《三角形》、《命题和证明》、《轴对称和等腰三角形》
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】
八年级等腰三角形数学教案【优秀6篇】作为一名专为他人授业解惑的人民教师，总归要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
来参考自己需要的教案吧！小编为您精心收集了6篇《八年级等腰三角形数学教案》，如果能帮助到您，小编将不胜荣幸。
等腰三角形篇一9.3章等腰三角形教案（一）、温故知新，激发情趣：1、轴对称图形的有关概念，什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
(首先教师提问了解前置知识掌握情况，学生动脑思考、口答。
)(二) 、构设悬念，创设情境：3、一般三角形有哪些特征？（三条边、三个内角、高、中线、角平分线）4、等腰三角形除具有一般三角形的特征外，还有那些特殊特征？(把问题3作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。
问题4给学生留下悬念。
)（三）、目标导向，自然引入：本节课我们一起研究——9.3 等腰三角形(板书课题) 9.3 等腰三角形(了解本节课的学习内容)(四)、设问质疑，探究尝试：结合问题4请同学们拿出准备好的不同规格的等腰三角形，与教师一起演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，引导学生观察实验现象。
[问题]通过观察，你发现了什么结论？（让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的特征）[结论]等腰三角形的两个底角相等。
（板书学生发现的结论）等腰三角形特征1：等腰三角形的两个底角相等在△ ABC中，△AB=AC（）△△B=△C（）[方法]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。
例1：已知：在△ABC中，AB=AC,△B＝80°，求△C和△A的度数。
〔学生思考，教师分析，板书〕练习思考：课本P84 练习2（等腰三角形的底角可以是直角或钝角吗？为什么？）〔继续观察实验纸片图形〕（以下内容学生可能在前面实验中就会提出）[问题]纸片中的等腰三角形的对称轴可能是我们以前学习过的什么线？（通过设问、质疑、小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学问题的能力）[引导学生观察]折痕AD是等腰三角形的对称轴，AD可能还是等腰三角形的什么线？[学生发现]AD是等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高。
2-5 等腰三角形的轴对称性2021-2022学年八年级数学上册讲义(苏科版)(解析版)
第2章轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课程标准课标解读1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．1.理解等腰三角形是轴对称图形2.掌握等边对等角的性质3.掌握“三线合一”的性质知识点01 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C 是底角．【微点拨】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .1802A︒-∠目标导航知识精讲【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长10cm ，则它的周长是（ ） A ．20cm B ．25cmC ．20cm 或25cmD ．无法确定【答案】B 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ． 故选：B ．知识点02 等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【即学即练2】2．如图，ABC 面积为9，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，连结CP ，则BPC △的面积为（ ）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.5【答案】B 【分析】延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得△ABP△△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ，推出S△PBC=12S△ABC ． 【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△BP 平分△ABC ， △△ABP=△EBP ， △AP△BP ，△△APB=△EPB=90°， 在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP BP BPAPB EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABP△△EBP （ASA ）， △AP=PE ，△S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ， △S△PBC=12S△ABC=12×9=4.5， 故选：B ．知识点03 等腰三角形的判定1. 对应顶点，对应边，对应角定义如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【微点拨】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【即学即练3】3．如图，ABC 中，,BF CF 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作//DE BC 交AB于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：△DFB DBF ∠=∠；△ECF EFC ∠=∠；△ADE 的周长等于BFC △的周长；△1902BFC A ∠=︒+∠．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】C 【分析】△根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF DFB ∠=∠；△同理可得△的结论；△用特殊值法，当ABC ∆为等边三角形时，连接AF ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF AF CF ==，进而得BF CF AC +>，便可得出；ADE ∆的周长不等于BFC ∆的周长；△利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC ∠和BAC ∠之间的关系式． 