2020届苏教版(理科数学)解三角形 单元测试
2020届高考数学 数列、三角理练习卷 苏教版必修4
2020届高三理科数学试卷（数列、三角）⑤一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 等比数列{}n a 中，1031=+a a ，4564=+a a ，则公比q = （ ） A . 41 B .21 C .2 D . 8 2. 锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是 ( ) A ．(1,2) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(2，3)3．将函数sin()y x θ=-的图像F 向右平移3π个单位长度得到图像F '，若F '的一条对称轴是直线4π=x ，则θ的一个可能取值是 （ ）A ．512πB ．512π-C ．1112πD ．1112π- 4.函数()()()3sin 105sin 70f x x x =+++o o 的最大值是 （ ）A ．5.5B ．6.5C ．7D ．85.已知数列{}n a 的通项公式21log ()2n n a n n +=∈+N *，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使5n S <- 成立的自然数n （ ）A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值316. 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A.14B.21C.28D.35 7. 如果数列{}n a 满足,...,...,,,123121----n n a a a a a a a 是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于A. 121-+nB. 12-nC. 12-nD. 12+n （ ）8. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ）A.9B.10C.11D.129.已知tan 2α=，则22sin 1sin 2αα+=（ ） A. 53 B. 134- C. 135 D. 134 班级 姓名 号数 分数10.已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x x x f sin )(+=，则（ ）A. )3()2()1(f f f <<B. )1()3()2(f f f <<C. )1()2()3(f f f <<D. )2()1()3(f f f <<二、填空题（每小题4分，共20分）11. 已知数列{}n a 是等比数列，且12810987654=⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a a a a ，则=⋅10215a a a . 12. 已知数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，并且对于任意的2≥n 且+∈N n ，232,,431---n n n S a S 总成等差数列，则{}n a 的通项公式 . 13.在计算“1111223(1)n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+)(*∈N n ”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：111(1)1k k k k =-++， 由此得 1111212=-⨯，1112323=-⨯，⋯，111(1)1n n n n =-++， 相加，得.1111)1(1321211+=+-=+++⨯+⨯n n n n n Λ 类比上述方法，请你计算“111123234(1)(2)n n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯++)(*∈N n ”， 其结果为 ．14. 在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6cos b a C a b+=，则tan tan tan tan C C A B+=________。
2020高中数学第1章解三角形1.1余弦定理习题苏教版必修5
余弦定理（答题时间：40分钟）1. △ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则=B cos ___________。
2. 在ABC ∆中，1413cos ,8,7===C b a ，则该三角形最大角的余弦值为__________。
3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD ＝BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则bcc b +的取值范围是____________。
4. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若（a ＋b －c ）（a ＋b ＋c ）＝ab ，则角C ＝________。
5. 在△ABC 中，BC=2，AC=1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）。
当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为_________。
*6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b=3，c=8，角A 为锐角，△ABC 的面积为63。
（1）求角A 的大小； （2）求a 的值。
**7. 在AB C ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列。
（1）若13=b ，3=a ，求边c 的值； （2）设C A t sin sin =，求t 的最大值。
1. 解：∵c b a ,,成等比数列，∴ac b =2，又∵a c 2=，∴222a b =，∴4322242cos 222222=⋅-+=-+=a a a a a acbc a B 。
2. 解：先由c 2＝a 2＋b 2-2abcosC 求出c ＝3，∴最大边为b ，最大角为B ， ∴cosB＝。
3. 解：因为BC 边上的高AD=BC=a ，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围。
4. 解：所以。
苏教版必修5高一数学第1章解斜三角形单元测试卷及答案
章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形）一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC 中，如果A=60º，C=45º，且a=则c= 。
1.3。
提示：由正弦定理得sin 45sin sin 603a C c A ===。
2. 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2.12。
提示：B A sin sin =1sin cos sin 22A A A =，故B A sin sin 的最大值是12。
3．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3. 1200.提示：2221cos 22b c a A bc +-==-，A=1200.4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4.26-。
提示：A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300.由正弦定理得 0sin 2sin15sin sin 30b A a B ===5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为 .提示：∵三角形两边夹角为方程57602x x --=的根，不妨假设该角为θ，则易解得得53c o s -=θ或cos θ=2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos 3523522==⨯⨯⨯-+=θ三角形的另一边长。
6.在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= 。
6.B=105º或B=15º。
提示:由正弦定理可得sinC=sin2c A a == ,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。
7.科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为 亿光年。
(新课程)2020高中数学三角函数单元检测题苏教版必修4
三角函数单元检测题一、 选择题（每题3分，共54分）21若点P 在 亠的终边上，「且0P=2贝V 点P 的坐标（）36、函数y .2sin 2xcos2x 是()A.周期为 的偶函数 -的奇函数2B .周期为一的偶函数C.周期为一的奇函数D.周期为一2 4427."" 是"tan2cos"的()32A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 &已知函数f （x ） sin x — （ 0）的最小正周期为 ，则该函数的图象A (1, 3)B . ( 3, 1) C. ( 1, 3)2、已知 sincos5 -,则 sin ( cos ()4A. 丄B .9C.9416323、已知 cos1 —J (0,),则 cos(2 ）等于（ )3D.9 32A.C.D.A 13B . 13 C. 3A.—1822225、tan 70 tan 50.3 tan 70 tan 50的值等于（)A. 、3B .C.仝33D.D ( 1, . 3) 4 2B . 口2 14、设 tan( ) ,tan( ),则 tan( )的值是()54 4 4A.关于直线X —对称B .关于点—,对称C .关于点—,对称D .关于直线X一对称x9 .将y 2cos -3n的图象按向量6na42平移，则平移后所得图象的解析式为( )A . y 2cos x n 2B .y 2cos x n 2C . y 2cos x— 23 4 3 4 3 12xD. y 2cos 一n 23 1213、函数f(x) ax bsinx 1,若f (5)10.函数y sin 2x cos 2x 的最小正周期和最大值分别为（B. C. D. 2，,211 .若函数f (x) 2si n( R （其中A.的最小正周期是，且f(0) 则（2'2,2,12.函数y sin 2x11'A・17,则f ( 5)的简图是n在区间n3 2二、填空题（每题3分，共15 分）14、ABC 中，若sin As in B cos A cos B,则ABC 的形状为______________15、函数f(x) sinx 73cosx(x [ _ ,0])的单调递增区间是 ________________________16、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t 0时，点A与钟面上标12的点B重合，将代B两点的距离d(cm) 表示成t(s)的函数，贝三、解答题(第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31 分)17、已知sin cos2 , (,),求tan1 sin4—co江1&化简1 si n4 cos42 )在同一周期内有最咼点19、已知函数y Asin( x ) b (A 0, 0,0(护)和最低点(缶3)，求此函数的解析式20.已知函数f(x) 2cosx(sinx cosx) 1,x R(I)求函数f (x)的最小正周期;(II)3求函数f(x)在区间―,上的最小值和最大值8 421.已知rbO v < —,为f (x) cos(2x —)的最小正周期，2uu r 2 cos sin 2(=(cos ，2)，且agb =m。
