高中数学同步导学---(107)几种基本初等函数(单元测试)

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所有基本初等函数

所有基本初等函数基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。

下面将逐个介绍这些基本初等函数。

1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。

线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。

2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。

当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。

幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。

3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。

指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。

指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。

对数函数的图像是一条递增的曲线，具有对数增长的特点。

对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。

5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。

三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。

6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。

反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。

高中六大基本初等函数

高中六大基本初等函数函数在数学中具有重要的地位，它是研究数学问题的基本工具。

在高中数学中，有六大基本初等函数，它们分别是常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

下面我们将逐个介绍这六大函数的定义、特点和应用。

常数函数是最简单的函数之一，它的定义域是全体实数集，值域只有一个常数。

常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。

常数函数的特点是在定义域内的任何一个点上，函数值都相等。

常数函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中，常数函数可以表示物体的匀速直线运动。

幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个常数。

幂函数的定义域是正实数集，值域也是正实数集。

幂函数的图像形状随着指数n 的不同而变化，当n>1时，函数图像是上升的开口向上的曲线；当0<n<1时，函数图像是下降的开口向下的曲线。

幂函数在实际问题中有很多应用，例如在经济学中，幂函数可以描述价格与销量之间的关系。

指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是一个常数且a>0且a≠1。

指数函数的定义域是全体实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像是上升的开口向上的曲线。

指数函数在数学中有许多重要的性质和应用，例如在金融学中，指数函数可以描述复利的增长过程。

对数函数是指数函数的反函数，它的定义域是正实数集，值域是全体实数集。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它与指数函数的图像关于y=x对称。

对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如在工程学中，对数函数可以描述信号的衰减过程。

三角函数是以单位圆上的点坐标为函数值的函数，它们包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

三角函数的定义域是全体实数集，值域是[-1,1]。

三角函数的图像是周期性的波动曲线。

三角函数在物理学、工程学等领域有许多应用，例如在力学中，正弦函数可以描述物体的周期性振动。

反三角函数是三角函数的反函数，它们包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。

反三角函数的定义域和值域与对应的三角函数相反。

高数16个基本初等函数

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。

这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。

一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。

这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。

常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。

二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。

三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。

四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。

对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。

正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。

三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。

六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。

反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。

反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。

七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

高一数学《基本初等函数》导学案(参考答案)

第二章基本初等函数第二节指数函数及其性质（第2课时）参考答案【自主认知】 1.y 与x 之间满足y=2x (x ∈N *).2.y 与x 之间满足y= (x ∈N *).3.因为对于每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系式都可构成函数.它们与函数y=x 2的区别在于前者的自变量都在指数的位置上,而y=x 2的自变量在底数的位置上.y=a x (a>0且a ≠1) 自变量 R【合作探究】不能.因为当a<0时,a x 不一定有意义,如(-2)x ;当a=0时,0x 不一定有意义,如00,0-2,故a 的取值范围不能小于或等于0.2.不一定,当限定a>0且a ≠1时,才是指数函数3.因为指数函数的解析式为y=a x (a>0,且a ≠1),故要确定指数函数的解析式,只需确定a 的值.【典型例题】 1.选B.y=2-x = 故此函数是指数函数,且为减函数,故选B. 2. 要使函数f(x)有意义,需2x -1≥0,即2x ≥1,故x ≥0.答案:[0,+∞)3.【解题指南】(1)观察函数解析式的形式看是否满足指数函数的定义,然后再下结论.(2)已知是指数函数时,需紧扣指数函数解析式的特点,让a x 的系数为1,列出a 的方程,进而求出a 的值,检验可得答案.【解析】(1)选B.函数y=2·3x ,y=3x+1,y=x x 均不符合指数函数解析式的特征,不是指数函数,而y=πx 符合指数函数的定义,是指数函数.(2)由题意a 2-3a+3=1,即a 2-3a+2=0.解得a=1或a=2,而a=1不符合指数函数的定义,故a=2.答案:24.选C.令(a-2)2=1,得a=3或a=1,当a=1时不符合题意舍去,故a=3.【变式拓展】【解题指南】1.取特殊值,令x=1,得到的y 值即为a,b,c,d 的值,通过观察图象即可确定大小关系.2.先考虑去掉绝对值,然后画出函数的图象求解.【解析】1.选D.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与各曲线相交,可知1<d<c,b<a<1,故b<a<1<d<c.2.当x ≥0时,y=5|x|=5x ;当x<0时,y=5|x|=5-x = .所以函数y=5|x|的图象如图所示.四、随堂检测x 1(),2x 1()5x 1()21. 选C.①不是指数函数,自变量不在指数上;②中2x的系数为-1,故不是指数函数;③自变量不在指数上,不是指数函数;④⑤符合指数函数定义的形式,是指数函数.2. 选D.点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2,所以tan=tan60°=.3. 选B.因为3x>0,所以3x+1>1,即函数的值域是(1,+∞).4. 选B.由函数的图象在第一、三、四象限可知,此函数应为递增的,故a>1,又过定点(0,-b),此点应在y轴的负半轴上,则-b<0,即b>0.5. 令t=x2-2x+2,则y=,又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,因为0≤x≤3,所以当x=1时,t min=1;当x=3时,t max=5.故1≤t≤5,所以≤y≤,故所求函数的值域为.。

