2020九年级数学上册第二十四章圆小专题16 求阴影部分的面积习题 (新版)新人教版

合集下载

九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．√2D．1答案：B分析：连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=1AB＝4，2在Rt△OAE中，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定答案：B分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．解：∵⊙O的半径为3，OA=5，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．小提示：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢．故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A ．54B ．2C ．52D ．4答案：A分析：根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ，则2πr =52π ∴r =54故选：A ．小提示：本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．6、如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是（）A ．36°B ．45°C ．48°D ．60°答案：C分析：如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出∠AOM ，∠AOB ，可得结论．解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM=60°，∴∠AOM=2∠ANM=120°，∵ABCDE是正五边形，=72°，∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°．故选：C．小提示：本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．7、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．8、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76°B．72°C．60°D．36°答案：B计算即可．分析：根据正多边形的中心角的计算公式：360°n解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°，5故选：B．小提示：本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°是解题的关键．n9、如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π−6√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．12π−18√3答案：D分析：作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB⌢的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9， AC =√182−92=9√3，∴AB =2AC =18√3，又∵AB ⌢=120×π×18180=12π，∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米，故选D ．小提示：本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10、在锐角△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB=120°B．ME=MDC．AE+BD=AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案：D分析：利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断∠M′与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=1（∠CAB+∠CBA）=60°，2∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴EM⌢=DM⌢，∴EM=DM，故B符合题意，∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形，∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′=∠AMC，∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．小提示：本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．填空题11、如图，已知A为半径为3的⊙O上的一个定点，B为⊙O上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．cm答案：132分析：连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm)，cm，所以圆形镜面的半径为132cm．所以答案是：132小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键．13、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD⌢上，∠BAC =22.5°，则BC⌢的长为__________．答案：5π4 分析：先找到AD̂的圆心O ，得到∠BOC =45°，利用弧长公式即可求解．解：连接AD ，作线段AB 、AD 的垂直平分线，交点即为AD̂的圆心O ，从图中可得：AD̂的半径为OB =5，连接OC ，∵∠BAC =22.5°，∴∠BOC =2×22.5°=45°，BC ̂的长为45×π×5180=5π4．．所以答案是：5π4.小提示：本题考查了弧长公式，找到AD̂的圆心是解题的关键． 14、如图，正六边形ABCDEF 的边长为4，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得EC⌢，连接AC 、AE ，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．答案：2√33分析：由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°，如图，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12AC，BH=12AB=12×4=2，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3，∴AC=2AH=4√3，同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π，∴S圆锥侧＝S扇形CAE=8π，∵S 圆锥侧＝πrl =πr ⋅AC =4√3πr ，∴4√3πr =8π，∴r =2√33，所以答案是：2√33．小提示：本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S −S 1=__________.答案：π−3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S =π，OA=OB=1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°，∴AC=12OB=12，∴S △AOB =12OB•AC=14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则S −S 1=π−3，故答案为π−3．小提示：本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．解答题16、如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：EF ∥AB ；(2)若AC =3，CD =2.5，求FG 的长．答案：(1)见解析；(2)65分析：（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到EF ∥AB ；（2）根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由（1）可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB，根据sinB=FGBF =ACAB，代入数值，即可得到FC．（1）证明：连接DE，∵CD和EF都是⊙O的直径，∴∠DEA=∠ECF=90°，∵D是AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠ADE=∠CDE，∵OD=OE，∴∠OED=∠CDE，∴∠ADE=∠OED，∴EF∥AB；（2）连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴FC=DE，DE∥BC，∴AEEC =ADDB=1，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AB=2CD=5，AC=3，∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4，∴FC=2．∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线，∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示：此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．17、如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E 落在⊙O 上．(1)若∠ABC =30°，如图1．①求∠ACB 的度数．②若AD =DE ，求∠EAB 的度数．(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2，如图2．求BC 的长．答案：(1)①30°，②60°；(2)BC =6分析：（1）①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ，根据等弧所对的圆周角即可求解；②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ，根据（1）的结论可得∠ACB =∠ABC ，进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°，进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ，（2）根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢，可得AE ⌢=DB ⌢，AE =BE ，根据折叠的性质可得DB =AE =4，进而即可求解．（1）①∵AD⌢=AD ⌢，∠ABC =30°， ∴∠AED =∠ABD =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠ACB =∠AED =30° ；②∵ AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠DBA ，∴∠DAE =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠DAE =∠DAC =30°，△ABC 中，∠ABC =∠ACB =30°，则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°，∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°，∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°，∴∠EAB =60°，（2）∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示：本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两点，∠CAB =∠DBA ，连结BC ，CD ．(1)求证：CD ∥AB ．(2)若AB =4，∠ACD =30°，求阴影部分的面积．答案：(1)答案见解析(2)23π 分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD ＝∠DBA ，根据 ∠CAB ＝∠DBA 得到∠CAB ＝∠ACD ，进而得到结论；（2）连结OC ，OD ，证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等，继而得到结论．（1）证明：∵AD ⌒=AD ⌒，∴∠ACD ＝∠DBA ，又∵∠CAB ＝∠DBA ，∴∠CAB ＝∠ACD ，∴CD ∥AB ；（2）解：如图，连结OC ，OD ．∵∠ACD ＝30°，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOD ＝∠COB ＝60°,∴∠COD ＝180°-∠AOD -∠COB ＝60°．∵CD ∥AB ，∴S △DOC =S △DBC ，∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ，∵AB ＝4，∴OA ＝2，∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π．∴S阴影=2π．3小提示：本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．。

圆_阴影部分面积(含答案)

求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。

例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。

(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。

圆-阴影部分面积(含答案)

求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。

设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：最基本的方法之一。

用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。

例4.求阴影部分的面积。

(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）

⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

难点解析-人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克试题(含答案解析版)

