三角形边角关系-第3讲的角与边学
第三讲 直角三角形的边角关系讲义
第三讲 直角三角形的边角关系知识点一 正切，正弦及余弦的定义1、正切的定义的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
C B A有什么发现？请加以证明。
3、三角函数的定义（重点）能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
同步练习：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？知识点二 30°，45°，60°角的三角函数值例 求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ；（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
同步练习：1、 求下列各式的值。
（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°(4)022)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60tan 245tan o o o o o oo-+-++----2、 已知a 为锐角，且tana=5，求aa aa sin cos 2cos 3sin +-的值。
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段教案
第3课时三角形中几条重要线段教学目标【知识与技能】1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线.2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的高、角平分线、中线的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】1.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.2.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识.重点难点【重点】三角形的三条高、中线和角平分线的画法.【难点】钝角三角形三条高的画法.教学过程一、创设情境,导入新知师:我们在上节课把三角形按角进行了分类,我请几个同学回答一下什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形.生甲:在三角形中,三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.生乙:在三角形中,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.生丙:在三角形中,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.师:很好!我们上节课学习了一个重要的定理,大家还记得吗?生:记得.三角形三个内角的和等于180°.师:很好!这节课我们继续学习三角形的有关知识.二、共同探究,获取新知师:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗?生:角平分线.师:什么是角平分线呢?生:三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.师:还有什么元素?生:中线.师:什么是中线呢?生:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. 师:还有什么元素呢?生:高.师:什么是高呢?生:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高. 学生熟记定义.师:你能根据这些线的定义作出这些线吗?生:能.师:现在请大家画一个三角形,并作出各个角的平分线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一个角的平分线.∠1=∠2,BD是∠ABC的平分线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条中线.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画一条中线.BD=DC,AD是BC边上的中线.师:现在请大家重新画一个三角形,并作出这个三角形的三条高.学生操作,教师巡视.教师在黑板上演示画三种类型的三角形的一条高线.锐角三角形BC边上的高直角三角形BC边上的高钝角三角形BC边上的高师:你能用折叠的方法作出一个角的平分线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎样做的?生:先作出一个三角形,把它裁剪下来,我折叠要平分的这个角使它的两边重合,这样得到的折痕与这个角的对边有一个交点,连接这个角的顶点与这个交点得到的线段就是这个三角形的角平分线.师:你太聪明了.大家现在都知道怎么作的吗?生:知道.师:那么请同学们动手做一做.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形的一条中线吗?学生思考,交流.生:能.师:你是怎么做的?生:要作出三角形一边上的中线,我折叠这条边,使其两端点重合,折痕与这条边的交点,就是这条边的中点.连接这条边所对角的顶点与这个中点,所得的线段就是这条边上的中线.师:现在请大家动手作出中线.学生操作.师:你能用折叠的方法作出三角形一边上的高吗?学生讨论.生:过这边所对角的顶点折叠三角形,使这条边的两段重合,这样就得到了三角形的高.师:很好,请大家动手做一做.学生操作,教师巡视指导.三、作图练习,理解定义师:三角形的角平分线的定义给出了角平分线的作法,请同学们在纸上画出一个三角形,并根据角平分线的定义,画出三个角的平分线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们再画出一个三角形,然后根据中线的定义,作出中线.学生操作,教师巡视指导.师:请同学们完成教材上“操作”的第1题.学生操作,教师巡视指导,最后集体订正.师:直角三角形的高中,有两条和边重合;钝角三角形的高中,有两条在三角形的外部.