不定积分(公式大全)
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，指的是对函数进行求导的逆过程。
基本公式在求不定积分时十分有用，可以极大地简化计算。
以下是16个常用的不定积分基本公式及其推导过程：1. $\int{x^n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中$n$为常数，$C$为常数。
这是幂函数求积分的基本公式。
通过对$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$求导即可推导得到。
2. $\int{\frac{1}{x}}dx = ln，x， + C$。
这是倒数函数求积分的基本公式。
通过对$\frac{d}{dx}(ln，x，)$求导即可推导得到。
3. $\int{e^xdx} = e^x + C$。
这是指数函数$e^x$求积分的基本公式。
直接对$e^x$求导即可推导得到。
4. $\int{a^xdx} = \frac{a^x}{ln(a)} + C$，其中$a$为常数且$a>0$。
这是指数函数$a^x$求积分的基本公式。
通过对$\frac{d}{dx}(\frac{a^x}{ln(a)})$求导即可推导得到。
5. $\int{sinxdx} = -cosx + C$。
这是正弦函数求积分的基本公式。
对$-cosx$求导即可推导得到。
6. $\int{cosxdx} = sinx + C$。
这是余弦函数求积分的基本公式。
对$sinx$求导即可推导得到。
7. $\int{tanxdx} = -ln，cosx， + C$。
这是正切函数求积分的基本公式。
通过对$ln，cosx，$求导即可推导得到。
8. $\int{cotxdx} = ln，sinx， + C$。
这是余切函数求积分的基本公式。
通过对$ln，sinx，$求导即可推导得到。
9. $\int{secxdx} = ln，secx + tanx， + C$。
这是正割函数求积分的基本公式。
不定积分常用公式大全
不定积分常用公式大全有很多的同学是非常的想知道，不定积分常用公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！不定积分常用公式有哪些1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;不定积分解题技巧个人经验首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C与不加C的导数结果一样，毕竟，常数的导数为0嘛。
下图是书上的公式以验证词步骤。
其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
不定积分常用公式大全
不定积分常用公式大全
cotx+c
10）∫1/√（1-x ) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x )dx=arctanx+c
12）∫1/(a -x )dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式
14）∫1/(a +x )dx=1/a*arctan(x/a)+c
15）∫1/√(a -x ) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c
16) ∫sec x dx=tanx+c;
17) ∫shx dx=chx+c;
18) ∫chx dx=shx+c;
19) ∫thx dx=ln(chx)+c;
1 不定积分解题技巧个人经验
首先，要知道一下，不定积分其实就是求导的逆运算，就像下面的公式；只不过在后面加上常数C，因为加上C 与不加C 的导数结果一样，毕竟，常
数的导数为0 嘛。
下图是书上的公式以验证词步骤。
其次，我们要谈论对第一类换元法的理解，所谓的第一类换元其实就是一种拼凑
利用f’(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把
f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）
分布积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式在数学中，不定积分是一种求解函数的原函数的操作。
也就是说，当对一个函数进行不定积分后，得到的是一个包含任意常数的函数集合。
不定积分的四则运算公式是指对不定积分进行加减乘除的操作规则。
一、加法公式：对于两个函数的和的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx二、减法公式：对于两个函数的差的不定积分，有以下公式：∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx三、乘法公式：对于两个函数的乘积的不定积分，有以下公式：∫f(x)g(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过积分部分法得到的。
四、除法公式：对于两个函数的商的不定积分，有以下公式：∫f(x)/g(x)dx = ∫[u(x) + v(x)]/g(x)dx = ∫u(x)/g(x)dx +∫v(x)/g(x)dx其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过将除法转化为乘法再应用乘法公式得到的。
需要注意的是，在进行乘法和除法的不定积分时，对被积函数进行合适的变换或引入中间变量来简化计算。
五、分配律公式：在不定积分的四则运算中，也可以应用分配律。
对于表达式的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))h(x)dx = ∫f(x)h(x)dx + ∫g(x)h(x)dx这个公式可以用于将一个积分问题拆分为多个较简单的积分问题，以简化计算过程。