人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB、AC为O的切线，B、C为切点，点D为弧BC上一点，过点D作O的切线分别交AB=，则AEF的周长等于（）．AB、AC于E、F，若6A．6B．12C．9D．182、已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（）A．5 B．4.5 C．4 D．03、如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为CBD的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①CF DF=；②HC＝BF：③MF＝FC：④DF AH BF AF+=+，其中成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，60,90,2,3,A B D BC CD ∠=∠=∠===则AB ＝（）A ．4B ．5C ．D 5、如图，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，点C 为优弧AB 上一点，若ACB APB ∠=∠，则ACB ∠的度数为（）A ．67.5︒B ．62︒C ．60︒D ．58︒6、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，8cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积是（）A ．()2216cm π+B ．()228cm π+C ．()2416cm π+D ．()248cm π+ 7、在⊙O 中按如下步骤作图：（1）作⊙O 的直径AD ；（2）以点D 为圆心，DO 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C 两点；（3）连接DB ，DC ，AB ，AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A ．∠ABD ＝90°B ．∠BAD ＝∠CBDC ．AD ⊥BC D ．AC ＝2CD8、如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B C D ．49、若某圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r ，那么圆锥的高为（）A ．12rB ．rCD ．2r10、如图，⊙O 的半径为5cm ，直线l 到点O 的距离OM =3cm ，点A 在l 上，AM =3.8cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．以上都有可能第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线y ＝﹣34x +6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是以C （﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最大值为_____．2、如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为32，一只小虫在圆线底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A 处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）3、如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，∠CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．4、如图，在Rt AOB 中，90AOB ︒∠=，3OA =，2OB =，将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是________．5、如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AB ＝CD ．求证：(1)AC ＝BD ；(2)△ABE ∽△DCE ．2、如图，在ABC 中，∠ABC =45°，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ．(1)判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若4AB =，求图中阴影部分的面积．3、（1）课本再现：在O 中，AOB ∠是AB 所对的圆心角，C ∠是AB 所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O 与C ∠的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明12∠=∠C AOB ；（2）知识应用：如图4，若O 的半径为2，,PA PB 分别与O 相切于点A ，B ，60C ∠=°，求PA 的长．4、如图，AB 为O 的直径，射线AD 交O 于点F ，点C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，连接AC ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若30,4BAC AB ∠=︒=，求阴影部分的面积．5、如图，AD BC =，比较AB 与CD 的长度，并证明你的结论．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由切线长定理可得,,AB AC DE BE FC FD ===，然后根据线段之间的转化即可求得AEF 的周长．【详解】∵AB 、AC 为O 的切线，所以AB AC =，又∵EF 为O 的切线，∴,DE BE FC FD ==，∴AEF 的周长6612AE AF EF AE DE AF DF AB AC =++=+++=+=+=．故选：B ．【考点】此题考查了圆中切线长定理的运用，解题的关键是熟练掌握切线长定理．2、D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．【详解】∵直线m 与⊙O 公共点的个数为2个∴直线与圆相交∴d＜半径＝4故选D ．【考点】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d ＞r．3、C【解析】【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴CF BF=，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴AH CF+＝180°，∴CH AF+＝180°，∴AH CF AH DF CH AF AF BF+=+=+=+，故④正确，故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．4、D【解析】【分析】延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，先在Rt△CDE中，求得CE的长，然后在Rt△ABE中，根据∠E 的正切函数求得AB的长【详解】如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，在Rt△CDE中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边的一半），∴BE=BC+CE=8，在Rt△ABE故选D.【考点】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解此题的关键在于构造一个直角三角形，然后利用锐角三角函数进行解答.5、C【解析】【分析】要求∠ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB；再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【详解】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB+∠APB=180°，∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=∠APB，∴3∠ACB=180°，∴∠ACB=60°，故选：C．【考点】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6、D【解析】【分析】根据题意作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积=三角形的面积-（正方形的面积-扇形的面积），依据面积公式进行计算即可得出答案．【详解】解：作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形．则S △CEF =（8+4）×4÷2=24cm 2，S 正方形ADEF =4×4=16cm 2，S 扇形ADF =9016063π⨯=4πcm 2， ∴阴影部分的面积=24-（16-4π）=()248cm π+．故选：D ．【考点】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是作出辅助线并从图中看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．7、D【解析】【分析】根据作图过程可知：AD 是⊙O 的直径，BD ＝CD ，根据垂径定理即可判断A 、B 、C 正确，再根据DC ＝OD ，可得AD ＝2CD ，进而可判断D 选项．【详解】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴BD＝CD,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．【考点】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．8、A【解析】【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB∵在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，∴AG =DG =EG又∵AG =FG∴点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径∴∠DFE =90°∵在Rt △ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，∴CF =BF =12BC =FN =FM =52 又∵FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，90BAC ∠=︒∴四边形NAMF 是正方形∴AN =AM =FN =52又∵90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒∴NFD MFE ∠=∠∴△NFD ≌△MFE∴ME =DN =AN -AD =12∴AE =AM +ME =3∴在Rt △DAE 中，DE =故选：A ．【考点】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．9、C【解析】【分析】设圆锥母线长为R，由题意易得圆锥的母线长为22rR rππ==，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：设圆锥母线长为R，由题意得：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，已知圆锥的底面半径为r，∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得：1802180Rrππ=，∴22rR rππ==，；故选C．【考点】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式，熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键．10、A【解析】【详解】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到<．5∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．二、填空题1、32【解析】【分析】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，再由S△ABC＝12 AB•CH＝1OB•AC求出点C到AB的距离CH，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出2即可．【详解】如图，作CH⊥AB于H交⊙O于E、F，∵直线y＝﹣34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当y=0时，可得0=﹣34x+6，解得：x=8，∴A（8，0），当x=0时，得y=6，∴B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴AB=10，∵C（﹣1，0），∴AC=8+1=9，∴S△ABC＝12AB•CH＝12OB•AC，∴1069CH⨯=⨯，∴CH=5.4，∴FH＝CH+CF=5.4+1＝6.4，即⊙C上到AB的最大距离为6.4，∴△PAB面积的最大值＝12×10×6.4＝32，故答案为32．【考点】本题考查了三角形的面积，勾股定理、三角形等面积法求高、求圆心到直线的距离等知识，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离．2、【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．【详解】∵底面圆的半径为32，∴圆锥的底面周长为2π×32＝3π，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．∴63 180nππ⨯=，解得n＝90°，如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，∵∠O=90°，OA′=OA=6，．故答案为：【考点】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．3、4 5π【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．【考点】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键．4、8π-【解析】【分析】作DH ⊥AE 于H ，根据勾股定理求出AB ，根据阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积－扇形DEF 的面积计算即可得到答案．【详解】解：作DH ⊥AE 于H ，∵∠AOB =90°，OA =3，OB =2，∴AB =由旋转得△EOF ≌△BOA ，∴∠OAB =∠EFO ，∵∠FEO +∠EFO =∠FEO +∠HED =90°，∴∠EFO =∠HED ，∴∠HED =∠OAB ，∵∠DHE =∠AOB =90°，DE AB ==∴△DHE ≌△BOA （AAS ），∴DH =OB =1，325AE AO OE =+=+=，∴阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积－扇形DEF 的面积21190390135232822360360πππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+-=-，故答案为：8π-．本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．5、【解析】【详解】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，故答案为点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．(1)∵AB ＝CD∴AB AD +＝CD AD +∴BAD ADC =∴BD =AC(2)∵∠B =∠C；∠AEB =∠DEC∴△ABE ∽△DCE【考点】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．2、 (1)证明见解析(2)6π-【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明,AB AC ⊥ 从而可得结论；（2）如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，先证明290,AOM ABC 90,BOM 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形BOM 的面积，减去扇形AOM 的面积即可．(1)证明： ∠ABC =45°，AB AC =，45,ACB ABC90,BAC ∴∠=︒ 即,BA AC A 在O 上，AC ∴为O 的切线．(2)如图，记BC 与O 的交点为M ，连接OM ，45ABC ∠=︒ ，290,AOM ABC 90,BOM4AB =，2OA ∴=， 1144822ABC S AB AC ，12222BOM S ， 2902360AOM S 扇形， 826S 阴影．【考点】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．3、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．【详解】解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=1∠AOB；2如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=12∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=12∠APB=12（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【考点】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．4、（1）证明见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接BF，AB是O的直径，90AFB∴∠=︒，即BF AD⊥，CE AD⊥，//BF CE∴连接OC，∵点C 为劣弧BF 的中点，OC BF ∴⊥，∵//BF CE ，OC CE ∴⊥∵OC 是O 的半径，∴CE 是O 的切线；（2）连接OFOA OC =，30BAC ∠=︒，60BOC ∴∠=︒∵点C 为劣弧BF 的中点，FC BC ∴=，60FOC BOC ∴∠=∠=︒，4AB =，2FO OC OB ∴===，∴S 扇形FOC =260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为：23π．【考点】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．5、DC ＝AB ，见解析．【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AD=BC解得AD＝BC，继而得到DC＝AB．【详解】解：DC＝AB，证明如下：∵AD＝BC，∴AD＝BC，∴AD＋AC＝BC＋AC，即DC＝AB．【考点】本题考查圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．。