请同学们观察一下,你们作出的三条角平分线、三条中线和三条高,它们有什么特点?生甲:三条角平分线交于一点.生乙:三条中线交于一点.生丙:三条高交于一点.师:很好!之前学过的说明三角形意义的语句、本节中说明三角形角平分线意义的语句:“不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形”,“三角形中,一个角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线”,分别是三角形、三角形角平分线的定义.七年级时我们也学过一些定义,如“整数和分数统称为有理数”是有理数的定义.前两个定义揭示了对象的特征性质,后一个定义明确了所指对象的范围.给出定义,就是在于明确研究对象是什么.四、课堂小结师:本节课我们学习了什么内容?生:我们学习了三角形的角平分线、中线和高的定义以及画法.师:对,我们由作图过程知道了三角形的三条角平分线、三条中线和三条高是交于一点的.教学反思本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形三个角的平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的这些线是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.通过实际动手得到的结论,他们的印象会更深刻,理解更透彻.这节课所讲授的三种线段中的两种,即三角形的角平分线和高线都是建立在以往旧知识的基础上的,学生对这两种线段已经有了一定的认识,学习起来更容易.强调三角形中的三种线是“线段”,而不是以往的“射线”.。
北师大版九年级数学下册第一章：三角形的边角关系3、三角函数的计算(教案)
3.实践活动中，学生们的参与度较高，但在小组讨论过程中，部分学生表现较为沉默。为了提高学生的积极性，我将在下次活动中增加互动环节，鼓励学生发表自己的观点，培养他们的团队协作能力。
2.教学难点
-理解锐角三角函数的定义：对于初学者来说，正弦、余弦、正切的概念较为抽象，需要通过直观的图形和具体实例来帮助学生理解。
-计算方法的应用：在实际计算中，学生可能会对如何选择正确的边长进行计算感到困惑。例如，在给定斜边和锐角的情况下，如何求出邻边或对边的长度。
-特殊角的记忆：特殊角的三角函数值需要记忆，但学生可能会混淆，教学中需提供有效的记忆策略。
（3）通过特殊角的三角函数值和诱导公式的学习，增强学生对数学结构与关系的理解，提高数学运算和直观想象能力；
（4）培养学生团队协作、交流表达的能力，激发学生探索数学问题的兴趣，形成正确的数学观念和价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），这是本节课的核心内容。通过具体实例和直角三角形的边长关系，让学生深入理解这些基本概念。
北师大版九年级数学下册第一章：三角形的边角关系3、三角函数的计算（教案）
一、教学内容
北师大版九年级数学下册第一章：三角形的边角关系3、三角函数的计算
（1）锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）；
（2）锐角三角函数的计算方法：利用直角三角形的边长关系进行计算；
（3）三角函数在生活中的应用：测量物体的高度、距离等；
（4）特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值；
三角形的边角关系定理
三角形的边角关系定理三角形是初中数学中重要的几何形体之一，它的边角关系定理是我们学习三角形的基础。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍三角形的边角关系定理，并通过实例和分析来说明其应用。
希望这些知识对中学生和他们的父母有所帮助。
1. 三角形的内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数之和等于180度。
这个定理对于解决三角形的角度问题非常有用。
例如，我们可以用内角和定理来求解一个已知两个角度的三角形的第三个角度。
假设一个三角形的两个角度分别是60度和80度，那么第三个角度可以通过180度减去这两个角度的和来得到，即180度 - 60度 - 80度= 40度。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角和定理是指三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
这个定理可以用来求解三角形的外角度数。
例如，如果一个三角形的两个内角分别是60度和80度，那么它的一个外角可以通过将这两个内角相加来得到，即60度 + 80度 = 140度。
3. 直角三角形的边角关系定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是90度。
直角三角形的边角关系定理包括勾股定理和正弦定理。
勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用来求解直角三角形的边长。
例如，如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度可以通过计算3的平方加上4的平方，再开平方根来得到，即√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5。
正弦定理是指直角三角形中，正弦值与边长之间的关系。
根据正弦定理，直角三角形中一个锐角的正弦值等于与该角对应的直角边与斜边之间的比值。
这个定理可以用来求解直角三角形中的角度。
例如，如果一个直角三角形的斜边长度是5，而一个锐角的对边长度是3，那么这个锐角的正弦值可以通过计算3除以5来得到，即sinθ = 3/5。
4. 三角形的角平分线定理三角形的角平分线定理是指三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，且内心到三个顶点的距离相等。
第3课时“角边角”和“角角边”习题课件
解析：根据SSA全等条件，如果两条边和一个非夹角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。
