人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试(2)a.docx

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人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷(解析版)

人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是（）A．B．C．D．35．若∠B，∠A均为锐角，且sin A＝，cos B＝，则（）A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°C．∠A＝60°，∠B＝30°D．∠A＝30°，∠B＝60°6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．5÷tan26°＝B．5÷sin26°＝C．5×cos26°＝D．5×tan26°＝7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米B．36米C．米D．米10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米二．填空题（共5小题）11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．12．比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或＝）．13．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于．14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝．15．计算：2cos60°+tan45°＝．三．解答题（共4小题）16．在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．2019年人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°【分析】根据余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由cos B＝＝，得BC＝7cos B＝7cos35°，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）A．B．C．D．【分析】根据cos A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．【解答】解：∵cos A＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．∴tan A＝＝＝．故选：A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝，那么sin B 的值是（）A ．B ．C ．D ．3【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝，∴cos A ＝＝＝，∴∠A +∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝．故选：A ．【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．5．若∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，则（）A ．∠A ＝∠B ＝60°B ．∠A ＝∠B ＝30°C ．∠A ＝60°，∠B ＝30°D ．∠A ＝30°，∠B ＝60° 【分析】根据三角函数的特殊值解答即可．【解答】解：∵∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，∴∠A ＝30°，∠B ＝60°．故选：D ．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（）A ．5÷tan26°＝B ．5÷sin26°＝C ．5×cos26°＝D ．5×tan26°＝【分析】根据正切函数的定义，可得tan ∠B ＝，根据计算器的应用，可得答案．【解答】解：由tan∠B＝，得AC＝BC•tan B＝5×tan26．故选：D．【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据锐角三角函数的定义判断所有的锐角三角函数值都是正数；根据锐角三角函数的概念结合勾股定理可以证明sin2A+cos2A＝1，tan C•sin C＝cos C．【解答】解：①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；②两个元素中，至少得有一条边，故错误；③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得sin2A+cos2A＝＝1，故正确；④根据锐角三角函数的概念，得tan C＝，sin C＝，cos C＝，则tan C•cos C＝sin C，故错误．故选：C．【点评】根据锐角三角函数的定义可证明锐角三角函数之间的关系式．8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝，即可求出BC的长度．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米B．36米C．米D．米【分析】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【解答】解：当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．解得x＝36．故选：B．【点评】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝6米，∠BAC＝α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝α，∴＝tanα，∴BC＝AC•tanα＝6tanα（米）．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．二．填空题（共5小题）11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为2．【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．【解答】解：tan∠AOB＝＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．12．比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或＝）．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，则tan A 等于．【分析】根据cos A ＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A 的值．【解答】解：∵cos A ＝知，设b ＝3x ，则c ＝5x ，根据a 2+b 2＝c 2得a ＝4x ．∴tan A ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝ 1 ．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°＝cot44°•cot46°•cot45°＝1•cot45°＝1．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．15．计算：2cos60°+tan45°＝ 2 ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．【解答】解：2cos60°+tan45°＝2×+1＝2．故选：2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．三．解答题（共4小题）16．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ，求证：＝．【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，如果利用三角函数可以分别在△ABD 和△ADC 中可以得到sin sB ，sin C 的表达式，由此即可证明题目的结论．【解答】证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 中，sin B ＝，∴AD ＝AB sin B ，在Rt △ADC 中，sin C ＝， ∴AD ＝AC sin C ，∴AB sin B＝AC sin C，而AB＝c，AC＝b，∴c sin B＝b sin C，∴＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD+DC＝2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝+，∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，∴tan∠DAE＝＝＝﹣．【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试一、选择题1、3tan60°的值为（）A． B． C． D．32、sin45°的值等于（）A． B．1 C． D．3、在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=4、在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值为（）A． B． C．2 D．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosB的值是（）A． B． C． D．6、在Rt△ABC中，∠C=90º，，则的值为A． B．C．D．7、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．108、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A． 3cm B． 6cm C．cm D．cm9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里二、填空题10、计算：= .11、如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为4，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是．12、如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=__________]m．13、．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．14、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．15、全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB约为___米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ．三、计算题17、计算：3tan30°﹣2tan45°+2sin60°+4cos60°．18、计算：．四、简答题19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝3∶4，求∠A的三个三角函数值．20、如图，九（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线，求旗杆的高度．21、小刚学想测量灯杆AB的高度，结果他在D处时用测角仪测灯杆顶端A的仰角∠AEG=30°，然后向前走了8米来到C处，又测得A的仰角∠AFG=45°，又知测角仪高1.6米，求灯杆AB的高度．（结果保留一位小数；参考数据：≈1.73）22、如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A．C之间选择一点B（A．B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．23、山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，≈1.4，≈1.7，≈3.2）24、如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（1）求点D到直线AB的距离；（2）现在从A地到B地可比原来少走多少路程？（结果保留小数点后一位．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）．25、甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．26、如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？参考答案一、选择题1、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】把tan60的数值代入即可求解．【解答】解：3tan60°=3×=3．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．2、D【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【解答】解：sin45°=，故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．3、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可．【解答】解：在直角△ABC中，∠C=90°，则A、cosA=，故本选项错误；B、tanA=，故本选项错误；C、sinA=，故本选项正确；D、cosA=，故本选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．4、C【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．【解答】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．5、C【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，得cosB==，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6、B7、D【考点】解直角三角形．【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D8、D9、D二、填空题10、；11、12、 5.513、．考点：解直角三角形；特殊角的三角函数值．分析：重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积．解答：解：∵AC=，∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：×1=．故答案为：．14、．【解析】试题分析：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，∴BC：A C=1：，∵堤高BC=5米，∴坝底AC=米．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．15、58_16、【考点】正方形的性质；轴对称的性质；锐角三角函数的定义．【分析】M、N两点关于对角线AC对称，所以CM=CM，进而求出CN的长度．再利用∠ADN=∠DNC 即可求得tan∠ADN．【解答】解：在正方形ABCD中，BC=CD=4．∵DM=1，∴CM=3，∵M、N两点关于对角线AC对称，∴CN=CM=3．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DNC，∵tan=∠DNC==，∴tan∠ADN=．故答案为：．三、计算题17、原式=2．18、.解：原式=1+﹣1+2﹣=2四、简答题19、20、AB＝13.5 m21、【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设AG的长为x米，根据正切的概念分别表示出GF、GE的长，计算即可得到AG，求出AB即可．【解答】解：设AG的长为x米，在Rt△AGE中，EG==x，在Rt△AGF中，GF=AG=x，由题意得，x﹣x=8，解得，x≈10.9，则AB=AG+GB≈12.5米，答：灯杆AB的高度约为12.5米．22、解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，∵AB=40m，∠A=30°，∴BE=AB=20m，AE==20m，即点B到AD的距离为20m；（2）在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），在Rt△ADC中，∠A=30°，∴DC==（10+10）m．答：塔高CD为（10+10）m．23、【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=，则AE=3，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米、OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，由tan75°=求得m的值，继而可得答案．【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，∵i=1：3，AP=10，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中，x2+（3x）2=102，解得：x=或x=﹣（舍），∴PE=，则AE=3，∵∠CPF=∠PCF=45°，∴CF=PF，设CF=PF=m米，则OC=（m+）米，OA=（m﹣3）米，在Rt△AOC中，tan75°==，即m+=tan75°•（m﹣3），解得：m≈14.3，∴OC=14.3+≈17.5米，答：塑像的高度约为17.5米．24、【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，根据平行四边形的判定得出DCBG为平行四边形，在Rt△DGH中，根据DH=DG•sin37，即可求出点D到直线AB的距离；（2）根据（1）先求出GH、AD和AH的长，再根据两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，代值计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG•sin37°≈11×0.60=6.60，∴点D到直线AB的距离是6.60km；（2）根据（1）得：GH=DG•cos37°≈11×0.80≈8.80，在Rt△ADH中，AD=DH≈1.41×6.60≈9.31．AH=DH≈6.60，∵两条路线路程之差为AD+DG﹣AG，∴AD+DG﹣AG=（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25、【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．26、解：过P作PC⊥AB于C点，如图，据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°－60°＝30°，[ ∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC.在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，即＝，∴PC＝海里＞3海里，∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元检测卷人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元检测卷一、选择题1.在△ABC 中，∠C=90°，AB=3,BC=1，则sinA 的值为( A )A.13 C. 3 D.3 2.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=a ，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( B )A. sin h aB. cos h aC. tan h aD.h ·cosa 3.cos30°的值等于( B )A.2 B. 24.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是( D )5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( A ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 456.如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( A )1)米/秒－1)米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒7.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 丄BC 于点D)，则下列结论不正确的是( C )A.sinB=AD AB B.sinB=AC BC C.sinB=AD AC D.sinB=CDAC8.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端25米的B 处，测得树顶A的仰角∠ABO 为a ，则树0A 的高度为( C )A.25tan a米 B.25sina 米 C.25tana 米 D.25cosa 米 9.如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E 交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值为( D )A.1210.如图，已知在△ABC 中，AD 是边BC 上的高，BC=14，AD=12，sinB=45，则线段DC 的长为( C )A.3B.4C.5D.6 二、填空题11.如图，△ABC 的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则sin ∠BAC 的值为____.12.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B 两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200)___米(结果保留根号)13.若某三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则该三角形中最小内角的正切值为14.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，∠BA0=60°，那么点C的坐标为_(＋1)___.15.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=_43___.16.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，，则CE的长为__8__米.三、解答题 17.计算：(1)tan 230o ＋cos 230o －sin 245°tan45°； (2)sin 30sin 60cos45-︒︒︒tan45°.【解析】(l)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° =(3)2＋(2)2－( 2)2×l = 13＋34－12 = 712. (2) sin30tan 45sin60-cos45︒-︒︒︒11-=23+. 18.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地.已知AC=120km ，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米.【解析】过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=120km ，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=60km ，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km ，AB=AD －60)km.故隧道开通后汽车从A地到B 地需行驶60)千米.19.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:2,求sinA 和sinB 的值.【解析】设AC=3a ，BC=2a ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得∴BC sinA AB===,AC sinB AB ===20.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD的延长线交于点E(1)若∠A=60°，求BC 的长；若sinA=45，求AD 的长. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)【解析】(1)∵∠A=60O，∠ABE=90°，∴∠E=30°. 在Rt △ABE 中，∵AB=6，tanA=BEAB，∴BE=AB·tanA=6×tan60°. ∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CD CE ，∴CE=CDsin E =412=8，BC=BE －－8. (2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=BE AE =45，∴设BE=4x ，AE=5x ，则AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE=AB BE =68=CD DE =4DE，解得DE=163，∴AD=AE －DE=lO －163=143.21.已知钝角三角形ABC ，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D ，AD=2，AC=32，根据题意画出示意图，并求tanD 的值. 【解析】示意图如图所示：如图，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，∵∠ACB=2∠D ，∠ACB=∠D ＋∠CAD ， ∴∠D=∠CAD ，∴CD=AC=32.∴AH=HD=12AD=1，∴===CH ，∴CH tan HD 2==D .22.如图，兰兰站在河岸上的G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角∠FDC 为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG 是1.5米，BG=1米，BG 平行于AC 所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C 到岸边的距离CA.(参考数据：≈1.73，结果保留一位小数)【解析】如图，过点B 作BE ⊥CA 交CA 的延长线于点E ，延长DG 交CA 的延长线于点H ，得Rt △ABE 和矩形BEHG. ∵i=BE AE =43，BE=8米，∴AE=6米. ∵DG=1.5米，BG=l 米，∴DH=DG ＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE ＋EH=6＋l=7(米).在Rt △CDH 中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=DHCH，∴CH=2米.又CH=CA ＋7，即2=CA ＋7，∴CA ≈9.4米. 因此，小船C 到岸边的距离CA 约是9.4米.23.如图，已知AE,CF是锐角三角形ABC的两条高，且AE:CF=3:2，试求sin∠BAC：sin∠ACB 的值.【解析】在Rt△ACF中，sin∠BAC=CFAC，在Rt△ACE中，sin∠ACB=AEAC，∴sin∠BAC：sin∠ACB=CFAC：AEAC=CF：AE,又AE:CF=3:2,∴sin∠BAC：sin∠ACB=23。