【详解】 解：△BF 是ABC ∠的角平分线，ABF CBF ∴∠=∠，又//DE BC ，CBF DFB ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，故△正确；△同理ECF EFC ∠=∠，故△正确；△假设ABC ∆为等边三角形，则AB AB BC ==，如图，连接AF ，D BF D FB ∠=∠，ECF EFC ∠=∠，BD DF ∴=，EF EC =，ADE ∴∆的周长AD DF EF AE AD BD AE EC AB AC =+++=+++=+， F 是ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF 平分BAC ∠， ABC ∆为等边三角形，60BAC BCA ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30FAB FBA FAC FCA ∴∠=∠=∠=∠=︒， FA FB FC ∴==， FA FC AC +>， FB FC AC ∴+>，FB FC BC BC AC ∴++>+， FB FC BC AB AC ∴++>+，即BFC ∆的周长AD E >∆的周长，故△错误；△在ABC ∆中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（1）， 在BFC ∆中180CFB FBC FCB ∠+∠+∠=︒， 即1118022CFB ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（2），（2）2⨯-（1）得1902BFC BAC ∠=︒+∠，故△正确；故选C ．考法01 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．【典例1】如图所示，OB 平分,CBA OC ∠平分ACB ∠，且//BC MN ，设18,16,12AB BC AC ===，则AMN 的周长为（ ）A ．30B ．33C ．36D ．39【答案】A 【分析】能力拓展根据BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ，且MN△BC ，可得出MO=MB ，NO=NC ，所以三角形AMN 的周长是AB+AC ． 【详解】解：△BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ， △△MBO=△OBC ，△OCN=△OCB ， △MN△BC ，△△MOB=△OBC ，△NOC=△OCB ， △△MBO=△MOB ，△NOC=△NCO ， △MO=MB ，NO=NC ， △AB=18，AC=12，△△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30． 故选：A ．考法02 等腰三角形的判定判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边） 【典例2】如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），在AB 同侧分别作等边ACD △和等边,BCE AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下四个结论：△EAB BDC ∠=∠；△CGH 为等边三角形；△60FGH FHG ∠+∠=︒；△AC DH =．其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE△△DCB ，就可以得出△CAE ＝△CDB ，通过证明△ACG△△DCH 就可以得出CG ＝CH ，AG=DH ，可以得出△GCH 是等边三角形，再判断AC 与DH 的大小关系，求出△DFG=△GCA=60°，利用外角定理即可得到60FGH FHG ∠+∠=︒． 【详解】△△ACD 和△BCE 是等边三角形，△AD ＝AC ＝CD ，CE ＝CB ＝BE ，△ACD ＝△BCE ＝60°． △△ACB ＝180°， △△DCE ＝60°． △△DCE ＝△BCE ．△△ACD ＋△DCE ＝△BCE ＋△DCE ， △△ACE ＝△DCB ．在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE△△DCB （SAS ）， △CAE CDB ∠=∠即EAB BDC ∠=∠，△正确；在△ACG 和△DCH 中，60ACG DCH AC DC CAG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ACG△△DCH （ASA ）， △GC=HC,AG=DH 又△GCH=60°，△CGH 为等边三角形，△正确； 又AC≠AG ，△DH≠AC ，△错误；△△GAC+△ACG+△AGC=180°，△GDF+△DFG+△DGF=180° 又△AGC=△DGF ，△GAC=△GDF △△DFG=△ACG=60°又△DFG=FGH FHG ∠+∠， △60FGH FHG ∠+∠=︒，△正确； 故选A ．题组A 基础过关练1．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为6cm ，则腰长为（ ）分层提分A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对【答案】B【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】解：△当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；△当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为10cm．故答案为：B．2．等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），所以该三角形的周长是20 cm，故选：B．3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（）A．是等腰三角形B．三个角都相等C．三条边都相等D．只有一条对称轴【答案】D【分析】利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．【详解】解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；D 、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D ．4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ，则斜边的长为（ ） A ．8 cm B ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm【答案】A 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长． 【详解】解：△直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ， △斜边长为8cm ． 故选：A ．5．已知ABC ∆中，3,60,AC AB C ==∠=︒则ABC ∆的周长等于（ ）A B ．3 C ．6 D ．9【答案】D 【分析】判断ABC 为等边三角形即可求出其周长． 【详解】根据题意可知ABC 为等边三角形， △ABC 的三条边相等且等于3， △ABC 的周长为33=9⨯． 故选：D ．6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm 和3cm ．