八年级上数学期末复习专题平行四边形同步讲义
初二平行四边形课件ppt课件
实例
如图所示，在▭ABCD中， ∵AB=CD，AD=BC，∴四 边形ABCD是平行四边形 。
平行四边形的判定方法三
定义
一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形。
证明方法
通过证明一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形，可以使用定义 证明。
2. 平行四边形的各 种判定方法及其证 明。
总结词：难度适中 ，涉及平行四边形 的中等级别应用。
1. 利用平行四边形 的性质解决较复杂 问题，如平行移动 、翻转等。
3. 与其他几何知识 的综合应用，如与 三角形的关系等。
挑战练习题及答案
详细描述
2. 利用平行四边形解决生活中的 实际问题或与其他数学知识的综 合题。
初二平行四边形课件ppt课 件
目录
• 平行四边形定义及性质 • 平行四边形的判定及证明 • 平行四边形的应用 • 练习题及答案
01 平行四边形定义 及性质
平行四边形的定义
01
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形
02
平行四边形属于平面几何学中的 基础图形之一
平行四边形的性质
01
对边平行
两组对边分别平行
计算面积
平行四边形的面积计算公式是底乘高，这个公式 可以用于计算各种平行四边形的面积。
04 练习题及答案
基础练习题
总结词：简单基础，涉及平行四边形的 初步概念和性质。
3. 基础应用题，如求平行四边形的面积 等。
2. 平行四边形的判定方法。
详细描述 1. 平行四边形的定义和性质。
进阶练习题
详细描述
02
对边相等
两组对边分别相等
初二数学经典讲义 平行四边形(提高)知识讲解
平行四边形（提高）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】【高清课堂平行四边形知识要点】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“Y ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂平行四边形例10】1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周长是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC ＝4.求AE：EF：FB的值.【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，Y ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF．求证：AC与EF互相平分．【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了．【答案与解析】证明：方法一：连接AF、CE，Y ABCD中，AB＝DC，AE∥CF．∴∠CFE＝∠AEF．又∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，而EF＝FE，∴△CFE≌△AEF，∴∠CEF＝∠AFE，∴ CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形．即AC与EF互相平分．方法二：连接AF、CE，在Y ABCD中，DC AB．∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，∴ CF AE，∴四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分．【总结升华】(1)本题也可直接证△COF≌△AOE，利用其他的判定方法来证，在本题中，证法二相对来说比较简单．(2)由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法证明，此时应选择简单的方法．举一反三：【变式】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．【答案】证明：在等边△ADC和等边△AFB中∠DAC＝∠FAB＝60°．∴∠DAF＝∠CAB．又∵ AD＝AC，AF＝AB．∴△ADF≌△ACB(SAS)．∴ DF＝CB＝CE．同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．∴四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．类型三、构造平行四边形，应用性质3、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.【答案与解析】解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，∴PD＝AG，PH＝BE.∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等边三角形，∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，∴ΔGEP，ΔPHF为等边三角形∴PF＝PH＝BE, PE＝GE,∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法. 类型四、三角形的中位线4、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，又∵ AD为公共边，∴△ABD≌△AND(ASA)∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D、M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【高清课堂平行四边形例9】【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．。
《平行四边形》期末复习 —初中数学课件PPT
6.如图M-55-10，四边形ABCD是正方形，E,F分别是DC和CB的 延长线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积.
21.如图M-55-22，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上
一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不
一定正确的是
（ B）
A．△AFD≌△DCE
B．AF= AD
C．AB=AF
D．BE=AD-DF
22.如图M-55-23，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC. ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
综合提升
20.如图M-55-21，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（ D ） A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
14.如图M-55-16，在△ABC中，已知AB=8， ∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE 的长为____2____.
15. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个 菱形的边长为____5______cm. 16. 如图M-55-17，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°， 则AB的长为_____4_____cm.