数学同步导学练人教B版全国通用必修一课件：第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1

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IANLI TOUXI
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名师点拨0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义,0的零指数幂也没有意义,有理指数幂的三条运算法则实际上可推广到实数指数幂.
( 2- 3)2=
.
解析:原式=-8+| 3 − 2|-(2 − 3)=-8+2 − 3 − 2 + 3 = −8. 答案:-8
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4.无理指数幂教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 一般地,无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 另外,我们要熟记经常要用的公式: (1)a-b=( �� − ��)( �� + ��)(a>0,b>0); (2)a±2 �� + �� = ( �� ± ��)2(a>0,b>0). 【做一做 4】判断正误: (1)2 3是一个有理数.( ) (2)2 3不是一个确定的数, 而是一个近似值.( ) (3)2 3没有意义.( ) (4)2 3是一个实数.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)

高一数学必修1《基本初等函数Ⅰ》测试卷(含答案)

第二章《基本初等函数Ⅰ》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.给出下列说法：①0的有理次幂等于0；②01()a a R =∈；③若0,x a R >∈，则0a x >；④11221()33-=.其中正确的是（）A.①③④B.③④C.②③④D. ③ 2.552log 10log 0.25+的值为（）A.0B.1C.2D.4 3.函数2()3x f x =的值域为（）[A.[)0,+∞B.(],0-∞C.[)1,+∞D.(),-∞+∞4.幂函数2()(1),(0,)m f x m m x x =--∈+∞当时为减函数，则m 的值为（） A.1 B.1- C.12-或 D.25.若函数2013()2012(0,1)x f x a a a -=->≠且，则()f x 的反函数图象恒过定点（） A.(2013,2011)B.(2011,2013)C.(2011,2012)D.(2012,2013)6.函数22()log (1)()f x x x x R =++∈的奇偶性为（） A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数-7. 若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（）A. 24B. 22C. 14D. 128.如果60.7a =，0.76b =，0.7log 6c =，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<9.函数2()log (1)2f x x =++的单调递增区间为（） A.()1,-+∞ B.[)0,+∞ C.[]1,2 D.(]0,110.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log xa y =的图象是下图中的（）}11.对于0,1a a >≠,下列说法中，正确的是（）①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =?A.①②③④B.①③C.②④D.②12.已知R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,1)x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若(2),(2)g a f =则的值为（）A.2B.154 C.174D.2a 二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设12322()((2))log (1)2x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，,则的值为， . 14.函数215()log (1)f x x =+的单调递减区间为 .15.已知23234(0),log 9a a a =>则的值为 .16.关于函数()2x f x -=，对任意的1212,,x x R x x ∈≠且，有下列四个结论：&()(0)0()0,F x F x F x ∴=⎧⎪=⎨又是a0∴<①当max 1241()()/xf t -⎡∴∈⎢⎣=5.0lg1.5L =+(0)1(2)f ∴=对任意的。

人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章小结复习及同步练习(含答案)

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（ 2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力
.
二 .重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。四、教学设想
1、回顾本章的知识结构
整数指数幂有理数指数幂无理数指数幂
定义图象与性质
指数指数函数
11. 光线每通过一块玻璃板其强度要损失 10%,设光线原来的强度为
的性质 .
作业： P90
A组
37
P91B组34必修 1 第二章《基本初等函数（Ⅰ）》同步练习
（时间： 60 分钟，满分： 100 分）
班别
座号
姓名
成绩
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 下列计算中正确的是
A． x3 x3 x6
B． (3a 2b 3) 2
9a4b 9
小结：底数相同的指数函数与对数函数关于
y x 对称，它们之间还有一个关系式子：
a log a N N (a 1,a 0, N 0)
1x
例 3：已知 f ( x)
log a 1
(a x
0且 a
1)
（ 1）求 f (x) 的定义域
（ 2）求使 f ( x) 0 的 x 的取值范围
1x
分析：（ 1）要求 f (x)
7. 若 a、 b 是任意实数，且 a b ，则
2
2
A． a b
ab
B． 2
0
C． lg( a b) 0
（）
a
b
1
1
D．
2
2
8. 函数 f ( x) log a x ( 2 ≤ x≤)的最大值比最小值大 1，则 a 的值

