湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考文科数学试题Word版

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炎德英才大联考2019届长郡中学高三月考文数(试题)

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选择题答题卡
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【百强名校】湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(文)试题(PDF版)

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湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学(文)试题Word版含答案

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( ) A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（） A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（） A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒ D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为E 的焦距的取值范围是（） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C．)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,51x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin C ==，又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD = 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影，设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =，得1122BCD S ∆===，在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 602OCD S ∆=︒=，所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即112133d =，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为2619.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元，当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元，当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-，化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++，据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+，于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =，故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得10x =<，21x =>，则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意，综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数，故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h eλ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ，综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<，所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab 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炎德英才大联考2019届长郡中学高三月考文数(答案)

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长郡中学2019届高三第六次月考文数试卷

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2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学(文)试题解析

绝密★启用前2019届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第六次月考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知{}02A x x =<<，(){}ln 1B x y x ==-，则A B U 等于（） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞C ．()0,2D ．()1,2答案：B求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的并集即可．解：解：由B 中()ln 1y x =-，得到10x ->，即1x <，∴(),1B =-∞，∵()0,2A =，∴(),2A B =-∞U ，故选：B. 点评：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．复数1(1)z i i=-在复平面上对应的点z 位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B试题分析：1(1)1z i i i=-=-+⇒点z 位于第二象限 ,故选B ．【考点】复数及其运算．3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()5xf x m =+（m 为常数），则5(log 7)f -的值为（）A ．4B ．-4C ．6D ．-6答案：D函数为奇函数，则：()0050,1f m m =+=∴=-，即当0x ≥时，函数的解析式为：()51xf x =-，5log 70-<，结合奇函数的性质可得：()()()()5log 755log 7log 751716f f -=-=--=--=-.本题选择D 选项.点睛：若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0.4．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，则该几何体的表面积是（）A ．96165+B ．80165+C ．80325+D ．96325+答案：B通过三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个正四棱锥，计算五个正方形的面积与四个等腰三角形的面积即可．解：解：由三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个正四棱锥，如图.则正四棱锥的侧面是底为4，高为222425+=的等腰三角形，其面积11425452S =⨯⨯=，所以该几何体的表面积为1544480165S =⨯⨯⨯++，故选：B.点评：本题考查由三视图求表面积，考查空间想象能力，考查三角形面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．5．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（） A ．125B ．125-C ．32D ．32-答案：B先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．解：解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.点评：本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 6．已知M 是ABC V 内一点，1134AM AB AC =+，则ABM V 和ABC V 的面积之比为（） A ．14B ．13C ．12D ．23答案：A作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为AEAC．解：解：设13AD AB=u u u r u u u r，14AE AC=u uu r u u u r，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC于F，则//EF AB，∴14ABMABCS AES AC==△△.故选：A.点评：本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．7．如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（）A．1282-B．322-C．852-D．642-答案：D由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率．解：解：设小圆半径为r，则圆O的半径为2r r，由几何概型的公式得到：往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：()222264212Prrππ==-故选：D.点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度为面积，利用面积比求概率，属于基础题．8．函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图像如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图像，只需将函数()y f x =的图像（）A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移23π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度答案：B由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由(,2)3π在函数图象上，结合ϕ的范围求出ϕ的值，可得函数的解析式．再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，可得结论．解：解：由图可知2A =，∵2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， ∴2T ππω==，解得：2ω=，可得()()2cos 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入得：2cos 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵0πϕ-<<， ∴23πϕ=-，()22cos 22cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可将函数()y f x =的图像向左平移3π个单位长度得到()g x 的图像. 故选：B. 点评：本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．