5.7 频率特性和时域性能指标的关系
频域性能指标和时域性能指标的关系
5.7 频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。
常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。
虽然这些指标没有时域性能指标那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统，也有近似的关系。
5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。
图 5-80 二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为2222)()(nn n s s s X s Y ωξωω++= 其中ξ为阻尼比，n ω为无阻尼自然振荡频率。
令s j =ω代入上式，可得系统的闭环频率响应为:ja n nM j j X j Y e 2)1(1)()(22=+-=ωωξωωωω式中 M nn =-+1122222()()ωωξωω2212a r c t a n nn ωωωωξα--= 根据式(5-67)可知，当00707≤≤ξ.时，在谐振频率ωr 处，M 出现峰值ωωξr n =-122M r =-1212ξξ二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。
图 5-81 图5-80所示系统的闭环频率特性对于二阶系统，在012≤<ξ时，频率特性的谐振峰值M r 可以反映系统的阻尼系数ξ，而其谐振频率ωr 可以反映给定ξ对应的自然频率ωn ,从而也能反映响应速度。
这样就可把二阶系统闭环频率特性的M r 和ωr 当作性能指标用。
系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当ωω>r 时，闭环频率特性的幅值M 单调下降。
当闭环频率特性的幅值下降到707.021==M 时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分贝值以下3分贝时，对应的频率ωb 称为截止频率，又称带宽频率。
此时有b j M j M ωωω>-<3)0(lg 20)(lg 20对于0)0(lg 20=j M ，有b j M ωωω>-<3)(lg 20系统对频率高于ωb 的输入衰减很大，只允许频率低于ωb 的输入通过。
控制系统时域及频域性能指标的联系
控制系统时域与频域性能指标的联系经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。
时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。
这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。
如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。
频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。
此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。
在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。
系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。
一、系统的时域性能指标延迟时间t d阶跃响应第一次达到终值h(∞)的50%所需的时间上升时间t r阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间峰值时间tp阶跃响应越过终值h(∞)达到第一个峰值所需的时间调节时间ts阶跃响应到达并保持在终值h(∞)的±5%误差带内所需的最短时间超调量%σ 峰值h(tp)超出终值h(∞)的百分比，即%σ=()()()∞∞-h h h t p ⨯100%二、系统频率特性的性能指标采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。
1、零频振幅比M(0)：即ω为0时闭环幅频特性值。
它反映了系统 的稳态精度， M(0)越接近于1，系统的精度越高。
M(0)≠1时，表明系统有稳态误差。
2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A(ω)的最大值。
自动控制原理：第5章 频域分析法 (2)
自动控制原理
12
1. 典型环节频率特性的极坐标图
（1）比例环节。比例环节的幅频特性和相频特性都是常量， 分别等于K及0°，不随频率w 而变化。
（1）比例环节 比例环节的频率特性函数为
G (jw) =K∠0° （K >0） 由于幅值和相角都不随频率w变化，所以，对数幅频特性 是一条平行于横轴且纵坐标值为20lg|G(jw)|=20lgK(dB)的直线。 对数相频特性恒为0°。
自动控制原理
21
（2）积分环节和微分环节
1）积分环节 积分环节的传递函数为
配方后可得
(U K ) 2 V 2 ( K ) 2
2
2
所以，在复平面上G(jw)为一圆心在(K/2，0)点， 半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-∞w 0时，因为G(-jw)与G(jw)互为共轭关系，关于实 轴对称，即如上半圆所示。
自动控制原理
14
（4）一阶微分环节 （5）振荡环节
（6）延滞环节
自动控制原理
16
3.系统开环频率特性的极坐标图
系统的开环传递函数是由一系列典型环节组成的，因此， 系统的开环频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积，即
k
G( j) G1( j)G2 ( j)Gk ( j) Gi ( j)
i1
若写成极坐标形式，为
k
k
ji
G( j) Gi ( j) e i1
(4) 绘制对数幅频特性的其它渐近线； (5) 给出不同w值，计算对应的φi ，再进行代数相加， 画出系统的开环相频特性曲线。
自控理论 4-6频域指标与时域指标的关系
2 −40
ω
作业
4 - A -14、 4 -B - 4 、
K s(Ts + 1)
c(t)
例：已知最小相位系统的开环对数幅频特 性曲线，试求： 性曲线，试求：
L(ω)
(1) 开环传递函数 开环传递函数G(s)； ； (2) 剪切频率 ωc ； (3) 相角裕量 γ(ωc)； (4) r(t)=(1/4)t2 时的 ess 。
6 0
−40 −20 0.5
ωc
令 G ( jω c ) = 1,
解得
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
0 −1
(4 − 30)
(4 − 31)
求γ
2ζω n
ωc
将式(4-30)代入式 代入式(4-31)得 将式 代入式 得
求γ
γ = 180 + ϕ (ω c ) = tg
2.
