第节：三角形的基本概念与性质(初三复习课件)
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直角三角形的性质课件
1/2 × a × b，其中a、b为直角 边。
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
若已知直角三角形的斜边和一条 直角边的长度，可以利用三角函 数求出另一条直角边的长度，进
而求出面积。
若已知直角三角形的两条直角边 的长度和夹角，可以利用正弦、
余弦或正切函数求出面积。
03 直角三角形判定方法
基于角度的判定
有一个角为90度的三角形是直角三角形
30-60-90三角形
其中一个锐角为30度，另一个为60度， 三边之比为1:√3:2。
02 直角三角形性质探究
角度性质
01
直角三角形的内角和为180度，其中一个角为90度，其余 两个角之和为90度。
02
直角三角形中的锐角互余，即两个锐角的度数之和等于90 度。
03
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且该中线与直 角顶点连线将直角三角形分为两个等腰三角形。
这是直角三角形最基本的判定方法，只要三角形中有一个角是90度，那么这个三角 形就是直角三角形。
其余两角之和为90度
除了一个90度的角外，其余两个角的度数之和也为90度，这是直角三角形的另一个 重要性质。
基于边长的判定
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。即a² + b² = c²，其中a和 b是直角三角形的两个直角边，c是直角三角形的斜边。
利用三角函数判定
在直角三角形中，正弦、余弦和正切等三角函数有特定的值。因此，可以通过计算这些函数的值来判断一个三角 形是否为直角三角形。例如，如果sinA = 1或cosA = 0（A为三角形的一个角），那么这个角就是90度，三角形 就是直角三角形。
04 直角三角形应用举例
在几何问题中的应用
01
直角三角形的性质课 件
人教版中考复习《第15讲：三角形的基本概念与性质》课件
5
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点1
命题点2
命题点2 三角形中位线的相关计算 2.(2011· 安徽,6,4分)如图,D是△ABC内一 点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中 点,则四边形EFGH的周长是 ( D )
A.7
B.9
C.10 D.11
6
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点1
命题点2
解析 ∵BD⊥DC,BD=4,CD=3, ∴BC= ������������2 + ������������2 =5.
∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点, 1 1 ∴HG=2BC=EF=2.5,EH=FG= 2AD=3. ∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
第15讲 三角形的基本概念与性质
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点一三角形的分类
等腰三角形(等边三角形是等腰三角形 1.按边分 的特例) 不等边三角形 锐角三角形 2.按角分 直角三角形 钝角三角形
2
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点二三角形的基本性质 1.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于 第三边,两边之差小于第三边. 2.三角形内角和性质及内外角关系 (1)三角形的内角和等于180° . (2)三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ;一个外角 大于任何一个与它不相邻的内角.
8
考点梳理自清
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点1
命题点2
命题点2 三角形中位线的相关计算 2.(2011· 安徽,6,4分)如图,D是△ABC内一 点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中 点,则四边形EFGH的周长是 ( D )
A.7
B.9
C.10 D.11
6
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点1
命题点2
解析 ∵BD⊥DC,BD=4,CD=3, ∴BC= ������������2 + ������������2 =5.
∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点, 1 1 ∴HG=2BC=EF=2.5,EH=FG= 2AD=3. ∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
第15讲 三角形的基本概念与性质
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点一三角形的分类
等腰三角形(等边三角形是等腰三角形 1.按边分 的特例) 不等边三角形 锐角三角形 2.按角分 直角三角形 钝角三角形
2
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点二三角形的基本性质 1.三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于 第三边,两边之差小于第三边. 2.三角形内角和性质及内外角关系 (1)三角形的内角和等于180° . (2)三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ;一个外角 大于任何一个与它不相邻的内角.
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考点梳理自清
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第16讲 三角形的基本概念及其性质课件
第16讲
三角形的基本概念及其性质
12/9/2021
第一页，共二十一页。
(xìngzhì)
夯基础·学易
考点一 边角(biān jiǎo)关系
1.三角形的三边关系:三角形的任意两边(liǎngbiān)之和①大于第三边,任意两边之差②
小于第三边.
