什么叫三角形
三角形知识点总结
三角形知识点总结三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点）2、三角形的表示三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义3、三角形的分类：（1）按边分类：等腰三角形、等边三角形、不等边三角形（2）按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定（2）正多边形：各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形（3）多边形的内角和为（n-2）*180度；多边形的外角和为360度二、等腰三角形1、等腰三角形的概念定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合（简称为“三线合一”）3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”）注意：要正确区分等腰三角形的性质和判定4、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形注意：等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和判定性质：（1）等边三角形的三条边都相等（1）等边三角形的每一个角都等于60度判定：（1）各边或角都相等的三角形是等边三角形（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形相关规律：（1）边长为a的等边三角形面积等于（2）等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。
三角形的定义
认识三角形
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
3、三角形的特性：
物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、边的特性：任意两边之和大于第三边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
①三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形
②有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
③有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形
2、按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形。
①两条边相等的三角形叫做等腰三角形(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)
②三条边都相等的三角形叫等边三角形(等边△的三边相等，每个角是60度)
图形的拼组
1、用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
2、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。
3、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧
初中几何图形概念、公式和性质等知识，父母为孩子收藏起来吧展开全文三角形知识点、概念总结1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7. 高线、中线、角平分线的意义和做法8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
11. 三角形外角的性质（1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；（4）三角形的外角和是360°。
四边形（含多边形）知识点、概念总结一、平行四边形的定义、性质及判定1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。
2. 性质：（1）平行四边形的对边相等且平行（2）平行四边形的对角相等，邻角互补（3）平行四边形的对角线互相平分3. 判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形4. 对称性：平行四边形是中心对称图形二、矩形的定义、性质及判定1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
三角形定义
三角形定义
平面三角形
由三条线段首尾顺次相连，得到的的封闭几何图形叫做三角形。
三角形是几何图案的基本图形。
等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形）
性质
1．三角形的两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的两边的差一定小于第三边。
2．三角形内角和等于180度。
3．一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
4. 三角形具有稳定性。
作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。
三角形结构的在工程上有广泛的应用。
许多建筑都是三角形的结构，如：埃菲尔铁塔。
金字塔等等。
.特殊三角形
1.等腰三角形
等腰三角形的性质：
（1）两底角相等；
（2）两条腰相等；
等腰三角形的判定：
（1）等角对等边；
（2）两底角相等；
2.等边三角形
等边三角形的性质：
（1）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
三角形
A
A E A D C C B F
F
B
B
D
C 中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D ) C B C B B D A C D C A A D D A B (A) (B) (C) (D) 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
C
∠BOC=90°+
1 ∠A 2
4.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线， 交于点P。 1 求证：∠P=90°- ∠A
A
C
4
2
B
2 1
3
解:∵BP、CP是外角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∵∠EBC是△ABC的外角 ∴ ∠EBC=∠A+∠ACB =∠A+(180°-∠3-∠4) ∴ ∠EBC=∠1+∠2 2∠1=∠A+(180°-2∠3) 2∠1+2∠3=∠A+180°
那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
A
E
3. 已知AD,BE分别是∆ABC中BC,AC边上的高 ，BC=8cm,AC=5cm,若AD=4cm,求BE的长? B D
C
2,三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角 平分线。
w
1，如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边
BC,AD,CE 的中点, 且S
A
△ABC=4cm 2,则S阴影等于
E F B D C
A E
2，如图， S△ABC=1,且D是BC的 中点，AE:EB=1:2,求△ADE的面积.