r(t)
25 s( s + 6)
c(t)
ωn2 =25 得 ζ =0.6 ωn=5
2ζ = 59.2 0
γ = tg
−1
− 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1
ω c = ω n − 2ζ 2 + 4ζ 4 + 1 = 3.58
3.
Mr =
1 2ζ 1 − ζ
2
= 1.04
ω r = ω n 1 − 2ζ 2 = 2.65
结论
8 t sω c = tgγ
(4 − 36)
( 2) ω c与ζ、ω n 都有关,当ζ 一定，ω c ↑→ ω n ↑→ t s ↓ 一定，
自动控制理论填空题
1.凡是输入输出关系符合_______和齐次性的系统称之为线性系统。
2.叠加原理是线性系统的基本性质之一，对于非线性系统，叠加原理_____成立。
3.线性系统与非线性系统的本质区别是是否满足_______。
4.输入输出模型是对系统的外部描述，_______是这种描述的是最基本的形式，传递函数、框图、信号流图均是由它导出。
5.根轨迹法与频域法都是建立在_______基础上的，需用要根据其画出相应的图，进而进行分析。
6.控制理论有四个重要概念：动态、模型、互联和______，这四个概念是系统分析和设计的关键。
7.计算机网络IP协议采用开环控制，TCP协议则采用______控制。
8.自动控制系统主要由对象、检测单元、执行单元和________等四个基本部分构成。
9.控制理论把系统满足物理约束条件下的负载扰动抑制、测量噪声衰减、指令跟踪、系统结构及参数变化的不确定性问题，归结为求解反馈系统的稳定性、快速性、准确性和_______。
10.反馈是处理不确定性的工具，采用反馈控制，要使系统达到稳定性、_______、准确性、鲁棒性的要求。
11.________是处理不确定性的工具，采用反馈控制，要使系统达到稳定性、快速性、准确性、鲁棒性的要求。
12.灵敏度函数不但可以描述系统对于过程参数变化的鲁棒性，同时也刻画了闭环系统对于______的抑制性能。
13.灵敏度函数不但可以描述系统对于过程_______的鲁棒性，同时也刻画了闭环系统对于扰动的抑制性能。
)14.对于物理系统，由于系统的因果性，传递函数分母的阶次n总是_________分子的阶次m。
15.传递函数2(3)ss++的极点是________。
16.传递函数23(2)(3)ss++的零点是________。
17.传递函数5(3)ss s++的有限零点是________。
18.传递函数23ss++的有限极点是________。
19.线性系统渐近稳定的充要条件是其特征方程的所有根均位于_______。
自动控制原理-频率特性与系统性能的关系
A(ω)= ω
1
ω 2ζωn
第四节 频率特性与系统性能的关系
二阶系统的开环对数频率特性曲线
时域法中：
L(ω)/dB
σ%—系统的平稳性
-20dB/dec
ts —系统的快速性
0
ωc
Φ(ω)
2ξ ωn
ω
频域法中：
0
-40dB/dec
ω
ωc
-90
—系统的快速性 -180
第五章 频率特性法
第五节 频率特性与系统性能的关系
频率特性法是通过系统的开环频 率特性和闭环频率特性的频域性能指 标间接地表征系统瞬态响应的性能。
一、开环频率特性与系统性能的关系 二、闭环频率特性与时域指标的关系
第四节 频率特性与系统性能的关系
一 、开环频率特性与系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高 三个频段。
第四节 频率特性与系统性能的关系
（2）中频段的斜率与动态性能的关系 频段较Φ设(宽s系)=，统1可+G中G(近频s()s似)段=认斜1+为率ωSωS整2c为22c2个-=4曲0Sd2ω+线Bωc/2是dce2 c一，条且斜中 率为-40系dB统/d处ec的于直临线界。稳定状态。
