三角形
三角形
特殊点、线
证明 五心的距离
作用
其中，R是外接圆半径；r是内切圆半径。
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。 ∴第三条边不可伸缩或弯折 ∴两端点距离固定 ∴这两条边的夹角固定 ∵这两条边是任取的 ∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定 ∴三角形有稳定性 任取n边形（n≥4）两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接 ∴两端点距离不固定 ∴这两边夹角不固定 ∴n边形（n≥4）每个角都不固定
基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧 线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。
分类
判断方法
三角形
几何图形
01 基本定义
03 周长公式 05 四线
目录
02 分类 04 面积公式 06 性质
07 边角关系
09 相似
目录
08 全等 010 特殊点、线
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、 建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等 的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角 形统称斜三角形。
相似
定义
特点
判定
对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。 2、相似三角形对应边的比叫做相似比。 3、相似三角形的周长比等线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。
三角形的特征
三角形的特征
定义
三角形是由三条线段连接而成的几何图形。
每条线段称为三角
形的边，而连接边的点称为三角形的顶点。
特点
1. 三边相交于顶点
三角形的三条边都相交于顶点，且相邻的两条边之间没有空隙。
2. 三个内角相加为180度
三角形的三个内角之和总是等于180度。
3. 两边之和大于第三边
三角形的任意两边之和必须大于第三边的长度。
4. 正三角形的特殊性
正三角形是一种特殊的三角形，三边长度相等且三个内角都是60度。
5. 等腰三角形的特征
等腰三角形是指两条边的长度相等，且两个对应的内角也相等。
6. 直角三角形的特性
直角三角形是指其中一个内角为90度，而其他两个内角之和
为90度。
7. 锐角三角形和钝角三角形
根据三个内角的大小关系，三角形可以分为锐角三角形（三个
内角都小于90度）、直角三角形（一个内角为90度）和钝角三角
形（一个内角大于90度）。
应用领域
三角形的特征和性质在几何学、物理学、工程学等领域应用广泛。
可以通过测量三边长度和内角大小，来确定三角形的形状和尺寸，从而用于建筑、机械、电子等设计中的角度计算和模型构建。
总结
三角形是由三条线段连接而成的几何图形，具有特定的特征和性质。
我们可以通过研究三角形的边长、内角等来确定其形状和尺寸，以及在各个领域的实际应用中进行计算和建模。
三角形的基本概念和定义
三角形的基本概念和定义三角形是几何学中最基本的形状之一，其作为平面图形，由三条线段所构成。
本文将探讨三角形的基本概念和定义，其中包括三角形的构成要素、分类以及相关定理。
一、三角形的构成要素三角形由3条线段所构成，我们称之为边。
这3条边可以连接成一个封闭的图形，其中任意两条边的交点称为顶点。
顶点之间的线段称为角。
在三角形中，我们可以将边分为不同的角度，从而定义其性质。
其中，最长的一条边叫做底边，其他两条边叫做腿（legs）。
两条腿的末端构成顶点。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
以下是常见的分类：1. 根据边长分类：- 等边三角形：三条边的长度都相等，每个角都是60度。
- 等腰三角形：两条边的长度相等，两个对应的角也相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角也都不相等。
2. 根据角度分类：- 直角三角形：其中一个角是90度。
根据两腿的长度关系，我们还可以分为等腿直角三角形和斜腿直角三角形。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：所有角都小于90度。
三、三角形的相关定理在三角形中，存在一些定理和性质，这些定理可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。
以下是一些常见的三角形定理：1. 三角形内角和定理：三角形的所有内角的和等于180度。
2. 三边定理（三角形的海伦公式）：设三角形的三边长分别为a、b、c，其半周长为s，则三角形的面积可以用海伦公式计算：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 直角三角形的勾股定理：直角三角形中，两个腿的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，顶角相等。
5. 等边三角形的性质：所有角都是60度，每个角的外角也是60度。
6. 同位角定理：当两条平行线被一条截线切割，所形成的内角和外角相等。
7. 外角定理：三角形的外角等于不相邻的内角之和。
三角形
A
A E A D C C B F
F
B
B
D
C 中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D ) C B C B B D A C D C A A D D A B (A) (B) (C) (D) 2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
C
∠BOC=90°+
1 ∠A 2
4.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线， 交于点P。 1 求证：∠P=90°- ∠A
A
C
4
2
B
2 1
3
解:∵BP、CP是外角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∵∠EBC是△ABC的外角 ∴ ∠EBC=∠A+∠ACB =∠A+(180°-∠3-∠4) ∴ ∠EBC=∠1+∠2 2∠1=∠A+(180°-2∠3) 2∠1+2∠3=∠A+180°
那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.锐角三角形
A
E
3. 已知AD,BE分别是∆ABC中BC,AC边上的高 ，BC=8cm,AC=5cm,若AD=4cm,求BE的长? B D
C
2,三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相 交，这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角 平分线。
w
1，如图所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边
BC,AD,CE 的中点, 且S
A
△ABC=4cm 2,则S阴影等于
E F B D C
A E
2，如图， S△ABC=1,且D是BC的 中点，AE:EB=1:2,求△ADE的面积.