人教版九年级上册数学第24章《圆》讲义第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积(有答案)

第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积1、正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB=；2、正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::OE AE OA =3、正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=；（2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积lO2、圆柱侧面展开图：2S S S =+侧表底=222rh r ππ+C 1D 13、圆锥侧面展开图S S S =+侧表底=2Rr r ππ+考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（） A ．10cm B ．5cm C ．cmD ．cm例2A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a ，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm 的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S ．1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．1、若一个扇形的面积是相应圆的A．150°B．120°C．90°D．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（）A．π+1 B．2π C．4 D．63、如图，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r 的式子表示阴影部分的面积是．4、如图，直角△ABC的直角顶点为C，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC扫过的面积是．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD是长方形，AB=a，BC=b（a＞b），以A为圆心AD长为半径的圆与CD交于D，与AB交于E，若∠CAB=30°，请你用a、b表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）A．16πcm2 B．20πcm2 C．28πcm2 D．36πcm2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m，母线长是3.2m，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m2）（）A．58 m2 B．29 m2 C．26 m2 D．28 m2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得4、如图，有一边长为4的等边三角形纸片，要从中剪出三个面积相等的扇形，那么剪下的其中一个扇形ADE（阴影部分）的面积为；若用剪下的一个扇形围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r是．5（1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．1、如图，八边形ABCDEFGH中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°，AB=CD=EF=GH=1cm，BC=DE=FG=HA=cm，则这个八边形的面积等于（）A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．14cm22、起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（）A．108°B．60°C．54°D．27°3、如果一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的边长为4cm，那么圆锥的全面积是（）A．8πcm2 B．10πcm2 C．12πcm2 D．9πcm24、如图，OAB是以6cm为半径的扇形，AC切弧AB于点A交OB的延长线于点C，如果弧AB的长等于3cm，AC=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．15cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm25、如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，⊙O的半径均为2cm，⊙O与⊙O1，⊙O3相外切，⊙O与⊙O2，⊙O4相外切，并且圆心分别位于两条互相垂直的直线L1，L2上，连接O1，O2，O3，O4得四边形O1O2O3O4，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米．A．32 B．32-8π C．16-4π D．8π6、如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为．7、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，点A、O在三角板上所对应的刻度分别是8cm、2cm，重叠阴影部分的量角器弧所对的扇形圆心角∠AOB=120°，若用该扇形AOB 围成一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则该圆锥的底面半径为 cm．8、如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．9、如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB=4．求阴影部分面积；（2）若PB=4，PA=7，∠APB=135°，求PC的长．10、如图，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC （1）找到圆形铁皮的圆心O（要求尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求剪掉部分即阴影部分的面积（结果保留π）；（3）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？11、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（-1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O．（1）在旋转过程中，点B所经过的路径长是多少？（2）分别求出点A1，B1的坐标；（3）连接BB1交A1O于点M，求M的坐标．1、阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S1，正四边形ABCD的面积为S2，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON 分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H．设由OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S．①（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S1、S2之间的关系为：S=______（用含S1、S2的代数式表示）；（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．2、如图中有四个面积相同的圆，每个圆的面积都记为S，∠ABC的两边分别经过圆心O1、O2、O3和O4，四个圆盖的面积为5（S-1），∠ABC内部被圆盖住的面积为8，阴影部分的面积为S1、S2、S3满足关系式：．求S的值．3、铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．1、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°2、如图中，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（）A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）3、如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm4、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．200°C．225°D．216°5、如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（）A．B．C．D．6、将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4cm B．4cm C．4cm D．2cm7、一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm（保留根号）．8、如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剩下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm．9、如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm 的圆形，使之恰好围成图210、如图，以AD 为直径的半圆O 经过点E ，B ，点E 、B 是半圆弧的三等分点，弧BE长为 32，则图中阴影部分的面积为．11、如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上（不与点C 重合）．（1）求∠BPC 的度数；（2）若⊙O 的半径为4，求正方形ABCD 的边长．12、“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m ，匀速转动一周需要12min ，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m ）．（1）经过2min 后小雯到达点Q ，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m 的空中？13、如图，一个圆锥的高为3求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）；（3）圆锥的侧面积．14、如图，已知△ABC，AC=BC=4，O是AB的中点，⊙O分别与AC、BC相切于点M、N，与AB交于E、F，连ME并延长交BD的延长线于D，∠1=∠2．（1）求证：∠C=90°；（2）设图中阴影部分的面积分别为S1、S2，求参考答案第17讲正多边形和圆、弧长和扇形面积考点1、正多边形和圆的求解例1、D例2、B例3、例4、例5、1、B2、B3、4、5、解答（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4-t，在△ABP和△DEQ中，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°-30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．考点2、弧长的计算例1、C例2、C例3、例4、例5、1、D2、D3、4、5、考点3、扇形面积的计算例1、A例2、A例3、例4、例5、1、C2、C3、4、5、考点4、圆锥侧面积计算例1、B例2、B例3、例4、例5、1、B2、B3、4、5、1、A2、C3、C4、D5、B6、7、8、9、10、11、1、2、3、而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为1、A2、C3、D4、D5、A6、B7、8、9、10、11、12、13、14、。