八年级数学 平行四边形专题复习精品讲义(A级)
形 ABCD 的周长为 40．则平行四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
【例 7】 在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E ，作 AF 垂直于直线 CD 于点 F ，若 AB 5 ，BC 6 ，则 CE CF 的值为（ ）
例题解析
【例 9】 平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______； 平行四边形的对角线______．
【例 10】 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， EF ∥ BC ，GH ∥ AB，EF 与 GH 相 交 于 点 O ， 图 中 共 有 个平行四边形．
初中数学同步课程
《平行四边形的性质》.教师版.（A 级）
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2. 平行四边形的周长： C 2(a b)
3. 平行四边形的面积： S 1 BC AE 1 CD AF
2
2
例题解析
【例 1】 两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形 ABCD 记作 __________．
【例 13】
平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O，若 AC＝8，BD＝6，则边 AB
长的取值范围是
．
【例 14】 如图，□ ABCD 中，ABO 和 BOC 的周长分别为 10 和 14，且平行四边形的周长为 22，则对
角线的长度之和为
， AB 和 BC 的长分别为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
【例 15】 如图，在平行四边形 ABCD 中，不一定成立的是（ ）
（）
八年级数学平行四边形的认识复习课华东师大版知识精讲
初二数学平行四边形的认识复习课华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：平行四边形的认识复习课二. 重点、难点：1. 重点：⑴平行四边形、特殊平行四边形的性质以及彼此之间的关系；⑵梯形与等腰梯形的性质．2. 难点：平行四边形、特殊平行四边形，梯形与等腰梯形的性质的综合运用．三. 知识梳理：1. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的关系图：对称性边角对角线平行四边形中心对称对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分矩形轴对称中心对称对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等菱形轴对称中心对称对边平行四边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角正方形轴对称中心对称对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形轴对称两底平行两腰相等同一底边上的两个内角相等两条对角线相等注：⑴平行四边形、矩形、菱形、正方形及等腰梯形的性质从三个方面进行理解记忆，•即：边、角、对角线.对称性是它们的本质特征。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，除具有本身的特殊性质外，平行四边形具有的性质它们都具有．⑵平行四边形及等腰梯形的性质通常可以用来证明线段长度，角的度数，直线平行，垂直等.在计算时有时与勾股定理相结合．【典型例题】例1.下列说法正确的是（）A. 等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形；B. 正方形的对角线互相垂直平分且相等；C. 矩形是轴对称图形且有四条对称轴；D. 菱形的对角线相等分析：等腰梯形仅仅是轴对称，矩形只有两条对称轴，即连接两组对边中点的直线，菱形对角线是垂直平分，且平分每组对角，对角线并不相等，故选B．注：等腰梯形仅是轴对称，而平行四边形仅是中心对称，矩形、菱形的对称轴只有2条，正方形有4条对称轴．例2.如图，□ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．分析：根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质结合方程思想是解决本题的关键．在计算线段长度及角的度数时，可通过设未知数、列方程求解．即运用代数方法解决几何问题．由题意AO＋OB＋AB－（OB＋BC＋OC）＝8．由AO＝OC，可得AB－BC＝8，又因为□ABCD的周长为60cm，即2AB＋2BC＝60. •所以AB＋•BC＝30，则有830AB BCAB BC-=⎧⎨+=⎩问题可解决．解：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO.∵□ABCD的周长是60. •∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△AOB的周长比△BOC的周长大8．即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8，②由①②有830AB BCAB BC-=⎧⎨+=⎩解19,11.ABBC=⎧⎨=⎩∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．例3. 如图甲（1）所示，在矩形ABCD中，对角线AC交BD于O，有等式AO＝12 AC＝12BD成立，如图甲（2）所示的直角三角形，AO为斜边BD的中线，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个结论应用很广泛，你能应用这个结论解决下题吗?如图乙所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于O，AD＝3cm，BC ＝7cm，试求此梯形的面积．分析：解梯形的关键，往往就是通过添加适当的辅助线，从而把它转化成三角形和平行四边形的有关知识．本题通过平移对角线构造直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题．解：如图所示，过点D作DH∥AC，交BC的延长线于H，得□ACHD，且四边形ABCD是等腰梯形，AC＝BD＝DH，且∠BDH＝90°，∴△BDH为等腰直角三角形．∴BH＝BC＋CH＝BC＋AD．∴BH＝7＋3＝10.作梯形的高DG，则DG为直角三角形斜边上的中线，∴DG＝12BH＝12×10＝5．∴S梯＝S△BDH＝12BH×DG＝12×10×5＝25．∴梯形的面积为25cm2．注：梯形中常见的辅助线有以下几种：例4.如图，P 是正方形ABCD 内的一点，将ΔABP 绕点B 顺时针旋转到与ΔCBP`重合，若PB ＝3，求PP ＇的长．分析：由题意可知ΔABP 绕点B 顺时针旋转了90°．再根据旋转的性质可得BP ＇＝BP ＝3，∠PBP ＇＝90°，所以PP ＇＝32．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°∵ΔABP 绕点B 顺时针旋转到与ΔCBP ＇重合， ∴BP ＇＝BP ＝3，∠PBP ＇＝90°根据勾股定理可得：PP ＇＝2233 ＝32注：在矩形或正方形的有关计算问题中，根据勾股定理计算线段的长度是常用的方法．