人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元测试卷(有答案)

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。

人教版初中数学九年级下册单元测试第28章锐角三角函数含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二十八章锐角三角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，则AC 的长为( )A ．6B ．C ．D ．2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( )A ．B ．2R sin αC ．D ．R sin α3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．B ．12C ．D ．4．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )A ．B ．100sin α mC ．D ．100cos β m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．B ．C ．D ．7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( )A ．a sin 2βB ．a cos 2βC ．a sin β cos βD ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么的值为( )A ．sin ∠APC B ．cos ∠APC C ．tan ∠APC D ．9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( ),32sin =A 52531322sin 2αR 2cos 2αR 312324348m sin 100αm cos 100βααtan sin R ααsin tan R ααtan sin 2R ααsin tan 2R ABDC APC∠tan 1第9题图A ．B ．C ．D ．10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC的面积为，则∠A ＝______度．13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD＝8，AC ⊥CD ，若则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．m)3828(+m )388(+m )33828(+m )3388(+3350,31sin =∠ACB m 330=AB第15题图三、解答题16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB 的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．,31sin ,54sin ==BC20．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AC ＝15，BC ＝8，求PE ＋PF ．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC的值；)45.26,73.13,41.12(≈≈≈(2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A 点的坐标及直线PQ 的解析式；(2)求此抛物线AMC 的解析式；(3)求｜x C －x B ｜；(4)求B 点与C 点间的距离．3答案与提示第二十八章锐角三角函数全章测试1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ．6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ．11． 12．60． 13． 14．20πm ． 15．16．约4.86 m ．17．约15.9m ．18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ．20．提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ．21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里．22．(1)提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF 由CE 2＝CF 2＋EF 2得(2)提示：设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得23．(1)A (0，1)，(2)(3)．(4)⋅23⋅54.332r ⋅151618,158sin =α ⋅=⨯=+∴151618158161PF PE ⋅=∠=53sin .25BEC AE .29x -=.25=x ⋅475.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆⋅=215y ;33x y =.1332312)3(3122++-=+--=x x x y m 15.m 5230cos ||=-= B C x x BC。

人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．已知a＝sin25°，b＝tan46°，c＝cot17°，m＝cos20°，则a、b、c、m的大小关系（）A．a＜b＜c＜m B．b＜m＜c＜a C．a＜m＜b＜c D．m＜a＜b＜c 2．下列等式中正确的是（）A．cos2α+sin2α＝1 B．cos30°+cos45°＝cos75°C．tan30°﹣tan60°＝D．2cot22°30′＝cot45°＝13．sin2θ+sin2（90°﹣θ）（0°＜θ＜90°）等于（）A．0 B．1 C．2 D．2sin2θ4．的值为（）A．﹣1B．C．﹣D．1﹣5．四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857B．0.8856C．0.8852D．0.88516．正六边形的两条互相平行的对边相距12cm，这个正六边形的边长为（）A．7.5cm B．cm C．cm D．cm7．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1：，背水坡为1：1，那么两个坡的坡角和为（）A．90°B．75°C．60°D．105°8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，c＝13，则cos A的值为（）A．B．C．D．以上都不对9．甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线长分别为60m、50m、40m，线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（）A．甲B．乙C．丙D．不能确定10．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置﹣高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°，又知建筑物共有六层，每层层高为3米，则避雷针AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据≈1.41，≈1.73）为（）A．2.76米B．2.8米C．4.26米D．4.3米二．填空题11．△ABC中∠A＝40°，∠C＝90°，a＝4.2，则b≈，c≈（保留2个有效数字）．12．已知α为锐角，若cosα＝，则sinα＝，tan（90°﹣α）＝．13．斜坡AB＝50m，水平距离40m，则垂直距离m，坡度是．14．如图，一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上，若梯子与地面所成的角为60°，则此时梯子顶端到地面的距离为米．15．在△ABC中，AC＝，BC＝2，∠A＝45°，则∠B＝．16．若sin47°＝cosα，则锐角α＝．17．5sin2（90°﹣α）+5sin2α＝．18．已知45°＜α＜90°，用“＞”或“＜”符号填空：sinαcosα；tanαcotα；sinαtanα．19．如图所示，在数学活动课上，老师带学生去测河宽，某学生在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30m的B处测得∠CBD＝30°，则河宽CD是m．（答案保留根号）20．如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A。

人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9．已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．第6题第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷 (含答案)

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．cos60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D.322．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于( ) A. 12 B. 22C.32D ．1 3．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到点D ，使BD ＝AB ，连结CD.若tan ∠BCD ＝13，则tan A＝( )A.13B.23 C ．1 D.324．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的长是( ) A ．3B ．6C ．8D ．95．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( ) A.12 B.13C.14D.246. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于( ) A.200 B.300 C.400 D.5007．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B. 13C. 12D ．28．某铁路路基的横截面为等腰三角形，已知路基高5 m ，坡长10 m ，则坡度为( ) A ．1∶2 B ．1∶12C ．1∶ 3D ．1∶339．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°10．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 等于( ) A.35 B.105 C.310 D.31010二．填空题（共8小题，3*8=24） 11．在△ABC 中，若│sinA -1│+（32-cosB ）=0，则∠C=_______度．12．如图，一架梯子斜靠在墙上．若梯子底端到墙的距离AC ＝3 m ，cos ∠BAC ＝34，则梯子长AB ＝_______ m.13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.14. cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝；15．如图所示，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=13，BC=10，则AB 的长为________．16．如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝____________.(结果保留根号)17．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB ＝12米，背水坡面CD ＝123米，∠B ＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，tanE ＝3133，则CE 的长为________米．18．一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为___________________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 已知tanα的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sinα－cosα2cosα＋sinα的值．20．(8分) 如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93)21．(8分) 如图，房屋顶呈人字形(等腰三角形)，AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D.(1)求∠ACB 的大小； (2)求AB 的长度．22．(10分)在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝36，∠A＝45°，求∠B，b，c.23．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(23，0)，B(23，2)，把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数；(2)求直线A1B1的函数关系式，并判断直线A1B1是否经过点B，为什么？24．(10分) 如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)25．(12分) 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为BC 上一点．将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN.若tan ∠AEN ＝13，DC ＋CE ＝10.(1)求△ANE 的面积； (2)求sin ∠ENB 的值．参考答案：1-5 AADBB 6-10CCCDA 11. 60 12. 4 13. 4314. 0 15．3+ 3 16. (73＋21)m 17.818. y ＝23x －3 19. 解：解方程x 2－x －2＝0 得x 1＝2，x 2＝－1. 又∵tanα＞0，∴tanα＝2，又∵tanα=sinαcosα，∴原式＝3tanα－12＋tanα＝3×2－12＋2＝5420. 解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB ＝43°.在Rt △ABC 中， ∵∠A ＝90°，∴AB ＝AC•tan ∠ACB ＝36×0.93≈33.5(海里)．故A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里． 21. 解：(1)∵AC ＝BC ＝8 m ，∠A ＝30°， ∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠ACB ＝120°. (2)∵AB ＝AC ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝BD ，AD ＝AC·cos30°＝8×32＝4 3(m)，∴AB ＝2AD ＝8 3 m. 22. 解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠B ＝30°.∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴a ＝c·sin A ＝83×32＝12. b ＝c·sin B ＝83×12＝4 3.(2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°. ∴b ＝a ＝3 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝6 3.23. 解：(1)∵OA 1＝23，A 1B 1＝2，∴tan ∠A 1OB 1＝223＝33，∴锐角∠A 1OB 1＝30°，∴∠α＝60°(2)由点A 1(3，3)，B 1(0，4)得直线A 1B 1表达式为y ＝－33x ＋4，当x ＝23时，y ＝－33×23＋4＝2， ∴点B(23，2)在直线A 1B 1上24．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m. 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m)，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m.25. 解：(1)∵tan ∠AEN ＝tan ∠EAN ＝13，故若设BE ＝a ，则AB ＝3a ，CE ＝2a.∵DC ＋CE ＝10，∴3a ＋2a ＝10，∴a ＝2.∴BE ＝2，AB ＝6，CE ＝4. ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝4＋36＝2 10，∴AG ＝10.∵tan ∠EAN ＝NG AG ＝13，∴NG ＝103.∴AN ＝⎝⎛⎭⎫1032＋（10）2＝103.∴S △ANE ＝12AN·BE ＝12×103×2＝103(或S △ANE ＝12AE·GN ＝12×2 10×103＝103)．(2)sin ∠ENB ＝EB NE ＝2103＝35.。