12/9/2021
第二页，共二十一页。
2.三角形的内角(nèi jiǎo)和定理
12/9/2021
第十页，共二十一页。
学法提点
熟记各种特殊线段的性质(xìngzhì)是解题的关键,同时也要记清楚各种特殊线段在特
殊三角形中的特殊性质.
12/9/2021
第十一页，共二十一页。
研真题·优易
类型 三角形中的重要(zhòngyào)线段
例(2015·山西,4,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别(fēnbié)是边AB,BC的中点.若△DBE
转化到一个平角上是解题的关键.
12/9/2021
第六页，共二十一页。
考点(kǎo diǎn)二 三角形中的四条重要线段
1.中线
(1)连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段(xiànduàn)叫做三角形的中线.
(2)每一条中线都将三角形分成面积相等的两部分.
12/9/2021
第七页，共二十一页。
2.角平分线
高.。熟记各种特殊线段的性质是解题的关键,同时也要记清楚各种特殊线段在特
殊三角形中的特殊性质.。依据课标,面向全体,两个知识点的简单综合.。根据中位线的性质确定△ABC与△DBE的相似比,根据相似图形的周长比等
于相似比即可解题.。解析 取BC的中点G,连接EG,
No
Image
12/9/2021
三角形的基本概念及其性质
12/9/2021
第一页，共二十一页。
(xìngzhì)
夯基础·学易
考点一 边角(biān jiǎo)关系
1.三角形的三边关系:三角形的任意两边(liǎngbiān)之和①大于第三边,任意两边之差②
小于第三边.
12/9/2021
第二页，共二十一页。
2.三角形的内角(nèi jiǎo)和定理
12/9/2021
第十页，共二十一页。
学法提点
熟记各种特殊线段的性质(xìngzhì)是解题的关键,同时也要记清楚各种特殊线段在特
殊三角形中的特殊性质.
12/9/2021
第十一页，共二十一页。
研真题·优易
类型 三角形中的重要(zhòngyào)线段
例(2015·山西,4,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别(fēnbié)是边AB,BC的中点.若△DBE
转化到一个平角上是解题的关键.
12/9/2021
第六页，共二十一页。
考点(kǎo diǎn)二 三角形中的四条重要线段
1.中线
(1)连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段(xiànduàn)叫做三角形的中线.
(2)每一条中线都将三角形分成面积相等的两部分.
12/9/2021
第七页，共二十一页。
2.角平分线
高.。熟记各种特殊线段的性质是解题的关键,同时也要记清楚各种特殊线段在特
殊三角形中的特殊性质.。依据课标,面向全体,两个知识点的简单综合.。根据中位线的性质确定△ABC与△DBE的相似比,根据相似图形的周长比等
于相似比即可解题.。解析 取BC的中点G,连接EG,
No
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12/9/2021
初中数学三角形ppt完整版
灵活运用。
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
人教版九年级数学中考总复习《三角形的基本概念》 (共30张PPT)
（A）
A. 20° C. 10°
B. 30° D. 15°
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握三角形的中线、高线、 角平分线及重心的有关概念和性质 （相关要点详见“知识梳 理”部分）.
考点3 角平分线、线段垂直平分线的性质定理
考点精讲
【例4】（2015茂名）如图1-4-2-9，OC
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握角平分线和线段垂直平 分线的性质定理. 注意以下要点： （1）角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上； （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
课堂巩固训练
1. 以下列各组数据为边长，能构成三角形的是 （ A ）
A. 3，4，5
B. 4，4，8
C. 3，10，4
D. 4，5，10
2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ C ）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
3. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的
应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值.
4. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分 线上. 5. 线段垂直平分线的定义及性质定理 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”. （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等；反之，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上.
A. 20° C. 10°
B. 30° D. 15°
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握三角形的中线、高线、 角平分线及重心的有关概念和性质 （相关要点详见“知识梳 理”部分）.
