人教A版高中数学选修2-1课件2.3.1双曲线及其标准方程(2)
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高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共17张PPT)
9
例2 已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 2 PF2 ,
则cosF1PF2 ________
变1：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，F1PF2 60,
则△F1PF2的面积为_________.
变2：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 • PF2 0,
F1(c,0), F2 (c,0)
F1(0, c), F2 (0,c)
c2 a2 b2
练习：
1.若a＝2，一个焦点为(4，0)，则该双曲线的标准方程为________.
2.双曲线 x2 y2 1的焦距为10，则m _________. 9m
3.已知椭圆
x2 a2
y2 4
1与双曲线
x2 9
2.3.1双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线. 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.
虽然我们有缘，能够生在同一个平面. 然而我们又无缘，漫漫长路无交点.
为何看不见，等式成立要条件. 难道正如书上说的，无限接近不能达到.
为何看不见，明月也有阴晴圆缺. 此时古难全，但愿千里共婵娟.
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF1| -|MF2|=-2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面两条合起来叫Βιβλιοθήκη 双曲线双曲线的定义把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于
y2 3
1有相同的焦点，则
a
例2 已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 2 PF2 ,
则cosF1PF2 ________
变1：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，F1PF2 60,
则△F1PF2的面积为_________.
变2：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 • PF2 0,
F1(c,0), F2 (c,0)
F1(0, c), F2 (0,c)
c2 a2 b2
练习：
1.若a＝2，一个焦点为(4，0)，则该双曲线的标准方程为________.
2.双曲线 x2 y2 1的焦距为10，则m _________. 9m
3.已知椭圆
x2 a2
y2 4
1与双曲线
x2 9
2.3.1双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线. 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.
虽然我们有缘，能够生在同一个平面. 然而我们又无缘，漫漫长路无交点.
为何看不见，等式成立要条件. 难道正如书上说的，无限接近不能达到.
为何看不见，明月也有阴晴圆缺. 此时古难全，但愿千里共婵娟.
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF1| -|MF2|=-2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面两条合起来叫Βιβλιοθήκη 双曲线双曲线的定义把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于
y2 3
1有相同的焦点，则
a
人教版A版高中数学选修2-1双曲线及其标准方程_优秀课件2
y
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
M
F1
o
F2
x
y
y=4/x
o
x
复习引入
椭圆的定义
差
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
M
F1
F2
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 ห้องสมุดไป่ตู้ a2 b2
如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 漫漫长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到 为何看不见 明月也有阴晴圆缺 此事古难全 但愿千里共婵娟
双曲线标准方程推导
求曲线方程的步骤：
y
1.建系
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 点为原点建立直角坐标系
2.设点
F1 O F2 x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a
4.化简
.
解： a 6, c 10 b2 c2 a2 64
所以双曲线的标准方程为：
当焦点在x轴上时
x2 y2 1 36 64
当焦点在y轴上时
人教版高中数学选修2-1---第二章---2.3.1-双曲线及其标准方程ppt课件
a2＋b2＝6， 则有25 4 2 － 2＝1， b a
2 a ＝5， 解得 2 b ＝1，
x2 故双曲线的标准方程为 －y2＝1. 答案：A 5
x2 y2 2．求与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
x2 y2 解：法一：设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由题意易求得 c＝2 5. 3 22 4 又双曲线过点(3 2，2)，∴ a2 －b2＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
y2 x2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 3 52 4 2 a2 －b2＝1， ∵P1，P2 在双曲线上，∴ 4 72 2 3 4 ＝1， 2－ b2 a 1 1 a2＝9， 解得 1 1 ＝ ， b2 16
即 a2＝9，b2＝16.
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16
法二：∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以 45 4m＋ 4 n＝1， 16×7m＋16n＝1， 9 1 m＝－16， 解得 n＝1. 9
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16
M，M满足什么条件？
提示：|MB|－|MA|＝1 020.
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 点的轨迹叫做双曲线．这 做双曲线的焦距． 两焦点间的距离 差的绝对值 等于常数 (小于|F1F2|)的 两个定点 叫
叫做双曲线的焦点，
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，
2 a ＝5， 解得 2 b ＝1，
x2 故双曲线的标准方程为 －y2＝1. 答案：A 5
x2 y2 2．求与双曲线16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
x2 y2 解：法一：设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由题意易求得 c＝2 5. 3 22 4 又双曲线过点(3 2，2)，∴ a2 －b2＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1.
y2 x2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 3 52 4 2 a2 －b2＝1， ∵P1，P2 在双曲线上，∴ 4 72 2 3 4 ＝1， 2－ b2 a 1 1 a2＝9， 解得 1 1 ＝ ， b2 16
即 a2＝9，b2＝16.