高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分基本初等函数知识点整理第二章基本初等函数一、指数函数（一）指数1、指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

此时，a 的n 次方根用符号表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a 的正的n 次方根用符号表示，负的n 的次方根用符号表示。

正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成（a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

3、分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>；（2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；（4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。

基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数，它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0，其中an,...,a0是常数，n是非负整数。

多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度，函数的图像通常是一个平滑的曲线。

2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，具有不断增长的特点。

指数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为1；当x=0时，函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x是一个正实数。

对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数是指数函数的逆函数。

对数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为0；当x=1时，函数的值为0。

4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

它们的图像是周期性的，周期为2π。

三角函数是以圆上的点的坐标来定义的，它们与三角关系密切相关，具有很多重要的应用，如波动、振动、旋转等。

5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，如反正弦函数arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数arctan(x)等。

它们的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值，也在三角函数应用中起到重要作用。

6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x)，对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。

指数对数函数具有特定的增长速度和性质，广泛应用于科学、金融、工程等领域。

总结起来，基本初等函数是初等函数的基础知识，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

高中数学必修一第二章基本初等函数单元测试题（含答案）

高中数学必修一第二章基本初等函数单元测试题（含答案）第二章综合测试题一、选择题1．有下列各式：①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是 ( )A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<="" p="">5D ．20.1<="" p="">5<20.23．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝ ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x ＝3y ，则xy ＝ ( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是 ( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则 ( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，则m ＝ ( )A ．1B ．－3C ．－3或1D ．28．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是 ( ) A ．y ＝2－x 2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x +19．已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x－1；④y ＝x 12；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是 ( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数f (x )＝?1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝ ( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题三、13．已知a 12＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________. 14．已知函数f (x )＝?log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________.15．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.四、解答题17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．参考答案： 1.[答案] B[解析] ①na n＝?|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立．③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B. 2.[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2，∴log 215<20.1<20.2，选A.3.[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－10}∪{x |－1－1}，故选C. 4.[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3，∴x y ＝lg3lg2. 5.[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e<0，从而排除B ，故选A.6.[答案] D[解析] 因为f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，故选D.7.[答案] B[解析] 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1是幂函数，所以m 2＋2m －2＝1且m ≠1，解得m ＝－3.8.[答案] A [解析] A ，y ＝2－x 2＝(22)x的值域为(0，＋∞)． B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x +1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．9.[答案] D[解析] 根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10.[答案] C[解析] f (－2)＝1＋log 2(2－(－2))＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，∴f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C. 11.[答案] B [解析] 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12.[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C. 13.[答案] 4[解析]∵a 12＝49(a ＞0)，∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4，∴log 23 a ＝log 23 (23)4＝4.14.[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2.则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19.15.[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6，依题意，有a 6≤－1，g (－1)＞0，即a ≤－6，a ＞－8. ∴a ∈(－8，－6]． 16.[答案] (12，14)[解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22 x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝x B 12，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝(22)x的图象上，所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为(12，14)．17.[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31.18.[解析] (1)由已知得(12)－a ＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝(12)x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，即[(12)x ]2－(12)x －2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1.19.[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<="">综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<="" 2－8＝a="" 8－x="" p="" ∵(1a="" ＜0}．="">，∴原不等式化为a 8－x 2>a－2x.当a >1时，函数y ＝a x 是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－24. 故当a >1时，x 的集合是{x |－24}． 21.[解析] (1)∵f (x )＝2x ，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}．(2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4；当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3. 22.[解析] (1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )．∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R )．∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－a a 2－1(a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．当a ＞1时，y ＝a x为增函数，y ＝－a －x为增函数，且a 2a 2－1＞0，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数，y ＝－a －x为减函数，且a 2a 2－1＜0，∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f (2)－4≤0，即aa 2－1(a 2－a －2)≤4. ∴a a 2－1(a 4－1a2)≤4，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a ＋1≤0，∴2－3≤a ≤2＋ 3.又a ≠1，∴a 的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。

