(五年高考真题)2016届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质理

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2025年高考数学一轮复习-第九章-第七节-抛物线【课件】

程是(
)
1
2
A.x = y或y2=-4x
2
B.y2=-4x或x2=2y
1
2
C.x =- y
2
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;
心率也相同.(
√
)
提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同
的,都为2,离心率也相同.
2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物
线的方程为(
)
A.x2=12y
B.x2=10y
C.x2=8y
D.x2=6y
(1)原点都在抛物线上;
(2)焦点都在坐标轴上;
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等
1
2
于一次项系数的绝对值的 ,即 = .
4
4 2
常用结论

2
1.焦半径:抛物线y =2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F( ,0)的距离|PF|=x0+ .
标准方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
对称轴
O(0,0)
______
x轴

高考数学抛物线及其性质

9.4 抛物线及其性质考点一抛物线的定义及标准方程1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|−1|AF|−1B.|BF|2−1|AF|2−1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案 A 过A,B 点分别作y 轴的垂线,垂足分别为M,N, 则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知S △BCFS △ACF= 12·|CB|·|CF|·sin ∠BCF 12·|CA|·|CF|·sin ∠BCF=|CB||CA|=|BN||AM| =|BF|−1|AF|−1,故选A.2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2答案 B ∵FP⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在线段PF 上,且在两端点之间,过Q 作QM ⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM ∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 由y 2=x 得2p=1,即p=12,因此焦点F (14,0),准线方程为l:x=-14,设A 点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x 0+14=54x 0,解得x 0=1,故选A.评析本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A 到准线的距离是解题的关键.4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x答案 C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5−p 2,√2p (5−p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5−p2)), ∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5−p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1,BB 1垂直于准线于A 1,B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|=|BC|4t =12, ∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线l 的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5 答案 B 由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0).由|MF|=p 2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.∴点M 的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3, 故选B.7.(2011课标文,9,5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 设抛物线方程为y 2=2px(p>0).∵当x=p 2时,|y|=p, ∴p=|AB|2=122=6. 又P 到AB 的距离始终为p, ∴S △ABP =12×12×6=36.评析本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l 的距离为p.8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案 y=±√22x解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×p 2=y 1+p 2+y 2+p 2,即y 1+y 2=p ①.由{x 2=2py,x 2a 2−y 2b 2=1消去x,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0,所以y 1+y 2=2pb 2a 2②.由①②可得b a =√22,故双曲线的渐近线方程为y=±√22x.思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y 1+y 2的值(用p 表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x 得关于y 的一元二次方程,由根与系数的关系得y 1+y 2.从而得b a的值,近而得渐近线方程.解题关键求渐近线方程的关键是求ba的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A 、B 为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y 1+y 2这个整体来建立等量关系便可求解.9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.答案 2√6解析建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x 2=-2py.∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x 2=-2y.当y=-3时,x=±√6.∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.评析本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是 . 答案 9解析设M(x 0,y 0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x 0+1=10,∴x 0=9,即点M 到y 轴的距离为9.考点二抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12 B.1 C.32D.2答案 D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=k x(k>0)得k=1×2=2,故选D. 评析利用垂直得到点P 的坐标是求解的关键.2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合,A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 抛物线C:y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E 的半焦距c=2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),因为离心率e=c a =12,所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=12.由题意知|AB|=2b 2a =2×124=6.故选B.评析本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p 2=-1,即p 2=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y=14x 2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案 A 由y=14x 2得x 2=4y,焦点在y 轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-p 2=-1.故选A.5.(2013四川文,5,5分)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )A.2√3B.2C.√3D.1答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F 到直线x-√3y=0的距离d=√3×0|√1+3=1.故选D.评析考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 答案 C 如图,AB 为抛物线y 2=16x 的准线,由题意可得A(-4,2√3).设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2(a>0),则有16-12=a 2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a. 7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p =4p ,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.思路分析设出抛物线C 的方程,根据已知条件得出点A 的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p 的方程,解方程得出结论.8.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG,得|AG||AF|=|AF|−p|AF|=cos θ, 则|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,则|AB|=|AF|+|BF|=2p sin 2θ,即|AB|=4sin 2θ, 因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE|=4cos 2θ,则|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ, 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. 方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px(p>0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF=|AE||AF|=|AF|−p|AF|, 则可得到焦半径|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF|+1|BF|=2p等的帮助很大.9.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C(5,0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 224−y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x 0−5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r>2. 另一方面,由AB 的中点为M 知B(6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,② 由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12. ∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r<4. 综上,r ∈(2,4),故选D.10.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y=√33(x −34),即y=√33x-√34,代入y 2=3x,得13x 2-72x+316=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=212, 所以|AB|=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C. 11.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB=90°,则k= .答案 2解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x=yk+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k +1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x,整理得y 2-4k y-4=0,从而得y 1+y 2=4k,y 1·y 2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴MA⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y 1k +2)·(y 2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k=y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2. 设AB 的中点为M',连接MM'.∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l:x=-1相切. ∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴点M 在准线l:x=-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M,且M'M ⊥l, 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2, 故k=4y 1+y 2=42=2.疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.12.(2013浙江理,15,4分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过点P(-1,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,点Q 为线段AB 的中点.若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 . 答案 ±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2−1−1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).13.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),故|AB|=4√a=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).14.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1解析本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA=√3,即t=√3,故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.15.(2014陕西文,11,5分)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .答案 x=-1解析由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=-p 2=-1.故填x=-1.16.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由{y =k(x −2),y 2=2x得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).① 将x 1=y 1k+2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =−8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM=∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.17.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程.解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2,设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1,解得x 3=2,于是M(2,1).设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1.从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB 的方程为y=x+7.方法总结 (1)直线与抛物线的位置关系点差法:在已知“x 1+x 2”或“y 1+y 2”的值,求直线l 的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0)求解.18.(2016课标Ⅰ文,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t ≠0)交y 轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p>0)于点P,M 关于点P 的对称点为N,连接ON 并延长交C 于点H.(1)求|OH||ON|; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得M(0,t),P (t 22p,t ).(1分) 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t ),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p. 因此H (2t 2p,2t ).(4分) 所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2.(6分) (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH 的方程为y-t=p 2t x,即x=2t p(y-t).(9分)代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题. 评析本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.19.(2012课标理,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解析 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p.由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33. 当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0, 解得b=-p 6.因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值也为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.。