那么它的第三边的长是（ ） A ．3cm B ．4cmC ．7cmD ．3cm 或7cm【答案】C 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：若7cm 为等腰三角形的腰长， △3＋7＞7△3cm 、7cm 、7cm 能构成三角形，故符合题意； 若3cm 为等腰三角形的腰长， △3＋3＜7△3cm 、3cm 、7cm 不能构成三角形，故不符合题意； 综上：它的第三边的长是7cm 故选C ．7．若等腰三角形的一个角为100︒，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．50︒ B ．40︒C ．10︒D ．80︒【答案】A 【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出=40B ACB ∠=∠︒，由CD BD ⊥，可得90B BCD ∠+∠=︒，则BCD ∠可得．【详解】 如图：△等腰三角形的一个角为100°，△等腰三角形的顶角为100°，即100BAC ∠=︒， △△ABC 是等腰三角形， △AB=AC ，△=40B ACB ∠=∠︒， △CD BD ⊥, △90D ∠=︒， △90B BCD ∠+∠=︒,△90904050BCD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故选：A ．题组B 能力提升练1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．同位角相等，两直线平行 B ．等边三角形是锐角三角形 C ．若两个角是直角，则它们相等 D ．全等三角形的对应角相等【答案】A 【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】A 、逆命题：两直线平行，同位角相等， 此逆命题是真命题，此项符合题意；B 、逆命题：锐角三角形是等边三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意；C 、逆命题：若两个角相等，则它们是直角， 此逆命题是假命题，此项不符题意；D 、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意； 故选：A ．2．已知等边ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为（ ） A ．6 B ．9C ．3或6D ．3或9【答案】D 【分析】△E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，△当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，根据等边三角形的性质求出BE 长和60ABC ∠=︒，解直角三角形求出BF ，求出CF ，即可求出答案． 【详解】解：点E 在直线AB 上，6AE =，点E 位置有两种情况： △E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，633BE ∴=-=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1322BF BE ∴==， 39322CF ∴=+=， ED EC =，CF DF ∴=，9292CD ∴=⨯=；△如图2，当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，639BE ∴=+=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1922BF AE ∴==， 93322CF ∴=-=， ED EC =，CF DF ∴=，3232CD ∴=⨯=；C=或3，即9故选：D．3．下列命题是假命题的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；故选：D．4．下列命题中，假命题是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．5．等腰ABC中，过点B的直线BD分ABC为两个等腰三角形，则顶角为_____度．【答案】36°或1807或90°或108°【分析】根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，△△A=△ABD，△BDC=△C，则△C=△BDC=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+2△A+2△A=180°，△△A=36°；若AD=BD，BC=CD，△△A=△ABD，△CBD=△CDB，则△CDB=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+△A+2△A+3△A=180°，△△A=1807︒；若AD=BD ，AD=CD ， △△B=△C=△BAD=△CAD ， △△BAC+△ABC+△C=180°， △△BAD=△CAD=45°， △△BAC=90°；若AD=BD ，AC=CD ，△△B=△BAD ，△CAD=△CDA ，则△CDA=2△BAD ，△C=180°-2△CAD=180°-4△BAD ， △△B=△C ，△△BAD=180°-4△BAD ， △△BAD=36°，△△BAC=3△BAD=108°；故答案为：36°或1807︒或90°或108°． 6．已知在ABC 中，16C ∠=︒且为最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则B∠=_______︒【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，由题意可得：△DBC=△BDC=（180°-△C）÷2=82°，△△ABD=△BAD=12△BDC=41°，△△ABC=△ABD+△DBC=123°，△△ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD；如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：△DBC=△C=16°，△△ADB=2△C=32°，△△A=△ADB=32°，△ABD=180°-△A-△ADB=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=132°，符合最小的内角为△C=16°，如图，若BD=CD，AB=AD，则△C=△DBC=16°，△△ADB=△ABD=2△C=32°，△△A=180°-2×32°=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=48°；如图，若BD=CD，AD=BD，△△ADB=2△C=2△DBC=32°，△△A=△ABD=（180°-32°）÷2=74°，△△ABC=△ABD+△DBC=90°；若BD=BC，则△C=△CDB=16°，△△ADB=180°-△CDB=164°，则只能满足AD=BD，△△A=12△CDB=8°，即△A＜△C，不满足；综上：△ABC 的度数为123°或132°或90°或48°． 故答案为：123°或132°或90°或48°．7．