题目：两个三角形中，如果两条边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形是否全等？ 解析： 根据SAS全等条件，如果两条边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
相关定理的拓展学习
角边角定理的推广： 在三角形中，如果 两个角和一边相等， 则三角形全等。
角角边定理的推广： 在三角形中，如果 两个角和一边相等， 则三角形相似。
边边角定理的推广： 在三角形中，如果两 边和一边的对角相等， 则三角形相似。
三角形相似的判定定理： 如果两个三角形的两组 对应边成比例，且夹角 相等，则三角形相似。
掌握常见的解题方 法，如构造辅助线、 利用公共边和公共 角等。
学会分析题目中 的条件，寻找合 适的解题思路。
解题思维训练
掌握基本概念：理解角边角和角角边的定义及判定定理，是解题的基础。 分类讨论：根据不同情况，进行分类讨论，是解题的关键。 综合运用：综合运用相关知识，是解题的核心。 思维拓展：通过解题训练，拓展思维，提高解题能力。
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角边角和角角边习题课件
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 角边角定理及其应 用
03 角角边定理及其应 用
04 习题解答与解析
05 解题思路与技巧
06 习题拓展与延伸
添加章节标题
角边角定理及其应用
定义：角边角定理是指两个三角形 如果有两个角和一边分别相等，则 这两个三角形全等。
三角形角与边的关系公式
三角形角与边的关系公式三角形是几何中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
在三角形中，角与边之间有许多重要的关系公式。
这些公式对于计算和解决三角形相关的问题非常重要。
在本文中，我们将介绍一些最常用的三角形角与边的关系公式。
一、三角形的角度关系：1.三角形内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的和等于180度。
可以表示为：A+B+C=180°。
2.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的和等于360度。
可以表示为：A'+B'+C'=360°。
3.三角形的对顶角：三角形的一内角和另外两个内角的补角相等。
即三角形的对顶角相等。
可以表示为：A=B'，B=A'，C=C'。
4.三角形的同位角：同位角是指两个三角形中分别相对的内角或外角。
同位角之和等于180度。
即同位角之和等于180度。
可以表示为：A+A'=180°，B+B'=180°，C+C'=180°。
二、三角形的边长关系：1.余弦定理：余弦定理是用来计算三角形一边的长度的定理。
它表示为：c^2 =a^2 + b^2 - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为三角形的两边，C为两边夹角的余弦。
2.正弦定理：正弦定理是用来计算三角形两边与其对应角度的比例的定理。
它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c为三角形的三条边，A、B、C为三角形的三个角度。
3.正切定理：正切定理是用来计算三角形两边与其夹角正切值的比例的定理。
它表示为：tanA = (a/b)，tanB = (b/a)。
其中a和b为三角形的两边，A和B为三角形的两个夹角。
4.边角关系定理：边角关系定理是用来计算三角形边与角度之间的关系的定理。
它表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系知识点梳理一、 边1、根本概念〔三角形、边、 顶点的定义；三角形的符号表示〕2、按边对三角形的分类：≠⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形☆3、三边关系：〔1〕任意两边之和大于第三边 〔2〕任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角1、根本概念〔内角、外角〕2、按角对三角形的分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形3、三角形的内角和〔1〕三角形三个内角和等于180°； 〔2)直角三角形的两个锐角互余； 〔3〕一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。
三、线1、中线(1) 定义 〔2〕 重心 〔3〕中线是线段 〔4〕 表示方法 2、高线〔1〕定义 〔2〕垂心 (3〕高是线段，垂线是直线 〔4〕表示方法 〔5〕钝角三角形高的画法 3、角平分线〔1〕定义 (2)外心 〔3〕画法 〔4〕表示方法 四、方法技能归纳法在规律探索中的应用。
根底练习第1题-〔1〕 第1题-〔2〕 第1题-〔2〕1、〔1〕以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有 ；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.〔2〕图〔1〕中三角形的个数是____________;★图〔2〕中三角形的个数是____________。
2、三角形按角分类可以分为〔 〕A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C ．直角三角形、等边直角三角形；D ．以上答案都不正确3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长是___________________________4、假设三角形的三边长分别为3,4，x -1，那么x 的取值范围是_________________________5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成_____个三角形6、,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，那么ABC 是__________三角形7、以下说法正确的选项是_____________________〔1〕等边三角形是等腰三角形； 〔2〕三角形的两边之差大于第三边；〔3〕有两边相等的三角形一定是等腰三角形； 〔4〕一个钝角三角形一定不是等腰三角形。
