高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的三角函数学案北师大版必修4

§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式2．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意α∈R ，总有cos 2α＝1－2cos 2α.( ) (3)对任意α∈R ，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )(4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.( ) 【解析】 (1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错． (2)cos 2α＝2cos 2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋k π2(k ∈Z )时，有tan 2α＝2tan α1－tan 2α，所以(3)错． (4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tan α2的值． 【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2.【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63. ∴tan α＝sin αcos α＝－ 2.∵α为第四象限角，∴α2是第二或第四象限的角， ∴tan α2<0.由tan α＝2tanα21－tan2α2，得tan α2＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：66470073】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－173×13＝－179，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717.化简：(1)＋3cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】 (1)先把切化弦，再用二倍角公式化简． (2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2，1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2，∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题] 2．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α ＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？ 【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝ ±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值． 【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题] 3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：66470074】A ．－13B ．－23C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13. 【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306. 【答案】 －3064.已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ＝________.【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118.【答案】11185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝tan θ. 【证明】 左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos 2θ＋cos θ＝sin θθ＋cos θθ＋＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。