例5.如图，菱形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B ＝∠EAF ＝60°，若∠BAE ＝20°，求∠CEF 的度数．分析：含有60°角的菱形要与等边三角形联系起来，另外，在解答本题时还要注意旋转变换思想的运用．连结AC ，由菱形的特征与已知条件可得△ABC 为等边三角形，所以∠BAC ＝∠ACD ＝60°，由∠EAF ＝60°，可得∠BAE ＝∠CAF ，进而可得△ACF 是△ABE 绕点A 旋转60°得到，所以AE ＝AF ，得△AEF 为等边三角形，从而求出∠CEF ．解：连结AC ，菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ACB ＝∠ACD∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．于是有∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AB＝AC.由已知∠EAF＝60°，可得∠BAE＝∠CAF．∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的.∴AE＝AF．∴△AEF是等边三角形，∠AEF＝60°.∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∴∠CEF＝∠BAE＝20°．说明：运用平移，旋转，对称等图形变换时，只是图形的位置发生了变化，而其大小没有改变，因此，在解答有关问题时，要善于运用这种方法来转移角或者线段，从而解决问题.在正方形中要注意下面两种旋转变化的基本图形：GE FD CBA例6.已知，正方形ABCD，以AD为边画等边三角形ADE，求∠BEC的度数．分析：本题没有图形，在以正方形的一边画等边三角形时有两种情况，解此题时容易漏解.通过画图可知两种情况分别是：（1）点E在正方形ABCD的外部，（2）点E在正方形ABCD 的内部．然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可求解．解：（1）如图（1）当点E在正方形ABCD的外部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得∠CDE＝90°＋60°＝150°，DE＝AD＝DC，∴∠DEC＝∠ECD＝（180°－150°）÷2＝15°同理可推得∠AEB＝15°则∠BEC＝∠AED－∠AEB－∠DEC＝60°－15°－15°＝30°（2）如图（2）当点E在正方形ABCD的内部时，由ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，得∠EAB＝∠DAB－∠DAE＝90°－60°＝30°，AE＝AD＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝（180°－30°）÷2＝75°同理可推得∠DEC＝75°则∠BEC＝360°－∠AEB－∠AED－∠DEC＝360°－75°－60°－75°＝150°例7.（2006年中考题）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝2，求：BE的长．45°，BE⊥CD于点E，AD＝1，CD＝2分析：这是一道与梯形有关的中考题，梯形问题常常通过分割和拼接转化为三角形、平行四边形来解决.本题要求BE的长，考虑到∠C＝45°，BE⊥CD于点E，只要设法求出BC 的长即可.通过作辅助线转化梯形为三角形和平行四边形可使问题得以解决．解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于点F．∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形．∴BF＝AD＝1由DF∥AB，得∠DFC＝∠ABC＝90°2在RtΔDFC中，∠C＝45°，CD＝2根据勾股定理，得FC＝2又由BE⊥CD，所以在RtΔBEC中，∠C＝45°，BC＝1＋2＝3根据勾股定理，得BE＝CE＝223【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题：1. 如图，□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）A. 6cmB. 12cmC. 4cmD. 8cm2.已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作为它的两条对角线的长是（）A. 10与16B. 12与16C. 20与22D. 10与403. 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE＝3∠BAE，则∠EAC为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°4.能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（）A. 平行四边形、菱形；B. 矩形、正方形；C. 矩形、菱形；D. 菱形、正方形5. 有两个角相等的梯形是（）A. 等腰梯形B. 直角梯形C. 一般梯形D. 等腰梯形或直角梯形二. 填空题：1.在□ABCD中，已知∠A：∠B＝3：2，则∠A＝______，∠B＝_______．2.□ABCD的一个内角平分线把一条边分成4cm和5cm两段，则□ABCD的周长是_____．3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A. 20°B. 40°C. 80°D. 100°4.菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______．5.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，•且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A. 15B.14C.13D.3106. 如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则∠CDE＝______．ECBA D三. 解答题：1. 如图，在□A BCD中，（1）已知∠ADC＝120°，求∠DAB、∠ABC的度数；（2）已知AD＝3cm，AB＝5cm，对角线DB⊥AD于点D，求DB的长和△DBC的周长．A B CD2. 已知：如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O ，则CA：BD＝1：3，若AB＝2，求菱形ABCD的面积．3.等腰梯形腰长为12cm，上底长为15cm，上底与腰的夹角为120°，求下底长与梯形的周长．4.如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作（1）AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2），若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（1）（2）试题答案一. 选择题． 1. D 2. C 3. B4. D5. D二. 填空题． 1. 108°，72° 2. 26cm 或28cm 3. C 4. 60°5. B6. 75° 三. 解答题．1. ⑴∠DAB ＝60°，∠ABC ＝120°；⑵BD ＝4cm ，△DBC 的周长为12cm2. 解：设AO ＝x∵四边形ABCD 是菱形 ∴OA ＝OC ，OB ＝OD又∵AC ＝BD ＝1：3 ∴AO ＝x ，BO ＝3x根据题意得：AB 2＝x 2＋（3x ）2 ∴x ＝1∴AO ＝1，AC ＝2，BD ＝23 ∴菱形ABCD 的面积为21×2×23＝23. 3. 27cm ，66cm4. 解：⑴∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OA ＝OB ． 又∵AM ⊥EB ，∴∠MAE ＋∠MEA ＝90°＝∠OBE ＋∠MEA ． ∴∠MAE ＝∠OBE∴△AOF 绕O 点逆时针方向旋转90°可与△BOE 重合． ∴OE ＝OF⑵OE ＝OF 仍成立，说明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，BO ＝AO∵AM ⊥EB ，∴∠OEB ＋∠OAM ＝90°＝∠OFA ＋∠OAM ∴∠OEB ＝∠OFA∴△AOF 绕O 点逆时针旋转90°后可与△BOE 重合． ∴OE ＝OF ．。