高考专题 三角函数及解三角形-2020年苏教版(理)二轮专项复习(典型例题+练习题+课后习题+答案)
专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法．2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0 或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤： (1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正．(3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsintan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ 当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论； (4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值．解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用．例2 求值：(1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α－β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα，(2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα )(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______． 7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】2π 2π π 2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号． 【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x(2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上)可得2k π≤2x ≤2k π＋π，定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立， 即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ，)23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题．(2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域．例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y −−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin = −−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C (2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x 因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin( D ．R ∈+=x x y ),32π2sin( 3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称 C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120° (2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______.(3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______．(4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题．例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小．解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用．练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______．6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B的值为______． 7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=，因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g xx f 又 ⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω,1)6π2sin(2+++=a x ω由满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π，可得的最小正周期为π，所以ω ＝1．(2),1)6π2sin(2)(+++=a x x f。
苏教版必修5《第1章解三角形》单元测试含答案解析
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________． 解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，B 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形． 答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°.答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A ＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcosA的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A .又B ＝2A ， ∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ， ∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)．答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，将其代入上式，得 S △ABC ＝x1－（4－x 24x）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ， 在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________． 解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0， 故a 2＋c 2≥2ac ， 即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]．答案：(1， 2 ] 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ. ∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6， 又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得 sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°， 由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一：由正弦定理，得sin B ＝ba ·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°， 由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433. 法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. (本小题满分16分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， 所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ）， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ， 整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°，∴BC ＝239×cos ∠ADB sin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围． 解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B .又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋bsin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3. 综上，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．。
2020年高考江苏版高考数学 第八节 解三角形的综合应用
答案 9π
高考加油，高考加油，高考加油
高考复习参考资料
解析 已知 bcos A+acos B=2,由正弦定理可得 2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R 为△ABC 的外接
22
1
圆半径),则 2Rsin(A+B)=2,则 2Rsin C=2.因为 cos C= 3 ,所以 sin C=3,所以 R=3,故△ABC 的外
由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即 3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),
5
231
sin������ 231
解得 cos α=16,所以 sin α= 16 ,所以 tan α=cos������= 5 .
