两个不等式的加强
S08.内斯比特不等式的类似、推广、加强与应用
关键词： 内斯比特不等式加强 of Square） 差分代换法
类似
猜想
应用
SOS 法 （Sum
形式变换
-3-
The Similarity ,Extension, Enhancement and Application Of Nesbitt's Inequality
Summary
In this article, we have drawn some wonderful conclusions by making further study and generalizing the basic form of Nesbitt's inequality. Meanwhile we have emphasized and associated it . We have made a comprehensive study to the inequality based on the three basic inequalities and various methods of proof. some general rules and sharpening forms have been obtained by the two softwares: maple and bottema2009, which is of great effect to the proof of the other inequalities. In some sense, this article can perform our comprehensive study because it shows the reader such a clear clue: from simplicity to complexity, telling the development of the thoughts and above all, exemplifying how to apply it.
不等式的性质知识点及题型归纳总结
不等式的性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、不等式的基本性质不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）（1）（传递性，注意找中间量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性，注意条件为正）注：如，其逆命题不成立，如但是.2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据（1）.（2）（对称性）（3）（乘正保号性）（4）（5）（不等量加等量）（6）（乘方保号性，注意条件为正）（7）（开方保号性，注意条件为正）（8）（同号可倒性）；.最为重要的3条不等式性质为：①；②；③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同．向同正可乘．．．．．．．”来记忆.．．．．．；同号取倒需反向题型归纳及思路提示题型1 不等式的性质思路提示应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系.解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由可知，则，故该命题是真命题；③中，不等式两边同乘，可得，若同乘，可得，易知成立，故该命题为真命题；④中，由可知，故有，又因，由“同向同正可乘”性可知成立. 故该命题为真命题；⑤中，由已知，因为，故，又，所以，故该命题为真命题. 综上所述，②③④⑤都是真命题，故选C.评注：准确记忆各性质成立的条件，是正确应用的前提. 在不等式的判断中，特殊值法是非常有效的方法，如变式3.变式1设，若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.变式2设是非零实数，若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.变式3 若，则下列结论中正确的是（）A. 和均不成立B. 和均不成立C. 不等式和均不成立D. 不等式和均不成立变式4若，且，则下列代数式中值最大的是A. B. C. D.题型2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式思路提示比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若，则；；；若，则；；；例7.2若且，试比较与的大小.