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计3
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计3一. 教材分析《三角形中的边角关系》是沪科版数学八年级上册第13.1节的内容，本节课主要让学生掌握三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
通过本节课的学习，学生能够进一步理解三角形的性质，为后续学习三角形的相关知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念，如三角形的定义、三角形的分类等。
同时，学生也已经学习了角的性质，如角的度量、角的分类等。
但是，学生对于三角形中的边角关系还没有深入的了解，需要通过本节课的学习来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，让学生发现并证明三角形中的边角关系。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，让学生感受数学的美妙，培养学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握三角形中的边角关系。
2.教学难点：证明三角形中的边角关系，并能够灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现三角形中的边角关系。
2.探究教学法：让学生通过观察、操作、推理等方法，自主发现并证明三角形中的边角关系。
3.小组合作教学法：让学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.教学多媒体：PPT、视频等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如“在只知道三角形两边长度的情况下，如何判断第三边的长度？”来引导学生思考三角形中的边角关系。
2.呈现（10分钟）利用PPT或视频，展示三角形中的边角关系，包括三角形的内角和定理、三角形的两边之和大于第三边、三角形的两角之和大于第三角等。
同时，让学生观察并思考这些边角关系是否成立。
三角形全等的判定1-第3课时-“角边角”、“角角边”
目录
CONTENTS
• 引言 • 角边角判定 • 角角边判定 • 课堂练习与解析 • 总结与回顾
01 引言
CHAPTER
课程目标
掌握“角边角”和“ 角角边”两种三角形 全等的判定方法。
理解三角形全等在几 何学中的重要性和应 用。
能够运用这两种判定 方法解决实际问题。
在下节课中，我们将深入探讨三角形 全等的各种判定方法，并学习如何运 用这些判定方法解决更复杂的几何问 题。
谢谢
THANKS
04 课堂练习与解析
CHAPTER
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：基础练习题主要涉及三角形全等判定中的“角边角”和“角角边”定 理的基本应用，通过简单的题目帮助学生理解并掌握这两种判定方法的基本概念 和条件。
进阶练习题
总结词：提升难度
详细描述：进阶练习题在基础练习题的基础上增加了一些难度，题目中可能涉及到一些复杂的图形和 条件，需要学生灵活运用“角边角”和“角角边”定理进行解答，以提高学生的解题能力和思维灵活 性。
应用示例
在解决实际问题时，如测量、工程设计等，经常需要证明两个三角形是否全等， 此时可以使用角边角判定定理进行证明。
03 角角边判定
CHAPTER
定义与性质
定义
角角边判定是指两个三角形中，两个角和一边分别相等，则这两个三角形全等。
性质
角角边判定是三角形全等判定的一种，它具有传递性、对称性和不可分解性。
判定定理及证明
判定定理
如果两个三角形中，两角和一边分别相等，则这两个三角形 全等。
证明
首先，根据已知条件，两个三角形有两个角分别相等，则第 三个角也必然相等（角的和定理）。其次，已知一边相等， 结合前面的三个角分别相等，根据全等三角形的判定定理， 可以证明两个三角形全等。
2020八年级数学上册 第13章 13.1 三角形中的边角关系 第3课时 三角形中几条重要线段教案
第3课时三角形中几条重要线段◇教学目标◇【知识与技能】1.了解并掌握三角形的角平分线、中线和高的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的角平分线、中线和高;2.通过作图了解三角形的三条角平分线、三条中线和三条高分别交于一点.【过程与方法】经历探究三角形的角平分线、中线和高的过程,掌握其应用方法,发展空间观念.【情感、态度与价值观】经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线和角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯.发展学生合情推理的能力.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的角平分线、中线和高的画法.【教学难点】钝角三角形的三条高的画法.◇教学过程◇一、情境导入上节课我们学习了按角给三角形分类,分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.这节课我们学习三角形中几条重要线段.二、合作探究问题1:三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,除此以外,还有其他什么元素吗?问题2:画一个三角形,再分别画出它的角平分线、中线、高线三角形的角平分线、中线、高线交于一点吗?都在三角形的内部吗?结论:三角形的三条角平分线、三条中线和三条高都交于一点.其中,三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心.三角形的角平分线和中线都在三角形的内部,三角形的高线不一定在三角形的内部,直角三角形的高线可能在三角形上,钝角三角形的高线可能在三角形外部.典例1已知,如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点,观察图形,试猜想∠C和∠DOE之间具有怎样的数量关系,并论证你的猜想.