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16
法二：∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以 45 4m＋ 4 n＝1， 16×7m＋16n＝1， 9 1 m＝－16， 解得 n＝1. 9
y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16
M，M满足什么条件？
提示：|MB|－|MA|＝1 020.
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 点的轨迹叫做双曲线．这 做双曲线的焦距． 两焦点间的距离 差的绝对值 等于常数 (小于|F1F2|)的 两个定点 叫
叫做双曲线的焦点，
在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，
高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸 点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时 间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸 点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是 炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位 置呢?
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
运用定义及现成的模型思考,这是一 个相当不错的思考方向.
课本P55——练习1T、2T 、3T 课本P61——习题2.3A组1T、2T.
x2 y2 1 ( x 3)
9 16
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) .
9 16
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，求m
2m m1
的取值范围. 解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.1双曲线及其标准方程》课件
__________________
(0,-c),(0,c) _____________
a2+b2 2 c =_____
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间 距离)的点的轨迹是双曲线.( ) )
2 2 x y (2)在双曲线标准方程 2 2 1 中，a＞0，b＞0且a≠b.( a b
【变式训练】(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为
(- 2 ,0),( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为
.
【解题指南】利用双曲线的几何性质求出a,b,c,进而求出C
的方程.
【解析】由焦点坐标可得c= 2 且焦点在x轴上,由顶点坐标
(1,0)知a=1,
所以b2=c2-a2=2-1=1,
2.对双曲线标准方程的三点说明 (1)标准方程中两个参数a和b,是双曲线的定形条件,确定了其 值,方程也即确定.并且有b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标
准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为
正,则焦点在y轴上.
(3)双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(m·n<0).
【知识拓展】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较
椭 圆 双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
a2-c2=b2
x 2 y2 2 1 2 a b y2 x 2 2 1 2 a b
|MF1|-|MF2|=〒2a
c2-a2=b2
因为a=4,c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9.
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 1. 16 9 2 2 x y ②若所求的双曲线标准方程为 2 2 1 (a＞0,b＞0), a b 2 2 x y 则将a=4代入得 2 1. 16 b
2018年高中数学人教A版选修2-1： 2.3.1 双曲线及其标准方程 (21张)2
M
F1
o
F2
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1
2019年4月29日
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4
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5
F
1
O
F
2
x
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a 即|MF1| - |MF2|=±2a
即
2019年4月29日
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
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4.化简
( x c ) y ( x c ) y 2a
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
20
2
2
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c a b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆
双曲线
定义 MF1 MF2 2a F1 F2 MF1 MF2 2a F1 F2 方程
16 9
2 2 9 y 16 x 144 的焦点在 2、双曲线
x
y
轴？ 轴？
15
3、双曲线 x 15 y 15 的焦点在
2 2
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例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
F1
o
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3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a 即|MF1| - |MF2|=±2a
即
2019年4月29日
( x c) y ( x c) y 2a
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4.化简
( x c ) y ( x c ) y 2a
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
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y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
20
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c a b
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双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆
双曲线
定义 MF1 MF2 2a F1 F2 MF1 MF2 2a F1 F2 方程
16 9
2 2 9 y 16 x 144 的焦点在 2、双曲线
x
y
轴？ 轴？
15
3、双曲线 x 15 y 15 的焦点在
2 2
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例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
【人教A版】高中选修2-1数学：2.3.1-双曲线及其标准方程-教学课件
解得ba22＝＝91，6，
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双曲线方程.
解答
待定系数法求方程的步骤
反思与感悟
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
④利用公式 S△PF1F2 ＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 求得面积.
(2)方法二：
利用公式 S△PF1F2 ＝12×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积.
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义 条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间 的关系.
题型探究
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题 例 1 已知双曲线x92－1y62 ＝1 的左，右焦点分别是 F1，F2，若双曲线上一 点 P 使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积. 解答
引申探究 本例中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解答
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c＝ 6 ，经过点A(－5，2)，焦点在x轴上； 解答
设双曲线标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∵c＝ 6，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 由题意知2a52 －b42＝1，∴2a52 －6－4 a2＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍). ∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为x52－y2＝1.
知识点二 双曲线的标准方程
思考1
双曲线的标准方程的推导过程是什么？ 答案
新人教A版(选修2-1)2.3.1《双曲线及其标准方程》ppt课件
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线
3.双曲线的标准方程
1.段建F系1F.2的以如中F何1点,F求2为所这原在优点的美建直的立线曲直为线角X的轴坐方，标程线？ 系
2.设点．设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5) 利用定义得2a= ||MF1|－|MF2|| (3)a=4,过点(1, 4 10)
3
分类讨论
(4)焦点在x轴上，且过P(-
2,-
3)，Q(
15 3
,
2).