C B D
（1）三角形的三条高线(或高线所在直 线)交于一点
三角形知识点总结
三角形知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
下面就来对三角形的相关知识点进行一个全面的总结。
一、三角形的定义和基本要素三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
这三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
三角形有三个顶点、三条边和三个角。
三角形的内角和为 180 度，这是三角形一个非常重要的性质。
二、三角形的分类1、按角分类（1）锐角三角形：三个角都小于 90 度的三角形。
（2）直角三角形：有一个角等于 90 度的三角形。
（3）钝角三角形：有一个角大于 90 度小于 180 度的三角形。
2、按边分类（1）等边三角形：三条边都相等的三角形。
（2）等腰三角形：有两条边相等的三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
（3）不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
三、三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。
例如，有三条线段 a、b、c，如果 a ＋ b ＞ c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a，同时｜a b| ＜ c，｜a c| ＜ b，｜b c| ＜ a，那么这三条线段可以组成三角形。
四、三角形的高、中线和角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高是直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
2、三角形的中线连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。
中线将三角形分成面积相等的两个部分。
3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的证明方法
三角形的证明方法
三角形的证明方法有以下几种：
1. 使用勾股定理证明：如果已知三角形的三边长度，可以利用勾股定理来证明三角形的存在。
勾股定理表达式为：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c为三角形的三边长度。
2. 使用余弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和它们之间的夹角，则可以使用余弦定理来证明三角形的存在。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中c为三角形的第三边长度，a、b为两边长度，C为夹角的度数。
3. 使用正弦定理证明：如果已知三角形的两边长度和一个夹角的度数，可以使用正弦定理来证明三角形的存在。
正弦定理表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边长度，A、B、C为夹角的度数。
4. 使用面积法证明：如果已知三角形的三个顶点坐标，可以利用向量叉积的方法来计算三角形的面积。
如果面积不为零，则可以证明三角形的存在。
这些方法可以根据已知的条件选择合适的方法证明三角形的存在。
三角形所有知识点
三角形所有知识点三角形，这可是数学世界里的“常客”！从小学到高中，它一直陪伴着咱们的学习旅程。
先来说说三角形的定义吧。
三角形啊，就是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形。
这听起来是不是有点抽象？给您举个例子，咱家里的三角衣架，那就是个实实在在的三角形。
它的三条边紧紧相连，形成了一个稳定的形状，能稳稳地挂住衣服。
三角形的分类那也是有讲究的。
按角来分，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形就是三个角都小于 90 度的三角形。
您想想看，那些小巧可爱的三角积木，它们的角是不是都比较尖锐，这很可能就是锐角三角形哟！直角三角形呢，有一个角是 90 度，像咱们教室里的墙角，那就是个直角。
钝角三角形就更好理解啦，有一个角大于 90 度小于 180 度。
按边来分的话，有等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
等边三角形，三条边都相等，三个角也都相等，都是 60 度。
还记得学校门口卖的彩色三角旗吗？有时候就会有等边三角形的，看起来特别规整。
等腰三角形呢，有两条边相等，相应的两个角也相等。
就像有些女士戴的等腰三角形的耳环，是不是很漂亮？三角形的内角和是 180 度，这可是个非常重要的知识点。
我记得有一次和孩子一起做手工，我们用硬纸板剪了几个三角形，然后想办法去测量它们的内角和。
孩子一开始还不太相信内角和一定是 180 度，结果我们量了又量，算了又算，最后得出的结论都是 180 度，孩子可兴奋了，对这个知识点记得特别牢。
三角形还有个很重要的性质，就是三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这在我们生活中也很有用呢！比如说，我们要搭一个三角形的架子，如果选的三根木条长度不符合这个条件，那可就搭不成三角形啦。
再来说说三角形的面积。
三角形的面积等于底乘以高除以 2。
这就好比我们要给一块三角形的地种庄稼，得先算出它的面积，才能知道需要多少种子。
在高中阶段，我们对三角形的研究就更深入啦。
三角形所有知识点总结
三角形所有知识点总结一、三角形的定义和性质1.1 三角形的定义三角形是由三条线段相互连接而成的闭合图形。
