2016_2017学年广州市中山纪念中学、广州六中珠江中学八下期中数学试卷

2016_2017学年广州市中山纪念中学、广州六中珠江中学八下期中数学试卷
一、选择题（共10小题；共50分）
1.
2x−1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A. x≥1
2B. x≥−1
2
C. x>1
2
D. x≠1
2
2. 如果最简二次根式3a−8与17−2a能够合并，那么a的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是
A. 4，5，6
B. 6，8，11
C. 1，1，2
D. 5，12，23
4. △ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90∘，AC=30米，AB=50米，
如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金
A. 600a元
B. 50a元
C. 1200a元
D. 1500a元
5. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c下列命题中的假命题是
A. 如果∠C−∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B. 如果c2=b2−a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90∘
C. 如果c+a c−a=b2，则△ABC是直角三角形
D. 如果∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形
6. 能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是
A. AB∥CD，AD=BC
B. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AB=CD，AD=BC
D. AB=AD，CB=CD
7. 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，AB=5，BC=3，则EC的长
为
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 3
8. 四边形的四边顺次为a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+cd，则这个四边形一定
是
A. 对角线互相垂直的四边形
B. 两组对角分别相等的四边形
C. 平行四边形
D. 对角线长相等的四边形
9. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停
止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到
A. 点N处
B. 点P处
C. 点Q处
D. 点M处
10. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，
那么CH的长是
2 D. 2
A. 2.5
B.
C. 3
2
二、填空题（共6小题；共30分）
= ______．
11. 化简：
5
12. 如图，△ABC中，D为BC上一点，且BD=3，DC=AB=5，AD=4，则AC= ______．
13. 若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm和12 cm，那么此直角三角形斜边上的中线长是
______ cm．
14. 菱形的周长为20 cm，一条对角线长为8 cm，则菱形的面积为______ cm2．
15. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，AE是△ABC外角的平分线，DE∥AB交
AE于点E，则四边形ADCE的形状是______．
16. 在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，
E，F分别是垂足，那么PE+PF= ______．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. （1）+2−−；
（2）25−52× −25−52−5−22．
18. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
19. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B运动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300 km和400 km，又AB=500 km，以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗?为什么?
（2）若台风的速度为20 km/h，台风影响该海港持续的时间有多长?
20. 为了迎接深圳第26届大运会，小明在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，
已知自行车离家的距离s km与时间t h之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）小明骑自行车离家的最远距离是 ______ km；
（2）小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是______ km/h，最慢的车速______ km/h；
（3）途中小明共休息了 ______ 次，共休息了 ______ 小时；
（4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是 ______ km/h．
21. 已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，
得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是______，证明你的结论；
（2）当四边形ABCD的对角线满足______ 条件时，四边形EFGH是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?______
（3）当四边形ABCD的对角线满足______ 条件时，四边形EFGH是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形?
22. 已知x=
3−2，求 x−1
x
2
+4− x+1
x
2
−4的值．
23. 如图，四边形ABCD中，已知AB=CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分
别交射线FE于P，Q两点．求证：∠BPF=∠CQF．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60 cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以
4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速
运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s0< t≤15．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．
25. 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G
为DF的中点，连接EG，CG．如图①所示．
（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45∘，如图②所示，取DF的中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中结论是否仍然成立?
答案
第一部分
1. C
2. D
3. C
4. A
5. B
6. C
7. C
8. A
9. C 10. B
第二部分
11. 5
5
12. 41
13. 341
2
14. 24
15. 矩形
16. 60
13
第三部分
17. （1）
8+23−27−2 =22+23−33+2 =32−3;
（2）
25−52× −25−52−5−22 =50−20−5−210+2
=50−20−7+210
=23+210.
18. ∵∠1+∠B+∠ACB=180∘，∠2+∠D+∠CAD=180∘，∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19. （1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，如图1，
∵AC=300 km，BC=400 km，AB=500 km，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC
2=CD×AB
2
，
∴300×400=500×CD，
∴CD=300×400
500
=240km，
∵以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．
（2） 如图 2， AB 上有两点 E ，F ， 满足 CE =CF =250 km ，
则当台风中心运动到 EF 中间（包括 E ，F 两点）时，正好影响海港 C ， ∵ED = EC 2−CD 2=70 km ， ∴EF =140 km ，
∵ 台风的速度为 20 km/h ， ∴140÷20=7（小时），
即台风影响该海港持续的时间为 7 小时． 20. （1） 35 （2） 20；10 （3） 2；1.5 （4） 17.5
21. （1） 平行四边形； 证明：连接 AC ，
∵ 在 △ABC 中，点 E ，F 分别是 AB ，BC 的中点， 即 EF 为 △ABC 的中位线， ∴EF ∥AC 且 EF =1
2AC ． 同理可证：
HG ∥AC 且 HG =12AC ，
∴EF ∥HG 且 EF =HG ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形． （2） AC ⊥BD ；菱形 （3） AC =BD ；矩形
22. 原式= x +1x 2
− x −1
x 2
= x +1x − x −1x ,
因为 x =
3−2
= 3+ 2，
所以 1x
= 3− 2， 所以
原式= + + − − + − +
=2 3−2 2.
23. 如图，连接 BD ，取 BD 的中点 M ，连接 EM ，FM ． E 是 AD 的中点，
所以在 △ABD 中，EM ∥AB ，EM =1
2AB ， 所以 ∠MEF =∠P ．
同理可证：FM ∥CD ，FM =1
2CD ．
所以∠MFQ=∠CQF，
因为AB=CD，
所以EM=FM，
所以∠MEF=∠MFE，
所以∠BPF=∠CQF．
24. （1）∵在Rt△ABC中，∠C=90∘−∠A=30∘，
∴AB=1
2AC=1
2
×60=30 cm．
∵CD=4t，AE=2t，
又∵在Rt△CDF中，∠C=30∘，
∴DF=1
2
CD=2t．
∴DF=AE．
（2）能．
∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60−4t=2t，解得t=10．
∴当t=10时，四边形AEFD是菱形．
（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：
（i）如图①，
∠EDF=90∘时，DE∥BC，则AD=2AE，即60−4t=2×2t，解得t=15
2
．（ii）如图②，
∠DEF=90∘时，DE⊥AC，则AE=2AD，即2t=260−4t，解得t=12．
综上所述，当t=15
2
或12时，△DEF为直角三角形．
25. （1）在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴CG=1
2
FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=1
2
FD，
∴CG=EG；
∵点G是DF的中点，
∴DG=GF=1
2
DF，
∴GC=GD=GE=GF，
∴C，D，E，F都在以点G为圆心，GC为半径的圆上，
∴∠EGC=2∠BDC=90∘，
∴EG⊥CG．
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
延长CG至点M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，如图所示：
∵点G是DF的中点，
∴DG=GF．
在△DCG与△FMG中，
DG=FG,
∠CGD=∠MGF,
CG=MG,
∴△DCG≌△FMG SAS，
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，AB∥CD，
∴MF∥CD∥AB，MF=CB，∠DBA=45∘，
∵FE⊥AB，
∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF⊥MF，BE=EF，
在Rt△MFE与Rt△CBE中，
MF=CB,
∠MFE=∠CBE,
EF=EB,
∴△MFE≌△CBE SAS，
∴∠MEF=∠CEB，CE=EM，
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90∘，
∴△MEC为等腰直角三角形，
∵MG=CG，
CM=CG．
∴EG⊥CG，EG=1
2
（3）（1）中的结论仍然成立．。