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。

在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。

七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。

在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。

参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。

轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。

垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。

三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。

四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。

五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》习题(含答案解析)

一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（）A ．20B ．35C ．40D ．55 3．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（）A ．434+B ．43C ．438+D ．63 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80π 5．已知△ABC 的外心为O ，连结BO ，若∠OBA=18°，则∠C 的度数为（）A ．60°B ．68°C ．70°D ．72°6．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（）A ．23B ．3C ．2D ．22 7．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可取的整数值有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠10．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A．22＋1 B．22＋2 C．42＋1 D．42-211．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线a的距离为2，点 P是直线a上的一个动点，PA 切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（）A．1 B．3C．2 D．512．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若∠OCA=50°，OB=2，则弧BC的长为（）A．103πB．59πC．109πD．518π13．如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（）A．2 B．121313C．4 D．514．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 15．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．如图，用一张半径为10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm ，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm ，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm 2．17．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．18．半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB=BC ，连结OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于D ，若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为______________．19．如图，点C ，D 是半圈O 的三等分点，直径43AB =．连结AC 交半径OD 于E ，则阴影部分的面积是_______．20．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.21．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．22．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ，连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．23．如图，直线33y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．以A 为圆心，以AB 为半径作弧交x 轴于点A 1；过点A 1作x 轴的垂线，交直线 AB 于点B 1，以A 为圆心，以AB 1为半径作弧交x 轴于点 A 2；…，如此作下去，则点n A 的坐标为___________；24．如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则OC ＝_____．25．扇形的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．26．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题27．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点M ，弦MN ∥BC 交AB 于点E ，且ME ＝NE ＝3．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝4，求⊙O 的直径AB 的长度．28．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数；（2）求证：2BAC DAC ∠=∠．29．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点．（1）如图，求ACB ∠的大小；（2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．（1）当t = 2时，点C的坐标为（，）；（2）当t >0时，过点C作x轴的垂线l．①判断当点P运动时，直线l的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F到直线l的距离始终等于OP的长；（3）请直接写出t为何值时，CF=2BF．。

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆(含解析答案)

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC 于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB 的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O 交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG ＝∠BCH ＝30°时，PE +PF ＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD ，连接CD ，如图所示：∵AD 是圆O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠OAC +∠D ＝90°，∵∠ABC +∠D ＝180°，∴∠ABC ﹣∠OAC ＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；②S＝＝4π，扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．。