六、合并同类项公式：在计算积分过程中，有时会遇到求解多个相同形式的不定积分。
可以使用合并同类项的公式进行简化。
如下所示：∫(a f(x) + b f(x))dx = (a + b) ∫f(x)dx这个公式将多个相同形式的函数合并成一个函数，并在常数项上进行求和运算。
以上是不定积分的四则运算公式，这些公式是对不定积分进行运算时常用的规则。
不定积分基本公式
不定积分基本公式不定积分是微积分中的一个重要概念，它是函数的定义域上的一族原函数。
在计算不定积分时，我们使用的是不定积分的基本公式，也叫做不定积分的运算法则，下面是一些常用的不定积分基本公式。
1.一次幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中n不等于-12.常数函数的不定积分公式：∫a dx = ax + C，其中a是常数。
3.幂函数的不定积分公式：∫(a^x) dx = 1/(lna) * a^x + C，其中a是正常数且不等于14.指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
5.对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中x不等于0。
6.三角函数的不定积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C7.反三角函数的不定积分公式：∫arcsin(x) dx = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + C∫arccos(x) dx = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + C∫arctan(x) dx = x*arctan(x) - 1/2ln(1+x^2) + C∫arccot(x) dx = x*arccot(x) + 1/2ln(1+x^2) + C∫arcsec(x) dx = x*arcsec(x) + ln，sec(x)+tan(x)， + C∫arccsc(x) dx = x*arccsc(x) - ln，csc(x)+cot(x)， + C8.双曲函数的不定积分公式：∫sinh(x) dx = cosh(x) + C∫cosh(x) dx = sinh(x) + C∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C∫sech(x) dx = arcsin(e^x) + C∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C以上是一些常用的不定积分基本公式，但请注意，不定积分是一个广义的概念，有很多特殊函数的不定积分无法用基本公式表示，需要通过其他的方法进行求解，比如换元法、分部积分法、特殊函数等。
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分最全公式
不定积分最全公式不定积分是微积分中的重要概念，但在实际问题中，常常需要应用各种积分公式来求解不定积分。
下面将介绍一些常用的不定积分公式。
1.常数函数积分公式：∫kdx=kx+C2.幂函数积分公式：∫xdx=1/2x^2+C∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C (n≠-1)3.指数函数积分公式：∫e^xdx=e^x+C4.对数函数积分公式：∫(1/x)dx=ln，x，+C5.三角函数积分公式：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C6.反三角函数积分公式：∫1/√(1-x^2)dx=arcsinx+C∫1/√(1+x^2)dx=arctanx+C∫1/x^2+1dx=arctan(x)+C∫1/xlnxdx=Li(x)+C（其中Li(x)为Logarithmic integral函数）7.分部积分公式：∫u*dv=uv-∫v*du8.三角函数倍角公式积分公式：∫sin^2x dx=1/2(x-sin2x)+C∫cos^2xdx=1/2(x+sin2x)+C∫sinxcosxdx=1/2sin^2x+C∫sin^3xdx=-1/3cos^3x+C9.三角函数半角公式积分公式：∫sin(x/2)dx=-2cos(x/2)+C∫cos(x/2)dx=2sin(x/2)+C∫1/√2+2sin(x)dx=arcsec(tan(x/2))+C∫1/√2-2sin(x)dx=-arcsec(tan(x/2))+C10.积化和差公式：∫sinaxcosbxdx=1/2(a-b)[sin(a+b)x+sin(a-b)x]+C∫sinaxcosbxdx=1/2(a+b)[sin(a-b)x+sin(a+b)x]+C11.积化和积减公式：∫cosaxcosbxdx=1/2(a+b)[cos(a-b)x+cos(a+b)x]+C∫sinaxsinbxdx=1/2(a-b)[cos(a-b)x-cos(a+b)x]+C12.其他特殊函数积分公式：∫(ex+e-x)/2dx=(ex-e-x)/2+C∫dx/(x^2±b^2)=1/b*arctan(x/b)+C∫dx/√(x^2±b^2)=ln，x+√(x^2±b^2)，+C以上公式只是常用的不定积分公式的一部分，实际上不定积分还有很多其他的公式，包括特殊函数的积分公式，如双曲函数、贝塞尔函数等等。
不定积分公式总结
2
1
+ C
( 5 ) ∫cos x dx = sin x + C ( 7 ) ∫cot x dx = ln | sin x| + C ( 9 ) ∫csc x dx = ln | csc x - cot x| + C ( 11 ) ∫csc2 x dx = - cot x + C ( 13 ) ∫x 2 +a 2 = ( 15 ) ∫a 2 -x
