三角形基本概念与性质
三角形的概念与性质
三角形的概念与性质三角形是几何学中重要的概念，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨三角形的定义、分类以及一些基本性质。
一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，这三个线段称为它的边。
三个边的交点称为三角形的顶点。
三角形的边可以是任意长度，但需要满足以下条件：1. 任意两边之和大于第三边；2. 任意两边之差小于第三边。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分为以下几类：1. 等边三角形等边三角形的三条边均相等，三个内角也均相等，每个角度都为60度。
2. 等腰三角形等腰三角形有两条边相等，两个对应角度也相等。
等腰三角形的顶角是两个底角的对边，两个底角的度数相等。
3. 直角三角形直角三角形有一个内角为90度，我们将斜边定义为最长的一条边，而与直角相邻的两边称为直角腿。
直角三角形的两个直角腿的长度可以相等，也可以不等。
4. 锐角三角形锐角三角形的三个内角均小于90度。
5. 钝角三角形钝角三角形有一个内角大于90度。
三、三角形的性质三角形具有多种性质，下面我们将介绍其中一些重要的性质。
1. 内角和性质三角形的三个内角的和为180度。
无论三角形的形状如何，无论是锐角、直角还是钝角三角形，它们的内角和都是固定的。
2. 外角性质以三角形的一个顶点为中心，作另外两边所在直线的延长线，与该顶点不相邻的两个外角的和等于第三个外角。
3. 边与角的关系三角形的任意两边之间的夹角大小与它们的边长有关，可以通过三角函数进行计算。
三角函数有正弦、余弦和正切等。
4. 相似三角形性质如果两个三角形的对应角相等，那么它们被称为相似三角形。
相似三角形的对应边的长度比例相等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过海伦公式或底边高公式来计算，其中海伦公式适用于已知三边长的情况，而底边高公式适用于已知底边及高的情况。
结论三角形作为几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
通过理解三角形的概念和性质，我们可以更好地应用几何学知识解决实际问题。
三角形的基本概念和性质
三角形的基本概念和性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段相连而成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用三角形。
一、基本概念1. 三角形定义：三角形是由三条线段组成的图形，三条线段分别称为三角形的边。
三个顶点将边相连，形成三个内角和三个外角。
2. 顶点：三角形的顶点是三个不共线的点，它们确定了三角形的形状和大小。
3. 边：三角形的边是连接顶点的线段，它们是三角形的基本构成元素。
4. 内角：三角形的内角是由两条边相交所形成的角，共有三个内角。
5. 外角：三角形的外角是由一条边和延长线所形成的角，共有三个外角。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边，即AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
4. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则该三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角也相等，都是60度。
5. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边长度相等，则该三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角也相等。
6. 直角三角形：如果一个三角形拥有一个直角（90度），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的两条边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²。
7. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则该三角形是锐角三角形。
8. 钝角三角形：如果一个三角形中有一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。
三、应用三角形的基本概念和性质在几何学和实际生活中有广泛的应用。
1. 测量：三角形的性质使得它成为测量地理距离、高度以及倾斜角度的重要工具。
2. 工程设计：在建筑和工程设计中，三角形的性质用于计算角度、边长和面积，保证结构的稳定和准确。
八年级三角形性质
八年级三角形性质一、三角形的基本概念。
1. 定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。
例如，三角形ABC，顶点为A、B、C，边为AB、BC、AC，角为∠A、∠B、∠C。
2. 三角形的表示方法。
- 用符号“△”表示三角形。
如上述三角形可表示为△ABC。
二、三角形的分类。
1. 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角（即小于90°）的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角（等于90°）的三角形。
直角三角形中，夹直角的两条边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°小于180°）的三角形。
2. 按边分类。
- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，且每个角都是60°。
三、三角形的性质。
1. 三角形三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
- 三角形两边之差小于第三边。
如在△ABC中，AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形的内角和等于180°。
即∠A+∠B +∠C = 180°。
- 直角三角形的两个锐角互余。
在Rt△ABC（∠C = 90°）中，∠A+∠B=90°。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
例如在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，则∠ACD =∠A+∠B。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
简单介绍三角形的基本概念与性质
简单介绍三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的概念和性质。
本文将简单介绍三角形的基本概念和性质。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段相交于一个顶点，并且不共线。
它是平面上最简单的多边形之一。
2. 三角形的分类根据边长的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 等边三角形：三条边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度各不相等。
根据角度的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
(2) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：其中三个角都小于90度。
3. 三角形的性质(1) 三角形的内角和等于180度：三角形的三个内角相加等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
(2) 三角形的外角和等于360度：三角形的每个外角都等于其对应内角的补角。
即∠D = 180° - ∠A。
(3) 三角形的两边之和大于第三边：对于任意一个三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
(4) 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度，且三条边互相相等。
(5) 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