已知实数0p >，直线4320x y p +-=与拋物线22y px =和圆22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭从上到下的交点依次为A ，B ，C ，D ，则AC BD 的值为（） A ．18B ．56C ．38D ．716答案：C设()11,A x y ，()22,D x y ，抛物线的焦点为F ，由题得||||2pBF CF ==．由抛物线的定义得：11||||||22p pAC AF CF x x p =+=++=+，同理得2||BD x p =+．联立直线4320x y p +-=与抛物线22y px =且消去x 解出12p y =，22y p =-，所以18px =，22x p =，进而得到答案．解：解：设()11,A x y ，()22,D x y ，易知12x x <，抛物线的焦点为F ，由题意得2pBF CF ==，由抛物线的定义得：1122p pAC AF CF x x p =+=++=+，同理得2BD x p =+. 联立直线4320x y p +-=与抛物线22y px =消去x 得：222320y py p +-=，解得：12p y =，22y p =-，所以18px =，22x p =，所以93838p AC BD p ==.故选：C. 点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等，属于中档题．10．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（） A ．10 B ．9C ．8D．答案：B对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a +=8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a ++5≥，当且仅当228a b2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件11．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率是（）AB ．2CD答案：C设一渐近线OA 的方程为b y x a=，设(,)b A m m a ，(,)bnB n a -，由2AF FB =u u u r u u u r ，求得点A的坐标，再由FA OA ⊥，斜率之积等于1-，求出223a b =，代入ce a ==进行运算．解：解：由题意得右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=，则另一渐近线OB 的方程为by x a=-，设(,)bm A m a ，(,)bnB n a -， 2AF FB =u u u r u u u r Q ，2(c m ∴-，)(bm n c a -=-，)bna-， 2()c m n c ∴-=-，2bm bna a-=-， 34m c ∴=，32c n =，33,44c bc A a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，由FA OA ⊥可得，斜率之积等于1-，即304134bcb a ca c -=--g ， 223a b ∴=，c e a ∴==== 故选：C ．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A 的坐标是解题的关键，属于中档题．12．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在()7,-+∞上的所有零点之和为（） A ．0 B ．4 C ．8 D ．16答案：C由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在(7-，7)上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[7-，)+∞上所有的零点的和，即函数()g x 在[7，)+∞上所有的零点之和，求出[7，)+∞上所有零点，可得答案．解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-．又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的． ∴函数()g x 在(7-，7)上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在(7-，)+∞上所有的零点的和，即函数()g x 在[7-，)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,(01)()2,(12)x xx f x x --⎧<=⎨<⎩……．∴函数()f x 在(0，2]上的值域为1[2，1]，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =-， ∴函数()f x 在(2，4]上的值域为1[4，1]2，函数()f x 在(4，6]上的值域为1[8，1]4，函数()f x 在(6，8]上的值域为1[16，1]8，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(8，10]上的值域为1[32，1]16，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(8，10]上恒成立，()()1g x xf x =-在(8，10]上无零点，同理()()1g x xf x =-在(10，12]上无零点，依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在(7-，)+∞上的所有零点之和为8，故选：C ．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(7,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题13．为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为________.答案：150根据频率分布直方图先求出工厂产量在75件以上的频率，由此能估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数．解：解：根据频率分布直方图可知：工厂产量在75件以上的频率为：0.010100.005100.15⨯+⨯=，∴估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为10000.15150⨯=．故答案为：150．点评：本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，属于基础题． 14．若02πα<<，1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=________.答案：16由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin()3πα+的值，再利用两角差的余弦公式，求得cos cos[()]33ππαα=+-的值．解：解：∵02πα<<，1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴3πα+仍然是锐角，∴sin 33πα⎛⎫+==⎪⎝⎭. 则cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=⨯=故答案为：16．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题． 15．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB V 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．答案：8π分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线SA ，高SO ，底面圆半径AO 的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，30,90SAO ASB ∠=∠=o o又211822SAB S SA SB SA ∆=⋅==，解得4SA =，所以2212,232SO SA AO SA SO ===-=，所以该圆锥的体积为2183V OA SO ππ=⋅⋅⋅=.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可. 16．若ABC ∆的面积为)22234a cb +-，且C 为钝角，则c a 的取值范围是______. 答案：()2,+∞利用三角形的面积公式和余弦定理可求得tan 3B =3B π=，由C 为钝角得出06A π<<，再利用正弦定理边角互化思想得出132c a =+，进而可求得c a 的取值范围. 解：由三角形的面积公式和余弦定理得13sin 2cos 24ac B ac B =，化简得sin 3B B =，则tan 3B =0B Q π<<，3B π∴=，C Q 为钝角，则0232A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得06A π<<，所以30tan A << 所以，()13sin sin cos sin sin 133222sin sin sin sin 2A A AA B c C a A A A A π⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=====+>. 因此，ca的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 点评：考查三角形中边长比值取值范围的计算，涉及三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理的应用，将问题转化为以角A 为自变量的三角函数的值域问题求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，首项142,16a a ==(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）若数列{}n b 是等差数列，且3355,b a b a ==，求数列{}n b 的通项公式及前n 项的和答案：(Ⅰ)（Ⅱ）()2 1228,S 622n n b n n N n n +=-∈=-(Ⅰ)先求数列的公比，进一步利用定义求出数列的通项公式；（Ⅱ）先根据数列的项求出等差数列的通项公式，进一步利用求和公式求和．解：(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列且142,16a a == 所以公比（Ⅱ）由(Ⅰ)知：而数列{}n b 是等差数列，18．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2CD BE ==，O 为BC 的中点.将ADE V 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=.（1）证明：AO '⊥平面BCDE .（2）求O 到平面A DE ¢的距离. 答案：（1）证明见解析（2）32（1）利用线面垂直的判定定理证明A O '⊥平面BCDE ．（2）利用等体积法，求O 到平面A DE '的距离．解：解：（1）在图1中，易得3OC =，32AC =，22AD =，连结OD ，OE ，在OCD V 中，由余弦定理可得222cos455OD OC CD O CD C =+-︒=⋅，由翻折不变性可知22A D '=，∴222A O OD A D ''=+，∴AO OD '⊥.同理可证AO OE '⊥，又OD OE O ⋂=，OD ⊂平面BCDE ，OE ⊂平面BCDE ，∴AO '⊥平面BCDE .（2）过D 作DH BC ⊥交OC 于H ，则1DH =， ∵4DE =， ∴14122ODE S =⨯⨯=△. ∵148442A DES '=⨯⨯-=△. ∴由等体积可得，O 到平面A DE ¢的距离23342⨯==. 