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE ∠=︒，则线段AE 的最大值为___________．【答案】10 【分析】作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ，如图所示：△C 是BD 边的中点， △CB=CD=12BD=2， △点B 、点F 关于AC 对称，△CF=CB=2，AF=AB=3，△BCA=△FCA ． 同理CD=CG=2，ED=EG=5，△DCE=△GCE ， △CG=CF=2， △△ACE=120°，△△BCA+△DCE=180°-120°=60°． △△FCA+△GCE=60°． △△FCG=60°．△△FGC 是等边三角形． △FG=2，△AE≤AF+FG+EG=3+2+5=10，△当A 、F 、G 、E 共线时，AE 的值最大2，最大值为10， 故答案为：10．题组C 培优拔尖练1．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点P 是CA 延长线上一点，点O 在AD 延长线上，OP OB =，下面的结论：△30APO OBD ∠-∠=︒；△BPO △是正三角形；△AB AP AO -=；△2BOC AOBP S S =四边形△，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由题意易得OB=OC ，则有△OBD=△OCD ，△APO=△OCP ，进而根据角的关系可证△，然后可得△PBO=△PBA+△APO ，由三角形内角和可得△OPB=60°，可判断△，在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ，由此可得AP=PE=AE ，△APE=60°，进而可证△BPE△△OPA ，然后根据全等三角形的性质可判断△，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断△． 【详解】解：△AB AC =，AD BC ⊥，120BAC ∠=︒， △BD=DC ，△ACB=△ABC=30°， △OB=OC ， △△OBD=△OCD ， △OB=OP ， △OC=OP ， △△APO=△OCP ，△△OCP -△OCB=△ACB=30°，△30APO OBD ∠-∠=︒，故△正确； △OP=OB ， △△OPB=△PBO ，△△PBO=△PBA+△ABD+△OBC=△PBA+30°+△APO -30°， △△PBO=△PBA+△APO ，△在△ABC 中，△BAC+△ABC+△ACB=180°，即△OPB+△APO+△PBA+△ABC+△ACB=180°， △2△OPB+60°=180°， △△OPB=60°，△△BPO 是正三角形，故△正确；在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，如图所示：△△PAE=60°，△△PAE 是等边三角形， △AP=PE=AE ，△APE=60°，△△BPE=△APB -△APE ，△OPA=△APB -△BPO ， △△BPE=△OPA ， △OP=BP ，△△BPE△△OPA （SAS ）， △BE=AO ， △AB -BE=AE ， △AB -OA=AP ，△AB AP AO -=，故△正确；延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ， △△ABF 是等边三角形， △△ABF=60°，△△ABO+△OBF=60°，△ABO+△PBA=60°， △△PBA=△OBF ，△PB=OB ，AB=BF ， △△APB△△FOB （SAS ）， △AOBP S S =四边形△ABF ，如要证2BOC AOBP S S =四边形△，需证12OD AD =，由题意无法证明12OD AD =，故△错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接EN ，下列结论：△AFE ∆为等腰三角形；△DF DN =；△AN BF =；△EN NC ⊥．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】△由等腰直角三角形的性质得△BAD=△CAD=△C=45°，再根据三角形外角性质可得到△AEF=△AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对△进行判断；求出BD=AD ，△DBF=△DAN ，△BDF=△ADN ，证△DFB△△DAN ，即可判断△△；连接EN ，只要证明△ABE△△NBE ，即可推出△ENB=△EAB=90°，由此可知判断△． 【详解】解：△等腰Rt△ABC 中，△BAC=90°，AD△BC ， △△BAD=△CAD=△C=45°，BD=AD ， △BE 平分△ABC ， △△ABE=△CBE=12△ABC=22.5°， △△AEF=△CBE+△C=22.5°+45°=67.5°， △AFE=△FBA+△BAF=22.5°+45°=67.5°， △△AEF=△AFE ，△AF=AE ，即△AEF 为等腰三角形，所以△正确；△M 为EF 的中点， △AM△BE ，△△AMF=△AME=90°，△△DAN=90°−67.5°=22.5°=△MBN ， 在△FBD 和△NAD 中FBD NAD BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△FBD△△NAD （ASA ），△DF=DN ，AN=BF ，所以△△正确； △AM△EF ，△△BMA=△BMN=90°， △BM=BM ，△MBA=△MBN ， △△MBA△△MBN ， △AM=MN ，△BE 垂直平分线段AN ， △AB=BN ，EA=EN ， △BE=BE ， △△ABE△△NBE ， △△ENB=△EAB=90°， △EN△NC ，故△正确， 故选：D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分△ABC ，过点C 作CF △BF 于F 点，过A 作AD △BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：△BE ＝2CF ；△AD ＝DF ；△AD ＋DE =12BE ；△AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（ ）A ．只有△△△B ．只有△△C ．只有△△△D ．只有△△【答案】A 【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF 并交BA 延长线于H△证明△ABE△△ACH ，得到BE=CH ，又可证CH=2CF ，故可得BE ＝2CF△若要得到AD ＝DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明△DAF 为45°即可 △过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，EM MF =12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+===△过E 作EN BC ⊥于点N ，证明2AE AE EN AE EC AC =+<+=，得到22AB BC AE BC AE +>+>，即可证明△错误. 