开环传递函数：
L(ω)/dB
2. 中频段
穿越频率ωc附近的区段为中频段。它 反映了系统动态响应的平稳性和快速性。
（1）穿越频率ωc与动态性能的关系 设系统中频段斜率为20dB/dec且中频
段比较宽，如图所示。可近似认为整个曲 线是一条斜率为-20dB/dec的直线。
第四节 频率特性与系统性能的关系
中频段对数幅频特性曲线
开环传递函数：
G解对(设 ωj：tωt应g性1g：)-的(-1=11ωω的的ωω)变ωcjω3c2曲频关ω--3c化tt(g线=率系g1ω-ω范K-+111如3特。3jc(21围=ω==ω性图+73110j2ω8):ω～o(o12ω+) j2ωω,0可3L-)2(求ω0ωd)B1得//dd-ω4Be0:c2dBω/d-4ec0cdBω/d3ec ω
第五章 频率响应法3
C ( j ) C ( j ) R( j ) 1 G( j ) H ( j )
因此, 已知开环频率特性, 就可以求出系统的闭环
频率特性, 也就可以绘出闭环频率特性曲线。
这里介绍的是已知开环频率特性, 定性地估计闭环
频率特性。
设系统为单位反馈, 即H(jω)=1, 则
C ( j ) G ( j ) R( j ) 1 G( j )
为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一 般希望中频段位于开环对数幅频特性斜率为20dB/dec的线段上，且中频段要有足够的宽度；
高频段
高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频 段，高频段的形状主要影响时域响应的起始段 ；
系统开环对数幅频特性在高频段的幅值，直接
反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。
对应的频率范围, 也即0~ωb的频率范围。
带宽反映了系统对噪声的滤波特性, 同时也
反映了系统的响应速度。
带宽愈大, 系统复现快速变化信号的能力强、
失真小。即系统的快速性好，阶跃响应的上升
时间短，调节时间短。 反之, 带宽愈小, 只有较低频率的信号才易 通过, 则时域响应往往比较缓慢。
C (j ) Rn 2 ( n 2 ) 2 ( 2 n ) 2
d | G ( j ) | 0 得谐振频率ωr为 由 d
r n 1 2
2
(0≤ζ≤0.707)
则谐振峰值Mr为
M r | G( j ) |
1 2 1
2
(0≤ζ≤0.707)
＝0 .1 ＝0 .2 ＝0 .3 ＝0 .5 ＝0 .7 ＝1
1 0/ T
1 /T
由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比ζ有关，超调
控制工程(自动控制)第十八课 频率特性与时域指标
闭环频率特性主要性能指标
带宽频率ω 带宽频率ωb:当闭环幅频特性下降到频率为零时的分 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ω 贝值以下3分贝时,对应的频率称为带宽频率ωb . 频率范围(0,ωb)称为系统的带宽. 频率范围( 称为系统的带宽.
ω > ωb
20 lg Φ ( jω ) < 20 lg Φ ( j 0) 3
πζ / 1ζ 2
ζ =
1 1 1 2 Mr 2
π
2 M r M r 1 2 M r + M r 1
σ% = e
× 100%
ts =
3.5
ζωn
( = 0.05, 0 < ζ < 0.9)
因此,若知道频域指标中的任两个, 因此,若知道频域指标中的任两个,就可解算 从而求出时域指标.反之, 出ζ和ωn,从而求出时域指标.反之,给出时域指 标的任两个,就可确定闭环频域指标. 标的任两个,就可确定闭环频域指标.