点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理以及点到平面距离的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和体积的计算，属于中档题．（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率. 答案：（1）该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=；（2）该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关；（3）12P =. 试题分析：(1)利用题意首先求得该校学生获得成绩等级为B 的概率，然后求解人数约为448人；(2)利用平均分是数值可得该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.(3)利用分层抽样的结论结合古典概型公式可得恰好抽到1名男生的概率为12. 试题解析：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=，则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=（分），因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关. （3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 点睛：两个防范一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，且椭圆C 经过点()2,0A 和点()1,3H e ，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆C 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．答案：（1）22143x y +=；（2）±（1）将点()2,0A 和点()1,3H e 代入椭圆方程计算得到答案.（2）设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程解得B 点坐标为2228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，M 点坐标为()1,k -，根据12MF BF ⊥计算得到答案.解：（1）∵椭圆经过点()2,0A 和点()1,3e ，∴22222219144a c b b c a =⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，∴解得2a =，3b =，1c =，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）设直线l 的斜率为k ，∴直线l 的方程为()2y k x =-，∵由方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，∴消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，∴解得2x =或228643k x k -=+，∴B 点坐标为2228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．由OM MA =知，点M 在OA 的中垂线上，又∵M 在直线l 上，∴M 点坐标为()1,k -，∴()12,F M k =-u u u u r ，2222222861249121,,43434343k k k k F B k k k k ⎛⎫⎛⎫----=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭u u u u r ，若∵12MF BF ⊥，∴222122228181220180434343k k k F M F B k k k --⋅=+==+++u u u u r u u u u r ，∴解得2910k =，∴310k =±，∴直线l 的斜率310±．点评：本题考查了求椭圆方程，直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．已知函数．（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明：答案：（1）的最大值为；（2）当时，函数的递增区间是，无递减区间，当时，函数的递增区间是，递减区间是；（3）证明见解析.参数进行分类讨论，即可得出不同情况下的单调区间；对于问题（3）可通过构造函数并结合函数的单调性将问题进行等价转化，从而间接证明所需证明的结论.试题解析：（１）因为，所以，此时，，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为（2），所以．当时，因为，所以．所以在上是递增函数，当时，，令，得，所以当时，，当时，，因此函数在是增函数，在是减函数．综上，当时，函数的递增区间是，无递减区间；当时，函数的递增区间是，递减区间是（3）当，．由，即，从而令，则由得，．可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因为，因此成立【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、最值，单调区间.【思路点晴】本题是一个导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决然后再对参数进行分类讨论，即可得出不同情况下的单调区间；对于问题（3）可通过构造函数并结合函数的单调性将问题进行等价转化，从而间接证明所需证明的结论.22．已知平面直角坐标系vOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），l 与y 轴交于A ，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程()2sincos 0m m ρθθ=>，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和点A 的一个极坐标；（2）若3PN PM =，求实数m 的值. 答案：（1）()2>0y mx m =；31,2π⎛⎫⎪⎝⎭（2）43 （1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．解：解：（1）因为曲线C 的极坐标方程()2sin cos 0m m ρθθ=>，所以()22sincos 0m m ρθρθ=>所以曲线C 的直角坐标方程为()2>0y mx m =，因为直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）消去参数得直线l 的普通方程为1y x =-， ∴直线l 与y 轴交于()0,1A -，A 的极坐标为31,2π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）直线l 的参数方程可化为21222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入抛物线的方程得()2422820t m t m -++=，所以12t t +=，1282t t m =+⋅， ∵3PN PM =u u u r u u u u r，∴123t t =，即121212328t t t t t t m =⎧⎪+=+⎨⎪=+⎩∴2224382t t m⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ∴43m =或4m =-（舍）.∴m 的值为43. 点评：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量级向量的数量积的运算，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 23．已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值；（2）若0m >，0 2m x >>，求222x x +-的最小值. 答案：（1）4m =±（2）4（1）直接利用绝对值不等式放缩，求得函数的最大值，得到m 值；（2）由题意求得x 的范围，去绝对值后利用基本不等式求最值．解：解：（1）()11112222f x x x m x x m m =--≤-+=，当且仅当11022x x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭g …且1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =， ∴4m =±.（2）若0m >，∴4m =，∴02x <<， ∴()222211222242222x x x x x x x x x x x x -⎛⎫+=+=++-=++≥+= ⎪----⎝⎭.当且仅当2x x -=，即1x =时，222x x +-的最小值为4. 点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值不等式的应用，属于中档题．。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(下)月考数学试卷(文科)(六)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 3}，T＝{4}，则(∁U S)∪T等于（）A.{2, 4}B.{4}C.⌀D.{1, 3, 4}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{l, 3}，T＝{4}，∴(∁U S)∪T＝{2, 4}∪{4}＝{2, 4}．2. 已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=bi1+i，则a+bi＝（）A.2+iB.2−iC.1+2iD.1−2i【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简复数，通过复数的相等求出a，b即可．【解答】a+i=bi1+i =bi(1−i)(1+i)(1−i)=b+bi2，∴{2a=b2=b，解得a＝1，b＝2，∴a+bi＝1+2i．3. 下列叙述正确的是（）A.函数f(x)=x2+2x2+2的最小值是2√2−2B.“0<m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C.若命题p:∀x∈R，x2−x+1≠0，则∃p:∀x0∈R,x02−x0+1=0D.“已知x，y∈R，若xy<1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A，f(x)=x2+2x2+2=x2+2+2x2+2−2≥2√2−2，x2+2=2x2+2的等号不成立，B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立；C，根据含有量词的命题的否定判定；D，当x=13,y=2时，xy<1也成立．【解答】对于A，f(x)=x2+2x2+2=x2+2+2x2+2−2≥2√2−2，x2+2=2x2+2的等号不成立，所以A错；对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；对于D，当x=13,y=2时，xy<1也成立，所以D错；4. 如图，该程序运行后的输出结果为（）A.0B.3C.12D.−2【答案】B【考点】程序框图【解析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件i>2，跳出循环，确定输出S的值．【解答】由程序框图知：第一次循环S＝0+5＝5，i＝5−1＝4，S＝5−4＝1；第二次循环S＝1+4＝5，i＝4−1＝3，S＝5−3＝2；第三次循环S＝2+3＝5，i＝3−1＝2，S＝5−2＝3．不满足条件i>2，跳出循环，输出S＝3．5. 