解析：解法一：，因为且，所以，所以.解法二：，因为且，所以，又，所以.变式1若，试比较与的大小变式2设且，试比较与的大小例7.3 在锐角中，若函数在上单调递减，则下列命题中正确的是（）A. B.C. D.解析：因为在锐角中有，由在上为单调递增函数，所以，且，又函数在上单调递减，所以，故选D.变式1 已知函数是上的偶函数，且在区间上是增函数，令，则（）A. B. C. D.变式2已知函数，那么的值（）A. 一定大于0B. 一定小于0C. 等于0D. 确定题型3 已知不等式的关系，求目标式的取值范围思路提示在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.例7.4已知，且，则的取值范围是.解析：解法一：令得，，解得.即. 由得，所以. 故的取值范围是.解法二：本题还可以利用“线性规划”的方法求解.如图7-1所示，当直线过点时，取最大值，点的坐标为，所以；当直线过点时，取最小值，当的坐标为，所以，又本题不取边界，因此的取值范围是.评注：不能求出独立的范围内，简单利用不等式性质求解，可结合后面线性规划理解并求解.变式1已知且，，求的范围.变式2设为实数，满足，则的最大值是.最有效训练题1. 如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A. B. C. D.2. 设，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.3. 已知，并且，那么一定成立的是（）A. B. C. D.4. 若为实数，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 若，则的值是（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 符号不能确定6. 已知，下列四个条件中，使得成立的必要而不充分条件是（）A. B. C. D.7. 已知四个条件：能推出成立的有个.8. 若，则的取值范围是.9. 已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能成个正确命题.10. 已知且，求的取值范围.11. 设，且，求的取值范围.12. 若实数满足，试比较的大小.。
王圣《欧拉不等式的一个加强的改进及其类似》
发表于《数学通报》2017年第2期《数学通报》系全国初等/中等教育类核心期刊欧拉不等式的一个加强的改进及其类似王圣(安徽滁州中学239000)设ABC ∆的三边为,,a b c ，外接圆和内切圆半径分别为,R r ，则有不等式R ≥2r .上述不等式是数学家欧拉于1765年建立，该不等式具有简单而不平凡的特点，关于它的各种加强、隔离和推广的研究从未间断过.文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链，文[2]则建立了欧拉不等式的如下三角形式的加强不等式定理1设,R r 分别为ABC ∆的外接圆和内切圆半径，则有(∑表示循环和)2R r ≥31cot 828A -∑，(1)当且仅当ABC ∆为正三角形时取等号.由熟知的不等式cot 2A ∑≥可得式(1)加强了欧拉不等式.笔者发现式(1)可进一步加强为2R r ≥11(cot 42A +-∑，(2)其中系数14为最佳.注1：由于11(cot 42A +-∑≥1cot (2cot 8282A A -⇔--∑∑≥0，故式(2)改进了式(1).下面给出式(2)的证明.证明由文[2]定理的证明过程得2cot 2A s r r∆==∑(其中∆为ABC ∆面积,s 为半周长)，则式(2)等价于s ≤24)R r +，结合不等式2s ≤22443R Rr r ++(Gerrestsen 不等式)，只需证明≤24)R r +，上述不等式两边平方，整理，等价于证明5)(2)R r r --≥0，由欧拉不等式显然成立，从而式(2)成立.由于2R r≥1(cot 2A λ+-∑22R s r r λ⇔-+-≥0，令22R s r r λ-+-中a b =且0c →，得12222R s r r a a λλ-+-→-，由122a a λ-≥0得λ≤14，故式(2)中系数14为最佳.原本到此，对式(1)的探究可以暂告一个段落了，但是数学大师波利亚告诫我们：“没有一道题目可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方”，那么式(1)是否还有东西可以进一步的挖掘？注意到式(1)、(2)的建立依赖于不等式cot 2A ∑≥tan 2A ∑，利用此不等式，能否构造出与式(2)相类似的不等式？