2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章 5 从力做的功到向量的数量积(二)
2017-2018版高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积一学案北师大版必修4
5 从力做的功到向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．知识点一 两向量的夹角思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？思考2 △ABC 为正三角形，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角是多少？梳理 (1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则__________＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0°时，a 与b ________； 当θ＝180°时，a 与b ________.(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定零向量可与任一向量垂直．知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图．思考1 如何计算这个力所做的功？思考2 力做功的大小与哪些量有关？梳理 (1)数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________.(2)数量积的特殊情况当两个向量相等时，a·a＝__________.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝________________________.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？梳理(1)射影：若非零向量a，b的夹角为θ，则________叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影)．(2)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影____________的乘积．知识点四平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？梳理向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝____________＝____________.(2)a⊥b⇔____________.(3)________＝a·a.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|____|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．类型一求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方． 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值．类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的射影为－3，b 在a 方向上的射影为－32，求a与b 的夹角θ.1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的射影为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－22．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 4．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________． 5．已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．在a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫作b 在a 方向上的射影和a 在b 方向上的射影，要结合图形严格区分． 4．求射影有两种方法(1)b 在a 方向上的射影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的射影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的射影为a ·b |a|，a 在b 方向上的射影为a ·b|b |. 5．两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.答案精析问题导学 知识点一思考1 存在夹角，不一样．思考2 如图，延长AB 至点D ，使AB ＝BD ，则BD →＝a ， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°，则∠CBD ＝120°， 故向量a 与b 的夹角为120°.梳理 (1)非零向量 ∠AOB 同向 反向 知识点二思考1 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．梳理 (1)|a ||b |cos θ |a ||b |cos θ (2)|a |2|e 1||e 2|cos θ＝cos θ 知识点三思考1 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的射影，|a |cos θ叫作向量a 在b 方向上的射影．思考2 由射影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)|b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ 知识点四思考1 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量． 思考2 由两个非零向量的夹角决定．当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 (1)a ·e |a |cos θ (2)a ·b ＝0 (3)|a | (5)≤ 题型探究例1 解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 跟踪训练1 D例2 解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝ a ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝ a －b 2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝ 2a ＋b 2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2 ＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝ a －2b 2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.跟踪训练2 20例3 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝ 2m ＋n 2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝ 2n －3m 2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.跟踪训练3 θ＝120° 当堂训练1．D 2.A 3.11 4.－25 5．(1)12 (2)－12 (3)12。
高中数学(北师大版)必修四教案：2.5 从力做的功到向量的数量积
从力做功到向量的数量积【学习目标】（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. （2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3） 掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【学习重点】向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律. 【学习难点】运算律的理解 【知识衔接】1.已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a b的坐标；2.已知a (x, y)和实数λ, 求λa的坐标；3.已知),(),,(2211y x B y x A ，求AB 的坐标；4.向量a 、b 共线的两种判定方法：a ∥b( )▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁、▁▁▁▁▁。
【学习过程】1.由力做的功：W = |F |•|s |cos ， 是F 与s 的夹角；可以定义：平面向量数量积（内积）的定义，a •b = |a ||b |cos ， 并规定0与任何向量的数量积为0。
2.向量夹角的概念：▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁。
范围0 ≤ ≤180 。
由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；要注意的几个问题： ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定。
②两个向量的数量积称为内积，写成a •b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
③在实数中，若a 0，且a •b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a •b =0，不能推出b =0。
因为其中cos 有可能为0.这就得性质2.④已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a •b = b •c a = c如右图：a •b = |a ||b |cos = |b ||OA|Oa cbb •c = |b ||c |cos = |b ||OA| a •b =b •c 但a c⑤在实数中，有(a •b )c = a (b •c )，但是(a •b )c a (b •c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3.问题(1).射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的射影。
北师大版高中数学高一必修4学案第二章5从力做的功到向量的数量积
从力做的功到向量的数量积预习课本P93～96，思考并完成以下问题1．向量的夹角的范围是什么？2．向量数量积的几何意义是什么？3．向量数量积有哪些性质？4．向量数量积的运算满足哪些运算律？[新知初探]1．向量的夹角(1)定义：已知非零向量a和b(如图所示)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a和b的夹角，当θ＝0°时，向量a和b同向；当θ＝180°时，向量a和b反向．(2)垂直：如果向量a和b的夹角是90°，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．[点睛]两向量的夹角的范围是[0，π]，但要注意，前提是共起点时才能指出夹角，若不满足，可先进行平移．2．向量的数量积(1)投影：若非零向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)．(2)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的特殊情况：当两个向量相等时，a·a＝|a|2.当两个向量e1，e2是单位向量时，e1·e2＝cos θ.(4)几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．[点睛](1)两个向量的数量积是两个向量之间的乘法，它与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab.(2)向量的数量积为一实数，可正、可负、可为0.这不同于数乘向量，其结果仍为向量．3．向量的数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)；(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a (交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c ()(2)在△ABC中，∠A＝60°，则AB与CA的夹角为60°()(3)对任意两个向量a，b，都有a·b≤|a||b| ()答案：(1)×(2)×(3)√2．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①②③显然正确．对于④，|a·b |＝|a ||b |·|cos θ|(设θ为a ，b 的夹角)，a·b ＝|a ||b |cos θ，故a·b ≤|a·b |，故④错误．对于⑤，(a·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2(设θ为a ，b 的夹角)，故⑤错误．3．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为 ( ) A. π3 B. π2 C. 2π3D. 3π4解析：选C (a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2a·b ＝1，则a·b ＝－12.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－12，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.4．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.解析：a·b ＝|a ||b |cos 30°＝2×3×32＝3. 答案：3平面向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b; ②(a ＋b )·(a －2b )．