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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：专题四 圆锥曲线的综合及应用问题

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2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题

2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题

2015届高考数学一轮总复习 8-7圆锥曲线的综合问题基础巩固强化一、选择题1．(文)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝( )A ．16B ．18C ．22D ．20[答案] C[解析] 由题意知，a ＝13，(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝52， ∵|BF 2|＋|AF 2|＝30，∴|AB |＝22.(理)(2013·辽宁五校联考)已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M 、N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1) B ．x 2－y 210＝1(x >0)C ．x 2－y 28＝1(x >0) D ．x 2－y 210＝1(x >1)[答案] A[解析] 如图，设两切线分别与圆相切于点S 、T ，则|PM |－|PN |＝(|PS |＋|SM |)－(|PT |＋|TN |)＝|SM |－|TN |＝|BM |－|BN |＝2＝2a ，所以所求曲线为双曲线的右支，∴a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >0)，由题意知，P 点不可能与B 点重合，∴x >1.2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 225＋y 216＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[答案] A[解析] 直线y ＝k (x －1)＋1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交．3．(文)已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 [答案] A[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.(理)(2013·大纲理，11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 [答案] D[解析] ∵y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2,0)， 设直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2).消去y 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1·x 2＝4，∴y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝－16. ∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝4k 2－16k ＋16k 2＝0，∴k 2－4k ＋4＝0，∴k ＝2.4．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0， 即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27，故选C.5．(2013·新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32，代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选C.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 方法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.不妨设A 在x 轴上方，∴A (4,4)，B (1，－2)，∵F 点坐标为(1,0)，∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A (4,4)，B (1，－2)，|AB |＝35，|AF |＝5，|BF |＝2， 由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22·|AF |·|BF |＝－45.二、填空题7．(文)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，若椭圆上存在点P ，使得直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，当直线PF 的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析] 解法1：设直线PF 与圆x 2＋y 2＝b 2的切点为M ，则依题意得OM ⊥MF ，∵直线PF 的倾斜角为2π3，∴∠OFP ＝π3，∴sin π3＝b c ＝32，椭圆的离心率e ＝c a ＝cc 2＋b 2＝11＋(b c)2＝11＋(32)2＝277.解法2：依题意可知PF ：y ＝－3(x ＋c )(c ＝a 2－b 2)， 又O 到PF 的距离为b ，即3c 2＝b ，∴3c 24＝b 2＝a 2－c 2，∴4a 2＝7c 2，∴e ＝c a ＝277.(理)设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为2－1的点P 的个数为________．[答案] 3[解析] 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x 2＋y 24＝1中消去y 得，8x 2＋4bx＋b 2－4＝0，由Δ＝16b 2－32(b 2－4)＝0得，b ＝±22，显见y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A (－1,0)，B (0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25， ∴欲使S △ABP ＝12|AB |·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个．8．(2013·唐山一中第二次月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点F ，若过F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 由条件知ba ≥tan60°＝3，∴c 2－a 2a 2≥3，∴e ≥2.9．(文)(2013·浙江宁波四中)椭圆2x 2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x －4的距离的最小值是________．[答案] 2－104[解析] 设与直线y ＝3x －4平行的椭圆的切线方程为y ＝3x ＋c ，代入2x 2＋y 2＝1得5x 2＋23cx ＋c 2－1＝0，由Δ＝12c 2－20(c 2－1)＝0，得c ＝±102，可知直线y ＝3x －102与y ＝3x －4距离最近，此两直线距离为d ＝2－104. (理)(2012··湖南长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[答案]2[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63， ∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2.三、解答题10．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ，并说明理由． [解析] (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p2的距离，∴1＋p2＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的焦点为F (0,1)，直线l 的方程y ＝2x ＋1， 设点A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，x 214)、(x 2，x 224)、(x 0，x 204)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝2x ＋1.消去y 得，x 2＝4(2x ＋1)，即x 2－8x －4＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4.∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB →＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋(x 214－x 204)(x 224－x 24)＝0，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0.∵M 不与A ，B 重合，∴(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0，∴1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0， ∴x 20＋8x 0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.∴方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB .能力拓展提升11.(2013·浙江嵊州一中月考)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使得OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．[解析] (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线方程为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)(x 0>0)， ∵OM →＋ON →＝tOD →，∴x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝(33x 1－2)＋(33x 2－2) ＝33(x 1＋x 2)－4＝12， ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．(文)(2013·山西山大附中月考)已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA →＝αAC →，AB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． [解析] (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x 得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2k ，0)，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k2.②∴|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2，而|MC |2＝(1＋k 2|－2k －0|)2＝4(1＋k 2)k 2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0， 即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列．(2)由MA →＝αAC →，MB →＝βBC →得(x 1，y 1－2)＝α(－x 1－2k ，－y 1)，(x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.(理)(2013·北京东城联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构在的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②若点M (－73，0)，求证：MA →·MB →为定值．[解析] (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋y 253＝1.