2020-2021学年人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么sin A的值等于（）A．B．C．D．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，则BC的长为（）A．2B．6C．8D．103．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝，则锐角A满足（）A．0°＜A＜30°B．30°＜A＜45°C．45°＜A＜60°D．60°＜A＜90°4．若锐角A满足cos A＝，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列式子定成立的是（）A．sin A＝sin B B．cos A＝cos B C．tan A＝tan B D．sin A＝cos B 6．如图为张小亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是（）A．100分B．80分C．60分D．40分7．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是（）A．（8，）B．（8，12）C．（6，）D．（6，10）8．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为a和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（忽略两人的身高与手臂长度）（）米．A．120tanα+120tanβB．+C．120cosα+120cosβD．+10．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD 的长度为米，则斜坡AB的长度为（）A．B．C．D．24二．填空题11．cos30°的值等于．12．如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，半径为2的⊙A 与BC交于点F，则tan∠DEF＝．13．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）14．在△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos B＝．15．已知sinα+cosα＝，则sinαcosα＝．16．比较大小：sin40°cos50°（填“＞”、“＜”或“＝”）17．再如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为多少km．18．如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为．19．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．B．用科学计算器计算：13××sin14°≈（结果精确到0.1）20．门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝12cm，则（1）sin∠CAB＝；（2）该圆的半径为cm．三．解答题21．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．22．计算：（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．（2）．23．目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B＝．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，求cos A，sin B，cos B．26．淮安华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为45°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，改造后的斜坡式自动扶梯水平距离增加了BC，请你计算BC的长度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.41）27．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD ＝x，△BDE的面积为S．（1）当α＝30°时，求x的值．（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S时，判断⊙E与A′C的位置关系，△ABC并求相应的tanα值．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵cos2A+sin2A＝1，cos A＝，∴sin2A＝1﹣＝，∴sin A＝或sin A＝﹣（舍去）．故选：B．2．解：设BC＝3x，∵tan A＝，∴＝，∴AC＝4x，由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即（3x）2+（4x）2＝102，解得，x＝2，∴BC＝3x＝6，故选：B．3．解：∵tan30°＝≈0.58，tan45°＝1，tan B＝，∴30°＜B＜45°，∴45°＜A＜60°．故选：C．4．解：∵cos A＝，∴∠A＝30°．故选：A．5．解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin A＝cos B．故选：D．6．解：∵cos60°＝，∴1的判断正确；∵＝2，∴﹣1和5的平均数是2，则2的判断正确；第3题应先把数据从小到大进行排列：﹣1、1、3，则中位数为：1，故3的判断错误；4的判断正确；5．在半径为1的圆中，60°的圆心角所对的弧长为：＝，∴5的判断正确．综上，正确的判断有1，2，4，5，则张小亮可以得80分．故选：B．7．解：过点F作AB⊥y轴交y轴于点A，过点G作GB⊥AB于B，则∠FGO+∠FGB＝90°，∠BFG+∠FGB＝90°，∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠BFG＝∠FGO，∵AB⊥y轴，GB⊥AB，∠AOG＝90°，∴四边形AOGB为矩形，∴AO＝GB，AB＝OG＝17，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠BFG＝90°，∴AEF＝∠BFG＝∠FGO，在Rt△AEF中，cos∠AEF＝，即＝，解得，AE＝6，由勾股定理得，AF＝＝8，∴BF＝AB﹣AF＝17﹣8＝9，在Rt△BFG中，cos∠BFG＝，即＝，解得，FG＝15，由勾股定理得，BG＝＝12，则点F的坐标是（8，12），故选：B．8．解：利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：故选：B．9．解：在Rt△ABD中，AD＝＝（米）；在Rt△ABC中，BC＝＝（米）；故两人放出的风筝线AD与BC的长度和为（+）米．故选：D．10．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：则四边形BEFC是矩形，∴BE＝CF，∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，∴CF＝DF＝CD＝6（米），∴BE＝CF＝6米，又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，∴AE＝2BE＝12（米），∴AB＝＝＝6（米），故选：C．二．填空题11．解：cos30°＝，故答案为：．12．解：由题意可得：∠DBC＝∠DEF，则tan∠DEF＝tan∠DBC＝＝．故答案为：．13．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，BE＝CD＝1在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．14．解：如图所示：∵∠C＝90°，tan A＝＝，∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，∴cos B＝＝＝．故答案为：．15．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝，则sinαcosα＝，故答案是：．16．解：∵cos50°＝sin（90°﹣50°）＝sin40°，∴sin40°＝cos50°．故答案为：＝．17．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝30（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝10（km），∴AC＝AE+CE＝30+10（km），∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故答案为：（30+10）．18．解：如图所示：连接BD，BD＝＝，AD＝＝2，AB＝＝，∵BD2+AD2＝2+8＝10＝AB2，∴△ADB为直角三角形，∴∠ADB＝90°，则tan A＝＝＝．故答案为：．19．解：A．∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，则这个正多边形的边数为：360°÷40°＝9．故答案为：9．B.13××sin14°≈13×3.61×0.24≈11.3，故答案为：11.3．20．解：（1）连接OB，OP，∵AB＝BC，O为AC的中点，∴OB⊥AC，∵∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，∴sin∠CAB＝sin30°＝．故答案为；（2）∵AQ是⊙O的切线，∴OP⊥AQ，设该圆的半径为r，∴OB＝OP＝r，∵∠ACB＝∠CAB＝30°，∴AB＝BC＝CD＝2r，AO＝r，∴AC＝r，∴sin∠PAO＝，过Q作QG⊥AC于G，过D作DH⊥QG于H，则四边形DHGC是矩形，∴HG＝CD，DH＝CG，∠HDC＝90°，∴sin∠PAO＝，∠QDH＝120°﹣90°＝30°，∴QG＝12，∴AG＝，∴QH＝12﹣2r，DH＝，∴tan∠QDH＝tan30°＝，解得r＝，∴该圆的半径为（）cm．故答案为（）．三．解答题21．解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：由勾股定理，得AB＝＝＝5，CD＝＝＝15，sin∠OBA＝＝，sin∠OCD＝＝＝，∠OBA＝∠OCD．22．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2＝﹣1+1﹣3＝﹣；（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．23．解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，∴AE＝＝＝15（cm）；（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，∴FA＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．∵sin∠CAB＝，∴FG＝FA•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．答：车座点F到地面的距离约为88cm．24．解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B＝，AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝＝9，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝＝13，cos C＝＝．25．解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴cos A＝＝，∵∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝，cos B＝sin A＝．26．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝10，∴AD＝BD＝AB•sin∠ABD＝10×＝5≈7，∵∠ACD＝15°，tan∠ACD＝，∴CD≈≈≈26，∴BC＝CD﹣BD＝26﹣7＝19．故BC的长度约为19米．27．解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此时⊙E与A′C相离．过D作DF⊥AC于F，则，．∴．∴．（12分）②当时，，．∴，∴，∴此时⊙E与A'C相交．同理可求出．。

2013新人教版九下第28章《锐角三角函数》word期末复习测试2

第28章锐角三角函数整章测试（时间45分钟满分100分）班级 ______________ 学号姓名 ____ 得分____一、选择题（每题3分，共24分）1．在△ABC 中，∠C ＝90°，3sin 5A =，则cos A 的值是（） A ．45 B ． 35 C ． 34 D ． 432．在△ABC 中，2∠B ＝∠A ＋∠C ，则sinB ＋tanB 等于（） A ．1 B ．323 C ．321+ D ．不能确定 3．等腰三角形底边与底边上的高的比是（） A ． 60° B ．90° C ．120° D ．150°4．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（） A ．30米 B ．10米 C ．1030米 D ．1010米 5．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）A ．150B ．375C ． 9D ． 76．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（）A ．sin a α⋅B ．cos a α⋅C ．n a ta α⋅D ．tan aα7．如图，ΔABC 中，AE ⊥BC 于E ，D 为AB 边上一点，如果BD ＝2AD ，CD ＝10，sin ∠BCD ＝35，那么AE 的值为（） A ．3 B ．6 C ．7.2 D ．98．如图，E 在矩形ABCD 的边CD 上，AB ＝2BC ，则t a n ∠CBE ＋tan ∠DAE 的值是（） A ．2 B ．2C ．2D ．2＋ABCEDABCDE二、填空题（每题2分，共20分）9．在△ABC 中，2AB =，AC =B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是． 10．锐角A 满足2sin （A －15０）＝3则∠A ＝． 11．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．12．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）． 13．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西度．14．已知，在△ABC 中，∠A=30°，tanB=23，AC=32，则AB= ． 15．计算：100245sin 251-+⋅-+-=16．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为米.17．如图，小红把梯子AB 斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙1.6米，小红上了两节梯子到D 点，此D 点距墙1.4米，BD 长0.55米，则梯子的长为18．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为（结果保留根号）CA第11题第12题第13题第18题图CBAADEB 第16题第17题第18题三、解答题（共56分）19．（4分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．20．（4分）如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元复习卷(含解析)