2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(知识点讲解)含详解

专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0）（三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点．（2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（） A ．1B ．2C ．4D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2B ．3C ．6D ．9【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12y例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________．【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．题型四抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长．【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．题型五抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．题型六抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．52B C ．2 D例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（）A ．2B ．83 C ．103D ．4例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0）（三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点．（2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（） A ．2B ．3C ．6D ．96p.【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝12y【答案】A 【分析】设出点M 的坐标，由题意可知|MA |＝|MN |，进而根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】设动点M (x ，y )，圆M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等.∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x . 故选：A.例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________．30，结合2【详解】30，在直角三角形ACE轴交于G【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =， (6,0),(6,)2p Q PQ p ∴+∴=-因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．题型四抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．【答案】52p x = 【分析】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为1-，求出,A B 坐标即可求解. 【详解】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称, 设(,)A x y ，则(,)B x y -，焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由题意知AF OB ⊥，21AF OB y k x yk p x ∴⋅=⋅-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，所以22p y x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，即22p px x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭.因为0x ≠，所以22p p x =-，即52p x =，所以直线AB 的方程为52px =. 故答案为：52p x =例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长．230MNt =AOB S =）MON为正三角形，2pt =230MN t =【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．题型五抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．题型六抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（） A ．52B ．2C ．2 D【答案】B【分析】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线40x y +-=的垂线，此时12d d +最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直()1,0F -，则121045222d d --==++．例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（）A ．2B ．83 C ．103D ．4【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及AF FB λ=，联立可得的焦点坐标为()1,0，准线方程为为AF FB λ=，所以所以AB AF =+=3λ时，AB =12λ⎛⎫++例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -由题意得：()0,2F ，连接AF 并延长，交抛物线于点P ，此点即为||||PA PF -取最大值的点，此时415PA PF AF -==+=，其他位置的点P '，由三角形两边之差小于第三边得：5P A P F AF ''-<=，故||||PA PF -的最大值为5，D 正确.故选：BCD【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0．题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，)()743,11,⎤⎡-++∞⎦⎣.）求出p 的值后可求抛物线的方程）方法一：设:1AB x ty =+，()11,,A x y B 24y t =，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出1m．-++∞．3)[743,1)(1,)ab=-．，即1+3][1483,-++∞．3][743,1)(1,)【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 联立，并利用韦达定理表示OM ON +，并利用()12//OM ON B A +，求直线的斜率，验证后，即可得到直线21y +=可知2a ，21b =，)2,0，（2）由椭圆2214x y +=可知()12,0A -，()20,1B -，则(1OM ON x +=+因为()12//OM ON B A +，且12(2,0)B A =所以2284820k k k --⨯=，解得2k =-+因为11k -<<，且0k ≠，26=--不符合题意，舍去， )【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

高考数学(理科)总复习 9.5 抛物线及其性质

(1)设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p>0),直线与抛物线交点的个数等价于
方程组

y y
kx 2 2
b, px
解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.
①当k≠0时,若Δ>0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若Δ=0,则直线
②当k=0时,直线y=b与抛物线y2=2px(p>0)相交,有一个公共点.特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m>0时,l与抛物线相交,有两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m<0时,l与抛物线相离,无公共点. (2)直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之, 二是利用切线法求. (3)相切时,求切线斜率,一种方法是利用Δ=0求,另一种方法是利用导数求. 3.焦点弦的性质以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F
焦点弦长
y2=2px(p>0)
p
2 +x0 p+(x1+x2)
y2=-2px(p>0)
p
2 -x0 p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
p
2 +y0 p+(y1+y2)
x2=-2py(p>0)
p
2 -y0 p-(y1+y2)
考向突破
考向抛物线的几何性质
例
(2018贵州贵阳一模,8)过点M
k
方法技巧
方法抛物线焦点弦问题的求解方法
(1)求抛物线的焦点弦长时,可应用公式求解,解题时,需要依据抛物线的标准方程确定弦长是由p与交点横坐标确定,还是由p与交点纵坐标确定,进一步还要确定是p与交点横(纵)坐标的和还是差,这是正确解题的关键. (2)熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选择题和填空题的关键.

(完整版)历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线21C ： y =4x 的焦点，过 F 作两条相互垂直的直线l ，l ，直线 l与 C 交于 A 、 B 两点，直线l与 C 交于 D 、 E 两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为212A ． 16B ． 14C ．12D ． 102.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线上随意一点， M 是线段 PF 上的点，且=2,则直线 OM 的斜率的最大值为 ( )（ A ）（B ）（C ）（ D ）13.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线y 2 2px(p 0)上随意一点， M 是线段 PF 上的点，且 PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为 ()3 （ A ）3（B ） 2（C ）2 （D ）1324【. 2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的极点为圆心的圆交 C 于 A 、B 两点 ,交 C 的准线于 D 、 E 两点 .已知 | AB|= 4 2 ,| DE|= 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)85.【 2015高考四川，理10 】设直线l 与抛物线 y 24x 订交于 A ， B 两点，与圆x 2y 2 r 2r 0 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l 恰有 4 条，5则 r 的取值范围是（）（A ） 1，3 （ B ） 1，4 （ C ） 2，3 （ D ） 2，46. 【 2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线 y 24 x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不一样的点C，此中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACFA ，B ，的面积之比是（）BF 12 1 BF 1 BF 2 B.BF1A.12C.AFD.AF2AFAF 111【 2017 课标 II ，理 16】已知 F 是抛物线 C: y 28 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的7.延伸线交 y 轴于点 N 。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9-5抛物线-学生版

专题9.5抛物线练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A．2B．3C．6D．92．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A ．x 2＝4yB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．y 2＝8x3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A．12B．1C．32D．24．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(1,0)D．(2,0)5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（）A.216y x=- B.28y x =- C.216y x= D.24y x=6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______.8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.9．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________.10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.练提升1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM 等于（）A ．2B ．3C ．D ．42.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A．14B．12C．1D．25．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为3y x =±C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为46．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -=C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m+=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.练真题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（）A ．1B ．2C ．D ．42．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．33．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OPD．垂直于直线OP4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．。

高考第一轮复习——抛物线及其几何性质

x∈R y≥0
关于x轴对称关于y轴对称
（0,0）
p 2

x0
（0,0）
p 2

y0
p x1 x2
p (x1 x2 )
p y1 y2
x2 = -2py （p＞0）
y
l
O F
x
x∈R y≤0
关于y轴对称
（0,0）
p 2

y0
p ( y1 y2 )
5、抛物线的焦点弦的性质（以 y2 2 px( p 0) 为例）
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点准线
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
（以 y2 2 px( p 0)为例） y
P(x0 ,y0)
1、离心率 e=1 2、焦半径 |PF|=x0+p/2 3、焦点弦长

p

y
A
由此我们得到一种抛物线的简单画法:
O
F
x
B
抛物线方程
图形
范围
对称性顶点焦半径公式焦点弦长
y2 = 2px （p＞0）
y
l OF x
x≥0 y∈R 关于x轴对称
（0,0）
p 2 x0
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
FO x
O
x