2020年九年级数学中考专题：与圆有关的阴影部分面积的计算训练【含答案】

2020年九年级数学中考专题：与圆有关的阴影部分面积的计算训练一．选择题1. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵的中点，点D 在OB 上，OD ∶DB ＝1∶2，OA ＝2，则图中阴影部分的面积为( )A. π2－23B. π4－23C. π2－223D. π－232. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，弧BD 是以点A 为圆心、AB 长为半径的弧，弧AC 是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧，则阴影部分的面积为( )A.32 B. 3 C. 332D. 233. 如图，点B 在半圆O 上，直径AC ＝6，∠BCA ＝60°，连接OB ，则阴影部分的面积为( )A. 2πB. 3πC.3π2 D. 3π44. 如图，在边长为1的等边△ABC 中，两条弧AOB ︵与AOC ︵所对的圆心角均为120°，则由两条弓形及边BC 所围成的阴影部分的面积是( )A.33 B. 3 C. 312 D. 345. 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为( )第5题图A.33 B.233C. 3D. 36. 如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，∠BAD ＝120°，以点D 为圆心，AD 的长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，若BE 恰好平分∠ABC ，则图中阴影部分的面积为( )A. 123－4π3 B. 123－8π3C. 163－4π3D. 163－8π3二．填空题7. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆弧上，∠ABC ＝30°，沿直线CB 将半圆折叠，点A落在点A′处，A′B和弧BC交于点D，已知AB＝6，则图中阴影部分的面积为8.如图，⊙O为正六边形ABCDEF的外接圆，连接OB，OF，BD，DF，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为9．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π)三．解答题10.如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，连接CA，将▱ABCD绕点A逆时针旋转至▱AB′C′D′，点D′在BA的延长线上，若CA⊥AB，（1）求AD的长（2）求图中阴影部分的面积11. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO 上一点，将△DBC沿直线DC对折得到△DB′C，点B的对应点为B′，且B′C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E.(1)求证：B′D⊥AB；(2)当AB＝2时，求图中阴影部分面积．参考答案1. A 【解析】如解图，连接OC ，易得∠COB ＝45°，过点C 作CE ⊥OB 于点E ，则CE ＝CO ·sin45°＝2×22＝2，∵OA ＝2，OD ∶DB ＝1∶2，∴OD ＝23.∴S 阴影＝S 扇形BOC －S △OCD ＝45π·22360－12×23×2＝π2－23.2. B 【解析】如解图，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 、△BCD 均是等边三角形．∴S 阴影＝S △BCD ＝34·BC 2＝34×22＝ 3.3. C 【解析】∵AC 为半圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°，又∵∠BCA ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△AOB 与△BOC 等底同高，即S △AOB ＝S △BOC ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π·32360＝3π2.4. C 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，线段OA 将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O 旋转120°后，阴影部分便合并成△OBC ，它的面积等于△ABC 面积的三分之一，∴S 阴影＝13×34×12＝312.5. A 【解析】如解图，过点O 分别作AB 、BC 的垂线，垂足为点E 、F ，∵O 为等边三角形的中心，∴OE ＝OF ，S △OFC ＝S △OEA ，∴S 四边形OABC ＝S 四边形OEBF ＝13S 正三角形．∵S 正三角形＝12×2×2×sin60°＝3，∴S 阴影＝33.6. B 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝120°，∴∠D ＝60°，∵AD ＝4，∴AF ＝AD ·sin60°＝23，∵∠ABC ＝∠D ＝60°，BE 平分∠ABC ，∴∠CBE ＝30°，∵∠C ＝∠BAD ＝120°，∴∠CEB ＝∠CBE ＝30°，∴EC ＝BC ＝AD ＝4，∴DC ＝DE ＋EC ＝8，∴S 阴影＝S ▱ABCD －S △BEC －S 扇形ADE ＝8×23－12×4×23－60π·42360＝123－8π3.7.3π2【解析】如解图，连接AD ，CD ，∵沿直线CB 将半圆折叠，点A 落在点A ′处，∴∠ABC ＝∠CBA ′＝30°，AB ＝A ′B ＝6，∴∠ABD ＝60°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝30°，∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，BD ＝12AB ＝12A ′B ＝12×6＝3，∴CD ＝BD ＝12A ′B ，∠A ′DC ＝60°，∴S 阴影＝S 扇形A ′CD ＝60π·32360＝3π2.第7题解图8. 43π. 【解析】如解图，连接OC ，OE ，分别交BD ，DF 于点M ，N ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴∠BOC ＝60°，∠BCD ＝∠COE ＝120°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴∠OBC ＝∠OCB ＝60°，∴∠OCD ＝∠OCB ，∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDM ＝30°，BM ＝DM ，∴∠OBM ＝30°，S △DCM ＝S △BCM ，∴∠OBM ＝∠CBD ，∴OM ＝CM ，∴S △OBM ＝S △BCM ，∴S △OBM ＝S △DCM ，同理，S △OFN ＝S △DEN ，∴S 阴影＝S 扇形COE ＝120π×22360＝43π.9. π－110. 【解析】(1)AD 的长为22如解图，以点A 为圆心，AC ′长为半径画C ′E ︵，交AD ′于点E ，∵AB ＝2，∠B ＝45°，CA ⊥AB ，∴AC ＝AB ＝CD ＝2，∠CAD ＝45°，AD ＝AC 2＋DC 2＝22＋22＝22（2）由旋转的性质可知∠DAD ′＝45°，S △ACD ＝S △AC ′D ′，S 扇形CAC ′＝S 扇形C ′AE ，∴S 阴影＝(S 扇形DAD ′－S △AC ′D ′)＋(S △ACD －S扇形CAC ′)＝S扇形DAD ′ －S扇形CAC ′＝S扇形DAD ′ －S扇形C ′AE ＝45π×（22）2360－45π×22360＝π2.11.(1)证明：由题意得：∠B′CB ＝∠B′CO ＋∠OCB ＝90°＋60°＝150°. ∠∠DBC 沿直线DC 对折得到∠DB′C ， ∠∠DCB ＝21 ∠B′CB ＝ 21×150°＝75°. 在∠DBC 中，∠CDB ＝180°－∠ABC －∠DCB ＝180°－60°－75°＝45°.∠∠B′DB ＝2∠CDB ＝2×45°＝90°，∠B′D∠AB ；(2)解：∠AB ＝2，∠OBC 是等边三角形， ∠OC ＝OB ＝BC ＝B′C ＝1. ∠∠B′CO ＝90°， ∠∠B′OC ＝45°∠S 阴影＝S∠B′CO －S 扇形EOC ＝21-8。

人教版2020九年级数学上册第二十四章圆小专题16 求阴影部分的面积习题 (新版)新人教版

小专题16 求阴影部分的面积——教材P113练习T3的变式与应用【教材母题】如图，正三角形ABC 的边长为a ，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，a2长为半径作圆．求图中阴影部分的面积．解：连接AD.由题意，得CD ＝a2，AC ＝a ，故AD ＝AC 2－CD 2＝a 2－（a 2）2＝32a.则图中阴影部分的面积为12×a×32a －3×60π×（a 2）2360＝23－π8a 2.求阴影部分面积的常用方法：①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算； ②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．1．(资阳中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是(A)A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π2．(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分的面积为(D)A．2π B．πC.π3D.2π33．(深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为(A)A．2π－4 B．4π－8C．2π－8 D．4π－44．(朝阳中考)如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(C)A.32π B．3π C.72π D．2π5．(山西中考)如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B) A．5π cm2 B．10π cm2C．15π cm2 D．20π cm26．(河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(C)A.2π3 B ．23－π3C ．23－2π3 D ．43－2π37．(天水中考)如图，在△ABC 中，BC ＝6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF ︵上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是(6－109π)．8．(滨州中考)如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝2，分别以A ，B ，C 为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是2π－33．9．(太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是8π3(结果保留π)10．(南通中考)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∠ACB＝60°. (1)求∠APB 的度数；(2)若⊙O 的半径长为4 cm ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接OA ，OB.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∵∠AOB＝2∠C＝120°， ∴∠APB＝60°. (2)连接OP.∵PA，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点， ∴∠APO＝12∠APB＝30°.在Rt△APO 中，∵OA ＝4 cm ， ∴PO＝2×4＝8(cm)．由勾股定理得AP ＝OP 2－OA 2＝82－42＝43(cm)． ∴S 阴影＝2×(12×4×43－60×π×42360)＝(163－163π)cm 2.11．(本溪中考)如图，点D 是等边△ABC 中BC 边的延长线上一点，且AC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC ，BC 于点E ，F. (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)连接OC ，交⊙O 于点G ，若AB ＝4，求线段CE ，CG 与GE ︵围成的阴影部分的面积S.解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵AC＝CD ，∴∠CAD＝∠D＝30°. ∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD. ∵AB 为直径，∴AD 是⊙O 的切线． (2)连接OE ，∵OA＝OE ，∠BAC＝60°，∴△OAE 是等边三角形．∴∠AOE＝60°.∵CB＝CA ，OA ＝OB ，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOC＝30°. ∵△ABC 是边长为4的等边三角形，∴AO＝2. 由勾股定理得：OC ＝42－22＝2 3.同理等边△AOE 边AO 上的高是22－12＝3， ∴S 阴影＝S △A OC －S 等边△AOE －S 扇形EOG ＝12×2×23－12×2×3－30×π×22360 ＝3－π3.12．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG. (1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ＝2， ∠ABC ＝90°.∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得△BFA ， ∴△ABF ≌△CBE.∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°， AF ＝EC.∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°.∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ， ∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，AF ＝FG.∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB.∴EC ∥FG. ∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG. ∴四边形EFGC 是平行四边形． ∴EF ∥CG.(2)∵△ABF ≌△CBE ，∴FB ＝BE ＝12AB ＝1.∴AF ＝AB 2＋BF 2＝ 5. 在△FEC 和△CGF 中，∵EC ＝GF ，∠ECF ＝∠GFC ，FC ＝CF ， ∴△FEC ≌△CGF(SAS)． ∴S △FEC ＝S △CGF .∴S 阴影＝S 扇形BAC ＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG＝90π×22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4(或10－π4)．。