已知奇函数f(x)＝2sin(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<2π)满足f(π4+x)＝f(π4−x)，则ω的取值不可能是（）A.2B.4C.6D.10【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】首先利用函数是奇函数求出：φ＝kπ(k∈Z)，进一步利用f(π4)=2sin(π4ω+π)=±2求出ω的值．【解答】由于f(x)＝2sin(ωx+φ)为奇函数，故：φ＝kπ(k∈Z)由于：0<φ<2π，所以：当k＝1时，φ＝π，满足f(π4+x)＝f(π4−x)，则：f(π4)=2sin(π4ω+π)=±2，所以：当ω＝2，6，10时2sin(π4ω+π)=±2成立，当ω＝4时，2sin(π4ω+π)=0．6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.9 5B.59C.53D.275【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，7. 已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)＝f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)＝log2(−x)，则函数g(x)＝f(x)−2在(0, 8)内所有的零点之和为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据函数奇偶性和对称性之间的关系求出函数是周期为4的周期函数，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合进行求解．【解答】∵奇函数y＝f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)＝f(1−x)，∴f(1+x)＝f(1−x)＝−f(x−1)，则f(2+x)＝−f(x)，即f(4+x)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数．若0<x≤1，则−1≤−x<0，则f(−x)＝log2x＝−f(x)，则f(x)＝−log2x，0<x≤1，若1≤x<2，则−1≤x−2<0，∵f(2+x)＝−f(x)，∴f(x)＝−f(x−2)，则f(x)＝−f(x−2)＝−log2(2−x)，1≤x<2，若2<x<3，则0<x−2<1，f(x)＝−f(x−2)＝log2(x−2)，2<x<3，由g(x)＝f(x)−2＝0得f(x)＝2，作出函数f(x)在(0, 8)内的图象如图：由图象知f(x)与y＝2在(0, 8)内只有4个交点，当0<x≤1时，由f(x)＝−log2x＝2，得x=14，当1≤x<2时，由f(x)＝−log2(2−x)＝2得x=74，则在区间(4, 5)内的函数零点x＝4+14=174，在区间(5, 6)内的函数零点x=74+4=234，则在(0, 8)内的零点之和为14+74+174+234=484=12故在(0, 8)内所有的零点之12，8. 设α＝70∘，若β∈(0,π2)，且tanα=1+sinβcosβ，则β＝（）A.50∘B.60∘C.70∘D.80∘【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据两角和差的三角公式以及三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【解答】由tanα=1+sinβcosβ得，sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，sin(α−β)=cosα=sin(π2−α)，因为β∈(0,π2)，α＝70∘，所以α−β∈(−π2,π2)，π2−α∈(0,π2)，由sin(α−β)=cosα=sin(π2−α)，得α−β=π2−α,2α−β=π2，所以β＝50∘．9. 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，直线l:y=√24x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为（）A.√32B.34C.12D.14【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】如图，由直线l:y=√24x与椭圆交于A，B两点，|AB|＝2c，根据椭圆的对称性得OA＝c，求出A的坐标，代入椭圆方程得到关于a，b，c的等量关系，得出关于a，c的等式，解之即可得该椭圆的离心率．【解答】如图，由直线l:y=√24x与椭圆交于A，B两点，|AB|＝2c，得：|OA|＝c，且点A的坐标(2√23c,13c)，代入椭圆方程得：8c2 9a +c29b=1，又b2＝a2−c2，8e2 9+e29(1−e2)=1，e∈(0, 1)解之得：e2=34．则该椭圆的离心率为√32．10. 已知函数f(x)=2cos2x−√3sin2x，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，内角A满足f(A)＝−1，若a=√6，则△ABC的面积的最大值为（）A.3√3B.3√32C.√34D.2√3【答案】B【考点】余弦定理【解析】由二倍角公式和两角和的余弦公式，以及基本不等式和余弦定理、三角形的面积公式可得所求最大值．【解答】f(x)=2cos2x−√3sin2x=cos2x−√3sin2x+1=2cos(2x+π3)+1，f(A)=2cos(2A+π3)+1=−1⇒cos(2A+π3)=−1，A为三角形内角，则A=π3，a=√6，可得a2＝b2+c2−2bccosA＝b2+c2−bc≥2bc−bc＝bc，当且仅当b＝c时取等号，S△ABC=12bcsinA≤12×6×√32=3√32．△ABC的面积的最大值为3√32．11. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝2AE，CF＝2BF．若有λ∈(7, 16)，则在正方形的四条边上，使得PE→⋅PF→=λ成立的点P有（）个．A.2B.3C.6D.0【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由题意可得DE ＝4，AE ＝2，CF ＝4，BF ＝2，分类讨论P 点的位置，分别求得PE →⋅PF →的范围，从而得出结论．【解答】由正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝2AE ，CF ＝2BF ，可得DE ＝4，AE ＝2，CF ＝4，BF ＝2．若P 在AB 上，λ=PE →⋅PF →=(PA →+AE →)(PB →+BF →)=PA →⋅PB →+AE →⋅BF →∈[−5,4]；若P 在CD 上，λ=PE →⋅PF →=(PD →+DE →)(PC →+CF →)=PD →⋅PC →+DE →⋅CF →∈[7,16]；若P 在AE 上，λ=PE →⋅PF →=PE ⋅(→PA →+AB →+BF →)=PE →⋅PA →+PE →⋅BF →∈[0,4]；同理，P 在BF 上时也有PE →⋅PF →∈[0,4]；若P 在DE 上，λ=PE →⋅PF →=PE ⋅(→PD →+DC →+CF →)=PE →⋅PD →+PE →⋅CF →∈[0,16]；同理，P 在CF 上时也有PE →⋅PF →∈[0,16]，所以，综上可知当λ∈(7, 16)时，有且只有3个不同的点P ，使得PE →⋅PF →=λ成立．12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)−f(−x)−6x +2sinx ＝0，且x ≥0时，f′(x)≥3−cosx 恒成立，则不等式f(x)≥f(π2−x)−3π2+6x +√2cos(x +π4)的解集为（） A.(π4,0)B.[π4,+∞)C.(π6,0)D.[π6,+∞)【答案】 B【考点】利用导数研究函数的最值【解析】结合已知不等式可构造函数g(x)＝f(x)−3x +sinx ，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】x ≥0时，f′(x)≥3−cosx 恒成立，即f′(x)−3+cosx ≥0恒成立，由f(x)−f(−x)−6x +2sinx ＝0构造f(x)−3x +sinx ＝f(−x)+3x −sinx ，令g(x)＝f(x)−3x +sinx ，g(x)＝g(−x)，则g(x)为偶函数，且x ≥0，g(x)单调递增，结合偶函数的对称性可知g(x)在x <0时单调递减，由f(x)≥f(π2−x)−3π2+6x +√2cos(x +π4)，化简得，f(x)−3x +sinx ≥f(π2−x)−3(π2−x)+sin(π2−x)，即g(x)≥g(π2−x)，|x|≥|π2−x|，解得：x ≥π4，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.如图是一组数据(x, y)的散点图，经最小二乘法计算，得y 与x 之间的线性回归方程为y ^=b ^x +1，则b ^=________．【答案】 0.8【考点】求解线性回归方程【解析】求出样本点的中心，代入回归方程求出系数b ^的值即可．【解答】由散点图得：x =14(0+1+3+4)＝2，y =14(0.9+1.9+3.2+4.4)＝2.6，将(2, 2.6)代入y ^=b ^x +1，解得：b ^=0.8，设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________．【答案】13【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】以点D为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ABD，满足题意点C只能落在劣弧AB上，又圆内接正三角形ABD恰好将圆周3等分，由几何概型计算公式可得．【解答】∴A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，以点D为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ABD，如图所示，则要满足题意点C只能落在劣弧AB上，又圆内接正三角形ABD恰好将圆周3等分，故P(A)=AB=13，直线mx+y−2=0(m∈R)与圆C:x2+y2−2y−1=0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为________，若三角形ABC的面积为√32，则m的值为________．【答案】2,±1【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】根据点到直线的距离公式和勾股定理、面积公式可得．【解答】解：圆C:x2+(y−1)2=2的圆心为(0, 1)，半径为√2，圆心到直线的距离d=√m2+1=√m2+1，弦长|AB|=2√2−d2=2√2−1m+1≥2，（当且仅当m=0时等号成立），S△ABC=12d⋅2√2−d2=12⋅2√d2(2−d2)=√32，即d4−2d2+34=0，解得d2=12或d2=32，∴1m2+1=12或1m2+1=32，解得m=±1.故答案为：2；±1.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2√6；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为________．【答案】①②④【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．【解答】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为√42+22+22=2√6，故②正确；由已知可得，PB＝2√2，PC＝2√6，PD＝2√5，则四个侧面均不全等，故③错误；PC=√6，其表面积为4π×(√6)2=24π，把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为12故④正确．∴其中正确的命题是①②④．