(2)如图，设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ， 求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[解] (1)①由已知得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a |＝|b |＝|c |＝2，且a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：已知向量a ，b 的夹角θ＝60°，故b 在a 上的投影为|b |cos θ＝2cos 60°＝2×12＝1.答案：12．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝⎝⎛⎭⎫AD ＋12AB ·(AD －AB ) ＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2.答案： 2向量模的问题 [典例] 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3.求|a ＋b |，|a －b |.[解] 由题意知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.因为|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝25＋25＋2×252＝75， 所以|a ＋b |＝5 3.同理因为|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝25， 所以|a －b |＝5. [一题多变]1．[变设问]本例的条件不变，求|3a ＋b |.解：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝252，∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝513.2．[变条件，变设问]本例的已知条件若改为|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，如何求|3a ＋b |的值？ 解：因为|3a －2b |2＝9a 2－12a·b ＋4b 2 ＝9×25－12a·b ＋4×25 ＝325－12a·b ， 又因为|3a －2b |＝5，所以325－12a·b ＝25，即a·b ＝25.所以|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400. 所以|3a ＋b |＝20.求向量的模的常用思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．两个向量的夹角与垂直问题[典例] (1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.[答案]π3(2)解：设a 与b 的夹角为θ.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ②②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2， ∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a ·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a ·b |a ||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． [活学活用]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且(3a －2b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由(3a －2b )⊥a ，得(3a －2b )·a ＝3|a |2－2a·b ＝0⇒a·b ＝32|a |2＝32，又a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉，所以cos 〈a ，b 〉＝323＝32⇒〈a ，b 〉＝π6.2．已知|a |＝2，|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，求使向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时λ的取值范围．解：设向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为θ. ∵向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |＞0，即(2a ＋λb )·(λa －3b )＞0， 2λa 2＋(λ2－6)a·b －3λb 2＞0. ∵a 2＝|a |2＝2，b 2＝|b |2＝1， a·b ＝|a ||b |cos 45°＝2×1×22＝1， ∴4λ＋λ2－6－3λ＞0，即λ2＋λ－6＞0， ∴λ＜－3或λ＞2.设2a ＋λb ＝k (λa －3b )＝kλa －3kb ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，∴λ2＝－6， 即此时λ不存在，向量2a ＋λb 与λa －3b 不共线．综上，向量2a ＋λb 与λa －3b 的夹角为锐角时，λ＜－3或λ＞2.层级一 学业水平达标1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a·b 等于 ( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析：选B 设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝32，∴a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.3．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )等于 ( )A ．12B ．－12C ．12 2D ．－12 2解析：选C ∵a ·(－b )＝－a·b ＝－|a |·|b |cos 135°＝－4×6×⎝⎛⎭⎫－22＝12 2. 4．若AB ·BC ＋AB 2＝0，则△ABC 为 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A AB ·BC ＋AB ·AB ＝0， AB ·(BC ＋AB )＝0，AB ·AC ＝0， ∴AB ⊥AC ，∴∠A ＝90°. ∴△ABC 为直角三角形．5．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝ ( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B ∵|a ＋b |＝13， ∴(a ＋b )2＝13，即a 2＋2a·b ＋b 2＝13， 也就是|a |2＋2|a ||b |cos θ＋|b |2＝13.将θ＝120°，|a |＝3代入可得|b |2－3|b |－4＝0. 解得|b |＝4或|b |＝－1(舍去)．6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 答案：37．如果a ，b ，a －b 的模分别为2,3，7，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝12.又0≤θ≤π，故θ＝π3.答案：π38．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则BC ·CA ＋AB ·BC ＝________. 解析：注意到BC 与CA ，AB 与BC 所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故BC ·CA ＋AB ·BC ＝2×(2×2×cos 120°)＝－2.答案：－29．设非零向量a 和b ，它们的夹角为θ.(1)若|a |＝5，|b |＝4，θ＝150°，求a 在b 方向上的投影和a 与b 的数量积； (2)若a·b ＝9，|a |＝6，|b |＝3，求b 在a 方向上的投影和a 与b 的夹角θ. 解：(1)a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝5cos 150°＝－532，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 150°＝－10 3. (2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a |＝96＝32. ∵cos θ＝a·b |a ||b |＝96×3＝12，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.10．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(ka －b )? 解：由已知，a ·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. (1)∵(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)若(a ＋2b )⊥(ka －b )， 则(a ＋2b )·(ka －b )＝0. ∴ka 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：选A 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 2．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 ( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B ∵AB ＝DC ，即一组对边平行且相等，AC ·BD ＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形．3．已知|a |＝1，|b |＝1，|c |＝2，a 与b 的夹角为90°，b 与c 的夹角为45°，则a·(b·c )为( ) A ．0 B ．a C ．bD ．c解析：选B a·(b·c )＝a ·(|b ||c |·cos 45°)＝a ·⎝⎛⎭⎫1×2×22＝a .故选B. 4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则AP ·(PB ＋PC )等于( ) A. 49 B. 43 C ．－43D ．－49解析：选A ∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23.如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP · AP ＝(AP )2＝⎝⎛⎭⎫232＝49.5．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：由|a ＋b |2＝|a －b |2知a·b ＝0. 又|a －b |2＝4|a |2， ∴|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|a |2.∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝3|a|.∴cos θ＝(a＋b)·(a－b)4|a|2＝|a|2－|b|24|a|2＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.答案：2π36. 如图，圆O的半径为1，点A，B，C是圆O上的点，且∠AOB＝30°，AC＝2AB，则OA·BC＝________.解析：∵∠AOB＝30°，AC＝2AB，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°.∴OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝1×1×cos 60°－1×1×cos 30°＝1－32.答案：1－327．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.(1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×12＝2，∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12.8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.(1)求a与b的夹角θ；(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？解：(1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.∴(a ＋b )2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴a·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝49－9－252＝152. 又∵a·b ＝|a ||b |cos θ，∴152＝3×5×cos θ. ∴cos θ＝12，θ＝60°. (2)∵(μa ＋b )⊥(a －2b )，∴(μa ＋b )·(a －2b )＝0.∴μa 2－2b 2－2μa ·b ＋a ·b ＝0.∴9μ－2×25－2μ×152＋152＝0. ∴μ＝－8512. ∴存在μ＝－8512，使得μa ＋b 与a －2b 垂直．。
北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积 学案