9.5抛物线及其性质5年高考3年模拟教学案

9.5 抛物线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.抛物线及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会利用定义解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2013 北京文,9抛物线的定义及其标准方程直线和椭圆的方程、三角形的公式★★★2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用2018 北京文,10抛物线的几何性质的应用弦长的计算★★★3.抛物线中弦的相关问题1.理解并掌握抛物线中与焦点弦有关的性质与结论2.能解决抛物线中与弦有关的问题2012 北京,12过抛物线焦点的问题抛物线的定义和几何性质以及面积问题★☆☆分析解读从高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程;主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,以及学生的基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,侧重对数学思想方法的考查.破考点【考点集训】考点一抛物线及其标准方程1.(2016四川文,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A3.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9考点二抛物线的几何性质4.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A.√5B.2√2C.2√3D.3√3答案C5.(2014上海文,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x 29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案 x=-2考点三抛物线中弦的相关问题6.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C7.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A炼技法【方法集训】方法1 求抛物线标准方程的方法1.已知抛物线C 的开口向下,其焦点是双曲线y 23-x 2=1的一个焦点,则C 的标准方程为( ) A.y 2=8x B.x 2=-8y C.y 2=√2x D.x 2=-√2y 答案 B2.已知抛物线C 的焦点为F(0,1),则抛物线C 的标准方程为 . 答案 x 2=4y方法2 解决直线与抛物线位置关系问题的方法3.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程.解析 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2, 设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1, 解得x 3=2,于是M(2,1). 设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1. 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1). 由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7.过专题【五年高考】A 组自主命题·北京卷题组1.(2018北京文,10,5分)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0)2.(2013北京文,9,5分)若抛物线y 2=2px 的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为 . 答案 2;x=-13.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.答案√3B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一抛物线及其标准方程1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )A.12B.1 C.32D.2答案D2.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B考点二抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8答案B2.(2014辽宁文,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-43B.-1 C.-34D.-12答案C3.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1考点三抛物线中弦的相关问题1.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .答案 22.(2014湖南文,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-∞,-1)∪(1,+∞)C组教师专用题组1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案A2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( )A.2∶√5B.1∶2C.1∶√5D.1∶3 答案 C4.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a<b),原点O 为AD 的中点,抛物线y 2=2px(p>0)经过C,F 两点,则b a= .答案 1+√25.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1. (1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.解析 (1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p 2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x,F(1,0),可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF:x=sy+1(s ≠0),由{y 2=4x,x =sy +1消去x 得y 2-4sy-4=0,故y 1y 2=-4,所以,B (1t 2,-2t). 又直线AB 的斜率为2tt 2-1,故直线FN 的斜率为-t 2-12t. 从而得直线FN:y=-t 2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.所以N (t 2+3t 2-1,-2t). 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得2t t 2-m =2t+2t t 2-t 2+3t 2-1, 于是m=2t 2t 2-1. 所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A 点坐标及直线AF 的方程,与抛物线方程联立可得B 点坐标,进而得直线FN 的方程与直线BN 的方程,联立可得N 点坐标,最后利用A,M,N 三点共线可得k AN =k AM ,最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.6.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C:x 2=4y 上,F 为抛物线C 的焦点,点M 为AB 的中点,PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)若|PF⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,求点M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值.解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x 0,y 0),由抛物线定义知|PF|=y 0+1,得到y 0=2, 所以P(2√2,2)或P(-2√2,2). 由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,分别得M (-2√23,23)或M (2√23,23). (2)设直线AB 的方程为y=kx+m,点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0). 由{y =kx +m,x 2=4y得x 2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k 2+16m>0,x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4m, 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2+m). 由PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(-x 0,1-y 0)=3(2k,2k 2+m-1), 所以{x 0=-6k,y 0=4-6k 2-3m,由x 02=4y 0得k 2=-15m+415. 由Δ>0,k 2≥0, 得-13<m ≤43.又因为|AB|=4√1+k 2·√k 2+m , 点F(0,1)到直线AB 的距离为d=|m -1|1+k ,所以S △ABP =4S △ABF =8|m-1|√k 2+m =√15√3m 3-5m 2+m +1.记f(m)=3m 3-5m 2+m+1(-13<m ≤43). 令f '(m)=9m 2-10m+1=0,解得m 1=19,m 2=1.可得f(m)在(-13,19)上是增函数,在(19,1)上是减函数,在(1,43)上是增函数. 又f (19)=256243>f (43), 所以,当m=19时, f(m)取到最大值256243, 此时k=±√5515.所以,△ABP 面积的最大值为256√5135.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即√(x -1)2+y 2=|x|+1, 化简整理得y 2=2(|x|+x). 故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x,C 2:y=0(x<0), 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k(x+2).由方程组{y -1=k(x +2),y 2=4x,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14. 故此时直线l:y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1). (ii)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x 0=-2k+1k.③ 若{Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1或k>12,即当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 若{Δ=0,x 0<0或{Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈{-1,12}或-12≤k<0,即当k ∈{-1,12}时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈[-12,0)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点. 故当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. 若{Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k<-12或0<k<12,即当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想.8.(2014福建,21,12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A,直线y=3分别与直线l 及y 轴交于点M,N.以MN 为直径作圆C,过点A 作圆C 的切线,切点为B.试探究:当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时,线段AB 的长度是否发生变化?证明你的结论.解析 (1)解法一:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S 到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x 2=4y. 解法二:设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-√(x -0)2+(y -1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3, 所以√(x -0)2+(y -1)2=y+1, 化简得,曲线Γ的方程为x 2=4y.(2)当点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变.证明如下: 由(1)知抛物线Γ的方程为y=14x 2,设P(x 0,y 0)(x 0≠0),则y 0=14x 02,由y'=12x,得切线l 的斜率k=y'|x=x 0=12x 0,所以切线l 的方程为y-y 0=12x 0(x-x 0),即y=12x 0x-14x 02. 由{y =12x 0x -14x 02,y =0得A (12x 0,0).由{y =12x 0x -14x 02,y =3得M (12x 0+6x 0,3).又N(0,3),所以圆心C (14x 0+3x 0,3), 半径r=12|MN|=|14x 0+3x 0|, |AB|=√|AC|2-r 2 =√[12x 0-(14x 0+3x 0)]2+32-(14x 0+3x 0)2=√6. 所以点P 在曲线Γ上运动时,线段AB 的长度不变.评析本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.9.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C 1:x 2=4y,C 2:x 2=-2py(p>0).点M(x 0,y 0)在抛物线C 2上,过M 作C 1的切线,切点为A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x 0=1-√2时,切线 MA 的斜率为-12. (1)求p 的值;(2)当M 在C 2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).解析 (1)因为抛物线C 1:x 2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x 2,且切线MA 的斜率为-12,所以A 点坐标为(-1,14).故切线MA 的方程为y=-12·(x+1)+14, 因为点M(1-√2,y 0)在切线MA 及抛物线C 2上, 于是y 0=-12(2-√2)+14=-3-2√24,① y 0=-(1-√2)22p =-3-2√22p.②由①②得p=2.(6分)(2)设N(x,y),A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),x 1≠x 2,由N 为线段AB 中点知x=x 1+x 22,③ y=x 12+x 228.④ 切线MA,MB 的方程为 y=x 12(x-x 1)+x 124,⑤ y=x 22(x-x 2)+x 224.⑥由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x 0,y 0)的坐标为x 0=x 1+x 22,y 0=x 1x24. 因为点M(x 0,y 0)在C 2上,即x 02=-4y 0,所以x 1x 2=-x 12+x 226.⑦ 由③④⑦得x 2=43y,x ≠0.当x 1=x 2时,A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O,坐标满足x 2=43y. 因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2=43y.(12分)评析本题考查了导数的几何意义、直线与曲线相切、求轨迹方程,考查了函数与方程思想,具有一定的运算量,难度中等.10.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y 2=4x 的焦点为F,准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上,以C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M,N. (1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C 的半径.解析 (1)抛物线y 2=4x 的准线l 的方程为x=-1. 由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2),所以点C 到准线l 的距离d=2,又|CO|=√5,所以|MN|=2√|CO|2-d 2=2√5-4=2. (2)设C (y 024,y 0),则圆C 的方程为(x -y 024)2+(y-y 0)2=y 0416+y 02,即x 2-y 022x+y 2-2y 0y=0.由x=-1,得y 2-2y 0y+1+y 022=0,设M(-1,y 1),N(-1,y 2),则{Δ=4y 02-4(1+y 022)=2y 02-4>0,y 1y 2=y 022+1.由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y 1y 2|=4, 所以y 022+1=4,解得y 0=±√6,此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32,√6)或(32,-√6), 从而|CO|2=334,|CO|=√332,即圆C 的半径为√332.评析本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京通州摸底,2)已知点P(2,2√2)为抛物线y 2=2px 上一点,则点P 到抛物线准线的距离是( ) A.2 B.2√2 C.3 D.4 答案 C2.(2018北京东城一模,5)设抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是2,则点P 到抛物线焦点的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C3.(2018北京门头沟一模,4)抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C:x 2-y 23=1的一条渐近线的距离是( ) A.1 B.√2 C.3 D.√3 答案 D4.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.若直线AF 的斜率为-√3,则|PF|=( )A.4√3B.6C.8D.16 答案 C5.(2019届北京十四中10月月考,7)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x 0,2√2)(x 0>p 2)是抛物线C 上一点,圆M 与线段MF 相交于点A,且截直线x=p 2所得的弦长为√3|MA|,若|MA||AF|=2,则|AF|=( )A.32B.1C.2D.3 答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019届北京大兴9月统练,9)抛物线y=x 2的顶点到焦点的距离等于 . 答案147.(2017北京石景山一模,11)若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线x 24-y 2=1的右顶点重合,则p= . 答案 48.(2017北京顺义二模,13)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线为l,若l 与圆x 2+y 2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2√3,则p 的值为 . 答案 4或8三、解答题(共25分)9.(2019届北京八中10月月考,17)已知抛物线C:y 2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,且点B 关于x 轴的对称点为D,直线AD 与x 轴交于点M. (1)求点M 的坐标;(2)求△OAM 与△OAB 面积之和的最小值. 解析由题意可设直线l:y=k(x-2),显然k ≠0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),且x 1≠x 2. 由{y 2=2x,y =k(x -2),得ky 2-2y-4k=0. 所以y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4.(1)因为点B,D 关于x 轴对称,所以D(x 2,-y 2), 所以直线AD 的方程为y-y 1=y 1+y 2x 1-x 2(x-x 1).令y=0,得x=x 1(y 1+y 2)-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2=x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=y 12y 2+y 22y 12(y 1+y 2)=12y 1y 2=-2,所以M(-2,0).(2)记△OAM 与△OAB 的面积分别为S △OAM ,S △OAB ,设P(2,0),则S △OAM +S △OAB =12|OM|×|y 1|+12|OP|×(|y 1|+|y 2|)=2|y 1|+|y 2|≥2√2|y 1|×|y 2|=2√2|y 1y 2|=4√2.当且仅当|y 2|=2|y 1|,即y 1=±√2,y 2=∓2√2时, △OAM 与△OAB 面积之和取得最小值4√2.10.(2017北京海淀二模,18)已知动点M 到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等. (1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)已知不与l 垂直的直线l'与曲线E 有唯一的公共点A,且与直线l 的交点为P,以AP 为直径作圆C.判断点N 和圆C 的位置关系,并证明你的结论.解析 (1)由抛物线的定义可知动点M 的轨迹E 是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以p 2=1,即p=2.所以轨迹E 的方程为y 2=4x. (2)点N 在以AP 为直径的圆C 上. 证法一:由题意可设直线l':x=my+n(m ≠0), 令x=-1,得P (-1,-1+nm). 由{x =my +n,y 2=4x 可得y 2-4my-4n=0,(*) 因为直线l'与曲线E 有唯一的公共点A, 所以Δ=16m 2+16n=0,即n=-m 2. 所以(*)可化简为y 2-4my+4m 2=0, 所以A(m 2,2m), 因为n=-m 2,所以NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m 2-1,2m)·(-2,-1+n m)=-2m 2+2-2-2n=0, 所以NA ⊥NP,所以点N 在以AP 为直径的圆C 上. 证法二:依题意可设直线l':y=kx+b(k ≠0), 令x=-1,得P(-1,b-k),由{y =kx +b,y 2=4x 可得k 2x 2+2(bk-2)x+b 2=0,(*) 因为直线l'与曲线E 有唯一的公共点A, 所以{k ≠0,Δ=0,即{k ≠0,bk =1,所以(*)可化简为k 2x 2-2x+1k 2=0,所以A (1k 2,2k),P (-1,1k-k),所以NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k2-1,2k)·(-2,1k-k)=-2k2+2+2k2-2=0,所以NA ⊥NP,所以点N 在以AP 为直径的圆C 上.思路分析 (1)利用抛物线的定义求动点M 的轨迹方程;(2)设直线l'的方程,与抛物线的方程联立,利用判别式等于0得出参数之间的关系,然后利用点N 和点A 、P 构造向量,研究点N 和圆C 的位置关系.。