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【答案】解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27．（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120=24（辆），所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24，由频率估计概率得P(C)=0.24．【考点】用频率估计概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)=1501000=0.15，P(B)=1201000=0.12，由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27．（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24（辆），所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24，由频率估计概率得P(C)=0.24．如图，已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠BAD＝90∘，AB // CD，AB＝1，PA＝AD＝CD＝2．（1）求证：平面BPC⊥平面DPC；（2）求点A到平面PBC的距离．【答案】取PD的中点M，PC的中点N，连结MN，AM，BN，则MN∥CD,MN=12CD，∵AB∥CD,AB=12CD，所以AB // MN，AB＝MN，四边形ABNM是平行四边形，BN // AM，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ，∵ ∠BAD ＝90∘，AB // CD ， ∴ CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴ CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，∴ CD ⊥AM ，又PA ＝AD ，M 为PD 中点，∴ AM ⊥PD ，∵ PD ∩CD ＝D ，∴ AM ⊥平面PCD ，又BN // AM ，∴ BN ⊥平面PCD ，又BN ⊂平面BPC ，∴ 平面BPC ⊥平面DPC ．连结AC ，则AC =√AD 2+CD 2=2√2,PD =2√2，∴ PC =√PA 2+AC 2=2√3,BN =AM =√2，由（1）可得BN ⊥PC ，∴ S △PBC =12BN ⋅PC =12×2√3×√2=√6，∴ S △ABC =12AB ⋅AD =1，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，V P−ABC =13×S △PBC ×ℎ=13×S ABC ×PA ，即为13×√6ℎ=13×1×2，∴ ℎ=√63．即点A 到平面PBC 的距离为√63．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）取PD 的中点M ，PC 的中点N ，连结MN ，AM ，BN ，运用平行四边形的判定和性质，以及线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定定理可得证明；（2）连结AC ，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，由V A−PBC ＝V P−ABC ，运用三角形的面积公式和棱锥的体积公式，计算可得所求值．【解答】取PD 的中点M ，PC 的中点N ，连结MN ，AM ，BN ，则MN ∥CD,MN =12CD ， ∵ AB ∥CD,AB =12CD ，所以AB // MN ，AB ＝MN ，四边形ABNM 是平行四边形，BN // AM ，∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥CD ，∵ ∠BAD ＝90∘，AB // CD ， ∴ CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴ CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，∴ CD ⊥AM ，又PA ＝AD ，M 为PD 中点，∴ AM ⊥PD ，∵ PD ∩CD ＝D ，∴ AM ⊥平面PCD ，又BN // AM ，∴ BN ⊥平面PCD ，又BN ⊂平面BPC ，∴ 平面BPC ⊥平面DPC ．连结AC ，则AC =√AD 2+CD 2=2√2,PD =2√2，∴ PC =√PA 2+AC 2=2√3,BN =AM =√2，由（1）可得BN ⊥PC ，∴ S △PBC =12BN ⋅PC =12×2√3×√2=√6，∴ S △ABC =12AB ⋅AD =1，设A 到平面PBC 的距离为ℎ，V P−ABC =13×S △PBC ×ℎ=13×S ABC ×PA ，即为13×√6ℎ=13×1×2，∴ ℎ=√63．即点A 到平面PBC 的距离为√63．已知正项数列a n 满足：a 1＝1，n ≥2时，(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n ．（1）求数列a n 的通项公式；（2）设a n ＝2n ⋅b n ，数列b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数m ，使得对任意的n ∈N ∗，m −3<S n <m 恒成立？若存在，求出所有的正整数m ；若不存在，说明理由．【答案】由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n∴ B n −B n−1＝1(n ≥2)∴ B n ＝B 1+(n −1)d 而B 1=a 121=1∴ B n ＝1+(n −1)⋅1＝n 即a n2n=n即a n 2＝n 2，由正项数列知a n ＝n由a n ＝2n ⋅b n 得b n =n2n ∴ s n ＝b 1+b 2+...+b n =12+222+323+⋯+n 2n①12s n=122+223+⋯+n2n+1② ①-②：12s n =12+122+123+⋯+12n −n2n+1 ∴ s n ＝2−n+22n ，s n+1=2−n+32n+1．∴ s n+1−s n =n+12n+1>0．∴ S n 的min =S 1=12 而S n 的max →2∴ 当m ＝2或m ＝3时使m −3<S n <m 恒成立【考点】数列与不等式的综合数列递推式【解析】（1）先由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n可得B n −B n−1＝1，求出B n ＝B 1+(n −1)d ，利用其结论即可求出数列{a n }的通项公式；（2）先利用错位相减法求出S n 的表达式，进而求出S n 的最大最小值（或范围）即可求出所有的正整数m ．【解答】由(n −1)a n 2＝na n−12+n 2−n 得a n2n=a n−12n−1+1，令B n =a n2n∴ B n −B n−1＝1(n ≥2)∴ B n ＝B 1+(n −1)d 而B 1=a 121=1∴ B n ＝1+(n −1)⋅1＝n 即a n2n=n即a n 2＝n 2，由正项数列知a n ＝n由a n ＝2n ⋅b n 得b n =n2n ∴ s n ＝b 1+b 2+...+b n =12+222+323+⋯+n2n ①12s n=122+223+⋯+n2n+1② ①-②：12s n =12+12+12+⋯+12−n2 ∴ s n ＝2−n+22n ，s n+1=2−n+32n+1．∴ s n+1−s n =n+12n+1>0． ∴ S n 的min =S 1=12而S n 的max →2∴ 当m ＝2或m ＝3时使m −3<S n <m 恒成立如图，过抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点F 的直线交C 于M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)两点，且x 1x 2=−4．(1)p 的值；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，RQ 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．【答案】解：(1)由题意设MN:y =kx +p2，由{y =kx +p2x 2=2py，消去y 得，x 2−2pkx −p 2=0(∗)，由题设，x 1，x 2是方程(∗)的两实根， ∴ x 1x 2=−p 2=−4，故p =2； (2)设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，∵ T 在RQ 的垂直平分线上，∴ |TR|=|TQ|．得x 32+(y 3−t)2=x 42+(y 4−t)2.又x 32=4y 3,x 42=4y 4，∴ 4y 3+(y 3−t)2=4y 4+(y 4−t)2，即4(y 3−y 4)=(y 3+y 4−2t)(y 4−y 3)．而y 3≠y 4，∴ −4=y 3+y 4−2t ．又∵ y 3+y 4=1，∴ t =52，故T(0, 52)．因此，S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|．由(1)得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，S △MNT =34⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=34√(4k)2−4×(−4)=3√k 2+1≥3．因此，当k =0时，S △MNT 有最小值3．【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】（1）由题意可设MN:y =kx +p2，联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系结合x 1x 2=−4求得p 值；（2）设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，由T 在RQ 的垂直平分线上，列等式求得t 的值，再由S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|，结合（1）把面积转化为含有k 的代数式求得最小值．【解答】解：(1)由题意设MN:y =kx +p2，由{y =kx +p2x 2=2py，消去y 得，x 2−2pkx −p 2=0(∗)，由题设，x 1，x 2是方程(∗)的两实根， ∴ x 1x 2=−p 2=−4，故p =2； (2)设R(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，T(0, t)，∵ T 在RQ 的垂直平分线上，∴ |TR|=|TQ|．得x 32+(y 3−t)2=x 42+(y 4−t)2.又x 32=4y 3,x 42=4y 4，∴ 4y 3+(y 3−t)2=4y 4+(y 4−t)2，即4(y 3−y 4)=(y 3+y 4−2t)(y 4−y 3)．而y 3≠y 4，∴ −4=y 3+y 4−2t ．又∵ y 3+y 4=1，∴ t =52，故T(0, 52)．因此，S △MNT =12⋅|FT|⋅|x 1−x 2|=34|x 1−x 2|．由(1)得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，S △MNT =34⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=34√(4k)2−4×(−4)=3√k 2+1≥3．因此，当k =0时，S △MNT 有最小值3．已知函数f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ． (Ⅰ)若a >−1，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a >1，求证：(2a −1)f(x)<3e a−3．