人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元复习卷一、单选题1．如图所示的是某超市入口的双买闸门，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是()A ．74cmB ．64cmC ．54cmD ．44cm2．如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA 的值是( )A B C D 3．如图所示，15AOP BOP ∠=∠=︒，//PC OA ，PD OA ⊥．若4PC =，则PD 的值为( )A ．1.5B ．4C ．2D ．14．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形ABCD 的边长为1，菱形的边AB 水平放置，如果该菱形的高是宽的23，那么菱形的宽是（）A ．1813B ．139C ．32D ．25．在 Rt ABC 中，90C ∠=，5AB =，3BC =，则 sin A 的值是（）A ．35B ．53C ．45D ．346．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（）．A ．15B ．13C D 7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果1sin 3A =，那么sinB 的值是( )A B ．C D ．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝kx 交于点C （4，n ），则tan ∠OCB 的值为（）A ．13B C D ．389．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<10．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是( )A．B．C．D．二、填空题11．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP 与x轴正半轴所夹角的余弦值为_____．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则sin B＝_____．13．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．14．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.15．如图，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°，则AC 的长为_______．16．在Rt ABC 中，190,cos 2C A ︒∠==，那么A ∠的度数是___________.17．取一张边长为4的正方形纸折五角星．操作步骤如下：①按如图1、图2的方法对折两次，将图2展开后得到图3；②如图4所示折出正方形ABCD 对角线的交点O ，将纸片折叠，使得点H 与点O 重合，折痕为EF ，再将四边形EFOG 折叠，使得EF 与FO 重合；③最后再将∠CFO 沿着FO 折叠，得到图5，沿图中虚线PM 剪一刀．展开得图6．（1）若图6中∠ABC=36°，则图5中∠MPN=________°；（2）小王认为此时∠OFC=36°．小黄同学提出了质疑！若已知．请求出sin ∠OFC=________，这样就可以知道谁的判断是正确的．18．如图一，矩形纸片ABCD 中，已知:5:3AB BC =，先按图二操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（三）操作：沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则的余弦值________．HAF19．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC 内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝__．三、解答题20．如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据≈1.41，≈1.73．21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y = 2，直接写出直线y = 2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y ⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．22．为了测量某单位院内旗杆AB的高度，在地面距离旗杆底部B的15米C处放置高度为1.8米的测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角（∠ADE）为54°．求旗杆AB的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38）23．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：BD CD BE BC=（3）若BC=32AB，求tan∠CDF的值．24．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A 处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号）（1）求出此时点A到军港C的距离；（2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．25．如图，甲船在A处发现乙船在北偏东的60 的B处，如果此时乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船的速度是海里/小时，这时甲船向________方向行驶才能最快追上乙．26．苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：a________，b=________；（1）统计表=（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，A 、B 是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问A 、B 同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．区域频数频率宿迁4a 连云港70.175淮安b0.2徐州100.25盐城120.27527．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD 长为1．6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0．8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）28．当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．（1）如图1，墙角O ∠=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB 的长度．（2）如图2，墙角O ∠=30°，如果在AB 的右边作等边ABC ∆，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O 与点C 的最大距离．（3）如图3，墙角sin O =35时，如果点E 是O ∠一条边上的一个点，DEF ∠=90°，其两条边与O ∠另一条边交于点F 与点D ，求OFOD的最大值．答案第1页，共26页参考答案：1．B 【解析】【分析】首先过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N ，再利用三角函数计算AM 和BN ，从而计算出MN.【详解】解:根据题意过A 作AM 垂直PC 于点M ，过点B 作BN 垂直DQ 于点N54AC BD cm ＝＝30ACP BDQ ︒∠=∠=MC ND =∴ AMC BDN∆≅∆1sin 3054272AM BN AC ︒∴===⨯= 所以2271064MN =⨯+= 故选B.【点睛】本题主要考查直角三角形的应用，关键在于计算AM 的长度，这是考试的热点问题，应当熟练掌握.2．D 【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC 的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】如图：，由勾股定理，得由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA=AD AC 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．3．C【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得15OPC AOP ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得30OP C BO E C P P ∠+∠=∠=︒，然后利用直角三角形的性质可得122PE PC ==，最后根据角平分线的性质即可得．【详解】如图，过点P 作PE OB ⊥于点E ，,15//AOP BO PC O P A ∠︒∠== ，15OPC AOP ∠∴∠==︒，30OPC BO PCE P ∴∠=∠+∠=︒，在Rt CEP △中，114222PE PC ==⨯=，又15AOP BOP ∠︒∠== ，PE OB ⊥，PD OA ⊥，2PD PE ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．4．A【解析】【分析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=23x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=23 x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（23x）2，解得：x=1813或0（舍），则该菱形的宽是18 13，故选A．【点睛】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．A【解析】【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：sinA=BC AB =35．故选A ．【点睛】本题考查了锐角正弦函数的定义.6．D【解析】【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC =BC ＝2，AB =∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．A【解析】【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sin A=13，∴cos A，∴∠A+∠B=90°，∴sin B=cos A故选A.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.8．A【解析】【分析】先将点A点B坐标表示出来，把点C代入直线AB可得出C点坐标为（4，-4），过B做垂线垂直于直线OC交于点E，求出BE和EC的长即可求出答案【详解】过B 作BE ⊥直线OC 交于点E由题意可得，点A 坐标为（2,0）点B 坐标为（0,4）把C 点横坐标代入直线y=-2x+4，可得y=-4故点C 坐标为（4，-4）∴直线OC ：y=-x∴∠EOB=45°，即△OEB 是等腰直角三角形∵在△OEB 中，OB=4，∴同理可得∴∴tan ∠OCB=BE EC 13故正确答案为A【点睛】此题主要考查两点距离和三角函数，三角函数一定要构造出直角三角形，找出对应边的长度是解题关键9．C【解析】【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∵sin 45︒∴0<sin α,选项A 正确，不合题意；B ．∵tan 45=1︒,∴0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，D ．sin 45︒cos 45︒cos αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．10．A【解析】【详解】试题分析：仔细分析各选项中格点三角形的特征即可作出判断.仔细分析图形特征可得A 不是直角三角形，B 、C 、D 均为直角三角形，故选A.考点：格点三角形的特征点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握格点中互相垂直的线段的特征，即可完成.11．513【解析】【分析】根据三角函数的定义解答．【详解】如图作PA ⊥x 轴，垂足为A ．OP 13=，cos ∠POA =513．故答案为513．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，利用坐标系求出三角形的边长是关键步骤．12．1517【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝17，BC ＝8，∴AC 15==，∴sin B ＝1517AC AB =．故答案为：1517．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．13．+【解析】【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒ ，30AB =，AE BE ∴===在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒ ，CE ∴=∴=+=AC AE CE∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．14．135【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=，所以在Rt△ACD中，CD= ．考点：解直角三角形的应用．15【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC边于点E，BE=2，∠B=22.5°∴AE=BE=2，∴∠EAB=∠B=22.5°．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°．∵∠C=90°，∴【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．16．60【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】∵∠C=90°，cos A12=，∴∠A=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．17．18 3 5【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得到∠ABC=2∠MPN，即可求解；（2）过点O作OM⊥BC于点M，设OF=FH=x，BM=k，则MH=3k，利用勾股定理求得x=53k，求得∠OFC的正弦函数即可比较得出结论．【详解】解：（1）由图5和图6可知∠ABC=2∠MPN=36°，∴∠MPN=36°÷2=18°；（2）过点O作OM⊥BC于点M，由题意可知MC=MO=MB=12BC=12HB ．设OF=FH=x ，BM=k ，则MH=3k ，在Rt △OFM 中，OM=k ，OF=HF=x ，MF=3k-x ，∴222OM MF OF +=，即()2223k x k x +-=，整理得：6kx=10k 2，∴x=53k ，∴3553OM k sin OFC OF k ∠===，∵，35≠，∴∠OFC≠36°．