考点3 角平分线、线段垂直平分线的性质定理
考点精讲
【例4】（2015茂名）如图1-4-2-9，OC
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握角平分线和线段垂直平 分线的性质定理. 注意以下要点： （1）角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上； （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
课堂巩固训练
1. 以下列各组数据为边长，能构成三角形的是 （ A ）
A. 3，4，5
B. 4，4，8
C. 3，10，4
D. 4，5，10
2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ C ）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
3. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的
应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值.
4. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分 线上. 5. 线段垂直平分线的定义及性质定理 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”. （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等；反之，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上.
《三角形的认识》课件
建筑中的三角形应用
屋顶结构
许多建筑的屋顶采用三角形的设 计，以提供更好的承重和稳定性
。
钢架结构
在建筑中，钢架结构经常采用三角 形的设计，以增强结构的强度和稳 定性。
桥梁支撑
桥梁的支撑结构经常采用三角形的 设计，以分散重量并增强稳定性。
数学中的三角形应用
勾股定理
勾股定理是三角形的一个重要性 质，它描述了直角三角形三边的
《三角形的认识》 ppt课件
REPORTING
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的面积与周长 • 三角形的应用 • 三角形的证明与定理
目录
PART 01
三角形的定义与性质
REPORTING
三角形的定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成 的平面图形。
详细描述
三角形是最简单的多边形之一， 由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接形成的平面图形。
详细描述
三角形的边与角之间存在密切的关系，如等腰三角形的两腰相等，且对应的两个 底角也相等；直角三角形中有一个角为90度，且斜边与直角边的关系满足勾股定 理等。这些关系是三角形的重要性质，有助于解决各种几何问题。
PART 02
三角形的分类
REPORTING
按角度分类
01
02
03
锐角三角形
三个角都小于90度的三角 形。
边边边（SSS）证明方法
如果两个三角形有三条边分别相等，则这两 个三角形全等。
边角边（SAS）证明方法
如果两个三角形有两条边和夹角分别相等， 则这两个三角形全等。
角角边（AAS）证明方法
如果两个三角形有两个角和一条非夹角边分 别相等，则这两个三角形全等。
三角形的特性优秀ppt课件
三角形在平行四边形和梯形中应用
三角形与平行四边形的联系
任意平行四边形可以划分成两个全等的三角形，因此平行四边形的性质可以通 过三角形来推导。例如，平行四边形的对角线互相平分，可以通过三角形全等 来证明。
三角形在梯形中的应用
梯形可以划分成一个平行四边形和两个三角形，或者两个三角形和一个矩形。 因此，三角形的性质在梯形中同样有广泛应用。例如，利用三角形的相似性质 可以证明梯形的中位线定理。
三角高程测量
利用三角形的边长和角度关系，通过测量两点间的水平距离和天 顶距，计算两点间的高差。
三角测距
在无法直接测量两点间距离时，可以通过测量三角形的一边和两角 ，利用三角函数计算得出两点间的距离。
三角定位
通过测量目标点与两个已知点之间的角度，可以确定目标点的位置 。
航海航空中方向定位
航向定位
在航海中，利用三角形原理通过测量两个已知点（如灯塔）的方位 角，可以确定船只的位置和航向。
边的平方。可以通过多种方法进行证明，如面积法、相似三角形法等。
02 03
勾股定理的应用举例
利用勾股定理可以解决直角三角形中的各种问题，如求边长、角度、面 积等。例如，已知直角三角形的两条直角边长度，可以求出斜边长度和 面积。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长满足勾股定理的条件，则这个三角形一定是直角三 角形。逆定理为我们判断一个三角形是否为直角三角形提供了依据。
三角形的稳定性
当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小也就唯 一确定了，这种性质称为三角形的稳定性。
与其他多边形的比较
相比于其他多边形，三角形具有更强的稳定性，因为它的 三个顶点在确定之后，整个图形的形状和大小也就确定了 。
应用领域
年中考一轮复习专题数学课件人教版三角形的有关概念及性质ppt
则如该图三 ，角在形△的AB周C中长，为∠(C＝90°)，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作
谢谢！ 同解一：个 如三图角，形过中点，A作等直角线对M等N，边使，M大N∥角B对C.大边
离 求相证等：， ∠可 A＋过∠角B平＋分∠线C＝上1的80点°. 即(2S0△ 19A·BD浙＝江S杭△州ACD)＝在△SA△BCA中BC，若一个内角等于另外两个内角的差，
重要线段
角平 分线
图形
性质
∠1＝_∠__2_， DE＝DF
结论
角平分线上的点到角两边的距 离相等，可过角平分线上的点 向角的两边作垂线来计算
中线
BD＝__D_C__
中线将三角形分割成等底同高
(即面积相等)的两个三角形，
即S△ABD＝S△ACD＝
1 2
S△ABC
重要线段 高线 中位线
图形
性质 AD⊥__B_C__，即 ∠ADB＝∠ADC＝ 90° __D_E__∥BC且DE
同一个三角形中，等角对等边，大角对大边
三角形的外角通常和三角形的内角、平行线一起考查，在解题时要注意一 个外角与它不相邻的两个内角之和的关系.