(五年高考真题)2016届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质理(全国通用)

第五节抛物线及其性质考点一抛物线的定义及方程1．(2013·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4. 由y 20＝2px 0，得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 答案 C2．(2012·安徽，9)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22B. 2C.322D ．2 2解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2. ∴A 点坐标为(2，22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2. ∴直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12×92×223＝322. 答案 C3．(2011·陕西，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析由抛物线的准线方程为x ＝－2知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，p2＝2⇒p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x ，故选B. 答案 B4．(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．解析由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.答案 2 25．(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．解析由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2ba－1＝0，解得ba ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a＝1＋ 2.答案 1＋ 26．(2014·大纲全国，21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4. 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．(2013·广东，20)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)，由 |0－c －2|2＝322，结合c >0，解得c ＝1.∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，∴切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0. ∵切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， ∴x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． ∴直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0， y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1，又点P (x 0，y 0)在直线l 上， ∴x 0＝y 0＋2，∴y 2＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.考点二抛物线的几何性质1．(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D2．(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 答案 A3．(2013·北京，7)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2C.83D.1623解析由抛物线方程可知抛物线的焦点为F (0，1)，所以直线l 的方程为y ＝1. 设直线l 与抛物线的交点为M 、N ，分别过M 、N 作x 轴的垂线MM ′和NN ′，交x 轴于点M ′、N ′，如图．故所求图形的面积等于阴影部分的面积，即S ＝4－220 x 24d x ＝83，故选C.答案 C4．(2012·四川，8)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A. 3B ．2 3C ．4D ．2 5解析由题意知可抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x ，∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3.答案 B5．(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________．解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即p ＝4.∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－26．(2013·浙江，15)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．解析设l AB ：y ＝k (x ＋1)，与抛物线y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，其中x 1＋x 22＝－2k 2－42k 2＝2－k 2k 2， y 1＋y 22＝k （x 1＋x 2）＋2k 2＝2k， ∴|FQ |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2－k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＝4（k 4－k 2＋1）k4＝2，解得k ＝±1. 答案 ±17．(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2 ＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点p (0，－a )符合题意.。

