线，当AC 在直线l 上运动时．（1）求△ABC 外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程； （2）过定点F(0，23)作互相垂直的直线l 1、l 2，分别交轨迹E 于M 、N 和R 、Q ； 求四边形MRNQ 的面积的最小值；文科数学试卷答案一、选择题： 1. C 2. A 3.C 4. B 5. A 6.B 7. A8. A 9. C 10. D11. C 12. C二、填空题： 13. 6014.215. (1,3] 16. ①③④⑤三、解答题：17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n ；⑴求角A 的大小；⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求角B 的大小；解：⑴由⊥m n ，得0=m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --=由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=,(0,)A B π∈，∴1sin 0,cos 2B A ≠=，∴3A π= （4分） ⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2coscos 2sin666y B B B B B πππ=++=-++112cos 21sin(2)226B B B π=+-=+- 由(1)得，270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时， 即3B π=时，y 取最大值2 （10分）18. （本题满分12分）在教室内有10名学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意选3人记录其校徽的号码； （1）求最小号码为5的概率；（2）求3个号码中至多有一个偶数的概率； （3）求3个号码之和不超过9的概率．(1) 解：从10人中任取3人，共有等可能结果310C 种，最小号码为5，相当于从6，7，8，9，10共5个中任取2个，则共有25C 种结果，则最小号码为5的概率为：121310251==C C P 4分(2) 解：选出3个号码中至多有1个偶数包括没有偶数和1个偶数两种情况，取法共有60251535=+C C C 种，所以满足条件的概率为：21603102==C P ． 8分 (3) 解：三个号码之和不超过9的可能结果为(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)， (2，3，4)，(1，3，4)，(1，3，5)，则所求概率为：120773103==C P ． 12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由于平面ABC ⊥平面BCD ，且B D B C ⊥，那么BD ⊥平面ABC ，而AC ⊂平面ABC ，则BD AC ⊥………①，又AC AB ⊥………②,BD AB B =………③，所以AC ⊥平面ABD ，又因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ABD ⊥平面ACD ； （Ⅱ）取BC 中点E ，作E F C D ⊥于F ，连,AEA F ，则AE ⊥平面BCD ，AFE ∠为二面角A CD B--的平面角。
(优辅资源)黑龙江省哈尔滨市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
哈尔滨市第六中学校2017届第一次模拟考试数学（文史类）出题人：黄金雷 审题人：李 新考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡， 满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1.已知集合}2,1,0,1{-=A ，{}421|<≤=x x B ，则=B A( )A. {}1,0,1-B. {}2,1,0C. {}1,0D.{}2,1 2．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 ( )A ． 6B ．6-C ．0D ．61 3. 已知点),2,3(),1,0(B A 向量)3,4(--=→AC ，则向量→BC = ( )A ．)4,7(--B ．)4,7(C ．)4,1(-D ．)4,1(4. 已知函数⎩⎨⎧≥<+=,4,2,4),1()(x x x f x f x则=+)3log 2(2f( )A ．8B ．12C ．16D ．245. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为( )（参考数据：sin150.2588sin 7.50.1305==，） A ．12B ．24C ．26D ．486题图5题图6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( )A ．1603B ．160 C. 64+．60 7.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)
一、单选题1.在三棱锥中，已知△ABC 是边长为8的等边三角形，平面ABC ，，则AB 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．2. 已知，，则（ ）A．B．C．D．3. 苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直4. 已知三内角，A ，B ，C 成等差数列，（ ）A．B．C．D．5. 设复数，若复数的虚部为，则等于( )A．B．C．D．6.某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（）A ．百米B ．百米C ．百米D ．百米7. 函数的图像大致是A．B．C．D．黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)二、多选题三、填空题8. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B互斥，B ．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C ．若随机变量，，则D ．已知y 关于x 的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.210. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率是B ．线段长度的取值范围是C ．面积的最大值是D ．的周长存在最大值11.已知点为定圆上的动点，点为圆所在平面上的定点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能是（ ）A ．一个点B ．直线C ．椭圆D ．双曲线12. 已知等边三角形ABC 的边长为6，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，如图所示，将△AMN 沿MN 折起至，得到四棱锥，则在四棱锥中，下列说法正确的是（）A．当四棱锥的体积最大时，二面角为直二面角B ．在折起过程中，存在某位置使BN⊥平面C．当四棱锥体积的最大时，直线与平面MNCB所成角的正切值为D．当二面角的余弦值为时，的面积最大13.在中，，，则________；________.14. 已知函数，则的对称中心为____.15. 