(2)①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋y 253＝1中得，(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0， x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1.因为AB 中点的横坐标为－12，所以－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33.②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)(x 2＋73，y 2)＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋(73＋k 2)(－6k 23k 2＋1)＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49.∴MA →·MB →为定值．13．(文)点A 、B 分别为椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x－4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0.消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6，由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝532，所以点P 的坐标是(32，532)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是 |m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.∵椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离是d ， ∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时d 取最小值15.(理)如图所示，在△DEM 中，ED →⊥EM →，OD →＝(0，－8)，N 在y 轴上，且DN →＝12(DE →＋DM →)，点E在x 轴上移动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过点F (0,1)作互相垂直的两条直线l 1、l 2，l 1与点M 的轨迹交于点A 、B ，l 2与点M 的轨迹交于点C 、Q ，求AC →·QB →的最小值．[解析] (1)设M (x ，y )，E (a,0)，由条件知D (0，－8)， ∵N 在y 轴上且N 为EM 的中点，∴x ＝－a ， ∵ED →⊥EM →，∴ED →·EM →＝(－a ，－8)·(x －a ，y )＝－a (x －a )－8y ＝2x 2－8y ＝0，∴x 2＝4y (x ≠0)， ∴点M 的轨迹方程为x 2＝4y (x ≠0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，直线l 1：y ＝kx ＋1(k ≠0)，则直线l 2：y ＝－1k x＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2－4kx －4＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋1，x 2＝4y ，消去y 得，x 2＋4k x －4＝0，∴x 3＋x 4＝－4k，x 3x 4＝－4.∵A 、B 在直线l 1上，∴y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1， ∵C 、Q 在直线l 2上，∴y 3＝－1k x 3＋1，y 4＝－1k x 4＋1.∴AC →·QB →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 2－x 4，y 2－y 4) ＝(x 3－x 1)(x 2－x 4)＋(y 3－y 1)·(y 2－y 4)＝(x 3－x 1)(x 2－x 4)＋(－1k x 3－kx 1)(kx 2＋1kx 4)＝x 3x 2－x 1x 2－x 3x 4＋x 1x 4－x 2x 3－k 2x 1x 2－1k2x 3x 4－x 1x 4＝(－1－k 2)x 1x 2＋(－1－1k 2)x 3x 4＝4(1＋k 2)＋4(1＋1k 2)＝8＋4(k 2＋1k 2)≥16等号在k 2＝1k2时取得，即k ＝±1时成立．∴AC →·QB →的最小值为16.14．(文)(2013·东北三校联考)已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， 设AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋1，2k 1)；同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12(2k 21)2＋(2k 1)2·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. (2)设AB 方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋m ，2k 1)；同理，点N (2k 22＋m ，2k 2)．∵k 1＋k 2＝1，∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴l MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －(2k 21＋m )]，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．(理)(2013·石嘴山市调研)如图，已知椭圆C ：x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴右端点为A ，M (1,0)为线段OA 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆C 相交于两点P 、Q ，试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM ＝∠QNM ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)由题意知b ＝2，又e ＝22，即a 2－4a ＝22，解得a ＝22，所以椭圆方程为x 24＋y 28＝1.(2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件．当PQ ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM ＝∠QNM ，即x 0∈R ；当PQ 与x 轴不垂直时，设PQ 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程中化简得：(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 22＋k 2，x 1x 2＝k 2－82＋k 2，k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝k (x 1－1)x 1－x 0＋k (x 2－1)x 2－x 0＝k (x 1－1)(x 2－x 0)＋k (x 2－1)(x 1－x 0)(x 1－x 0)(x 2－x 0)，∵(x 1－1)(x 2－x 0)＋(x 2－1)(x 1－x 0) ＝2x 1x 2－(1＋x 0)(x 1＋x 2)＋2x 0＝2(k 2－8)2＋k 2－2(1＋x 0)k 22＋k 2＋2x 0.若∠PNM ＝∠QNM ，则k PN ＋k QN ＝0，即k [2(k 2－8)2＋k 2－2(1＋x 0)k 22＋k 2＋2x 0]＝0，整理得k (x 0－4)＝0，∵k ∈R ，∴x 0＝4.综上，在x 轴上存在定点N (4,0)，使得∠PNM ＝∠QNM .考纲要求1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．理解直线与圆锥曲线的位置关系． 3．理解数形结合思想的应用． 补充说明 1．向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．2．点差法涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解．[例]P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内的一定点，过P 点引一弦，与椭圆相交于A 、B 两点，且P 恰好为弦AB 的中点，如图所示，求弦AB 所在的直线方程及弦AB 的长度．[解析] 设弦AB 所在的直线方程为 y －1＝k (x －1)，A 、B 两点坐标分别为 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，① x 22＋2y 22＝4.②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵P (1,1)为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2. ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴所求直线的方程为y －1＝－12(x －1)．即x ＋2y －3＝0.将其代入椭圆方程整理得，6y 2－12y ＋5＝0. 根据弦长公式，有|AB |＝1＋(－2)2·122－4×6×56＝303.[说明] (1)点差法的一个基本步骤是：点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在圆锥曲线f (x ·y )＝0上，∴f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0，两式相减f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，然后变形构造出y 2－y 1x 2－x 1及x 1＋x 2和y 1＋y 2，再结合已知条件求解．(2)中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是否过焦点，遇到AO ⊥BO 的情况，常用AO →·BO →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法解决．3．要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结 (1)方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量．(2)函数思想对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a 、b 、c 、e 、p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．(3)坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练． (4)对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．(5)数形结合解析几何是数形结合的典范，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程．(6)参数思想一些解析几何问题，在解题过程中可先引入适当的参数(如斜率k ，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决．备选习题1．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．[解析](1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)， M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上， 所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．2．(2013·陕西理，20)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦长MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．[解析] (1)如图，设动圆的圆心O 1(x ，y )，由题意知|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 为MN 的中点，∴|O 1M |2＝|O 1H |2＋|MH |2＝x 2＋16， 又|O 1A |2＝(x －4)2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋16，整理得y 2＝8x (x ≠0)， 当O 1在y 轴上时，∵|OA |＝4＝12|MM |，∴O 1与O 重合，此时点O 1(0,0)也满足y 2＝8x ， ∴动圆圆心O 1的轨迹C 方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．。