【详解】△延长BA 、CF ，交于点H ，△,BF CH CBF HBF ⊥∠=∠ △BCH H ∠=∠ △BC BH = △2CH CF =△90ABE AEB ∠+∠=︒ 90FCE FEC ∠+∠=︒ AEB FEC ∠=∠ △ABF ACF ∠=∠△90BAF CAH ∠=∠=︒ AB AC = △BAE CAH ≌ △,2BE CH BE CF ==△由△知，F 为CH 中点，又CAH 为直角三角形 故12AF CH CF HF === △H FAH ∠=∠△,45BC BH HBC =∠=︒ △67.5H FAH ∠=∠=︒ △90HAC ∠=︒ △22.5FAC ∠=︒ 又BF 为HBC ∠的平分线 △22.5HBF ∠=︒ △67.5BAD ∠=︒△9067.522.5CAD ∠=︒-︒=︒45FAD FAC DAC ∠=∠+∠=︒在RT ADF 中，45DAF DFA ∠=∠=︒ △AD DF =△过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，由△知，CA 为△DAF 的平分线△,DE EM AD AM == △EMF 为等腰直角三角形 △EM MF =△12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+=== △过E 作EN BC ⊥于点N ，可知AE EN =在RT ENC 中，EN EC <△2AE AE EN AE EC AC =+<+= 即2AE AC <,而AC AB = △2AE AB <故22AB BC AE BC AE +>+>△2AB BC AE +≠,故△错误，本题答案选A.4．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ， 当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出△AFB 的度数即可． 【详解】解：如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，△AC=BC ，△CH=AC，△△HCB=90°，AD△BC，△AD//CH，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC，△FH=CE，△FH+BF=CE+BF最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则△ABC与△C 的关系为（）A．△ABC=2△C B．△ABC=52△C C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C【答案】D【分析】延长BM到E,证明△ABF△△AEM,利用线段长度推出△BCE是等腰三角形,再根据角度转换求出即可.【详解】证明:延长BM，交AC于E，△AD平分△BAC，BM△AD，△△BAM=△EAM ，△AMB=△AME 又△AM=AM ， △△ABM△△AEM ，△BM=ME ，AE=AB ，△AEB=△ABE, △BE=BM+ME=4，AE=AB=5, △CE=AC -AE=9-5=4, △CE=BE ，△△BCE 是等腰三角形， △△EBC=△C ，又△△ABE=△AEB=△C+△EBC. △△ABE=2△C ，△△ABC=△ABE+△EBC=3△C. 故选D.6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个． △EF BE CF =+；△90BGC A ∠=︒+∠；△点G 到ABC 各边的距离相等； △设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；△AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】△根据△ABC 和△ACB 的平分线相交于点G 可得出△EBG=△CBG ，△BCG=△FCG ，再由EF△BC 可知△CBG=△EGB ，△BCG=△CGF ，故可得出BE=EG ，GF=CF ，由此可得出结论；△先根据角平分线的性质得出△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；△根据三角形角平分线的性质即可得出结论；△连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；△根据BE=EG ，GF=CF ，进行等量代换可得结论．【详解】解：△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△EBG=△CBG，△BCG=△FCG．△EF△BC，△△CBG=△EGB，△BCG=△CGF，△△EBG=△EGB，△FCG=△CGF，△BE=EG，GF=CF，△EF=EG+GF=BE+CF，故△正确；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A），△△BGC=180°-（△GBC+△GCB）=180°-12（180°-△A）=90°+12△A，故△错误；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△点G也在△BAC的平分线上，△点G到△ABC各边的距离相等，故△正确；△连接AG，作GM△AB于M，如图所示：△点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，△GD=GM=m，△S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故△错误．△△BE=EG，GF=CF，△AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故△正确，故选：C．7．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，△EF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MC，△MC+DM＝MA+DM≥AD，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．。
等腰三角形的性质与判定(必考)
相等
重合
一
相等
相等
三
名称
等腰三角形
等边三角形
判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形
面积
1. 等腰和等边三角形的性质与判定
名称
等腰三角形
等边三角形
图形
.
.
性质
（1）两腰______，两底角______（等边对等角）；（2）顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线______（三线合一）；（3）是轴对称图形，有____条对称轴
（1）三条边______；（2）三个内角______，且每个角都等于_____；（3）是轴对称图形，有____条对称轴
图6
①图6中共有___个等腰三角形；②其中全等三角形有___组，分别是________________________________；
6
2
，
③其中相似（相似比不为1）三角形有___组，分别是__________________________________________________________________；④ <m></m> _ ____， <m></m> _____.