第24章圆人教版九年级数学上册压轴题专题练习(含答案)

人教版九年级数学上册第二十四章圆压轴题专题练习1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．参考答案1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，连接OD，过点C作CF⊥AB于点F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，设∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四边形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直线l是⊙O的切线；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，则△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半径为1．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【解答】解：（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接MD，如图，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM为直径，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，设DE＝x，AH＝y，则DH＝x，AE＝y，∵∠EPD＝∠HP A，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的长为，AH＝，设圆的半径为r，则OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．答：⊙O的半轻和DE的长分别为：，．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．【解答】（1）证明：连接OD，AD．∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，∴∠G＝∠BAF，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．∵AC＜AB，∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，∴≤，即的最大值为．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵O B＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵＝，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵△ACD的面积为6，∴AD•CD＝＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴＝，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．【解答】解：（1）连接OD、BD，如图所示．∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD＝．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，＝，∴弓形BE的面积＝弓形DE的面积，∴阴影部分面积＝S△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF＝DE＝1，EF＝，∴图中阴影部分的面积＝＝．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．【解答】解：（1）如图，设圆I与AC切于点M，与BC切于点N，由切线长定理可知：AD＝AM，CM＝CN，BN＝BD，∴AD+AM＝AB+BC+CA﹣CM﹣CN﹣BN﹣BD＝a+b+c﹣2a＝b+c﹣a，∴AD＝，∴BD＝．（2）连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴c2＝a2+b2，∴四边形DEFG是正方形，∴ED⊥AB，由射影定理可知：DE2＝AD•BD＝×＝ab．∴正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG＝x，∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．【解答】（1）证明：连接DN，∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠BDN，∵CD为∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠MND，∴∠MND＝∠BDN，∴MN∥AB；（2）解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵CD为∠ACB的平分线，∴＝，∴＝，∴AD＝6，∵AD2＝AC•AM，∴62＝12AM，∴AM＝3，∴CM＝9，∴＝，∴MN＝．。

湖北省襄阳市人教版九年级上册数学第二十四章《圆》专题训练

湖北省襄阳市人教版九年级上册第二十四章《圆》专题训练1.如图，AB是的直径，AM和BN是的两条切线，E为上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且．求证：；若，，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OE、OC．∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．∵BC=EC，∴∠CBE=∠CEB，∴∠OBC=∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC=∠OBC=90°；∵OE为半径，∴CD为⊙O的切线，∵AD切⊙O于点A，∴DA=DE；（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，DF=AB=6，∴DC=BC+AD=4．∵BC==2，∴BC﹣AD=2，∴BC=3．在直角△OBC中，tan∠BOE==，∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BOC=120°．∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣=9﹣3π．2.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E.(1)求证：OD∥BC；(2)若tan∠ABC=2，求证：DA与⊙O相切；(3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF.若BC=1，求EF的长. (1)证明：连接OC，如答图2-7-8.在△OAD和△OCD中，∴△OAD≌△OCD(SSS)，∴∠ADO=∠CDO.又AD=CD，∴DE⊥AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.∴OD∥BC.(2)证明:∴设BC=a，则AC=2a.∵OE∥BC，且AO=BO，∴AO2+AD2=OD2.∴∠OAD=90°，即DA与⊙O相切.(3)解：连接AF，如答图2-7-8.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°.∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD.3.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与点O，B重合)，作EC⊥OB，交⊙O于点C；作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：CB2=CE·CP；(3)当时，求劣弧BD的长度.(1)证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°.∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB.(2)证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°.∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°.∴∠BCE=∠BCP.∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB.∴CB2=CE·CP.(3)解：作BM⊥PF于点M，如答图2-7-9,则CE=CM=CF.设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a.∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM.∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°.∴△BMC∽△PMB.4.如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC，BC.将△ABC 沿AB翻折后得到△ABD.(1)试说明点D在⊙O上；(2)在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O 的切线；(3)在(2)的条件下，分别延长线段AE，CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.(1)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°.∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，∴△ABC≌△ABD.∴∠ADB=∠C=90°.∴点D在以AB为直径的⊙O上.(2)证明：∵△ABC≌△ABD，∴AC=AD.∵AB2=AC·AE，∴AB2=AD·AE，即∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB.∴∠ABE=∠ADB=90°.∵AB为⊙O的直径，∴BE是⊙O的切线.(3)解：∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC.又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，∴∠DBE=∠BAE.∴∠FBE=∠BAC.又∵∠BAC=∠BAD，∴∠FBE=∠BAD.∴△FBE∽△FAB.∴FB=2FE.在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，∴(5+EF)2=42+(2+2EF)2.整理，得3EF2-2EF-5=0.解得EF=-1(不符题意，舍去)或EF= .∴EF= .5.如图，AB是⊙O的直径，C,G是⊙O上两点，且C是的中点，过点C的直线CD⊥BG，交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若，求证：AE=AO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD= ，求AD的长.(1)证明：如答图2-7-10，连接OC，AC，CG.∵C是的中点，∴∠ABC=∠CBG.∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.∴∠OCB=∠CBG.∴OC∥BG.∵CD⊥BG，∴CD⊥OC.∴CD是⊙O的切线.(2)证明：∵OC∥BD，∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD.∵OA=OB，∴AE=AO.(3)解：如答图2-7-11，连接OC，过点A作AH⊥DE于点H.由(2)知，AE=AO，∴OC=OE.∵∠ECO=90°,∴∠E=30°.∴∠EBD=60°.6.如图2-7-14，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至点E，使得OE=OB，交⊙O于点F，连接AE，CE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求证：四边形ADCE是矩形；(3)若BD= AD=4，求阴影部分的面积.(1)证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠ODB=90°.在△BOD和△EOA中，∴△BOD≌△EOA(SAS).∴∠OAE=∠ODB=90°.∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.(2)证明：由(1)知，△BOD≌△EOA，∴BD=AE. ∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD. ∴AE=CD.∵∠OAE=∠ODB=90°，∴AE∥BC.∴四边形ADCE是平行四边形.∵∠OAE=90°，∴平行四边形ADCE是矩形.(3)解：∵∠ODB=90°，BD=OD，∴∠BOD=45°. ∴∠AOE=45°.∵∠OAE=90°，∴AE=OA=AD=4.7.已知，如图2-7-15，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2=EH·EA；(3)若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长.(1)证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC.∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°.∴∠ODB+∠DBF=90°.∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°.∴BD⊥OB.∴BD是⊙O的切线.(2)证明：如答图2-7-12，连接AC.∵OF⊥BC，∴BE=CE.∴∠CAE=∠ECB.∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC.∴CEEH=EACE.∴CE2=EH·EA.(3)解：如答图2-7-12，连接BE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.。

