高考数学抛物线试题汇编

第三节 抛物线

高考试题

考点一 抛物线的定义和标准方程

1.(2010年陕西卷, 理8)已知抛物线y 2

=2px(p>0)的准线与圆x 2

+y 2

-6x-7=0相切, 则p 的值为( )

(A)

12

(B)1 (C)2 (D)4

解析:圆x 2

+y 2

-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2

+y 2

=16, ∴圆心为(3, 0), 半径是4, 抛物线y 2

=2px(p>0)的准线是x=-2

p

, ∴3+

2

p

=4, 又p>0, 解得p=2.故选C. 答案:C

2.(2011年辽宁卷, 理3)已知F 是抛物线y 2

=x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A)

34

(B)1

(C)

54

(D)

74

解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12

=3,

∴x A +x B =

52

. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2

A B

x x +=

5

4

.故选C. 故选C. 答案:C

3.(2020年四川卷, 理8)已知抛物线关于x 轴对称, 它的顶点在坐标原点O, 并且经过点M(2, y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3, 则|OM|等于( )

(C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2

=2px(p>0), 则M 到焦点的距离为x M +

2p =2+2

p

=3, ∴p=2, ∴y 2

=4x.∴

2

0y =4×2, ∴故选B.

答案:B

4.(2010年上海卷, 理3)动点P 到点F(2, 0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等, 则点P 的轨迹方程是 .

解析:由抛物线的定义知, 点P 的轨迹是以F 为焦点, 定直线x+2=0为准线的抛物线, 故其标准方程为y 2

=8x.

答案:y 2

=8x

5.(2020年陕西卷, 理13)如图所示是抛物线形拱桥, 当水面在l 时, 拱顶离水面2 m, 水面宽4 m.水位下降

1 m 后, 水面宽 m.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 设抛物线方程为

x 2

=-2py(p>0),

则A(2, -2), 将其坐标代入 x 2

=-2py, 得p=1.∴x 2

=-2y.

当水面下降1 m, 得D(x 0, -3)(x 0>0), 将其坐标代入x 2

=-2y 得2

0x =6,

∴x 0, ∴水面宽 m.

答案

6.(2010年浙江卷, 理13)设抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点为F, 点A(0, 2), 若线段FA 的中点B 在抛物线上, 则B 到抛物线准线的距离为 .

解析:由已知得B 点的纵坐标为1, 横坐标为

4p , 即B ,14p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

, 将其代入y 2

=2px 得1=2p ×4p , 解得p=

则B 点到准线的距离为2p +4p =34

答案:

考点二 抛物线的几何性质及其应用

1.(2011年四川卷, 理10)在抛物线y=x 2

+ax-5(a ≠0)上取横坐标为x 1=-4, x 2=2的两点, 过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2

+5y 2

=36相切, 则抛物线顶点的坐标为( )

(A)(-2, -9) (B)(0, -5) (C)(2, -9) (D)(1, -6)

解析:当x 1=-4时, y 1=11-4a;当x 2=2时, y 2=2a-1, 所以割线的斜率k=

11421

42

a a --+--=a-2.设直线

与抛物线的切点横坐标为x 0, 由y ′=2x+a 得切线斜率为2x 0+a, ∴2x 0+a=a-2, ∴x 0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1, -a-4), 切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1), 即(a-2)x-y-6=0.

圆5x 2

+5y 2

=36的圆心到切线的距离

.即(a-2)2

+1=5. 又a ≠0, ∴a=4, 此时y=x 2

+4x-5=(x+2)2

-9, 顶点坐标为(-2, -9).故选A.

答案:A

2.(2009年四川卷, 理9)已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1, 抛物线y 2

=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3

(C)

115

(D)

3716

解析:如图所示, 动点P 到l 2:x=-1的距离可转化为点P 到点F 的距离.由图可知, 距离和的最小值即F

到直线l 1的距离=2.故选A.

答案:A

3.(2009年福建卷, 理13)过抛物线y 2

=2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点, 若线段AB 的长为8, 则p= .

解析:∵F 02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, ∴设AB:y=x-2p , 与y 2=2px 联立, 得x 2

-3px+24p =0.∴x A +x B =3p.

∴|AB|=x A +x B +p=4p=8, 得p=2. 答案:2

4.(2010年大纲全国卷Ⅱ, 理15)已知抛物线C:y 2

=2px(p>0)的准线为l, 过M(1, 0)线与l 相交于点A, 与C 的一个交点为B, 若AM u u u u r =MB u u u r

, 则p= .

解析:如图所示, 由AB ,

知∠α=60°, 又AM u u u u r =MB u u u r

, ∴M 为AB 的中点.

过点B 作BP 垂直准线l 于点P, 则∠ABP=60°, ∴∠BAP=30°. ∴|BP|=

1

2

|AB|=|BM|, ∴M 为焦点, 即2

p

=1, ∴p=2. 答案:2

考点三 直线与抛物线位置关系

1.(2020年大纲全国卷, 理11)已知抛物线C:y 2

=8x 与点M(-2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线与C

交于A 、B 两点, 若MA u u u r ·MB u u u r

=0, 则k 等于( )

(A)

12

(D)2