1.(2020·泰安)将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置， 若∠1＝50°，则∠2等于( C )
A.80°
B.100°
C.110°
D.120°
1
＝__2 _BC
结论
高线不一定在三角形内，遇到 高线问题应注意分类讨论
见到中点则常寻找同一三角形 中的另一边的中点并连接(常 作辅助线之一)
三角形的重要线段是常考的知识点，单独考查的频次不高，常在几何图形 综合题中进行考查
注意，“三条角平分线”的交点、“三条中线”的交点一定在三角形内， 但“三条高线”的交点可能在三角形内，也可能是三角形的顶点，也可能 在三角形外.
认识三角形ppt课件
性质
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
相似三角形判定条件
两角分别相等
01
如果两个三角形有两组对应的角分别相等，则这两个三角形相
似。
两边成比例且夹角相等
02
如果两个三角形有两组对应的边成比例，并且夹角相等，则这
两个三角形相似。
三边成比例
03
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
等腰三角形和等边三角形
利用等腰三角形和等边三角形的特殊性质，结合三角函数进行求解。
三角函数在解决实际问题中应用
测量问题
如测量建筑物高度、河宽 等，可以通过构造直角三 角形并应用三角函数进行 求解。
物理问题
在力学、运动学等领域中， 三角函数常用于描述周期 性运动、振动等问题。
工程问题
在土木工程、水利工程等 领域中，三角函数可用于 计算坡度、角度等问题。
已知一边一角求其他两边和角
通过三角函数关系式求解其他两边长度和角度。
已知两边和夹角求第三边
运用余弦定理求解第Байду номын сангаас边长度。
三角函数在其他类型三角形中应用
锐角三角形
通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，再利用正弦、余弦、 正切函数求解相关量。
钝角三角形
同样可以通过作高将钝角三角形转化为直角三角形进行处理。
三角形稳定性及应用
三角形的稳定性
当三角形的三条边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了，这种性质称为三角 形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性，如 钢架桥中的三角形支撑结构。
02
三角形边长与角度关系
相似三角形的对应边成比例，对应角相等，面积比等于相似比的平方。
相似三角形判定条件
两角分别相等
01
如果两个三角形有两组对应的角分别相等，则这两个三角形相
似。
两边成比例且夹角相等
02
如果两个三角形有两组对应的边成比例，并且夹角相等，则这
两个三角形相似。
三边成比例
03
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
等腰三角形和等边三角形
利用等腰三角形和等边三角形的特殊性质，结合三角函数进行求解。
三角函数在解决实际问题中应用
测量问题
如测量建筑物高度、河宽 等，可以通过构造直角三 角形并应用三角函数进行 求解。
物理问题
在力学、运动学等领域中， 三角函数常用于描述周期 性运动、振动等问题。
工程问题
在土木工程、水利工程等 领域中，三角函数可用于 计算坡度、角度等问题。
已知一边一角求其他两边和角
通过三角函数关系式求解其他两边长度和角度。
已知两边和夹角求第三边
运用余弦定理求解第Байду номын сангаас边长度。
三角函数在其他类型三角形中应用
锐角三角形
通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，再利用正弦、余弦、 正切函数求解相关量。
钝角三角形
同样可以通过作高将钝角三角形转化为直角三角形进行处理。
三角形稳定性及应用
三角形的稳定性
当三角形的三条边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了，这种性质称为三角 形的稳定性。
应用
在建筑、桥梁、机械等领域中，常常利用三角形的稳定性来增强结构的稳固性，如 钢架桥中的三角形支撑结构。
02
三角形边长与角度关系
广东省数学中考一轮复习第四章三角形第15讲 三角形的基本概念和性质课件
分
题19,4分
题
三角形的中位线 题6,3分
题7,3分
19(2),
3分
三角形的内心
题24(3), 2分
◇链接教材◇人教版:八上第十一章P2－P17,八下第十八章P47－
P49
北师版:七下第四章P81－P91,八上第七章P178－P183,八下第六章
P150－P152
课前预习
1.(202X柳州)若长度分别为3,4,a的三条线段能组成一个三角 形,则整数a的值可以是 5(答案不唯一) (写出一个即可). 2.(202X梧州)在△ABC中,∠A＝20°,∠B＝4∠C,则∠C等于 (A) A.32° B.36° C.40° D.128°