续表
2. 等腰三角形中的分类讨论思想
（1）角不确定
例1 若等腰三角形的一个角为 <m></m> ，则其他两个角度分别是_______________________.
， 或 ，
等腰三角形(基础)知识讲解
等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
人教版八年级数学上册《等腰三角形的性质》教学设计
教学资源包括《人教版数学八年级上数学教材》、装有“小蚂蚁移动教学平台”的平板电脑（已经接入无线WiFi）、一张A4白纸、一把剪刀以及常见的学习文具。
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
1.1课前练习
用装有“”小蚂蚁移动教学平台”的平板（以下简称平板）推送一道课前练习题
学生迅速在自己的平板电脑上做出选择
教师活动
学生活动
设计意图
2.2等腰三角形直观感受
请同学们利用手里的白纸和剪刀，快速制作一个等腰三角形。巡视教室，帮助有困难的学生，发现用轴对称性来制作等腰三角形的孩子，让到教室前方展示自己的操作，老师给予充分的肯定和表扬。
动手制作等腰三角形
学生通过各种方式制作等腰三角形，在制作过程中通过分享和交流，体会如何快速地制作一个等腰三角形，以及思考如何验证自己制作的三角形就是一个等腰三角形。
2.充分鼓励学生在验证等腰三角形“三线合一”性质时采用不同的证明方法，引导他们比较各种证明方法之间的优劣，体会数学中“优选法”的思维方式。
3.让学生经历“实验－探究－解决－收获”的学习过程，体会发现问题、探究问题的思想，从中感悟证明结论的方法和乐趣，初步了解作辅助线的技巧，培养“转化”及“分类讨论”的数学思想方法。
追问：如何构造这样的两个全等三角形呢？
学生会想到在这个等腰三角形的中间构造一条线段，将大三角形一分为二，然后通过对左右两个三角形进行全等证明从而得出结论。
在几何证明中，我们通常需要构造全等三角形来帮助解题，但是辅助线的添加和描述其实对于学生来讲是个难题，这是本课的重点和难点。
如何添加这条辅助线呢？辅助线其实是为我们的证明添加一个或几个条件，那么我们应该首先分析这个命题有什么条件，还需要什么条件。
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
等腰三角形判定教案5篇
等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。
(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
八年级数学上册轴对称图形教材分析
3、充分利用现代多媒体技术和学生的动手操 作活动，让学生经历观察、实验、归纳、探 究、论证的过程，满足学生的学习需求。
18
课时安排：
13.1 轴对称 13.2 作轴对称图形 13.3 等腰三角形 数学活动 小结
3课时 3课时 5课时
2课时
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13.3 等腰三角形
21
12.3 等腰三角形
1、等腰三角形的对称轴与“三线合一”性质
2、等腰三角形性质、判定与全等三角形
3、等边三角形与等腰三角形的关系及其轴对称 性（直角三角形的性质） 4、文字命题的证明步骤 5、三角形中边与角不等关系的探究：
“不等”问题转化成“相等”的问题
22
23
演示结束！
感谢聆听！
THANK YOU FOR WATCHING!
关性质
会运用等
等 腰 三 角 形
了解等腰三角形、等 边三角形的概念，会 识别这两种图形；理 解等腰三角形、等边 三角形的性质和判定
能用等腰三角形、 等边三角形的性 质和判定解决问 题
腰三角形、 等边三角 形的知识 解决有关 问题
17
三、教学建议及各节教材的分析
1、联系实际，借助大量的实例理解轴 对称的有关概念和特征。
轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一
个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映
象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被
称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。
9
本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容： 第五章 相交线与平行线— 5.4平移（七年级下） 第 十三 章 轴对称（八年级上） 第二十三章 旋 转（九年级上）
8
轴对称变换是第二种保距变换。如果在一 张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸 上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就 被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程， 也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反 射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一 点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线。
等腰三角形性质说课稿
等腰三角形性质说课稿等腰三角形性质说课稿1各位领导、老师：大家好！我说课的课题是《等腰三角形》，源于义务教育课程标准实验教科书七年级数学第七章，下面我将来汇报我这节课的教学设计。
一、说教材分析1、本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现。
通过等腰三角形的性质反映在一个三角形中等边对等角，等角对等边的边角关系，并且对轴对称图形性质的直观反映（三线合一）。
并且在以后直角三角形和相似三角形中等腰三角形的性质也占有一席之地。
2、教学目标：要求学生掌握等腰三角形的性质和等边三角形的每个角都相等，且每个角都为60度，使学生会用等腰三角形的性质定理进行证明或计算，逐步渗透几何证题的基本方法：分析法和综合法，培养学生的联想能力3、教学重点、难点：等腰三角形的性质定理是本课的重点等腰三角形“三线合一”性质的运用是本课的难点4、为了使学生了解这堂课，本课要求学生自制一个等腰三角形模型，教学过程采用多媒体教学。
二、说教学方法：“教必有法而教无定法”，只有方法得当，才会有效。
根据本课内容特点和初二学生思维活动的特点，我采用了教具直观教学法，联想发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交际相结合的方法。
三、说学生学法。
“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
四、说教学程序1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。
提问：等腰三角形是不是轴对称图形？什么是它的对称轴？2、教师演示（模型）等腰三角形是轴对称图形的实验，并让学生做同样的实验，引导学生观察重合部分，发现等腰三角形的一些性质。