§5 从力做的功到向量的数量积Q 情景引入ing jing yin ru水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的__夹角__，并规定夹角的范围是__0°≤θ≤180°__.当__θ＝0°__时，a 与b 同向；当__θ＝180°__时，a 与b 反向；当__θ＝90°__时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量__垂直__ . 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：__|a ||b |cos θ__叫作向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即__a ·b __＝__|a ||b |cos θ__. (2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影__|b |cos θ__的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影__|a |cos θ__的乘积．3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质： (1)若e 是单位向量，则e ·a ＝__a ·e __＝__|a |cos θ__.(2)若a ⊥b ，则__a ·b ＝0__；反之，若__a ·b ＝0__，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__. (3)|a |＝__a ·a __. (4)cos θ＝__a ·b|a |·|b |__(|a |·|b |≠0)． (5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a |·|b |. 当且仅当__a ∥b __时等号成立． 4．向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有以下结果： a ·b ＝__b ·a __；(λa )·b ＝__λ(a ·b )__＝__a ·(λb )__； a ·(b ＋c )＝__a ·b ＋a ·c __.Y 预习自测u xi zi ce1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( B ) A ．－32 B ．－62 C ．62D ．12 [解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 2．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( B ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°[解析] 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12，∴θ＝120°.3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( D ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2[解析] BD →·CD →＝BD →·BA →＝(BA →＋BC →)·BA →＝(BA →)2＋BC →·BA →＝|BA →|2＋|BC →|·|BA →|cos ∠ABC ＝a 2＋a 2×cos 60°＝32a 2.故选D ．4．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝12，则a 在b 方向上的射影为__125__.[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45，而a 在b 方向上的射影为|a |cosθ＝3×45＝125.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量数量积的定义及几何意义典例1 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的射影．[思路分析] 已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.『规律总结』 (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a ·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a ·b <0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影； (2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . [解析] (1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝ |a ||b |cos 0°＝20.当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20. 命题方向2 ⇨平面向量的数量积的运算律典例2 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． [解析] (1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34.『规律总结』 求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a |＝3，|b |＝4，θ＝120°(θ为a 与b 的夹角)，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b ＝|a |·|b |cos θ求． [解析] (1)原式＝|a |·|b |·cos θ＝12×cos 120°＝－6； (2)原式＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝9－16＝－7；(3)原式＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13. (4)原式＝3a 2－5a ·b －2b 2＝3|a |2－2|b |2－5·|a |·|b |·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 命题方向3 ⇨向量的夹角典例3 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a 与a ＋b 的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．[解析] ∵|a |＝|a －b |， ∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝12|a |2，又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.『规律总结』 向量夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．〔跟踪练习3〕若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( C )C ．120°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.又∵|a |＝|b |，∴cos θ＝－12，即θ＝120°，选C 项．命题方向4 ⇨求向量的模典例4 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |、|a －b |.[解析] 解法一：由数量积公式|a |＝a 2求解． 因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝25＋25＋25＝5 3.同样可求|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋25－25＝5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使AB ＝AD ＝5， ∠DAB ＝π3，设AB →＝a ，AD →＝b ，如图所示，则|a －b |＝|BD →|＝|AB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →|＝2×32×5＝5 3.『规律总结』 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ， ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )，将此式展开．(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了． 〔跟踪练习4〕已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －b |的值为( B ) A ．4B ．27[解析] ∵a ·(b －a )＝2， ∴a ·b －a 2＝2.∴a ·b ＝2＋a 2＝2＋|a |2＝2＋22＝6. ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝22－2×6＋62＝28， ∴|a －b |＝27. X 学科核心素养ue ke he xin su yang用向量数量积解决垂直问题典例5 已知a ，b 是非零向量，θ为a ，b 的夹角，当|a ＋t b |(t ∈R )取最小值时，(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线且同向，求证：b ⊥(a ＋t b )．[思路分析] (1)将a ＋t b 的模表示为t 的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b ⊥(a ＋t b )，只需证b ·(a ＋t b )＝0.[解析] (1)令m ＝|a ＋t b |，则m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a ||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ， 所以当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ.(2)证明：因为a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1， 所以t ＝－|a ||b |.故b ·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a ||b |－|a ||b |＝0， 所以b ⊥(a ＋t b )．『规律总结』 本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a ＋t b 的模的平方表示为t 的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t 的值；(2)中只需证出b ·(a ＋t b )＝0，求解时利用a 与b 共线且同向的条件，确定t 的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为120°，则当k 为何值时，向量k a－b 与a ＋2b 垂直？[分析] 利用c ⊥d ⇔c ·d ＝0，构造关于k 的方程组求解． [解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.∴k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 120°－2×42＝0， ∴k ＝225.即k 为225时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi未认清向量的夹角典例6 △ABC 的三边长均为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a·b ＋b·c ＋c·a的值．[错解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a·b ＝|a ||b |cos C ＝cos 60°＝12.同理b·c ＝c·a ＝12，∴原式＝32.[辨析] 错误的原因在于认为a 与b 的夹角为∠C .其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[正解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠C ＝60°，∴a 与b 的夹角为180°－∠C ＝120°，∴a·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.同理b·c ＝c·a ＝－12，∴原式＝－32.『规律总结』 在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值． [思路分析] 先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．[解析] 方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13. 方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等 [解析] 设a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2， ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a ||c |cos θ1＝|b |·c |cos θ2， 即|a |cos θ1＝|b |cos θ2，故选D ． 2．下列命题正确的是( D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0 C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c[解析] 选项D 是分配律，正确，A 、B 、C 不正确．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( B )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B ．。
2017-2018学期高中数学 第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积(一) 北师大版必修4
√A.1
B.2
C.3
D.5
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
12345
解析 答案
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b －c)2＝_1_1_.
题型探究
类型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，
分别求a与b的数量积.
解 (1) a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
解析 易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2，C＝90°. ∴cos B＝153. 又 cos 〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos(180°－B)
＝13×5×－153＝－25.