高阶系统
1 Mr = ( 35 ° ≤ γ ≤ 90 ° ) sin γ σ = 0 . 16 + 0 . 4 ( M r 1) (1 ≤ M ts = kπ ≤ 1 .8 )
r
ωc
(1 ≤ M
r
k = 2 + 1 . 5 ( M r 1) + 2 . 5 ( M r 1) 2
≤ 1 .8 )
2 b 2 2 n
1 = 20 lg 2
ω jα ( ω ) Φ ( jw) = = M (ω )e 2 2 ( jω ) + 2ζω n ( jω ) + ωn
2 n
M (ω ) =
1
ωb2 2 ωb 2 [1 2 ] + [2ζ ] ωn ωn
频率特性和时域性能指标的关系
则频宽越大，调整时间越小。
T
二阶系统：
Gk ( j ) 开环频率特性为：
( j )(( j ) 2 2 n ( j )) n 2 j ( ) 闭环频率特性为： ( j ) A ( ) e 2 ( j ) 2 2 n ( j ) n
2018年11月4日星期 日 7
2018年11月4日星期 日
6
三、典型一阶系统和二阶系统的频率特性与瞬态性能指标的关系 一阶系统：
传递函数为： (s)
频域性能指标：
1 Ts 1
L( )
3dB
c
1 T
b log
1 A(0) 0.707,20 log A( b ) 3dB, 由频宽的定义知：A( b ) 2 1 ts 3T ( 5) 我们知道一阶惯性环节的调整时间是： b c
若将带宽定义在波德图上，则当 A( b )
20log A( b ) 20log
时，有：
图示如右：
1 3.01dB 2
3.01dB
c b
2018年11月4日星期 日
8
带宽的物理意义：因为 | Y ( j ) || X ( j ) | ，随着 , | A( j ) |,当 | A( j ) | 1 时，表示
在波德图上，低频渐进线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec) ，可求得 值；也可由 ( ) | 0 ， 求 。
2
开环放大系数k的求法有两种： ①低频渐进线为： L1 ( ) 20 log |
k
( j ) L1 (1) L1 (1) 20log k ，故： 当 1 时，有： k 10 20
傅里叶变换 时域频域单位关系
傅里叶变换是一种十分重要且广泛应用于信号处理、通信、图像处理等领域的数学工具。
它的出现和发展极大地推动了这些领域的发展，为我们理解和处理复杂的信号提供了重要的工具和方法。
在学习傅里叶变换过程中，我们经常会接触到时域和频域两个概念，并且它们之间的单位关系也是傅里叶变换中十分重要的内容之一。
本文将分别从时域和频域两个方面来探讨傅里叶变换中的单位关系，希望能够对读者有所帮助。
一、时域和频域的基本概念时域是指信号的幅度随时间变化的过程，通常用函数f(t)表示。
时域分析是对信号在时间上的变化进行分析和处理。
在时域中，我们可以观察到信号的波形、振幅、频率等信息。
频域是指信号的幅度随频率变化的过程，通常用函数F(ω)表示。
频域分析是对信号在频率上的成分进行分析和处理。
在频域中，我们可以观察到信号的频谱特性，包括频率成分、频率大小、相位等信息。
二、时域和频域的单位1. 时域的单位时域的单位通常用秒（s）表示。
在时域分析中，我们通常关注信号在不同时间点上的数值大小，因此时间的单位通常是秒。
2. 频域的单位频域的单位通常用赫兹（Hz）表示。
频率的单位是每秒钟的周期数，因此频率的单位通常是赫兹。
三、傅里叶变换中的单位关系傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
在傅里叶变换中，时域和频域之间的单位关系十分重要。
1. 时域信号和频域信号的单位对应关系在傅里叶变换中，时域信号的单位是秒（s），而频域信号的单位是赫兹（Hz）。
这两个单位之间的关系可以通过傅里叶变换的公式来描述：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
2. 周期信号的单位关系对于周期信号，其在时域上的周期T与频域上的频率f之间存在着特殊的单位关系。
根据傅里叶变换的定义，频域信号的单位是赫兹，而周期信号的频率单位通常用周期的倒数表示，即Hz = 1/T。
四、结论时域和频域是傅里叶变换中两个重要的概念，它们分别对应着信号在时间和频率上的变化特性。
自动控制原理7第七节频率特性和时域性能指标的关系
案例剖析：某型导弹控制系统设计优化