(6) 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90度。
(7) 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都小于90度。
4. 三角形的重要定理(1) 余弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos∠C。
(2) 正弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有a/sin∠A = b/sin∠B =c/sin∠C = 2R（其中R为三角形外接圆半径）。
三角形的定义及性质
三角形的定义及性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每两条线段之间的交点称为顶点，两条线段之间的边称为边。
本文将探讨三角形的定义以及其常见的性质。
一、三角形的定义在几何学中，三角形可以定义为一个有三条边的图形。
每一条边都连接两个顶点，而每两条边之间的交点也是一个顶点。
三角形的三个顶点分别用A、B、C表示，三条边分别用a、b、c表示。
根据边长的关系，三角形可以分为以下三种类型：1. 等边三角形：如果三条边的长度都相等，即a=b=c，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 等腰三角形：如果两条边的长度相等，即a=b或b=c或a=c，那么这个三角形就是等腰三角形。
3. 不等边三角形：如果三条边的长度都不相等，即a≠b≠c，那么这个三角形就是不等边三角形。
二、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，下面将介绍其中一些常见的性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，其内角A、B、C的度数之和等于180度。
这是因为在平面几何中，三角形的内角和总是固定的。
2. 外角等于两个不相邻内角之和：三角形的每个内角都有一个对应的外角，它是与内角不相邻的另外一条边所在的角。
对于三角形ABC来说，外角A等于内角B和C的度数之和，外角B等于内角A和C的度数之和，外角C等于内角A和B的度数之和。
3. 三边关系：在三角形ABC中，两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
换句话说，对于三角形ABC来说，a+b>c，a+c>b，b+c>a。
这个性质被成为三边关系定理，它是判断三条线段能否组成三角形的重要条件。
4. 直角三角形：如果三角形中有一个内角等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
5. 等腰三角形的性质：对于等腰三角形ABC来说，它有以下一些独特的性质：- 两个底角（即底边对应的内角）是相等的；- 等腰三角形的高（即从顶点到底边的垂直距离）是中线、中位线、角平分线和高线；- 等腰三角形可以划分为两个全等的直角三角形。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
本文将介绍三角形的基本概念和性质，包括三角形的定义、分类、元素、角度关系以及三角形的定理等。
一、三角形的定义三角形是由三条线段连接起来的图形，其中每个线段都被称为一个边，而连接两个边的点则被称为顶点。
三角形的三个顶点围成一个封闭的区域。
二、三角形的分类根据三角形的边长以及角度大小，可以将三角形分为以下几类：1. 根据边长分类(1) 等边三角形：三条边的长度均相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度都不相等。
2. 根据角度大小分类(1) 钝角三角形：一个角大于90°。
(2) 直角三角形：唯一一个角等于90°。
(3) 锐角三角形：三个角均小于90°。
3. 根据边长和角度大小综合分类(1) 正三角形：既是等边三角形，又是等腰三角形。
(2) 等腰直角三角形：既是等腰三角形，又是直角三角形。
三、三角形的元素三角形除了边和角之外，还有一些重要的元素：1. 顶点角：三角形的三个顶点所对应的角。
2. 底边：连接两个顶点的边。
3. 高：从底边到顶点所做的垂直线段。
四、三角形的角度关系1. 内角和定理：三角形内角的和等于180°。
2. 外角和定理：三角形的外角的和等于360°。
五、三角形的性质与定理1. 等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两底角相等。
(2) 等腰三角形的高、中线、角平分线和垂心都是重合的。
2. 直角三角形的性质（勾股定理）：(1) 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
(2) 根据勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形。
3. 三角形的面积公式（海伦公式）：三角形的面积可以用海伦公式进行计算，公式如下：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的三条边的长度。
通过了解三角形的基本概念与性质，我们可以更好地理解和分析三角形相关的问题。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有许多重要的概念和性质，本文将详细介绍这些内容。
一、概念1. 边：三角形有三条边，分别连接三个顶点。
2. 顶点：三角形有三个顶点，每个顶点是两条边的交点。
3. 角：三角形有三个角，分别由两条边组成，角的大小可以通过度数或弧度来表示。
4. 顶角：三角形的顶点所对应的角叫做顶角。
5. 底边：底边是三角形的一个边，另外两边的起点和终点都在底边上。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和等于180度。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的度数之和等于360度。
3. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边的长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
5. 直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形中一边的长度可以通过勾股定理计算。
6. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形。
7. 钝角三角形：如果一个三角形的一个内角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
8. 等腰直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，并且另外两条边的长度相等，则这个三角形是等腰直角三角形。
9. 角平分线：三角形的内角平分线将一个角分为两个相等的角。
每个内角都有一个对应的内角平分线。
10. 中线：三角形的三条中线将三角形分为三个相等的小三角形。
每条中线都通过三角形的一个顶点和对边的中点。
11. 高线：三角形的三条高线分别从一个顶点垂直向对边，与对边相交于一个点。
三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
12. 外心：外接圆是一个三角形的三条边的延长线所确定的唯一圆。
这个圆的圆心叫做三角形的外心。
13. 内心：内切圆是一个三角形的三条边的内部所确定的唯一圆。
与三角形有关的定理和公式
与三角形有关的定理和公式一、三角形的基本概念和性质三角形是平面几何学中最基本的图形之一，由三条边和三个角组成。
以下是三角形的一些基本概念和性质：1.三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。
2.三边关系：-三边相等的三角形是等边三角形。
-两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
3.三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其余两个内角之和。
4.三角形的角平分线：三角形的内角的平分线相交于三角形的内心，也就是内心到三边的距离之和最短。
5.三角形的垂心和垂线：三角形的三条高线交于一点，称为垂心；垂直于三边的线称为垂线。
6.三角形的重心和重心线：三角形的三条重心线交于一点，称为重心；重心线由顶点与对边中点连接而成。
7.三角形的内切圆和外接圆：能够切于三角形三边的圆叫做内切圆；能够通过三角形三个顶点的圆叫做外接圆。