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理的应用，正弦函数等，作出常用辅助线构建直角三角形是解题的关键．18【解析】【分析】设AB =5，BC =3，根据折叠的性质，结合勾股定理求出AH ，过H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，解直角三角形AHF ，求出AM ，最后根据余弦的定义计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ：BC =5：3，设AB =5，BC =3，由折叠可知：AD =AE =BC =DF =3，FH =FC =2，则EH =EF -HF =3-2=1，∴AH又AF =H 作HM ⊥AF ，垂足为M ，设AM =x ，则MF =x ，则2222AH AM HF MF -=-，即()22222x x -=-，解得：x =AM =∴cos ∠HAF =AM AH ，．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．19【解析】【分析】过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，根据正方形的性质可得CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，从而得到AD ＝4，BE ＝6，再由勾股定理可得AB ＝10，AF ＝BF ＝，然后设BG ＝x ，再由勾股定理FG ＝2，即可求解．【详解】解：过点F 作FG ⊥AB 于G ，连接AF ，∵四边形CDFE 是边长为2的正方形，∴CD ＝CE ＝DF ＝EF ＝2，∠C ＝∠ADF ＝90°，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AD ＝4，BE ＝6，∴AB 10，AF ＝BF ，设BG ＝x ，∵FG 2＝AF 2﹣AG 2＝BF 2﹣BG 2，∴（2﹣（10﹣x ）2＝（）2﹣x 2，解得：x ＝6，∴FG 2，∴sin ∠FBA ＝FG BF【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解题的关键．20．6.2．【解析】【分析】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，可得四边形ABDM 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为23°，在△ACM 中求出CM 的长度，然后在Rt △CDE 中求出CE 的长度．【详解】过点A 作AM ⊥CD 于点M ，则四边形ABDM 为矩形，AM=BD=6米，在Rt △ACM 中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM•tan ∠，∴CD=（米），在Rt △CDE 中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴≈6.2（米）．21．（1）① 90&#ξΦ0B0;，60&#ξΦ0B0;；②本题答案不唯一，如：B (0，2)；（3）113C x -<<.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P 关于⊙O 的“视角”是指从点P 引出两条射线，当两条射线和⊙O 相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P 关于⊙O 的“视角”；直线l 关于⊙O 的“视角”是指当直线l 与⊙O 相离时，直线l 上的点Q 距离圆心O 最近时，点Q 关于⊙O 的“视角”就是直线l 关于⊙O 的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l 关于⊙C 的“视角”为60°，则说明在直线l 上存在一点P 距离点C 最近，且点P 关于⊙C 的“视角”为60°，则此时点P 是l 与以点C 为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，PE ⊥x 轴于点E ，由已知分析可得DP=DH=∠PDE=60°，在△PDE 中可求得DE 和PE 的长，得到点P 的坐标，把P 、D 的坐标代入直线l 的解析式可求得k 的值；②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC 的长，可得点C 的坐标；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，由已知条件可求得OC 的长，可得此时点C 的坐标；综合起来可得C x 的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l: y=kx + b（k > 0）经过点D（1-，0），-+=.∴()1k b0∴b k=-.∴直线l: y kx k=+-.设点P在直线l上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥x轴于点H，PE⊥x轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D 的坐标为(1 0)，-，∴DH =．∴tan ∠CDH=CH DH =∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PD ⋅PE= PD ⋅sin60°=3，∴1，∴点P 的坐标（13）．把点P 的坐标代入l : y kx k =+-，解得： k ．②如图2，由已知易得直线l 与x 轴相交于点A （-1，0），与y 轴相交于点B （0，若此时直线l 关于⊙C 的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=1=cos30 =AC=4cos303PC = ，∴OC=AC-OA=13，∴此时C x =13；如图3，当沿着x 轴向左移动时，直线l 关于⊙C 的视角会变大，当直线l 和⊙C 相切于点P 时，连接CP ，∵在△ABO 中，AO=1，，∴tan ∠BAO=BO AO=∴∠BAO=60°，∴AC=sin 60PC∴1，∴此时C x 1，综上所述，C x 的取值范围为：113c x -<<.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.22．23米【解析】【分析】根据锐角三角函数求得线段AE ，从而求得旗杆AB 的高度．【详解】解：在Rt △ADE 中，∵ tan ∠ADE ＝AE DE，∠ADE ＝54°，∴ tan 15 1.3820.7AE DE ADE ≈=⨯⋅∠=又∵ 1.8BE CD ＝＝，∴ 20.7 1.822.523AB AE BE =+=+=≈答：旗杆AB 的高度约为23 m ．【点睛】此题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握并应用三角函数的定义是解题的关键．23．（1）∠CBD 与∠CEB 相等，证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan ∠．【解析】【详解】试题分析：（1）由AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，可得∠ADB=∠ABC=90°，由此可得∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，从而可得∠A=∠CBD ，结合∠A=∠CEB 即可得到∠CBD=∠CEB ；（2）由∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，可得∠EBC=∠BDC ，从而可得△EBC ∽△BDC ，再由相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=2x ，结合BC=32AB ，AB 是直径，可得BC=3x ，OB=OD=x ，再结合∠ABC=90°，可得x ，CD=-1）x ；由AO=DO ，可得∠CDF=∠A=∠DBF ，从而可得△DCF ∽△BCD ，由此可得：CD DF BC BD =，这样即可得到tan ∠CDF=tan ∠DBF=DF BD .试题解析：（1）∠CBD 与∠CEB 相等，理由如下：∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠CBD=∠BAD ，∵∠BAD=∠CEB ，∴∠CEB=∠CBD ，（2）∵∠C=∠C ，∠CEB=∠CBD ，∴∠EBC=∠BDC ，∴△EBC ∽△BDC ，∴BD CD BE BC=；（3）设AB=2x ，∵BC=32AB ，AB 是直径，∴BC=3x ，OB=OD=x ，∵∠ABC=90°，∴x ，∴CD=）x ，∵AO=DO ，∴∠CDF=∠A=∠DBF ，∴△DCF ∽△BCD ，∴CD DF BC BD =∵tan ∠DBF=DF BD∴tan ∠点睛：解答本题第3问的要点是：（1）通过证∠CDF=∠A=∠DBF ，把求tan ∠CDF 转化为求tan ∠DBF=DF BD；（2）通过证△DCF ∽△BCD ，得到DF CD BD BC =.24．（1）（2）60-海里．【解析】【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，在Rt ACD ∆中利用利用三角函数即可求解；（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N ，可证A ＇B 平分∠CBA ，根据角平分线的性质、三角函数即可求解．【详解】解：（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D由题意可得：∠CBD 30=︒，BC=120则DC=60故60cos30DC AC AC ︒===解得：AC=答：此时点A 到军港C 的距离为（2）过点A ＇作A ＇N ⊥BC 于点N可得∠1=30︒，∠BA ＇A=45︒则∠2=15︒，即A ＇B 平分∠CBA设AA ＇=x ，则A ＇故CA ＇=2A ＇N=2x =x +=∴x 60=-答：此时“昆明舰”的航行距离为60-海里．【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键．25．北偏东30【解析】【分析】构建两个直角三角形后，令BD=x ，则AB=2x ，；BC=a ，则．在RT △ACD 中运用勾股定理可求出a 和x 之间的关系，从而得到AB=BC ，依据三角形外角和定理，从而求出∠CAB，又因为∠BAD已知，则可找到所行驶方向．【详解】设甲船在C处追上乙船，根据题意知CD⊥AD，∴∠ADB=90 ，∠BAD=30∴AB=2BD，由勾股定理得：AD，∵乙船正以每小时10海里的速度向正北方向行驶,而甲船的速度是/小时，∴设BC=a,则AC a，又在Rt△ABD中,令BD=x,则AB=2x,AD，又∵在Rt△ADC中,2AC=22AD DCa (舍负)，∴x=2又在Rt△ABD中，AB=2x，∴AB=a，∴AB=BC，∴∠C=∠CAB，∴∠ABD=∠C+∠CAB，∴∠ABD=2∠C.∵∠ABD=60∴∠C=30∴∠CAD =60∴这时甲船应朝北偏东30 方向行驶，才能最快追上乙船．【点睛】解直角三角形的应用-方向角问题．26．（1）0.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）16【解析】【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a 的频数、b 的频率利用公式即可求出答案；（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为0．175，∴数据总数为70.17540÷=，∴4400.1a =÷=，400.28b =⨯=．故答案为0.1，8；（2）∵0.10.1750.20.250.2751++++=，∴各组频率正确，∵400.2751112⨯=≠，∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为A 、B 、C 、D ，列表如下：AB C D ABA CA DA B ABCB DB C AC BC DCD AD BD CD∵共有12种等可能的结果，A、B同时入选的有2种情况，∴A、B同时入选的概率是：16．【点睛】此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.27．1．1m．【解析】【详解】试题分析：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据CF=AC•sin∠CAF 求出CF的长，在Rt△CDG中，根据CG=CD•sin∠CDE求出CG的长，然后根据FG=FC+CG计算即可．试题解析：解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0．744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0．336m，∴FG=FC+CG≈1．1m．故跑步机手柄的一端A的高度约为1．1m．考点：解直角三角形的应用．28．（1）（2）3；（3）1 4【解析】【分析】（1）过A 点作OB 的垂线AE ，证明E 点与B 点重合即可求得OB 的长；（2）在点A 运动过程中，AB 长不变，∠AOB=30°不变，考虑到同弧所对的圆周角不变，所以构造半径为3且过AB 两点的圆O ＇，易知O O ＇=3，C O ＇=O 、O ＇、C 三点共线时，得最值；（3）过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，根据sin O =35，不妨设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)，证明FGE ∆∽EHD ∆，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）如图1，过A 点作AE ⊥OB ，∵∠O=30°，OA=6∴AE=132OA = 又AB=3，AE ⊥OB∴B 点与E 点重合∴OB =（2）如图2，在C 点的另一侧作等边三角形ABO ＇，连接O O ＇，连接O ＇C 交AB 于点，则∠A O ＇B=60°，以O ＇为圆心，以3为半径作圆，则A 、B 点在圆上，又因为∠AOB=30°=12∠A O ＇B ，故O 点在圆上，当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的距离最大．∵△ABC 、△AB O ＇为等边三角形∴四边形AO ＇BC 为菱形∴O ＇C 与AB 互相垂直平分，AD=1322AB =，∠CAD=60°∴CD=tan AD CAD ⋅∠∴O ＇C=2CD=∴当O 、O ＇、C 三点共线时，点O 与点C 的最大距离为当OO ＇+O ＇C 3=+ （3）如图：过点F 做FG ⊥OE 与点G ，过点D 做DH ⊥OE 与点H ，∴∠DHE=∠FGE=90°∵sin O =35，设FG=3a ，DH=3b ，则OG=4a ，OH=4b ，GH=4b-4a (b a ≥)∵DEF ∠=90°∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°∴∠DEH=∠EFG=∴FGE ∆∽EHD ∆ ∴FG GE EH DH= ∴••FG DH GE EH=即9(44)ab GE b a GE =--∴24()90GE b a GE ab --+=∵0∆≥∴216)360b a ab --≥（化简后得到：4(4)0b a b a --≥（）∵b a ≥，∴40b a -≥，∴40b a -≥∴4b a≥∵FG//DH ，∴OF OD =OG OH =44a b ≤4a a =14【点睛】本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．。