基本初等函数练习题与答案

5.
1
3x 3x 3x 3x 3, x 1 1 3x
6.

x
|
x

1

,y
|
y

0,
且y

1
2x
1
0,
x

1
；
y

1
8 2 x 1

0, 且y
1

2
2
7. 奇函数 f (x) x2 lg(x x2 1) x2 lg(x x2 1) f (x)
84 411
212 222
212 (1 210 )
3. 2 原式 log2 5 2 log2 51 log2 5 2 log2 5 2
4. 0 (x 2)2 ( y 1)2 0, x 2且y 1， logx ( yx ) log2 (12 ) 0
4．若函数
f
(x)
1
m ax 1
是奇函数，则 m
为__________。
5．求值：
2
27 3

2log2 3
log2
1 8

2 lg(
3
5
3
5 ) __________。
三、解答题
1．解方程：（1） log4 (3 x) log0.25 (3 x) log4 (1 x) log0.25 (2x 1)

log a
(1
1 a
)
②
log a
(1

a)

log a
(1

1 a
)
③ a1a

高一数学基本初等函数综合题型(基础)(解析版)

考点01 基本初等函数综合题型（基础）1.（2020•肥城市模拟）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝log a x为减函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝log a x为增函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．故选：A．【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质2.（2020•肇庆三模）已知a＝2log2，c＝5log5，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝2log2，c＝5log5，∴a＝，，，∵，，，且310＞215＞56，∴，∴c＞a＞b，故选：D．【知识点】对数值大小的比较3.（2020•郑州三模）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a6＝＝，b6＝＝，∴a6＞b6，a，b＞0．∴1＞a＞b，c＝log23＞1．∴b＜a＜c．故选：C．【知识点】对数值大小的比较4.（2020•延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．【知识点】等比数列的通项公式、对数的运算性质5.（2020•山东模拟）已知集合A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}，B＝{x|y＝x}，则A∩B＝（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}＝{y|y＞1}，∴A∩B＝（1，+∞）故选：B．【知识点】交集及其运算、指数函数的定义、解析式、定义域和值域6.（2020•衡阳二模）设，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：因为﹣a＝ln2，，﹣c＝log32，又，，所以﹣b＜﹣c＜﹣a，即a＜c＜b，故选：B．【知识点】对数值大小的比较7.（2020•安徽模拟）已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log3∈（0，），b＝ln3＞1，c＝2﹣0.99＞2﹣1＝，故b＞c＞a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较8.（2020•滨州二模）设26，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜0.30.1＜0.30＝1，∴0＜a＜1，∵b＝log＝log35，而log33＜log35＜log39，∴1＜b＜2，∵c＝log526＞log525＝2，∴c＞2，∴c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较9.（2020春•沙坪坝区校级期中）已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．【知识点】对数值大小的比较10.（2020•武清区校级模拟）已知函数，设a＝f（log30.1），b＝f（3﹣0.2），c＝f（31.1），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：根据题意，，其定义域为R，又由＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，易得为增函数，故f（x）在R上单调递增，又由log30.1＜0，0＜3﹣0.2＜1，31.1＞3，则有f（31.1）＞f（3﹣0.2）＞f（log30.1），即c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较、函数奇偶性的性质与判断11.（2020•宁河区校级模拟）设a＝log23，b＝log46，c＝5﹣0.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log23∈（1，2），b＝log46＝∈（1，2），且a＞b，c＝5﹣0.1＝∈（0，1），所以c＜b＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较12.（2020•山西模拟）设a＝log30.2，b＝0.23，c＝30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log30.2＜0，0＜b＝0.23＜1，c＝30.2＞1，∴c＞b＞a，【知识点】对数值大小的比较13.（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1的图象过函数f（x）＝m x﹣b﹣（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（）A．±B．±C．2D．±2【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1是幂函数，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，∴g（x）＝x2；令x﹣b＝0，解得x＝b，∴函数f（x）＝m x﹣b﹣的图象经过定点（b，），∴b2＝，解得b＝±．故选：B．【知识点】幂函数的图象14.（2020•石家庄一模）若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由可得a＝，c＝log46＝log2，则可知，b＞c＞1＞a，故选：B．【知识点】对数值大小的比较15.（2020春•龙华区校级月考）设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵，∴a＜0，∵，∴b＞2，∵，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，【知识点】对数值大小的比较16.（2020春•漳州月考）若a＝log67，b＝log54，c＝log4，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log67＞log66＝1，∴a＞1，∵log51＜log54＜log55，∴0＜b＜1，∵，∴c＜0，∴c＜b＜a，故选：C．【知识点】对数值大小的比较17.