沿着这个思路，笔者得到了欧拉不等式的如下加强形式定理2设,R r 分别为ABC ∆的外接圆和内切圆半径，则有2R r≥931(tan 82A +-∑，(3)当且仅当ABC ∆为正三角形时取等号.证明由于tan 2A r s a =-，则23232()tan 2s s a ab s s a s ab a r A r s ca b -+-=+-=-∑∑∑∑∑∑，结合恒等式2a s =∑、2(4)ab s r R r =++∑、4abc Rrs =得tan 24r sA R =+∑，则式(3)等价于2R r≥93(841R r s-++，即(419)R r s +≥(4)R r +.由于2s ≥2165Rr r -(Gerrestsen不等式),则只需证明(419R r +≥(4)R r +，两边平方并整理，等价于证明3256(2)r R r -≥0，此为显然，从而式(3)成立.注2：在三角形中还有熟知的不等式sin 2A ∑≤32、cos 2A ∑≤332、cot A ∑≥、sin A ∑≤332、cos A ∑≤32,利用这五个不等式，同样可构造与式(2)、(3)相类似的不等式，限于篇幅，此留给有兴趣的读者继续探究.参考文献[1]侯典峰.欧拉不等式的一个不等式链[J].数学通报,2010,49(4):62.[2]钟建新.欧拉不等式的一个三角形式的加强链[J].数学通报,2012,51(1):63.。
两个优美不等式的加强
根 据 推 论３ ＡＤ Ｆ ， Ｅ 的垂 心 坐 标 为
推 论 ３ 关 于 非直 角三 角 形 的 垂 心坐 标 因 为 Ｐ为 非 直 角 三 角 形 的 垂 心 ， 取 Ａ ：
ｂ ｏＡ ｃ ｓ ｓｎ ｃ ｓ ｉＢ・ ｏ Ａ ｔｎ ａ Ｂ ＡＥ
半 径 分 别 为 ＇＇ 证 ： ｒ求
、 丽 ／ 丽
—— ： ／ 、 而
Ｘ／ ｓ
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利 用 均 值 不 等 式 与 赫 尔德 不等 式 ， 文 给 出 上 述 两 个 不 等 本
１
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讨论 与说 明
由 ２ ｒ≤ １ ８ ２ ＋ ｒ≤ ９ ｊ
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所以有— 一＋ 一＋ 一 ≥ — ！
半分为和则ｓｃ ＋ ＋ 径别 ｒｃ ＋导ｃ ≤ ３ ，。 。 。 ｓ ｓ Ｃ ｒ ．
Ｃ２ ０ Ｏ Ｖ＿ Ｏ ８ Ｓ ，， Ｓ ＣＣ ＝ Ｃ２ ＾ — 詈 — ｕ — — ２ — — 。 １
式 的加 强 ．
ｘｓ ／
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．
Ⅲｌ ＿一 ｌ
一个加强的不等式及其应用
一个加强的不等式及其应用1加强不等式加强不等式是指比较式中取其较大值，用更强的隐式关系来定义复杂函数的上界和下界。
它给比较式施加了更多的限制，因此加强不等式也被称为“紧”不等式。
例如，由x>y衍生的“紧”不等式就是x≥y，由x<y衍生的“紧”不等式就是x≤y。
2加强不等式的概念在数学中，加强不等式是一项基本的概念，用来比较两个不同变量或常量，但以更为严格的方式来建立关系。
记住，加强不等式只是两个不等式之间的关系。
这意味着，加强不等式的形式必须完全符合比较式的形式，而不是将其中一个变成了正确的式子，但却只是将另一个变成了错误的式子。
例如，假设a<b，那么它的加强不等式形式应该是a≤b，而不是a≥b或a>b。
因此，可以看出，只有当a<b时，加强不等式才有益处，它可以帮助使用者在给出条件时保持健壮性。
3加强不等式在几何学中的应用在几何学中，加强不等式主要是限制了任何几何关系的空间和结构，其中最常见的是多边形的面积和图形的周长。
当我们只知道其中一个值时，可以通过加强不等式来求另一个值，从而加强多边形和图形的空间数学特征。
例如，假设有一个三角形ABC，其中AB的长度为6，AC的长度为8，则最大可能的BC的长度不会大于10，因为它是由以下不等式组成的：BC≤10。
4加强不等式在概率论中的应用在概率论中，加强不等式也经常被用来研究定义不同事件的几率，这些事件可能是随机实验中的独立发生或某个条件下的特定结果。
比如我们可以改变某个事件发生的时间，然后通过加强不等式来判断它出现的概率是多少。
一般来说，对于定义对概率的计算，加强不等式可以帮助确定上限和下限的范围，从而可以有效地提高概率的准确性。
因此，通过加强不等式，可以更好地理解传统概率分布和概率分布函数。
5总结总而言之，加强不等式是一个非常重要的数学概念，它用来定义复杂函数的多个上下界，广泛应用于几何学、概率论等领域，有助于求解更复杂的隐式关系函数。
外森比克不等式a2+b2+c2≥4√3S的一种加强