二、三角形的面积公式1.三角形的面积公式：-三角形面积=底边长×高/2-三角形面积=三边长度之积×正弦该三角形夹角的一半2.三角形的海伦公式：设三角形的三条边长度分别为a,b,c，半周长为s，三角形的面积可以用海伦公式表示：-三角形面积=√(s×(s-a)×(s-b)×(s-c))三、三角形的相似定理和比例定理1.AAA相似定理（对应角相等定理）：两个三角形的对应角全等，则这两个三角形相似。
2.AA相似定理（角相似定理）：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
3.SSS相似定理（对应边成比例定理）：两个三角形的三对应边分别成比例，则这两个三角形相似。
4.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5.正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角，则正弦定理可以表示为：- sinA / a = sinB / b = sinC / c6.余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角，则余弦定理可以表示为：- c² = a² + b² - 2ab × cosC7.正切定理：在任意三角形ABC中，设A、B、C分别为三角形的对应角，则正切定理可以表示为：- tanA = a / hA (hA为A的对边高)以上是与三角形有关的一些定理和公式，它们在几何学和三角学中有着重要的应用，可以帮助我们计算三角形的各种属性和问题。
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三角形基本概念与性质
一、考点梳理
1、 三角形的边、角关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
（2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.
（3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.
2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
（1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离
相等.
（3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
3、等腰三角形
性质：（1）两底角相等(等边对等角).
(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
4、多边形的内角和等于()0
1802⋅-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲
5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）.
A ． 5
B ． 6
C ．11
D ． 16
6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．4cm ，6cm ，8cm
C ．5cm ，6cm ，12cm
D ．2cm ，3cm ，5cm
7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）.
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）.
A 、三条中线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条边的垂直平分线的交点
D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，
且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________
11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ）
A ．120º
B ．135º
C ．140º
D ．144º
12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．16或20
A M
N
B
C 图1
_ D _ C
_ B _ A 13、例题：(2012广西玉林)已知等腰△ABC 的顶角∠A=36°（如图）.
（1）作底角∠ABC 的平分线BD,交AC 于点D （用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
（2）通过计算说明△ABD 和△BDC 都是等腰三角形.
解：（1）如图所示：BD 即为所求；
（2）∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC ，
∴△ABD 和△BDC 都是等腰三角形．
三、巩固训练
14、现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组
成的三角形的个数是（ ）.
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
15、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度．
16、一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的
周长是 .
17、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 （ ）
A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．八边形
18、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C= °
19、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=400，BD 是∠ABC 的平分线.
求∠BDC 的度数.
20、如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ．
（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM EM ．
A B C
E D
课 时 作 业
一、选择题
1、如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
2、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A. 50°
B. 80°
C. 65°或50°
D. 50°或80°
3、三角形的三边分别为3，1-2a ，8，则a 的取值范围是( )
A ．-6＜a ＜-3
B ．-5＜a ＜-2
C ．2＜a ＜5
D ．a ＜-5或a ＞-2
4、正六边形的每个内角都是（ ）
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D.120°
5、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A ．BC=2DE
B ．△ADE∽△ABC
C ．AC AB AE A
D = D ．S △ABC =3S △AD
E 二、填空题
6、等腰三角形中两条边长分别为3、4，
则三角形的周长是_________
7、如图在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是______.
8、在△ABC 中，若∠A、∠B 满足02221cos 2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-siinB A ，则∠C= ． 9、三角形的每条边的长都是方程
的根，则三角形的周长是__ __ 10、边长为a 的正三角形的面积等于______.
三、解答题
11、已知等腰△ABC 中，∠ABC=∠ACB=2∠A ，且BD ⊥AC ，垂足为D ，求∠DBC 的度数.
12、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，
点E 是AB 的中点，连结EF.
（1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
四、拓展
13、我等们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．。