由题可设双曲线的方程为：mx2 ny2 1(m 0, n 0)
(4)变式：过P(-
F1
3.列式．|MF1| - |MF2|= 2a
y
M
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
高中数学(人教A版选修2-1)课件：2-3-1 双曲线及其标准方程
栏目 导引
第一章
三角函数
(2)∵焦点在x轴上，c＝ 6， x2 y2 ∴设所求双曲线的方程为 λ － ＝1(0＜λ＜6). 6－λ ∵双曲线过点(－5,2)， 25 4 ∴ λ － ＝1， 6－λ 解得λ＝5或λ＝30(舍去)， x2 2 ∴所求双曲线的方程为 5 －y ＝1.
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第一章
三角函数
第一章
三角函数
阶 段 一
阶 段 三
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
阶 段 二 学 业 分 层 测 评
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第一章
三角函数
1.了解双曲线的定义及焦距的概念. 2.了解双曲线的几何图形、标准方程.(重点) 3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程.(重点)
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第一章
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三角函数
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第一章
三角函数
求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出 |PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出 1 |PF1|· |PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝2×|PF1|· |PF2|sin∠F1PF2求得面积. 1 (2)利用公式S△PF1F2＝2×|F1F2|×|yP|求得面积.
三角函数
[基础· 初探] 教材整理1 双曲线的定义 阅读教材P52～P53“探究”以上部分，完成下列问题. 把平面内与两个定点F1，F2距离的________等于非零常数(小于|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________叫做双曲线的焦 距.
【答案】 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离
人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程课件
则m的取值范围____m______2___.
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距
离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、 B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
第十八页，编辑于星期日：六点 十五分。
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 3 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测
点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试
确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距
离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、 B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
第十八页，编辑于星期日：六点 十五分。
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 3 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测
点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试
确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
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高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.3.2 双曲线及其标准方程
第二课时
知识回顾
1.双曲线的定义及方程; 2.椭圆与双曲线的比较.
定义 图象
双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 y2 1 a2 b2
(0,
4k)
.
4. 双曲线 2x2 y2 k 的焦距是6，则k= 6 .
5. 若方程
|
x2 k | 2
y2 5k
1
表示双曲线，求实数k的
取值范围. -2<k<2或k>5
1.用待定系数法求双曲线标准方程: (1)确定焦点位置,若不能确定,应分类讨论 (2)若过两点,无法判断焦点位置,这时可设为
| PF1 | | PF2 | 2 15.
巩固练习
1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 y 轴上 的 双曲线 .
2. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线，则k (-1, 1) .
பைடு நூலகம்3. 双曲线
x2 k
y2 4
1
的焦点坐标是
若上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范 围?。
解: 2+m<0, m+1<0
变题:若条件为方程表示双曲线, m的取值范围又为何？ 解: (2+m)(m+1)>0
例2、已知双曲线
x2 9
y2 16
1上一点
P
到
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点
的距离为 3或15 .
思考：
思考：
若把距离9改为3， 则现在有几解？
若把距离9改为7， 则现在有几解？
例3 k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1
所表示的曲线是
（
)
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
解：原方程化为： y 2
x2
1
k 2 1 1 k
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、
B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点可能位于以A、B为
焦点的双曲线右支上
（2）如图，建立直角坐标系xOy， 使 A、B两点在x轴上，并且点O与 线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
y
P B
即2a=680,a=340.2c=800,c=400
mX2+nY2=1 (mn<0)
2.用定义法求双曲线标准方程的要注意 何时为双曲线一支,何时为双曲线两支.
例5.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比
在B处晚2s.
(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求
曲线方程.
P
A
B
思 考 如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点应 在什么样的曲线上?
例5.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线方程.
想，可能会看的更清楚。
例4.变式：
已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点 P1, P2
坐标分别为 (3, 4 2), (9 ,5) ，求双曲线的标准方程。 4
结论
法1. 运用待定系数法分类讨论求解. 法2.已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点 位置时,可不讨论用待定系数法直接设方程 为
mx2+ny2=1(mn<0) 避免讨论.