【答案】（1）f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ，x >0 当a ＝0时，数f(x)＝−x +lnx ， f′(x)＝−1+1x ，令f′(x)＝0，解得：x ＝1，当0<x <1，f′(x)>0，函数单调递增，当x >1时，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≠0，则f′(x)＝−ax +(a −1)+1x =−ax 2+(a−1)x+1x，令f′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2=−1a ，当−1a >1，解得−1<a <0，∴ −1<a <0，f′(x)>0的解集为(0, 1)，(−1a , +∞)， f′(x)<0的解集为(1, −1a )，∴ 函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；当−1a <1，解得a >0，∴ a >0，f′(x)>0的解集为(0, 1)， f′(x)<0的解集为(1, +∞)；∴ 当a >0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；综上可知：−1<a <0，函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；a ≥0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；（2）证明：∵ a >1，故由(Ⅰ)可知函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)单调递减区间为(1, +∞)，∴ f(x)在x ＝1时取最大值，并且也是最大值，即f(x)max =12a −1，又∵ 2a −1>0，∴ (2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)，设g(a)=(2a−1)(12a−1)ea−3，g′(a)=−(2a 2−9a+7)2e a−3=−(a−1)(2a−7)2e a−3，∴ g(a)的单调增区间为(2, 72)，单调减区间为(72, +∞)， ∴ g(a)≤g(72)=6×34e 12=2√e，∵ 2√e >3， ∴ 2√e<93=3， ∴ g(a)<3，e a−3>0，∴ (2a −1)f(x)<3e a−3．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求导，令f′(x)＝0，解得x 1、x 2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；(Ⅱ)a >1，由函数单调性可知，f(x)在x ＝1取极大值，也为最大值，f(x)max =12a −1，因此(2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)，构造辅助函数g(a)=(2a−1)(12a−1)e，求导，求出g(a)的单调区间及最大值2e ，2e <93=3，可知g(a)<3，e a−3>0，即可证明(2a −1)f(x)<3e a−3．【解答】（1）f(x)=−a2x 2+(a −1)x +lnx ，x >0 当a ＝0时，数f(x)＝−x +lnx ，f′(x)＝−1+1x ，令f′(x)＝0，解得：x ＝1，当0<x <1，f′(x)>0，函数单调递增，当x >1时，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≠0，则f′(x)＝−ax +(a −1)+1x =−ax 2+(a−1)x+1x，令f′(x)＝0，解得x 1＝1，x 2=−1a ，当−1a >1，解得−1<a <0，∴ −1<a <0，f′(x)>0的解集为(0, 1)，(−1a , +∞)， f′(x)<0的解集为(1, −1a )，∴ 函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；当−1a <1，解得a >0，∴ a >0，f′(x)>0的解集为(0, 1)， f′(x)<0的解集为(1, +∞)；∴ 当a >0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；综上可知：−1<a <0，函数f(x)的单调递增区间为：(0, 1)，(−1a , +∞)，函数f(x)的单调递减区间为(1, −1a )；a ≥0，函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)，函数f(x)的单调递减区间为(1, +∞)；（2）证明：∵ a >1，故由(Ⅰ)可知函数f(x)的单调递增区间为(0, 1)单调递减区间为(1, +∞)，∴ f(x)在x ＝1时取最大值，并且也是最大值，即f(x)max =12a −1，又∵ 2a −1>0，∴ (2a −1)f(x)≤(2a −1)(12a −1)，设g(a)=(2a−1)(12a−1)e a−3，g′(a)=−(2a 2−9a+7)2e a−3=−(a−1)(2a−7)2e a−3，∴ g(a)的单调增区间为(2, 72)，单调减区间为(72, +∞)， ∴ g(a)≤g(72)=6×34e 12=2√e ，∵ 2√e >3， ∴ 2√e<93=3， ∴ g(a)<3，e a−3>0，∴ (2a −1)f(x)<3e a−3．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，已知曲线C:ρsin 2θ＝2acosθ(a >0)，过点P(−2, −4)的直线l 的参数方程为：{x =−2+√22ty =−4+√22t，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．【答案】由ρsin 2θ＝2acosθ，得ρ2sin 2θ＝2aρcosθ，即y 2＝2ax ；由{x =−2+√22t y =−4+√22t，可知直线过(−2, −4)，且倾斜角为π4， ∴ 直线的斜率等于1，∴ 直线方程为y +4＝x +2，即y ＝x −2；直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2＝2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1t 2=8(4+a)，因为|MN|2＝|PM|⋅|PN|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即8(4+a)2＝5×8(4+a)．解得a ＝1．【考点】直线的参数方程圆的极坐标方程【解析】（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ后，代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案；由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角，求出斜率后直接写出直线的点斜式方程；（2）把直线的参数方程代入抛物线方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a 的值．【解答】由ρsin 2θ＝2acosθ，得ρ2sin 2θ＝2aρcosθ，即y 2＝2ax ；由{x =−2+√22t y =−4+√22t，可知直线过(−2, −4)，且倾斜角为π4， ∴ 直线的斜率等于1，∴ 直线方程为y +4＝x +2，即y ＝x −2；直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2＝2ax 得到t 2−2√2(4+a)t +8(4+a)=0，则有t 1+t 2=2√2(4+a),t 1t 2=8(4+a)，因为|MN|2＝|PM|⋅|PN|，所以(t 1−t 2)2=(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即8(4+a)2＝5×8(4+a)．解得a ＝1．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x|+|x −1|．（1）求不等式f(x)≥2的解集；（2）设f(x)的最小值为s ，若a >0，b >0，c >0，且a +b +c ＝s ，求|1−3a −3b|+|2c −1|的取值范围．【答案】|x|+|x +1|≥2，①由{x ≤0−x +1−x ≥2 ⇒{x ≤0−2x ≥1⇒x ≤−12；②由{0<x ≤1−x +1−x ≥2⇒x ∈⌀；③由{x >1−x +1−x ≥2⇒x ≥32；所以x ≤−12或≥32．f(x)＝|x|+|x −1|≥1，∴ a +b +c ＝1，|1−3a −3b|+|2c −1|＝|1−3(1−c)|+|2c −1|＝|3c −2|+|2c −1|，设g(c)=|3c −2|+|2c −1|={3−5c,0<c ≤121−c,12<c ≤235c −3,23<c <1，所以g(c)∈[13,3]．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）分类讨论解不等式即可；（2）可知a +b +c +1，再将目标式转化为仅含c 的的式子，由此转变为分段函数求解．【解答】|x|+|x +1|≥2，①由{x ≤0−x +1−x ≥2 ⇒{x ≤0−2x ≥1⇒x ≤−12；②由{0<x ≤1−x +1−x ≥2⇒x ∈⌀；③由{x >1−x +1−x ≥2⇒x ≥32；所以x ≤−12或≥32．f(x)＝|x|+|x −1|≥1，∴ a +b +c ＝1，|1−3a −3b|+|2c −1|＝|1−3(1−c)|+|2c −1|＝|3c −2|+|2c −1|，设g(c)=|3c −2|+|2c −1|={3−5c,0<c ≤121−c,12<c ≤235c −3,23<c <1，所以g(c)∈[13,3]．。

湖南省2019届高三六校联考试题数学(文科)含答案解析

湖南省2019届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，A ＝{}2，3，4，B ＝{}3，5，则下列结论正确的是 A ．B ⊆A B ．∁U A ＝{1，5} C ．A ∪B ＝{}3 D ．A ∩B ＝{}2，4，5 2．已知i 为虚数单位，z(1＋i)＝3－i ，则在复平面上复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是A.16B.14C.12D.23 4．下列判断正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1” B ．“α>45°”是“tan α>1”的充分不必要条件 C ．若命题“p∧q”为假命题，则命题p ，q 都是假命题 D ．命题“∀x ∈R ，2x>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”5．已知公差d≠0的等差数列{}a n 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝A ．30B ．20C ．10D ．5或406．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，32，则输出v 的值为A ．7B ．10C ．11.5D ．17 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x －2y≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为A ．1B ．－5C ．2D ．0 8．函数f(x)＝（e x－e －x）cos xx2的部分图象大致是9．将函数f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移π6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是A ．函数g(x)的最大值为3＋1B ．函数g(x)的最小正周期为πC ．函数g(x)的图象关于直线x ＝π3对称D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递增10．已知直线y ＝kx －1与抛物线x 2＝8y 相切，则双曲线：x 2－k 2y 2＝1的离心率等于 A. 2 B. 3 C. 5 D.3211．如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2，BD ＝22，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD ，则四面体A′BCD 中，下列结论不正确．．．的是A ．EF ∥平面A′BCB ．异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C ．异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D ．直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°12．已知函数f(x)＝ln x －ax ＋a 在x∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，－1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 1－e ，－1 D.[)－1，e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)文科数学