（2020•广州模拟）已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．【解答】解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．【知识点】反函数18.（2020春•龙凤区校级月考）已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝【解答】解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，所以αβ＝e4．故答案为：e4．【知识点】对数的运算性质19.（2020•攀枝花模拟）已知a＞0，b＞0，若log3a＝log4b＝，则＝．【解答】解：∵log3a＝log4b＝，∴＝2，则＝，故答案为：．【知识点】对数的运算性质20.（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．【知识点】反函数21.（2020•黄浦区一模）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是．【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝x+log2（2x+2），设y＝x+，则y﹣x＝，∴2y﹣x＝2x+2，∴2y＝22x+2x+1，∴2x＝＝﹣1，x＝．互换x，y，得g（x）＝，∵f（x）＞log23＞g（x），∴x+log2（2x+2）＞log23＞，解得0＜x＜log215．∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．故答案为：（0，log215）．【知识点】反函数22.（2020•静安区一模）设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为．【解答】解：设log a M r＝b，∴a b＝M r，∴r log a M＝b，∴log a M＝，∴a＝a＝（a）r＝（a）r＝a b＝M r，∴关键步骤为：a＝（a）r＝M r．【知识点】对数的运算性质23.（2020•芜湖期末）计算：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）【解答】解：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）＝（）（）＝（13log85）（9log1252）＝117×＝117×＝13．【知识点】对数的运算性质24.（2020春•金安区校级月考）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴实数a的取值范围是a≥．【知识点】对数函数的图象与性质25.（2020•咸阳期末）已知函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）计算的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点，∴，∴，∴；（II）由（I）知，a＝，∴＝．【知识点】对数函数的单调性与特殊点26.（2020•河西区期末）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝2log a（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．（1）若1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求m的值．（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：由题意：1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，可得：log a2＝2log a（2+m），解得或∵2+m＞0∴不符合题意．所以m的值为．（2）f（x）≥g（x）恒成立，等价于恒成立．即：，x∈[0，15]恒成立．令，则当u＝1时，的最大值为1．所以：m≥1即可恒成立．故m的取值范围是[1，+∞）．【知识点】对数函数的图象与性质27.（2020•新洲区期末）计算下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝（﹣）2+10﹣10（）+1＝；（2）原式＝log34﹣log+log38+5＝log+9＝log39+9＝2+9＝11．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式28.（2020•崂山区校级期末）己知25，B＝log2（4B+2A），求A，B的值．【解答】解：A＝1+3﹣3×+log53•＝4﹣12+2＝﹣6．B＝，∴2B＝（2B）2﹣12，化为：（2B﹣4）（2B+3）＝0，∴2B﹣4＝0，解得B＝2．【知识点】对数的运算性质29.（2020•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），∴，解得﹣2＜x＜2．∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵﹣2＜x＜2，∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．∵g（x）＝10f（x）+3x，∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4∴f（x）的最大值为lg4．∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．【知识点】对数函数的图象与性质30.（2020•聊城期末）（1）计算：；（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A ∪B），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原式＝﹣++＝﹣+6+＝．（2）由，解得3＜x≤．∴集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}＝（3，]，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}＝[4，5]，∴A∪B＝（3，5]，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A∪B），则C⊆（A∪B）．C＝∅时，a+1≥2a﹣1，解得a≤2．C≠∅时，可得：，解得2＜a≤3．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【知识点】集合的包含关系判断及应用、对数的运算性质。

六大基本初等函数图像及性质

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞) 增增增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

基本初等函数总结表格

基本初等函数总结表格1. 常数函数：- 定义：常数函数是一个恒定的值，不随自变量的变化而变化。

- 表达式：f(x) = c，其中c为常数。

- 特点：图像是一条水平直线，斜率为0。

2. 幂函数：- 定义：幂函数是自变量以某个常数为指数的函数。

- 表达式：f(x) = x^n，其中n为实数。

- 特点：- 当n为正数时，图像从原点出发，并随着x增大而增大，斜率逐渐变大；- 当n为负数时，图像从正无穷大或负无穷大出发，并随着x增大而逐渐趋近于0；- 当n为偶数时，图像关于y轴对称；- 当n为奇数时，图像关于原点对称。