总之 ， 要提高学生 的数学素养 ， 教师应 当将不 断提升 学 生 的学 习境 界作 为 自己教 学 的一 种追 求．
外 森 比克 不 等 式 ａ ２＋ｂ ２＋ｃ ２≥４ 的 种 加 强 √
●黄 兆Ｊ 瞵 （ 天津港口管理中等专业学校 天津 ３０５ ） ０４６
Ｂ — Ｃ
１ １ 年 ， 名 儿 伺 学 冢 Ｒ． ｅｔｎ ｏ ｋ（ 森 比 ９９ 者 Ｗ ｉ ｂｃ 外 ｅ
大部分学生有 自主学习的愿望 ， 问题在于他们缺乏 进行 有效 自主学 习 的 方 法 和技 术． 学 生 体 验 “ 让 怎
样 编题 ” 的教 学方 式 ， 学生 的 自主学 习提 供 了一 为 种范 式 ， 于引导 学 生 改进 学 习方 式 、 好 经 典 习 对 做 题 的积累 、 会类 比学 习 、 学 培养 创 造 意识 与 探 究 能
２
克） 提出并证明了不等式 口 ＋ ｃＩ４ ， 中 ｂ ＋ √ 其 ＞
０ ｂｃＳ分 别 为 ＡＡ Ｃ的 ３条 边 长 及 面积 ． 文 给 ，，， Ｂ 本 出其如 下 一种 加强 ， 供参 考 ． 加 强命 题 在 ＡＡ Ｃ 中 ， ＢＣ的 面 积 为 Ｓ， Ｂ ＡＡ 角 Ａ， Ｃ的对 边分 别 为 口 ｂｃ则 Ｂ， ， ，，
＋ ２Ｏ Ｃ Ｓ Ｃ ≥４
．
４Ｓ ・３
￣ （ｓ￣（３７１ ｉ １ｉ ） －ｎ）≤ １ ＋ － ３ｓ 丁 ｎ ｉ
６
＝
．
ｌＳ ２
即 口ｃｓ － ６Ｃ￥ ２ｏ Ｔ Ｃ＋ ２ Ｂ Ｏ
１１ ［
下 面 给 出 加 强 命 颢 的证 明 讨 稃 ．
所以 口 丁－ ６Ｃｓ － ２ ｓ － ２ Ｂ Ｃ＋ ２Ｏ 丁 Ａ Ｃ 。 Ａ Ｂ≥ 丁
不等式lnx≤x-1的类似及加强
所以ｆ （ ） （ ＞１ ） 是 增 函数 ， 得 （ ） ＞
，（ １ ） ＝０ （ ＞１ ） ， 得 欲证 成立 ．
例２ （ ２ ０ １ ０・ 湖北 高考题 ・ ２ １ （ １ ｌ Ｉ ） ） 证
式相 加 ， 即得 欲证 ． （ ２ ） 由定 理 １ ， 得 ｋ一１ ＞Ｉ ｎ ｋ＞０ ， １ ＞
定理 １ ｌ ｎ ｘ≤ 一１ （ ＞０ ） （ 当且 仅 当 ＝１ 时取 等号 ） ． 普通 高 中课程标 准 实验 教科 书《 数学 ・ 选 修２ —２ ・ Ａ版 》 （ 人 民教 育 出版社 ２ ０ ０ ７年 第 ２ 版） 第３ ２页 的习题第 １ 题 的第 （ ３ ） ｄ ｘ 题“ 证 明
） ・
１ 定量 计算— —做 到精 确分 析
例 １ （ ２ ０ １ ２年
＋… ＋
江西文） 如图 １ ， Ｏ Ａ
＝２ （ 单位 ： Ｉ ｎ ） ， Ｄ 日＝１ ０ （ 单位 ： ｍ） ， Ｏ Ａ与 Ｄ
／／ 一 一、 ＼、
二 ： ＝ 一 图１
… 一
＞ｌ ｎ （ ¨ １ ） （
所 以 ＞ｌ ｎ （ ｋ ＥＮ， ｜ ｊ ｝ ≥２ ） ．
令 ｋ＝２ ， ３ ， …， ｎ后 ， 把得到的 ／ ＂ ｔ 个不 等 式相加 ， 即得欲 证 ．
定理 ３ １ ｎ ＜ 证明： 设 厂（ ）： （ ＞１ ） ． 一 １
ｌ ｎ （ ＞
文定理 ２ ） 及一个加强 （ 即下文定理 ３ ） ， 再给
１
若 能 再 证 得１ ＋ ＋ 号 ＋ … ＋ 一 的 夹 角 为 詈 ， 以Ａ 为
又几个姐妹分式不等式及加强的另证
＝
（∑“ ∑ ３ ２ ） ７ ＋
ｂ
Ｃ
１
２ １ 年 第 ９期 ０２
福 建 中学数 学
９
证
。
＝
・
．
又 个 妹 式 等 慨 中数 研 几姐 分 不 捌 学晕究
。 。
１ ２ ２２ ＋） ８ ＿ ｃ， （ａ
・ ．
个论 另和 中数 研 结 的 证 觚 学学 究江
表达 、倾 听、交流 习惯 ，在辨析 中提高分析问题、 解决 问题 的能 力 ． １ 目前数学课堂提问的现状 纵 观 目前 的数 学课 堂教 学 ，提 问是 极 为 普遍 的 课 堂组 织 形 式 ，基 本 已经 改变 了“ 满堂 灌 ” 的教 学形 式 ，这 也 在 一 定程 度 上体 现 了教 师 观念 的改 变 ．但 细 细 观察 、剖析 教 师 的提 问 ，发现 很 多提 问并 不能
１ （２ ２ ２“
一
＝ 击・ （２ ＠２－一， １ ＋ １ａ １ ＋ ＝ （２ ） ａ １
≥ １ ２ ２ｂ－ ∑（ａ－ｃ １ １ ）
≥
吉＋ ∑） （∑２ ６ ｓ 一ｃ ．
＋二 丁 ≥ ． ．
例 ４ （ ［］ 文 １定理 ４ 加 强 ）设 ａ， ， ∈ ，且 ｂＣ Ｒ
又几个姐妹分式不等式及加强 的另证
王 红权 潘一 力
浙 江省杭 州市 第十 四 中学 （ ０６ ３ ００ ） １
文 ［］ 出 了几 个漂 亮 的分 式不 等 式 ，读 后颇受 １给
一
＝
２
１３ ２５ 这 利 了 ） ３ －）（里 用 ① （Ｅａ
２ ’ ７
启发．经笔者研究 ，利用简单不等式