2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：解答题增分 系列讲座(四)

2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：解答题增分 系列讲座(四)

[失分警示]
易漏“面内相 交线”这一条 件导致应用线 面垂直判定定 理失误丢分．
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第二步
2法一：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.
确定原点建立空 如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，
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第1问
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第2问
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第一步
[解题流程]
[失分警示]
第二步
由图形特
法二：过C作CM⊥AB于M， 因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC， 所以PA⊥CM，
易漏“面内相交 线”这一条件导 致应用线面垂直
征引辅助 又因为PA∩AB＝A，且PA⊂平面PAB，
线，作出⇐AB⊂平面PAB，故CM⊥平面PAB. 7分
二面角的
过M作MN⊥PB于N，连接NC， 由三垂线定理得CN⊥PB，
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第三步
求出平面 的法向量

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第5章 第4讲 简单的线性规划

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第5章 第4讲 简单的线性规划

第4讲 简单的线性规划1．已条变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．12．(2012年广东广州一模)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤t 所表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012年四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－3，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋4y 的最大值是( )A ．12B ．26C ．28D ．334．(2013年陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2 5．(2012年江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]7．(2011年四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元8．(2012年广东广州调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．19．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是________． 10．某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？第4讲 简单的线性规划1．C 解析：如图D52，得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1)，(1,2)，(2,2)，代入验证知在点(1,1)时，x ＋y 最小值是1＋1＝2.故选C.图D522．B3．C 解析：画出可行域如图D53，目标函数z ＝3x ＋4y 可以变形为y ＝－34x ＋z4，作函数y ＝－34x 的平行线，当其经过点B (4，4)时，z 有最大值为z ＝3x ＋4y ＝3×4＋4×4＝28.图D534．A 解析：画出可行域，如图D54所示．解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值；所以z min ＝2×(－2)－2＝－6.故选A.图D545．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D55的阴影部分． 易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30，20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D556．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．7．C 解析：设派用甲型卡车x (单位：辆)，乙型卡车y (单位：辆)，获得的利润为u (单位：元)，u ＝450x ＋350y ，x ，y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ∈Z ，y ∈Z ，作出相应的可行区域u ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，在由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19确定的交点(7,5)处取得最大值4900元．故选C.8．A 解析：若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则直线y ＝－ax ＋z 与直线2x －2y ＋1＝0平行，有－a ＝1，即a ＝－1.故选A.9.⎣⎡⎦⎤95，6 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫52，92. ∴k OA ＝95.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x ＝1，得B (1,6)．∴k OB ＝6.∵yx表示过可行域内一点(x ，y )及原点的直线的斜率， ∴由约束条件画出可行域(如图D56)，则yx的取值范围为[k OA ，k OB ]，即⎣⎡⎦⎤95，6.图D5610．解：设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z ＝2.5x ＋4y .可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作出可行域如图D57：经检验发现，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，最少花费为z ＝2.5x ＋4y ＝2.5×4＋4×3＝22(元)．图D57。

2015年高考数学(文)总复习精品课件：专题四 圆锥曲线的综合及应用问题

2015年高考数学(文)总复习精品课件：专题四 圆锥曲线的综合及应用问题

下面几点对同学的备考必定大有裨益： (1)直线与圆锥曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求 的量转化为韦达定理”，当然别忘记判别式Δ>0 的范围限制和 直线斜率不存在的情况．
(2)涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和 弦所在直线的斜率的好方法．
(3)求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出 两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量” .不等 式的来源可以是Δ>0 或圆锥曲线的有界性或是A(－1,0)，B(1,0)． 设双曲线 C 的方程为 x2－by22＝1(b>0)， 因为双曲线的离心率为 5，所以 1＋1 b2＝ 5，即 b＝2. 所以双曲线 C 的方程为 x2－y42＝1. (2)证法一：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 直线 AP 的斜率为 k(k>0)， 则直线 AP 的方程为 y＝k(x＋1)，
(3)解：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 则P→A＝(－1－x1，－y1)，P→B＝(1－x1，－y1)． 因为P→A·P→B≤15，所以(－1－x1)(1－x1)＋y21≤15，即 x21＋y21 ≤16. 因为点 P 在双曲线上，则 x21－y412＝1，
y＝kx＋1， 联立方程组x2＋y42＝1， 整理，得(4＋k2)x2＋2k2x＋k2－4＝0. 解得 x＝－1 或 x＝44－ ＋kk22.所以 x2＝44＋ －kk22. 同理可得 x1＝44－ ＋kk22. 所以 x1·x2＝1.
证法二：设点 P(x1，y1)，T(x2，y2)(xi>0，yi>0，i＝1,2)， 则 kAP＝x1y＋1 1，kAT＝x2y＋2 1. 因为 kAP＝kAT，所以x1y＋1 1＝x2y＋2 1，即x1＋y21 12＝x2＋y22 12. 因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上， 所以 x21－y412＝1，x22＋y422＝1. 即 y21＝4(x21－1)，y22＝4(1－x22)． 所以4xx1＋21－112＝4x12＋－1x222，即xx11－ ＋11＝x12－＋x12. 所以 x1·x2＝1.

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第3章 第7讲 抽象函数]

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第3章 第7讲 抽象函数]

第7讲 抽象函数1．(2010年陕西)下列四类函数中，有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数2．已知定义域为(－1,1)的奇函数y ＝f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0.则a 的取值范围是( )A ．(3，10)B ．(2 2，3)C ．(2 2，4)D ．(－2,3)3．已知函数f (x )是定义在R 上的函数且满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，若x ∈(0,3)时，f (x )＝log 2(3x ＋1)，则f (2011)＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．log 274．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2011)＝( )A ．2B ．－3C ．－12 D.135．给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y ).下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝tan x6．设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，那么下列五个判断： ①f (x )的一个周期为T ＝4；②f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③f (2010)＝0； ④f (2011)＝0； ⑤f (2012)＝0.其中正确的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．对于函数f (x )定义域中的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝x 13时，上述结论中正确结论的序号是____________；当f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x时，上述结论中正确结论的序号是____________； 当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是____________．8．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2为偶函数，对于函数y ＝f (x )有下列几种描述：①y ＝f (x )是周期函数；②x ＝π是它的一条对称轴；③(－π，0)是它图象的一个对称中心；④当x ＝π2时，它一定取最大值．其中描述正确的是________．9．函数f (x )的定义域D ：{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．10．设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x －12<f ⎝⎛⎭⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围．第7讲 抽象函数1．C 解析：假设f (x )＝a x ，f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y ＝f (x ＋y )． 2．B 解析：由条件得f (a －3)＜f (a 2－9)，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，∴a ∈(2 2，3)，故选B.3．C4．C 解析：方法一，由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.方法二，严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )(k ∈N *)．即f (2011)＝f (3)＝－12.5．B 解析：选项A ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )； 选项C 满足f (xy )＝f (x )＋f (y )；选项D ，满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )1－f (x )f (y ).6．C7．③ ①④ ②③ 8．①③9．解：(1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数． (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3. 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*) ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.∴x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－73≤x ≤5，且x ≠－13，且x ≠3. 10．解：设－1≤x 1<x 2≤1，则x 1－x 2≠0， ∴f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0.∵x 1－x 2<0，∴f (x 1)＋f (－x 2)<0. ∴f (x 1)<－f (－x 2)．又f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)．∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )是增函数．(1)∵a >b ，∴f (a )>f (b )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫x －12<f ⎝⎛⎭⎫x －14，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14，∴－12≤x ≤54.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤54. (3)由－1≤x －c ≤1，得－1＋c ≤x ≤1＋c ， ∴P ＝{x |－1＋c ≤x ≤1＋c }．由－1≤x －c 2≤1，得－1＋c 2≤x ≤1＋c 2， ∴Q ＝{x |－1＋c 2≤x ≤1＋c 2}． ∵P ∩Q ＝∅，∴1＋c <－1＋c 2或－1＋c >1＋c 2， 解得c >2或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线(选择+填空+答案)