3、新课：让学生由实验或演示指出各自的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质定理1、2。
13.3.1等腰三角形(第二课时)教案
等腰三角形教案（第二课时）一、内容和内容解析1、内容等腰三角形的判定。
2、内容解析本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形判定。
二、教学目标1、知识与技能（1）探索等腰三角形判定定理．（2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．（3）了解等腰三角形的尺规作图.2、过程与方法（1）探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；（2）通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。
3、情感态度价值观目标：（1）学生通过积极参与分析，体验到学习知识的乐趣，思考的魅力，增强应用数学的意识。
（2）经历运用等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高运用知识和解决问题的能力。
三、教学重点与难点1、重点：理解和运用等腰三角形的判定定理；2、难点：等腰三角形判定的利用作中线的证明方法。
四、教学方法和教学手段1、教学方法：师生问答探究教学法数形结合法2、教学手段：多媒体教学（PPT）、圆规直尺作图分析五、教学过程（一）、教学流程设计。
1、复习旧知，回顾思考: 通过对等腰三角形性质的复习提出问题，引发学生思考；2、讨论分析，论证性质: 通过探索，归纳等腰三角形的判定并予以证明；3、课堂练习，师演生学：在解题过程中加深对判定的理解，学会判定的运用及等腰三角形的画法；4、梳理反思，布置作业：回顾反思，从知识、方法、情感态度等方面谈收获。
（二）、教学过程设计。
问题与情境师生活动设计意图时间一、复习旧知，回顾思考：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？回顾：性质定理证明方法是什么？思考：一个三角形满足什么条件是等腰三角形？如图，位于海上A，B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。
等腰三角形的判定PPT课件
13. (易错题)用粗细均匀的电热丝烧水，通电10 min可烧
开一壶水，若将电热丝对折起来接在原来的电路中,
知1－讲
1.判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对 等边”）. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
2. 等腰三角形的性质与判定的异同： 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰 三角形的性质； 由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定. 即：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.
知2－练
1
(中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线
于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给
出下列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC；④AC＝3BF，
其中正确的结论共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
知2－练
2
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
三角形是等腰三角形”来证明． (3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形
时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等”来证明．
1.必做: 完成教材P138 T2 2.补充: 请完成《点拨》剩余部分习题
第十五章 电能与电功率
15.4 探究焦耳定律
第1课时 认识焦耳定律
(1)图乙是等质量的水和煤油温度随加热时间变化的图象， 为了使图甲中温度计示数变化更明显，则烧瓶内的液体
电流大小
9．在如图所示的电路中，电阻丝R1＝R3＝10 Ω，R2＝R4 ＝5 Ω，电源电压相等且不变。闭合开关S1、S2后， 电路都正常工作，则在相同时间内产生热量最少的 电阻丝是_____。若电阻丝R1、R2都由同种材料制成 且长度相同R，2 则电阻 丝_____比较细。
《等腰三角形的性质》优秀课件
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度，高 是从顶点到底边的垂直距离。
对于等边三角形，其面积计算公式为
面积 = (边长^2 × √3) / 4。其中，边长是等边三角形的任意一边的长度。
03
等腰三角形在生活中的应用
性质
等腰三角形的两底角相等；等边对等角； 三线合一（顶角的角平分线、底边的中 线、底边的高重合）。
判定方法
1 2
SSS全等判定
若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形 全等。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形） 在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等， 则这两个三角形全等。
04
等腰三角形相关定理证明
等边对等角定理证明过程及思路解析
已知条件：在等腰三角形中，两条边相等。
证明过程
第一步，根据等腰三角形的定义，标记相等的两边和对应 的两个角。
第三步，根据直角三角形的性质，证明两个锐角相等。
第二步，利用三角形的内角和性质，将等腰三角形划分 为两个直角三角形。
思路解析：通过利用等腰三角形的定义和三角形的内角 和性质，将问题转化为证明两个直角三角形中的锐角相 等，从而简化了证明过程。
三线合一性质证明方法论述
• 已知条件：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合。
• 综合法：通过综合应用等腰三角形的性质、角的平分线性质、中线的性 质以及高的性质，逐步推导出三线合一的结论。
• 向量法：利用向量的概念和运算，通过证明相关向量共线或相等，从而 证明三线合一的性质。
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《三角形》、《命题和证明》、《轴对称和等腰三角形》
综合测试卷二
考试时间：100分，满分：100分
班级：姓名：得分：
一、填空题（每题4分，共20分）
1、三角形的三边长为3、7、x，则x的取值范围是。
2、等腰三角形有一个角是70度，则其他两个角的度数是 .