[解析]连接OC,由三角形的内角和等于180°,得∠OCE+∠COE+∠CEO=180°,∠OCD+∠COD+∠CDO=180°,又因为AD和BE是△ABC的高,所以∠CEO=∠CDO=90°,所以∠OCE+∠COE+∠OCD+∠COD=180°,即∠C+∠DOE=180°.三、板书设计三角形中几条重要线段角平分线:三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交,顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.中线:三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.高线:从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,也叫做三角形的高.◇教学反思◇本节课通过让学生自己动手作图,作出三角形的三条角平分线、三条中线和三条高,让学生深刻理解它们的定义.通过画图和观察图形让学生自己去发现同一三角形的角平分线、中线、高分别是交于一点的,培养他们观察、总结的能力.。
教学课件：第3课时-“角边角”、“角角边”
证明与推导
总结词
掌握“角边角”定理的证明与推导过 程是深入理解该定理的关键。
详细描述
“角边角”定理的证明可以通过构造 辅助线，利用已知条件和三角形的基 本性质进行推导。具体证明过程可以 参考数学教材或相关资料。
应用实例
总结词
通过应用实例，可以更好地理解和运用“角边角”定理。
详细描述
应用“角边角”定理可以解决一些实际问题，例如在几何图 形中证明两个三角形全等，或者在解题过程中利用全等关系 简化计算。
教学课件：第3课时-“角边角” 、“角角边”
目录
• 引言 • “角边角”定理 • “角角边”定理 • 习题与解答 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
01
角边角（ASA）和角角边（AAS） 是三角形全等的两种重要判定方法。
02
通过学习这两种判定方法，学生 将能够理解三角形全等的条件， 并能够在实际问题中应用这些条 件。
学生还需要注意理解和掌握定理的证 明过程，了解数学证明的基本方法和 思路，提高自己的数学素养和逻辑思 维能力。
在学习过程中，学生需要积极思考和 参与课堂讨论，通过实际操作和探究， 培养自己的数学思维能力和解决问题 的能力。
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答案3
由于$angle A = 45^circ$，$angle B = 30^circ$，所以$angle C = 180^circ - 45^circ - 30^circ = 105^circ$。根据三角形内角和定理， 我们可以得到$triangle ABC$是等腰 三角形。因此，三角形的高等于底边 的一半，即$h = frac{BC}{2} = 1$。 所以，三角形$ABC$的面积为 $frac{1}{2} times BC times h = fra04 习题与解答
最新版初中数学教案《角边角和角角边 》精品教案(2022年创作)
第3课时角边角和角角边一、新课导入1.导入课题:一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来形状大小相同的三角形硬纸板吗？下面我带着这个问题学习——三角形的又一个重要的判定方法.2.学习目标:〔1〕能述出“角边角〞定理.〔2〕能运用“角边角〞定理解决简单的推理证明问题.3.学习重、难点：重点：“角边角〞定理及其应用.难点：灵活运用三角形全等条件证明三角形全等.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：探究有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：参考探究提纲进行实验操作，并进行观察、思考，得出你的结论.有困难的学生可以合作学习.〔4〕探究提纲：①动手操作：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么结论？②将你发现的结论写下来：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等〔简写成“角边角〞或“ASA〞〕.③将上述结论用几何语言表示为：在△ABC和△A′B′C′中∵∠A=∠A′，AB=A′B′，∠B=∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：观察学生动手情况，特别是结论的归纳及表述是否正确、简洁.②差异指导：对学生学习中存在的问题予以分类指导.〔2〕生助生：针对个别学生学习中存在的疑点进行互助交流.4.强化：“ASA〞的文字表述及符号表述.1.自学指导：〔1〕学习内容：教材第40页例3到教材第41页“练习〞前面的内容.〔2〕自学时间：10分钟.〔3〕自学方法：结合图形，对照条件寻找符合“AS A〞的对应元素.〔4〕自学参考提纲：①例3中，要证明AD=AE，可通过证明哪两个三角形全等得到？根据条件采用哪种判定方法？△ACD≌△ABE(ASA).证明中对应相等的元素排列次序有讲究吗？公共角(公共边)是∠A.②认真阅读例4a.条件中的两个角是边的夹角吗？不是b.仔细阅读例题的证明过程，该题的证明是用我们学过哪个定理来证明的？三角形内角和定理c.该例题得出了一个什么结论？结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等〔简写为：角角边或AAS〕将上述结论用几何语言表示为：在△ABC和△DEF中∵∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF∴△ABC≌△DEF(AAS)③小组合作完成教材第41页上面的思考.a.小组长给出任意三个角的度数，小组内的所有成员动手画一画，然后比一比，画出的三角形全等吗？b.通过“思考〞的学习，我们明白了什么道理？结论:三个角分别相等的两个三角形不一定全等.c.归纳交流：判定两个三角形全等的方法有哪些？2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：对于例4的证明，学生对条件的转换容易混淆，教材第41页的思考在小组合作下学习，局部学生也会存在一定的困难.②差异指导：对学生存在的问题予以启发指导.