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解析 答案
5.已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)A→B·A→C； 解 ∵A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)A→B·B→C； 解 ∵A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与 b＝2n－3m的夹角.
解答
反思与感悟
当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求 角，注意向量夹角的范围是[0，π].
高中数学北师大版必修四学案：第二章 5 从力做的功到向量的数量积(二)
学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________．(填序号) 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________________. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.跟踪训练2已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于() A ．－92 B ．0 C ．3 D.152命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．反思与感悟 由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2，π]⇔a ·b <0.跟踪训练3设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是() A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为()A ．1B ．0C ．2D ．34．已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是()A.32B.12 C ．－32D ．－125．已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的射影．1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .答案精析知识梳理 知识点一正确 错误 正确 错误 知识点二(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a 题型探究 例1④ 跟踪训练1③ 例22 跟踪训练2C 例3(0,1)∪(1，＋∞)跟踪训练3解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)． 当堂训练1．C2.C3.D4.C5．(1)θ＝π3(2)577。
高中数学北师大版必修4学案2.5 从力做的功到向量的数量积 Word版含解析
§从力做的功到向量的数量积．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的)几何问题．(难点[基础·初探]教材整理向量的夹角及数量积阅读教材～内容，完成下列问题．．向量的夹角()射影θ叫作向量在方向上的投影数量(也叫投影)．()数量积已知两个非零向量与，我们把θ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝θ，其中θ是与的夹角．()规定零向量与任一向量的数量积为.()几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影θ的乘积，或的长度与在方向上射影θ的乘积．()性质①若是单位向量，则·＝·＝θ.②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.③＝＝.④θ＝(≠)．⑤对任意两个向量，，有·≤，当且仅当∥时等号成立．()运算律已知向量，，与实数λ，则：①交换律：·＝·；②结合律：(λ)·＝λ(·)＝·(λ)；③分配律：·(＋)＝·＋·.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两向量的数量积仍是一个向量．( )()若·＝，则＝或＝.( )()设与的夹角为θ，则θ>⇔·>.( )()对于任意向量，，总有(·)＝·.( )()＝.( )【解析】()×.两向量的数量积是一个数量．()×.∵·＝θ＝，∴＝或＝或θ＝.()√.()×.由数量积定义知，错；()×＝θ)＝θ).【答案】()×()×()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：。
数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案
从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18[课程学习目标]1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。
2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。
3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。
[重点]平面向量数量积定义及运算性质。
理解“投影”的计算公式。
[难点]对向量数量积概念的理解。
[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
如图，若小车在力的作用下，产生的位移，那么所做的功W是多少？和是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = ||•||cosθ，θ是与S的夹角。
问：一般的向量和，如何定义这种运算？读记教材交流：（自主预习不看不讲）问题1：向量和的夹角是如何定义的？向量和夹角的范围是什么？何时向量和垂直？（注：规定零向量与任一向量垂直）问题2：向量和的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：在方向上的投影是如何定义的？在方向上的投影呢？∙的几何意义是什么？注意：①射影也是一个数量，不是向量。
②当θ为锐角时射影为正值；∙0当θ为钝角时射影为负值；∙0当θ为直角时射影为0；∙=0，反之，∙=0时，θ为直角或a与b中至少有一个为0。
当θ = 0︒时射影为 ||；∙=||||0当θ = 180︒时射影为-||；∙= —||||0问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？思考：1.如果∙=∙，能否推出=？为什么？2. （∙）∙=∙（∙）是否成立？为什么？（由练习课本P95，T3验证）3．)a-= ，(2b(2ba+= ，)(-+= 。
高中数学学案必修四《第二章 从力做的功到向量的数量积》
⑤向量数量积的物理意义是
⑥平面向量数量积的重要性质：
⑦平面向量数量积满足的运算定律：
问题生成记录：
精
讲
互
动
1．向量数量积的几何意义；向量数量积的重要性质；向量数量积满足的运算定律。
2．应用：
例2(余弦定理)
达
标
训
练
练习1-5题。
已知 ， ，且 与 不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
第课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
赵红军
目标
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律。
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握两个向量垂直的条件。
重点
平面向量的数量积的定义
二次备课
难点
作业
反思
板书
设计
②设 、 是同一平面内的两个任意向量，则 与 的积可以表示为，
其中 是。 的结果是一个，称为 与 的或。
③设 、 是两个非零向量，则其夹角定义为，两向量夹角的范围是。当 时， 与 ； 时， 与 ； 时， 与 ，
记作。特别规定：零向量可与任意向量。④向量 与 的数量积 Nhomakorabea几何意义是
或。
当两向量相等时，其数量积等于，记作；
平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用。
自
主
学
习
1．复习回顾：
①向量 和向量 的和与差是，其大小和方向可以通过法则和法则来表示。
②向量 和实数 的数量积是，其大小为，方向为
北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积 学案
从力做的功到向量的数量积,1．力做的功一个物体在F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W ＝|F ||s |cos θ，其中θ 是F 与s 的夹角．2．两个向量的夹角定义已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角范围 0°≤θ≤180°垂直 当θ＝90°时，称向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥ B ．规定零向量可与任一向量垂直特例当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向3.定义已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，把|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a |cos__θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(向量b 在a 方向上)的射影几何 意义 a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos__θ的乘积物理 意义力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s4.(1)若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos__θ．(2)若a ⊥b ，则a ·b ＝0；反之，若a ·b ＝0，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(a ，b 为非零向量)(3)a 、b 同向⇔a ·b ＝|a ||b |；a 、b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |；特别地a ·a ＝a 2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |(|a ||b |≠0)．(5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |.当且仅当a ∥b 时等号成立． 5．向量数量积的运算定律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律 a ·b ＝b ·a 结合律 (λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2等等．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( ) (2)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (3)若a·b ＝b·c ，则一定有a ＝c .( ) 解析：(1)错误．向量的数量积是一个数． (2)错误．向量a 与b 可能垂直．(3)错误．向量b 与向量a ，c 可能垂直，所以a 与c 不一定相等． 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A.向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a ·b |b |＝－123＝－4，故选A. 3．已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3 2. (1)若θ＝135°，则a ·b ＝________； (2)若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 答案：(1)－6 (2)04．已知△ABC 中，BC ＝4，AC ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝________．解析：画图可知向量BC →与CA →的夹角为角C 的补角，故BC →·CA →＝|BC →|×|CA →|cos(π－C )＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16.答案：－161．对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角．(2)从运算上看：两向量a ，b 的数量积称作内积，写成a·b ，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握． 2．理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影是不同的．(2)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)，也可以写成a·b |a |.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 3．数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，用它可研究几何问题中的某些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值．但要特别注意该不等式中“＝”成立的条件．4．向量数量积与实数积运算律的比较实数a ，b ，c 向量a ，b ，c a ≠0，a ·b ＝0⇒b ＝0 a ≠0，a ·b ＝0⇒/ b ＝0a·b ＝b·c(b ≠0)⇒a ＝c a·b ＝b·c (b ≠0)⇒/ a ＝c|a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算(1)已知向量a ，b 满足|a|＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD →·BC →；②AB →·DA →.【解】 (1)选B.因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3，故选B.(2)①因为AD →∥BC →，且方向相同， 所以AD →与BC →的夹角是0°，所以AD →·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB →与AD →的夹角为60°， 所以AB →与DA →的夹角为120°， 所以AB →·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－6.求向量数量积的方法及注意事项(1)方法：分别求出向量a 与向量b 的模及向量a 与向量b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．(2)注意事项：①要牢记数量积的运算公式；②要注意确定两个向量的夹角；③对于平行向量要注意两向量是同向还是反向．(3)求形如(m a ＋n b )·(p a ＋q b )的数量积，可以先展开，再求a 2、b 2、a ·b .1.(1)在Rt △ABC 中，C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16(2)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________． 