2016届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质理(全国通用)

第五节抛物线及其性质A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·安庆二模)在同一坐标系下，下列曲线中，右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( )A.5x 23＋5y22＝1 B.x 29＋y 25＝1 C.x 23－y 22＝1D.5x 23－5y22＝1 解析抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，右焦点与其重合的为D 项．答案 D2．(2015·杭州模拟)若点A 的坐标是 (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(2，2)D ．(0，1)解析易知点A (3，2)在抛物线y 2＝2x 的内部，由抛物线定义可知|PF |与P 到准线x ＝－12的距离相等，则|PA |＋|PF |最小时，P 点应为过A 作准线的垂线与抛物线的交点，故P 的纵坐标为2，横坐标为2，故选C. 答案 C3．(2015·滨州模拟)若抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F ，M (3，3)且与l 相切的圆共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析由题意得F (2，0)，l ：x ＝－2，线段MF 的垂直平分线方程为y －32＝－3－23－0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，则x ＋3y －7＝0，设圆的圆心坐标为(a ，b )，则圆心在x ＋3y －7＝0上，故a ＋3b －7＝0，a ＝7－3b ，由题意得|a －(－2)|＝（a －2）2＋b 2，即b 2＝8a ＝8(7－3b )，即b 2＋24b －56＝0.又b >0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．答案 B 二、填空题4．(2014·郑州模拟)与抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．解析 y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线为x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1165．(2014·黄冈模拟)过点M (2，4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有________条．解析容易发现点M (2，4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切．答案 2一年创新演练6．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．解析由题意得F (1，0)，直线AB 的方程y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝8.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 204，y 0，则点P 到直线AB 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∴△PAB 的面积S ＝12·d ·|AB |＝12×8×⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12＝（y 0＋2）22≥22，(y 0≥0)即△PAB 的面积的最小值是2 2.答案 2 27．已知离心率为355的双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的左焦点与抛物线y 2＝mx 的焦点重合，则实数m ＝________．解析由题意可得c a ＝a 2＋4a ＝355，∴a ＝5，∴c ＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知m4＝－3，∴m ＝－12.答案－12B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8．(2015·南京模拟)已知M 是y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( ) A ．2B ．4C ．8D ．10解析抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，圆心到y ＝－1的距离d ＝5，(|MA |＋|MF |)min ＝5－r ＝5－1＝4. 答案 B9．(2014·河南联考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段FA 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( ) A ．(0，±2)B ．(0，2)C ．(0，±4)D ．(0，4)解析在△AOF 中，点B 为边AF 的中点，故点B 的横坐标为p4，因此324＝p 4＋p 2，解得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝22x ，可得点B 坐标为(24，±1)，故点A 的坐标为(0，±2)．答案 A 二、填空题10．(2014·郑州二模)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF |＝________.解析抛物线的焦点坐标为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝y A－1－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF |＝|PA |＝3－(－1)＝4.答案 411．(2014·海南海口3月)已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．解析由y 2＝8x 知2p ＝8，∴p ＝4，则点F 的坐标为(2，0)．由题设可知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)，点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )．又点A (8，8)在直线上，∴8＝k (8－2)，解得k ＝43.∴直线l 的方程为y ＝43(x －2)．①将①代入y 2＝8x ，整理得2x 2－17x ＋8＝0，则x A ＋x B ＝172，∴线段AB 的中点到准线的距离是x A ＋x B 2＋p 2＝174＋2＝254. 答案25412．(2014·盐城模拟)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 为该抛物线上两点，若FA →＋2FB →＝0，则|FA →|＋2|FB →|＝________. 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由焦点弦性质，y 1y 2＝－p 2(*)，由题意知FA →＋2FB →＝0，得(x 1－1，y 1)＋2(x 2－1，y 2)＝(0，0)，∴y 1＋2y 2＝0，代入(*)式得－y 212＝－p 2，∴y 21＝2p 2，∴x 1＝p 22＝2，∴|FA →|＝x 1＋p 2＝3，又|FA →|＝2|FB →|，∴2|FB →|＝3， ∴|FA →|＋2|FB →|＝6. 答案 6一年创新演练13．已知抛物线y 2＝4ax (a >0)的焦点为A ，以B (a ＋4，0)为圆心，|AB |长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点． (1)求a 的取值范围； (2)求|AM |＋|AN |的值．解 (1)由题意知抛物线的焦点坐标为A (a ，0)，则|AB |＝4，圆的方程为[x －(a ＋4)]2＋y 2＝16，将y 2＝4ax (a >0)代入上式，得x 2＋2(a －4)x ＋8a ＋a 2＝0，∴Δ＝4(a －4)2－4(8a ＋a 2)>0，解得0<a <1，即a ∈(0，1)．(2)∵A 为焦点，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，根据(1)中的x 2＋2(a －4)x ＋8a ＋a 2＝0，得x 1＋x 2＝8－2a ， ∴|AM |＋|AN |＝(x 1＋a )＋(x 2＋a )＝x 1＋x 2＋2a ＝8－2a ＋2a ＝8.。

高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文(全国通用)

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文（全国通用）A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·巴蜀中学一模)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，抛物线y 2＝2px (p＞0)与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝43x解析 ∵c a ＝a 2＋b 2a ＝2，∴a ＝b ，故双曲线的渐近线为y ＝±x ，因此可设A 的坐标为(x 0，x 0)，则B 的坐标为(x 0，－x 0)，S △AOB ＝12x 0·2x 0＝x 20＝4，则x 0＝2或x 0＝－2(舍)，将(2，2)代入y 2＝2px ，p ＝1，故抛物线的方程为y 2＝2x . 答案 C2．(2015·吉林市摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3D ．4 5解析根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，即点(－2，－1)在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，则p ＝4，则抛物线的焦点为(2，0)；则双曲线的左顶点为(－2，0)，即a ＝2；点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y ＝±12x ，由双曲线的性质，可得b ＝1；则c ＝5，则焦距为2c ＝2 5. 答案 B3．(2014·陕西高三质检一)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72B ．3C.52D ．2解析抛物线的准线方程为x ＝－12，由图知，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|QM |－|QF |＝|2＋3|－|2＋12|＝52，选C.答案 C 二、填空题4．(2014·河南十所名校第三次联考)圆x 2＋y 2－2x ＋my －2＝0关于抛物线x 2＝4y 的准线对称，则m ＝________．解析易知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－m 2，抛物线的准线方程为y ＝－1，依题意有－m2＝－1，所以m＝2. 答案 2一年创新演练5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( ) A ．2± 3 B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1解析 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p2＝2，解得p ＝2± 3.答案 A6．给出下列四个命题：①若直线l 过抛物线y ＝2x 2的焦点，且与这条抛物线交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为1； ②双曲线C ：x 216－y 29＝－1的离心率为53；③若⊙C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋2y －1＝0，则这两个圆恰有2条公切线；④若直线l 1：a 2x －y ＋6＝0与直线l 2：4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直，则a ＝－1. 其中正确命题的序号是________．解析 ①不正确，直线l 过抛物线y ＝2x 2(x 2＝12y )的焦点，且与这条抛物线交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为2p ＝12；②正确，a ＝3，c ＝5，e ＝c a ＝53；③正确，由于⊙C 1：x 2＋y 2＋2x＝0，⊙C 2：x 2＋y 2＋2y －1＝0相交，所以公切线有两条；④不正确，若直线l 1：a 2x －y ＋6＝0与直线l 2：4x －(a －3)y ＋9＝0互相垂直，则4a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1或34.答案 ②③B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7．(2015·忻州四校一联)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径， ∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.答案 B8．(2015·北京西城区检测)设抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与W 相交于A ，B 两点，记点F 到直线l ：x ＝－1的距离为d ，则有( ) A ．|AB |≥2d B ．|AB |＝2d C ．|AB |≤2dD ．|AB |＜2d解析设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2；d ＝2.当直线AB 的斜率不存在时， |AB |＝4＝2d ，当直线AB 的斜率存在时，AB 的直线方程为y ＝k (x －1)，将其代入y 2＝4x ，整理得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2＞2，|AB |＞4＝2d ，综上，|AB |≥2d .答案 A 二、解答题9．(2014·山西忻州一中期中)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)证明：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值． (1)解由焦点坐标为(1，0)可知p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明当直线AB 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以S △ABO S △MNO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OF 22＝14；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x消y 并整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1·x 2＝1. 所以S △ABO S △MNO ＝12·AO ·BO ·sin ∠AOB12·MO ·NO ·sin ∠MON＝AO MO ·BO NO ＝x 12·x 22＝14，综上，S △ABO S △MNO ＝14，即△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．一年创新演练10．已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( ) A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43解析 ∵FA →＝－4FB →，∴|FA →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，如图所示，点A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，过A 作BB 1的垂线，交线段B 1B 的延长线于点M ，则|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝|AB |2－|BM |2＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43.由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.答案 D11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a2－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则正实数a 的值为________．解析由抛物线的定义知1＋p2＝5，∴p ＝8，故m ＝4，又左顶点A 为(－a ，0)，M (1，4)，因此直线AM 的斜率为k ＝4a ＋1＝1a ，解得a ＝13. 答案 13。