3. 指数函数：- 定义：指数函数是以一个正常数为底数，自变量为指数的函数。

- 表达式：f(x) = a^x，其中a为正常数且不等于1。

- 特点：- 当a大于1时，图像从原点出发，并随着x增大而变大，斜率逐渐变大；- 当0 < a < 1时，图像从正无穷大出发，并随着x增大而逐渐趋近于0；- 当a等于1时，图像是一条水平直线，斜率为0。

4. 对数函数：- 定义：对数函数是指以一个正常数为底数，自变量为函数值的指数的函数。

- 表达式：f(x) = logₐ(x)，其中a为一个正常数且不等于1，x为正实数。

- 特点：与指数函数为互逆函数，反映了指数运算的逆运算关系。

5. 三角函数：- 正弦函数：- 定义：正弦函数是一个周期性函数，描述了单位圆上的y 坐标值。

- 表达式：f(x) = sin(x)，其中x为弧度。

- 特点：- 周期为2π；- 在x为0、π、2π等整数倍时，达到最大值1；- 在x为π/2、3π/2等奇数倍时，达到最小值-1；- 在x为π、2π等偶数倍时，取0。

- 余弦函数：- 定义：余弦函数是一个周期性函数，描述了单位圆上的x 坐标值。

- 表达式：f(x) = cos(x)，其中x为弧度。

- 特点：- 周期为2π；- 在x为0、2π等整数倍时，达到最大值1；- 在x为π/2、3π/2等奇数倍时，取0；- 在x为π、2π等偶数倍时，达到最小值-1。

基本初等函数初等函数

基本初等函数初等函数基本初等函数是指那些可以用加减乘除及有限次数的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数组合而成的函数。

这些函数在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

本文将详细介绍一些常见的基本初等函数及其性质。

1.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x(a>0,a≠1)的函数，其中a称为底数，x称为指数。

幂函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，若a为正数，则f(x)为定义良好的正数，若a为负数，则f(x)为定义良好的负数；-当x为零时，f(x)的值始终为12.指数函数指数函数是形如f(x)=a^x(a≠0,a≠1)的函数。

指数函数具有以下性质：-若a>1，则f(x)随着x的增大而迅速增大，随着x的减小而迅速减小；-若0<a<1，则f(x)随着x的增大而迅速减小，随着x的减小而迅速增大；-当x为负数时，f(x)的值可能为定义良好的正数或负数，具体取决于a的值；-当x为零时，f(x)的值始终为13.对数函数对数函数是形如f(x) = logₐ(x) (a>0, a≠1)的函数。

其中a为对数的底数，x为实数。

对数函数具有以下性质：-若x为正数，且a>1，则f(x)的值为正数；-若x为正数，且0<a<1，则f(x)的值为负数；-若x为零，则f(x)的值为负无穷大；- 对于任意的正数a和b，有logₐ(ab) = logₐ(a) + logₐ(b)的性质。

4.三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，而正切函数的定义域是除去π/2的奇倍数的实数集。

反三角函数是正弦函数、余弦函数、正切函数的逆函数，分别记作sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x)。

基本初等函数与初等函数

指数函数和对数函数的性质
1.指数函数是递增的，对数函数是递减的。 2.两个不同底数的指数函数有一点相交，对于一些数，a^x>b^x
如何求复合函数和它的导数？
复合函数
一般指由一些简单函数组合而成的函数，例如(fog)(x) = f(g(x)).
链式法则
求导常用的一种方法。 (fog)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
例子
现有函数f(x) = x^2+1和g(x)=(3x-1)^2，而h(x)=f(g(x)), 求h(x)的导数表达式。
1. 先根据复合函数的定义求出g(x) = (3x-1)^2的导函数g'(x). 2. f(x) = x^2+1的导数为 2x，所以由复合函数求导的链式法则：h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 2(3x-1)(6x).
三角函数及其周期弦函数 • 正切函数
周期和幅值
• T=2π • 幅值为1 • T=π • 幅值为1 • T=π* • 变幅
导数公式
• f'(x)=cos(x) • f'(x)=-sin(x) • f'(x)=sec^2(x)
双曲函数及其导数公式
双曲余弦函数
指数函数
指数函数的自变量为指数,其底数为常数
三角函数和反三角函数
包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数
初等函数和基本初等函数的区别
初等函数
是常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的有限次四则运算和函数复合所得的函数。
基本初等函数
是由常数、自变量、指数函数、三角函数、反三角函数所组成的函数。