1. 调整控制器参数，改善系统频率特性。
2. 引入先进的控制算法，如自适应控制、鲁棒控 制等。
3. 对执行器和传感器进行改进，提高系统动态性 能。
优化效果：经过优化后，导弹控制系统的稳定性 和快速性得到了显著提高，超调量和稳态误差明 显减小。在实际飞行试验中，导弹的命中精度得 到了有效提升。
02 4. 对实验数据进行处理和分析，提取时域性能指 标。
03 5. 对比不同频率特性下的时域性能指标，分析它 们之间的关系。
数据采集、处理及结果展示
数据采集
使用高精度传感器采集系统响应数据，包括输出信号、误差信号等。
数据处理
对采集到的数据进行滤波、去噪等预处理操作，以提高数据质量。 然后，计算时域性能指标，如超调量、调节时间、稳态误差等。
05
实验验证与案例分析
实验设计思路及步骤介绍
实验设计思路及步骤介绍
01
步执行器、传感器等硬件设备 ，以及相应的软件系统。
03
2. 设计不同频率特性的控制器，如低通、高通、带通等，并 分别进行实验。
实验设计思路及步骤介绍
01 3. 对每个实验，施加相同的输入信号，并记录系 统响应数据。
高频段增益越大，系统的稳态误差越小。
稳态误差与带宽的关系
带宽越宽，系统的稳态误差越小。
04
典型系统频率特性和时域 性能指标关系探讨
一阶系统
频率特性
一阶系统的频率响应是单调的，没有谐振峰。其幅频特性随频率的增加而单调下降，相频特性则随频 率的增加而线性增加。
时域性能指标
一阶系统的主要时域指标包括上升时间、峰值时间和调节时间。这些指标与系统的阻尼比和自然频率 有关，阻尼比越小，上升时间和峰值时间越短，调节时间越长；自然频率越高，系统的响应速度越快 。
闭环频率特性曲线的绘制
5.7 闭环频率特性曲线的绘制反馈控制系统的性能，除了用其开环频率特性来估算外，也可以根据闭环频率特性来分析。
确定闭环频率特性有不同方法，下面仅讨论通过系统的开环频率特性来求闭环频率特性的图解法。
5.7.1 用向量法求闭环频率特性对于单位反馈系统，如果以幅值和相角形式表示开环频率特性()()()ϕωωω=j G j A e则闭环频率特性可以表示为：()()()()1()Φαωωω==ω+ωj G j j M G j e其中，闭环频率特性的幅值和相角可以分别表示为1122()12cos ()()11()()()G j M G j A A ωϕωωωωω−⎡⎤⎛⎞⎢⎥==++⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎢⎥⎣⎦（5-83） ()sin ()()arctan 1()cos ()()G j G j A =∠=++ωϕωαωωϕωω （5-84）在G 平面上，系统开环频率特性可用向量表示，如图5-57所示。
当频率1ωω=时，向量OA 表示)(1ωj G 。
向量PA 表示1)(1ωj G +。
因此，闭环频率特性)(1ωj Φ可由两个向量之比而求得：PAj =Φ)(1ω即有1()OAM PA ω=uuu r uuu r1()OA PA =∠−∠=−αωϕuuu r uuu rθ图5-57 开环频率特性与 闭环频率特性的向量关系可见，只要给出系统的开环幅相特性)(ωj G ，就可在∞=~0ω的范围内采用图解计算法逐点求出系统的闭环频率特性。
用这种方法求闭环频率特性，几何意义清晰，容易理解，但过程比较麻烦。
5.7.2 尼柯尔斯图线用开环频率特性求系统的闭环频率特性时，需要准确绘制出系统的开环幅相特性曲线)(ωj G ，这样做一般比较麻烦，因此希望通过开环对数频率特性来求闭环频率特性。
为查对方便和互相换算，将式（5-83）和式（5-84）的关系在对数幅相平面上绘制成标准图线，这就是尼柯尔斯图线，如图5-58所示。
尼柯尔斯图线由两簇曲线所组成。
控制系统的时域与频域特性分析
将时域信号转换为频域信号，通过分析频谱特性来了解信号的频率组成和变化规 律。
频域分析
通过分析系统的频率响应，了解系统在不同频率下的性能表现，有助于揭示系统 的内在特性。
控制系统设计中的时频转换
时频转换
在控制系统设计中，时频转换是一种 重要的技术手段，用于将时域特性与 频域特性相互转换，以便更好地进行 系统分析和设计。
VS
详细描述
时频联合分析结合了时域和频域分析的方 法，通过同时考虑系统的时域和频域特性 ，全面了解系统的动态特性和稳定性。例 如，对于一个控制系统，可以通过时频联 合分析计算系统的时频响应曲线，从而更 全面地评估系统的性能和稳定性。
06 结论
控制系统的时域与频域特性总结