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线(选择+填空+答案)

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线1.2015新课标1文数（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.2015安徽文数6下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 3.2015北京文数（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-=（B ）22(1)(1)1x y +++=（C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=4.2015重庆文数9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A) 12±(B) ±(C) 1± (D) 5.2015福建文数7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于A.23-B. 35-C.35D.23 6.2015天津文数6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为 (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.2015浙江文数7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8.2015广东文数8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 9.2015湖北文数9. 将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10.2015湖南文数6若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为54 C.43 D.5311.2015湖南文数9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.9 12.2015陕西文数3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)13.2015四川文数7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则|AB|＝14.2015四川文数10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)15.2015天津文数5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C)2213x y -= (D) 2213y x -= 16.2015福建文数11. 已知椭圆E:12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于54，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A.⎥⎥⎦⎤⎝⎛230， B.⎥⎦⎤⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 17.2015重庆文数12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________.118.2015湖南文数13. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠= （O 为坐标原点），则r =___________.19.2015山东文数（15）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a 则C 的离心率为 .20.2015上海文数7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________.21.2015上海文数12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.22.2015浙江文数15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．23.2015北京文数（12）已知（2，0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =________________24.2015新课标1文数（16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为25.2015年新课标II 文数15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。

圆锥曲线的综合问题(含答案)

圆锥曲线的综合问题(含答案)

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.【热身练习】1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.5．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k .由|k |4＋6k 21＋2k ＝103，解得k ＝±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．【试一试】1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 【由题悟法】1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【由题悟法】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b。

高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总

高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。

圆锥曲线的综合应用含详细答案解析

圆锥曲线的综合应用含详细答案解析

专题1 圆锥曲线的综合应用题型1 直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与双曲线的交点个数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 0答案详解A解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.答案详解A解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为代入椭圆，两边乘，则，，，,或所以3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,求当的面积最大时直线l的方程.答案详解解:(1)设椭圆右焦点则由(1)得代得代(2)得(2)与圆相切由消y得又,当时,,当时,(当时“=”成立)此时且(3)式6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为。

2015届高考数学(文)一轮复习知能训练专题四圆锥曲线的综合及应用问题》

2015届高考数学(文)一轮复习知能训练专题四圆锥曲线的综合及应用问题》

专题四 圆锥曲线的综合及应用问题1．过(2,2)点且与曲线x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0相交所得弦长为2 3的直线方程是( )A ．3x －4y ＋2＝0B ．3x －4y ＋2＝0或x ＝2C ．3x －4y ＋2＝0或y ＝2D ．x ＝2或y ＝22．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．33．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54B.52C.32D.545．已知双曲线的方程是5x 2－4y 2＝20，填充下列各题：(1)顶点坐标是__________；(2)焦点坐标是__________； (3)渐近线方程是__________；(4)离心率是 .6．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52. 其中所有正确命题的序号为________．7．(2011年北京)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中正确结论的序号是________．8．(2012年广东肇庆一模)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程；(3)试探究轨迹Q 上是否存在点B (x 1，y 1)，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12.若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．9．(2012年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，且△AOB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△AOB 的面积；若不存在，请说明理由．。

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第12章 第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系]

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第12章 第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系]

第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．(2012年山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝8 33yB ．x 2＝16 33yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．5．如图K12-5-1，已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．图K12-5-16．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.7．如图K12-5-2，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是______________．图K12-5-28．已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A ，B 两点，且AB 恰好是圆C 1的一条直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．9．(2013年陕西)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1．A 2.B 3.D 4.53 5.83解析：设BF ＝m ，由抛物线的定义，知：AA 1＝3m ，BB 1＝m .∴在△ABC 中，AC ＝2m ，AB ＝4m .∴k AB ＝ 3.直线AB 方程为y ＝3(x －1)． 与抛物线方程联立消y ，得 3x 2－10x ＋3＝0.所以AB 中点到准线距离为x 1＋x 22＋1＝53＋1＝83.6．2 解析：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2两式相减，得y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7．y 2＝3x 解析：方法一，过A ，B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3.∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .方法二，由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |，得∠BCB 1＝30°.又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫3－p 2，3 32在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.8．解：∵e ＝22＝c a ，c ＝22a ，c 2＝12a 2，∴b 2＝a 2－c 2＝12a 2.∴方程为x 2a 2＋2y 2a2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AB 为直径，有AB 的中点为(2,1)，且|AB |＝4153，∵A ，B 两点都在椭圆上，故有⎩⎨⎧x 21a 2＋2y 21a2＝1， ①x 22a 2＋2y 22a 2＝1. ②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， 有y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝k AB ＝－2×22×2＝－1， 即AB 的方程为x ＋y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋y －3＝0，得3x 2－12x ＋18－a 2＝0，由弦长公式，得|AB |＝(1＋1)×4(a 2－6)3＝4153，解得a 2＝16.∴椭圆C 2的方程为x 216＋y 28＝1.9．解： (1)点M (x ，y )到直线x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍，则|x －4|＝2(x －1)2＋y 2⇒x 24＋y 23＝1.所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知：2x 1＝0＋x 2,2y 1＝3＋y 2.椭圆的上、下顶点坐标分别是(0，3)和(0，－3)，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 斜率k 存在．设直线m 方程为：y ＝kx ＋3.联立椭圆和直线方程，整理，得(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0⇒x 1＋x 2＝－24k 3＋4k 2，x 1·x 2＝243＋4k 2. x 1x 2＋x 2x 1＝12＋2⇒(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2x 1·x 2＝52⇒(－24k )2(3＋4k 2)×24＝92⇒k ＝±32. 所以直线m 的斜率k ＝±32.。