4.为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC
∵x>1,∴x-1>0,
������2
∴y=
-
1
4,即 y=(x-1)+
3
+2≥ 3+2,
������ - 1
4(������ - 1)
3
3
当且仅当
x-1=
4(������
-
,即
1)
x=1+ 2 时,上式取“=”,
3
∴当 x=1+ 2 时,y 有最小值 2+ 3.
5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=4 5,c=5,且 B=2C,点 D 为边 BC 上一点,且
f(x)=m·n.
(1)求函数 f(x)的单调递增区间;
2020年(江苏)高考数学(理)大一轮复习检测：专题十一 解三角形
专题十一解三角形一、填空题考向一正弦定理与解三角形1.(2016·上海卷)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.2.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=5,A=,cos B=,则c的值为.3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cos B=a cos C+c cos A,则角B=.4.(2017·苏州、无锡、常州、镇江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2b cos A=2c-a,则角B的大小为.5.(2017·江苏大联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3a cos C+b=0,则tan B的最大值是.考向二余弦定理与解三角形6.(2016·北京卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,a=c,则=.7.(2016·全国卷Ⅰ改编)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,c=2,cos A=,则b=.8.(2017·常州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=3b2+3c2-2bc sin A,则角C=.9.(2017·南通、泰州、扬州三模)在锐角三角形ABC中,已知AB=3,AC=4,若△ABC的面积为3,则BC的长是.10.(2017·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁二模)在△ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,则tan C 的最大值是.考向三正弦、余弦定理综合应用11.(2017·启东中学高三月考)在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5tan B=,则sin B的值是.(第12题)12.(2017·安徽示范高中二模)如图,在△ABC中,∠ABC=,过点B作BD⊥AB交AC于点D.若AB=CD=1,则AD=.13.(2017·海门中学学情调研改编)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+c2=b2-ac,设∠BAC的平分线AD交BC于点D,AD=2,BD=1,则cos C=.(第14题)14.(2018·苏州一模)如图,两座建筑物AB,CD的高度分别是9 m和15 m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45°,则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离BD=m. 二、解答题15.(2017·常州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a cos B=3,b cos A=1,且A-B=.(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.(2017·连云港、宿迁、徐州三模)如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cos A=,cos∠ACB=,BC=13.(1)求cos B的值;(2)求CD的长.(第16题)17.(2018·苏北四市期初)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+2c=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,a+c=4,求△ABC的面积.18.(2017·南京、盐城、连云港二模)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,DC=2.(1)如图(1),若AD⊥BC,求∠BAC的大小;(2)如图(2),若∠ABC=,求△ADC的面积.图(1)图(2)(第18题)19.(2018·无锡一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.(1)求cos B的值;(2)若ac=24,求△ABC的周长.20.(2018·南京期初)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=.(1)若c=2a,求的值;(2)若C-B=,求sin A的值.专题十一解三角形1.【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为=-,所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,所以R=.2. 7【解析】在△ABC中,因为cos B=,所以sin B=.又A=,所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cosA sin B=×+×=.由正弦定理=,得c=7.3.【解析】因为2b cos B=a cos C+c cos A,由正弦定理有2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=,得B=.4.