八年级数学四边形讲义完整版(共6讲)
八年级数学四边形讲义全面完整版（全六讲）第一讲平行四边形的性质一、【基础知识精讲】1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．用符号“”表示．2．平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等．(2) 平行四边形的对角相等，邻角互补。
(3) 平行四边形的对角线互相平分．3．两条平行线间的距离：(1) 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2) 两平行线间的距离处处相等．(3)平行线间的平行线段相等．4．平行四边形的面积：(1) 如图12-1-2①，．(（2）同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图12-1-2②，有公共边BC，则．二、【例题精讲】例1（1）已知中，∠A比∠B小20°，那么∠C的度数是_______．（2）在中，周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为_______ _．（3）一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为__________ ．（4）平行四边形邻边长是4 cm和8cm，较短边上的高是5 cm，则另一边上的高是____________．例2．已知：在□ABCD中，过AC与BD的交点O作直线，与BA、DC的两条延长线交于M、N两点，求证：OM＝ON．例3．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.【练一练】1. 已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=______．2．在ABCD中：①∠A: ∠B=5:4，则∠A=_______；②∠A+∠C=200°，则∠A=______，∠B=______；3．在□ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则□ABCD的周长等于_______．4. 若平行四边形周长为54，两邻边之比为4:5，则这两边长度分别______________；5. 已知ABCD对角线交点为O，AC=24mm,BD=26mm, 若AD=22mm，则△OBC的周长为_________；【探究与拓展】例1、如图，已知ABCD中，若AD=2AB，AB=BF=AE，则EC与FD垂直，试说明其理由。
2014年 春季八年级数学讲义平行四边形
本讲教学内容2014年春季八年级数学讲义第 3 讲平行四边形一、教学衔接二、教学内容一）【回顾旧知】二）【传授新课】1、知识归纳定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□”来表示。
性质：1.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）2.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）3.在两条平行线之间的平行线段相等。
4.如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）5.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
6．平行四边形没有对称轴。
判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形6.一组对边平行一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形补充知识：1.连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
2.如果一个四边形的对角线互相平分，那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
3.过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
4.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
5.平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）6．若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
平行四边形中常用辅助线的添法 1、连对角线或平移对角线2、过顶点作对边的垂线构造直角三角形3、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线4、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
八年级平行四边形讲义
平行四边形1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
2、平面上以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ 3）个。
3.如图在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，下列结论中正确的个数有（ 1，2，4）结论：①OA=OC;②∠BAD=∠BCD;③AC⊥BD;④∠BAD+∠ABC=180°4、平行四边形的一条对角线与边垂直，且此对角线为另一边的一半，则此平行四边形两邻角的度数之比为（1∶5 ）题型一、面积问题2.如图1，一个平行四边形被分成面积为4321,,SSSS，的四个平行四边形，当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，41SS⋅与32SS⋅的大小关系为（= ）。
题型二、周长问题1.平行四边形ABCD的周长为40cm,两邻边AB、AC之比为2：3，则AB=___8____,BC=____12____.2.四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4, AD的长是 5 。
3，平行四边形ABCD的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，那么平行四边形面积是753。