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第18章 第2讲 极坐标与参数方程]

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测：第18章 第2讲 极坐标与参数方程]

第2讲 极坐标与参数方程1．(2013年安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos ＝12．(2012年广东韶关三模)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是下列图形中的(依次填写序号)________．①直线；②圆；③抛物线；④椭圆；⑤双曲线．3．(2012年广东肇庆二模)在极坐标系中，曲线ρ＝2与cos θ＋sin θ＝0(0≤θ≤π)的交点的极坐标为________．4．(2012年广东惠州三模)在极坐标系中，点P ⎝⎛⎭⎫2，3π2到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．5．(2012年广东汕头检测)过点⎝⎛⎭⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程为________． 6．(2012年广东东莞二模)已知在极坐标系下，点A ⎝⎛⎭⎫1，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，2π3，O 是极点，则△AOB 的面积等于________．7．(2013年广东)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．8．(2012年天津)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.9．(2013年湖南)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．10．(2012年广东揭阳三模)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))所截得的弦长为________．11．(2012年广东深圳一模)在极坐标系中，点P ⎝⎛⎭⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝322 上的点的最短距离为________．12．如图K18-2-1，在极坐标系中，过点A (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图K18-2-1。

【南方新课堂】2015年高考数学总复习 第十三章 立体几何课时检测

【南方新课堂】2015年高考数学总复习 第十三章 立体几何课时检测

第十三章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个2. (2013年某某)一个几何体的三视图如图K13­1­1所示，则该几何体可以是( )图K13­1­1A．棱柱 B．棱台C．圆柱 D．圆台3．如图K13­1­2，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )图K13­1­2A．6 cm B．8 cmC．(2＋4 2) cm D．(2＋2 3) cm4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图K13­1­3，则该几何体的俯视图为( )图K13­1­35．图K13­1­4是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图K13­1­4；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图K13­1­4；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图K13­1­4.其中真命题的个数是( )图K13­1­4A．3个 B．2个C．1个 D．0个6．已知某一几何体的正视图与侧视图如图K13­1­5，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为( )图K13­1­5A．①②③⑤ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③④7．(2013年某某)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是( )A．1 B. 2C.2－12D.2＋128．如图K13­1­6，直三棱柱的正视图面积为2a2，则侧视图的面积为________．图K13­1­69．在图K13­1­7的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在图K13­1­7(2)中画出．(1) (2)K13­1­7(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．10．图K13­1­8(1)为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)如图K13­1­8(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；(2)求四棱锥B－CEPD的体积；(3)求证：BE∥平面PDA.(1) (2)图K13­1­8第2讲空间几何体的表面积和体积1. (2013年某某)某四棱台的三视图如图K13­2­1所示，则该四棱台的体积是( )图K13­2­1A ．4 B.143 C.163D ．62．(2013年某某春季)若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶163．(2012年某某)若一个几何体的三视图如图K13­2­2，则此几何体的体积为( )图K13­2­2A.112 B ．5 C.92D ．4 4．(2013年某某)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图K13­2­3所示，该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．4 5，8B ．4 5，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8图K13­2­3图K13­2­45．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K13­2­4)，则球的半径是__________cm.6．(2012年某某)一个几何体的三视图如图K13­2­5，则该几何体的体积为______________．图K13­2­57．(2012年某某)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．8．(2012年某某)如图K13­2­6，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为__________．图K13­2­69．(2012年某某)某个实心零部件的形状是如图K13­2­7所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？图K13­2­7第3讲点、直线、平面之间的位置关系1．(2012年某某)下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC3．(2011年某某)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交4．如图K13­3­1是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图K13­3­1①BM 与ED 平行； ②与BE 是异面直线； ③与BM 成60°； ④与AF 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．③ D ．③④5．AB ，CD 是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β内，若M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则有( )A ．MN ＝12()AC ＋BDB ．MN >12()AC ＋BDC ．MN <12()AC ＋BDD ．MN ≤12()AC ＋BD6．(2013年某某某某和平区一模)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.3 1010D.357．(2013年某某二模改编)如图K13­3­2，已知ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2.(1)求异面直线A 1C 与B 1C 1所成角的余弦值大小； (2)求三棱锥C －ABC 1的体积1C ABC V .图K13­3­28．图K13­3­3是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求三棱锥M－NPQ的体积与正方体的体积之比．图K13­3­3第4讲直线、平面平行的判定与性质1．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是( )A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥nC．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n，m 为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是( ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内4．如图K13­4­1，已知l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是( )A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1C．l∥平面A1D1B1 D．l⊥B1C1图K13­4­1图K13­4­25．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的是( ) A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β6．(2011年某某)如图K13­4­2，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．8．如图K13­4­3(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图K13­4­3(2)时，BE·BF是定值．其中正确说法的序号是____________．图K13­4­39．(2013年某某)如图K13­4­4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1，证明直线BC1平行于平面D1AC，并求直线BC1到平面D1AC的距离．图K13­4­410．(2012年某某)如图K13­4­5，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.图K13­4­5第5讲直线、平面垂直的判定与性质1．(2013年某某)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．如图K13­5­1，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )图K13­5­1A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成角为60°3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直4如图K13­5­2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D与BC1所成的角为π2，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.63B.12C.155D.32图K13­5­2图K13­5­35．已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图K13­5­3，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC 的距离为( )A.34B.32C.3 34D. 37．(2012年某某)已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．8．(2013年)如图K13­5­4，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图K13­5­49．(2012年某某)如图K13­5­5，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝ 2.AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：(i)EF∥A1D1；(ii)BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．图K13­5­5第十三章 立体几何第1讲 空间几何体的三视图和直观图 1．B 2.D 3.C 4.C5．A 解析： ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．6．D7．C 解析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为 2.因此，满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的X 围为[1，2]．因此，可知：A ，B ，D 皆有可能，而2－12＜1，故C 不可能．8.3a 2解析：由主视图面积可求出直三棱柱的高为2a ，底面的正三角形的高为32a ，故左视图的面积为2a ·32a ＝3a 2. 9．解：(1)如图D72.图D72(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2)×2＝2843. 10．(1)解：该组合体的正视图和侧视图如图D73.图D73(2)解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD . ∵BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDCE .∵S 梯形PDCE ＝12(PD ＋EC )·DC ＝12×3×2＝3，∴四棱锥B －CEPD 的体积为V B －CEPD ＝13S 梯形PDCE ·BC ＝13×3×2＝2.(3)证明：∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ， ∴EC ∥平面PDA .同理，BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，且EC ∩BC ＝C ， ∴平面EBC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面EBC ，∴BE ∥平面PDA . 第2讲 空间几何体的表面积和体积1．B 解析：由三视图可知，该四棱台的上、下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故V ＝13×(12＋12×22＋22)×2＝143.故选B.2．C 解析：因为球的表面积S ＝4πR 2，两个球的表面积之比为1∶4，则两个球的半径之比为1∶2，又因为球的体积V ＝43πR 3，则这两个球的体积之比为1∶8.3．D 4.B5．4 解析：设球的半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43·πr 3＋πr 2×8＝πr 2×6r ，解得r ＝4.6．12＋π 解析：由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面直径为2，高为1，所以该几何体的体积为3×4×1＋π×12×1＝12＋π.7.33π 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，即l ＝2，即圆锥的母线l ＝2.