【解析】由正弦定理及2b cos A=2c-a,得2sin B cos A=2sin C-sin A.因为C=π-(A+B),所以2sin B cos A=2sin(A+B)-sin A,即2sin B cos A=2sin A cos B+2cos A sin B-sin A,所以sin A(2cos B-)=0.因为sin A≠0,所以cos B=.因为B∈(0,π),所以B=.5.【解析】在△ABC中,因为3a cos C+b=0,所以C为钝角,利用正弦定理可得3sin A cos C+sin(A+C)=0,即3sin A cos C+sin A cos C+cos A sin C=0,所以4sin A cos C=-cos A sin C,即tan C=-4tan A.因为tan A>0,所以tan B=-tan(A+C)=-===≤=,当且仅当tan A=时取等号,故tan B的最大值是.6.1【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A可得3c2=b2+c2-2bc cos,整理得+-2=0,解得=1或=-2(舍去).7. 3【解析】由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去).8.【解析】根据余弦定理,有b2+c2-2bc cos A=3b2+3c2-2bc sin A,整理得b2+c2=2bc sin.又因为b2+c2≥2bc,所以2bc sin≥2bc,sin≥1,即sin A-=1,所以在△ABC中,b=c,且A=,所以C=.9.【解析】由题可知AB·AC·sin A=3,解得sin A=.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos60°=32+42-2×3×4×=13,所以BC=.10.【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.因为AB=c=2,AC2-BC2=b2-a2=6,所以由余弦定理可得4=a2+b2-2ab cos C,所以(b2-a2)=a2+b2-2ab cos C,所以-2××cos C+=0.因为Δ≥0,所以可得cos C≥.因为b>c,所以C为锐角.又因为tan C在上单调递增,所以当cos C=时,tan C取最大值,所以tan C===.11.【解析】因为cos B=,所以5tan B===,所以5sin B=3,所以sin B=.12.【解析】设AD=x,且BD⊥AB,AB=CD=1,在△BCD中,∠CBD=,且sin∠BDC=sin(π-∠ADB)=sin∠ADB==,由正弦定理得=,所以BC===.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC,则(1+x)2=1+-2×1××,化简得x2+2x=,解得x=,即AD=.(第13题)13.【解析】因为a2+c2=b2-ac,所以cos B==-=-.因为B∈(0,π),所以B=.如图,在△ABD中,由正弦定理得=,得sin∠BAD===,所以cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin2∠BAD=1-2×=,所以sin∠BAC===,所以cos C=cos=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=×+×=.14. 18【解析】如图,过点A作AE⊥CD于点E,则ED=AB=9,CE=6.设∠CAE=α,∠DAE=β,BD=m,则tanα=,tanβ=.所以tan(α+β)==1,化简得m2-15m-54=0,解得m=18或m=-3(舍去),所以BD=18.(第14题)15.(1)因为a cos B=3,b cos A=1,所以a·=3,b·=1,化简得a2+c2-b2=6c,b2+c2-a2=2c.两式相加可得2c2=8c,解得c=4或c=0(舍去).(2)由(1)可得a2-b2=8.由正弦定理得==,又A-B=,所以A=B+,C=π-(A+B)=π-.又A,B,C是△ABC的内角,所以B∈,所以sin C=sin,所以a=,b=,所以16sin2-16sin2B=8sin2,所以1-cos-(1-cos2B)=sin2,即cos2B-cos=sin2.所以sin=sin2,所以sin=0或sin=1.又B∈,所以2B+∈,所以sin=1,即B=.16.(1)在△ABC中,因为cos A=,A∈(0,π),所以sin A===.同理可得,sin∠ACB=.所以cos B=cos[π-(A+∠ACB)]=-cos(A+∠ACB)=sin A sin∠ACB-cos A cos∠ACB=×-×=.(2)在△ABC中,由正弦定理得AB=sin∠ACB=×=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在△BCD中,由余弦定理得CD===9.17.(1)因为a+2c=2b cos A,由正弦定理得sin A+2sin C=2sin B cos A.因为C=π-(A+B),所以sin A+2sin(A+B)=2sin B cos A.即sin A+2sin A cos B+2cos A sin B=2sin B cos A,所以sin A(1+2cos B)=0.因为sin A≠0,所以cos B=-.又因为0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理a2+c2-2ac cos B=b2,b=2,B=,得a2+c2+ac=12,即(a+c)2-ac=12.又因为a+c=4,所以ac=4,所以S△ABC=ac sin B=×4×=.18.(1)设∠BAD=α,∠DAC=β.因为AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2,所以tanα=,tanβ=,所以tan∠BAC=tan(α+β)===1.又因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=.(2)设∠BAD=α,在△ABD中,∠ABC=,AD=6,BD=3.由正弦定理得=,解得sinα=.因为BD<AD,所以α∈,所以cosα==.因此sin∠ADC=sin=sinαcos+cosαsin=×+=,所以△ADC的面积S=×AD×DC×sin∠ADC=×6×2×=(1+).19.