2016高考数学理二轮复习课件：专题9 第5节抛物线及其性质

y轴 O(0，0) F(0，)
考纲考向分析
核心要点突破
第五页，编辑于星期六：点四十分。
离心率e 准线方程焦半径公式范围
e＝1 x＝－2p |PF|＝x0＋2p x≥0
e＝1
x＝2p |PF|＝－x0＋p2 x≤0
e＝1
e＝1
y＝p2
y＝－2p
|PF|＝－y0＋p2
y≤0
|PF|＝y0＋p2 y≥0
第五节抛物线及其性质
考纲考向分析
核心要点突破
第一页，编辑于星期六：点四十分。
考点梳理考纲速览
命题解密
热点预测
高考对本节内容主要高考对本节内
1. 抛物线 1. 掌握抛
考查抛物线定义、标准方容的考查仍将以求
的定义. 物线的定
程、抛物线的焦点弦问题抛物线的方程和研
2. 抛物线义、几何
①在平面内；
②动点到定点F距离与到定直线l的距离相等； ③定点不在定直线上.
考纲考向分析
核心要点突破
第三页，编辑于星期六：点四十分。
2.抛物线的方程在抛物线中，记焦点F到准线l的距离为p，以抛物线的焦点F到准线l垂
线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴所在直线为坐标轴建立坐标系
，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2＝±2px，x2＝±2py，
第十三页，编辑于星期六：点四十分。
【例 2】 (2011·湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1，0)的距离与点 P 与 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的抛迹 C 方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1 与轨迹 C 相交于点 A，B，l2 与轨迹 C 相交于点 D，E，求A→D·E→B的最小值. [解题指导](1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线 l1 的斜率为 k，依题设条件可求出A→D·E→B关于 k 的解析式，利用基本不等式求最值.

高考数学精品课件全国卷1地区通用版：10.3 抛物线及其性质

考点二抛物线的性质
1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
答案
D
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为 2p ,
0

,
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.
2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为 ( ) A.(-1,0) B.(1,0)
A.2 B.3 C. 17 2 8
D. 10
答案 B 如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则O A =(m2,m),O B =(n2,n),O A ·O B =m2n2+mn=2, 解得mn=1(舍)或mn=-2.∵lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C
答案 A 由y= 1 x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- p =-1.故选A.
4
2
4.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则
抛物线的焦点坐标为
.
答案 (1,0)
解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B, 不妨令A在B的上方,则A(1,2 a ),B(1,-2 a ), 故|AB|=4 a =4,得a=1, 故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).
∴r2=(3-5)2+ y02 =4+ y02 <16,∴r<4. 综上,r∈(2,4).故选D. 评析本题考查了抛物线与圆的性质,考查了数形结合的思想.