底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r2＝ 3.所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×1×3＝33π.8.16 解析：方法一，因为点E 在线段AA 1上，所以1DED S ∆＝12×1×1＝12.又因为点F 在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以1D EDF V -＝1F DED V -＝13×1DED S ∆×h＝13×12×1＝16. 方法二，使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点E 在点A 处，点F 在点C 处，则1D EDF V -＝1D ADC V -＝13×S △ADC ×DD 1＝13×12×1×1×1＝16.9．(1)证明：因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， 所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD . 又因为AB ∩AD ＝A ， 所以AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，如图D74，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD .图D74因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面． 又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ，平面BB 1D 1D ∩A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD .于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ，可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1，又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)解：如图D74，因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1＝S 正方形A 2B 2C 2D 2＋S 四个侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(cm 2)． 又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以S 2＝S 正方形A 1B 1C 1D 1＋S 四个侧面梯形＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h 等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋20)132－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1220－102＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元) .第3讲 点、直线、平面之间的位置关系 1．C 2.C 3.A 4.D5．C 解析：如图D75，连接AD ，取AD 中点G ，连接MG ，NG ，显然M ，N ，G 不共线，则MG ＋NG >MN ，即MN <12()AC ＋BD .图D75 图D766．C 解析：如图D76，连接A 1B ，则有A 1B ∥CD 1， ∠A 1BE 就是异面直线BE 与CD 1所成的角，设AB ＝1，则A 1E ＝AE ＝1，∴BE ＝2，A 1B ＝ 5.由余弦定理可知：cos ∠A 1BE ＝2＋5－12 2×5＝31010.7．解：(1)如图D77，连接A 1B ，∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1B 1∥CB ，∴∠A 1CB (或其补角)是异面直线A 1C 与B 1C 1所成角． ∵四边形AA 1C 1C 与AA 1B 1B 都是边长为2的正方形， ∴|A 1C |＝|A 1B |＝2 2，△A 1CB 中根据余弦定理，得cos ∠A 1CB ＝8＋4－82×2 2×2＝24.(2)∵△ABC 的面积S △ABC ＝34×22＝3，高CC 1＝2， ∴正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC ×CC 1＝2 3， 而三棱锥C 1－ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1同底等高．∴三棱锥C 1－ABC 的体积为1C ABC V -＝13111ABC A B C V -＝233，∵1C ABC V -＝1C ABC V -，∴三棱锥C －ABC 1的体积为2 33.图D778．解：(1)如图D78，MN 与PQ 是异面直线．图D78在正方体中，PQ ∥NC ，则∠MNC 为MN 与PQ 所成角． 因为MN ＝NC ＝MC ，所以∠MNC ＝60°. 所以MN 与PQ 所成角的大小为60°.(2)设正方体棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3.而三棱锥M －NPQ 的体积与三棱锥N －PQM 的体积相等，且NP ⊥平面MPQ ，所以V N －PQM ＝13×12MP ×MQ ×NP ＝16a 3.所以三棱锥M －NPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6. 第4讲 直线、平面平行的判定与性质 1．D 2.B 3.D 4.D5．D 解析：选项A 中的直线m ，n 可能不相交；选项B 中直线n 可能在平面α内；选项C 中直线m ，n 的位置可能是平行、相交或异面．6. 2 解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C 与平面ABCD 的交线为AC ，所以EF ∥AC .又点E 为AD 的中点，所以EF 为△DAC 的中位线，所以EF ＝12AC .因为AB＝2，ABCD 为正方形，所以AC ＝2 2，所以EF ＝ 2.7.64cm 2解析：如图D79，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，易求S △ACE ＝64cm 2.图D798．①③④ 解析：对于①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且BC 为棱柱的一条侧棱，故①正确；对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确；③是正确的；④是正确的，由水的体积的不变性可证得．综上所述，正确命题的序号是①③④.9．证明：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体， 所以AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1,所以ABC 1D 1为平行四边形，所以BC 1∥AD 1. 显然BC 1不在平面D 1AC 上， 所以直线BC 1平行于平面DA 1C .直线BC 1到平面D 1AC 的距离，即为点B 到平面D 1AC 的距离，设为h ， 考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝13. 而△AD 1C 中，AC ＝D 1C ＝5，AD 1＝2，故1AD C S ∆＝32.所以V ＝13×32×h ＝13⇒h ＝23，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.10．证明：(1)如图D80，设BD 的中点为O ，连接OC ，OE ， 则由BC ＝CD ，知：CO ⊥BD .又CE ⊥BD ，EC ∩OC ＝C ，∴BD ⊥平面OCE .∴BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，∴BE ＝DE . (2)方法一，取AB 的中点为N ，连接MN ，DN . ∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE .又∵MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，∴MN ∥平面BEC . ∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB . 由∠BCD ＝120°，知：∠CBD ＝30°，∴∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，∴ND ∥BC . 又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，∴DN ∥平面BEC . 又MN ∩DN ＝N ，∴平面MND ∥平面BEC . 又DM ⊂平面MND ，故DM ∥平面BEC .图D80 图D81方法二，如图D81，延长AD ，BC 相交于点F ，连接EF .则CB ＝CD ，∠BCD ＝120°.∵△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，则∠AFB ＝30°，∴AB ＝12AF .又AB ＝AD ，∴D 是线段AF 的中点．连接DM ， 又由点M 是线段AE 的中点，知：DM ∥EF ，而DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，故DM ∥平面BEC . 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 1．B 2.D 3.B4．B 解析：如图D82，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，∵A 1D 与BC 1所成的角为π2，∴B 1C ⊥BC 1，∴长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体．取B 1D 1的中点M ，连接C 1M ，BM ，∴C 1M ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠C 1BM 为BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角．∵AB ＝BC ＝2，∴C 1M ＝2，BC 1＝2 2，∴sin ∠C 1BM ＝C 1M C 1B ＝12.故选B.图D825．C 解析：若a ，b ，c 换成平面α，β，γ，则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；若a ，b 换成平面α，β，则“α∥β且c ⊥α⇒c ⊥β”是真命题； 若b ，c 换成平面β，γ，则“a ∥β且a ⊥γ⇒β⊥γ”是真命题； 若a ，c 换成平面α，γ，则“b ∥α且α⊥γ⇒b ⊥γ”是假命题． 6．B 解析：方法一，取BC 中点E ，连接AE ，A 1E ， 过点A 作AF ⊥A 1E ，垂足为F . ∵A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥BC . ∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .∴BC ⊥平面AEA 1.∴BC ⊥AF . 又AF ⊥A 1E ，∴AF ⊥平面A 1BC .∴AF 的长即为所求点A 到平面A 1BC 的距离．∵AA 1＝1，AE ＝3，∴AF ＝32.方法二，1A ABC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝33.又∵A 1B ＝A 1C ＝ 5.在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2.∴1A BC S ∆＝12×2×2＝2.∴1A A BC V -＝13×1A BC S ∆·h ＝23h .∴23h ＝33，∴h ＝32.∴点A 到平面A 1BC 的距离为32.7.33解析：因为在正三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图D83)，此正方体内接于球，正方体的对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点．球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P －ABC 在平面ABC 上的高．已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P －ABC在平面ABC 上的高为2 33，所以球心到截面ABC 的距离为3－2 33＝33.图D838．证明：(1)∵PA ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 由平面和平面垂直的性质定理，可得PA ⊥底面ABCD .(2)∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BE ∥AD .又AD ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD 内，故有BE ∥平面PAD .(3)平行四边形ABED 中，由AB ⊥AD 可得，ABED 为矩形，故有BE ⊥CD . 由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AB ， 再由AB ⊥AD 可得AB ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，故有CD ⊥PD .再由E ，F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF ∥PD ， ∴CD ⊥EF .而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线， 故有CD ⊥平面BEF .由于CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .9．(1)证明：(i)因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面ADD 1A 1， 所以C 1B 1∥平面ADD 1A 1.又因为平面B 1C 1EF ∩平面ADD 1A 1＝EF ， 所以C 1B 1∥EF .所以A 1D 1∥EF .(ii)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥B 1C 1. 又因为BB 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 又因为BA 1⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BA 1. 在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，即tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22.即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F . 又因为B 1C 1∩B 1F ＝B 1， 所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .(2)解：设BA 1与B 1F 交点为H ，连接C 1H . 由(1)，知：B 1C 1∥EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角．在矩形ABB 1A 1中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46.在Rt △BHC 1中，BC 1＝2 5，BH ＝46，得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015， 所以BC 与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.。