(1)因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.因为cos C=,所以sin C==,所以cos B=-cos(A+C)=sin A sin C-cos A cos C=.(2)根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6,b2=a2+c2-2ac cos B=25,即b=5,所以△ABC的周长为15.20.(1)方法一:在△ABC中,因为cos B=,所以=.因为c=2a,所以=,即=,所以=.又由正弦定理得=,所以=.方法二:因为cos B=,B∈(0,π),所以sin B==.因为c=2a,由正弦定理得sin C=2sin A,所以sin C=2sin(B+C)=cos C+sin C,即-sin C=2cos C.又因为sin2C+cos2C=1,sin C>0,解得sin C=,所以=.(2)因为cos B=,所以cos 2B=2cos2B-1=.又0<B<π,所以sin B==.所以sin 2B=2sin B cos B=2××=.因为C-B=,即C=B+,所以A=π-(B+C)=-2B,所以sin A=sin=sincos 2B-cossin 2B =×-×=.。
苏教版高中数学必修五解三角形单元测试 (B卷).doc
解三角形单元测试 (B 卷)一. 选择题1.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形2.在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC = （ ）A ．81B ．41C ．21D ．A3.在△ABC 中，一定成立的等式是 ( )A.a sinA=b sinBB.a cosA=b cosB C .a sinB=b sinA D.a cosB=b cosA4.若c Cb B a A cos cos sin ==则△ABC 为 （ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的 （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.设A 是△ABC 中的最小角，且11cos +-=a a A ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．a ≥3B ．a ＞－1C ．－1＜a ≤3D ．a ＞07.△ABC 中,∠A 、∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABCA ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 （ ）8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° （ ）C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45°9.已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．3210.锐角△ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则 （ ）A ．Q>R>PB ．P>Q>RC ．R>Q>PD ．Q>P>R11.在△ABC 中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是 （ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．以上都错12.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （ ）二.填空题13.在△ABC 中，B=1350，C=150，a =5，则此三角形的最大边长为14.在△ABC 中，a +c =2b ，A －C=60°，则sinB= .15.在△ABC 中，已知AB=l ，∠C=50°，当∠B= 时，BC 的长取得最大值.16.△ABC 的三个角A<B<C,且2B=A+C,最大边为最小边的2倍,则三内角之比为 .三、解答题：17．（8分）在△ABC 中，a +b =1，A=600，B=450，求a ，b18.在△ABC 中，123ABC S =，48ac =，2a c -=，求b .19．已知在ΔABC 中，2B=A+C ，求2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ⋅++的值.20．在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27 AD ，求边BC 的长.21.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长.600 2 1 D CB A21.一缉私艇在岛B 南50°东相距 8（26-）n mile 的A 处，发现一走私船正由岛B 沿方位角为10方向以 82n mile ／h 的速度航行，若缉私艇要在2小时时后追上走私船，求其航速和航向．解三角形单元测试 (B 卷)答案一．选择题略二．填空题 13. 52 14. 83915. 40° 16. 1:2:3 1736a =-，62b =-.三．解答题18. 213b =,237b = 19. 32tan 2tan 32tan 2tan =⋅++CAC A 20. 故BC=921. 缉私艇应以83 n mile/ h 的速度按方位角 355°方向航行。
新教材苏教版必修第二册 第11章 解三角形 单元测试 (含答案)
C． 锐角三角形 D． 等边三角形
5、 中， 的对边分别为 ， ，且 ，那么满足条件的 ( )
A． 有一个解 B． 有两个解 C． 无解 D． 不能确定
6、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A= ,a= ,b=1，则c=( )
A.1B.2C. —1D.
13、答案
先根据余弦定理得 ，再根据直角三角形求结果.
详解
因为 ，所以 ，结合
化简得 ，从而有 ，即在 为直角三角形，
将 ， 代入 ，得 ，于是 ，所以 .
14、答案
∵ ，∴ ，解得 或 （舍去），∴ ，又∵ ， ，∴ ，∴ ，由余弦定理得 ，即 ，∴ 的周长为 ，故答案为 .
