6 管理定量分析 第六章--动态规划与分配问题

时间 作 人员
A1 A2 A3
工
面 0 13 5 炒饭 8 0 3 年糕 0 5 0 炒面 3 4 0 A2炒饭 A4面 A1年糕 A3炒面
求效益最大问题，用表中最大值去减每个 值，最大问题就变成了最小问题。
练习
效益 人员 A1 工作 J1 19 J2 16 J3 3 J4 4 J5 8
A2 A3
A 4 9 5 7 5 5 B 1 3 2
C 5 1 6 0 D4 73 6 E 5 9 4
F 5
G 4 4
5 S
图上作业法
C A R上海 4 5 B 3 4 2 D4 3 5 E 6 5 4 6
5
F 5 G
5 7
4
6
S伊犁
H
费用最小的方案为RADGS＝13 有时可能有几条费用最小方案，也可一同求出。
时间 人员
工作
面
炒饭
年糕
炒面
A1
A2 A3
2-2
15-4 13-11
10-2
4-4 1411
9-2
14-4 1611
7-2
8-4 1111
A4
4-4
15-4
13-4
9-4
时间 人员 A1
工作
面 0
炒饭 8
年糕 7
炒面 5
A2 A3
A4
11 2
0
0 3
11
10 5
9
4 0
5
时间 人员 A1
工作
面 0
作业：下表表示一个A－K城的运输任务，数字表
示10公里数，请为司机选择最短的路线（分别用图 上作业法和表上作业法）。
结点 B C D E F G H I J K A 5 4 7 B 10 9 C 7 6 4 D 5 5 E 7 6 F 7 3 3 G 2 4 H 7 I 5 J 6
分配问题
一、分配问题的模型
动态规划
(Dynamic Programming)
动态规划(Dynamic Programming)
1、动态规划解决的问题 可解决运输问题、生产问题、库存问题、定 价问题和资金运用等问题。 2、涉及学科 3、Bellman最优化原理P163 4、图上作业法 5、表上作业法
Bellman最优化原理
例1
从上海到伊犁间有一个铁路网，某学生暑 假打算到伊犁旅游，出于经济关系只能坐火车， 而且要求费用最少。下图标出了各种可能的行 车路线，请为这位同学的决策做出指导。
图上作业法
C A 上海 4 5 B 3 4 2 D4 3 5 E 6 5 4 6
5
如果用穷举法，先要 计算从上海到伊犁的 所有路径的费用，再 取最小的路径。 F 5 G
时间 人员 A1 A2 A3 A4
工作
面 0 11+2 2+2 0
炒饭 8-2 0 3 11-2
年糕 2-2 5 0 4-2
炒面 5-2 4 0 5-2
时间 人员 A1 A2 A3 A4
工作
面 0 13 5 0
炒饭 8 0 3 9
年糕 0 5 0 2
炒面 3 4 0 2
5、作出实际分配方案
先找某行某列唯一的0，如果没有，就从任意 的0开始，把这一列的工作分配给这一行的 部门，从表中去掉这一行和这一列。然后从 剩下的表中重复，直到工作安排完成。
Bellman最优化原理
Bellman方程(最短路方程、动态规划基本方程 ) 每一点最优都是上一点最优加上这段长度。即当 前最优只与上一步有关。
u s 0, u min{u w }. i ij j i j (5.7) (5.8)
Bellman最优化原理
最优化原理是动态规划的基础。任何一个 问题，如果失去了这个最优化原理的支持，就 不可能用动态规划方法计算。能采用动态规划 求解的问题都需要满足一定的条件： (1) 问题中的状态必须满足最优化原理； (2) 问题中的状态必须满足无后效性。 所谓的无后效性是指：“下一时刻的状态 只与当前状态有关，而和当前状态之前的状态 无关，当前的状态是对以往决策的总结”。
炒饭 8
年糕 7-5
炒面 5
A2
A3 A4
11
2 0
0
3 11
10-5
5-5 9-5
4
0 5
时间 人员 A1
工作
面 0
炒饭 8
年糕 2
炒面 5
A2
A3 A4
11
2 0
0
3 11
5
0 4
4
0 5
时间 人员 A1 A2 A3 A4
工作
面 0 11 2 0
炒饭 8 0 3 11
年糕 2 5 0 4
炒面 5 4 0 5
R. Richard Bellman (1920～1984) ，美国数学家，美 国全国科学院院士，动态规划的创始人。
假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决 策D1，D2，…，Dn，如若这个决策序列是最优的 ，对于任何一个整数k，1 < k < n，不论前面k个 决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决 策所确定的当前状态，即以后的决策Dk+1，Dk+2 ，…，Dn也是最优的。
5 7
4
6
伊犁
H
求费用最小的方案
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
Edsger Wybe Dijkstra（1930年5月11日~2002 年8月6日），荷兰人。 计算机科学家，毕业就 职于荷兰Leiden大学，早年钻研物理及数学， 而后转为计算学。曾在1972年获得过素有计算 机科学界的诺贝尔奖之称的图灵奖。
图上作业法
计算过程
正向
4 2
R
RAm RAm=4, RBm=5, RCm=min{RAm-C8,RBm-C12}=8 RAm-C8 RAm-D RDm=min{RAm-D,RBm-D}=6 RDm REm=min{RAm-E9,RBm-E8}=8 RBmຫໍສະໝຸດ BaiduE8 RFm=min{RCm-F13, RDm-F10 RDm-F10,REm-F14}=10 RDm-G9 RGm=min{RDm-G9,REm-G13}=9 RGm RHm=min{RCm-H14,REm-H12}=12 REm-H12 RSm=min{RFm-S15,RGm-S13,RHm18-S}=13 RGm-S13 RSm
年糕 9
炒面 7
A2
A3 A4
15
13 4
4
14 15
14
16 13
8
11 9
请写出该问题的0-1规划模型
这个问题将要假设16个0-1变量： X11，X12，X13，X14
……
X41，X42，X43，X44
表上作业法
步骤： 1、为表中的每行减去该行的最小值 2、再为新表中每一列减去该列的最小值 3、划去能包含所有0的线，并使划出的线最少。 如果划出的线的条数与表中的行或列相等，则 获得了最优解。否则4。 4、找出未划线的最小数值，将未被划线的部分 减去该值，并在划线交点处加上这些数值。再 重新划线。如果相等，则完成。否则重复4。
A 4 4 5 7 5 5 B 5 3
C 5 8 6 D4 63 6 E 5 8 4
F 1 0 G 9
5 4 6
S 13
H
1 2
图上作业法
计算过程
R 13
逆向
4 2
FSm=5, 6 H GSm=4, 6 HSm=6 CSm=min{C-FSm,C-HSm}=10 DSm=min{D-FSm,D-GSm}=7 ESm=min{E-FSm,E-GSm,E-HSm}=9 ASm=min{A-CSm,A-DSm,A-ESm}=9 BSm=min{B-CSm,B-DSm,B-ESm}=12 RSm=min{R-ASm,R-BSm}=13
表上作业法
对于状态很多的问题，图上表示不易， 适宜采用表上作业法。
表上作业法
á ã ½ µ R A B C D E F G H ·¶ Â ¾ Ñ Ã ·Ó
A B C 4 5 4 7
D 2 5
E 5 3
F
G
H
S
5 4 6
6 3 5 4
5 4 6 A B AC AD BE ADF ADG BEH ADGS 4 5 8 6 8 10 9 12 13
多个部门、多个任务，每个部门完成 的效益或成本不同，为每个部门分配任务， 使整体效益最大或成本最低。
例：有四位同学外出实习，正值午餐时间，每人都 必须吃饭，而且各自吃的不同，但经费很紧，只 有选择省钱的方法吃。下表是同学吃不同食品的 费用，请为他们安排最省钱的方案。
费用 人员 A1
食品
面 2
炒饭 10
A4
11 17
20
12 16
18
20 24
17
17 17
16
16 18
15