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元测试卷含答案

新人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.sin60°的值等于（）A. B. C. D.2.已知α为锐角，sin（α-20°）=，则α=（）A. B. C.D.3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）A.B.C.D. 24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A. B. C. D.5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A. 不变B. 扩大5倍C. 缩小5倍D. 不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tan A=，则cos A的值为（）A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sin B的值是（）A. B. C. D.8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A. 3米B. 米C. 米D. 米9.坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A. B. C. D.10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m二、填空题（本大题共7小题，共26.0分）11.求值：sin60°-tan30°= ______ ．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A= ______ 度．13.如图，∠AOB放置在正方形网格中，则cos∠AOB的值为______ ．14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sin A=，则S△ABC= ______ ．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）______ ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成______ ．17.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则sin A= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.已知α为一锐角，sinα=，求cosα，tanα．19.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．20.如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．求新传送带AC的长度．22.某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）答案和解析1.【答案】C【解析】解：sin60°=．故选：C．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容，要注意积累．2.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，sin（α-20°）=，∴α-20°=60°，∴α=80°，故选D．根据特殊角的三角函数值直接解答即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．3.【答案】D【解析】解：由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．此题可以根据“角的正切值=对边÷邻边”求解即可．本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是解决此题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、∵sinB=，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=，∴a=，故选项错误；D、∵tanB=，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．根据三角函数的定义即可判断．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5.【答案】A【解析】解：∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．6.【答案】D【解析】解：如图，∵tanA==，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB==x，∴cosA===．故选D．根据正切的定义得到tanA==，于是可设BC=x，则AC=3x，根据勾股定理计算出AB，然后利用余弦的定义求解．本题考查了三角形函数的定义：在三角形三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值；这个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．7.【答案】B【解析】解：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB===．故选：B．首先延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，进而得出AD，CD，BC的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．此题主要考查了解直角三角形，作出正确辅助线构造直角三角形是解题关键．8.【答案】B【解析】解：设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=．∵CD=6．∴AB==6．故选：B．依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据实际问题抽象出几何图形．解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．故选：B．由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．11.【答案】【解析】解：原式=-=-=．故答案为．根据sin60°=，tan30°=得到原式=-，然后通分合并即可．本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°=，tan30°=．也考查了二次根式的运算．解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．此题主要考查了锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，解决此题的关键是求出cosA．13.【答案】【解析】解：将∠AOB放在一直角三角形中，邻边为1，对边为2，由勾股定理得斜边，则cos∠AOB的值==．根据余弦的定义，cos∠AOB等于邻边比斜边，可以求得cos∠AOB的值．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．14.【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA==，∴BC=4，AC==8．∴S△ABC=AC•BC=16．根据直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半可求出AB；根据三角函数的定义求出AC，根据面积公式解答．本题利用了直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半和锐角三角函数的概念求解．15.【答案】（2+1.6）m【解析】解：由题意得：AD=6m，在 Rt△ACD 中，tanA= ∴CD=2 ，又 AB=1.6m ∴CE=CD+DE=CD+AB=2 所以树的高度为（2 = +1.6，+1.6）m．已知小丽与树之间的距离为 6m 即 AD=7m，可由直角三角形 ACD 及三角函数的关系可求出 CD 的长度，再由 AB=1.6m 可得出树的高度．本题考查解直角三角形的应用，要注意利用已知线段及三角函数关系求未知线段． 16.【答案】【解析】，解：过点 A 作 AC⊥x 轴于 C． -60° =30° 在直角△OAC 中，∠AOC=90° ，OA=14 千米，则 AC= OA=7 千米，OC=7 千米．，-7）．因而小岛 A 所在位置的坐标是（7 故答案为：（7 ，-7）．过点 A 作 AC⊥x 轴于 C，根据已知可求得小岛 A 的坐标．本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 17.【答案】【解析】【分析】本题考查了锐角的三角函数值的定义，理解定义是关键.利用锐角三角函数的定义求解. 【解答】解：sinA= 故答案为 . = .18.【答案】解：由 sinα= = ，设 a=4x，c=5x，则 b= =3x，故 cosα= = ，tanα= = ．【解析】根据 sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出 cosα 的值，同理可得 tanα 的值．本题考查了同角三角函数的关系，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 19.【答案】解：作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ACD 中，∵∠A=30° ， -∠A=60° ∴∠ACD=90° ， CD= AC=2， AD=AC•cosA=2 ∴BD=CD=2， ∴BC=2 【解析】，． ∴AB=AD+BD=2+2 ．在 Rt△CDB 中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45° ，作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义在 Rt△ACD 中，在 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD，从而求解．本题考查了解直角三角形，作出辅助线是解题的关键，难度中等． 20.【答案】解：作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F．∵ ∠ ∠ ∠，，∠ ∴∠ 根据题意，得 BE=24mm，DF=48mm．在 Rt△ABE 中，sin ∴ ， mm在 Rt△ADF 中，cos∠ ∴ mm．，∴矩形 ABCD 的周长=2（40+60）=200mm．【解析】作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F，求∠ADF 的度数，在 Rt△ABE 中，可以求得 AB 的值，在 Rt△ADF 中，可以求得 AD 的值，即可计算矩形 ABCD 的周长，即可解题．本题考查了矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．=4 21.【答案】解：在 Rt△ABD 中，AD=ABsin45° 在 Rt△ACD 中，∵∠ACD=30° ， ∴AC=2AD=8．答：新传送带 AC 的长度约为 8 米．【解析】 × =4．根据正弦的定义求出 AD，根据直角三角形的性质解答即可．本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22.【答案】解：过 B 作 BF⊥AE，交 EA 的延长线于 F，作 BG⊥DE 于 G．在 Rt△ABF 中，i=tan∠BAF= = ， ∴∠BAF=30° ， ∴BF= AB=5，AF=5 ∴BG=AF+AE=5 在 Rt△BGC 中， ∵∠CBG=30° ， ∴CG：BG= ， ∴CG=5+5 ．．+15．在 Rt△ADE 中，∠DAE=45° ，AE=15， ∴DE=AE=15， ∴CD=CG+GE-DE=5+5 答：宣传牌 CD 高约（5 【解析】 +5-15=（5 -5）米． -5）m．过 B 分别作 AE、DE 的垂线，设垂足为 F、G．分别在 Rt△ABF 和 Rt△ADE 中，通过解直角三角形求出 BF、AF、DE 的长，进而可求出 EF 即 BG 的长；在 Rt△CBG 中，∠CBG=30° ，求出 CG 的长；根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌的高度．此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 23.【答案】解：（1）如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D．-45° =45° 在 Rt△PBD 中，∠BDP=90° ，∠PBD=90° ， ∴BD=PD=3 千米． -60° =30° 在 Rt△PAD 中，∠ADP=90° ，∠PAD=90° ， ∴AD= PD=3 千米，PA=6 千米．（千米）； ∴AB=BD+AD=3+3（2）如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F．根据题意得：∠ABC=105° ，在 Rt△ABF 中，∠AFB=90° ，∠BAF=30° ， ∴BF= AB= 千米，AF= AB= +3 千米．-∠BAC-∠ABC=45° 在△ABC 中，∠C=180° ．在 Rt△BCF 中，∠BFC=90° ，∠C=45° ， ∴CF=BF= 千米，千米． ÷ =3（小时）．∴PC=AF+CF-AP=3 【解析】故小船沿途考察的时间为：3（1）过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，先解 Rt△PBD，得到 BD 和 PD 的长，再解 Rt△PAD，得到 AD 和 AP 的长，然后根据 BD+AD=AB，即可求解；（2）过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，先解 Rt△ABF，得出 BF 和 AF 的长，再解 Rt△BCF，得出 CF 的长，可求 PC=AF+CF-AP，从而求解．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．24.【答案】解：（1）如图，过点 E 作 EM⊥AB，垂足为 M．设 AB 为 x． Rt△ABF 中，∠AFB=45° ， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF+FC=x+25，在 Rt△AEM 中，∠AEM=22° ，AM=AB-BM=AB-CE=x-2， tan22° = 则，= ，解得：x=20．即教学楼的高 20m．（2）由（1）可得 ME=BC=x+25=20+25=45． = 在 Rt△AME 中，cos22° ∴AE= ，．即 A、E 之间的距离约为 48m 【解析】= （1）首先构造直角三角形△AEM，利用 tan22° = （2）利用 Rt△AME 中，cos22° ，求出 AE 即可，求出即可；= 此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出 tan22°是解题关键。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》综合测试卷(含答案)

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.452．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( ) A.43 B.34C.45D.353．一个公共房门前的台阶高出地面1.2 m ，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( B )A ．斜坡AB 的坡比是10° B ．斜坡AB 的坡比是tan10°C ．AC ＝1.2tan10° mD ．AB ＝ 1.2cos10°m4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( B )A ．3 mB ．3 5 mC ．12 mD ．6 m5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0<tanα<1(α为锐角)；③2cos30°＝cos60°；④sin30°＝cos60°，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．若(a－bcos60°)2＋|b－2tan45°|＝0，则(a－b)2019的值是( )A．1 B．－1 C．0 D．20197．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝10 m，则坡面AB的长度是() A．15 m B．20 3 m C．20 m D．10 3 m8．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于()A．asinα＋bcosβ B．acosα＋bsinβC．asinα＋bsinβ D．acosα＋bcosβ9. 如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为()A．23m B．26m C．(23－2)m D．(26－2)m10．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P之间的距离为()A．60 3 n mile B．60 2 n mile C．30 3 n mile D．30 2 n mile二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，sinα＝13，AC ＝4，则BC ＝_______，AB ＝________，CD ＝_________.12．在△ABC 中，若|sinA －32|＋|cosB －22|＝0，则∠C ＝______． 13．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE ＝40 cm ，EF ＝20 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝8 m ，则树高AB ＝________m.14. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝2 2，那么△ABC 的周长为________．16．如图，点P 在等边三角形ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C ，连结AP′，则sin ∠PAP′的值为________．17．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，P 是OA 上的一动点，N(3，0)是OB 上的一定点，M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为________．18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m.三．解答题（共7小题，66分）19．(8分) 如图，在坐标平面内有一点P(－2，5)，连结OP.求OP 与x 轴的负半轴的夹角α的各个三角函数值．20．(8分) 已知tanα的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sinα－cosα2cosα＋sinα的值．21．(8分) 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2.将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A ，C 分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B 在同一条直线上，求tan ∠ABA′的值．22．(10分)为了保证端午龙舟赛在汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．23．(10分) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O(0，0)，A(23，0)，B(23，2)，把矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA1B1C1.(1)求角α的度数；(2)求直线A1B1的函数关系式，并判断直线A1B1是否经过点B，为什么？24．(10分) 如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100 km 的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200 km的点C处．(1)求点C与点A的距离(精确到1 km)；(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)25．(12分) 如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1，l2，l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，(高速路右侧边缘)，l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝3千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝13 13，MN＝213千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点.(1)求l2和l3之间的距离；(2)若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？(结果用分数表示)参考答案：1-5DABBA 6-10BCBBB 11. 2，32，4312. 75° 13. 5.5 14.3215．6＋2 3 16.35 17．(32，32)18．(30＋103)19. 解：∵OP ＝OA 2＋PA 2＝22＋52＝4＋25 ＝29，∴sinα＝PA OP ＝529＝52929，cosα＝OA OP ＝229＝22929，tanα＝PA OA ＝52.20. 解：解方程x 2－x －2＝0 得x 1＝2，x 2＝－1. 又∵tanα＞0，∴tanα＝2，又∵tanα=sinαcosα，∴原式＝3tanα－12＋tanα＝3×2－12＋2＝5421. 解：设AB ＝x ，则CD ＝x ，A′C ＝x ＋2. ∵AD ∥BC ，∴C′D BC ＝A′D A′C ，即x 2＝2x ＋2，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1(舍去)． ∵AB ∥CD ，∴∠ABA′＝∠BA′C. ∵tan ∠BA′C ＝BC A′C ＝25－1＋2＝5－12，∴tan∠ABA′＝5－1 2.22. 解：如图，过P点作PC⊥AB于点C，由题意可知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△PAC中，PCAC＝tan∠PAC，∴AC＝33PC，在Rt△PBC中，PCBC＝tan∠PBC，∴BC＝3PC，∵AB＝AC＋BC＝33PC＋3PC＝10×40＝400，∴PC＝1003，答：建筑物P到赛道AB的距离为1003米23. 解：(1)∵OA1＝23，A1B1＝2，∴tan∠A1OB1＝223＝33，∴锐角∠A1OB1＝30°，∴∠α＝60°(2)由点A1(3，3)，B1(0，4)得直线A1B1表达式为y＝－33x＋4，当x＝23时，y＝－33×23＋4＝2，∴点B(23，2)在直线A1B1上24. 解：(1)过点A作AD⊥BC于点D.由图得，∠ABC＝75°－15°＝60°.在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100.∴BD＝50，AD＝50 3.∴CD＝BC－BD＝200－50＝150.在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝AD2＋CD2＝1003≈173(km)．即点C与点A的距离约为173 km(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(1003)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2＋AC2＝BC2.∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向25. 解：(1)如图，过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα＝1313，MN ＝213千米， ∴cosα＝DM MN ＝DM 213＝1313，解得DM ＝2千米，答：l 2和l 3之间的距离为2千米(2)∵点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝3千米， ∴tan30°＝BM AB ＝3AB ＝33，解得AB ＝3千米，可得AC ＝3＋2＝5(千米)，∵MN ＝213千米，DM ＝2千米，∴DN ＝（213）2－22＝43(千米)，则NC ＝DN ＋BM ＝53(千米)，∴AN ＝AC 2＋CN 2＝（53）2＋52＝10(千米)， ∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要10150＝115小时。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元检测题含答案