课标版高考理科数学 9.5 抛物线及其性质

9.5抛物线及其性质挖命题【考情探究】分析解读从近5年的高考情况来看,抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识常以选择题、填空题的形式考查,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式考查.在复习备考中,对抛物线的切线问题以及抛物线的焦点弦问题应予以高度关注,解题时要注重数学思想方法的应用.破考点【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2018陕西西安一模,3)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则p的值为()A.-2B.2C.-4D.4答案D2.(2018河南中原联盟第五次联考,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,且l过点(-2,3),M在抛物线C上,若点N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为()A.2B.3C.4D.5答案B考点二抛物线的几何性质1.(2018青海西宁模拟,8)抛物线y2=16x的焦点为F,点A在y轴上,且满足||=||,B是抛物线的准线与x轴的交点,则·=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案C2.(2017江西九校联考,14)已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2018山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-3答案D2.(2017山西太原二模,10)已知双曲线-y2=1的右焦点是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线相交于A,B两个不同的点,点M(2,2)是线段AB的中点,则△AOB(O为坐标原点)的面积是()A.4B.3C.D.2答案D炼技法【方法集训】方法抛物线焦点弦问题的求解方法1.(2018湖南益阳、湘潭调研,10)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为()A.5B.6C.D.答案C2.(2017安徽六校联考,8)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则等于()A.5B.4C.3D.2答案C3.(2018湖南五市十校联考,15)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M、N两点(其中M点在第一象限),若=3,则直线l的斜率为.答案2过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF 与C的一个交点.若=4,则|QF|=()A. B.3 C. D.2答案B2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案6考点二抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B2.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.答案2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N 两点,则·=()A.5B.6C.7D.8答案D2.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案92.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案2考点二抛物线的几何性质(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.--B.--C. D.答案A考点三直线与抛物线的位置关系(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=-,x1x2=.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.因为y1+-2x1=-=-=-=--=0,所以y1+=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程(2013课标Ⅱ,11,5分,0.474)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C考点二抛物线的几何性质1.(2014课标Ⅱ,10,5分,0.262)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C 于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A. B. C. D.答案D2.(2013四川,6,5分)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A. B. C.1 D.答案B3.(2016天津,14,5分)设抛物线(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C,AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面积为3,则p的值为.答案4.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.答案1+5.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A. B. C. D.答案D2.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.消去x得y2+2py-2pb=0.(*)①由-因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力及推理论证能力.3.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=-.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2019届湖南三湘名校教育联盟第一次大联考,12)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点,以AF、BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|MN|=() A. B. C. D.2答案C2.(2018浙江11月学考,18)如图,在同一平面内,A,B为两个不同的定点,圆A和圆B的半径都为r,射线AB交圆A于点P,过P作圆A的切线l,当r变化时,l与圆B的公共点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案D3.(2018浙江温州模拟,7)设抛物线的顶点在原点,其焦点在x轴上,又抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案D4.(2018云南昆明质检,7)已知点M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4答案D5.(2018广东珠海3月模拟,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于()A. B. C. D.答案B6.(2018福建六校4月联考,10)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线交E于A,B两点,线段AB的中点为M,其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7,则抛物线E的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案C7.(2017山西五校3月联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(5,m)到焦点的距离为6,P、Q分别为抛物线C与圆M:(x-6)2+y2=1上的动点,当|PQ|取得最小值时,向量在x轴正方向上的投影为()A.2-B.2-1C.1-D.-1答案A8.(2018安徽六安一中4月月考,10)若曲线y=的对称中心在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过抛-物线C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+2|BF|的最小值是()A.2B.6C.3D.2+3答案D二、填空题(共5分)9.(2019届辽宁沈阳东北育才学校第三次模拟,14)抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.答案13三、解答题(共25分)10.(2019届四川成都外国语学校开学考试,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交抛物线C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l2∥l且l2和抛物线C有且只有一个公共点E,试问直线AE是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.解析(1)由题意知F,设D(t,0)(t>0),则FD的中点为,由|FA|=|FD|及抛物线的定义知3+=-,解得t=3+p或t=-3(舍去),由解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0>0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x0>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0),故直线l的斜率为k=-,因为直线l2和直线AB平行,故可设直线l2的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+·y-=0,由题意知Δ=+=0,得b=-,则=0.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE=--=-,可得直线AE的方程y-y0=-·(x-x0),由=4x0,整理可得y=-(x-1),所以直线AE恒过点F(1,0),当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE恒过定点F(1,0).思路分析(1)根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点的横坐标,列出方程组解出p.(2)根据|FA|=|FD|列方程得出A,D横坐标的关系,从而得出l的斜率,设l2的方程,代入抛物线方程,由判别式Δ=0得出l2的截距与A点坐标的关系,求出E点坐标,得出AE的方程,根据方程特点判断定点坐标.11.(2018辽宁大连模拟,20)如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E于A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,过点C作抛物线E的切线l2.(1)求证:l1∥l2;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)证明:抛物线E:x2=4y的焦点为F(0,1),且直线AF的斜率一定存在,设AF的方程为y=kx+1.设A(x1,y1),C(x2,y2)(不妨设x2>0),由得x2-4kx-4=0⇒x1+x2=4k,x1x2=-4,∵∠FAD=∠FDA,∴|AF|=|DF|,即y1+=y D-1,∴y D=y1+2.∴直线l1的斜率k1=--=-,∵x1x2=-4,∴k1=-=x2,又∵y'=x,∴过C(x2,y2)的切线斜率k2=x2.即k1=k2,∴l1∥l2.(2)由(1)得直线l1的斜率为x2,故直线l1的方程为y=x2x++2,联立得x2-2x2x--8=0,∴x1+x B=2x2,x1x B=-(+8).∴|AB|=·-=2·-,点C到直线l1的距离d=-===-=,三角形ABC的面积S=×|AB|×d=(x2-x1)3.由(1)可得x2-x1=4,∴当k=0时,(x2-x1)min=4,∴当k=0时,三角形ABC的面积S=(x2-x1)3取到最小值,S min=×43=16.。

(五年高考)高考数学复习第九章第五节抛物线及其性质文(全国通用)-人教版高三全册数学试题

第五节抛物线及其性质考点一抛物线的定义及其标准方程1．(2015·某某，3)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)解析由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0，故选B. 答案 B2．(2014·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( ) A ．1B ．2C ．4D ．8解析由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.答案 A3．(2013·某某，5)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( ) A ．2 3B ．2 C. 3 D ．1解析抛物线y 2＝8x 的焦点(2，0)到直线x －3y ＝0的距离是1. 答案 D4．(2013·新课标全国Ⅰ，8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝3 2. ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C.答案 C5．(2014·某某，4)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即抛物线的准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－26．(2014·某某，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值X 围是________．解析设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由{y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值X 围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)7．(2013·，9)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为____________．解析根据抛物线定义p 2＝1，∴p ＝2，又准线方程为x ＝－p2＝－1，故填2，x ＝－1.答案 2 x ＝－18．(2012·某某，14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽26米．答案 2 69．(2012·某某，14)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析设直线AB 的倾斜角为θ，则{|AF |＝p ＋|AF |cos θ，|BF |＝p －|BF |cos θ，由|AF |＝3，p ＝2，得cos θ＝13，∴|BF |＝32.答案 3210．(2015·某某，19)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t ＞0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点． (1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解 (1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得：x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t ，因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知：点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2.因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0，点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2，设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.11．(2014·某某，21)已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解法一 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等．所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝ 12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3.半径r ＝12|MN |＝|14x 0＋3x 0|，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．法二 (1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1，化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)同法一．12．(2013·某某，20)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c ＞0)，则d ＝|0－c －2|2＝322，解得c ＝1(负根舍去)．∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线PA 上， ∴y 0＝x 12x 0－y 1.① 同理，y 0＝x 22x 0－y 2.②综合①②，得点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y .∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 0x －2y －2y 0＝0，消去x ，得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20. ∵x 0－y 0－2＝0，∴|AF |·|BF |＝y 20－2y 0＋x 20＋1 ＝y 20－2y 0＋(y 0＋2)2＋1 ＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值为92.考点二抛物线的性质1．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6. 答案 B2．(2014·新课标全国Ⅱ，10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3解析抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，将y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34代入y 2＝3x ，消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212，由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，故选C. 答案 C3．(2014·某某，3)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2解析由y ＝14x 2得x 2＝4y ，焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y＝－p2＝－1.故选A.答案 A4．(2014·某某，10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2B ．3C.1728D.10解析如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2，0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 B5．(2014·某某，8)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析由点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，得焦点F (2，0)，∴k AF ＝3－2－2＝－34，故选C. 答案 C6．(2012·某某，9)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析由抛物线定义知，p2＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .因为点M (2，y 0)在此抛物线上，所以y 20＝8，于是|OM |＝4＋y 20＝2 3.故选B. 答案 B7．(2011·新课标全国，9)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48解析设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则点F (p2，0)，令x ＝p2，则y ＝±6，即36＝p 2，得p ＝6，∴y 2＝12x ，∴点P 到直线AB 的距离为p ＝6， ∴S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.答案 C8．(2011·某某，9)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值X 围是( ) A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析根据抛物线的定义可知|FM |＝y 0＋2，又由圆与准线相交可得y 0＋2＞4，即y 0＞2，故选C. 答案 C9．(2015·某某，19)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．法一 (1)解由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二 (1)同法一．(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r . 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．10．(2014·某某，22)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若|PF →|＝3，求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．解 (1)由题意知焦点F (0，1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3FM →，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k ，2k 2＋m )．由PF →＝3FM →，得(－x 0，1－y 0)＝3(2k ，2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43. 又因为|AB |＝41＋k 2k 2＋m ，点F (0，1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF＝8|m －1|k 2＋m＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＜m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1. 可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43. 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135. 11．(2013·某某，20)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |；(2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1.由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2. (2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0. 由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4＞0，y 1y 2＝y 202＋1. 由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ＞0. 所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6. 从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.。