5
xe
x 2
例
xe (x e x e x e 1
x x x x
(1 x)
dx
( x 1)
2
dx
x 2
1)e (x dx 1 dx 1 C
e
x
dx e
x
e x
2
x
e 1 e x (x
x
x 2
dx e d
x
1)
1)
(x e 1
x
1)
dx 1
dx 1
1 1 x
x
1
x
de
x
x
(三 )特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
2 2
+
1 2
∫
1 √５ + x- x dx
2
dx
= - √5 + x - x +
1 2
∫
√ 21 2 1 √ ( ) - (x - ) 2 2 2 1 2x - 1 2 √ = - 5 + x - x + arcsin( )+ C 2 21 √ 3 x 例 2： ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似，我们有： 1 1 3 ( ) 4x + 2x x x 4 2 ∫ 4 dx = ∫ dx 2 4 2 x + x + 1 x + x + 1 1 2 4 2 d (x + 1 d( x + x + 1) 1 2) = ∫ 4 ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 3 √ (x 2 + ) + ( ) 2 2
不定积分24个基本公式
不定积分24个基本公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它对应于函数的原函数的求解。
在学习不定积分的过程中，掌握了一些基本的公式可以帮助我们更好地解题。
下面是24个常见的不定积分的基本公式：1. $$\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C, \quad (n\neq -1)$$这是幂函数的不定积分公式，其中C是常数。
2. $$\int e^x \,dx = e^x + C$$这是指数函数的不定积分公式。
3. $$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$这是正弦函数的不定积分公式。
4. $$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$这是余弦函数的不定积分公式。
5. $$\int \sec^2 x \,dx = \tan x + C$$这是正切函数的不定积分公式。
6. $$\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C$$这是余切函数的不定积分公式。
7. $$\int \frac{1}{x} \,dx = \ln，x， + C$$这是倒数函数的不定积分公式。
8. $$\int \frac{1}{1+x^2} \,dx = \arctan x + C$$这是反正切函数的不定积分公式。
9. $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C$$这是反正弦函数的不定积分公式。
10. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \,dx = \ln(x +\sqrt{x^2+1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
11. $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \,dx = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) + C$$这是反双曲函数的不定积分公式。
12. $$\int \frac{1}{x\ln x} \,dx = \ln，\ln x， + C$$这是对数函数的不定积分公式。
不定积分公式大全24个
不定积分公式大全24个在数学中，不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分公式是求不定积分时经常会用到的工具，掌握不定积分公式对于解决各种数学问题至关重要。
在本文中，我们将为大家整理24个常用的不定积分公式，希望能够帮助大家更好地理解和应用不定积分。
1. 常数函数不定积分公式。
对于常数函数f(x)=C，其中C为常数，则它的不定积分为F(x)=Cx + C1，其中C1为任意常数。
2. 幂函数不定积分公式。
对于幂函数f(x)=x^n，其中n≠-1，则它的不定积分为F(x)=（x^(n+1)）/(n+1)+ C，其中C为任意常数。
3. 正弦函数不定积分公式。
对于正弦函数f(x)=sinx，则它的不定积分为F(x)=-cosx + C，其中C为任意常数。
4. 余弦函数不定积分公式。
对于余弦函数f(x)=cosx，则它的不定积分为F(x)=sinx + C，其中C为任意常数。
5. 正切函数不定积分公式。
对于正切函数f(x)=tanx，则它的不定积分为F(x)=-ln|cosx| + C，其中C为任意常数。
6. 余切函数不定积分公式。
对于余切函数f(x)=cotx，则它的不定积分为F(x)=ln|sinx| + C，其中C为任意常数。
7. 指数函数不定积分公式。
对于指数函数f(x)=e^x，则它的不定积分为F(x)=e^x + C，其中C为任意常数。
8. 对数函数不定积分公式。
对于对数函数f(x)=1/x，则它的不定积分为F(x)=ln|x| + C，其中C为任意常数。
9. 分式函数不定积分公式。
对于分式函数f(x)=1/(x-a)，其中a为常数，则它的不定积分为F(x)=ln|x-a| + C，其中C为任意常数。
10. 分式函数不定积分公式。
对于分式函数f(x)=1/(x^2+a^2)，其中a为常数，则它的不定积分为F(x)=(1/a)arctan(x/a) + C，其中C为任意常数。