C B D
（1）三角形的三条高线(或高线所在直 线)交于一点
什么是三角形及三角形的定义
仅仅谢云岚不明白安氏的主意，她曾经的那几个丫头个个都和她的性质相同凶横，用得十分随手，却被云曦使计赶出了谢府。谢云岚想到这儿心中对云曦又恨上了几分。
谢云岚的陪嫁黄妈妈在晋王府转了一圈也没有找到南宫辰，只得硬着头皮回新房复命，少不得被谢云岚一声喝骂。 钱奶娘安慰着谢云岚，“小姐，时辰也不早了，仍是先歇着吧，您肚里有小世子，怕什么？来日方长。” “但是我不甘心啊——”谢云岚扑到钱奶娘怀里大哭起来。 不甘心？新房外，柳晴柔的唇角悄悄一勾，目光中闪过一丝厉芒，她扭身看向死后的嬷嬷，“阿姆，敲门。” 阿姆看了她一眼，伸手在门上拍了拍。她的心头是疑问的，为什么姑娘自打半月前昏倒后就跟变了个人似的？她不是不喜欢南宫世子吗？为什么非得来这晋王府？ 屋中的人听到敲门声，都是神态一振，尤其是谢云岚，她抹了把泪水立刻招待着身边人，“奶娘，快拿胭脂来给我补补妆，喜子，预备酒水。春玉，将那暖炉的炭火挑得旺旺的。” 里屋里忙得人仰马翻，谢云岚看看镜中的自己并无半丝难堪后，又急着唤人，“快去开门，世子爷必定等得急了。” 丫头开了门，见门口站着一个姿色美丽的年青女子，不由怔住了。王府中，不曾听说有年青的小姐啊？ 柳晴柔看也不看发怔的丫头，直接走了进去，谢云岚笑吟吟的正要开口，一见来人也怔住了，她眉梢立刻一挑，冷然开口，“你是谁？”赁直觉来者不善。 柳晴柔微笑着绕着谢云岚走了一圈，今天那位少年跟她说南宫辰今天大婚，她便坐不住了，她等不及到明日。
认识三角形知识点
认识三角形1．三角形有关的概念1 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角简称三角形的角．2 三角形的表示三角形用符号“△”表示,顶点是A 、B 、C 的三角形,记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”;如图7 -4一l,三角形有三个顶点：A 、B 、C ；有三条边：AB 、BC 、AC;有三个角：A ∠、B ∠、C ∠．△ABC 的三边用c b a ,,表示时,A ∠所对的边BC 用a 表示．B ∠所对的边AC 用b 表示．C ∠所对的边AB 用c 表示．2．三角形的分类⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三注意：根据角的大小来识别三角形的形状时,一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角,则三角形是锐角三角形；若最大角是直角,则三角形直角三角形；若最大角是钝角,则三角形钝角三角形．3．三角形中边的关系1三角形的任意两边之和大于第三边；2三角形的任意两边之差小于第三边如图7 -4 -1中,c b a b a c a b c b c a a c b c b a <-<-<->+>+>+,,;,,;注意：在任意给定的三条线段中,当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时,才能组成三角形; 例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6,所以这三条线段能组成三角形．又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8,所以这三条线段不能组成三角形．4．三角形的三种主要线段1高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段,叫做三角形的高; 如图7 -4 -2,AD 是△ABC 的高,可表示为AD ⊥ BC 或ADC ∠=90°或ADB ∠= 90°;2中线：在三角形中,连接顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线;如图7 -4 -3,AE 是△ABC 的中线,表示为BE=EC 或BE = 21BC 或BC= 2EC. 3角平分线：在三角形中,一个内角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线,一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段．如图7-4-4,AF 是ABC ∆的角平分线,可表示为CAF BAF ∠=∠或BAC BAF ∠=∠21或CAF BAC ∠=∠2.一个三角形中三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在直线交于一点;5．三角形的高、角平分线、中线的画法1三角形高的画法,如图7-4 -5．注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲,③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙,④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．2 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来,就得到三角形一边上的中线． 3三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同,可以用量角器;防错档案：画钝角三角形的高容易出错,要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．6．面积法解题例如：如图7 -4 -6,在△ABC中,AB =AC,AC 边上的高BD= 10,求AB 边上的高CE 的长．解析：由三角形面积公式有：AC BD AB CE S ABC ⋅=⋅=∆2121 因为AB =AC,BD =10,所以CE= BD= 10.名题诠释例题1如图7 -4 -7,点D是△ABC的边BC上的一点,点E在AD上．1图中共有____个三角形；2以.AC为边的三角形是____；3以∠BDE为内角的三角形是____.解析1AD的左右两侧各有3个三角形,分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角形,它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．2 以AC为边的三角形有3个,它们是△.ACE、△ACD、△ACB. 3以∠BDE为内角的三角形有2个,它们是△EBD、△ABD．答案18 2△ACE、△ACD、△ACB 3△EBD、△ABD点评数三角形要注意选择恰当的顺序,做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．例题2 下列三角形分别是什么三角形1已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；2 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；3 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；4 已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是6cm和4cm.