高中数学《几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案

3．2.1几个常用函数的导数3．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．几个常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝□010f(x)＝x f′(x)＝□021f(x)＝x2f′(x)＝□032xf(x)＝1xf′(x)＝□04－1x2f(x)＝x f′(x)＝□0512x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝□06αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝□07cos xf(x)＝cos x f′(x)＝□08－sin xf(x)＝a x f′(x)＝□09a x ln_a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝□10e xf(x)＝log a x f′(x)＝□111x ln a(a>0且a≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝□121x3．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )两个函数的和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝□13f ′(x )＋g ′(x ) 两个函数的差的导数 [f (x )－g (x )]′＝□14f ′(x )－g ′(x ) 两个函数的积的导数 [f (x )·g (x )]′＝□15f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的商的导数 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□16f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)4．导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f 1±f 2±…±f n )′＝□17f 1′±f 2′±…±f n ′.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf (x )±ng (x )]′＝□18mf ′(x )±ng ′(x )(m ，n 为常数)．基本初等函数的求导公式可分为四类(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y′＝(a x)′＝a x·ln a，当a＝e时，e x的导数是(a x)′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y′＝(log a x)′＝1x·ln a，也可记为(log a x)′＝1x·log a e，当a＝e时，ln x的导数也是(log a x)′的一个特例．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.()(3)若f(x)＝x32，则f′(x)＝32x.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)⎝⎛⎭⎪⎫1x3′＝________.(2)(2x)′＝________.(3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x则f′(x)－g′(x)＝________.答案(1)－3x4(2)2x ln 2(3)3x2－1x ln 3探究1利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数．(1)y＝5x3；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；(4)f(x)＝2－2sin2x2；(5)f(x)＝e x＋1e x－1.[解](1)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25＝355x2.(2)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.(3)因为f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2x －1.(4)因为f (x )＝2－2sin 2x2＝1＋cos x ，所以f ′(x )＝－sin x . (5)解法一：f ′(x )＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x－1)2＝－2e x (e x－1)2.解法二：因为f (x )＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，所以f ′(x )＝2′(e x －1)－2(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.拓展提升(1)当函数解析式能化简时，要先化简再求导．(2)当函数解析式能变形时，可以先变形再求导，要注意，变形的目的是为了求导更简单，如果变形后求导并不简单，那就不要变形，直接求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数． (1)y ＝13x 2；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2′＝(x －23 )′＝－23·x －23 －1 ＝－23·x －53(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝x 2e x (3＋x )．(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.探究2 曲线切线方程的确定与应用例2 过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．[解]因为(e x)′＝e x，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．因为切线过原点，所以－e x0＝－x0·e x0，x0＝1.所以切点为(1，e)，斜率为e.[条件探究]已知点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x＝1.y′＝(e x)′＝e x，e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标．【跟踪训练2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x＝2x0.又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.探究3 导数计算的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，即f (2)＝12.由f ′(x )＝a ＋bx 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.所以所求解析式为f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，即切线与直线x ＝0的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0；令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0,2x 0)．故点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．【跟踪训练3】已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，当x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值．解 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2，且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.① 若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1，即1－2b ＋c ＝－1，②由①②，解得b ＝14，不满足b ≥1，应舍去．若－1＜－b ＜3，即－3＜b ＜1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1，即c －b 2＝－1，③由①③，解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1. 若－b ≥3，即b ≤－3，f ′(x )在[－1,3]上是减函数，所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1，④由①④，解得b ＝－94，不满足b ≤－3，应舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单．例如，求y ＝x ·x 的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为y ＝x ·x ＝x32 ，再求y ′＝32x12简单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1．下列运算：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3.∴所给三个都不正确．2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )为( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3 D ．x 3＋3x ·ln 3答案 C解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 3．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程为________．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析因为y ′＝(cos x )′＝－sin x ，所以k ＝－sin π6＝－12，所以在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 4．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1.5．已知直线y ＝kx 是函数y ＝ln x 的一条切线，试求k 的值．解设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，①y 0＝ln x 0，②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝2x n －nx 2(n ≠0)，且f ′(2)＝0，则n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由已知得f ′(x )＝2nx n －1－2nx .因为f ′(2)＝0，所以2n ·2n －1－2n ·2＝0，即n ·2n －4n ＝0.当n ＝2时，2×22－4×2＝0成立．故选B.2．已知f (x )＝1x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝( )A ．－25B ．－125 C.125 D ．25答案 B解析因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125.3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) 答案 C解析由题意知x >0，且f ′(x )＝2x －2－4x ，即f ′(x )＝2x 2－2x －4x >0，∴x2－x －2>0，解得x <－1或x >2.又∵x >0，∴x >2.4．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D ．1 答案 B解析设切点为(x 0，y 0)，由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线方程得－12＝12＋b ，解得b ＝－1.故选B. 5．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设动点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 B解析设P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－1，∴动点P 处的切线的斜率k ＝3x 20－1≥－1，∴tan α≥－1.又α∈[0，π)，∴0≤α<π2或3π4≤α＜π.二、填空题6．若曲线y ＝x －12 在点(a ，a －12)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ′＝－12·x －32 ，∴y ′|x ＝a ＝－12·a －32 ，∴在点(a ，a －12 )处的切线方程为y －a －12 ＝－12·a －32 ·(x －a )．令x ＝0，得y＝32a－12，令y ＝0，得x ＝3a ，由题意得a >0，∴12×3a ×32a －12＝18，解得a ＝64.7．已知f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝52x 4－92x 2＋1解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－92，c ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.8．已知f (x )＝x －2x ＋lg 2，则f ′(x )＝________.答案 12x －12－2x ln 2解析因为f (x )＝x12 －2x＋lg 2，所以f ′(x )＝12x －12 －2x ln 2.注意(lg 2)′＝0，避免出现(lg 2)′＝12ln 10的错误．三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x .解 (1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x.10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y＋5＝0，求函数的解析式．解由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0，f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，①又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，f ′(－1)＝－12，f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，f ′(－1)＝－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，② 由①②解得，a ＝2，b ＝3(b ＋1≠0，b ＝－1舍去)．所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.B 级：能力提升练1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2018(x )＝________.答案－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2018共2019个数，2019＝4×504＋3，所以f 2018(x )＝f 2(x )＝－sin x .2．已知函数f (x )＝x 2a －1(a >0)的图象在x ＝1处的切线l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解 ∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a .又∵f (1)＝1a －1， ∴切线l 的方程为y －1a ＋1＝2a (x －1)．分别令x ＝0，y ＝0得y ＝－1a －1，x ＝a ＋12， ∴三角形的面积为S＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a＋12＝14⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1.当且仅当a＝1a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为1.。