∵ k>1 ∴ k2-1> 0 1+k> 0
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选（B）
例4.已知双曲线的焦点在y轴上,并且两点P1 (3, 4 2 ) 、
P2 (9/4 ,5)在双曲线上，求双曲线的标准方程。
解:由题意可设双曲线方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
把点P1,P2坐标代入得
(4 2)2
a2
9 b2
1
25
a
2
(9 )2 4 b2
1
a2 16 b2 9
y2 x2
所以所求双曲线的标准方程为 16 9
待定系数法
1
说明：本题只要解得 a2 , b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a, b 的值；在求解的过程中也可以用换元思
b2=c2－a2=44400
PA PB 680 0,
AO
x
所求双曲线的方程为：
x2 y2 1 (x≥340)(x>0也可)
115600 44400
练习:证明椭圆
x2
y2
1
与双曲线
25 9
x2-15y2=15的焦点相同.
变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F1,F2,求|PF1|. 分析: |PF1|+|PF2|=10,
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
例1 、
x2 2
m
y2 m
1
1
表示焦点在x轴上的双曲线,
求m的取值范围.
略解： 2+m>0, m+1>0
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2.3.2 双曲线及其标准方程
第二课时
知识回顾
1.双曲线的定义及方程; 2.椭圆与双曲线的比较.
定义 图象
双曲线定义及标准方程
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 y2 1 a2 b2
(0,
4k)
.
4. 双曲线 2x2 y2 k 的焦距是6，则k= 6 .
5. 若方程
|
x2 k | 2
y2 5k
1
表示双曲线，求实数k的
取值范围. -2<k<2或k>5
1.用待定系数法求双曲线标准方程: (1)确定焦点位置,若不能确定,应分类讨论 (2)若过两点,无法判断焦点位置,这时可设为
| PF1 | | PF2 | 2 15.
巩固练习
1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 y 轴上 的 双曲线 .
2. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线，则k (-1, 1) .
பைடு நூலகம்3. 双曲线
x2 k
y2 4
1
的焦点坐标是
若上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范 围?。
解: 2+m<0, m+1<0
变题:若条件为方程表示双曲线, m的取值范围又为何？ 解: (2+m)(m+1)>0
例2、已知双曲线
x2 9
y2 16
1上一点
P
到
双曲线的一个焦点的距离为9，则它到另一个焦点
的距离为 3或15 .
思考：
思考：
若把距离9改为3， 则现在有几解？
若把距离9改为7， 则现在有几解？
例3 k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1
所表示的曲线是
（
)
A、焦点在x轴上的椭圆 B、焦点在y轴上的双曲线
C、焦点在y轴上的椭圆 D、焦点在x轴上的双曲线
解：原方程化为： y 2
x2
1
k 2 1 1 k
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、
B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点可能位于以A、B为
焦点的双曲线右支上
（2）如图，建立直角坐标系xOy， 使 A、B两点在x轴上，并且点O与 线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
y
P B
即2a=680,a=340.2c=800,c=400
mX2+nY2=1 (mn<0)
2.用定义法求双曲线标准方程的要注意 何时为双曲线一支,何时为双曲线两支.
例5.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比
在B处晚2s.
(1)爆炸点应在什么样的曲线上?
(2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求
曲线方程.
P
A
B
思 考 如果A,B两处同时听到爆炸声,那么爆炸点应 在什么样的曲线上?
例5.一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340m/s,求曲线方程.
想，可能会看的更清楚。
例4.变式：
已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点 P1, P2
坐标分别为 (3, 4 2), (9 ,5) ，求双曲线的标准方程。 4
结论
法1. 运用待定系数法分类讨论求解. 法2.已知双曲线过两点,而又不能确定其焦点 位置时,可不讨论用待定系数法直接设方程 为
mx2+ny2=1(mn<0) 避免讨论.
∵ k>1 ∴ k2-1> 0 1+k> 0
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选（B）
例4.已知双曲线的焦点在y轴上,并且两点P1 (3, 4 2 ) 、
P2 (9/4 ,5)在双曲线上，求双曲线的标准方程。
解:由题意可设双曲线方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
把点P1,P2坐标代入得
(4 2)2
a2
9 b2
1
25
a
2
(9 )2 4 b2
1
a2 16 b2 9
y2 x2
所以所求双曲线的标准方程为 16 9
待定系数法
1
说明：本题只要解得 a2 , b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a, b 的值；在求解的过程中也可以用换元思
b2=c2－a2=44400
PA PB 680 0,
AO
x
所求双曲线的方程为：
x2 y2 1 (x≥340)(x>0也可)
115600 44400
练习:证明椭圆
x2
y2
1
与双曲线
25 9
x2-15y2=15的焦点相同.
变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F1,F2,求|PF1|. 分析: |PF1|+|PF2|=10,
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
例1 、
x2 2
m
y2 m
1
1
表示焦点在x轴上的双曲线,
求m的取值范围.
略解： 2+m>0, m+1>0