解析确定三角形的形状,应紧扣定义．答案1 锐角三角形,因为三角形内角和为180°,而两个内角分别是50°和60°,所以第三个内角是70°,即这个三角形是锐角三角形．2 直角三角形,同理．3 钝角三角形,同理．4 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6cm．点评应全面考虑三角形的边和角的条件,再根据定义判别．例题3 下列长度的三条线段能组成三角形的是．A. lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cmC. 5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm解析因为1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9,所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9,所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．答案D点评三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系,即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．例题4 甲地离学校4km,乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值为．A.3B.5C.3或5 D．3≤d≤5解析本题应分两种情况讨论：1甲、乙两地与学校在一条直线上；2甲、乙两地与学校不在同一条直线上,则构成三角形,可利用三角形三边关系解题．答案D∠,G为AD的中点,延长BG交AC于E．F为例题5 如图7-4 -8,在△ABC中,1∠=2AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线．A.l个B．2个 C.3个D．4个∠知AD平分∠BAE．但AD不是△ABE内的线段,故①错,AD应是△ABC的角平分线；同理,BE经解析由1∠=2过△ABD 的边AD 的中点G,但BE 不是△ABD 中的线段,故②不正确,正确的说法应是BG 是△ABD 边AD 上的中线；由于CH ⊥AD 于H,故CH 是△ACD 边AD 上的高,故③正确；AH 平分∠FAC 并且在△ACF 内,故AH 是△ACF 的角平分线,同理AH 也是△ACF 的高,故④正确．答案B点评 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段,在三角形的内部,后者是射线,可以无限延伸．例题6在△ABC 中,AB =AC,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,求三角形各边的长,解析 中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,要分类讨论：1当腰长小于底边时,AB +AD =12,如图7-4 -9①；2当腰长大于底边时,AB +AD =15,如图7-4 -9②．答案设AB=x ,则有：AD= DC=x 21． 1若AB +AD =12,即x + x 21=12,x =8． AB =AC =8,DC =4,故BC= 15 -4= 11.此时AB +AC> BC,所以三角形三边长分别为8cm,8cm,llcm.2若AB+ .4D= 15,即x +x 21=15,x =10． 即AB =AC =10,DC =5,故BC=12 -5 =7．显然,此时三角形存在,所以三角形三边长分别为l0cm,l0cm,7cm ．综上所述,此三角形的三边长分别为8cm,8cm ．llcm 或l0cm,l0cm,7cm ．例题7 如图7-4 -10,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE,其中画法错误的是____________解析 甲图错在把三自形的高线与AC 边的垂线定义相混淆,把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征,画出的BE 与AC 不垂直；丙图错在没有过点B 画AC 的垂线,故不是高；丁图错在没有向点B 的对边画垂线． 答案 甲、乙、丙、丁例题8 如图7—4-11,在△ABC 中,AB =AC,AC 边上高BD=10,P 为边BC 上任意一点,PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．解析 连接AP 后,PM 、PN 就转化为△APB 和△APC 的高,从而由面积法可求得PM+ PN 的值．答案 连接AP,由图7-4 -11可知：ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+, 即BD AC PN AC PM AB ⋅=⋅+⋅212121 因为AB =AC,BD =10,所以PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12,图中三角形的个数共有 ．A 1个B ．2个 C.3个 D ．4个2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是________,这个三角形是___________三角形3如图7 -4 -13．1 AD ⊥BC,垂足为D,则AD 是___________的高,_______=_______= 90°；2 若AE 平分BAC ∠,交BC 于E 点,AE 叫___________的角平分线,BAE ∠ =_______=21________; 3 若AF= FC,则△ABC 的中线是_________;4 若BC= GH= HF ．则AG 是________的中线,AH 是_________的中线;4 如图7 -4 -14,在△ABC 中,C ∠ = 90°,D 、E 为AC 上的两点,且AE= DE,CBD ∠ =EBC ∠21,则下列说法中不正确的是 ．A ．BC 是△ABE 的高B ．BE 是△ABD 的中线C ．BD 足△EBC 的角平分线D ．DBC EBD ABE ==∠5如图7 -4 -15,哪一个图表示AD 为△ABC 的高6 如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是．A．15 B．16 C．8 D．77 下列长度的三条线段,能组成三角形的是．A. lcm,2cm,3cmB. 2cm,3cm,6cmC. 4cm,6cm,8cmD. 5cm,6cm,12cm8 如图7 -4 -16,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA =15米,OB =10米,A、B间的距离不可能是．A．5米B．10米C．15米D．20米∠的平分线CD；2画出AC边上的中线BM；9 如图7 -4 -17,在△ABC中,1画出C3画出△ABM的边BM上的高AH.10如图7 -4 -18．