1.2 三角形的分类根据边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类： - 等边三角形：三条边的长度相等。
- 等腰三角形：两条边的长度相等。
- 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
- 钝角三角形：其中一个角大于90度。
- 锐角三角形：三个角都小于90度。
1.3 三角形的性质三角形有许多重要性质需要了解： - 三角形的内角和为180度。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 等边三角形的三个角都是60度。
- 等腰直角三角形的两个锐角都是45度。
二、三角形的重要定理2.1 三角形的重心定理重心定理指出，三角形的三条中线交于一点，该点被称为重心。
重心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：重心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.2 三角形的垂心定理垂心定理指出，三角形的三条高交于一点，该点被称为垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离满足以下关系：垂心到某个顶点的距离等于其他两个顶点到该顶点距离的和的一半。
2.3 三角形的外心定理外心定理指出，三角形的三条垂直平分线交于一点，该点被称为外心。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
2.4 三角形的角平分线定理角平分线定理指出，三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为角平分点。
角平分点到三角形的三个顶点的距离满足以下关系：角平分点到某个顶点的距离与该边对应边的长度之比等于另外两个顶点到对边的距离与对边长度的比值。
三、三角形的边长计算公式3.1 三角形的周长三角形的周长即三边之和，用公式表示为：周长 = 边1长 + 边2长 + 边3长。
3.2 三角形的面积根据海伦公式，可以计算三角形的面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可通过以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s=(a+b+c)/2。
三角形概念大全
三角形概念大全三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个顶点组成。
在这篇文章中，我们将详细介绍三角形的概念、性质、分类以及一些与三角形相关的重要定理和公式。
1. 三角形的基本概念三角形是由三条线段（边）和三个点（顶点）组成的多边形。
其中，边是连接两个顶点的线段，而顶点是多边形的拐角处。
三角形中的三个顶点用大写字母A、B、C表示，对应的边用小写字母a、b、c表示。
2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A +∠B + ∠C = 180°。
（2）外角和定理：三角形的一个内角和其相邻的两个外角之和等于360度。
即∠A + ∠D + ∠E = 360°。
（3）角平分线定理：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三角形的各边的距离相等。
（4）中线定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心，重心到三角形的各顶点的距离相等。
3. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种类型：（1）按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。
b. 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
（2）按角度分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
（3）综合分类：a. 等腰直角三角形：一条等边与一个直角。
b. 等边锐角三角形：三个等边均为锐角。
c. 正三角形：既是等边三角形又是等腰三角形同时也是锐角三角形。
4. 三角形的重要定理和公式（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
a² + b² = c²（c为斜边）（2）正弦定理：三角形中，边与其对应的正弦值成比例。
a/sinA = b/sinB = c/sinC（3）余弦定理：三角形中，边与其余弦值成反比。
a² = b² + c² - 2bc*cosA （a为边A对应的边长，A为角A对应的内角，b和c同理）（4）海伦公式：已知三角形的三边长度，可以求出三角形的面积。
三角形
一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．二．三角形的高、中线及角平分线1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．2．如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高，那么下列判断正确的是（）A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN3．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定4．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点5．若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是三角形．