不定积分公式大全24个图解
不定积分公式大全24个图解
一、分段函数的积分
1、线性函数：
当函数为线性函数时，即形如f(x)=ax+b，其积分公式为：
∫f(x)dx=ax^2/2+bx+C（C为任意常数）
图解如下：
2、二次函数：
当函数为二次函数时，即形如f(x)=ax^2+bx+c，其积分公式为：
∫f(x)dx=ax^3/3+bx^2/2+cx+C（C为任意常数）
图解如下：
3、三次函数：
当函数为三次函数时，即形如f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其积分公式为：∫f(x)dx=ax^4/4+bx^3/3+cx^2/2+dx+C（C为任意常数）
图解如下：
4、四次函数：
当函数为四次函数时，即形如f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e，其积分
公式为：
∫f(x)dx=ax^5/5+bx^4/4+cx^3/3+dx^2/2+ex+C（C为任意常数）
图解如下：
二、三角函数的积分
1、正弦函数：
当函数为正弦函数时，即形如f(x)=sin(x)，其积分公式为：∫sin(x)dx=-cos(x)+C（C为任意常数）
图解如下：
2、余弦函数：
当函数为余弦函数时，即形如f(x)=cos(x)，其积分公式为：∫cos(x)dx=sin(x)+C（C为任意常数）
图解如下：
3、正切函数：
当函数为正切函数时，即形如f(x)=tan(x)，其积分公式为：∫tan(x)dx=ln，sec(x)，+C（C为任意常数）
图解如下：
4、余切函数：
当函数为余切函数时，即形如f(x)=cot(x)。
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用一系列的公式和技巧。
下面将介绍一些常用的不定积分计算公式。
1.幂函数不定积分的基本公式之一是幂函数的不定积分公式。
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。
例如，∫x^2 dx = x^3/3 + C只有当指数n不等于-1时，幂函数才有原函数。
2.指数函数和对数函数指数函数和对数函数是常用的函数，它们的不定积分可以通过以下公式计算。
∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x) - x + C其中e为自然对数的底数。
3.三角函数三角函数也有常用的不定积分公式。
∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C其中C为常数。
4.反三角函数其不定积分公式如下所示。
∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C其中C为常数。
5.一些特殊函数除了上述常见的函数，还有一些特殊的函数和它们的不定积分公式。
∫1 dx = x + C∫1/x dx = ln，x，+ C (x≠0)∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^ax cos(bx))/(a^2 + b^2) + C∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^ax sin(bx))/(a^2 + b^2) + C其中a和b为常数。
6.分部积分法分部积分法是一个常用的计算不定积分的技巧，它基于导数运算和不定积分之间的关系。
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⑵略
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它
就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的
形式。
[定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
例1 求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数
的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
⒄
dx ln x x2 a2 C
x2 a2
⒅
a2 x2 dx a2 arcsin x x a2 x2 C
2
a2
5.3 分部积分法 一、分部积分公式
考察函数乘积的求导法则： [u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)
两边积分得 u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx
解
:
tan
xdx
sin x c os x
dx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx
tan
xdx
c
1 os
x
(
sin
x)dx
1 u
du
ln | u | C ln | cosx | C
当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。
例 求 x x 1dx
解: x x 1dx [(x 1) x 1 x 1]dx
x 1 1
元，令u
x
1
则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x
1 1
1
dx
2
u
u
1
du
2
(1
u
1 )du 1
2[u ln u 1] C 2 x 1 2ln | x 1 1| C
这就是第二换元积分法。
例 求 sin x x dx
a
1
a costdt
x
dx
a2 x2
a cost
dt t C arcsin a C
(2)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝atant换元。
例17 求
1 dx
a2 x2
解:设x a tant,则dx asec2 tdt, a2 x2 asect
x2 a2 C
以下结果可以作为公式使用： ⑿ ∫tanxdx＝ln|secx|＋C ⒀ ∫cotdx＝－ln|cscx|＋C ⒁ ∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C ⒂ ∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C
⒃
dx x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
1 dx a2 x2
a sec2 tdt a sect
sectdt ln sect tan t C1
ln
a2 x2 a
x a
C1
ln
a2 x2 x C
(3)如果被 例18 求
积
函数含有
1 dx
x2
a
2
x2 a2
，可以用x＝asect换元。
故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。
三、 基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本
求导公式反推，可得基本积分公式
⑴ ∫dx＝x＋C
⑶ ⑷
1 x
a
dx ln
xdx
|x
ax
|
C
C
ln a
二、 不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx
解： ⑴∵ 1 x6是x5的一个原函数
6
∴ x5dx 1 x6 C 6
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
∴ sin xdx cosx C
这种积分方法叫做凑微分法。
[讲解例题]
例2 求∫2sin2xdx
解：设u＝2x，则du＝2dx ∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu
＝－cosu＋C＝－cos2x＋C
注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。
例3
求
x (x2 1)4 dx
解：设u＝x2＋1，则du＝2xdx
5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。
运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。
例1 求 x 12 dx
解 : x 12 dx (x2 2x 1)dx x2dx 2 xdx dx
dx
x4 1
1 x2
1
1 x2
dx
(x2 1)dx
1 1 x2
dx
1 x3 x arctanx C 3
例11 求∫3xexdx
解 : 3x exdx (3e)x dx (3e)x C 3x ex C
ln(3e)
1 ln 3
所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，
所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以
提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
63
x
一、第一换元法(凑微分法)
如果被积函数的自变量与积分变量不相同， 就不能用直接积分法。
例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x， 积分变量是x。
这时，我们可以设被积函数的自变量为u， 如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来， 那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C 就可以求出不定积分。
解 : 令 x t,则x t 2 , dx 2tdt
sin
x
x
dx
sin t
t
2tdt
2
sin
tdt
2 c
ost
C
2
cos
x C
(1)如果被积函数含有 a2 x2 ，可以用x＝asint换元。
例16 求
1 dx
a2 x2
解:设x a sin t,则t arcsin x , dx a costdt, a2 x2 a cost
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
解 :
(x 1)( x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
3x2
dx
(1 x 1 1 1 )dx 1 x2 x ln | x | 1 C
3 3 x x2
3
(x 1)2 d(x 1)
(x
1
1) 2
d(x
1)
2
(x
5
1) 2
2
(x
3
1) 2
C
5
3
例 求∫sin3xcosxdx
解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝ 1 sin4x＋C
4
二、第二换元积分法
例如，求
1 dx ，把其中最难处理的部分换
⑵ ∫xα dx＝ 1 x1 C (α ≠-1)
1
⑸ ∫exdx＝ex＋C
⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C
⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C ⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C
⑽
a2
1
x2
dx
arctan x a
C
⑾
1 dx arcsin x C
用几次分部积分公式才可以求出结果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx