2020-2021下海西南模范中学高中三年级数学下期中试卷附答案
2020-2021高中三年级数学下期中试卷及答案(1)
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
26．数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 ．
（1）求 的表达式；
(2)设 ＝ ,求数列 的前 项和 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
因为 成等差数列，所以 ，当 时， ；当 时， ，即 ，即 ， 数列 是首项 ，公比 的等比数列， ，故选B.
解析：充要
【解析】
，所以 为奇函数，又 为单调递增函数，所以 ，即“ ”是“ ”的充要条件
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件．
2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
又由sinBcosC＝3sinCcosB，则2sinCcosB＝sinCcosB×a，
由题意可知： ，即sinCcosB≠0，
变形可得：a＝2；
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
16．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非
12．C
解析：C
【解析】
很明显等比数列的公比 ，由题意可得： ，①
且： ，即 ，②
①②联立可得： 或 ，
综上可得：公比 3或 .
2020-2021高中三年级数学下期中试卷附答案(10)
2020-2021高中三年级数学下期中试卷附答案(10)一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184 C ．183 D ．1762．在ABC ∆中，2AC =,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) ABCD3．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1164．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．35．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．136．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．927．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-8．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．9．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．32210．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．111．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km B ．3 km C ．105 kmD ．107 km 12．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．36二、填空题13．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 14．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________15．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 16．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 20．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=．（1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，5cos()A C -=，求线段DC 的长．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .23．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*,,m n k N ∈使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n N ∈，不等式 125111(1)(1)(1)3123n m b b b n ≤+++⋅+L 恒成立，求正整数m 的最大值． 24．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.25．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】根据余弦定理得到22222AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,BC =,代入等式得到AB=再由等面积法得到112222CD CD ⨯=⨯⨯⇒=故答案为A. 【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a aa Sb bb T+⋅===+⋅.4．B解析：B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m的最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y xx y=⎧⎨--=⎩，得：12xy=-⎧⎨=-⎩，即C点坐标为（－1，－2），平移直线x＝m，移到C点或C点的左边时，直线2y x=上存在点(,)x y在平面区域内，所以，m≤－1，即实数m的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.5．C解析：C【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z=-+在y轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.8．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.10．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝107km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．12．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C二、填空题13．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-【解析】 【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n a n ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 14．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6【解析】 【详解】结合等差数列前n 项和公式有：()11232n n n +++++=L ，则：()()226231362lim lim lim lim61123111n n n n n n n n n n n n n n n→+∞→+∞→+∞→+∞----====+++++++L . 15．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于解析：-8 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4 【解析】 【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），当且仅当1a c ==时取等号．∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.17．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析：4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==，114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，∴可解得4b =，故答案为4.18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(及答案)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(及答案)一、选择题1．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．2．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 3．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定5．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．96．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．407．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．89．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( )A ．2BC．2D ．410．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．911．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足21123lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.14．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________．15．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.16．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．17．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．18．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n 的最小值为__________. 19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______．20．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 三、解答题21．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键3．B【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.4．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．8．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.11．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题解析：33(0,)(,3)22U【解析】 【分析】由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，211232a a a =+，化简可得13322a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】解：21123lim()2n n a q a a →∞-=+Q 21123lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0nn q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，211232a a a =+ 化简可得13322a q =+ 103a ∴<<且132a ≠即133(0,)(,3)22a ∈U故答案为：33(0,)(,3)22U 【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.14．【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax2等价于其中且有故有不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二次方程的解法解析：2549,916⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2等价于2(4)410a x x -+-+<，其中40a ∆=>且有40a ->，故有04a <<，不等式的解集为22x a a<<+-，所以11422a <<+解集中一定含有1,2,3，可得，所以5374a a ≥≤，解得2549916a ≤≤. 考点：含参数的一元二次方程的解法.15．①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定解析：①②③④ 【解析】 【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可. 【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立.对③, 112221101111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立.综上, ①②③④均正确.故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型. 16．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y x x y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．17．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy 满足对应的平面区域如图：由z ＝2x+y 得y ＝﹣2x+z 平移直线y ＝﹣2x+z 由图象可知当直线y ＝﹣2x+解析：5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z 由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．18．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n a n 的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的， 因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为212 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：2m ≤或2m ≥ 【解析】【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】 2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴m ≤或m ≥故答案为：2m ≤-或2m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20．【解析】【分析】由题意首先求得然后结合递推关系求解即可【详解】由题意可知：且：整理可得：由于故【点睛】本题主要考查递推关系的应用前n 项和与通项公式的关系等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：3116【解析】【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可.【详解】由题意可知：12221S a =-=，且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题21．（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+， 由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n， 可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dnd d-=--＜， 对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d ≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．22．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.23．（1）6π；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan 3A =，tan 6B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C=+-+- 222sin ab C a b c =+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.24．(1) 23n a n =- (2) 22n T n =【解析】【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =， 所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.25．(1) 40m -<≤．(2) 16m <【解析】【分析】(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围.【详解】解：(1)要使210mx mx --<恒成立，若0m =，显然10-<； 若0m ≠，则有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；当0m ≠时，该函数的对称轴是12x =，2()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立， 只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即106m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可， 此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16m <． 【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.26．（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】【分析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭． 所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ． 由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122n n B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】 这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.。
2020-2021高中三年级数学下期中试题含答案(4)
2020-2021高中三年级数学下期中试题含答案(4)一、选择题1．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-4．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20195．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．456．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49 B ．50C ．99D ．1008)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．29．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和nS=（）A．2744n n+B．2533n n+C．2324n n+D．2n n+10．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c，2cos22A b cc+=，则ABC∆的形状为A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形11．若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+dC．若a＞b＞0，c＞d＞0，则c da b>D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d12．已知数列{}n a中，3=2a，7=1a．若数列1{}na为等差数列，则9=a( )A．12B．54C．45D．45-二、填空题13．要使关于x的方程()22120x a x a+-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__________．14．若log41,ab=-则+a b的最小值为_________.15．若ABC∆的三个内角45A=︒，75B=︒，60C=︒，且面积623S=+，则该三角形的外接圆半径是______16．已知a b c R∈、、，c为实常数，则不等式的性质“a b a c b c>⇐+>+”可以用一个函数在R上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x=_________17．若变量x，y满足2239x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z＝2x+y的最大值是_____．18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB∠=︒，15BDC DCA∠∠==︒，120ACB∠=︒，则A，B两点的距离为________．19．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.22．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 25．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,b c ==，求ABC ∆的面积. 26．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t qf t q tt t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.4．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立，故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题. 9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式解析：1 【解析】试题分析：由log 41,a b =-得104a b=>，所以114a b b b +=+≥=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.15．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒==设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.16．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -【解析】 【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．17．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值， 由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -，结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.18．【解析】【分析】△ACD 中求出AC△ABD 中求出BC△ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC＝15 解析：805【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin15040sin15AC ===oo，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．19．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.20．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：；2【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式.三、解答题21．(1)4c =；(2) 【解析】 【分析】 【详解】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34ca =. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =.(2)由正弦定理，得,.sin sin sin2a c ba A c CA C B====∴==)()sin sin sin sin sin sin3 a c A C A A B A Aπ⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin26A A Aπ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.由23Aπ<<，得5666Aπππ<+<.所以当62Aππ+=，即3Aπ=时，()maxa c+=【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．22．：（1）1cos3A=（2）3{2bc==或23bc=⎧⎨=⎩【解析】：（1）由3cos()16cos cosB C B C--=得3(cos cos sin sin)1B C B C-=-即1cos()3B C+=-从而cos A1cos()3B C=-+=（2）由于0,Aπ<<1cos3A=，所以sin A=又ABCS=V1sin2bc A=6bc=由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，得2213b c+=解方程组2213{6b cbc+==，得3{2bc==或23bc=⎧⎨=⎩23．（Ⅰ）13,1,{3,1,n nnan-==>; （Ⅱ）13631243n nnT+=-⨯.【解析】【分析】（Ⅰ）利用数列前n项和n S与通项n a的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3logn n na b a=求出数列{}n b的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和nT.【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，所以()01231132313nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n nn ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题.24．（1）32n a n =-+（2）n S 23212n n n-=+-【解析】 【分析】（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n n a b -+=，∴112322n n n n b a n --=-=-+，∴()()21147321222n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()31212nn n -=+-， 23212n n n -=+-.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.25．(1) 120.C =o（2【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=Q ，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=ooo 即（2）由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++o又10,2,sin 2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆ 26．（Ⅰ）2nn a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >， 解得：12,2==a q ，所以2nn a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令nn nb c a =, 则212n nn c +=， 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++L L , 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 所以2552n nn T +=-. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．。
2020-2021高中三年级数学下期中试题附答案(3)
2020-2021高中三年级数学下期中试题附答案(3)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．284．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-5．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．856．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．327．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+8．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值319．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．2110．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n +D ．2n n +11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．22D ．412．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．2二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos BC B=-，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且bcosC ﹣ccosB 14=a 2，tanB ＝3tanC ，则a ＝_____．17．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 18．在中，若，则__________． 19．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+，则其前15项的和等于_______.20．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．三、解答题21．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.22．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2()，－1)，.(1)求角B 的大小； (2)若a ＝，b ＝1，求c 的值．23．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为334，其外接圆的半径为533，求ABC ∆的周长.24．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .25．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2. 则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质4．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时q=62，f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.5．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PAk +==最大．故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高中三年级数学下期中试卷含答案
2020-2021高中三年级数学下期中试卷含答案一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 C．2D ．2 2．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-3．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞4．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．35．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．326．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．607．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 9．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1610．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞11．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．512．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.14．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .15．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．16．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 17．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____．18．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 19．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．20．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 三、解答题21．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .22．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.23．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.24．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和25．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q212a a q ===，故选D. 2．C解析：C 【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t qf t q tt t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274；故选C.3．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.4．B解析：B 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示， 由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题. 5．D解析：D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由1yx+的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件242210x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得A（112，），1yx+的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk+==最大．故答案为32．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．6．B解析：B【解析】【分析】过点B作BE DC⊥于点E，过点A作AF DC⊥于点F，在ABD∆中由正弦定理求得AD，在Rt ADF∆中求得DF，从而求得灯塔CD的高度．【详解】过点B作BE DC⊥于点E，过点A作AF DC⊥于点F，如图所示，在ABD∆中，由正弦定理得，sin sinAB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cossin()hADαβα∴=-，在Rt ADF∆中，cos sinsinsin()hDF ADαβββα==-，又山高为a，则灯塔CD的高度是3340cos sin22356035251sin()2hCD DF EF aαββα⨯⨯=-=-=-=-=-．故选B．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．7．D解析：D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．8．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.11．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.二、填空题13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +【解析】 【分析】由题意得出12nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +. 【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.14．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 15．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析：41n -【解析】 【分析】 【详解】()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，所以()11134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()113434n n n b --=-⋅-=⋅，所以211214334343434114n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，故答案为41n -.16．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号考点：1线性规划的应用；2利解析：7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.17．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.18．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.19．【解析】试题分析：由题意则当为偶数时由不等式得即是增函数当时取得最小值所以当为奇数时函数当时取得最小值为即所以综上的取值范围是考点：数列的通项公式数列与不等式恒成立的综合问题解析：77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由题意，则， 当为偶数时由不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤得821n n n λ-≤+，即(8)(21)n n nλ-+≤， (8)(21)8215n n y n n n-+==--是增函数，当2n =时取得最小值15-，所以15;λ≤-当为奇数时，(8)(21)8217n n n n n λ++-≤=++，函数8217y n n=++，当3n =时取得最小值为773，即77,3λ-≤所以773λ≥-，综上， 的取值范围是77,153⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 考点：数列的通项公式，数列与不等式恒成立的综合问题．20．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形 解析：1【解析】 【分析】 【详解】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 44cos 1sin sin 332A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形三、解答题21．tan sin sin()s θβαβ⋅+【解析】 【分析】 【详解】 在△BCD 中，CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin CD BDCBC CBD∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+在Rt △ABC 中，tan AB BC ACB =∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+.22．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y yax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+， 所以，由122m +=，解得32m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y yax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y y y y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 23．(1)4c =；(2) 【解析】 【分析】 【详解】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34ca =. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 24．（1）1232;2,122n n n n a b n n --==-⋯（＝，，）；（2）213312442n n T n n -=+-+. 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进而求出公比，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可.【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ．由等比数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，又2a ＝2，所以7a ＝64．所以公比2q ===． 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1． 设等差数列{12n n b a +}的公差为d ． 由题意得，公差221111113221122222d b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以等差数列{12n n b a +}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ⎛⎫+=++-=+-⋅= ⎪⎝⎭．所以数列{b n }的通项公式为12313132222222n n n n b n a n n --=-=-⋅=-（n ＝1，2，…）． （2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．由（1）知，2322n n b n -=-（n ＝1，2，…）． 记数列{32n }的前n 项和为A ，数列{2n －2}的前n 项和为B ，则 ()33322124n n A n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+，()1112122122nn B --==--． 所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+． 【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等. 25．（1）sin 2sin C A = （2【解析】 【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案． （2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =，sin 4B =，从而计算出面积． 【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．26．(1) 40m -<≤．(2) 16m < 【解析】 【分析】(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；若0m ≠，则有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；当0m ≠时，该函数的对称轴是12x =，2()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即106m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可，此时(1)10f=-<显然成立.综上可知16m<．【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(含答案)(5)
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(含答案)(5)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x y =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<3．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．设变量,x y 、满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．95．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．316．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( )A ．89B ．23C ．6481D ．1252439．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．510．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-二、填空题13．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.14．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．15．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______ 17．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．19．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.22．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长23．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V 的面积为32，求a ，c . 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.3．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.4．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．7．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．8．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.9．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++g …， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.11．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.二、填空题13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +【解析】 【分析】由题意得出12nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +. 【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.14．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8解析：8 【解析】 【分析】 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则351712610a a a a a d +=+=+=， 所以71101028a a =-=-=，故答案为8.15．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号 考点：1线性规划的应用；2利解析：7 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)222B +=︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即2236232226R +⨯+=， 解得：22R = 故答案为：2【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题18．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【解析】分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(附答案)(2)
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(附答案)(2)一、选择题1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3B ．5C ．33D ．－312．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD．23．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 5．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．456．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．327．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 48．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．19．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n10．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．()-+∞C ．[)3,-+∞D ．)⎡-+∞⎣11．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5212．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-二、填空题13．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________14．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______. 15．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________．16．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______．17．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．19．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 20．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 三、解答题21．设函数()112f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求11m n+的最小值. 22．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．23．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m .24．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .25．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．已知数列为等差数列，且12a =，12312a a a ++=． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =， 因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．2．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.3．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以OB =u u u r，由≤1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.4．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.7．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，212(2)54(2)5922x x x x -++≥-⋅+=--Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=；考点：累加法求数列通项公式10．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．B解析：B 【解析】 【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值． 【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1） 而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2，当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ． 【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．12．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.二、填空题13．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9nn a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．14．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980 【解析】【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解. 【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字， 2018是该表的第1009个数字， 由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字， 由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置， 即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980 【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．16．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的解析：9 【解析】 【分析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出4()()a bf f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11k a b+=，∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k≥+=，当且仅当4a b b a=时等号成立． ∴91k=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．17．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116【解析】 【分析】由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=；当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116,故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.20．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出【详解】解：根据等比数列的性质数列是首项为公比为的等比数列又因为公比所以故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的求和公式考查了推理能力与计算能力属解析：2【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出． 【详解】解：根据等比数列的性质，数列1321,,,n a a a -⋯是首项为1a ，公比为2q 的等比数列。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(2)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(2)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4014．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-5．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．326．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．97．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1829．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．1610．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14011．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．4037202012．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．23二、填空题13．数列{}n a 满足11,a =前n 项和为n S ，且*2(2,)n n S a n n N =≥∈，则{}n a 的通项公式n a =____；14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 的面积为6，则BC 的长为______． 16．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 17．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．18．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题21．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4n T <．23．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 24．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 26．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．6．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．9．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===，所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式解析：21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】 【分析】根据递推关系式()*22,n n S a n n N=≥∈可得()*1123,n n Sa n n N --=≥∈，两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈，即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式. 【详解】因为()*22,n n S a n n N=≥∈所以()*1123,n n S a n n N--=≥∈两式相减得：122(3,)n n n a a a n n N *-=-≥∈即12(3,)nn a n n N a *-=≥∈ 所以{}n a 从第二项起是等比数列， 又22221+S a a ==，所以21a =故22(2,n n a n -=≥ *)n N ∈，又11a =所以21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩. 【点睛】 本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】【分析】 根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x =+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.【详解】 ∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r 共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴y x 的最小值为 【点睛】 该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.15．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题【解析】【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可.【详解】由题意得, 11sin sin 22A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2717BC =+-=,即BC =.故A 为钝角.此时cos A ==故27110BC =++=.即BC =【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.16．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B解析：）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C=∠∠，即o o 2sin 30sin 75BE =，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB 的取值范.考点：正余弦定理；数形结合思想18．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6【解析】【分析】【详解】如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x =,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.19．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将 解析：2或1-.【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2所以2a =或1a =-故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.20．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.三、解答题21．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.22．（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ② -①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12n n a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+， 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．23．(1)212n a n =-;(2)4(13)n n S =-.【解析】【分析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、 （1）设{}n a 公差为d ，由已知得1126{50a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-（2）21232324b a a a a =++==-Q ，∴等比数列{}n b 的公比212438b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13n n n S -⨯-==--． 24．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值.【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1sin sin 602B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin BC +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）13-（2）3【解析】【分析】（1）根据()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理将边转化为角得()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，再利用两角和与差的三角函数化简得到()sin 3cos 10+=A C 求解.（2）由（1）知sin 3C =，根据ABC ∆的面积为4，得94ab =，再由余弦定理()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--求解.【详解】（1）因为()3cos cos 0a b C c B ++=，由正弦定理得：()3sin sin cos sin cos 0++=A B C C B ，所以3sin cos sin cos sin cos 0++=A C B C C B ，所以()3sin cos sin 0++=A C B C ，所以()sin 3cos 10+=A C ，因为sin 0A ≠ ， 所以1cos 3=-C .（2）由（1）知sin 3C =，因为ABC ∆的面积为4，所以1sin 24∆ABC S ab C ==，解得94ab = ，因为c =ABC ∆中， 由余弦定理得：()22222cos 22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，所以()29a b +=，所以3a b +=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的三角函数应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题26．（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案. （Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=． （Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ， 即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，②联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(1)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(1)一、选择题1．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3cos 5A =，则sinB =（ ） A ．25B ．35C ．45 D ．854．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18C ．78-D ．18-5．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．846．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．607．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 48．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．3229．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．18210．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C ．122D ．6211．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．1312．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为21nn S =-，则此数列的通项公式为___________．15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________18．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 19．已知数列的前项和，则_______．20．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．三、解答题21．在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △11b c +的值．24．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若c =ABC ∆的面积为4，求+a b 的值； 26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =，设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】试题分析：由3cos 5A =得，又2a b =，由正弦定理可得sin B =.考点：同角关系式、正弦定理．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.6．B解析：B 【解析】 【分析】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，在ABD ∆中由正弦定理求得AD ，在Rt ADF ∆中求得DF ，从而求得灯塔CD 的高度． 【详解】过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=-，在Rt ADF ∆中，cos sin sin sin()h DF AD αβββα==-，又山高为a ，则灯塔CD 的高度是3340cos sin 22356035251sin()2h CD DF EF a αββα⨯⨯=-=-=-=-=-． 故选B ．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．7．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.9．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．10．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.11．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.12．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=； 考点：累加法求数列通项公式二、填空题13．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时解析：10 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+得2y x z =-+．平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由402x y y +-=⎧⎨=-⎩，解得62x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(6,2)-， 所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．14．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题解析：12n n a -=【解析】 【分析】由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,()11121212nn n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a -=. 故答案为:12n n a -=.【点睛】本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即x =时取等号∴yx的最小值为 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.17．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n ∈N*满足Sn+解析：91 【解析】 【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.19．2【解析】【分析】【详解】由Sn ＝n2+n （n ∈n*）当n ＝1a1＝S1＝1+1＝2当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝n2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n 当n ＝1时a1＝2×1＝2成立∵an ＝2n解析：2 【解析】 【分析】 【详解】由S n ＝n 2+n （n ∈n *）， 当n ＝1，a 1＝S 1＝1+1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+n ﹣（n ﹣1）2-（n ﹣1）＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2×1＝2，成立， ∵a n ＝2n （n ∈n *）， ∴22，∴2，故答案为2．20．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．三、解答题21．（1）2n a n =；（2）S n ＝212n -•3n +1+32【解析】 【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求通项公式；（2）求得b n ＝2n •3n ，由数列的错位相减法求和即可． 【详解】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 3＝6，且前7项和T 7＝56． 可得a 1+2d ＝6，7a 1+21d ＝56，解得a 1＝2，d ＝2，则a n ＝2n ； （2）b n ＝a n •3n ＝2n •3n ，前n 项和S n ＝2（1•3+2•32+3•33+...+n •3n ）， 3S n ＝2（1•32+2•33+3•34+...+n •3n +1）， 相减可得﹣2S n ＝2（3+32+33+ (3)﹣n •3n +1）＝2•（()31313n --﹣n •3n +1），化简可得S n ＝212n -•3n +1+32．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】 【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 23．（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(含答案)(11)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(含答案)(11)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．3．正项等比数列中，的等比中项为，令，则（ ） A ．6B ．16C ．32D ．644．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若2M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．322B 5C ．5D ．927．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S8．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．19．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．810．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 17．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 18．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =+=ABC ∆中边上的高h .22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R ，且23sin sin cos 0R A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.23．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，7c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S25．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．26．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数；④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数. 答案：C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.3．D解析：D 【解析】因为，即，又，所以.本题选择D 选项.4．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.5．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．10．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．11．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．C【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ．【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题13．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】 【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （ 解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．an=4n=12n+1n≥2【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果【详解】当n≥2时an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1当n ＝1时a1＝S1＝4≠2×1＋1因此an ＝4n=12n+1n≥2【点睛】本题考解析：【解析】 【分析】根据和项与通项关系得结果. 【详解】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝.【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.17．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x a ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.【详解】∵()3af x x x=++，*x ∈N ， ∴()2221a x af x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意， 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =，当0x a <<时，即()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，当x a >时，即()0f x '>，函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，∴当x a =时，函数()f x 取最小值，又*x ∈N ，∴x 应取离a 最近的正整数使()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值， ∴56a <<或45a <≤，∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354a a++≤++， 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.19．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备 A 类产品（件）（≥50） B 类产品（件）（≥140解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:产品 设备A 类产品 （件）（≥50）B 类产品 （件）（≥140）租赁费（元）甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650{10201400,0x y x y x y +≥+≥≥≥即:105{2140,0x y x y x y +≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,当200300z x y =+对应的直线过两直线610{5214x y x y +=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．20．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际 21 【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ， 所以207BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．三、解答题21．(1)3C π=;(2)32. 【解析】分析：（1）由向量的数量积的运算，得222sin sin sin sin sin A B C A B +-=， 根据正弦、余弦定理得1cos 2C =，即可得到3C π=；（2）由余弦定理和a b +=3ab =，再利用三角形的面积公式，求得32h =，即可得到结论．详解：（1）因为22cos sin sin sin p q B A A B v v⋅=-+，所以222cos sin sin sin cos B A A B C -+=，即2221sin sin sin sin 1sin B A A B C --+=-， 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，根据正弦定理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，所以3C π=；（2）由余弦定理()22232cos33a b ab a b ab π=+-=+-，又a b +=3ab =，根据ABC ∆△的面积11sin 22S ab C ch ==，即113222⨯⨯=， 解得32h =， 所以ABC ∆中AB 边上的高32h =． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．（1）6π；（2）10-. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan 3A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan 3A =，tan 6B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab Ca b c =+-由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 23．（1）23C π=；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】（1）由()2f C =-,得sin(2)16C π+=-,且(0,)C π∈,所以3262c ππ+=，23C π=- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：2227422cos,3a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题. 24．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(及答案)(4)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(及答案)(4)一、选择题1．