15、答案 .
，所以 ，故 ，
(I)求角A;
(II)若sin2B +3cos2B=-1,求tanC.
参考答案
1、答案C
原式可化为 ,又 ,则C= ,故选C.
2、答案A
由正弦定理可得： .
本题选择A选项.
3、答案A
因 ,故 ,且 是锐角,故 ,应选A.
4、答案A
由正弦定理可得 ，即 ，所以 是钝角，选A.
5、答案A
，且 根据正弦定理 得： ， ，则这样 存在， 或 ，因为 所以 ，即 ，满足条件 只有一个解，故选A.
（Ⅰ）若 ∥ ,求证： 为等腰三角形；
（Ⅱ）若 ⊥ ,边长 , ,求 的面积.
18、（本小题满分12分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，点 在 边上且 ，求 .
19、（本小题满分12分）已知A、B、C是三角形ABC的三个内角,向量m= ,n=(cosA,sinA),且m·n =
苏教版(理科数学) 三角综合问题 单元测试(含答案)
2020届苏教版（理数）三角综合问题单元测试1．若，则（）A．B．2 C．D．【答案】C2．已知函数的图象与轴的两个相邻交点分别为中在的右边)，曲线上任意一点关于点的对称点分别且，且当时，有.记函数的导函数为，则当时，的值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】设，则，，，，，由得，，，，故选A.3．在中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，则=（）A．B．C．或D．【答案】B4．已知，则=（)A．B．C．D．【答案】B【解析】所以，故选B.5．计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】B3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B-cos2C-sin2A= sin Asin B.(1)求角C.(2)若c=2，△ABC的中线CD=2，求△ABC的面积S的值.【解析】(1)由已知得sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B，由正弦定理得a2+b2-c2=-ab，由余弦定理可得cos C==-.因为0<C<π，所以C=.(2)方法一：由||=|+|=2，可得++2·=16，即b2+a2-ab=16，由余弦定理得a2+b2+ab=24，所以ab=4，所以S=absin C=ab=.方法二：延长CD到M，使CD=MD，连接AM，易证△BCD≌△AMD，BC=AM，∠CAM=.由余弦定理得所以ab=4，所以S=absin C=ab=.4.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(cos B，cos C)，n=(2a+c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小.(2)若b=，求a+c的取值范围.【解析】(1)因为m=(cos B，cos C)，n=(2a+c，b)，且m⊥n，所以(2a+c)cos B+bcos C=0，所以cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0，所以2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0.即2cos Bsin A=-sin (B+C)=-sin A.因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos B=-.因为0<B<π，所以B=.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos π=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-2=(a+c)2，当且仅当a=c时取等号.所以(a+c)2≤4，故a+c≤2.又a+c>b=，所以a+c∈(，2].即a+c的取值范围是(，2].。
2020学年高中数学阶段质量检测(一)解三角形苏教版必修5(2021-2022学年)
阶段质量检测(一) 解三角形（时间12０分钟 满分１50分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共６0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中,角Ａ,B ,C 所对的边分别是ａ,ｂ,c ，若(a 2＋c ２-b 2)ｔan B =错误!未定义书签。
ac ，则角B 为（ )A.错误!未定义书签。
ﻩＢ.π3C ．＼f(π,6)或错误!未定义书签。
D.＼f(π，3）或错误! 解析：选D 因为a ２+c ２-b ２=2ac ｃos B ，所以２ac ｓi ｎ B ＝错误!未定义书签。
ac ⇒ｓi ｎ B ＝错误!，所以B =错误!或错误!未定义书签。
２.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为ａ，b ,c ，若a ＝错误!未定义书签。
,b ＝２,sin B ＝错误!(１-cos B )，则si ｎ Ａ的值为（ )Ａ。
错误!未定义书签。
ﻩＢ。
错误!C 。
错误! ﻩＤ。
错误!未定义书签。
解析：选Ｃ 由sin B ＝＼ｒ（3）(１-cos B ),得sin 错误!=错误!未定义书签。
．又0<Ｂ<π，得Ｂ＝错误!未定义书签。
,由错误!＝错误!⇒sin A ＝错误!。
3．在△ABC 中，∠B ＝１2０°，AB ＝2，角A 的平分线AD ＝＼r （３),则A Ｃ＝（ ) Ａ.1B.2 C 。
错误!未定义书签。
D ．２错误!未定义书签。
解析:选C 如图，在△ABD 中,由正弦定理，得错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
，∴ｓin∠ＡDB ＝错误!．由题意知0°<∠ＡD Ｂ〈60°，∴∠A ＤB =45°,∴∠ＢAD =180°－4５°-120°＝1５°。
∴∠BA Ｃ＝30°，∠C =30°,BC =ＡB ＝错误!未定义书签。
在△A ＢC 中,由正弦定理,得AC sin∠Ｂ=错误!，∴ＡC =错误!,故选Ｃ. ﻬ4.在△ＡBC 中,a =4,ｂ=５，c =6，则错误!未定义书签。
苏教版高中数学必修五章节能力测试题解三角形.docx
章节能力测试题（一）（测试范围：解三角形） 一．填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．三角形ABC 中，如果A=60º，C=45º，且a=22,则c= 。
1.433。
【解析】由正弦定理得sin 22sin 4543sin sin 603a C c A ===oo 。
2. 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2.12。