6．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD 中，BD边上的高是cm．7．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可1．若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5 B．3＜c＜8 C．2＜c＜8 D．2≤c≤82．三角形的两边长为6cm和3cm，则第三边长可以为（）A．2 B．3 C．4 D．103．以下各组线段长能组成三角形的是（）A．1，5，6 B．4，3，5 C．2，5，8 D．5，5，12 4．已知三角形的两边长分别是2cm和7cm，其周长的数值为偶数，则此三角形的周长为．5．若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．6．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．1．下列图形中不具有稳定性是（）A．B．C．D．2．下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三脚架D．放缩尺3．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．两定确定一条直线D．三角形的稳定性4．如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状，说明三角形具有②四边形木架的形状说明四边形没有．（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰直角2．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB 的度数是（）A．35°B．70°C．85°D．95°3．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（）A．60°B．100°C．120°D．150°4．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝°．5．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，根据三角形按角进行分类，这个三角形是三角形．∠A＝度．6．如图，将一张三角形纸片折叠，使得点A、点C都与点B重合，折痕分别为DE、FG，此时测得∠EBG＝36°，则∠ABC＝°．7．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝50°，求∠BDC的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．1．如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．110°B．30°C．150°D．90°2.如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（）A．∠1＝∠A+∠B B．∠1＝∠2+∠AB．C．∠1＝∠2+∠B D．∠2＝∠A+∠B3．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75°B．105°C．135°D．165°4．如图，BC⊥ED于点O，∠A＝50°，∠D＝20°，则∠B＝度．5．如图，求x的值．6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度数．7．如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的外角平分线，CD与BD交于点D．（1）若∠A＝50°，则∠D＝；（2）若∠A＝80°，则∠D＝；（3）若∠A＝130°，则∠D＝；（4）若∠D＝36°，则∠A＝；（5）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性．（六）多边形①多边形的对角线2)3(nn条对角线②n边形的内角和为（n－2）×180°③多边形的外角和为360°1．内角和为720°的多边形是（）A．B．C．D．2．正十二边形的一个内角的度数为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°3．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．74．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形5．一个多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形共有条边．6．若一个多边形的外角和比它的内角和的少90°，求多边形的边数．。
三角形的所有定理
三角形的所有定理
1.三角形内角和定理：任何一个三角形的内角和为180度。
2.内角定理：一个三角形的任何一个内角都小于两个锐角之和，大于任何一个钝角。
3.外角定理：一个三角形的任何一个外角都等于它不相邻的两个内角之和。
4.等腰三角形定理：一个三角形如果有两个相等的角，则这个三角形就是等腰三角形，其对边也相等。
5.直角三角形定理：一个三角形如果有一个角是90度，则这个三角形就是直角三角形。
6.等边三角形定理：一个三角形如果三个角都相等，则这个三角形就是等边三角形，其三边也相等。
7.法拉第定理：一个三角形的内心到三个顶点的距离的乘积等于选择不同两点时的外心到这两点距离的积。
8. 海龙公式：给定三角形的三边a、b、c，其面积S=sqrt(s(s-
a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长。