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．572．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2+B 1C ．2D 13．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 4．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 5．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．566．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．327．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S9．若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．1+D ．410．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +11．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．15．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．19．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.20．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．三、解答题21．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L .23．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．24．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2a b ==，求()sin 2B C -的值.25．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.2．B解析：B【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．3．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x ya b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此1144(4)(+)5+59b a b aa b a b a b a b+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan 23tan 2bc c B S B +=+∴2tan 1acsinB 223tan 2bc c B B +=+即c tan asinB a 3tan 13sin b B B B cosB+==++()3sinAsin B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ 3sinA cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．5．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 6．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.7．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.8．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.9．A解析：A【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】当2x >时，20x ->，则()()()11122222222f x x x x x x x =+=-++≥-⋅+--- 4=， 当且仅当()1222x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．12．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅解析：4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.15．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭．16．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力 解析：9π【解析】 【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin sin A B C R +==，22cos C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==. 故答案为9π 【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.17．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(含答案)(15)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(含答案)(15)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2433．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 5．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =7．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形8．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1229．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++10．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）11．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．9二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．14．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.15．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 16．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.三、解答题21．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }； （2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .23．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26f x x f C π=+=-，，c =sin B =2sin A ，（1）求C （2）求a 的值．24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．25．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △b ，c ． 26．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.3． A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键5．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.7．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 10．A 解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(9)
2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷附答案(9)一、选择题1．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．785．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．846．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．97．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810 B ．840C ．870D ．900 8．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．369．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．5D ．5210．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( )A ．9B ．27C ．54D ．8112．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.14．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(15)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(15)一、选择题1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．1102．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A ．2n n S T =B ．21n n T b =+C ．n n T a >D ．1n n T b +<3．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．95．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．326．已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．67．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U8．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．9．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．212．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足21123lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 16．在数列{}n a 中，“()n 12na n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 19．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-v v ，且2cos p q C ⋅=v v（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若3,23c a b =+=，求ABC ∆中边上的高h .23．已知函数()11f x x x =-++． （1）解不等式()2f x ≤；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 均为正数，且14m a b+=，求+a b 的最小值．24．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．25．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .26．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】由题意可得：332,323n nn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.3．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+，联立20x y y k +=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.6．A解析：A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．8．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 9．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．10．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示：当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 取得最小值，而点A 的坐标为（1，2a -），所以221a -=，解得12a =，故选B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12．A解析：A 【解析】 【分析】分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
2020-2021高中三年级数学下期中试卷附答案(12)
2020-2021高中三年级数学下期中试卷附答案(12)一、选择题1．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <3．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．314．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =5．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） ABC ．5D ．927．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-8．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12 B ．10C．D．9．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B．(C．()D．)10．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14011．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．212．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___15．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.16．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________．17．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．18．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________19．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 22．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值．23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 24．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 25．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划2．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.5．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．8．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.9．B解析：B【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 10．B 解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.11．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】【分析】通过计算出并找出的共同表示形式进而利用归纳推理即可猜想结论【详解】当时则由猜想：故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前项和的归纳猜想属于中档题 解析：1()221n n +-【解析】 【分析】通过计算出3S ，并找出1S 、2S 、3S 的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论． 【详解】当3n =时,{}31,3,7A =，则113711T =++=,213173731T =⨯+⨯+⨯=,313721T =⨯⨯=,∴312311312163S T T T =++=++=,由1212112121S ⨯==-=-，2332272121S ⨯==-=-， 34623632121S ⨯==-=-，⋯猜想：(1)221n n n S +=-.