3.(202X湖北)如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D在AC上,
DE∥AB,若∠CDE＝160°,则∠B的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
第3题图
4.(202X宿迁)如图,在△ABC中,∠A＝70°,∠C＝30°,BD平
分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数
A.①②③④ B.①②④
C.①②③
④
第6题图
7.(202X梧州)如图,在Rt△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,
BC的中点,AC＝8,BC＝6,则四边形CEDF的面积是( B )
A.6
B.12
C.24
D.48
第7题图
8.(202X济宁)如图,在△ABC中,点D为△ABC的内心, ∠A＝60°,CD＝2,BD＝4,则△DBC的面积是( B )
|a－6|+ b－8＝0,则这个三角形的最大边 c 的取值范围是
中考一轮复习数学第20讲三角形的基本概念和性质PPT课件
考点2:三角形的高线、角平分线、中线及中位线 1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是 射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小
值为 2 .
2.到三角形三三条个边顶点的距离都相等的点是这个三
角形的( CD )
A.三条中线的交点 B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 外心 D.三条角平分线的交点 内心
到的第五n 个图中,共有 17 正三角形.
综合训练(选做)
1.(202X•宁夏)如图,将△ABC放在每个小正方
形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点
上m用一个圆面去覆盖△ABCm能够完全覆盖
这个三角形的最小圆面的半径是
.
2.如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平 分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分 别交直线AB,AC于E,F,连接EF.
两边之差＜第三边＜两边之和
变式:现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,
任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的
三角形的概率是
.
2.下图能说明∠1＞∠2的是( C )
3.△ABC中,已知∠A=60°，∠B=80°, 则
∠C的外角的度数是 140°. 4.如图是一副三角板叠放的示意图,则∠α= 75.
第20课时
三角形的基本概念和性质
学习目标:(1分钟) 1.掌握三角形的边、角关系;
2.掌握三角形主要线段(中线、高、角平分线及 中位线)的有关特点;
3.能用三角形的主要线段的性质解题.
知识点梳理1:
(一)三角形的分类： 1.三角形按角分为________________. 2.三角形按边分为________________.
中考一轮复习：第18课时三角形的基本概念及性质PPT课件
例题图④
No
第18课时 三角形的基本概念及性质
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命题点 1 三角形的三边关系(202X.3)
1. (202X宁德5月质检4题4分)若三角形的三边长分别为3，x，5，则x的值可以
是( B )
A. 2
B. 5
C. 8
D. 11
2. (202X福建3题4分)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( C )
A. 1，1，2 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，3，5
No
第18课时 三角形的基本概念及性质
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命题点 2 三角形的内角和与内外角关系
3. (202X莆田5月质检4题4分)将一把直尺和一块含30°的直角三角板ABC按如 图所示的位置放置，若∠CDE＝40°，则∠BAF的大小为( A ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
(2)重要结论：中位线平行且等于第三条边的一半，即
DE∥BC且DE＝
1 2
BC.