下图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度(单位：)的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m =___________，据此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为___________.四、解答题16. 如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，点在上．（1）求证：平面；（2）当为线段的中点时，求点到平面的距离．17. 已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）若，，有，求实数的取值范围.18. 设复数，求复数的模及辐角主值．19. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示:（1）求的值；（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第2组中抽到人的概率．20. 函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若，且，求.21. 已知函数，.（1）函数在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间；（2）设函数的导函数为，对任意的，若恒成立，求的取值范围.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)
一、单选题1. 已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（ ）A ．4B．C ．8D．2. 已知定义在（0，+∞）上的函数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）A．B．C．D．3.在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是A．B．C ．平面D ．平面4. 《孙子算经》中有如下问题：“今有六万口，上口三万人，日食九升；中口二万人，日食七升；下口一万人，日食五升.问：上、中、下口，共食几何？”翻译为：“今有6万人，其中，大胃口的有3万人，每人每天要吃9升粮食；中胃口的有2万人，每人每天要吃7升粮食；有1万人，每人每天要吃5升粮食.问：大胃口、中胃口、小胃口的人，一天一共要吃多少粮食？”基于上述问题，现有如下命题：①中胃口的人每日吃的粮食总量比小胃口的人每日吃的粮食总量多9万升；②小胃口的人每日吃的粮食总量占每日被吃粮食总量的；③大胃口的人每日吃的粮食总量不足每日被吃粮食总量的一半.则上述说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. 如图是由线段，和优弧围成的“水滴”，其中连线竖直，，与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为2，则（）A．B．C．D．6. 已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为（ ）A．B ．31C．D ．2207.已知向量，，则（ ）A．B．C．D．8. 函数在上的大致图象为（ ）A．黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(1)二、多选题三、填空题B．C．D．9. 设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，则（ ）A．B．C．D．10. 已知且，则（ ）A．的最大值为B ．的最大值为2C．的最小值为6D ．的最小值为411. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．排气12分钟后浓度为D ．排气32分钟后，人可以安全进入车库12. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（ ）A ．存在点，使为等边三角形B ．若为上一点，则最小值为1C ．若，则直线与圆相切D．若以为直径的圆与圆相外切，则13. 已知，则______．四、解答题14. 设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为________15.已知向量，若，则__________．16. 如图1，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为2的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为20的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器P 的移动速度为 1.5，仪器的移动速度为1.若仪器Р与仪器Q 的对视光线被花柱阻挡，则称仪器Q 在仪器P 的“盲区”中.(1)如图2，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器Р在点A 处，仪器Q 在BC 上距离C 点4处，试判断仪器Q 是否在仪器P 的“盲区”中，并说明理由；(2)如图3，斑马线的内侧连线构成正方形ABCD ，仪器P 从点A 出发向点D 移动，同时仪器Q 从点C 出发向点B 移动，在这个移动过程中，仪器Q 在仪器Р的“盲区”中的时长为多少？17.在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B 的大小；（2）的面积．条件①：；条件②：．18. 已知.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间.19. 已知圆锥曲线上的点的坐标满足．（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．①求直线在轴上的截距的取值范围；②求证：的平分线总垂直于轴．20. 甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进.年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号.在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为表示该插钎处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图.（Ⅰ）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于，则该数据要标记“”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有的把握认为数据标记“”与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：.21. 已知数列中，，为数列的前项和，当时，．（1）证明：数列|为等比数列；（2）求数列的通项公式．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 生活中为了美观起见，售货员用彩绳对长方体礼品盒按照如图所示的方式进行捆扎，并在角上配一个花结.若礼品盒的长､宽､高分别为，，，不考虑花结用绳，依据图中方式捆扎，最少需要彩绳A．B．C．D．2. 设函数=,则下列结论正确的是A ．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C ．的最小正周期为D ．在上为增函数3. 已知角的终边过点，则的值为（ ）A．B．C．D．4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．