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则A B =U （）A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x ≥C ．{|12}x x ≤<D ．{|0}x x >2.复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -3.已知2sin 5α=，则cos2α=（） A ．725 B ．725- C ．1725D ．1725- 4.某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为$8.5y x b =+，则b 为（）A ．7.5B ．10C ．12.5D ．17.55.已知向量(2,1)a =-r ，(1,3)b =-r ，则（）A ．//a b r rB ．a b ⊥r rC ．//()a a b -r r rD ．()a a b ⊥-r r r6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）A ．8B ．6C ．5D ．37.已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C8.曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（）A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．0x y -=D ．10x y --=9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α2，则此球的体积为（）A ．43πB ．3πC 6πD ．46π10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增.若实数a 满足()(2)f a f >，则a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．2,)+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U11.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，则围成四棱锥S ABCD -的五个面中的最大面积是（）A ．3B ．6C ．8D ．1012.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =（）A ．4B ．6C ．8D ．10 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为．14.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为． 15.在ABC ∆中，面积2221()4S a b c =+-，则角C 的大小为． 16.已知函数3()lg 92f x x x =+-在区间(,1)()n n n Z +∈上存在零点，则n = ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==CD PD ⊥，E 为CD的中点.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABE -的体积.19.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.20.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为363. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线3y x m =+相交于不同的两点M 、N .当PM PN =时，求实数m 的值.21.已知函数()x xa f x e e =-. （1）当1a =时，求函数()[()'()]F x x f x f x =-的最小值；（2）若()()g x f x =在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a t=+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数()f x x a x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBCAD 6-10: ABDAC 11、12：CB二、填空题13. 4 14. 210x y --= 15. 45︒ 16. 5三、解答题17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =.（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b =，设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-.所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-. 18.【解析】（1）∵底面ABCD 是正方形，∴//AB CD ，又CD PD ⊥，∴AB PD ⊥，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PD PA ⊥，又PA AB A =I ，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵AB AD ⊥，AB PD ⊥且AD PD D =I ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过P 作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴PO 为三棱锥P ABE -的高，∴13P ABE ABE V S PO -∆=⋅112122323=⨯⨯⨯⨯=. 19.【解析】（1）∵(0.020.080.092)41a +++⨯=，∴0.03a =，完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=.（2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=，第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=，第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=，第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=，第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=.（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为1A ，2A ，3A ；第5组有3人，记这3人分别为1B ，2B ，3B ；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共有15个基本事件.获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个，故所求概率为62155=.20.【解析】（1）由椭圆定义知，4a =，a =3c e a ===得c =1b =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）由方程组2213y mx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2223(1)0x m ⇒++-=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为00(,)E x y，则12x x +=.∴12022x x x m +==-，02m y =，∴,2m E m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由PM PN =得PE MN ⊥，又(0,1)P -，∴1PE k =-，∴1m =.满足221224(1)0m m ∆=-->.综上1m =.21.【解析】（1）2()x xF x e =-，2(1)'()0x x F x e -==，令'()0F x =，得1x =，所以当1x <时，'()0F x <，()F x 单调递减，当1x >时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以当1x =时，()F x 取得最小值为2e -.（2）当0a ≤时，()0x x af x e e =->，()()g x f x =，若在[0,1]上单调递增，则'()0f x ≥恒成立，即：2max []x a e ≥-，1a ≥-，10a -≤≤；当0a >时，'()0x x af x e e =+>，()x x af x e e =-在[0,1]上是单调递增的，又()()g x f x =在[0,1]上单调递增，所以()0f x ≥在[0,1]上恒成立.2min []x a e ≤，01a <≤.综上：11a -≤≤.22.【解析】（1）直线l 的直角坐标系方程是220x y a +--=，圆C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=.（2）由（1）知圆心为(2,0)C ，半径2r =，设圆心到直线的距离为d ，因为直线与圆相切，所以2d ===，解得2a =±23.【解析】（1）当1a =时，不等式()4114f x x x ≥⇔++-≥，当1x >时，()24f x x =≥，解得2x ≥；当11x -≤≤时，()24f x =≥，无解；当1x <-时，()24f x x =-≥，解得2x ≤-，综上所述，不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞U .（2）()f x x a x a =++-()()2x a x a a ≥+--=， ∴26a ≥，解得3a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞U .21。

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长郡中学2019届高三月考试卷(六)
数学（文科)
本试卷共"页.时量120分钟，满分150分.