【解析】BA sin sin =1sin cos sin 22A A A=，故B A sin sin 的最大值是12。
3．在△ABC中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3.1200.【解析】2221cos 22b c a A bc +-==-，A=1200.4．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4.26-。
【解析】A=1800-300-1350=150.sin150=sin(450-300)=624-.由正弦定理得sin 2sin1562sin sin 30b A a B ===-o . 5. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为 .5. 213.【解析】∵三角形两边夹角为方程57602x x --=的根，不妨假设该角为θ，则易解得得53cos -=θ或cos θ=2（舍去），∴据余弦定理可得13252cos 3523522==⨯⨯⨯-+=θ三角形的另一边长。
6.在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= 。
6.B=105º或B=15º。
提示:由正弦定理可得sinC=sin 10sin 302252c A a ==o ,∴C=45º或者C=135º，∴B=105º或者B=15º。
高中数学解三角形章节测试题苏教版必修
解三角形一、填空题：(每小题5分，共70分)1•一个三角形的两个内角分别为30o和450,如果450角所对的边长为8,那么30o角所对的边长是_____________2•若三条线段的长分别为7, 8, 9;则用这三条线段组成____________ 三角形3. 在△ ABC 中，/ A. / B. / C 的对边分别是a.b.c，若a =1 , b=..3，/ A= 300；则厶ABC的面积是__________4. 在三角形ABC中,若sinA:sin B:sinC =2:3: ..19，则该三角形的最大内角等于____________ 5•锐角三角形中，边a,b是方程x2 - 2、3x • 2 = 0的两根,且c ='晁则角C = _____________6. 钝角三角形ABC的三边长为a, a+1,a+2( a N )，贝y a= __________7. _______________________________________________________________ . ：ABC中，a(sinB—sinC) b(sin C -sin A) c(sin A-sin B) = _____________________8. 在厶ABC中，若 a b c ，那么厶ABC是_____ 三角形A 一B ~ Ccos cos cos —2 2 29. 在厶ABC中, a、b、c分别为A、B C的对边，cos2 - = ，则△ ABC的形状为2 2c10 .在△ ABC中，若lg sin A -lg cosB —lg sin C = lg 2，则△ ABC的形状是 ___________ta nA 2c-b11.在:ABC中，若，，贝y A= ___tan B b12 .海上有A B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60o的视角，从B岛望C岛和A岛成75o的视角；贝U B C间的距离是_____________________________ 海里.13. 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测得该渔轮在方位角450、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105o的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。
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2020届苏教版（理科数）解三角形单元测试1. 【2018年考前猜题卷之专家猜题】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】2. 【江苏省南京师大附中2018届高考考前模拟】如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【解析】（1）在中，，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米． （2）甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又，所以，时长为小时． 当时，， 即，解得，又，所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．【应试技巧点拨】 1. 余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-则22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+.②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，则2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立. ③联系数量积的定义式妙转化：——在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.3. 三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.4. .解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数语言，利用数知识建立相应的数模型，求解数模型，得出数结论.1. 【2018届衡水金卷压轴卷】在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在中，由余弦定理，得，既有，又由面积公式，得，即有，又，所以，所以.因为，所以，又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径，由及，得，所以外接圆的面积.故选：.2.【安徽省安庆市2018届热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，由正弦定理得，∴，∴．∵是锐角三角形，∴，解得，∴，∴．即的值范围是．3.【河南省信阳2019届第一次大考】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b ＝4，则△ABC的面积的最大值为A．