在，，，这4个数列中，局部等比数列的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知复数，且，其中a ，b 是实数，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，7.代数式取得最小值时对应的值为（ ）A ．2B．C．D．8.已知、、均为单位向量，且满足，则的值为（ ）A．B．C．D．9.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（）A．B．C．点的坐标为D．点的坐标为黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(2)黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 若、是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是（ ）A ．若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线B．若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直C ．若直线，则在平面内，一定存在与直线异面的直线D ．若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线11.设函数的定义域为R ，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．，B ．是的极大值点C ．是的极小值点D ．是的极小值点12. 已知圆，则下列四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C 上有且仅有3个点到直线的距离都等于1B．过点作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN的方程为C ．将圆C 向左平移一个单位长度得到圆B ，若斜率为的直线与圆B 交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，且有，则的最大值为D ．若圆C 与圆恰有三条公切线，则13. 形如都是正整数，，且的最大公因数为1的数叫真分数，数列是由所有满足时的真分数构成的，且是递增数列，则数列共有__________项，__________．．14. 在中，若，，BC 边上的中线AD 的长为3.5，则______________.15. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为___16. 在①；②，与都是等比数列；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知数列的前n项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和．注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．17.设数列的前项和为，数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.18. 现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．文章学习积分12345概率表1视频学习积分246概率表2（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望．19. 2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电．某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量x（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量x（千瓦时）时，超过部分按议价计费．随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照[0，50），[50，100），…[400，450]分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）．(1)求直方图中m的值；(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准x（千瓦时）的值；(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取2户，求其中不小于400（千瓦时）的恰好有1户居民的概率．20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAD是正三角形，，，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．21. 如图，在三棱柱中，平面，底面为矩形，且分别为边的中点．(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 设函数下列结论正确的是A．B．C ．在上递减，无极值D ．在上递上递增，无极值2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题为真命题的是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．4. 在函数中，最小正周期为的函数是（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，若，则等于A ．1B ．2C ．1或D ．1或26. 已知向量，若，则（ ）A．B．C．D ．407. 若集合，，则A．B．C．D．8.若的图象上两点关于原点对称，则称这两点是一对对偶点，若的图象上存在两对对偶点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A ．若复数z ＝3+i，则B ．复数z 满足|z ﹣2i|＝1，z 在复平面内对应的点为，则x 2+＝1C ．若复数z 1，z 2，满足，则D ．复数z ＝13i 的虚部是310. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题三、填空题四、解答题用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）A ．54周岁以上参保人数最少B ．18～29周岁人群参保总费用最少C ．丁险种更受参保人青睐D ．30周岁以上的人群约占参保人群20%11. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c ，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）A．B．C．D．12. 数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（）A．B．C．D．13. 在平面直角坐标系xoy 中，过圆C 1：＝1上任一点P 作圆C 2：＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝__.14. 表面积为的球的体积为__________.15. 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________.16. 为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1，将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示，（1）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97．