2015高考数学一轮总复习课件：同步测试18 圆锥曲线的综合问题

2015高考数学一轮总复习课件：同步测试18 圆锥曲线的综合问题
2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步 测试卷
理科数学(十八 ) (圆锥曲线的综合问题 )
时间：60分钟 总分：100分
第一页，编辑于星期五：十三点 三分。
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．) 1．设椭圆mx22＋ny22＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物
第十页，编辑于星期五：十三点 三分。
9．若函数 f(x)＝loga(3x－2)＋1(a>0，a≠1)的图象 过定点 P，点 Q 在曲线 x2－y－2＝0 上运动，则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是___y___2_x_2___2_x______．
【解析】函数 f(x)＝loga(3x－2)＋1 (a>0，a≠1)的 图象过定点 P(1，1)，设 M(x，y)，Q(x0，y0)，点 M 为 线段 PQ 的中点，则 x0＝2x－1，y0＝2y－1，又 y0＝x02 －2，∴2y－1＝(2x－1)2－2，化简得 y＝2x2－2x 即为 M 的轨迹方程．
2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(－1，3)，若点 C 满足O→C＝λO→A＋(1－λ)O→B， 其中 λ∈R，则点 C 的轨迹是( A )
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
【解析】由已知，得O→C－O→B＝λ(O→A－O→B)⇒B→C＝ λB→A⇒A，B，C 三点共线，所以 C 点在直线 AB 上．
△AFK＝12|KF|y＝12×8×8＝32.
第十二页，编辑于星期五：十三点 三分。
三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16 分)如图，已知点 A(－1，0)，B(1，0)，动 点 M 的轨迹曲线 C 满足∠AMB＝2θ，|A→M|·|B→M|cos2

2015届高三文科数学二轮复习专题六第三讲 圆锥曲线的综合问题

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轨迹问题
轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几 何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能 力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．
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第一部分 专题六 第三讲 第二十四页，编辑于星期五：九点 四十七分。
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【例1】 (2014·广东卷)已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
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第一部分 专题六 第三讲 第十页，编辑于星期五：九点 四十七分。
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解析：依题意得准线为x＝－2，从而y2＝8x，F(2,0)，
设直线AB为y－3＝k(x＋2)，由题意
y－3＝kx＋2 y2＝8x
联立Δ
＝0，又因交点在第一象限，所以k>0，解得k＝
1 2
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第一部分 专题六 第三讲 第十七页，编辑于星期五：九点 四十七分。
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由点P在椭圆上得点P27，172， 此时直线PA1的斜率k＝34. 数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是38，34.
答案：B
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第一部分 专题六 第三讲 第十八页，编辑于星期五：九点 四十七分。
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第一部分 专题六 第三讲 第四页，编辑于星期五：九点 四十七分。
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知识梳理 追根求源
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2015届高考数学(新课标)二轮复习课件 专题五第17讲 圆锥曲线的综合问题