解析：(1)AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16. (2)因为b ·c ＝0，所以b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0， 即t a ·b ＋(1－t )·b 2＝0，又因为|a |＝|b |＝1，a ，b 的夹角为60°，所以12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.答案：(1)D (2)2向量模的问题(1)已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． (2)设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，|a |＝1，则|b |＝________． 【解析】 (1)因为|2a ＋b |＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4|a |2＋4|a ||b |cos 45°＋|b |2＝10， 故4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． (2)因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )． 因为(a －b )⊥c ， 所以c ·(a －b )＝0， 所以－(a ＋b )·(a －b )＝0， 所以a 2－b 2＝0， 所以|b |＝|a |＝1. 【答案】 (1)2 (2)1本例(2)中，加上条件a ⊥b ，其他条件不变，求|c |.解：由已知可得c ＝－(a ＋b )， 而(a －b )⊥c ，有(a －b )·[－(a ＋b )]＝0， 所以a 2－b 2＝0，又|a |＝1，得|b |＝1，而a ⊥b ， 所以c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，即|c |＝ 2.求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2等．2.(1)平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A.3 B ．2 3 C ．4D ．12(2)已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求|a ＋b ＋c |.解：(1)选B.|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2 ＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)①当向量a ，b ，c 共线且同向时，所成的角均为0°， 所以|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6；②当向量a ，b ，c 不共线时，易知a ，b ，c 皆为非零向量． 设a ，b ，c 所成的角均为θ， 则3θ＝360°，即θ＝120°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1. 同理b ·c ＝－3，c ·a ＝－32，由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝3，故|a＋b＋c|＝ 3.综上所述，|a＋b＋c|＝6或 3.向量的夹角与垂直(1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.5π6(2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝12.①求|b |；②当a ·b ＝12时，求向量a 与b 的夹角θ的值．【解】 (1)选C.设a ，b 的夹角为θ， 因为 a ⊥(2a ＋b )，所以 a ·(2a ＋b )＝0， 所以 2|a |2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos θ＝0.因为 |b |＝4|a |，所以 2|a |2＋4|a |2cos θ＝0， 所以 cos θ＝－12，所以θ＝23π.(2)①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝22. ②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤(2)注意事项在个别含有|a |，|b |与a ·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．3.已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1.(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 解：(1)因为|a |＝2|b |＝2， 所以|a |＝2，|b |＝1.又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－1， 所以cos θ＝－12，所以θ＝2π3.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)因为λa ＋b 与a －3b 互相垂直，所以(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2＝0， 所以4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝47.易错警示因数量积转化不等价致误设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．[解析] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t e 21＋2t 2e 1·e 2＋7e 1·e 2＋7t e 22<0，因为|e 1|＝2，|e 2|＝1，且e 1与e 2的夹角为π3，化简即得：2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.所以所求实数t 的范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.[答案] ⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.(1)解答本题常会出现错误的答案为⎝⎛⎭⎫－7，－12.原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价，其中还包含了共线且反向的情况．(2)注意问题转换的等价性数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量a 和b 及其夹角θ，①a ·b ＝0⇔a ⊥b ；②a ·b >0⇔θ为锐角或零角；③a ·b <0⇔θ为钝角或平角．如本例应排除向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2共线且反向的特殊情形后才等价.1．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，()AB →－DB →·AB →＝0，则该四边形是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．正方形解析：选B.由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，所以AB 綊CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为(AB →－DB →)·AB →＝(AB →＋BD →)·AB →＝AD →·AB →＝0，所以AD ⊥AB ，所以四边形ABCD 是矩形，故选B.2．等边三角形ABC 的边长为1，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →等于( ) A ．0 B ．1 C ．－12D ．－32解析：选D .由已知|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝cos 120°＋cos 120°＋cos 120°＝－32.3．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－6，得a 2＋a ·b －2b 2＝－6，又|a |＝1，|b |＝2，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.答案：60°4．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |. 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3代入上式求得a ·b ＝－6， 所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13., [A 基础达标]1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ， 所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.2．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12 解析：选C.(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0.解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C.3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B.因为3a ＋2b 与λa －b 垂直， 所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝0， 即3λ|a |2＋(2λ－3)a ·b －2|b |2＝0. 因为a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3， 所以a ·b ＝0，|a |2＝4，|b |2＝9， 所以12λ－18＝0，即λ＝32.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3解析：选D.设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ， AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD → ＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x＝ 3.5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1 B ．1 C.2＋1D. 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以|a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．若四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝60°，则|DC →＋BC →|＝________．解析：因为四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠BAD ＝60°，所以∠DCB ＝60°，所以|DC →＋BC →|2＝|DC →|2＋|BC →|2＋2DC →·BC →＝12＋12＋2×1×1 cos ∠DCB ＝3，所以|DC →＋BC →|＝ 3. 答案： 37．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________． 解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案：－8或59．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2， 求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4， a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2 ＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a －4b |＝419.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值． 解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5， 所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， 所以9－6a ·b ＋1＝5， 所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339. [B 能力提升]11．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( )A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选 B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.12．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝⎛⎭⎫|x ||b |2＝x2（x e 1＋y e 2）2＝x 2（x e 1）2＋（y e 2）2＋2xy e 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cos π6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3y x ＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14. 因为⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝⎛⎭⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2.答案：213．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值． 解：(1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |， 所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， 所以a ·b ＝k 2＋14k .因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.14．(选做题)在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0， 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →) ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36. 又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ ＝9×6×cos θ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。
2018学年高中数学北师大版必修四课件：第2章 §5 从力做的功到向量的数量积 精品
已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的 夹角θ.