(2)生助生：对教材第41页的“思考〞由小组共同合作交流相互帮4.强化：〔1〕有两个角及一边对应相等的两个三角形全等，其对应关系有两种情况：“ASA〞、“AAS〞〔2〕练习：①如图，EA⊥AB，DB⊥AB，∠ACE=∠BDC，AE=BC，试判断CE与CD的关系.解：∵EA⊥AB,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°,在△ACE和△BDC中，∠ACE=∠BDC,∠A=∠B,AE=BC,∴△ACE≌△BDC〔AAS〕.∴CE=CD.②判断：a.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等.(×)b.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等.(√)三、评价1.学生的自我评价：学生相互交流自己的学习收获和困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价〔课堂评价检测〕.3.教师的自我评价〔教学反思〕：本课时教学以“自主探究——合作交流〞为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究，合作学习的能力.同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回忆总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学一、根底稳固〔每题10分，共50分〕△ABC和△A′B′C′中，从以下各组条件中，选取的三个条件不能保证△ABC≌△A′B′C′的是〔B〕①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′A.①②③B.①②④C.③④⑤②③⑥2.如果两个三角形中两条边和其中一边所对的角相等，那么这两个三角形〔C〕∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，那么∠BCF= (D)A.150°B.40°C.80°D.90°4.如图，假设△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，那么∠BAD=35度.5.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,图中全等三角形共有6对.二、综合运用〔每题15分，共30分〕6.：如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，〔1〕假设以“SAS〞为依据，还须添加的一个条件为BC=EF.〔2〕假设以“ASA〞为依据，还须添加的一个条件为∠A=∠D.〔3〕假设以“AAS〞为依据，还须添加的一个条件为∠ACB=∠F.7.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AD=BC，AB=ＤC，你能说明其中的道理吗？(可添加辅助线)解：连接AC.∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠BAC=∠DCA,∠DAC=∠BCA,又AC=CA,∴△BAC≌△DCA〔ASA〕.∴AD=BC,AB=DC.三、拓展延伸〔20分〕8.如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.证明：∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中，AB=CD,AE=CF,BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴∠B=∠D.∴AB∥CD.∴∠BAO=∠DCO.在△ABO和△CDO中，∠B=∠D,AB=CD,∠BAO=∠DCO,∴△ABO≌△CDO,∴BO=DO,AO=CO,即AC与BD互相平分.【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.====，∴AB=BC=CD=DE=EA，证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE BCE CDA AB3是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。
13.1三角形中的边角关系 第3课时 三角形中几条重要线段课件2024-2025学年沪科版数学八上
新知导入
如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动 到点C,观察移动过程中形成的无数条线段中，有没有特殊位置的 线段?
今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!
新知讲解
任务一：三角形中的特殊线段 角平分线：
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线．
直角三角形三条高的交点在直角顶点； 钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
新知讲解
操作：2.任意画一个三角形，画出三边上的中线．
A
F
E
O
B
D CB
锐角三角形
A
F
O D
E CB
A FO E
D
C
直角三角形
钝角三角形
新知讲解
三角形的中线的特征： (1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于
一点； (2)三角形的中线是一条线段； (3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相
C
F
D
A
B
E
直角三角形
C
D
F
A
B
E
钝角三角形
新知讲解
三角形：不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所
组成的封闭图形叫做三角形. 三角形的角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个 角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平
揭示了对 象的特征 性质.
分线.
有理数：整数和分数统称有理数.