稳定性
通过分析系统的极点和零点，可以判断系统 的稳定性。极点位于复平面的左半部分时， 系统不稳定；而零点同样影响稳定性，需要 综合考虑。
稳定性
系统在受到扰动后恢复平衡状态 的能力，分为稳定、临界稳定和 不稳定三种状态。
阶跃响应与冲激响应
阶跃响应
系统在阶跃输入信号下的动态行为， 反映系统的动态性能和调节能力。
冲激响应
系统在冲激输入信号下的动态行为， 用于评估系统的暂态性能和稳态误差 。
时域性能指标
上升时间
系统输出从稳态值的 10%上升到90%所需的
快速性
系统的快速性主要通过调节时间常数实现， 时间常数小的系统响应速度快。
控制系统的时域与频域特性总结
• 准确性：系统的准确性由最大误差决定，可通过优化系统 参数减小误差。
控制系统的时域与频域特性总结
带宽
带宽反映了系统对不同频率信号的响应能力，带 宽越大，系统对高频信号的响应越好。
5.7闭环系统的频率特性
三、等相角轨迹（等N圆）
2020年4月13日
F( jw ) P jQ
1 P jQ
tg1 Q tg1 Q
P
1 P
设
tg=N N
tg(tg1 Q P
tg1 Q ) 1 P
Q P2 P Q2
整理可得
(P 1)2 (Q 1 )2 1 ( 1 )2
(w) F( jw) G( jw) 1 G( jw)
R(s) 1
H (s)
C(s) G(s)H (s)
-
对于非单位反馈系统，闭环系统的频率特性F(jw)
F( jw )
G( jw )
1
G( jw)H ( jw) 1
GK
( jw
2
)
1 G( jw )H ( jw ) H ( jw ) 1 G( jw )H ( jw ) H ( jw ) 1 GK ( jw )
震荡频率wn。
tp
wn
1z 2
wd
z
d % e 1z 2 100%
ts
4
zw3 n
，当Δ ，当Δ
2时 5时
zwn
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
⒊ 对高阶系统，如果有主导极点存在，也可利用上述公 式进行计算。
16
（二） 频域性能指标
⑴开环频率特性性能指标
① 幅值稳定裕度 Kg(Lg) 系统开环相频特性为－180°时，系统开环频率特性幅值的
的频率 wb 称为带宽频率。频率范围 w [0, wb ] 称为
系统带宽。
（三） 频率特性的重要性质
⒈ 频率尺度与时间尺度的反比关系
若有两个系统的频率特性F1(jw)和F2(jw)有如下关系
自动控制原理及其应用试卷与答案
⾃动控制原理及其应⽤试卷与答案21.⼀线性系统，当输⼊是单位脉冲函数时，其输出象函数与传递函数相同。
22.输⼊信号和反馈信号之间的⽐较结果称为偏差。
23.对于最⼩相位系统⼀般只要知道系统的开环幅频特性就可以判断其稳定性。
24.设⼀阶系统的传递G(s)=7/(s+2)，其阶跃响应曲线在t=0处的切线斜率为 2 。
25.当输⼊为正弦函数时，频率特性G(j ω)与传递函数G(s)的关系为 s=jω。
26.机械结构动柔度的倒数称为动刚度。
27.当乃⽒图逆时针从第⼆象限越过负实轴到第三象限去时称为正穿越。
28.⼆阶系统对加速度信号响应的稳态误差为 1/K 。
即不能跟踪加速度信号。
29.根轨迹法是通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹。
30.若要求系统的快速性好，则闭环极点应距虚轴越远越好。
21.对控制系统的⾸要要求是系统具有 .稳定性。
22.在驱动⼒矩⼀定的条件下，机电系统的转动惯量越⼩，其 .加速性能越好。
23.某典型环节的传递函数是21)(+=s s G ，则系统的时间常数是 0.5 。
24.延迟环节不改变系统的幅频特性，仅使相频特性发⽣变化。
25.⼆阶系统当输⼊为单位斜坡函数时，其响应的稳态误差恒为 2ζ/n 。
26.反馈控制原理是检测偏差并纠正偏差的原理。
27.已知超前校正装置的传递函数为132.012)(++=s s s G c ，其最⼤超前⾓所对应的频率=m ω 1.25 。
28.在扰动作⽤点与偏差信号之间加上积分环节能使静态误差降为0。
29.超前校正主要是⽤于改善稳定性和快速性。
30.⼀般讲系统的加速度误差指输⼊是静态位置误差系数所引起的输出位置上的误差。
21.“经典控制理论”的内容是以传递函数为基础的。
22.控制系统线性化过程中，变量的偏移越⼩，则线性化的精度越⾼。
23.某典型环节的传递函数是21)(+=s s G ，则系统的时间常数是 0.5 。