【提分要点】当三角形中遇到中点时，常构造三角形的中位
线，利用其证明线段平行或倍数关系，可简单地概括为“已
知中点找中位线”；在平行四边形或菱形中，边上有中点时，
常通过连接中点与对角线的交点构造中位线．
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No
例题图②
No
第18课时 三角形的基本概念及性质
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(5)如图③，在△ABC中，BD平分∠ABC，若点D是AC的中点，过点D作
DG∥BC.
①若AB＝4，则AG＝___2_____ ，BG＝__2______；
②若BC＝6，则DG＝ ___3_____ ;
S AGD
1
S AGD
直角三角形的性质课件初中数学PPT课件
24
利用三角函数解决非直角三角形问题策略
已知两边求夹角
01
当已知非直角三角形的两边长时，可以利用正弦或余
弦定理求出夹角的大小。
已知一角和两边求另一角或第三边
02 通过正弦、余弦或正切函数，结合已知的角度和边长
信息，可以求出未知的角度或边长。
利用三角形内角和定理
03
在任何三角形中，三个内角的和等于180度。利用这
一性质，可以求出非直角三角形中的未知角度。
2024/1/28
25
案例分析
案例一
已知非直角三角形的两边长分别 为a和b，夹角为C，求第三边c的 长度。此时可以利用余弦定理 c²=a²+b²-2ab×cosC求出c的值 。
案例二
已知非直角三角形的两个角度分 别为A和B，以及一边长a，求另 一边b的长度。此时可以利用正弦 定理a/sinA=b/sinB求出b的值。
SSS判定
三边对应相等的两个三角形全 等。
ASA判定
两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等。
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分 别对应相等，则称这两个三角 形全等。
2024/1/28
SAS判定
两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等。
AAS判定
两角和其中一个角的对边对应 相等的两个三角形全等。
证明勾股定理。
欧几里得证明法
02
在《几何原本》中，欧几里得利用相似三角形的性质证明了勾
股定理。
加菲尔德总统证明法
03
美国第20任总统加菲尔德提出了一种简洁的勾股定理证明方法
，利用两个相似直角三角形的面积关系进行证明。
9
勾股定理逆定理及应用
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课前预习
4.（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点， PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ A ）
A．6
B．5
C．4
D．3
考点：角平分线的性质．
分析：过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从 而得解．
解答：解：如图，
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末页18
广东中考
9. （2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第
三边的长可能是（ C ）
A．5
B．6
C．11
D．169
解析：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜ 10+4，
即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
规律总结：三角形的三边关系，
即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
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末页15
课堂精讲
6.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE=3cm，则 EC= 9 cm．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
分析：根据三角形中线的定义可得BD= BC，DE=BE= BD，然后代入数据求出BE，再根据 EC=BC﹣BE计算即可得解． 解答：解：∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线， ∴BD= BC，DE=BE= BD= × BC= BC=3cm， ∴BE=3cm，BC=12cm， ∴EC=BC﹣BE=12﹣3=9cm． 故答案为：9．
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考点1
课堂精讲
三角形边的计算
1.（2015•崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长
可能是（ C ）
A．2
B．3
C．5
D．8
考点：三角形三边关系．
分析：根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第 三边；可求第三边长的范围，再选出答案． 解答：解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜ 5+2，即3＜x＜7．故选：C． 点评：本题考查了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三 边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 一半 ．
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考点梳理
4.三角形的内心和外心 (1)三角形的内心：三角形三条 角平分线 的交点，它是三角形
内接圆 的圆心，它到三角形各边的距离相等．三角形的内 心在三角形的内部； (2)三角形的外心：三角形三边的 垂直平分线 的交点，它是三 角形 外接圆 的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等．锐角 三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形 的外部，直角三角形的外心为斜边的中点．
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课前预习
2.（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（
）C
A．45°B．60°Fra bibliotekC．75°
D．90°
考点：三角形内角和定理．
分析：首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度数占三角形的 内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的 度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可． 解答：解：180°×
D．140°
考点：三角形的外角性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式 计算即可得解．
解答：解：由三角形的外角性质的， ∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B． 点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和的性质，熟记性质是解题的关键．
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解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE， ∴DE∥BC且DE= AC， 又∵AB=2BD，BC=2BE， ∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE）， 即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍， ∵△DBE的周长是6， ∴△ABC的周长是： 6×2=12． 故选：C．