故答案为：1()221n n +-.【点睛】本题考查元素与集合关系的判断以及数列前n 项和的归纳猜想,属于中档题.15．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．【解析】【分析】由可知算出用表示的极限再利用性质计算得出即可【详解】显然公比不为1所以公比为的等比数列求和公式且故此时当时求和极限为所以故所以故又故故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列求和公式当时解析：12【解析】 【分析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可. 【详解】显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q, 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q 当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q =+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -=,又01q <<,故q =. 【点睛】本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-. 17．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=；115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.18．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.19．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式解析：【解析】试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即2174222AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，011sin 603222S AB BC =⋅=⨯⨯=考点：余弦定理，三角形面积公式. 20．【解析】【分析】画出可行域由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解方程即可得结果【详解】由已知作可行域如图所示化为平移直线由图象可知的最小值在直线与直线的交点处取得由解得故答案为【点睛】本题主 解析：94【解析】 【分析】画出可行域，由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解方程即可得结果.【详解】由已知作可行域如图所示，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+由图象可知，z 的最小值在直线2y x =与直线y x b =-+的交点()00,A x y 处取得，由000000232y x y x y x b=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，解得00339,,424x y b ===,故答案为94. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中档题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题21．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题. 22．(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan 3A =． 进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =． 解析：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠， 所以tan 3A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =. 23．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n n n T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，所以()01231132313nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n nn ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 24．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 25．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n na a n n +=+，则{}n a n为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥， 所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列， 又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =.（2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．26．（Ⅰ）6π；（Ⅱ）2+. 【解析】分析：（12sin cos B B A =． （2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形内角，所以6A π=．（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：224222b c bc bc =+-≥，所以(42bc ≤+，所以1sin 22S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．。
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(1)
2020-2021高中三年级数学下期中试题(带答案)(1)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A ．1B ．1C ．＋2D ．26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =7．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1008．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 410．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．18211．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．112．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．16二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．17．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 19．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.20．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．三、解答题21．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4nT <． 23．在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}3n n a a +的前n 项和n S .24．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 5．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误6．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 7．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.8．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.9．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0，设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.10．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．11．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=， 2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号，31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+， 32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.12．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.二、填空题13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7解析：-7【解析】 设公比为，则，所以．．14．1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列是以为首项以为公比的等比数列然后利用等比数列的通项公式求解【详解】由得则数列是以为首项以为公比的等比数列故答案为：1【点睛】本题考查数列的递推关系等比数列通解析：1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解． 【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1． 【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．15．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72- 【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值16．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a a b b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.18．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法 解析：40322017【解析】试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以()11221112n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=L ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，122016111140322120172017a a a ⎛⎫+++=-= ⎪⎝⎭L . 考点：累加法；裂项求和法.19．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=,由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 20．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.三、解答题21．（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a ，代入条件求得sinB =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =，因为b a <，故cos B =.因此sin22sin cos B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 22．（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12n n a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111na n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+， 所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 23．（1）14n n a -=；（2）n S 4121n n =-+-.【解析】 【分析】（1）由数列{}n a 是等比数列，及125a a +=，且2320a a +=，两式相除得到公比q ，再代入125a a +=可求1a ，则通项公式可求.（2）利用分组求和求出数列{3n a 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）因为等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. 所以公比23124a a q a a +==+， 所以12155a a a +==， 即11a =， 故14n n a -=.（2）因为14n n a -=所以113342n n n a --=⋅+，所以141231412n nn S --=⨯+--4121n n =-+- 422n n =+-. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.24．（1）32n a n =+；（2）6226nn T n =⨯+-【解析】 【分析】（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求解.(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解. 【详解】（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，11011016037a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩ 解得110532a a =⎧⎨=⎩3253101d -∴==-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n nn b a ==⋅+，()()()12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L ()122324223212n nn n +-=⨯++++=⨯+-L13262n n +=⨯-+ 6226n n =⨯+-.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高. 25．（1）=1040AB m （2）3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=⨯+⨯=．由正弦定理sin sin AB AC C B=，得12604sin 104063sin 565AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯2200(377050)t t =-+， 由于10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35min 37t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=， 得12605sin 50063sin 1365AC BC A B=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 26．(1) 40m -<≤．(2) 16m < 【解析】 【分析】(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；若0m ≠，则有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；当0m ≠时，该函数的对称轴是12x =，2()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即106m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可，此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16m <． 【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(附答案)(12)