【精彩点拨】 先求|a|，|b|及a·b，再由公式cos θ＝|aa|·|bb|求解．
【自主解答】 ∵e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝cos 60°＝12，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1) ＝－6e21＋e1·e2＋2e22＝－72.
(4)几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影 |b|cosθ 的乘积，或b的长度 |b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积． (5)性质 ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.
②若a⊥b，则 a·b＝0 ；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0.
2．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的射影为( )
A．4
B．4 3
C．4 2
D．8＋
3 2
【解析】 a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉．由a·b＝|a|·|b|cos θ＝40且|b|
＝10，得|a|cos θ＝4.
【答案】 A
3．已知|a|＝ 3，|b|＝2 3，a·b＝－3，则a与b的夹角是________.
(2)若a与a＋b垂直，则a·(a＋b)＝0，
∴a2＋a·b＝0.
∵a·b＝－|a|2＝－1.
∴cos
θ＝|aa|·|bb|＝1×－1
＝－ 2
2 2.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
北师大版高中数学第二章5 从力做的功到向量的数量积
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5 从力做的功到向量的数量积
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考纲定位
重难突破
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意 义． 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关 系． 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决
重点：1.平面向量数量积的含义与物理意义． 2.数量积的性质及应用．
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当夹角为 π 时，2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
2t＝λ， 可求得7＝λt，
λ<0，
λ＝－ 14，
所以 t＝－
14 2.
所以所求实数 t 的范围是
－7，－ 214∪－ 214，－12.
[答案]－7，－ 214∪－ 214，－12
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数量积运算时，一是要找准两向量的夹角，二是注意向量数量积的运算律的应用．
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1．已知|a|＝|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，求： (1)(a－b)2； (2)a2－b2； (3)a·a＋a·b； (4)(3a－2b)·(a－2b)．
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[错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为－7，－12.原因是不理解数量积的符 号与向量夹角的关系，不等式“(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价， 其中还包含了共线且反向的情况． (2)注意问题转换的等价性 数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量 a 和 b 及其夹角 θ，①a·b＝0⇔a⊥b； ②a·b>0⇔θ 为锐角或零角；③a·b<0⇔θ 为钝角或平角．如本例应排除向量 2te1＋7e2 与 e1 ＋te2 共线且反向的特殊情形后才等价．
【教育专用】2018_2019学年高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修4
§5 从力做的功到向量的数量积内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．知识点1 向量的夹角与投影 (1)夹角：①定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°； ③大小与向量共线、垂直的关系； θ＝⎩⎪⎨⎪⎧0°⇔a 与b 同向，180°⇔a 与b 反向，90°⇔a ⊥b .(2)投影：①定义：如图所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过点B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影数量(简称投影)．②大小与夹角的关系：等边△ABC 中，BA →与BC →的夹角是多少？BA →与AC →，AC →与BC →的夹角又分别是多少？ 提示 BA →与BC →的夹角就是△ABC 的一个内角(∠ABC )，因此BA →与BC →的夹角是π3.BA →与AC →首尾相接，由∠BAC ＝π3知它的补角为23π，因此BA →与AC →的夹角是23π.AC →与BC →有共同的终点C ，若延长AC ，BC ，则可知所得的角的大小与∠ACB 的大小相等，均是π3，因此AC →与BC →的夹角是π3. 知识点2 向量的数量积(1)定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影|a |cos θ的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s . (4)性质：①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(其中a ，b 为非零向量)； ③|a |＝a ·a ； ④cos θ＝a ·b|a |·|b |(|a ||b |≠0)；⑤对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |. (5)运算律：交换律：a ·b ＝b ·a .结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． 分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 【预习评价】1．已知三角形ABC 中，BA →·BC →＜0，则三角形ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＜0， ∴cos B ＜0，又∵B 为△ABC 的内角． ∴π2＜B ＜π. 答案 A2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．解析 |a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 3题型一 数量积的基本概念 【例1】 下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a ·b ＝|a ||b |；④|a ||b |<a ·b ；⑤a ·a ·a ＝|a |3；⑥a 2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________（填序号）．解析由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a ＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错；对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．答案①②⑥规律方法对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．解析因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．答案④题型二数量积的运算【例2】已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．解①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°. ∴a ·b ＝0，a ·(a ＋b )＝a 2＝9. ③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝18.规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a 与b 之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b |和|a |.③求它们的数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.【训练2】 已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，试求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(a ＋b )·(a ＋b )； (4)(a －2b )·(3a ＋b )．解 (1)a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝－7.(3)(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |·cos θ＋|b |2＝13. (4)(a －2b )·(3a ＋b )＝3a 2－5a ·b －2b 2＝25.方向1 求向量的模【例3－1】 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |；(3)|(a ＋b )·(a －2b )|. 解 由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a －4b |＝419.(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12. 方向2 求向量的夹角【例3－2】 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝m ＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝n －3m2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a 与b 的夹角为120°. 方向3 数量积的综合应用【例3－3】 设两个向量e 1，e 满足|e 1＝2，|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围． 解 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|＜0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.化简，得2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.当夹角θ为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14，t ＝－142，故实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.规律方法 1.求向量夹角时要注意：(1)当已知a ·b 是非坐标形式时，需求得a ·b 及|a |，|b |或它们之间的关系； (2)当已知a ，b 的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．2．对于a 2＝|a |2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.课堂达标1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a·b |＝|a ||b | C ．λ(a·b )＝λa·bD ．|a·b |≤|a ||b |解析 因为|a·b |＝||a |·|b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a |·|b |·|cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a |·|b |，故B 错． 答案 B2．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135°D ．45°解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1， 设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22. 又∵ θ∈[0°，180°]， ∴ θ＝135°. 答案 C3．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 解析 a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝12.答案 124．已知向量a 在向量b 方向上的射影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________．解析 a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉 ＝3×23＝2.答案 25．