・
・
・
两个涉及三角形优美不等式的加强
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２—１ １— ２ ７ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ４— ２ ６
．
一
一
—
—
一
—
—
（ ｂ ＋ｃ 一 口 ） （ ｃ ＋ 口一 ｂ ） （ 口＋ｂ —ｃ ）‘
所以， 式④等价于
３
√ 面
丽
≥ ∑ √
２ ０ １ ３年第 ７期
ｌ ５
孪 生素 数 猜想 证 明的 一 个 突 破
吴 振 奎
（ 天津商业大学 ， ３ ０ ０ １ ２ ２ ）
‘
中图分类号 ： ０ １ ５ ６
证 明．
想” 等至今仍令人敬畏．
１ 素 数定理
“ 素数有 无 穷 多个 ” ， 这 一 结论 和证 明早 在 两千 多年 前就 出现 在 欧几 里 得 （ Ｅ ｕ ｃ ｌ ｉ ｄ ） 的
１ ９ ４ ９年 ， 赛尔伯格（ Ｓ ｅ ｌ ｂ ｅ ｒ ｇ ） 和爱尔特希
（ Ｅ ｒ ｄ Ｓ ｓ ） 又给 出一个 初等 证 明．
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ｏ ７— ０ ０ １ ５一 Ｏ ３
素数是一个古 老的话题． 由于素数 自身 的奇特性质及 由此而引发的一些令人困惑的
问题让 人爱 不释手 ， 至 今人们 对其 兴趣 不 减 ， 其 中 著 名 问题 如 “ 哥 德 巴赫 猜 想 ” “ 黎 曼 猜
注 意到 ，
４ Ｓ ｓ ： ｃ 口 ｓ ｉ ｎ Ｓ Ｂ＝ 口 ｂ ｓ ｓ ｉ ｎ ｓ Ｃ＝ ｂ ％ Ｓ ｓ ｉ ｎ Ｚ Ａ ．
不等式的加强与铺垫
不等式的加强与铺垫不等式是数学中常见的一个概念。
它可以用来描述两个量之间的关系，比如大小关系、变化关系等。
在不等式中，加强和铺垫是两个非常重要的概念，它们有助于我们更好地理解不等式，并用它们来解决实际问题。
加强是指在一个不等式的两边同时加上相同的数，使得不等式的关系更加明显。
比如，对于不等式x>3，我们可以在两边同时加上2，得到x+2>5，这个不等式比原来的更加明显，因为它告诉我们x至少要比5大2。
加强在不等式的证明中也非常有用。
比如，在证明一个不等式成立的时候，我们常常需要对不等式的两边都加上或者减去相同的数，使得不等式的形式更加符合我们的需要。
例如，在证明(x+y)^2>=0的时候，我们可以直接根据平方的定义来证明，但是也可以对(x+y)^2进行拆开，得到x^2+2xy+y^2>=0，然后再根据二次方程的解法来证明该不等式成立。
铺垫是指在一个不等式的两边同时乘上一个正数或除以一个正数，使得不等式的关系更加明显。
比如，对于不等式x>3，我们可以在两边同时乘以2，得到2x>6，这个不等式比原来的更加明显，因为它告诉我们x至少要比3大。
铺垫在不等式的证明中也非常有用。
比如，在证明一个不等式成立的时候，我们常常需要将不等式的两边同时乘上一个正数或者分母，从而使得不等式的形式更加符合我们的需要。
例如，在证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2的时候，我们可以将左边的分式都乘以2，得到2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3，然后再运用柯西-施瓦茨不等式来证明该不等式成立。
综合起来，加强和铺垫都是非常重要的工具，它们能够帮助我们更好地理解和应用不等式。
在学习不等式的时候，我们应该学会如何巧妙地利用加强和铺垫，从而将不等式的形式变得更加简洁明了，并用它们来解决实际问题。
一个常见不等式的加强及应用
一个常见不等式的加强及应用作者：宗仲来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第12期[摘要] 一个常见不等式lnx[关键词] 加强不等式；启发；构造；等价变形；外接；证明不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有学生不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解，针对这种情况，本文就结合教学中一个常见的不等式进行了加强和应用，帮助学生优化解题.不等式lnx证明：令f（x）=x-lnx，所以f′（x）=1-=，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx.同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x.综上：lnx从图像上来深入研究：y=lnx的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.