24.延迟环节不改变系统的幅频特性，仅使相频特性发⽣变化。
§ 5-7 频域响应和时域响应之间的关系
6
三、谐振频率 r 及系统带宽与时域性能指标的关系
由§5—2中的式（5-39）知，二阶系 统的谐振频率 r 与无阻尼自然振荡频率 n和阻尼 比之间的关系为
p%
r n 1 2 2
在第三章，介绍了二阶系统的峰值时间 t p 及过渡过程时间 t s 与阻尼比 之间的关系, 它们分别是
式中 C (t )为系统的被控信号，
控制信号的频率特性。一般情况下，直接应用式（5—159）求解高阶系统的 时域响应是很困难的。在第三章和第四章我们介绍了主导极点的概念，对于 具有一对主导极点的高阶系统，可用等效的二阶系统来表示，在这种情况下， 可以利用前面介绍的方法对高阶系统进行分析。实践证明，只要满足主导极
C ( j ) G ( j ) R( j ) 1 G ( j )
即
G0 ( j ) KG0 ( j ) C ( j ) ( j ) v G0 ( j ) ( j ) v KG0 ( j ) R ( j ) 1 K ( j ) v K
（5－139）
由此得到系统闭环幅频特性的零频值是
5.8.1 用MATLAB绘制频率响应图
本节介绍如何用MATLAB来绘制Bode图，再次讨论频率性能指 标与时域性能的联系，并举例说明频域内的控制系统设计。
本节介绍的MATLAB函数有bode函数和 logspace函数。其中， bode函数用于绘制Bode图， logspace函数用于生成频率点数据 是按照数的相等间隔生成的。在这些频率点上，计算机将根据 Bode图的需要，进行相应的计算。 尽管在控制系统的分析与设计中可以用MATLAB绘制出精 确的Bode图，但我们只能将它视为辅助工具。在学习过程中， 培养手工绘制Bode图的能力才是最基础，最重要的工作，勤于 动手才能深入理解和掌握控制系统的理论和方法。
频率特性与时域响应的关系
0 < ξ ≤ 0.707
2
σ % = e
ξ
σ%
Mr
1弦输
入信号响应的平稳性
（2） γ 与 σ% 的关系
G( jω)H( jω) =
ωn ( jω)[( jω) + 2ζωn )
2
| G( jωc )H( jωc ) |=1
ωc = ωn
4ξ 2 +1 − 2ξ 2
（二）闭环频率特性性能指标 （1）零频振幅比 M(0) （2）相对谐振峰值 Mr （3）谐振频率 ωr （4）闭环频带宽度 ωb
M (dB)
M
r
M0
0.707 M 0
0
ωr
ωb
ω
二、频率域特性指标与时域瞬态指标的关系 1、频域描述与时域描述的反比性质 设两系统的关系为：
G2 (s) = G1 (αs)
ν
20lg k
ω0
1
四、系统Bode图中频段、高频段分析 （1）中频段： Bode图中幅频特性曲线 在截止频率 ωc 附近的区段。可粗略认 为0dB线上下15dB范围内的频率段。
10 G(S) = S(0.5S +1)
100(0.2S +1) G(S) = 2 S (0.02S +1)
L(ω)
10 G(S) = S(0.5S +1)
ωn2
(ωn −ω2 )2 + (2ζωnω)2
2
ωb = ωn 1− 2ζ + 2 − 4ζ + 4ζ
ts = 3
4
ξωn
ωbts =
3
ξ
1− 2ζ + 2 − 4ζ + 4ζ
2 2
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2020年4月10日星期
五
6
三、典型一阶系统和二阶系统的频率特性与瞬态性能指标的关系
一阶系统： 传递函数为：(s) 1
Ts 1
L( )
3dB
c
1 T
b log
频域性能指标：
由频b 宽的c 定T1义知：A(我b们) 知1道2 一A(0阶) 惯 0性.70环7 ,节20的log调A整(时bt)s间是33Td：(B, 5)
在波德图上，低频渐进线的斜率 和 的关系如下：
由
20 (dB / Dec) ，可求得
值；也可由() |0
，
2
求
。
开环放大系数k的求法有两种：
①低频渐进线为：L1() 20 log |
k
( j)
| 20 log k 20 log
L1 (1)
当 1时，有：L1(1) 20 log k ，故：k 10 20
2
出衰减了0.707倍或-3分贝。 再增加，输出衰减得更厉害，这时
对实际系统来说，已不能正常使用了。
在实际应用中，一般用c （或略大一些）来估计 b。显
然这种估计是偏于保守的。