9.三角形的正弦定理：在一个三角形中，任何一条边的长度与其所对的角的正弦值成比例。
10.三角形的余弦定理：在一个三角形中，任何一条边的平方等于其它两边平方和减去这两边的积与这条边的余弦值成积。
三角形及三角函数公式
三角形及三角函数公式三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础形状之一。
在本文中，我们将探讨三角形的性质以及与之相关的三角函数公式。
一、三角形的基本性质三角形是由三条边和三个角所确定的平面图形。
在三角形中，有一些基本概念和性质我们需要了解。
1. 三角形的内角和定理根据三角形的性质，三角形的三个内角的和为180度。
即：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这是一个重要的定理，对于解决三角形相关问题很有帮助。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角定义为不与三角形的内角相邻的角。
根据三角形的性质，三角形的外角的和等于360度。
即：∠X + ∠Y + ∠Z = 360°。
3. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 直角三角形：拥有一个直角（90度）的三角形。
- 钝角三角形：拥有一个钝角（大于90度）的三角形。
- 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90度）的三角形。
二、三角函数公式三角函数是数学中常见的函数之一，它们与三角形的角度和边长之间有着密切的关系。
下面是一些重要的三角函数公式。
1. 正弦定理正弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b、c，对应的角度为∠A、∠B、∠C，则有以下的正弦定理公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R其中R为三角形外接圆的半径。
2. 余弦定理余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b、c，对应的角度为∠A、∠B、∠C，则有以下的余弦定理公式：a² = b² + c² - 2bc * cos∠Ab² = a² + c² - 2ac * cos∠Bc² = a² + b² - 2ab * cos∠C3. 正切定理正切定理描述了三角形的角度与边长之间的关系。
证明三角形的方法
证明三角形的方法证明三角形的方法有很多，以下将介绍其中几种常见的证明三角形的方法。
方法一：正弦定理三角形的正弦定理是指，在任意一个三角形ABC中，有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别是三角形ABC的边长，A、B、C分别是三角形ABC的内角。
通过正弦定理，我们可以通过已知的两个角和一个边长，求得另外两个边长，或者通过已知的两个边长和一个角，求得另外一个边长。
这样，我们就可以确定了三角形ABC的三个边长。
方法二：余弦定理三角形的余弦定理是指，在任意一个三角形ABC中，有以下等式成立：c²= a²+ b²- 2abcosC其中a、b、c分别是三角形ABC的边长，C是三角形ABC的对应内角。
通过余弦定理，我们可以通过已知的两个边长和一个内角，求得另外一个边长，或者通过已知的三个边长，求得一个内角。
这样，我们就可以确定了三角形ABC的三个边长或三个内角。
方法三：勾股定理三角形的勾股定理是指，如果一个三角形的两个边长和斜边的关系满足a²+ b²= c²，则这个三角形是一个直角三角形。
勾股定理是三角形中最常用的定理之一，通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
方法四：相似三角形的性质如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
相似三角形的性质可以帮助我们求解未知的三角形边长或者角度。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边长之间存在着等比关系。
通过相似三角形的性质，我们可以利用已知的三角形边长和角度来求解未知的三角形边长或者角度。
方法五：共线性质三角形的三个顶点可以看作是三个向量，在平面直角坐标系下，可以使用向量的共线性质来证明三角形。
如果三个顶点的向量满足向量共线的性质，则可以证明这三个点是一个三角形。
共线性质可以通过向量的线性组合来表示，如果一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合，则这三个向量是共线的。
三角形的几何定理
三角形的几何定理
1. 三角形内角和定理：任意三角形的内角和等于180度。
2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。
3. 等腰三角形定理：一个三角形的两个角相等，则对应的两边也相等。
4. 等边三角形定理：一个三角形的三个角均相等，则三条边也相等。
5. 直角三角形定理：一个三角形中，若一个角为90度，则另外两个
角为锐角或钝角。
6. 锐角三角形定理：一个三角形中的三个内角均小于90度。
7. 钝角三角形定理：一个三角形中的一个内角大于90度。
8. 三角形的角平分线定理：三角形内一条角的角平分线将对应的边分
成的两条线段的比等于与这条角对应的两个内角的正弦比。
9. 正弦定理：一个三角形中，任意一边的长度与其对应的角的正弦值
成正比。
10. 余弦定理：一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方
和减去这两边的乘积与对应的角的余弦值的两倍的乘积。
三角形-ppt课件
图9
14.如图9， 是 的外角， 平分 ，若 ， ，则 _ ___.