（1）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，【加强1】lnx+1≤x≤ex-1（当x=1时等号同时成立）.（2）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，【加强2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等号不同时成立）.（3）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，【加强3】lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）.（4）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，【加强4】 ln（x+1）≤x≤ex-1（当x=0时等号同时成立）.（5）将lnx+1≤x变形？圯ln+1≤？圯-lnx+1≤？圯1-≤lnx，【加强5】≤lnx≤x-1（当x=1时等号同时成立）.（6）将x+1带入加强5中，【加强6】≤ln（x+1）≤x（当x=0时等号同时成立）.【加强不等式的应用】例1：用二分法求方程lnx=在[1，2]上的近似值，取中点x=，则下一个有根区间为___________.分析：计算f（x）=lnx-在x=1，x=2，x=处的符号，然后利用零点存在定理确定区间. 此时可利用加强5：≤lnx≤x-1，将x=代入即可得：≤ln≤0，因此下一个有根区间为，2.例2：求证：···…分析：一般看到有关正整数的证明首选的方法便是数学归纳法，而这里我们发现仍然是跟lnx有关的问题，且不等式左边是连续相乘，因此希望左边可以累乘.利用加强5：≤lnx≤x-1可以得到≤（当x=1时等号同时成立），因此···…例3：求证：1+++…+>ln（n+1）（n∈N*）.分析：类似例2，此时我们利用加强6：≤ln（x+1）≤x，将代入得ln+1≤，所以ln≤，所以ln+ln+ln+…+ln所以ln··…=ln（n+1）例4：已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，对于它们的公共定义域内的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和函数y=g（x）在公共定义域内的所有偏差都大于2.分析：要证明两函数的所有偏差都大于2，只要证f（x0）-g（x0）>2在公共定义域内恒成立. 利用加强3：lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）可得ex≥x+1.又因为lnx+1≤x，所以ex≥x+1≥lnx+2（等号不同时成立），所以ex-lnx>2得证.当然还可以对不等式进一步加强，此外必须强调一点：若要利用强化不等式解题是需要证明的，当然证明类比最初的不等式，利用构造函数的思想处理即可. 另外，加强不等式的相关应用还有很多，需要学生在不断解题过程中去挖掘它们的优势.。
几个常见三角不等式的加强
：
—
同 理 可 得 — １
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ＣＯ Ｓ
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ｃ ｏ ｓ Ｂ） ＝ （ ａ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ｂ） ＋ （ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ）≤ Ｃ＋ Ｃ ＝ ２ ｃ ， 即 ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ｃ ｏ ｓ Ｂ≤
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２ ０ １ ３年 第 ４期
河北理科教 学研 究
短 文集锦
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北京大学 出版社 ， １ ９ ９ １ ： ２ ９
两个不等式的加强
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（ 文 为 安 康 学 院 大 学 生科 技 创 新 项 目 本
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利用上述的方法 ， 再结合命题 １ 和命题 ２ 对