△ABC是周长为18cm的等边三角形,D是BC上一点,△ABD的周长比△ADC的周长多2cm,求BD、DC的长;11 等腰三角形的周长为30,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,试求腰长．∠,交AC于点E,DE∥BC,EF∥AB,分别交AB、BC于点D、F,则BE 12已知如图7 -4 -19,在△ABC中,BE平分ABC∠的平分线吗请说明理由．是DEF13在△ABC 中,C ∠= 90°,BC =6,AC =8,AB =10,求边AB 上的高．知能提升突破1 如图7 -4 -20,在△ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 上的中点,且ABC S ∆=42cm , 求阴影部分的面积阴S ;2 如图7 -4 - 21,在△ABC 中,AB= AC,BD 是AC 边上的高,P 为BC 延长线上的一点,AB PM ⊥,AC PN ⊥,垂足分别为M 、N ．试问PM 、PN 与BD 之间有何关系3某木材市场上木棒规格和价格如下表： 规格1m 2m 3m 4m 5m 6m价格元/根 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用,现有两根长度为3m 和5m 的木棒,还需要到 某木材市场上购买一根．问：1 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择2 选择哪一种规格的木棒最省钱。
三角形
一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二．三角形的高、中线及角平分线1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．2．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN3．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定4．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点5．若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是三角形．6．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD 中，BD边上的高是cm．7．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可1．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5 B．3＜c＜8 C．2＜c＜8 D．2≤c≤82．三角形的两边长为6cm和3cm，则第三边长可以为（）A．2 B．3 C．4 D．103．以下各组线段长能组成三角形的是（）A．1，5，6 B．4，3，5 C．2，5，8 D．5，5，12 4．已知三角形的两边长分别是2cm和7cm，其周长的数值为偶数，则此三角形的周长为．5．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．6．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．1．下列图形中不具有稳定性是（）A．B．C．D．2．下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三脚架D．放缩尺3．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性4．如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状，说明三角形具有②四边形木架的形状说明四边形没有．（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB 的度数是（）A．35°B．70°C．85°D．95°3．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（）A．60°B．100°C．120°D．150°4．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝°．5．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，根据三角形按角进行分类，这个三角形是三角形．∠A＝度．6．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE、FG，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝°．7．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，求∠BDC的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．1．如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．110°B．30°C．150°D．90°2.如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（）A．∠1＝∠A+∠B B．∠1＝∠2+∠AB．C．∠1＝∠2+∠B D．∠2＝∠A+∠B3．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．135°D．165°4．如图，BC⊥ED于点O，∠A＝50°，∠D＝20°，则∠B＝度．5．如图，求x的值．6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．7．如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．（六）多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线②n边形的内角和为（n－2）×180°③多边形的外角和为360°1．内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．2．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°3．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．74．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形5．一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有条边．6．若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求多边形的边数．。
新人教版七年级下册第三章 三角形定义
D H′ H C
1.你认为这个H应该在什么 位置？大胆设想！
2.到A、C距离和最小的 点在哪儿？到B、D?
你还记得 “过一点画已知 直线的垂线” 吗?