2020-2021高中三年级数学下期中试卷(附答案)(12)一、选择题1．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．42．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 4．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．25．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．926．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20478．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或79．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n --10．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或37D ．34或37 11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为=60βo，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）A ．15B ．25C ．40D ．60二、填空题13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 15．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .16．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）．17．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 18．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 19．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 20．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______三、解答题21．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.22．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ．23．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==,求S .24．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若5sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 25．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 26．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.2．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-， 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.6．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．7．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.8．B解析：B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.9．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列.所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或372． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．B解析：B【解析】【分析】过点B作BE DC⊥于点E，过点A作AF DC⊥于点F，在ABD∆中由正弦定理求得AD，在Rt ADF∆中求得DF，从而求得灯塔CD的高度．【详解】过点B作BE DC⊥于点E，过点A作AF DC⊥于点F，如图所示，在ABD∆中，由正弦定理得，sin sinAB ADADB ABD=∠∠，即sin[90(90)]sin(90)h ADαβα=︒--︒-︒+，cossin()hADαβα∴=-，在Rt ADF∆中，cos sinsinsin()hDF ADαβββα==-，又山高为a，则灯塔CD的高度是40cos sin22356035251sin()2hCD DF EF aαββα=-=-=-=-=-．故选B．【点睛】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】根据不等式的解集是求得的值从而求解不等式的解集得到答案【详解】由题意因为不等式的解集是可得解得所以不等式为即解得即不等式的解集为【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法其中解答中根解析：11(,)23--【解析】 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-【解析】 【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n an ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 15．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】 .试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.16．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-【解析】 【分析】根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-. 【点睛】本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.18．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 20．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两 解析：[－2，+∞）【解析】【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+1x）, 又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2；要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y yax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+， 所以，由122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y yax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y yy y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 22．（1）14n n a -=，*n N ∈；（2）4(34)49nn n T +-⋅=．【解析】 【分析】（1）设公比为q ，运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【详解】（1）设公比q 为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =，可得41(14)8514a -=-，解得11a =，则14n n a -=，*n N ∈；（2）1(1)(1)4n n n a n --=-⋅，前n 项和2310142434(1)4n n T n -=+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，23440142434(1)4n n T n =+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅，两式相减可得23134444(1)4n nn T n --=+++⋯+--⋅14(14)(1)414n n n --=--⋅-，化简可得4(34)49nn n T +-⋅=．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题． 23．(1)证明解析,(2)2【解析】 【分析】（1）由正弦定理面积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A=代入即可.（2）因为1c =，a =3b cosA =.代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-得22cos 3A =，cos A =tan 2A ⇒=，b =⇒16622S =⨯⨯=. 【详解】（1）由211sin tan 26S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =，所以sin 3sin cos b Ac A A=， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.（2）由（1）得3b ccosA =.因为1c =，a =3b cosA =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2229cos 16cos A A =+-,解得：22cos 3A =.因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos A =.tan 2A ⇒=，b .211tan 66622S b A ==⨯⨯=. 【点睛】本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.24．（1）12；（2 【解析】 【分析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA ∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 1222∠=⋅⋅=⨯=. （2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC ∠=πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭)cos BAC sin BAC 2∠∠=-==⎝⎭. 在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC sin BCA∠∠⋅∴== 222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以51624135=+-⨯=所以CD = 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.25．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭， 22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 26．（1）n a n =；（2）2019． 【解析】 【分析】（1）由已知递推关系式和1n n n a S S -=-可推出11n n a a n n +=+，则{}n an为常数列，继而可算出n a ；（2）先把n b 表示出来，用裂项相消法求n T ，然后代入不等式可求出n ． 【详解】（1）因为12n n S na +=……①， 所以12(1)n n S n a -=-……②，②-①得：12(1),2n n n a na n a n +=--≥，所以11n n a a n n +=+，则n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列， 又22122,12n a a a S n ==∴==， (2)n a n n ∴=≥，当1n =时也满足，所以n a n =. （2）2112111(1)(1)(1)(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为偶数时，111111112233411n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n 为奇数时，1111111212233411n n T n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 综上，1,111,1n n n T n n ⎧⎪⎪++=⎨⎪-⎪+⎩为偶数为奇数，则1111201912019n T n n +=<⇒+>+， 2018,n n ∴>的最小值为2019．【点睛】此题考查数列临差法求数列通项公式、并项求和法，考查方程思想和分类讨论思想，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求和时注意对n 分奇偶讨论．。
2020-2021高中三年级数学下期中试题含答案(12)
2020-2021高中三年级数学下期中试题含答案(12)一、选择题1．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94-B ．94C ．274D ．274-2．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．523．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,4．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．157．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ）A ．6 B ．23C ．43D ．43-8．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．222y x =+C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 9．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．211．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________． 14．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________15．已知函数()2x f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.16．设，，若，则的最小值为_____________.17．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.18．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，6a =， . 求ABC ∆的面积.22．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
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2020-2021下海西南模范中学高中三年级数学下期中试卷附答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b >C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+D <a b <2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2434．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年5．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-7．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20478．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．39．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）10．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 11．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <12．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．125243二、填空题13．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.16．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．18．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 19．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 20．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++(1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=．（1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u v u u u v，ABC ∆的面积为b ．23．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y y af x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.24．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积． 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D中，因为0≤<，由不等式的平方法则，22<，即a b <．选D.2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.4．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.5．A解析：A 【解析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】22cos 2a b aC +=Q 1cos sin sin 22sin C A BA ++\=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。