明确所指对象的范围
D
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
B
C
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC
12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”
第十二章全等三角形12.2 全等三角形的判定第3课时“角边角”和“角角边”学习目标：1.了解1.探索三角形全等的“角边角”和“角角边”的条件2.应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等.重点：已知两角一边的三角形全等探究.难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.自主学习一、知识链接1.能够的两个三角形叫做全等三角形.2.判定两个三角形全等方法有哪些?边边边：对应相等的两个三角形全等.边角边：和它们的对应相等的两个三角形全等.二、新知预习1.在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？2.现实情境一张教学用的三角板硬纸不小心被撕坏了，如图：你能制作一张与原来同样大小的新道具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？（1）以①为模板，画一画，能还原吗？（2）以②为模板，画一画，能还原吗？（3）以③为模板，画一画，能还原吗？（4）第③块中，三角形的边角六个元素中，固定不变的元素是_____________.猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ABCFED一、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB ，∠A ′=∠A ，∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？你能得出什么结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA ”).几何语言：如图，在△ABC 和△DEF 中，≌△DEF.典例精析例1：如图，已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝ ∠DBC ，求证：△ABC ≌△DCB ．例2：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.方法总结：证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来解决. 针对训练如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm ，你能画出这个三角形吗?课堂探究A B CABC FED追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.典例精析例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．针对训练如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()二、课堂小结 全等三角形判定定理3简称图示符号语言有两角及夹边（或一角的对边）对应相等的两个三角形全等 “角边角”（ASA ）或“角角边”(AAS)∴△ABC ≌△A 1B 1C 1(ASA)．推论：“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”来证明两个三角形全等.1.△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ） A ．AC ＝DF B ．BC ＝EF C ．∠A＝∠D D ．∠C＝∠F2. 在△ABC 与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°， 且AC ＝A′C′，那么这两个三角形（ ）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对 3.如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的 两个三角形是否全等，并说明理由.4.如图∠ACB=∠DFE ，BC=EF ，那么应补充一个条件 ， 才能使△ABC ≌△DEF （写出一个即可），并说明理由.5.已知：如图， AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠1=∠2, 求证：AB=AD. 拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD 、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD ＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.当堂检测⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,1111B B B A AB A A Θ。
三角形中的边角关系知识点
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
八年级数学上册 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第3课时 三角形
第3课时三角形中几条重要线段【知识与技能】领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题.【过程与方法】经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，培养空间观念.【情感与态度】在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学逻辑推理的价值.【教学重点】重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念.【教学难点】难点是画钝角三角形的高线.一、创设情境，探究新知1.动手操作.问题：过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线.【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图，并请一些同学上讲台“演示”.教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？导入高的定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.2.动手折叠.教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高.注意：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点上，锐角三角形三条高的交点在三角形内部.二、操作感知，形成概念【合作交流1】交流内容：折纸，感悟三角形角的平分线.交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角.引出三角形的角平分线定义：在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一点，且交点在三角形内部.【合作交流2】交流内容：画三角形的中线.画图方法：（1）画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形.（2）寻找出三边的中点.（用刻度尺）（3）把顶点与它们对边的中点连接.学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点.引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.三角形三条中线的交点是三角形的重心.教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？三、随堂练习，巩固深化1.不一定在三角形内部的线段是（）2.小华在中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=________.4.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D.则图中共有____个直角三角形.5.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线.（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；（2）在△BED中作BD边上的高EM；（3）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，求△ADC的面积.°5.解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°，∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，∵BE为△ABD的角平分线，∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°.（2）BD边上的高EM如图所示.四、师生互动，课堂小结1.今天学习了哪些概念？“三线”如何区别？它们的交点是否都在三角形内部？1.课本第73页练习1、2、3.2.补充：如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠DAE的度数.3.完成练习册中相应的作业.本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循从感性到理性的渐进认识规律，体现了知识的发生过程，体现了数学学习的必然性.教学先从学生折纸开始，让学生体验三角形中线、角平分线的存在及其性质，而后通过尺规作图，加深学生对中线、角平分线的认识，增加了数学学习的兴趣.在讲三角形高的过程中，学生也想用折纸折出三角形高，结果碰到困难(钝角三角形)，使新、旧知识大碰撞，加速知识同化.在探究三角形稳定性时，课堂出现很多三角形结构，并让同学解释，使学生认识到数学来源于生活同时也服务于生活的真谛，增强学生学习数学的热情，整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，培养学生动手、合作、概括的能力.。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系3三角函数的有关计算 教学课件
3 三角函数的有关计算
第2课时
1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进 一步体会三角函数的意义． 2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算． 3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际 问题．
如图,为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天 桥两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
【例题】
例1.如图,工件上有一V形槽,测得它的上口宽20 mm,深 19.2mm.求V形角(∠ACB)的大小(结果精确到1° ).