4B．2C．3D．【答案】A4.【安徽亳州市2018届最后一卷】已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理得，，得，当时，，当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.5．【西南名校联盟2018届适应性模拟】在中，若原点到直线的距离为1，则此三角形为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】A【解析】由已知可得：，故三角形为直角三角形.本题选择A选项.6．【吉林省吉大附中2018届第四次模拟】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】根据三角形内角和为180°，所以，由正弦定理，代入所以解得m7．【福建省三明市2018届模拟卷（一）】如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________．【答案】.【解析】在中，，由余弦定理可知，正三角形，，由正弦定理得：，，，，为锐角，，，，当时，，最大值为，故答案为.8．【山东省潍坊市2018届第三次模拟】的内角的对边分别为，且满足，若点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是______.【答案】【解析】由，化为，所以，所以,，所以，又，可得为等边三角形，设的边长为，则，则 ，当时，取得最大值.9．【河北省衡水中2018届第十六次模拟】如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.45CBD βθ∠=-=︒， 120BDC ∠=︒.由正弦定理得sin452483sin120CD BC ︒=⋅=-︒10． 【重庆市2018届质量调研抽测（第三次）】如图,在四边形中,.（Ⅰ）求的长;（Ⅱ）求证:.【解析】（Ⅰ）在中，因为，所以.根据正弦定理有：，代入，，可得.（Ⅱ）证明：在中，根据余弦定理，代入 得，因为，所以 ，所以，故.11.【河北省保定市2017届高三二模】设的内角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 21 【答案】B【解析】由三角形的面积公式： ，当且仅当时等号成立.则面积的最大值为9.本题选择B 选项.12. 【2017届陕西省渭南市高三二质检】已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能 【答案】C【解析】圆心到直线的距离2222cd a b=>+,所以222c a b >+，在ABC ∆中， 222cos 02a b c C ab +-=<，所以C ∠为钝角。
ABC ∆为钝角三角形。
选C13. 【2017年高考广西名校第一次摸底考试】在ABC ∆中，已知10103cos ,21tan ==B A ，若ABC ∆最长边为10，则最短边长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．22 【答案】A 【解析】由021tan >=A ，得51sin ,52cos ==A A ，由010103cos >=B ，得101sin =B ， 于是021sin sin cos cos )cos(cos <-=+-=+-=B A B A B A C ，即C ∠为最大角，故有10=c ，最短边为b ，于是由正弦定理CcB b sin sin =，求得2=b . 14. 【2017安徽马鞍山三模】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且()()()sin sin sin sin c b C B a A B +-=-．若23c =，则22a b +的取值范围是___．【答案】(]20,24【解析】根据正弦定理，边角互化后可得()()()222c b c b a a b c b a ab +-=-⇒-=- ，2221cos 22a b c C ab +-==，解得3C π=，又根据正弦定理，42sin sin sin 3a b cA C A π===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以24sin ,4sin 3a A b A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，所以2222216sin 16sin 3a b A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭41cos 21cos21331616168cos2sin2168cos 222223A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪=+⨯=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，因为ABC ∆是锐角三角形，所以24,,2,62333A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos 21,32A π⎛⎫⎡⎫+∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ ，那么(]168cos 220,243A π⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故填： (]20,24 . 15. 【安徽师范大附属中2017届高三上期期中】已知,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 的对边，满足sin 4sin 4sin ac A C c A +=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）ABC ∆的外接圆为圆O （O 在ABC ∆内部）, 3,43OBC S b c ∆=+=,判断ABC ∆的形状, 并说明 理由.【解析】（I ）由正弦定理可知,sin ,sin 22a cA C R R==, 则2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=, ()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-=,可得2a =.（II ）记BC 中点为13,23OBC D S BC OD OD ∆=⋅⋅==，故120BOC ∠=,圆O 的半径为233r =, 由正弦公式可知3sin 22a A r ==,故60A =, 由余弦定理可知,2222cos a b c bc A =+-, 由上可得224b c bc =+-,又4b c +=,则2b c ==,故ABC ∆为等边三角形.。