2016届高考数学文一轮复习(人教版)讲义9.7抛物线

§9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质[1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 答案 B解析由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4．双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．答案 4解析双曲线的左焦点坐标为(－ 3＋p 216，0)，抛物线的准线方程为x ＝－p2. ∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16. 又p >0，则p ＝4.题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维点拨 |PF |等于P 点到准线的距离．解将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52C ．3D ．2答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 题型二抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维点拨先确定方程的形式设出方程，再由已知条件求出参数．解由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧，则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5. ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点常设为(y 22p，y )，便于简化计算．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)，所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5，所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4，所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332. 题型三抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O . 思维点拨证明k OC ＝k OA .证明方法一设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ，则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |，即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .思维升华解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论： ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(|AB |为弦长，θ为AB 的倾斜角)．③1|AF |＋1|BF |＝2p. 恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解选择题、填空题时可以直接应用．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M 、N 两点，且|MN |＝8. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则该直线方程为：y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p >0)，得：x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p . ∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2. ∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设l 方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝(2b －4)2－4b 2＝0，解得b ＝1，∴l 方程为y ＝x ＋1. 由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.由P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))， PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2. ∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4x 1－x 2y 1－y 2＝4，∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2 ＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14.当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →的最小值为－14. 题型四直线与抛物线的综合性问题例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m 2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(12分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (1)应用抛物线的定义求p ；(2)①由直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，求出含参数的直线AE 的方程，分离参数得出直线过定点；②用点A 坐标表示出△ABE 的面积，用基本不等式求最小值．解 (1)由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t 4，0)．因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t 4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[3分](2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)．因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)，故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[5分] 设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20. 当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)．由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．[7分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1 ＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0.[10分] 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.[12分]答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化．(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·安徽)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 A解析 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y . ∴准线方程为y ＝－1.2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 答案 C解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p 2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34. 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p 2，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.故y 1y 2＝－p 2.故y1y 2x 1x 2＝－4.5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 C解析如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 6．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 7．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S △OPQ ＝______.答案 322解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|PF |＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3，∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点P 的纵坐标y ＝22，∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知Q ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △OPQ ＝12|OF |·|y P －y Q | ＝12×1×|22＋2|＝322. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.答案 2解析如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎨⎧ 4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x . 10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组专项能力提升(时间：25分钟)11．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A解析由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14， ∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1. 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)答案 D解析如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22， ∴点A 的坐标是(2，±22)．13．(2013·课标全国Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42×32＝24，∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3. 14．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.15．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2.(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值． (1)证明设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1)．故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2，故S 1S 2＝p 21p 22.。

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第五节抛物线及其性质考点一抛物线定义及方程1．(2013·新课标全国Ⅱ，11)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径圆过点(0，2)，则C 方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析设点M 坐标为(x 0，y 0)，由抛物线定义，得|MF |＝x 0＋p 2＝5，则x 0＝5－p2.又点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以以MF 为直径圆方程为(x －x 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 202－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4. 由y 20＝2px 0，得16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 答案 C2．(2012·安徽，9)过抛物线y 2＝4x 焦点F 直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 面积为( ) A.22B. 2C.322D ．2 2解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2. ∴A 点坐标为(2，22)，则直线AB 斜率k ＝22－02－1＝2 2. ∴直线AB 方程为y ＝22(x －1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1），消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12×92×223＝322. 答案 C3．(2011·陕西，2)设抛物线顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析由抛物线准线方程为x ＝－2知抛物线焦点在x 轴正半轴上，p2＝2⇒p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x ，故选B. 答案 B4．(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)准线经过双曲线x 2－y 2＝1一个焦点，则p ＝________．解析由于双曲线x 2－y 2＝1焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.答案 2 25．(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．解析由正方形定义可知BC ＝CD ，结合抛物线定义得点D 为抛物线焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ，b ，将点F 坐标代入抛物线方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a －1＝0，解得ba ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a＝1＋ 2. 答案 1＋ 26．(2014·大纲全国，21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点为F ，直线y ＝4与y 轴交点为P ，与C 交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 方程；(2)过F 直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 方程．解 (1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′斜率为－m ，所以l ′方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4. 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．(2013·广东，20)已知抛物线C 顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0距离为322.设P 为直线l 上点，过点P 作抛物线C 两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上定点时，求直线AB 方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 方程为x 2＝4cy (c >0)，由 |0－c －2|2＝322，结合c >0，解得c ＝1.∴抛物线C 方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线PA ，PB 斜率分别为12x 1，12x 2，∴切线PA 方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 方程为x 2x －2y －2y 2＝0. ∵切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)， ∴x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2为方程x 0x －2y 0－2y ＝0两组解． ∴直线AB 方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由一元二次方程根与系数关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0， y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1，又点P (x 0，y 0)在直线l 上， ∴x 0＝y 0＋2，∴y 2＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.考点二抛物线几何性质1．(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线一个焦点在抛物线y 2＝47x 准线上，则双曲线方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②，联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D2．(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 焦点为F ，不经过焦点直线上有三个不同点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 面积之比是( ) A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 答案 A3．(2013·北京，7)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成图形面积等于( ) A.43B ．2C.83D.1623解析由抛物线方程可知抛物线焦点为F (0，1)，所以直线l 方程为y ＝1. 设直线l 与抛物线交点为M 、N ，分别过M 、N 作x 轴垂线MM ′和NN ′，交x 轴于点M ′、N ′，如图．故所求图形面积等于阴影部分面积，即S ＝4－220 x 24d x ＝83，故选C.答案 C4．(2012·四川，8)已知抛物线关于x 轴对称，它顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)，若点M 到抛物线焦点距离为3，则|OM |等于( )A. 3B ．2 3C ．4D ．2 5解析由题意知可抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x ，∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝22＋y 20＝4＋8＝2 3. 答案 B5．(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px 焦点与椭圆x 29＋y 25＝1右焦点重合，则该抛物线准线方程为______________．解析 ∵c 2＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1右焦点为(2，0)，∴p2＝2，即p ＝4.∴抛物线准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－26．(2013·浙江，15)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 焦点，过点P (－1，0)直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 中点．若|FQ |＝2，则直线l 斜率等于________．解析设l AB ：y ＝k (x ＋1)，与抛物线y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，其中x 1＋x 22＝－2k 2－42k 2＝2－k 2k 2， y 1＋y 22＝k （x 1＋x 2）＋2k 2＝2k， ∴|FQ |＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2－k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＝4（k 4－k 2＋1）k4＝2，解得k ＝±1. 答案 ±17．(2015·新课标全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处导数值为a ，C 在点(2a ，a )处切线方程为y －a ＝a(x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意点，证明如下：设P (0，b )为符合题意点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2 ＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 倾斜角与直线PN 倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点p (0，－a )符合题意.。