3、如图，AB＝CD，AD＝CB，O为AC上一点，过O任作直线EF分别交AD、BC于E
、F，要使BE＝
FD,则应满足的条件是。
4、如图4，已知⊿ABC≌⊿ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，
则∠CAE= 。
5、如图：，在∆ABC中，AB=AC，0
50
=
∠A，P是∆ABC内一点，且∠PBC= ∠PCA，
则∠BPC=_____.
二、选择题（每题3分，共30分）
1、△ABC中，AB＝4，AC＝3，若E为BC的中点，AE＝x，则x的取值范围为（）
A.3＜x＜4
B.1＜x＜7
C.0＜x＜1
D. x≤1
2、锐角三角形中任意两个锐角的和必大于( )。
A 120°
B 110°
C 100°
D 90°
3、若BCD
ABC∆
≅
∆，AB=6cm，BD=7cm，AD=4cm，那么BC的长为（）
A、6 cm
B、5 cm
C、4cm
D、不能确定
4、下列说法中正确的是（）
A、轴对称图形是由两个图形组成
B、等边三角形有三条对称轴
C、两个全等三角形能组成一个轴对称图形
D、直角三角形一定是轴对称图形
5、下列命题中正确的是（）
①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等；③三边对应相等的两三角形全等；④有两
边对应相等的两三角形全等。
A．4个B、3个C、2个D、1个
6．如图，已知AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（）
A．2对B、3对C、4对 D 、5对
7、如图，A在DE上，F在DC上，且∠1＝∠2＝∠3，AC＝CE，则DE的等于（）
A.DC
B.BC
C.AB
D.1
8、如图，ΔABC中，∠CAB=520，∠ABC=740，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于F，则∠AFB=（）度
A、126
B、120
C、116
D、110
9、在钝角三角形ABC中，把AB=AC，D是BC上一点，AD把∆ABC分成两个等腰三
角形，则∠BAC的度数为（）
A、0
150B、0
124C、0
120D、0
108
10、如图，在∆ABC中，AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O，下列结论中，错误的是（）
A、点O在AC的垂直平分线上
B、∆AOB、∆BO
C、∆COA都是等腰三角形
C、∠OAB+∠OBC+∠OCA=0
90D、点O到AB、BC、CA的距离相等
三、作图题（10分）
1、用一个圆、一个正三角形、一条线段设计一个轴对称图案，并说明你要表达的含义。
2、已知△ABC，求作△C
B
A'
'
'，使∠C=∠C'，C
B'
'= BC，C
A'
'= AC.（使用尺规作图，并保留作图轨迹，不
要求写出作图过程）
第3题第5题
第7题
第6题
F
E
D
C
B
A
第8题第10题
C
四、解答题（40分）
1、（5分）已知：如图，∠AOD=∠BOC ，∠B=∠D ，O 是AC 的中点。
求证：OB=OD ．
2、（5分）如图，∆ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，DE//AC ，试说明∆BDE 和∆AED 都是等腰三角形
3、（5分）如图，已知：在 中，
，
，BD 是
的角平分线，求
的
度数.
4、（7分）已知：在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求∠C 的度数。
5、（8分）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求
证∠CDA ＝∠EDB ．
5、（10分）△ABC 中，∠MAC 为∠BAC 的补角，P 为∠MAC 的平分线上一点（AP 段）。
①试比较AB ＋AC 与BP ＋PC 的大小。
②若P 在角平分线的反向延长线上，则结论仍然成立吗？
1
2
A
B
C
D
E。