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
0 9
1 10
2
3
4
5
6
A
B
C
0
1
20 31
42 0
5 3 1
4 2
35
4
5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
3.∠ A、 ∠ B、 ∠ C 叫做三角形 的内角，简称三角形的角。
B
C 三角形ABC的三边,有时也用a、b、c 来表示. 一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所 对的边记作b,顶点C所对的边记作c
三角形用符号“△”表示
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”
除此△ ABC还可记作△BCA, △ CAB,
顶 角 腰 腰
底角
底
底角
三角形的分类
直角三角形
按角分
锐角三角形 钝角三角形
按边分
丌等边三角形 等腰三角形
底边和腰丌相等的 等腰三角形 等边三角形
议一议如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出
A
发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？
路线1:由点B到点C 路线2:由点B到点A，再由点A到点C。
第七章
三角形
古埃及金字塔
美国隐形战斗机
大桥结构示意图
水分子结构示意图
从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的 建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ 在我们的生活中有没有这样的形象？能举举 例子吗？
三角形与四边形
三角形与四边形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。
三角形的内角和等于180°．三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
图9.1.3图9.1.4 图9.1.5第一个三角形中，三个内角均为锐角； 第二个三角形中，有一个内角是直角； 第三个三角形中，有一个内角是钝角. 三角形可以按角来分类： 所有内角都是锐角――锐角三角形； 有一个内角是直角――直角三角形； 有一个内角是钝角――钝角三角形； 第一个三角形的三边互不相等； 第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.三角形可以按边来分类：把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高________；直角三角形： 钝角三角形：呢？图9.1.8 图9.1.9角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和等于360°如图9.1.11，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.图9.1.11三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边. 三角形的任何两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性1. 已知△ABC 是等腰三角形.（1） 如果它的两条边长的长分别为8cm 和3cm,那么它的周长是多少？（2） 如果它的周长为18cm ，一条边的长为4cm ，那么腰长是多少？2. 按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
三角形有关概念及性质
21D CB AD CBA三角形有关概念及性质⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC. (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3图4ABCD E 图1图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图5图6图7⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
三角形的定义性质.doc
定义由三条边首尾相接组成的内和和为180°（一定是180。
,这个是个准确的数!）的封闭图形叫做三角形三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和; 三角形的一个外角大于其他两内角中的任一个角。
三角形分类（1）按角度分比锐角三角形:三个角都小于90度。
并不是有一个锐角的三角形, 而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt三角形）:⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如杲有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。
（和⑶相反）；c・钝角三角形:有一个角大于90度（锐角三角形，钝角三角形统称鎚三角形）。
d.证明全等时可用IIL方法（2）按角分比锐角三角形：三个角都小于90度。
b・直角三角形：有一个角等于90度。
c・钝角三角形：有一个角大于90度。
（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）（3）按边分不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理，只适用丁直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）『2+K2=c"2，其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3, 4, 5o他们分别是3, 4和5的倍数。
常见的勾股弦数有:3, 4, 5； 6, 8, 10； 5, 12, 13;10,24,26;等等三角形的性质1•三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2•三角形内角和等于180度3•等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合O4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方一勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
八年级数学《三角形》知识点归纳
21D CB AD CBAD CB A八年级数学《三角形》知识点⒈ 三角形的定义三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的“△”没有意义． ⒉ 三角形的分类 (1)按边分类 (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。
④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形_C_B _A③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。
八年级数学上册重点知识汇总
八年级数学上册知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式一、知识框架:整式乘法整式除法因式分解乘法法则二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m na a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mna a =⑶积的乘方：()n n nab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m na a a -÷=等边三角形的性质⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法⑸添项法第十五章分式一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如A B，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cb b d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数）⑶()n n n ab a b =（n 是正整数）⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹1n na a -=（0a ≠，n 是正整数）9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