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五
9
幅值A()与 n 的关系：
0.1
0.2
A( )
0.5 0.707
n
2020年4月10日星期 五
低频渐进线斜率=-20v 20 log k L1(1) L1()
1
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五
3
②当 1时，k也可由L1() 与横轴的交点0 来求。
20log k
0
1
当 0时，L(0 ) 0 ，有：
0 20log k 20 log0,k 0
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五
4
二、频域性能指标
（一）、开环频率特性性能指标
谐振频率，谐振峰值
对A() 求导并令等于零，
可解得 A() 的极值 p 。
p n 1 2 2
称为谐振峰值频率。
可见，当 1 0.707
2
时， p
0 。当
1 2
时，无谐振峰值。当
1 时，有谐振峰
值。 2
M p A( p ) 2
1
1 2
10
小结
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五
11
则频宽越大，调整时间越小。
二阶系统：
开环频率特性为：Gk ( j
闭环频率特性为：( j)
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)
(
n2
(
j)((
j ) 2
n2
2
n
(
j)2 2 n ( j) n
j ))
2 A(
)e
j
(
)
五
7
频域性能指标主要有相位稳定裕度（开环指标）和频宽、谐振
峰值（闭环指标）。
幅频特性为：A()
第七节 频率特性和时域性能指标的 关系
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五
1
主要内容
通过频率特性曲线获得稳态性能指标 频率域性能指标 频率域特性指标与时域瞬态指标的关系
2020年4月10日星期五 Nhomakorabea2
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 （即积分
环节的个数）和开环放大系数k的话，则可求得系统的稳态误差。 （见第三章第六节 稳态误差分析）
3.01dB
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五
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带宽的物理意义：因为 | A( j) || Y ( j) |，当| A( j) | 1 时，表示
X ( j)
| Y ( j) || X ( j) | ，随着 ,| A( j) |,当| A( j) | 1 时，表示
| Y ( j) |
1
2
| X ( j) | 0.707 | X ( j) |,即20 log | A( j) | 3.01dB ，输
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5
（二）、闭环频率特性性能指标
常用的有下列两项：
谐振峰值M P ：系统闭环频率特性幅值的最大值。
系统带宽和带宽频率： 设 M j 为系统的闭环频率特性， 当幅频特性 M j 下降到 2 M 0 时，对应的频率b 称为带宽
频率。频率范围 [0, b ]2 称为系统带宽。
幅值稳定裕度
系统开环相频特性为 180时，系统开环频率特性幅值的倒
数定义为幅值稳定裕度。所对应的频率 称为相角穿越频率。
即
L
hA2(01 lgg)，A(满 足)。
(
) 180 。实际中常用对数幅值稳定裕度
相角稳定裕度 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角
与180 之和定义为相角稳定裕度，所对应的频率 称为系统截 止频率或幅值穿越频率。即 180 ( ) ， 满足 A( ) 1
n2
(n2 2 )2 (2 n )2
由带宽的定义知当 A() 1 A(0) 1 时的频率b为带宽频率。得：
2
2
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
若将带宽定义在波德图上，则当 A(b )
20 log A(b ) 20 log
1 3.01dB 2
图示如右：
1 时，有：
2
c b