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 A={x|0<x<2} B= {x|y=ln(1-x)}，则 A∪B 等于 A. (-∞,1) B.(-∞，2） C. (0,2) D. (1，2)
2.复数)1
1(i
i z -=在复平面上对应的点Z 位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，m m x f x (5)(+=为常数），则)7log (5-f 的值为 A. 4
B.-4
C. 6
D.-6
★4.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，则该几何体的表面积是 A. 51696+ B. 51680+ C. 53280+ D. 53296+
5.设y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤-≥-420201y x y x x ,向量),1(),1,2(y m b x a -==，则满足b a ⊥的实数m 的最小值
为
A. 512
B. 512-
C. 23
D. 23
- 6.已知M 是△ABC 内一点，AC AB AM 4
1
31+=，则△ABM 和△ABC 的面积之比为 A. 41 B. 31 C. 21 D. 3
2
★7.如图所示，已知AB ，CD 是圆O 中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O 以及AB ，CD 均相切，则往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为
A. 2812-
B. 223-
C. 258-
D. 246-
8.函数)0＜＜＞0,＞0,)(cos()(ϕπωϕω-+=A x A x f 的部分图像如图所示，为了得到
x A x g ωcos )(=的图像，只需将函数)(x f y =的图像
A.向左平移3
2π
个单位长度 B.向左平移
3π
个单位长度 C.向右平移32π
个单位长度
D.向右平移3
π
个单位长度
9.已知实数0>p ,直线0234=-+p y x 与拋物线y 2
=2px 和圆4
)2(22
2p y p x =+-从上到
下的交点依次为A ，B ，C ，D ，则
BD
AC
的值为 A. 81 B. 65 C. 83 D.
167
10.函数＞0)＞0,)()(2b a bx ax x f +=在点(1，)1(f )处的切线斜率为2,则 ab
b
a +8的最小值是
A.10
B. 9
C.8
D. 23
11.设F 是双曲线C: ＞0)＞0,(122
22b a b
y a x =-的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，
垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF=FB ，则双曲线C 的离心率是 A. 2 B. 3 C.8 D. 3
14
12.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当x > 0时，⎪⎩⎪
⎨⎧-≤=--2＞),2(2
12＜0,2)(1|1|x x f x x f x
，则函数1)()(-=x xf x g 在（-7,+∞)上的所有零点之和为 A.0 B.4
C. 8
D.16
选择题答题卡
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.为了解工厂的1 000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75 件)的工人数为 .
14.若3
1
)3
cos(
,2
＜
＜0=
+απ
π
α，则=αcos .
15.已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 0
30；若△SAB 的面积为8,则该圆锥的体积为 . 16.若△ABC 的面积为)(4
322
2b c a -+，且∠C 为钝角，则a c 的取值范围是 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一）必考题:60分. 17.(本小题满分12分)
已知数列{n a }是等比数列，首项a 1= 2，a 4 = 16. (1)求数列{n a }的通项公式；
(2)若数列{n b }是等差数列，且b 3=a 3，b 5 =a 5，求数列{n b }的通项公式及前n 项的和. 18.(本小题满分12分）
如图1,在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，BC=6，D ，E 分别是AC ， AB 上的点，CD=BE=2，O 为BC 的中点。

将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A'-BCDE ，其中A'0=3.
(1)证明:A'O⊥平面 BCDE. (2)求O 到平面A'DE 的距离. 19.(本小题满分12分）
某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，统计数据如图所示(视频率为概率），根据图中抽样调查数据，回答下列问题：
(1)试估算该校高三年级学生获得成绩为B 的人数；
(2)若等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？
(3)以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E 的16名学生(其中男生4人，女生12人)进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率. 20.(本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知F1，F2分别为椭圆
＞0)＞0,(12
2
22b a b y a x =+的左，右焦点，且椭圆经过点A(2,0)和点（1，3e)，其中e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的标准方程;
(1)过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM=MA. 若MF1⊥BF2，求直线l 的斜率.
21.已知函数R a x ax x x f ∈+-
=,2
1ln )(2
(1)若0)1(=f ,求函数)(x f 的最大值；
(2)令)1()()(--=ax x f x g ,求函数)(x g 的单调区间;
(3)若a=-2,正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明21521-≥
+x x .
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修4—4:坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系vOy 中，过点P( -1，-2)的直线l 的参数方程为t t y t x (2,
1⎩
⎨⎧+-=+-=为参
数），l 与y 轴交于A ，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程)0>(cos sin 2m m p θθ=，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点A 的一个极坐标； (2)若PN=3PM,求实数m 的值. 23.选修4—5:不等式选讲已知函数|2
1
||21|)(m x x x f --=的最大值为4. (1)求实数m 的值；
(2)若 2
＜＜0m ＞＞0
m
x ，求2
2
2-+x x 的最小值.。