2020年中考复习之圆的阴影部分面积相关计算(含答案解析)

2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）一．选择题（共5小题）1．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π2．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．3πC．D．2π3．（2017•朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小4．（2017•重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．5．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2二．填空题（共1小题）6．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共8小题）7．（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）8．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．9．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．10．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．11．（2017•新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．12．（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．13．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE＝DM．14．（2015•福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．2020中考复习——之圆的阴影部分面积相关计算（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018•抚顺）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π【考点】M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．【解答】解：∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA＝2，∴阴影部分的面积是：＝，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．3πC．D．2π【考点】L3：多边形内角与外角；MO：扇形面积的计算．【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S＝计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．【解答】解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，圆形的空白部分的面积之和S＝＝π＝π＝π．所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π＝5π﹣π＝π．故选：C．【点评】此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键．3．（2017•朝阳）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积（）A．不变B．由大变小C．由小变大D．先由小变大，后由大变小【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．【分析】根据正方形的性质得出OA＝OD＝OC，∠AOD＝90°，再根据图形判断即可．【解答】解：过O点作CD的垂线交CD于G，过O点作BC的垂线交BC于H，记扇形EOF于正方形交点分别为M、N，如图，∴OH＝OG＝CD，∵∠HOG＝∠HOM+∠GOM＝90°，∠NOM＝∠NOG+∠GOM＝90°，∴∠HOM＝∠NOG，∴Rt△OHM≌Rt△OGN，∴S四边形CMON＝S四边形CMOG+S△OGN＝S四边形CMOG+S△OHM＝S四边形OHCG＝OH2＝S正方形ABCD，∵S△AOD＝×CD•AD＝S正方形ABCD∴S△AOD＝S四边形CMON，∵S扇形＝S阴影+S△AOD＝S′阴影+S四边形CMON∴S阴影＝S′阴影＝S扇形﹣S△AOD＝﹣S正方形ABCD＝AD2﹣S正方形ABCD＝S正方形ABCD，∴在旋转过程中图中阴影部分的面积不变，故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积、旋转的性质、正方形的性质等知识点，能根据正方形的性质和旋转的性质进行判断是解此题的关键．4．（2017•重庆）如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】LB：矩形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED＝1，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．5．（2017•兰州）如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2【考点】MM：正多边形和圆；MO：扇形面积的计算．【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．【解答】解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．二．填空题（共1小题）6．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos ∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．三．解答题（共8小题）7．（2015•沈阳）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．（1）求∠OCA的度数；（2）若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）【考点】M6：圆内接四边形的性质；MO：扇形面积的计算；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D＝180°，根据∠ABC＝2∠D得到∠D+2∠D＝180°，从而求得∠D＝60°，最后根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA＝30°；（2）首先根据∠COB＝3∠AOB得到∠AOB＝30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D＝180°，∵∠ABC＝2∠D，∴∠D+2∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°；（2）∵∠COB＝3∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB+3∠AOB＝120°，∴∠AOB＝30°，∴∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝90°，在Rt△OCE中，OC＝2，∴OE＝OC•tan∠OCE＝2•tan30°＝2×＝2，∴S△OEC＝OE•OC＝×2×2＝2，∴S扇形OBC＝＝3π，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OEC＝3π﹣2．【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差．8．（2019•辽阳）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF＝90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；（2）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠EAC，得到∠AEO＝2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据扇形的面积公式得到S扇形AOE＝＝2π，求得S△AOE＝AE•OF＝3＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∴∠EDA＝∠AOF，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2019•衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．10．（2015•本溪）如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB 为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE、CG与围成的阴影部分的面积S．【考点】KM：等边三角形的判定与性质；MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）求出∠DAC＝30°，即可求出∠DAB＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，又∵AC＝CD，∴AC＝BC＝CD，∴△ABD为直角三角形，∴AB⊥AD，∵AB为直径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，∵OA＝OE，∠BAC＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵CB＝BA，OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠EOC＝30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AO＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，同理等边三角形AOE边AO上高是＝，S阴影＝S△AOC﹣S等边△AOE﹣S扇形EOG＝＝．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．11．（2017•新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC＝∠OBC ＝∠OCB＝30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO＝90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB＝30°，BC＝3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB＝30°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DE⊥AC，CB＝BD，∴Rt△DCE中，BE＝CD＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝30°，∴△BCE中，∠EBC＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE＝120°，∴∠EBO＝∠EBC﹣∠OBC＝120°﹣30°＝90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE＝3时，BC＝3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝30°，∴AB＝tan30°×BC＝，∴AC＝2AB＝2，AO＝，∴阴影部分的面积＝半圆的面积﹣Rt△ABC的面积＝π×AO2﹣AB×BC＝π×3﹣××3＝﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．12．（2013•本溪）如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD＝45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【考点】MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连结OD，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE＝AB＝8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD进行计算即可．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD＝∠ACD＝45°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE＝AB＝8cm，∴S阴影部分＝S梯形BODE﹣S扇形OBD＝（4+8）×4﹣＝（24﹣4π）cm2．【点评】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．13．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，＝，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA＝CD＝2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE＝DM．【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC＝45°，根据S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB＝DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM＝BD，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA＝CD＝2，OA＝OD，∴OD＝CD＝2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC＝∠C＝45°，∴S阴影＝S△OCD﹣S扇OBD＝﹣＝4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADM＝90°，又∵＝，∴ED＝BD，∠MAD＝∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM＝BD，【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．14．（2015•福州模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦AC＝2，∠ABC＝30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：（1）BC、AD的长；（2）图中两阴影部分面积的和．【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）根据直径得出∠ACB＝∠ADB＝90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD＝BD，求出AD即可；（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．【解答】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝4，∴BC＝＝2，∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA＝∠BCD∴＝，∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝2；（2）连接OC，OD，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠2∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴S△AOC＝S△ABC＝××AC×BC＝××2×2＝，由（1）得∠AOD＝90°，∴∠COD＝150°，S△AOD＝×AO×OD＝×22＝2，∴S阴影＝S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD＝﹣﹣2＝π﹣﹣2．【点评】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB＝∠ADB＝90°，题型较好，通过做此题，培养了学生运用定理进行推理的能力．。