2015届高考数学(新课标)二轮复习课件 专题五第17讲 圆锥曲线的综合问题
第17讲 圆锥曲线的综合问题
第一页，编辑于星期五：十点 二十四分。
1．考题展望 有关圆锥曲线的最值问题、参变量范围问题、探究性问 题和实际应用问题充分体现了数形结合思想，函数与方程思 想．主要考查转化化归能力、推理论证能力、运算求解能力 以及创新意识和应用意识，是高考命题的常见题型和基本问 题．可以预测2015年的高考命题，有关解析几何的综合性问 题仍将是轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、参变量范 围问题、探究性问题以及应用性问题和恒等证明问题中的两 个或三个问题组合构建而成．
此时所以满足条件的点N的坐标为0，± 22， 综上，存在点N－ 32，± 614或0，± 22，使得△FMN为 等腰三角形．
【点评】本题是一个条件探索型问题，要注意分类讨论．
第二十一页，编辑于星期五：十点 二十四分。
4．应用性问题
例4 学校科技小组在计算机上模拟航
天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天
2．对于求曲线方程中参数的取值范围问题，应根据题 设条件及曲线的几何性质(曲线的范围、对称性、位置关系 等)构造参数满足的不等式，通过解不等式(组)求得参数的取 值范围，或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域求 解．
3．存在性问题一般采用“假设反证法”或“假设验证 法”来解决．另外，有一种重要思维方式是解决本类问题的 重要方法，即：先用特殊情况或特殊位置得到所求的值，再 进行一般性证明．
第十四页，编辑于星期五：十点 二十四分。
【解析】(1)由题意知，点P的轨迹E是以F1(－2，0)，
F2(2，0)为焦点的双曲线的右支． 设双曲线标准方程为xa22－by22＝1.
由题意得，c2＝a2＋b2＝4，2a＝2，a＝1.
∴b2＝c2－a2＝3，
故轨迹E的方程为x2－y32＝1(x≥1)．

2015高考数学一轮课件：10-5圆锥曲线的综合问题

2015高考数学一轮课件：10-5圆锥曲线的综合问题

b2 a2.
又yx11－ －yx22＝0－3－－11＝21，∴ba22＝21，a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2 ＝18，b2＝9.所求方程为1x82 ＋y92＝1，故选D.
答案：D
第十四页，编辑于星期五：十三点 八分。
5．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为
F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的
整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0， ∵l0与椭圆E相切， ∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0， 整理得(2－x20)k2＋2x0y0k－(y20－3)＝0， 设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2， 则k1k2＝－y202－－x320. ∵点P在圆O上，∴x20＋y20＝5， ∴k1k2＝－5－2－x02－ x20 3＝－1. ∴两条切线斜率之积为常数－1.
第七页，编辑于星期五：十三点 八分。
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为 Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交 ；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥 曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与 双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若C为抛物线，则直线l与 抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 ．
第五节 圆锥曲线的综合问题
第一页，编辑于星期五：十三点 八分。
第二页，编辑于星期五：十三点 八分。
考点 综合问题
考纲要求
了解解析几何的基本思 想和用坐标研究几何问 题的基本方法；将几何 问题化归为代数问题； 用方程的观点实现几何 与代数问题的转化

2015届高考理科数学二轮复习专题课件 2-6-3 第21讲 圆锥曲线中的综合问题

2015届高考理科数学二轮复习专题课件 2-6-3 第21讲 圆锥曲线中的综合问题

记 忆
B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
提 能 专 训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义] 第二部分 专题六 第3讲 第20页 第二十页，编辑于星期五：十点 二十八分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－
基 础
1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点，
础
记 忆
②定义法：满足的条件恰适合某已知பைடு நூலகம்线的定义，用待定
提
系数法求方程；
能 专
训
③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联
热 点
系；
盘
点
④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动
直线交点的轨迹．
[二轮备考讲义] 第二部分 专题六 第3讲 第12页 第十二页，编辑于星期五：十点 二十八分。
经检验，k＝－83符合题意，
提
故直线l的方程为y＝－83(x－1)．
能 专 训
热
解法二：若设直线l的方程为x＝my＋1
点
盘 点
一．
(m≠0)，比照解法
[二轮备考讲义] 第二部分 专题六 第3讲 第24页 第二十四页，编辑于星期五：十点 二十八分。
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
3．(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学（理）
圆锥曲线的综合问题包括：轨迹问题、探索性问题、定点与
基 定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直
础
记 忆
线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合
提
运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、 能
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专题四 圆锥曲线的综合及应用问题
1．过(2,2)点且与曲线x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0相交所得弦长为2 3的直线方程是( )
A ．3x －4y ＋2＝0
B ．3x －4y ＋2＝0或x ＝2
C ．3x －4y ＋2＝0或y ＝2
D ．x ＝2或y ＝2
2．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )
A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．3 3．已知双曲线x 2－y 23
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )
A ．－2
B ．－8116
C ．1
D ．0 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率e 的值是( )
A.54
B.52
C.32
D.54
5．已知双曲线的方程是5x 2－4y 2＝20，填充下列各题：
(1)顶点坐标是__________；
(2)焦点坐标是__________；
(3)渐近线方程是__________；
(4)离心率是 .
6．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2
k －1
＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；
②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52
. 其中所有正确命题的序号为________．
7．(2011年北京)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12
a 2. 其中正确结论的序号是________．
8．(2012年广东肇庆一模)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .
(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；
(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程；
(3)试探究轨迹Q 上是否存在点B (x 1，y 1)，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形
的面积等于12
.若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．(2012年广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23
，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A ，B ，且△AOB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△AOB 的面积；若不存在，请说明理由．。

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