5％的把握认为阅读方式与年龄有关？电子阅读纸质阅读合计（人）青少年（人）中老年（人）合计（人）参考公式：.P（K2>k0.150.100.050.0250.0100.0050.001）k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82817. 如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．(1)若，求的值；(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）18. 已知数列满足：，且．(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期月日月日月日月日月日温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验.（1）求选取的组数据恰好是不相邻两天数据的概率；（2）若选取的是月日与月日的数据，请根据月日至月日的数据求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗.则认为得到的线性回归方程是可靠的.试问（2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.20. 设函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的极小值大于0，求k的取值范围．21. 哈三中从甲､乙两个班级中选拔一个班级代表学校参加知识竞赛，在校内组织预测试，为测试两班平均水准，要求每班参加预测试的代表学生应按班级人数的随机选出.现甲班在籍学生50人，乙班在籍学生40人(1)若乙班将学生进行编号，编号分别为1，2，3，…，40，采用系统抽样的方法等距抽取，若第二段被抽取的学生编号为7，求第四段抽取的学生的编号（直接写出结果，无需过程）；(2)现从甲乙两班代表学生中利用分层抽样共选取9人，再从这9人中随机抽取3人参加加试，记其中甲班学生人数为随机变量X，求X的分布列与期望.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022届高三下学期第一次模拟考试 数学(理)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 当时，恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A．B．C．D．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2a ，E 是AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至△A 1DE 的位置，使三棱锥A 1﹣CDE 的体积取得最大值，若此时三棱锥A 1﹣CDE 外接球的表面积为16π，则a ＝（）A ．2B．C．D ．43. 已知向量，，，则实数m 的值为（ ）．A．B．C．D ．14. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为（ ）A ．120B ．80C ．20D ．405. 已知集合U={x ∈N|0＜x≤8}，A={2，3，4，5}，B={3，5，7}，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{7}B ．{2，4}C ．{1，6，8}D ．{2，3，4，5，7}6.要得到函数的图象，需要将函数的图象作怎样的平移才能得到（ ）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移7. 函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（ ）.A．B ．0C ．1D ．28. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9.已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（ ）黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题(2)黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试题(2)三、填空题四、解答题A．是函数的一个零点B ．函数的图象关于直线对称C ．方程在上有三个解D ．函数在上单调递减10.已知函数，其导函数为，设，则（ ）A ．的图象关于原点对称B ．在R 上单调递增C．是的一个周期D ．在上的最小值为11. 已知函数，则（ ）A．是周期函数B ．的最小值是C．的图象至少有一条对称轴D．的图象至少有一个对称中心12.在中，，且，，若将沿边上的中线折起，使得平面平面．点在由此得到的四面体的棱上运动，则下列结论正确的为（ ）A．B ．四面体的体积为1C ．存在点使得的面积为1D．四面体的外接球表面积为13. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_____________．14. 已知α为第二象限角，且，则________.15.设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则______．16.已知数列的前n项和为，，且．(1)求数列的通项；(2)设数列满足，记的前n 项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．17. 某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值.(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望；(Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.18. 已知函数在处的切线方程为.(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m的最大值.19. 在四棱锥中，底面梯形中，，AC与BD交于M点，，、为正三角形，，连接.(1)求证：面；(2)设PB与面ABCD所成角为，且，求四棱锥的体积.20. 已知双曲线（为锐角）和圆相切于点，求的值．21. 已知函数.（1）求和的值；（2）若的最小值为，求实数的值.。
黑龙江省哈六中201届高三第一次模拟考试(数学文)
黑龙江省哈六中201届高三第一次模拟考试(数学文)黑龙江省哈六中201届高三第一次模拟考试数学卷第一节：选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1.已知函数f(x)=x^2 + 2x + 3，那么f(-3)的值为（）A. 7B. 9C. 11D. 132.已知线段AB的长为a，点C是线段AB中点，若线段AC和BC的长的比值为2：3，则BC的长度为（）A. 2a/3B. aC. 3a/2D. a/23.已知函数f(x)=x^3 + 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值为（）A. 9B. 11C. 13D. 154.已知α是一组整数解，方程x^2 - αx + 26 = 0 的解之和为25，则α的取值范围为（）A. 0 < α < 50B. -50 < α < 50C. 0 < α < 25D. -25 < α < 05.已知a，b都是正整数，若$(a + \sqrt{4 - b})(\sqrt{a - 4} + b) = 9 - 7\sqrt{2}$，求a + b的值为（）A. 4B. 7C. 11D. 136.已知函数y = a^2 - 4a + 8，则a的取值范围为（）A. a > 4B. a < -4C. 2 < a < 6D. a < 2或a > 67.