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末页8
考点梳理
3．三角形的主要线段 (1)三角形的 角平分线 ：三角形的一个角的平分线与
这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段． (2)三角形的 中线 ：连结三角形一个顶点和它对边中点
的线段． (3)三角形的 高 ：从三角形的一个顶点向它的对边所在
直线画垂线，顶点和垂足间的线段． (4)三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段．三角
点评：本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题 的关键．
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课堂精讲
7.（2015•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点 ．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ C ）
A．8
B．10
C．12 D．14
考点：三角形中位线定理．
解答：
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课堂精讲
8.（2015•北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（ D ）
A．内心
B．外心
C．中心
D．重心
考点：三角形的重心． 分析：根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 解答：解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D． 点评：考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条 垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点 ．
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考点梳理
1．三角形的边角关系 (1)边与边的关系：三角形任何两边之和大于第三边；任何两边之 差小于第三边． (2)角与角的关系：①三角形内角和定理：三角形的内角和等于 1800;②三角形的外角和等于 3600;③三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和：④三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的一个内角． (3)边与角的关系：在同一个三角形内，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边． 2．三角形的分类 (1)按边分类：不等边三角形、等腰三角、等边三角形；(2)按角 分类：直角三角形、斜三角形（钝角三角形、锐角三角形）
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广东中考
10. （2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的
周长为（ A ）
A．17
B．15
C．13
D．13或17
解析：①当等腰三角形的腰为3，底为7时， 3+3＜7不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17． 故这个等腰三角形的周长是17．
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课堂精讲
2.（2015•朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长 为奇数，则这个三角形的周长为 8 ．
考点：三角形三边关系．
分析：首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜ 3+2，然后再确定x的值，进而可得周长． 解答：解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2 ，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为 2+3+3=8， 故答案为：8．
考点：三角形的外角性质．
分析：由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之
不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义
计算即可．
解答：解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=4°，
∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，
故答案为60
点评：本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个
外角等于与之不相邻的两内角的和．
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课堂精讲
考点3 三角形的角平分线、中线、中位线、高、内心、外心和重心
5.（2015•台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平 分线，DC=3，则点D到AB的距离是 3 ．
考点：角平分线的性质．
分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可
得解．
解答：解：作DE⊥AB于E，∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，∵DC=3，∴DE=3，即点D到AB的距离DE=3．
故答案为：3．
点评：本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性
质，熟记性质是解题的关键．
=
=75° 即∠C等于75°． 故选：C． 点评：
此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确：三角形的内角和是180°．
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课前预习
3.（2015•桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角 ∠ABD的度数是（ B ）
A．110°
B．120 ° C．130°
A．
B．9
C．6
D．5
考点：三角形中位线定理．
分析：由已知条件得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定 理即可得出BC=2DE． 解答：解：∵D，E分别上边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线 ，∴BC=2DE=6； 故选：C．
点评：本题考查了三角形中位线的定义和性质定理；熟练掌握三角 形中位线定理，证明三角形中位线是解决问题的关键．
大家好
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第13节 三角形的基本概念与性质
课前预习 考点梳理 课堂精讲 广东中考
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课前预习
1.（2015•青海）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第
三边的长可能是（ C ）
A．5
B．6
C．12
D．16