【解析】Q tan ACD AD 10 CD 19.2
0.520 8,
∴∠ACD≈27.5° .
∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5° =55°.
∴V形角约为55°.
∠A= 30
sin A 3 2
∠A=
60
sin A
2 2
∠A= 45
cos A 1 2
∠A= 60 cos A 2
2
∠A=
45 cos A
3 2
∠A= 30
tan A 3 3
∠A= 30 tan A
3
∠A= 60 tan A 1
∠A= 45
角分别为α和β,已知 h=2 ，α=45°，CD=10， tan 1 . 2
（1）求路基底部AB的宽. （2）修筑这样的路基1 000米，需要多少土石方？
【解析】（1）作 CF AB 于点F，DE AB 于点E，则
DE CF 2，
D
在Rt△ADE中，∵ 45，AE DE 2.
AE
怎样用科学计算器求三角函数值呢?
用科学计算器求三角函数值,要用到三个键:
例 键如 顺,序求如s下in表16所°示,c:oss4i2n°,tcaons85°ta和n sin72°38′25″的按
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课
感悟新知
例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC， 知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间 的关系和面积之间的关系解题.
感悟新知
解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
感悟新知
知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形内部，如图，这 个点叫做三角形的重心．
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
感悟新知
知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以 下作法正确的是( )
感悟新知
知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，
2022人教版数学《角边角和角角边》配套教案(精选)
第3课时角边角和角角边【知识与技能】掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.【过程与方法】经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.【情感态度】敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.【教学重点】理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.【教学难点】探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.一、情境导入，初步认识问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 教材探究4.先任意画出一个△△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.二、思考探究，获取新知【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.证明:△ABE和△ACD中,∠B=∠C,AB=AC,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACD(ASA).∴AD=AE.【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠△ABC≌△DEF.【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.【课堂练习】如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？【答案】利用三角形全等得到DE=AB.证明：在△ABC和△EDC中,∠B=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD.∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.三、运用新知，深化理解1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行\,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).四、师生互动，课堂小结1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.11．3.2 多边形的内角和1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式．(重点) 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)一、情境导入多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．提出问题：(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？(3)你会求这个多边形的内角和吗？导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．二、合作探究探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( ) A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．三、板书设计多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n.本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．。
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第三讲三角形的角与边
一、基础知识
本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.
1.边与边的关系
(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；
(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2.角与角的关系
(1)三角形的内角和为180︒；
(2)直角三角形中两锐角互余;
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.
3.边和角的关系
(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;
(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.
4.不等式变形时常用的性质
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;
(3)若a>b,c>0,则ac>bc;
若a>b,c<0,则ac<bc;
(4)若a>b>0,则11 a b <
;
(5)总量大于任何一个部分量.
5.三角形中的不等关系根源:
(1)两点之间线段最短;
(2)垂线段最短.
二、例题
第一部分边的问题
例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.
例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形或等腰三角形
例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )
A.3
1 4
k
<<
B.
1
1
3
k
<<
C.12
k
<< D.
1
1
2
k
<<
例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )
A.17cm
B.5cm
C.17cm或5cm
D.无法确定
例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,
求证:
1
()
2
AB AC BC PA PB PC AB AC BC
++<++<++.
例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:
444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
第二部分 角的问题
例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求
BDC ∠的度数.
例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的
取值范围是( )
A.003645β≤≤
B.004560β≤≤
C.006090β≤≤
D.004572β≤≤
例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线
交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠
第三部分边角综合
24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).
则A
例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.
求证:(1)AB+AC>AD+BC;
(2)AB+AC>AP+BP+CP.
例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC
例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG
例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,
求证:
60 aA bB cC
a b c
︒++
≥
++
三、练习题
1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p
≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?
2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )
** B.7 C.6 D.4
3.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )
A.1个
B.3个
C.5个
D.7个
4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).
5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )
A.140︒
B.80︒或100︒
C.100︒或140︒
D.80︒或140︒
6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE
7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒
∠=.则A ∠等于
( )
A.50︒
B. 60︒
C. 70︒
D.80︒
8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒
∠=求4∠的大小.
9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒
∠=,求A ∠的度数.
10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ
课外小故事
五枚金币
有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.
珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。