(白)力学习题课

解 圆盘与玩具汽车组成的系统角动量守恒， 得到方程
O
v
J10 ( J1 J 2 )
J10 ( J1 J 2 )
圆盘转动惯量为 J1
1 m1 R2 2
车在t时刻位于距轴r 处时的转动惯量为
R v 0
J 2 m2 r 2 m2 (vt )2
R v 0
圆盘在0→t时间间隔内的角位移为：q dt
2 2 例1。一质点在平面上运动，已知其位置矢量表达式为 r at i bt j
（a,b为常数）则该质点作
（2012年考题）
x y a b
选（C)
(A)抛物线运动；(B)匀速直线运动；(C)变速直线运动；(D)一般曲线运动。 分析：
x at
2
y bt
2
例2。一质点同时在几个力的作用下的位移为 r 5i 6 j [SI] 其中一个力是恒力 F 4i 5 j 9k [SI].
O
解 (1)将杆与圆环视为一个系统， 它对O点的转动惯量为
JO 1 34 2 m( 2r )2 mr 2 m( r 2r )2 mr 3 3
q
(2)确定质心的位置。系统质心距O点的距离为 mr m 3r rc 2r mm 系统受到重力和轴给予的作用力。根据刚体定轴转动定律得
圆盘在0→t时间间隔转动的圈数N为
5 N [圈] 2π 2
q
m2 g T2 m2a2
对于大、小圆柱体组成的系统，根据转动定律， 以水平向右为正向，得到方程
1 1 2 2 T2 R2 T1 R1 ( M 1 R1 M 2 R2 ) 2 2
因为绳子均不打滑，故加速度值为a1、a2与柱体的角加速度β 间 满足方程 a1 a2

R1

R2
( m 2 R2 m1 R1 ) g M1 2 M2 2 m1 R1 m2 R2 2 2
联立以上四个方程解得
例6。如图所示，长度为2 r的匀质细杆的一端与半径为r的圆环固连 在一起，它们可绕过杆的另外一端O点的水平轴在竖直面内转动， 设杆和圆环的质量均为m。使杆处于水平位置，
然后由静止释放该系统，让它在竖直面内转动，求： （1）系统对过O点水平轴的转动惯量； （2）杆与竖直线成θ角时，系统的角加速度与系统质心的 切向加速度。
(2)确定质心的位置。系统质心距O点的距离为 34 2 mr m 3r J mr O rc 2r 3 mm 系统受到重力和轴给予的作用力。根据刚体定轴转动定律得
2mg( 2r sinq ) wk.baidu.comJ O
解得杆与竖直线成θ角时，系统的角加速度为
6 g sin q 17r
O
q
T1 M1 O M2 O′ m1 m2 T2
+
m1 m2 m1g m2g
(a)
(b)
(c)
解 被绳子悬挂的两物体m1 、m2受力情况如图（b）、（c） 所示。设它们的加速度值为a1、a2，应用牛顿第二定律得到方程：
T1 m1 g m1a1
m2 g T2 m2a2
T1 m1 g m1a1
J10 dt J1 J 2
1 J1 m1 R2 2
J 2 m2 r m2 (vt )
2
R v 0
2
0
o
r
v
q dt
v 0
R
J10 dt J1 J 2
1
20 1 将已知条件代入上式得：q dt 20arctg t 0 5π 2 0 1 t
(2) dr / dt vr (4) dv / dt a
位置矢量 r 长度变化的速度

例4。 一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮半径为R,质量为M/4, 均匀分布在其边缘上,绳子的A端有一质量为M 的人抓住了绳, 而绳的另一端B系了一质量为1/2 M 的重物,如图,设人从静 止开始相对于绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求 B端重物上升的加速度.(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于 轮面的轴的转动惯量J=MR2/4). 解： 人的加速度是多少？
0
M k R 4 2kR 2 1 J m mR2 2
2kR 2 2kR 2 d dt dq m m 0 0 0
m 0 q 2kR 2
转盘停止前的转数
m 0 q N 2 4k 2 R 2
q
q
例8。质量为m1半径为R水平圆盘绕竖直轴以角速度 0转动。圆盘上 有一质量为m2玩具汽车 从t = 0时刻沿它的一条半径由中心向边缘行驶，如图所示。 现将玩具汽车视为质点，且它相对于圆盘的速率v恒定。 已知m1=2kg, m2=1kg, R=1m, 0 =20rad∙s-1,v =1m∙s-1， 求: 玩具汽车行至圆盘边缘时, 圆盘转了多少圈?
则此力在该位移过程中所做的功为 (A)50J；(B)10J；(C)25J；(D)75J。 分析：
（2012年考题）
选（B)
A F r
A 4 5 5 6 9 0 10J
a t 表示切向加速 例3。一质点作曲线运动， r 表示位置矢量， s 表示路程， 度，下列表达式中，
故系统质心的切向加速度为
6g 12g sin q act r 2r sin q 17r 17
例7.如图，半径为R、质量为 m的匀质薄圆盘，以初角速度ω0 绕着 通过盘心的固定竖直光滑轴在空气中转动。设空气对圆盘表面单位 面积摩擦力f正比于该处速率v，即f=kv (k为常数)。 求：（1）t时刻圆盘角速度为ω时受到的空气阻力矩为多大？ （2）转盘停止前的转数？（2012年考题） 解 （1）在圆盘上取如图所示的面积元， 其面积为dS= rdθdr。 该面元上下所受空气阻力对转轴的力矩为
Mg T2 Ma 1 1 T1 Mg Ma 2 2 1 T2 R T1 R MR 2 4 a R

O
T2
a
A
T2
T1
T1
B
2 a g 7
a
Mg
1 Mg 2
例5。两个固定在一起的同轴圆柱体可绕它们的轴 OO 转动。两个 柱体上均绕有绳子，分别与质量为m1、m2的物体相连，如图1（a） 所示。设小圆柱体和大圆柱体的半径分别为R1、R2，两者的质量 为M1、M2。将m1、m2两物体释放后，m2下落，且绳子均不打滑。 求柱体的角加速度。
(1) dv / dt a ； (3) ds / dt v ； (A)只有（1）、（4）是对的； (B)只有（2）、（4）是对的； (C)只有（2）是对的； (D)只有（3）是对的； 分析： 选（D) (2) dr / dt v ;

(4) dv / dt at 。
(1) dv / dt at
圆盘
dM 2rfdS 2rkvrdqdr 2kr 3dqdr
圆盘上各质元所受的力矩方向相同， 所以整个圆盘受到的空气摩擦力矩的大小为
r
O
dθ
θ dr
M dM 2k dθ r 3dr k R4
0 0
2π
R
（2）由转动定律求得
d 2kR 2 dt m