数学同步导学练人教B版全国通用必修一课件：第三章基本初等函数(Ⅰ)3.4

分析:这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.
解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是
100×(1+10%×5)=150(万元).
本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是
100×(1+9%)5≈153.86(万元).
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三、应用数学模型解决实际问题的步骤剖析:(1)阅读理解,认真审题. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学问题,尤其是理解叙述中的名词、概念,以及题中单位之间的关系.分析出已知是什么,求什么,涉及哪些知识,确定变量之间的关系. (2)引进数学符号,建立数学模型. 设自变量为x,函数为y,用含x的表达式表示各相关变量,根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识以及其他相关知识, 结合各变量之间的关系,建立函数关系式,即建立数学模型. (3)用数学方法将所得到的函数问题予以解答,求得结果. (4)转化成实际问题,进行检验,作出规范解答. 简言之,可概括为“四步八字”,即审题—建模—求解—还原.
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1.指数型函数增长的函数模型指数函数y=ax(a>1)经复合可得到的指数型函数,指数型函数变化较快.例如,生活中经常接触的储蓄问题,也就是增长率问题,就是指数型函数. 指数型函数增长的快慢随底数的不同而不同. 知识拓展复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄. 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果基础量为a, 平均增长率为r,那么对于时间x的总量y=a(1+r)x,解决平均增长率的问题,可用此公式建立函数式.

五类基本初等函数及图形

五类基本初等函数及图形----------------------------------- (1) 幂函数----------------------------------1. 当u为正整数时，函数的定义域为区间，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X轴相切。

且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称；2. 当u为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数。

3. 当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +），n为奇数时函数的定义域为（-+）。

函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n图形于x 轴相切,如果m图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称.4. 当u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.，是常数；----------------------------------- (2) 指数函数 ----------------------------------(是常数且)，；1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.----------------------------------- (3) 对数函数 ----------------------------------(是常数且)，；1. 他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下方,在区间(1, +),y值为正,图形位于x轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到.----------------------------------- (4) 三角函数 ----------------------------------正弦,,余弦,,正切,,,余切，，，----------------------------------- (5) 反三角函数 ----------------------------------反余弦,,,反正弦,,反正切,,反余切,,。