已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解 要想(k a －b )⊥(a ＋2b )， 则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0， 即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0， 解得k ＝1415，即当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．课堂小结1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b ＝0或θ＝90°时)． 2．向量数量积的性质及作用：设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |.此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b|a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角.基础过关1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2，选C.答案 C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1. 答案 A3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0， 设a 与b 的夹角为θ， ∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案 C4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案 －8或55．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________． 解析 由已知a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，由(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，∴12k －18＝0，∴k ＝32.答案 326．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 解 由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b a －5b ＝0，a －4ba －2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 2，7a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ＝12|b |2，|a |＝|b |，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12，又∵θ∈[0，π]， ∴a 与b 的夹角为π3.7．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影． 解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1. 设向量2a －b 与向量a ＋b 的夹角为θ， ∴|2a －b |cos θ. ＝|2a －b |·a －b a ＋b|2a －b |·|a ＋b |＝a －ba ＋b|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，23π]D ．[π6，π]解析 因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π. 答案 B9．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定 解析 |b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2. 因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos 2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1. 所以|b |2sin 2θ＝1， 所以|b |sin θ＝1，即|b |＝1sin θ. 即θ确定，|b |唯一确定． 答案 B10．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________. 解析 b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0，解得t ＝2.答案 211．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为E 为CD 的中点，所以BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →.因为AC →·BE→＝1，所以AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD →＋AB →)＝AD →2－12AB →2＋12AB →·AD →＝1，即1－12AB →2＋12|AB →|cos60°＝1，所以－12AB →2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12. 答案 1212．已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． 解 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为π3， ∴e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12. ∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32， |a |＝a 2＝e 1＋e 22＝1＋2×12＋1＝3， |b |＝b 2＝e 2－2e 12＝1＋4－4×12＝3， ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.∴a 与b 的夹角为2π3. 13.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝2，|AD →|＝1，∠DAB ＝60°.求：(1)AD →·AB →；(2)AC →与DB →夹角θ的余弦值．解 (1)AD →·AB →＝|AD →||AB →|cos ∠DAB ＝2×12＝1. (2)AC →＝AD →＋AB →，DB →＝AB →－AD →，∴AC →·DB →＝AB →2－AD →2＝4－1＝3，AC →2＝AD →2＋AB →2＋2AB →·AD →＝1＋4＋2＝7，|AC →|＝7， DB →2＝AB →2＋AD →2－2AB →·AD →＝4＋1－2＝3，|DB →|＝3.cos θ＝AC →·DB →|AC →||DB →|＝37×3＝217.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积学案 北师大版必修4
2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 和向量b 的____．(2)范围：_______.(3)规定：零向量与任意向量____． 预习交流1若向量预习交流2在等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是__________，AC →与CB →的夹角是__________． 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：________叫作向量a 和b 的数量积，记作a·b ，即______＝__________.(2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影______的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影______的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积______． 预习交流3若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( )．A ．12B ．12 2C ．－12 2D ．－12 3．向量数量积的性质(1)a·a ＝|a |2；(2)若e 1，e 2是单位向量，则e 1·e 2＝__________＝____； (3)若e 是单位向量，则e ·a ＝______＝________； (4)a ⊥b ⇔________；(5)____＝a ·a ；(6)cos θ＝________(|a ||b |≠0)；(7)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |__|a ||b |，当且仅当a ∥b 时____成立． 预习交流4(1)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为__________； (2)a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 4．向量数量积的运算满足以下运算律 给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 (1)交换律：__________.(2)分配律：________________.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数λ，有(λa )·b ＝________＝________.预习交流5(1)a ·b ＝b·c ⇒a ＝c ，上述推理正确吗？为什么？ (2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？答案：1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 预习交流1：同向 垂直 反向 预习交流2：120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流3：C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号 预习交流4：(1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5：(1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD ⇒/a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．1．向量数量积的定义及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b .(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b . 2．平面向量数量积的运算若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．思路分析：先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________. 2．(2012·吉林实验中学一模，13)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________.向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a 2＝|a |2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3．求向量的模(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |.思路分析：(1)要求|2a －b |，利用|2a －b |＝a －b 2求解； (2)先求出a ·b 的值，由于|a ＋b |＝a ＋b 2，|a ＋2b |＝a ＋2b2，利用数量积中的完全平方公式展开求解．已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|.求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．思路分析：(1)由(a －b )和(a ＋b )的数量积可得出|a|，|b|的关系； (2)计算a －b 和a ＋b 的模．1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|. 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos θ＝a·b|a||b|，一般要求两个整体a·b ，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决．5．解决有关垂直问题已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．思路分析：由a ⊥b 知，a·b ＝0.由a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直知，[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.解决本题可先通过向量运算将k 表示出来，通过建立k 与t 的函数关系式，进而求出函数k 的最小值．已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．答案：活动与探究1：解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用：解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2：解：方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13.方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.