三角形的特征及分类
《三角形的特征及分类》知识点总结知识点梳理：知识点1：由三条线段围成的图形叫做三角形。
例题：判断：由三条直线组成的图形叫三角形。
（ X ） 讲解：三角形必须满足两个条件，一是三条线段；二是围起来，二者缺一不可。
围成指的是三条线段首尾顺次连接。
知识点2：三角形具有稳定性； 四边形具有不稳定性。
三角形——稳定性 四边形——不稳定性 知识点3：三角形的特征顶点 角 边 高 3个顶点 3个角 3条边 3条高 知识点4：三角形的高和底。
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作三角形的底。
三角形只有3条高。
底 高顶点 高 底 顶点底顶点 高三角形的底和高是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就 是这条高对应的底。
知识点5：画高画三角形的高时必须先找到顶点和对应的底，必须由顶点向它的对边画垂线，顶点与对边是相对的，当对边不够时，可画虚线延长。
所画的高用虚线表示，标上直角符号。
底画高三步：①确定三角形的底。
②由底边对应的顶点向该底边画垂线，顶点和垂足之间的线段就是该底边的高。
（底边不够时画虚线延长。
高用虚线表示，高是一条线段。
）③标上直角符号。
知识点6：三角形的分类（1）按角的大小分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
（每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。
）（2）按边的长短可分为：不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
①有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
（等腰三角形两腰相等，两底角相等）②三条边相等的三角形叫等边三角形。
（等边三角形三边相等，每个角都是60°）等边三角形是特殊的等腰三角形。
知识点7：等腰三角形的周长= 腰× 2 + 底等边三角形的周长= 边长× 3。
初中三角形知识点
中考数学必备知识点——图形与几何知识点一：三角形1、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.2、组成三角形的元素：三条边和三个角3、三角形的分类⑴三角形按边的关系分类如下：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形（等边三角形或正三角形）⑵三角形按角的关系分类如下：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形（有一个角是直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形. 4、三角形的性质⑴三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.⑵三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于︒180. ⑶三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于︒360.⑷三角形的内外角定理：①互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑸三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角,等边对等角,小边对小角；反之,大角对大边,等角对等边,小角对小边也成立. 5、三角形的面积：三角形的面积12=⨯底⨯高知识点二：等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性质定理及推论：性质定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°. 3、三角形中的中位线⑴三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;⑶三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；⑷常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半; 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形; 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;知识点三：直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余；2、在直角三角形中,30︒角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4、直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、常用关系式：由三角形面积公式可得：AC BC CD AB ⋅=⋅ ★★★6、直角三角形的射影定理从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB︒⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩知识点四：全等三角形1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等；3、全等三角形的判定定理：⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS ”⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可以简写成“角角边”或“AAS ”；⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA ”⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS ”； ★★★直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL ”4、全等变换：只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换； 全等变换包括一下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换； ②对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换；③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换；知识点五：相似三角形1、比例线段的概念：对于四条线段a b c d 、、、,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即ac bd或:=a b c d :那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段．注意：⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位．⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式．⑶比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为：ad c b =． 2、比例的性质基本性质：1bc ad d c b a =⇔=::；2b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 反比性质把比的前项、后项交换：cd a b d c ba =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=．发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c dc ba b a cc d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d bm e c a ,那么am e c a =++++ ．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.三角形中位线定理的逆定理 推论2：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.梯形中位线定理的逆定理平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例． 推论：1平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比例．