15.已知 为正整数，若一个三角形的三边长分别是 ， ， ，则满足条件的 值有___个.
7
图10
16.将三角尺按如图10所示放置在一张矩形纸片上， ， ， ，则 的度数为_ _____.
三、解答题
C
A. B. C. D.
图4
7.如图4，已知直线 ， ， ，则 的度数为( ) .
B
A. B. C. D.
图5
8.将一副三角尺按图5所示位置摆放，点 在 上，其中 ， ， ， ， ，则 的度数是( ) .
A
A. B. C. D.
图6
9.如图6， ， 是 的高， 与 相交于点 ，则 与 之间的数量关系是( ) .
C
A. B. C. D.不能确定
图7
10.如图7，将 沿着 减去一个角后得到四边形 ，若 和 的平分线交于点 ， ，则 的度数是( ) .
B
A. B. C. D.
图11
17.如图11，在 中， 分别是 的高和角平分线.
（1）若 ， ，求 的度数.
[答案]
（2）写出 与 的数量关系,并证明你的结论.
[答案]
图12
18.如图12，在 中， ， 于点 .
（1）求证 .
证明： ， ， ，
（2）若 平分 分别交 于点 求证 .
第十一章 三角形
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理1
三角形
与三角形有关的边
（1）三角形的定义：由__________________的三条线段______________所组成的图形.（2）三边关系：三角形两边的和______第三边，两边的差______第三边.（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线________所得线段.（4）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段.（5）三角形的重心：三角形三条______的交点.
关于三角形的全部公式
关于三角形的全部公式三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角构成。
在研究三角形的性质和计算其各种要素时，我们需要掌握一些基本的公式。
本文将介绍三角形的周长、面积、角度和边长之间的关系，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、周长公式三角形的周长是指三条边的长度之和。
假设三角形的三条边分别为a、b、c，则其周长P为：P = a + b + c二、面积公式1. 三角形面积公式三角形的面积是指三角形所围成的空间的大小。
根据三角形的底和高，我们可以使用以下公式计算三角形的面积。
假设三角形的底为b，高为h，则其面积S为：S = (1/2) * b * h2. 海伦公式对于任意三角形，我们可以使用海伦公式计算其面积。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则其面积S为：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为半周长，即s = (a + b + c)/2。
三、角度公式1. 内角和公式三角形的三个内角之和等于180°。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：A +B +C = 180°2. 直角三角形的特殊角度关系对于直角三角形，其中一个角为90°，我们可以使用特殊的角度关系求解其余角度。
假设直角三角形的两个锐角为A、B，则有：A +B = 90°四、边长关系1. 余弦定理余弦定理适用于任意三角形，其描述了三角形边长和夹角之间的关系。
假设三角形的三个边长为a、b、c，与边a相对的角度为A，与边b相对的角度为B，则有：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)b² = a² + c² - 2ac*cos(B)a² = b² + c² - 2bc*cos(A)2. 正弦定理正弦定理也适用于任意三角形，在已知一个角度和与之相对的边长的情况下，可以求解其他边长。
三角形的分类(含多场景)
三角形的分类三角形是由三条线段所围成的图形，其中每条线段称为三角形的边，每两条边所形成的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边长和角度的不同，我们可以将三角形进行分类。
本文将详细介绍三角形的分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形。
一、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在等边三角形中，每个内角都是60度。
等边三角形的性质包括：三条中线相等，三条高相等，三条角平分线相等，内切圆和外接圆半径相等。
二、等腰三角形等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角相等，顶角等于180度减去两个底角的和。
等腰三角形的性质包括：两条中线相等，两条高相等，两条角平分线相等。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个内角是90度的三角形。
在直角三角形中，其余两个内角必须是锐角或钝角。
直角三角形的性质包括：勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、锐角三角形锐角三角形是指三个内角都是锐角（小于90度）的三角形。
锐角三角形的性质包括：三个内角的和等于180度，最长边对应最大的内角。
五、钝角三角形钝角三角形是指其中一个内角是钝角（大于90度）的三角形。
钝角三角形的性质包括：三个内角的和等于180度，最长边对应最大的内角。
六、等腰直角三角形等腰直角三角形是指既是等腰三角形又是直角三角形的三角形。
在等腰直角三角形中，两个腰长相等，底边是腰长的根号二倍。
等腰直角三角形的性质包括：勾股定理，两条中线相等，两条高相等，两条角平分线相等。