已知直线L ：2x - y + 2 = 0，点A(3, 5)，则A到直线L的距离为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.已知函数y = x^2 - mx + (3 - m)，当m取什么值时，函数的图像经过点(2, -1)（）A. m = 2B. m = -2C. m = 3D. m = -39.已知a，b是正整数，且$\frac{a + b}{a - b} + \frac{a - b}{a + b} = 2$，求$\frac{a}{b}$的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -210.已知平面上直线L1 ：3x - 4y + 10 = 0，直线L2 ：x - 8y + 6 = 0，L2与x轴交点为A，与y轴交点为B，则直线L1过点A、B的中点为（）A. (-14/7, 0)B. (0, 3/2)C. (6, 0)D. (5/2, 0)11.已知顶点坐标为(1, -2)，对称轴为x = 3的抛物线的焦半径为1，则此抛物线的方程为（）A. $y = \frac{1}{4}x^2 - 2x - \frac{17}{4}$B. $y =\frac{1}{4}x^2 - 2x - \frac{13}{4}$C. $y = \frac{1}{4}x^2 - 3x - \frac{13}{4}$D. $y =\frac{1}{4}x^2 - 3x - \frac{17}{4}$12.已知函数f(x)在点x = 2处的切线与y轴交于点A，与x轴交于点B，若$\lim_{x \to 2}\frac{f(x) - 1}{x - 2} = 5$，则线段AB的斜率为（）A. 1B. 2C. 3D. 413.已知函数f(x) = x^3 + ax + 3，f(-2) = 1，则a的值为（）A. 1B. -1C. 3D. -314.已知函数y = (x + 1)(x - 2)^2，则曲线y = f(x)的图像有（）A. 1个极小值点和1个拐点B. 1个极小值点和2个极大值点C. 2个极小值点和1个拐点D. 1个极小值点和3个极大值点15.已知直线L : kx - y + 2 = 0与x轴、y轴分别交于A，B两点，A、B两点之间的距离为4，点C(2, 3)，则AC的长度为（）A. 1B. 3C. 4D. 7第二节：填空题（共10小题，每小题3分，共30分）16.若$\Delta ABC$内的垂线$AD$、$BE$、$CF$交于一点$H$，则$\frac{AD}{HD}$ + $\frac{BE}{HE}$ + $\frac{CF}{HF}$ =_______17.若$x = \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$，则$x^3 + \frac{1}{x^3}$ =_______18.设四边形$ABCD$是一个等腰梯形，$AD$是平行于$x$轴的边，$AB$是垂直于$x$轴的边，则四边形$CD$的斜率为________，四边形$ABCD$的面积为________19.若数列$(a_n)$满足$a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$，满足$a_1 = 1$，$a_2 = 4$，则$a_{100}$的值为________20.已知函数$f(x) = 4x^3 - ax^2 - 11x + 8$，若它在$x = 2$和$x= 3$处取得极值，且$f(0) = 8$，则过点$(0, 8)$的切线方程为________21.平面直角坐标系$xOy$中，点$A(-1, 2)$，点$B(3, 4)$，直线$l$过点$B$与点$A$的中点，设线段$BC$与$x$轴交于点$C$，则直线$l$的斜率为________22.设集合$M = \{x|x \leq 1 \text{且} x \geq -3\}$，集合$N =\{x|x < 2 \text{且} x > -4\}$，则集合$M \cup N$的取值范围为________23.已知$\sin\theta = \frac{1}{2}$，$\theta$为第二象限的终边角，求$\cos(\theta - \frac{\pi}{3})$ = _______24.已知等差数列$(a_n)$的前n项和为$S_n$，设$a_1 = 7$，$a_n = 25$，$S_n = 201$，则$n =$ _______25.已知圆心在第四象限，与圆心距离为4单位长度的一条直线与$x$轴交于点$(4, 0)$，则此圆的方程为________第三节：解答题（共4小题，共55分）26.已知$\Delta ABC$中，$D$、$E$分别是$BC$、$AC$上的点，且$BD = AE$，$\angle ABD = \angle BAE = \alpha$，$\angle ABC = \beta$，$\angle BCA = \gamma$。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）A ．5B ．10C ．15D ．202. 甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（ ）A．B．C ．1D．3. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A．的一个周期为B．的图像关于点对称C ．的图像关于直线对称D．在区间的值域为4. 已知m 为实数，当m 变化时，在复平面内对应的点不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5.已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）A ．2021B ．2023C ．4043D ．40456.是定义在实数集上的奇函数，且当时，，则当时，的表达式为（ ）A．B．C．D．7. 复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，它的两个相邻的极值点之间的距离为．若先将函数的图像向左平移个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则在上的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDP x （单位：万元）和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z （单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（）黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题(1)黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．人均GDP 和女性平均受教育年限正相关．B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关C．D ．未来三年总和生育率一定继续降低10.如图，在直三棱柱中，，，点是上的动点，点是上的动点，则（）A．//平面B ．与不垂直C．存在点、，使得D ．的最小值是11.已知函数，则下列说法正确的有（ ）A ．若，则B ．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C ．函数的最小正周期为D ．若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为12. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若为椭圆，则B ．若为双曲线，则或C．曲线可能是圆D ．