2023年人教版九年级上册数学第二十四章圆方法技巧专题求圆中阴影部分的面积

类型3 利用割补法求面积
5．[2021·枣庄中考]如图，正方形ABCD的边长为2，
O为对角线的交点，E，F分别为BC，AD的中
点．以点C为圆心、2为半径作圆弧BD，再分别以
点E，F为圆心、1为半径作圆弧BO，OD，则图中
阴影部分的面积为( C )
A．π－1
B．π－3
C．π－2
D．4－π
-7-
【方法技巧专题】求圆中阴影部分的面积
∴OC＝2，∴S扇形OBD＝603π6·022 ＝ 23π， ∴阴影部分的面积为23π．
-15-
【方法技巧专题】求圆中阴影部分的面积
(3)同底等高等积替换 11．如图，AB是☉O的直径，C为半径OA的中点， CD⊥AB交☉O于点D和点E，DF∥AB交☉O于点F，连接AF，AD．
-16-
【方法技巧专题】求圆中阴影部分的面积
类型5 利用整体思想求面积 12．[2021·盘锦中考]如图，☉A，☉B，☉C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 2π ．(结果保留π)
-20-
-9-
【方法技巧专题】求圆中阴影部分的面积
∵∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOG＝∠BOH＝60°，∴∠AOB＝150°， ∴S阴影＝S扇形＋S△AOM＋S△BOM＝1503π6×0 42＋ 2×12×(2＋2 3)×2＝203π＋4 3＋4．
-10-
【方法技巧专题】求圆中阴影部分的面积
类型4 利用等积法求面积 (1)旋转变换图形面积不变 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°， BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转 9为0°π－得2 到3△．AB'C'，则图中阴影部分的面积

九年级数学圆割补法求阴影部分的面积

半径为2，则阴影部分的面积为
2π
通过做以上三组题,你能总结出求阴影面积的方法吗相互交流
归纳总结：求阴影部分的面积有三种方法：
1、和差法：①S总体-S空白=S阴 1、和差法 ②把不规则图形分成几个规则图形的面积之和
2 、整体求解法化零为整将图形位置进行移动平移. 旋转.对称.割补,使其成为规则图形
A、S>P>QD B、S>Q>P
C、S>P=Q D、S=P=Q
(甲)
(乙)
(丙)
3.‫סּ‬A、‫סּ‬B、‫סּ‬C、‫סּ‬D、‫סּ‬E相互 A
外离,它们的半径都是1,顺次连
结五个圆心,得到五边形
B
E
ABCDE,则图五个扇形的面积
之和为
3π
2
C
D
4. 在两个同心圆中，三条直径把
大圆分成相等的六部分，若大圆
交BC于D，则图中阴影部分的
D
面积为 1
C
A
3. 某种商品的商标图案如图
（阴影部分）已知菱形ABCD
D
的边长为4，∠A=60°，B⌒D 是以
A为圆心AB长为半径的弧
A
C
C⌒D 是以B为圆心BC为半径
的弧，则该商标图案的面积为 B
43
3 2
专题二：化零为整法
例2. 如图,四个半径为1的圆两两外离,则图中阴影部分的面积为
九年级数学专题练习
割补法求圆中阴影部分的面积
复习：加减法求阴影部分的面积
1. 正方形边长为a，以各边为直
径在正方形内画半圆，则图中阴
影部分的面积为
( - 2 )a2
2
2. 如图正三角形ABC的边长为a，

九上24章圆---阴影部分面积

1．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．2．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．（1）证明：FA＝FB；（2）若BD＝DO＝2，求的长度．3．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE；（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．5．如图，AB是⊙O的直径，点C为半径OA的上的中点，CD⊥AB交⊙O于点D和点E，DF∥AB交⊙O于F，连结AF，AD．（1）求∠DAF的度数；（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所围成的图形的面积．（结果保留π）6．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，OA＝6（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．7．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD；（2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝2．（1）求弦CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．9．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°．（1）求∠CEB的度数；（2）若AD＝2，求扇形AOC的面积．12．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．13．如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若△AOB绕点O逆时针旋转90°后，得到△A1OB1（A和A1是对应点）（1）写出点A1，B1的坐标；（2）求旋转过程中边OB扫过的面积（结果保留π）．14．如图，在⊙O中，弦AB＝弦CD，AB⊥CD于点E，且AE＜EB，CE＜ED，连结AO，DO，BD．（1）求证：EB＝ED．（2）若AO＝6，求的长．15．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，则点A1、B1的坐标分别是；（2）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（3）求出线段AC在（2）的条件下所扫过的面积．。