下学期初中数学人教版九年级锐角三角函数单元检测题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 把△ABC 三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正弦函数值（） A.缩小为原来的12 B.不变C.扩大为原来的2倍D.扩大为原来的4倍2. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘，AC =4，则BD 的长为（）A.83B.43C.23D.83. 如图，在 Rt △ABC ∠C =90∘, AC =4, AB =5, BC =3 sin B 的值是（） A.23 B. 35C.45D. 344. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（） A.扩大2倍 B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化5. 如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan C 的值为( )A.3510 B.255C.55D.126. 在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图，已知小明距假山的水平距离BD 为试卷第2页，总12页12m ，他的眼睛距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60∘刻度线，则假山的高度为（）A.(43+1.6)mB.(123+1.6)mC.(42+1.6)mD.43m7. 已知sin α<cos α，那么锐角α的取值范围是( ) A.30∘<α<45∘ B.0∘<α<45∘C.45∘<α<60∘D.45∘<α<90∘8. 如图，沿AC 的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，在AC 上取一点B ，使得 ∠ABD =148∘ .已知BD =600米，∠D =58∘ ，点A ，C ，E 在同一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是( )A.600sin 58∘米B.600cos 58∘米 C.600tan 58∘米 D.600cos 58∘米9. 如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝50米，∠PCA ＝44∘，则小河宽PA 为（）A.50tan 44∘米B.50sin 44∘米C.50sin 46∘米D.100tan 44∘米10. 如图：在Rt △ABC 中，C =90∘，sin A =35，则tan A 的值等于()A.45 B.35C.34D.5511. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB ，垂足为D .如果AD =8，BD =4，那么tan A 的值是( )A.12 B.22C.33D.212. 如图，某山坡的坡面AB =200米，坡角∠BAC =30∘，则该山坡的高BC 的长为（）A.50米B.100米C.150米D.1003米13. 在某次海上搜救工作中，A 船发现在它的南偏西30∘方向有一漂浮物，同时在A 船正东10km 处的B 船发现该漂浮物在它的南偏西60∘方向，此时，B 船到该漂浮物的距离是（） A.53km B.103kmC.10kmD.20km14. 如图，电线杆CD 的高度为ℎ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A ，D ，B 在同一条直线上）( )试卷第4页，总12页A.ℎsin αB.ℎcos αC.ℎtan αD.ℎ⋅cos α15. 在△ABC 中，∠C 是直角，cos B =23，则sin B =( ) A.253B.53C.55D.25516. 如图，梯形护坡石坝的斜坡AB 的坡度i =1:3，坡度BC 为2m ，则斜坡AB 的长是（）A.25mB.210mC.45mD.6m17. 如图，在 △ABC 中， ∠B =2∠C, AD ⊥BC 于点D ，设 AD =m, BD =n ，则 DC =( )A.m +m 2+n 2B.2n +m 2+n 2C.n +m 2+n 2D.n +2m 2+n 218. 在△ABC 中，∠C =90∘，sin A =35，则sin B 的值是（） A.23 B.25C.45D.21519. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 和CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，若AE＝，则菱形ABCD 的周长等于( )A. B. C.4 D.820. 已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45∘向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30∘向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（2=1.414，3=1.732结果保留三个有效数字）（）A.22.1米B.26.0米C.27.9米D.32.8米21. 若sin20∘=cos(α+25∘)，则tanα=________．22. 若1−tanα=0，则锐角α=________度．23. 用计算器求值：sin23∘5′+cos66∘55′≈________．（精确到0.0001）24. 如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=153米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30∘，底部C点的俯角是45∘，则教学楼AC的高度是________米（结果保留根号）．25. 如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.26. 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2, −4)，B(0, −4)，C(1, −1).试卷第6页，总12页(1)请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段B 1C 1；(2)请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将△ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；(3)若另有一点P(−3, −3)，连接PC ，则tan ∠BCP =________．27. 如图，海上有一灯塔P ，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以24海里/时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60∘的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东30∘方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险？28. 计算：6tan 230∘−3sin 60∘−2sin 45∘.29. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，DG ⊥AC 于点G ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线FG 是⊙O 的切线；(2)若AC =10，cos A =25，求CG 的长.30. 如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ．过点A 作⊙O 的切线与OD 的延长线交于点P ，PC ，AB 的延长线交于点F．(2)若∠ABC=60∘，AB=10，求线段CF的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 20 小题，每题 3 分，共计60分）1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】A10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B13.【答案】试卷第8页，总12页B14.【答案】B15.【答案】B16.【答案】B17.【答案】C18.【答案】C19.【答案】D20.【答案】B二、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）21.【答案】122.【答案】4523.【答案】0.784124.【答案】(15+153)25.【答案】北偏西52∘三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）26.【答案】解：(1)作出点B1，C1连接即可；试卷第10页，总12页(2)因为直线CD 将△ABC 分成面积相等的两部分，且与线段AB 相交于点D ，故点D 为线段AB 的中点，画出直线CD ，可知点D 坐标为(−1, −4)；127.【答案】解：过P 作PD ⊥AB ．AB =24×2060=8海里．∵ ∠PAB =30∘，∠PBD =60∘∴ ∠PAB =∠APB∴ AB =BP =8海里．在直角△PBD 中，PD =BP ⋅sin ∠PBD =8×32=43海里．∵ 43>6∴ 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．28.【答案】解：原式=6×(33)2−3×32−2×22=6×13−32−2=2−32−2=12−229.【答案】(1)证明：如图1，连接OD ，∵ AB =AC ，∴ ∠C =∠ABC .∵ OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD // AC，∴∠ODG=∠DGC.∵DG⊥AC，∴∠DGC=90∘，∴∠ODG=90∘，∴OD⊥FG.∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线．(2)解：如图2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=10÷2=5.由(1)可得OD⊥FG，OD // AC，∴∠ODF=90∘，∠DOF=∠A.在△ODF和△AGF中，∠DOF=∠A，∠F=∠F， ∴△ODF∼△AGF，∴ODAG =OFAF.∵cos A=25，∴cos∠DOF=25，∴OF=ODcos∠DOF =525=252，∴AF=AO+OF=5+252=352，∴5AG =252352，解得AG=7，∴CG=AC−AG=10−7=3，即CG的长是3．30.【答案】(1)证明：如图，连接OC，试卷第12页，总12页∵ OD ⊥AC ，OD 经过圆心O ，∴ AD =CD ，∴ PA =PC ，在△OAP 和△OCP 中，∵ OA =OC,PA =PC,OP =OP, ∴ △OAP≅△OCP(SSS)，∴ ∠OCP =∠OAP ，∵ PA 是⊙O 的切线，∴ ∠OAP =90∘，∴ ∠OCP =90∘，即OC ⊥PC ，∴ PC 是⊙O 的切线.(2)解：∵ OB =OC ，∠OBC =60∘，∴ △OBC 是等边三角形，∴ ∠COB =60∘，∵ AB =10，∴ OC =5，由(1)可知，∠OCF =90∘，∴ CF =OC ⋅tan ∠COB =53．。

人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元测试卷(含答案)

人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元测试卷(全卷总分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列各种现象属于中心投影现象的是( )A ．上午10点时，走在路上的人的影子B ．晚上10点时，走在路灯下的人的影子C ．中午用来乘凉的树影D ．升国旗时，地上旗杆的影子2．下列立体图形中，俯视图是正方形的是( )A B C D3．计算6tan45°－2cos60°的结果是( )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．54．如图所示，为测得楼房BC 的高，在距楼房30 m 的A 处，测得楼顶的仰角为α，则楼房BC 的高为( )A ．30tan α m B.30tan α m C ．30sin α m D.30sin α m第4题图第5题图第5题图第7题图5．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( ) A ．四面体 B ．直三棱柱 C ．直四棱柱 D ．直五棱柱6．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )A.BDBC B.BCAB C.ADAC D.CDAC7．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为( )A.33B.55C.233D.2558．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( )A.5714 B.35 C.217 D.21149．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为( )A ．60πB ．70πD ．160π10．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( )A ．(11－22)米B ．(113－22)米C ．(11－23)米D ．(113－4)米二、填空题(每小题3分，共30分)11. 计算8－2sin45°的结果是．12．如图是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是投影，而不是投影．13．如图，已知平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点P 的坐标为(5，12)，那么OP 与x 轴正半轴所夹角的余弦值为．第12题图第13题图第15题图14．已知一个斜坡的坡度i ＝1∶3，那么该斜坡的坡角的度数是度．15．如图是某几何体的三视图及相关数据(单位：cm)，则该几何体的侧面积为 cm 2.16．如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为 cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.精确到0.1 cm)17．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是255．第16题图第17题图第18题图第20题图18．如图，由三个棱长均为1 cm 的小立方体搭成的几何体的主视图的面积是 cm 2.19．若规定sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，则sin15°＝．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，边AB 的垂直平分线分别交边BC ，AB 于点D ，E.如果BC ＝8，tanA ＝43，那么BD ＝．三、(本大题12分)21．计算：|2|＋(π－3)0＋(12)－1－2cos45°.四、(本大题12分)22．△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知：c ＝83，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知：a ＝36，∠A ＝45°，求∠B ，b ，c.五、(本大题14分)23．已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5 m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4 m.(1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影，并简述画图步骤；(2)在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6 m ，请你计算DE 的长．六、(本大题14分)24．如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求： (1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．七、(本大题12分)25．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD ＝∠C.(1)求证：OD ⊥AC ；(2)若AE ＝8，tanA ＝34，求OD 的长．。

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人教版九年级下册数学第28章锐角三角函数单元检测卷-＞选择题（每小题3分；共33分）1. 计算5sin30o+2cos245°-tan260°的值是（）厂 1 1A. &B. -C.-—D.1v 2 2【答案】B【解析】试题分析：根据特殊角的锐角三角函数值计算即可得到结果.5sin30°+2cos245°-tan260°一丄十2x（2^':一"岳：-l-b2xl-3 -丄■ ■ ■ ■ ■故选B.考点：特殊角的锐角三角函数值点评：计算能力是学生必须具备的基本能力，中考中各种题型中均会涉及到计算问题，因而学生应该努力提升白己的计算能力.2. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：不，堤高BC=10m,则坡面AB的长度是（）BA. 15mB. 20^3mC. 20mD. logm【答案】C【解析】试题分析：RtZ\ABC中,BC=10m, tanA=l:^3；AC=BC-rta nA=10^/3 m, ・・.AB二Jio' + UO 间2 = 20m. 故选：C 考点：解直角三角形 3.在RtAABC中，ZC=90°,当已知ZA和a时，求c,应选择的关系式是（） a a aA. c = -------B. c = ----------------------------C. ata nAD. c = -------------------sinA cosA tanA【答案】A【解析】在RtAABC中，ZC=90°,. aAsinA=-,a/• c ——sinA故选A.【点睛】本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解.4. 在RtAABC 中，ZC=90^, c=5, a=4,则sinA 的值为( )3 4 3 4A. —B.—C. —D. -5 5 4 3【答案】BQ 4【解析】由锐角三角函数的定义，sin/! = - = -，所以选B学壬科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科c 5¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…学¥科¥网…5. 在RtAABC 中,ZC=90°,下列等式:(1) sin A=sin B； (2) a=c sin B； (3) sin A=tan A cos A； (4) sin2A+cos2A =1.其中一定能成立的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B・・A計• n P人打 4 A甜• sinA= —, sinB= — , cosA= — , tanA二一, <•r r h.•.sinAHsinB,所以(1)错误;a=c-sinA,所以(2)错误；VtanA-cosA= —• — =sinA,所以(3)正确;h rsin2A+cos2A= ( — ) 2+ ( — ) 2= =1,所以(4)正确.故选B.6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、0为格点，贝ij tanZAOB=( )【答案】A【解析】过点A 作AD 丄0B 垂足为D, 如图，在直角AABD 屮，AD=1, 0D=2,则 tanZAOB —=-, OD 27.如图，在RtAABC 中，ZC=90°, AM 是BC 边上的中线，sinZCAM=-,则tanB 的值为（4 D. 3【答案】B设 CM=3x,则 AM=5x,根据勾股定理得：AC=^AM 2-CM 2^4x,又M 为BC 的中点，/. BC=2CM=6x,z z |AC 4x 2在 RtAABC 中，tanB=——=—=一，BC 6x 3 故选B.8.如图，一艘轮船在B 处观测灯塔A 位于南偏东50。