三角形可以根据边长和角度的不同进行分类，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形。
每种三角形都有其独特的性质和特点。
通过对三角形的分类，我们可以更好地理解和应用三角形的性质和定理。
在上述分类中，直角三角形是一个需要重点关注的类别，因为它具有独特的性质和应用，特别是在数学和物理学中。
直角三角形的一个著名性质是勾股定理，它描述了直角三角形两条直角边与斜边之间的关系。
三角形
三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
目录展开由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°证明：做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E∵AB∥CE（已知）∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等)∵∠BCD=180°∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）三角形是几何图案的基本图形，几边形都是由三角形组成的。
两直线平行，同旁内角互补。
三角形的内角和三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《优因培：走进三角形》（1）如何证明三角形的内角和方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，求出内角和为180°方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180° 编辑本段三角形分类(1)按角度分a.锐角三角形：三个角都小于90度。
并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt 三角形）：⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。
三角形的分类与判断方法
三角形的分类与判断方法三角形是我们数学中最基本的几何图形之一，它由三条边组成。
根据边长和角度的不同关系，我们可以将三角形进行分类。
本文将介绍三种常见的分类方式，并详细说明判断方法。
一、按照边长分类1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
我们可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等边三角形。
若三条边的长度都相等，则可以判定为等边三角形。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
我们同样可以通过测量三条边的长度来判断一个三角形是否为等腰三角形。
若两条边的长度相等，则可以判定为等腰三角形。
3. 普通三角形普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。
若三条边的长度都不相等，则可以判定为普通三角形。
二、按照角度分类1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。
我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为直角三角形。
若其中一个角为直角，则可以判定为直角三角形。
2. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角为钝角（大于90度）的三角形。
同样，我们可以通过测量三个角的度数来判断一个三角形是否为钝角三角形。
若其中一个角为钝角，则可以判定为钝角三角形。
3. 锐角三角形锐角三角形是指三个角都为锐角（小于90度）的三角形。
若三个角都为锐角，则可以判定为锐角三角形。
三、按照边长和角度综合分类在实际应用中，我们常常根据三角形的边长和角度综合判断其分类。
以下是一些常见的三角形分类：1. 等边直角三角形若一个三角形既是等边三角形又是直角三角形，我们可以判定它为等边直角三角形。
2. 等腰锐角三角形若一个三角形既是等腰三角形又是锐角三角形，我们可以判定它为等腰锐角三角形。
3. 普通钝角三角形若一个三角形既不是等边三角形又不是等腰三角形，且其中一个角为钝角，我们可以判定它为普通钝角三角形。
综上所述，根据边长和角度的不同，我们可以准确地判断三角形的分类。
通过测量边长和角度的大小，运用判断方法，我们能够轻松地对三角形进行分类。
三角形的概念
三角形的概念三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条线段组成，形成一个封闭的图形。
本文将介绍三角形的定义、性质和常见分类。
一、三角形的定义三角形是由三条线段组成的几何图形，其中每两条线段之间所夹的角称为三角形的内角。
三角形的内角和为180度。
二、三角形的性质1. 三边关系三角形的三条边可以有不同的关系。
若三边都相等，则该三角形为等边三角形；若只有两边相等，则称为等腰三角形；若三边都不相等，则为一般三角形。
2. 角关系三角形的三个内角也可以有不同的关系。
若有一个内角为直角（90度），则该三角形为直角三角形；若有一个内角大于90度，则为钝角三角形；若三个内角都小于90度，则为锐角三角形。
3. 角和边关系三角形的角和边之间有一定的关系。
根据三角形的正弦定理和余弦定理，可以计算出未知角度和边长。
这些定理在解决三角形问题时经常被使用。
三、三角形的分类根据边长和角度关系，三角形可以进一步分类。
1. 根据边长- 等边三角形：三条边都相等的三角形，每个内角均为60度。
- 等腰三角形：只有两条边相等的三角形，两个底角相等。
- 一般三角形：三条边都不相等的三角形。
2. 根据角度- 直角三角形：有一个角度为90度的三角形。
- 钝角三角形：有一个角度大于90度的三角形。