2平行于三角形一边且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边． 4、相似三角形⑴相似三角形的定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相不同；4相似用“∽”表示,读作“相似于”； 5相似三角形的对应边之比叫做相似比．⑵相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：数学符号语言：BC DE // ∴ADE ∆∽ABC ∆．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等,两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例,两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型 斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AASASA HL相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. ⑶相似三角形的性质定理：1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 2相似三角形的周长比等于相似比；3相似三角形的面积比等于相似比的平方；4相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.⑷相似三角形的等价关系1反身性：对于任一ABC∆∽ABC∆．∆有ABC2对称性：若ABC∆．BA∆∽ABCBA∆,则'''C∆∽'''C3传递性：若ABC∆,则ABCA''''''∆∽CA''''''B∆．BA'B∆∽C∆''∽CA'∆'',且CB★★★相似直角三角形引理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第三边.与三角形的中位线定理类似定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似.定理：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理：如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型知识点六：锐角三角函数的概念建立在直角三角形的基础之上1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①sin A a A c ∠==的对边斜边；②cos A bA c ∠==的邻边斜边 ③tan A a A A b ∠==∠的对边的邻边；④cot A bA A a∠==∠的邻边的对边2、一些特殊角的三角函数值 三角函数0︒30°45°60°90° sin α2122 23 1cos α123 22 21 0tan α33 1 3不存在cot α不存在3133 03、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4弦切关系：tanA=AAcos sin。
什么是三角形 三角形有哪些性质
什么是三角形三角形有哪些性质
三角形是数学中常见的图形之一，本文中，我为大家整理了三角形的相关内容，快来看看吧！
三角形的定义
由不在同始终线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。
三角形是几何图案的基本图形。
三角形的性质
1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对
的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：假如三角形的三边长a，b，c满意a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
三角形知识要点
三角形知识点(1)三角形分类及定义:1.三角形按角分可分为:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形。
锐角三角形:三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。
直角三角形:有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
钝角三角形:有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
2.三角形按边分分为:一般三角形(不等边三角形)、等腰三角形、等边三角形。
不等边三角形:三角形的三边互不相等,这样的三角形叫不等边三角形(或一般三角形)。
等腰三角形:有两边相等的三角形叫等腰三角形。
相等的两边叫等腰三角形的腰,另一边叫底边。
两腰所对的角叫底角,底边所对的角叫顶角。
等腰三角形的两底角相等。
等边三角形:三边相等的三角形叫等边三角形(或正三角形)。
等边三角形的三个内角相等,都是锐角,都等于600,等边三角形又是锐角三角形。
(2)三角形性质及规律:性质1:三角形内角和等于1800.(不管形状与大小如何,任何三角形的三个内角和等于1800)性质2:三角形任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边。
性质3:直角三角形的两个锐角之和等于900。
规律1:钝角三角形的两个锐角之和小于900。
规律2:一个三角形中最多可以有三个锐角,最少有2个锐角,最多可以有1个直角或最多可以有1个钝角。
规律3:等边三角形是特殊的等腰三角形。
三角形具有稳定性。
规律4:三角形中,等角对等边。
等边对等角。
大角对长边,小角对短边。
长边对大角,短边对小角。
(3)三角形内角角度计算公式:例题1.已知三角形的两内角分别为X O、Y0。
求第三角度数?第三角度数 = 1800 - X O - Y0例题2.已知直角三角形一锐角为X O,求另一个锐角度数?另一个锐角度数=1800 - 90O - X O(或)另一个锐角度数= 900 - X O例题3.已知等腰三角形一底角为X O,求顶角度数?顶角度数 = 1800 - 2×X O例题4.已知等腰三角形顶角为X O,求一个底角度数?一个底角度数 =(1800-X O)÷ 2例题5.已知等腰三角形一内角为X O,求这个三角形个角度数?当X O角为角时,顶角度数 = 1800 - 2×X O当X O角为角顶时,一底角度数 = (1800-X O)÷ 2(4)根据三角形内角度数最简整数比,判定三角形形状。
rt三角形定义
rt三角形定义
1、定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
2、判定：（1）定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）判定定理：如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。
（3）一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
（4）两个锐角互余的三角形是直角三角形。
（5）若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
3、性质：（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（5）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
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三角形
1、1.三角形的定义：由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）。
2、三角形各部分的名称：角（3个）、顶点（3个）、边（3条）。
3、三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
三角形有3组高和底。
4、三角形的表示方法：用字母A、B、C 分别表示三角形的3个顶点，三角形可以表示成三角形ABC。
5、三角形的特性：三角形具有稳定性。
6、三角形三边关系：两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
7、三角形任意两边的和大于第三边。
8、三角形的分类：三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
直角三角形中两条直角边的长度都小于斜边长度。
三角形按边分类：按边分为不等边三角形、等腰三角形。
其中等边三角形是特殊的等腰三角形。
等腰三角形两个底角相等，等边三角形三个角都相等。
9、三角形的内角和是180 °。
10、四边形的内角和是360°
11、多边形内角和：180 °×（边数-2）。