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。

人教版九年级下学期第28章锐角三角函数单元过关测试卷含参考答案

人教版九年级下学期第28章锐角三角函数单元过关测试卷含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（） A 、53 B 、54 C 、43 D 、342、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（）A 、等腰三角形B 、等腰直角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形 3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（） A 、21B 、2C 、25D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（） A ．32 m B ．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（） A 、72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（） A ．8.1米 B ．17.2米 C ．19.7米 D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α= 9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离（第3题）（第4题）（第6题） ED CB A DB C AB D CE ABC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）三、解答题（共61分） 14、计算：（8分）（1）45sin 60)︒-︒ （2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．15、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比i =（指坡面的铅直高（第10题）（第11题）（第13题）Ｄ图1 Ｃ图2度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A 处水平飞行至B 处需8秒，在地面C 处同一方向上分别测得A 处的仰角为75°，B 处的仰角为30°．已知无人飞D CBA机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

人教版九年级数学下册第 28章锐角三角函数综合测试卷及答案

2020年九年级28章锐角三角函数学校：___________姓名：___________班级：___________一、单选题（每题3分，共36分） 1.sin 60=°（） A.3 B.32 C.22 D.122.在Rt ABC △中，90,5,3C AB BC ∠===°，则tan A 的值是( ) A.34 B.43 C.35 D.453.如图,在ABC △中90,2,3,C BC AB ∠===°则下列结论正确的是（）A.5sin A =B.2cos 3A =C.213sin A =D.25tan ,A =4.在ABC △中,已知A B ∠∠、都是锐角,21|sin |+(1tan )0,2A B --=那么C ∠的度数为( )A.75°B.90°C.105°D.120°5.在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，8AC =，3sin 5A =，点D 是AB 中点，则CD 的长为( )A.4B.5C.6D.76.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=2,则点B 的坐标为( )A.( 2,1)B.(1, 2)C.( 2+1,1)D.(1,2+1)7.如图,某地区准备修建一座高6AB m =的过街天桥,已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角ACB ∠的余弦值为45,则坡面AC 的长度为( )A. 8mB. 9?mC. 10mD. 12m8.如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于点D .若24BC =，12cos 13B =，则AD 的长为( )A.12B.10C.6D.59.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)0,，点B 的坐标为(0)3,，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，连接BC ，则C ∠的正弦值为( )A.13B.3C.10 D.31010.如图，在菱形ABCD 中，5AB =，3tan 4B =，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE △沿直线AE 翻折至AFE △的位置，AF 与CD 交于点G ，则CFG △的面积为( )A.92B.2716C.365D.1082511.如图，ABC △内接于O e ，AD 为O e 的直径，交BC 于点E ，若2DE =，3OE =，则tan tan C B ⋅=( )A.2B.3C.4D.512.轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，图是渝鲁站出口的横截面平面图，扶梯AB 的坡度1:2.4i =，在距扶梯起点A 端6米的P 处，用1.5米的测角仪测得扶梯终端B 处的仰角为14°，扶梯终端B 距顶部2.4米，则扶梯的起点A 与顶部的距离是(参考数据:sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈)( )A.7.5米B.8.4米C.9.9米D.11.4米二、填空题（每题3分，共18分）13.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=20,sin A=0.6,则BC=__________.14.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 的中线，若 6.5CD =，12BC =，则sin B 的值是 .15.把一张矩形的纸片按如图所示的方式对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折痕所成的角α的余弦值为_______.16.在ABC △中，A B ∠∠，都是锐角，且1sin 2A =，tan 3B =，10AB =，则ABC △的面积为 . 17.如图，在ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥于D BE ，平分ABD ∠交AC 于3sin 5E A =,，210BC =，则AE = .18.如图，直线//MN PQ ，直线AB 分别与MN PQ ，相交于点A B ，.按以下步骤作图: ①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧交射线AN 于点C ，交线段AB 于点D ；②以点C 为圆心，适当的长度为半径画弧，然后以点D 为圆心，同样的长度为半径画弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；③作射线AE ，交PQ 于点F . 若43AF =，3cos FAN ∠=，则线段BF 的长为 .三、解答题（共66分） 19. （共12分）计算:(1)2sin303tan60cos 45︒+︒-︒；（2()3092015223sin 60+-+︒. (3)sin6013cos30245tan602tan 45︒-︒︒︒-︒.20. （8分）如图,AD 是△ABC 的中线, 13tanB =,2cosC =,2AC =.求:1.BC 的长;2.sin∠ADC 的值.21. （8分）如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 上一点，3AC AE ==，4BC =，过点A 作AB 的垂线交射线EC 于点D ，延长BC 交AD 于点F .(1)求CF 的长； (2)求D ∠的正切值.22. （8分）如图，某海监船以60海里/时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速，以90海里/时的速度追击，在D 处，海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号).(1)求B C ，两处之间的距离； (2)求海监船追到可疑船只所用的时间.23. （8分）如图①是“东方之星”救援打捞现场图,小红据此构造出一个如图②所示的数学模型,已知: A 、B 、D 三点在同一水平线上, CD AD ⊥,30A ∠=︒,75CBD ∠=︒,60AB m =.1.求点B 到AC 的距离.2.求线段CD 的长度.24. （10分）如图，在ABC △中，90,30,ACB CAB ABD ∠=∠=°°△是等边三角形，将四边形ACBD 沿直线EF 折叠，使D 与C 重合，CE 与CF 分别交AB 于点, .C H(1)求证:.AEG CHG :△△(2)AEG △与BHF △是否相似?并说明理由. (3)若1,BC =求cos CHG ∠的值.25. （12分）如图,AB 是圆O 的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD 交圆的切线BE 于点E1.证明:直线PD 是⊙O 的切线.2.如果∠BED=60°, 3PD =求PA 的长.3.将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF,点F 正好在圆O 上,如图2,求证:四边形DFBE 为菱形.参考答案1.答案：B解析：sin 60=° 2.答案：A解析：由勾股定理，得4,AC ==由正切三角函数的定义，得3tan .4BC A AC == 3.答案：D解析：Q 在ABC △中,90,2,3,C BC AB ∠===°AC ∴2sin ,cos tan3A A A ∴===只有选项D 正确.故选D. 4.答案：C解析：21|sin |+(1tan )0,2A B --=Q21|sin |0,(1tan )0,2A B ∴-=-=1sin ,tan 1,2A B ∴==A B ∠∠Q 、为锐角，3045,A B ∴∠=∠=,°°C ∴∠的度数为1803045105--=°°°°.故选C. 5.答案：B解析：依照题意，画出图形，如图所示3sin 5BC A AB ==， ∴可设()30BC x x =>，则5AB x =，4AC x ∴=，48x =，2x ∴=，510AB x ∴==.Q 在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10AB =，点D 是AB 中点，152CD AB ∴==故选B.6.答案：C解析：根据菱形的性质:四边相等，对边平行，得2，AB//OC ，过点B 作BE⊥OA 由于∠AOC=45°,得∠BAE=45°，在直角三角形AEB 中，由勾股定理得AE=BE=1，从而2+1，故选C 7.答案：C解析：本题考查的是三角函数的应用。

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初中数学试卷
鼎尚图文**整理制作
2015-2016学年度第一学期北京市西城区普通中学初三数学
锐角三角函数单元测试 2
(时间45分钟满分100分) 姓名
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（）
A ．
2
1
B ．22
C ．
2
3
D ．1
2.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（）
A ．154
B ．1
4
C ．15
D ．４
3．已知α为锐角，且2
3
)10sin(=
︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80
4．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是
（）
A ．sin 40m
B ．cos 40m
C ．tan 40m
D ．
tan 40
m
5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（）
A ．90
B ．60
C ．45
D ．30
6.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（）
A ．250m.
B ． 250.3 m.
C ．500.33 m.
D ．3250 m.
7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点
（第10题）
（图1）
（图2） A
B C B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（）
A ．
247
B ．
73
C ．
724
D ．
13
8．因为1
sin 302=
，1sin 2102
=-，所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为
2sin 452
=
，2sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（）
A ．1
2
-
B ．22
-
C ．32
-
D ．3-
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
9.2cos45°-2
1
tan60°= ;
10．如图是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是；
11.林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知5380.5BAC AB =︒=∠′，米，则这棵大树的直径约为_________米；（结果精确到0.1米）
12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos
B ∠的值为；
6
8
C
E
A
B
D
（第7题）
A
B
C
D
E 第13题
1:3i =
第12题
第6题
A
B
O
C
第11题
13.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4AD =，拦水坝的横断面ABCD 的面积是（结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=）三、解答题（共48分）
14．(8分)在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a=3，b=3，解这个三角形．
15. （8分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin 400.64≈，cos 400.77≈，tan 400.84≈）
16.（10分）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40公里的B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治，已知C 岛在A 的北偏东60º方向，且在B 的北偏西45º方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20公里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1，参考数据：2 1.41≈，6≈2.45）
40︒
E D C
B
A
17．（10分）如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，30EAB ∠=，45CDF ∠=．求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）
18．（12分）为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少
A
N M B
F
C
E
D H
H
（图1）
（图2）（图3）
（第18题）
3.5㎝
A
C
F
3m
B
5m
D
（第19题）
cm ？
（附加题5分）19．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为。

（写明理由）答案：
1.A
2.C
3.C
4.A
5.D
6.A
7.B
8.C
9.231-
, 10.23 11. 0.5 12.2
2
13. 52.0
14.32=c ，∠A=30°,∠B=60° 15.9.9 16.0.7小时 17.4.1 18.(1)可行 (2)1.8米 (3)2.1厘米
3
19．
5。

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