- 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了三角形的定义、性质和分类。
三角形作为几何学中最基本的形状之一，在实际生活和数学问题中都有广泛应用。
搞清楚三角形的概念和基本性质，有助于我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
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店上联校北村小学学案（学生用）
姓名科目数学年级五课型新授课课题三角形面积的计算时间编号5-2-1 学习目标：
1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．
2．培养观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．
3．培养勤于思考，积极探索的学习精神．
教学重点:理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．
教学难点:理解三角形面积公式的推导过程．
检测：一、自学检测
1、两个完全一样的三角形能拼成一个（），拼成的（）的底等于三角形的（），高等于三角形的（），面积是每个三角形面积的（），所以一个三角形的面积等于（），用字母表示为（）。
2、一个平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的（）。
二、基础检测
1、判断
（1）平行四边形的面积是三角形面积的2倍。
（）
（2）等底等高的两个三角形的面积一定相等。
（）
（3）平行四边形的面积比三角形的面积大。
（）
（4）一个三角形的底扩大到原来的3倍，高缩小到原来的1/3，面积不变。
（）
2、选择题
（1）直角三角形有（）条高。
A、1
B、2
C、3
（2）两个完全一样的（）三角形可以拼成一个正方形。
A、等腰
B、直角
C、等腰直角
3、解决问题
（1）一个三角形的面积是24平方分米，它的高是5分米，求它的底，
（2）为迎接元旦，学校准备做800面三角形小旗，每面小旗的底是25厘米，高是8厘米，学校需要买多少平方米的红布？
（3）如图正方形的周长是24厘米，那么阴影部分的面积是多少？
店上联校北村小学导案（教师用）
姓名李红梅科目数学年级五课型新授课课题三角形面积的计算时间编号5-2-1 学习目标：
1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．
3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神．
教学重点:理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．
教学难点:理解三角形面积公式的推导过程．
导学流程：
一、复习导入
1．出示平行四边形
1.5厘米
2厘米
提问：(1)这是什么图形?怎样计算平行四边形的面积。
（板书：平行四边形面积＝底×高）
(2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。
(3)平行四边形面积的计算公式是怎样推导的?
2．出示三角形。
三角形按角可以分为哪几种?
3．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）
教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）
二、出示目标、重难点
1、目标：理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．
2、重难点：理解三角形面积公式的推导过程．
三、指导探索
（一）推导三角形面积计算公式．
1．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？
2．用两个完全一样的直角三角形拼．
（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导
（2）可以拼成哪些图形？（大三角形、长方形、平行四边形）
（3）讨论
①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式
吗？为什么？
②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
3．用两个完全一样的锐角三角形拼．
（1）可以拼成哪些图形？（指名演示）
（2）讨论：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
4．用两个完全一样的钝角三角形来拼．由学生独立完成．
5．讨论：
（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？
（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
（3）三角形面积的计算公式是什么？
6、引导学生明确：
①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。
（同时板书）
③这个平行四边形的底等于三角形的底。
（同时板书）
④这个平行四边形的高等于三角形的高。
（同时板书）
7、三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程）
板书：三角形面积＝底×高÷2
如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？
（二）自学例1
红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？
1．由学生独立解答．
2．集体订正
3、尝试练习完成“做一做”
四、练习检测：完成学案
五、课堂总结
这节课大家有什么收获？还有什么疑问？
课后反思：。