迁移与应用：1.1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3：(1)B 解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用：解：∵a⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0，∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b|＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b|＝(a －2b )2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4：解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.(2)|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝22，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝102.设a－b与a＋b的夹角为φ，则cos φ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.∴a－b与a＋b 的夹角的余弦值为55.迁移与应用：1.135°解析：设夹角为θ，∵a ·(a＋b)＝1，∴|a|2＋a·b＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a，b的夹角为135°.2. 解：如下图所示，在平面内取一点O，作OA=a，OB =b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|OA|=|OB|，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC=a+b，BA=a-b.(1)由于|a|=|b|=|a+b|，即|OA|=|AC|=|OC|，所以∠AOC=60°，即a与a+b的夹角为60°.(2)∵∠AOC=60°，∴∠AOB=120°.又|OA|=|OB|，∴∠OAB=30°，即a与a-b的夹角为30°.活动与探究5：解：∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0.∴－k a2＋t a·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)t b2＝0，∴－4k＋(t－3)t＝0.∴k＝14(t2－3t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫t－322－916(t≠0)．∴当t＝32时，k取最小值－916.迁移与应用：解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°.1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为150°，则m·n ＝( )．A ．12B ．12 3C ．－12 3D ．－122．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )．A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．(2012·辽宁高考，理3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是BC 的中点，则AD →·BC →＝__________.答案：1．C 解析：m·n ＝|m||n|·cos 150°＝4×6×cos 150°＝－12 3. 2．B 解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.3．B 解析：|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b .故选B.4.43 解析：∵|a ＋3b |2＝a 2＋2a ·3b ＋9b 2＝1＋6×1×2×cos 60°＋9×4＝43， ∴|a ＋3b |＝43. 5.52 解析：由已知得AD ＝12(AB ＋AC )，BC ＝AC －AB ， ∴AD ·BC ＝12(AB ＋AC )· (AC －AB )＝12(|AC |2－|AB |2)＝12(9－4)＝52.。
北师大版数学高一-必修4学案 2.5从力做的功到向量的数量积
§5从力做的功到向量的数量积问题导学1．向量数量积的定义及几何意义活动与探究1已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°．(1)求a·b；(2)求a在b上的射影．迁移与应用(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b．(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b＞0⇔θ为锐角或零角；或a与b至少有一个为0；②若a·b＝0⇔θ＝π2③若a·b＜0⇔θ为钝角或平角．(2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b．2．平面向量数量积的运算活动与探究2已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．迁移与应用1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________．2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________．向量数量积的运算中要注意的问题：(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式． (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2； (a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2．(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”． 3．求向量的模活动与探究3(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |．迁移与应用已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|．求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题活动与探究4已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．迁移与应用1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________． 2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|． 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．向量夹角的求法：(1)求向量的夹角要利用公式cos θ＝a·b|a||b|，通常分别要求a·b和|a|·|b|的值．(2)对于不方便单独求出a·b与|a|·|b|的值的问题，可寻求两者的关系，转化条件解方程(组)．(3)要注意向量夹角的取值范围为[0，π]，涉及到具体几何图形问题要注意向量的方向，区分几何图形的内角与向量夹角的关系．5．解决有关垂直问题活动与探究5已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a ＋t b垂直，试求k的最小值．迁移与应用已知a，b是两个非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，试求a 与b的夹角θ．向量垂直的应用(1)理论依据：a⊥b⇔a·b＝0．(2)利用向量垂直求参数的取值，通常是由向量垂直，转化为数量积为0，再利用方程或函数的思想来求解．当堂检测1．若|a|＝5，|b|＝6，〈a，b〉＝60°，则a·b＝()．A．15 B．15 3 C．15 2 D．102．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角为()．A．150°B．120°C．60°D．30°3．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()．A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋3b|＝__________．5．已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)?提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
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学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
知识点一平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．
知识点二平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．
梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．
类型一向量数量积的运算性质
例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；
④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，
由a·b ＝0并不能得出a ＝0或b ＝0.特别是向量的数量积不满足结合律． 跟踪训练1 设a ，b ，c 是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0； ②(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直； ③(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的是________．(填序号) 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值
例2 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )·b ，且b ⊥c ，则t ＝________________. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
跟踪训练2 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 等于( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3 已知e 1与e 2是两个互相垂直的单位向量，若向量e 1＋k e 2与k e 1＋e 2的夹角为锐角，则k 的取值范围为________．
反思与感悟 由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：对于非零向量a ，b ，θ∈[0，π2)⇔a ·b >0，θ∈(π2
，π]⇔a ·b <0.
跟踪训练3 设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( ) A ．60° B ．30° C ．135° D ．45°
3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．3
4．已知正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →
＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是( )
A.32
B.12 C ．－32
D ．－12
5．已知|a |＝2，|b |＝1，(2a －3b )·(2a ＋b )＝9. (1)求a 与b 之间的夹角θ； (2)求向量a 在a ＋b 上的射影．
1．数量积对结合律不一定成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a ||c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，若b 与c 不共线，则两者不相等． 2．在实数中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，但是在数量积中，即使a ·b ＝0，也不能推出a ＝0或b ＝0，因为其中cos θ有可能为0.
3．在实数中，若ab ＝bc ，b ≠0，则a ＝c ，在向量中a ·b ＝b ·c ，b ≠0D /⇒a ＝c .
答案精析
知识梳理 知识点一
正确 错误 正确 错误 知识点二
(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 (a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a 题型探究 例1 ④ 跟踪训练1 ③ 例2 2
跟踪训练2 C 例3 (0,1)∪(1，＋∞)
跟踪训练3 解 设向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为θ. 根据题意，
得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，
∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.
化简，得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12
.
当θ＝π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
λ＝－14，t ＝－142.
∴实数t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－1
2
)． 当堂训练
1．C 2.C 3.D 4.C 5．(1)θ＝π3 (2)57
7。