论述 的条件 作 以修 改 ，以下 给 出两组推 论 ． 推 论 １ 设 ， ≥… ＞０， ｉ ’ Ⅱ ∈Ｎ ，贝
１ ６
福 建 中学数 学
２ １年第 １ ００ 期
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础 数学 建设 项 目（ Ｚ ０ ） Ａ ＸＺ ７部分成 果 ）． １ ０
参考 文 献 ［］杨 勇 ．高三 数学总 复 习 ．天津 ：新蕾 出版社 ，２０ １ ０４ ｆ１匡继 昌 ．常 用不等 式［ ．长 沙 ：湖 南科 学技 术出版 社 ，２ ０ ２ ２ Ｍ１ ０４
＞一 轨迹 概 念 的冲击 ，阻碍 学生正 确理解 概 念 ，起到
几个三角形不等式的加强
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泰勒公式(Taylor'stheorem)在高考中的应用之终极版
泰勒公式（Taylor'stheorem）在高考中的应用之终极版摘要（Abstract）：对历年以来高考数学导数题（主要是全国卷，因为笔者今年高考考全国卷）进行了研究，进行了导数题题设题背景的调查，发现大多导数题题设背景是由泰勒（Taylor）展开式（实则为麦克劳林（Maclaurin）展开式，由于笔者很喜欢霉霉，故称之为泰勒）进行变形、赋值、换元、放缩、累加、累乘等变换的方法衍生出来的。
关键词（Key words）:泰勒展开式放缩引言（Introduction）：高等数学中，e^{某} 的幂级数展开式是像霉霉一样特别优美。
具体表现为通过泰勒展开式能将一些较为复杂的函数e^{某} ,\ln(1+某)用较为简单的函数1+某,某-\frac{某^{2}}{2} （二阶展开式）表示之。
这颇有一番以直代曲的韵味。
上图为f(某)=e^{某} (yellow )和它在某=0处的线性逼近P_{1}=1+某（blue ），通俗来说就是f(某)=e^{某} 在某=0处的切线方程为P_{1}=1+某。
由上图可直观感知到一个重要的不等关系：e^{某}\geq 1+某 (某\in R)，可以毫不夸张的说，高考导数涉及到的以泰勒展开式为题设背景的题都是以这个重要不等式变换而来的。
例如：15年福建卷理20题14年全国卷新课标I理21题14年全国卷新课标III理22题13年全国卷新课标II理21题13年辽宁卷理21题12年辽宁卷理21题11年全国卷新课标II文导数题10年全国大纲卷22题07年辽宁卷理22题06年全国卷II22题可见，以泰勒展开式为背景命制的导数题的地位在高考压轴题中还是较高的。
当然，有关试题并一一例举完，读者可以把自己做过的有关试题的出题处在评论区向大家分享。
在未了解泰勒展开式之前，解决相关导数题时往往采用不等式和导数为工具，进行逻辑推理来解决问题。
正所谓：“会当凌绝顶，一览众山小”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么很难轻松地看透问题的本质。
两个著名四面体不等式的加强
6 福建中学数学 2020年第8期则直线AB 有定向且0AB pk pt y =−． 评注 近几年，高考对双曲线的考查要求略低于椭圆，但椭圆与双曲线有很多相似之处，结合起来对比探究，更有利于学生加深对知识的深度理解．其实，无论曲线形式如何变，问题的本质并没发生变化，透过现象看清本质，虽形散而神聚，学生的数学抽象素养也得以快速发展．探究4 能否根据以上结论，把自己当作高考命题人，设计几道高考试题呢？考题1 直线2y x =与椭圆22143x y +=相交于A ， B 两点，过A 作直线l 与椭圆交于点C （与B 不重合），则直线l 与直线BC 的斜率之积为 ． 考题2 A B ，是椭圆2214x y +=上关于y 轴对称且不在x 轴上的两点，P 是椭圆的右顶点，则PA PB k k ⋅ = ．考题3 过抛物线22y x =上一点(22)P ，任意作两条倾斜角互补的直线交抛物线于A B ，两点． （1）证明：直线AB 斜率为定值；（2）若线段AB 中点横坐标为1，求三角形PAB 的面积．评注 题目看似是结论的特殊再现，若没有对结论的深度理解以及对学科知识的灵活运用，很难原创有深度的练习题．笔者通过学生初步原创，指导修改，精细加工，交换练习等过程，实现了知识从理论到应用的实质性飞跃，加速了学生对模块知识的理解与模块间知识的融合，促进了数学核心素养的形成与发展，为思维创新奠定了坚实的根基．教师结语 数学中的经典结论是一代代数学工作者的智慧结晶，继承是基本要求，创新是时代的呼唤，但简单的记忆绝不是继承，更无法创新，只有创新地去理解结论，应用结论，结论才能“活”起来，再度展现其风采，数学的创新之路才能不断延续下去，才能为时代培养更多的创新型人才．