若为椭圆，且长轴在轴上，则13. 已知M ，N是抛物线上两点，焦点为F ，抛物线上一点到焦点F 的距离为，下列说法正确的是______．（把所有正确结论的编号都填上）①；②若，则直线MN 恒过定点；③若的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为；④若，则直线MN 的斜率为．14. “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则__________.15. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.16.设.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，若在上的最大值为1，求的值.17. 已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，，求实数k 的取值范围．18. 已知函数.(1)曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；(2)记.（i）讨论的单调性；（ⅱ）若，为在上的最小值，求证：.19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c(sinC-sinA)=(sinA+sinB) (b - a).(1)求B；(2)若c=8，点M，N是线段BC的两个三等分点，，求AM的值．20. 已知数列满足.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.21. 已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)设函数的最大值为m，证明：.。
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2013年哈尔滨市第六中第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合}1,0,1{},2|{-==∈=B y R y A x ，则下列结论正确的是（ ）（A ）}1,0{=B A I（B ）),0(+∞=B A Y（C ）)0,()(-∞=B A C R Y （D ）}0,1{)(-=B A C R I2．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为（ ）（A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6-3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）（A ）8，8 （B ）9，7 （C ）10，6 （D ）12，4 4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．侧视图正视图其中正确的是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 5．函数xx x f 1ln )(-=的零点所在区间是（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,3)6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的 值为（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）127．对于命题p ：双曲线)0(14222>=-b b y x 的离心率为2；命题q ：椭圆)0(1222>=-b y bx 的离心率为23，则q 是p 的（ ） （A ） 充要条件 （B ） 充分不必要条件 （C ） 必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件8． 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，若222a bc cb =-+，且3=ba，则角C 的值为（ ）（A ）︒45 （B ）︒60 （C ）︒90 （D ）︒120 9．已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，08462=-a a a ，则=24S S （ ） （A ）5 （B ）8 （C ）8- （D ）1510．已知函数x e x f x+=)(，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（ ）（A ）2102+≤<e a ,1≥b （B ）2102+≤<e a ,1≤b（C ）212+≥e a ,1≥b （D ）212+≥e a ,1≤b11．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ） （A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称（B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称 （C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同12． 函数2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（ ）（A ）),0(e （B ）),1(e （C ）),1(e e （D ）),1(),1(e e eY 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若279=S ,则423a a -等于 ． 14．设c b a ,,是单位向量，且+=，则向量b a ,的夹角等于____________．15．已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p 等于____________． 16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象如图所示．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合；（18）（本小题满分12分）某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：分组频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[3 0.06 )70,60[ 14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ )100,90[4 0.08 合计（1） 请把表中的空格都填上，并估计高三学生成绩在85分以上的比例和平均分； （2）为了帮助成绩差的同学提高成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从)100,90[成绩中选两名同学，共同帮助)50,40[中的某一位同学。
已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率（19）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，E 为AD 的中点． （1）求证：PB AD ⊥； （2）求点E 到平面PBC 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），当3||=AB 时，求实数t 的值．（21）（本小题满分12分）已知函数xe x g x xf ==)(,ln )( （1）若函数11)()(-+-=x x x f x ϕ，求函数)(x ϕ的单调区间； （2）设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线，证明：在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（1）2CE CE AC DE BE =⋅+⋅； （2）B C F E ,,,四点共圆．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y tx 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．哈六中2013届第一次高考模拟考试文科数学参考答案 一、选择题1D 2A 3B 4D 5 C 6B 7C 8C 9A 10 D 11C 12C 二、填空题 13、6- 14、3π 15、2 16、313π 三、解答题：17．解（1）解（1）由图知πππ4154443,3=-==T A ， ∴π5=T ，∴52=ω，∴)52sin(3)(ϕ+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)58sin(33ϕπ+=-， ∴Z k k ∈-=+,2258ππϕπ，∴Z k k ∈-=,10212ππϕ，∵2||πϕ<，∴10πϕ-=，∴)1052sin(3)(π-=x x f …… 6分（2）由Z k k x k ∈+≤-≤+,232105222πππππ 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++],45,235[ππππ，…… 9分 函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为},235|{Z k k x x ∈+=ππ .…… 12分 18解：（1）分组频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[ 3 0.06 )70,60[ 14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ 12 0.24 )100,90[4 0.08 合计高三学生成绩在85分以上的比例约为0.2；8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计平均分约为8.73分 …… 6分（2）将)100,90[中的4人记为,,,321a a a 甲；)50,40[中的2人记为b 和乙则所有的分组结果为乙）,,(),,,(2121a a b a a ，乙）,,(),,,(3131a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,11a b a ，乙）,,(),,,(3232a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,22a b a ，甲，乙）甲，（,(),,33a b a ，共12种，甲乙恰好在一组的结果有甲，乙）,(1a ，甲，乙）,(2a ，甲，乙）,(3a 3种， 设“甲乙恰好在一组”为事件A ，则41123)(==A P …… 12分 19．解（1）证明：连接PE ，EB ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分E BE PE =I ，所以⊥AD 平面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分（2）过E 作PB EF ⊥由（1）知⊥AD 平面PBE ，∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE 平面PBC ⊥平面PBE,又 平面PBC ∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC26=⋅=PB EB PE EF …… 12分20解（1）由已知2c e a ==，所以2234c a=，所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b+= …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分 （2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=24222416(91)(14)0k k k ∆=--+> 得215k <2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 121()x x x t =+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分又由34)(1||212212=-++=x x x x k AB , 所以2212(1)()3k x x +-<2(1)k +3]41)436(4)41(24[222242=+--+kk k k 解得812=k …… 10分 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k==-++ 所以3±=t …… 12分21解：（1）222)1(1)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ …… 2分 1,0≠>x x Θ，0)(>'∴x ϕ，增区间为（0,1）和（1，+∞） …… 4分（2）,1)(,1)(00x x f x x f ='∴='Θ切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-① ……6分 设)(x g y l =与切于点),,(11xe x 010ln ,1,)(1x x x ee x g x x-=∴=∴='Θ， l ∴方程00001ln 1x x x x x y ++=，② …… 8分 由①②可得11ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=-x x x x x x x ， 由（1）知，11ln )(-+-=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增， 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ，01311ln )(222222>--=-+-=e e e e e e ϕ， 由零点存在性定理，知方程0)(=x ϕ必在区间),(2e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分 22证明：（1）,~CDE ABE ∆∆ΘDE AE CE BE ::=∴，∴2CE CE AC DE BE =⋅+⋅ …… 5分（2）ΘAB 是⊙O 的直径，所以︒=∠90ECB ，BE CD 21=∴，ΘBF EF ⊥，BE FD 21=∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分 23解（1）直线l 的参数方程为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分 所以点P 在直线l ， …… 7分 中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分 24解（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式…… 2分所以定义域为21|{<x x 或}211>x …… 5分 （2）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(…… 7分 由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分 所以04≤-a所以4≥a …… 10分。