（本文系云南省“万人计划”国培项目李晶名师工作坊研修成果）两个著名四面体不等式的加强樊益武 西安交通大学附属中学（710043）本文约定：四面体1234A A A A 体积为V ，内切球半径为r ，i A 所对的侧面i f 的面积为i S ，高为(12i h i =，，34)，．在四面体中，我们熟知不等式[1]：341234()h h h h ≤（1）． 1981年，张景中、杨路证明了四面体中的Pólya- Szego 不等式[2]：313484714()3i i V S =≤∏（2）． 本文拟给出不等式（1）和（2）三个有趣的加强，我们获得了以下结论：定理1 22222222222222341341241232563h h h h h h h h h h h h V +++≤（3）．定理2 1234h h h h ≤（4）． 定理3 31234V S S S ≤（5）． 以上不等式等号成立当且仅当四面体为正四面体．为此，我们需要两个引理．引理1[2] 744222221234413()4i i V S S S S S =+++≤∏（6）． 引理2[1]4221114i ir h =≤∑（7）． 定理证明 由引理1及四面体体积公式：1(1234)3i i V S h i ==，，，， 得222222222222234134124123h h h h h h h h h h h h +++6622222222222223413412412411113()V S S S S S S S S S S S S +++4222262123422221234()3V S S S S V S S S S +++⋅2020年第8期 福建中学数学 74222212347622222212344256333S S S S V V S S S S ⋅≤⋅=． 于是（3）式得证．注意到（7）式，由（3）式得： 2222222221234123422125611()34V h h h h h h h h h r ≥≥⋅∑，所以1234h h h h ≤，于是（4）式得证．又由（4）式有：441234123412343V S S S S h h h h S S S S =≤，所以31234V S S S ≤，于是（5）式得证． 不难验证不等式（3）、（4）优于（1），不等式（5）优于（2）．3个不等式（3）~（5）形式简洁、优美，几何意义深刻，赏心悦目，余味无穷．参考文献[1]樊益武．四面体不等式[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2017 [2]张景中，杨路．关于质点组的一类几何不等式[J].中国科技大学学报，1981（2）：1-8数字化背景下初中数学概念课小组合作学习的设计与实践探究——以沪教版八年级数学概念课教学为例黄 莉 上海市龙柏中学（201103）1 问题提出随着社会的快速发展和数字化时代的步入，“数字化社区”、“数字化阅读”和“数字化生活”等各种“数字化”专有名词的出现，数字化的教学也应该提上日程．我们需要推陈出新，深刻意识到数字化转型“不是选择，而是出路”，已然成为教育领域的一种发展趋势．在全面普及校园网络的前提下，电子书包和数字教材等数字化创新工具，已然成为常规课必不可少的工具．在课堂教学中，学生的学习主要有竞争型、个体型和合作型三种方式．其中，小组合作学习已然成为当前必然的趋势．在学生为主体的教学理念的引导下，小组合作更加突显了学生的主体地位，是反映新课改的一种务实取向．目前，不仅语文、数学、英语、物理、化学等学科教研组大力推行，而且在班级管理上，各班主任和年级长都实施小组合作管理方式，以小组为单位进行捆绑评价，例如在学习、卫生和纪律等方面实行积分制，这些做法极大促进学生的积极性和加强凝聚力．数字化与小组合作这两者的结合是这个时代召唤出的产物． 初中数学包括概念课、命题课、习题课和复习课，其中概念课的“出镜率较高”，而且很多时候扮演着“首秀”的角色，这个对于学生接下来的学习起到至关重要的作用，只有掌握了相关概念，学生才可循序渐进，对接下去的学习充满信心．例如八年级第一学期第一课时16.1二次根式就是对“二次根式”概念的理解，只有理解二次根式的定义，抓住本质才能学习接下来的化简与计算．况且如今概念教学受到重视，理解事物本质是一种与时俱进的趋势，也是一种“知其所以然”的追求．如下图表所示，我们可知，各个年级数学概念教学课时量相对都较高，可见其重要程度，以八年级数学尤甚，如下表1和图1，给出了各学段的概念课的课时及其占比．因此，研究在数字化背景下，沪教版八年级数学概念课小组合作学习具有一定的价值性．2 研究的成果和成效 2.1 “概念课”界定 一般地，我们学习的数学概念是数学思维的最小单位，是组成数学判断和数学推理的基本单元，九年级。