4、平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△DCE的周长为______题型三、角的问题1.平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分交CD于E, ∠DEA=20°,则∠C=__40 __,∠B_=140____.2、如图（4），在△ABC中,AB=AC,DE∥AC,DF∥AB,则下列各式中，不成立的是（）A、DF=CF,DE=BE；B、DF=AE,DE=AF；C、DF-DE=DB；D、DE+DF=AB；3、如图（5），在平行四边形ABCD中，E,F分别是平行四边形ABCD两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（）A、4； B、6； C、7； D、8；平行四边形判 定性 质两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分12、ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可能是（）。
八年级数学上册《平行四边形(复习)》教案
平行四边形【学习内容】一. 知识结构：四边形平行两组对边分别平行四边形有一直角矩形邻边相等邻边相等菱形有一直角正方形对边平行只有一组梯形两腰相等等腰梯形一腰垂直于底直角梯形⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪四边形平行四边形菱形正方形矩形梯形等腰梯形直角梯形二. 具体知识点的梳理：1. 平行四边形：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）性质：<1>平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。
<2>平行四边形的对角线互相平分。
（3）识别方法：<1>用定义识别。
（从边看）<2>两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（从边看）<3>一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（从边看）<4>两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（从角看）<5>对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（从对角线看）（4）平行四边形的知识运用包括三个方面：<1>直接用平行四边形的性质去解决问题，求角、线段、证明角相等、互补、证明线段相等或倍分。
<2>判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行。
<3>先判定一个四边形是平行四边形，再用平行四边形的性质去解决某问题。
2. 矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）性质：<1>矩形的四个内角都是直角。
<2>矩形的对角线相等且互相平分。
<3>除上面两条以外，它还有平行四边形的一切性质。
（3）矩形的识别方法：<1>有一个角是直角的平行四边形；<2>对角线相等的平行四边形；<3>有三个角是直角的四边形。
3. 菱形：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）性质：<1>菱形的四条边都相等。
<2>菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角。
八年级数学上册一对一培优讲义(平行四边形)
八年级数学一对一个性化辅导教案学生学校年级次数第次科目数学教师日期时段课题平行四边形教学重点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学难点1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学目标1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、对学生上节课的错题回顾讲解2、回顾上节课的知识点3、对本堂课要讲的教学内容进行说明二、教学内容1、平行四边形2、常考题型及相关的方法讲解3、教学辅助练习（或探究训练）4、知识总结5、知识的延伸和拓展布置作业：课后作业（详见讲义）管理人员签字：日期：年月日作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差备注：2、本次课后作业：课堂小结本堂课通过对平行四边形及相关的方法讲解，使学生对这些内容掌握更好。
学生签字：日期：年月日平行四边形要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.类型一、平行四边形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．举一反三：【变式】如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且BE＝DF，求证：∠AEC＝∠AFC．类型三、平行四边形与面积有关的计算3、如图所示，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠EAF＝60°，BE＝2cm，DF＝3cm，求AB，BC的长及ABCD的面积．举一反三：【变式】如图，已知ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求该平行四边形的面积.类型四、三角形的中位线4、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【巩固练习】1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ). A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．2 C．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图，ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．37. 如图所示，在ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．cm．8. 已知ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，ABCD的面积为____29．在ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13. 已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.。
八年级数学上册平行四边形
面积计算实例分析01ຫໍສະໝຸດ 020304
实例一
已知平行四边形的底为5cm， 高为3cm，求其面积。
解
根据面积公式，$S = 5cm times 3cm = 15cm^2$。
实例二
已知平行四边形的面积为 24cm^2，底为6cm，求其高。
解
根据面积公式，$24cm^2 = 6cm times height$，解得
$height = 4cm$。
面积与周长关系探讨
周长与面积的关系
平行四边形的周长和面积之间没有直接的数学关系，即不能通过周长直接求出 面积，也不能通过面积直接求出周长。
影响因素
平行四边形的面积受底和高的影响，而周长受四条边长度的影响。在底边长度 固定的情况下，高越长则面积越大；在高度固定的情况下，底边越长则面积越 大。同时，四条边的长度变化也会影响周长的大小。
面，以增加作品的艺术感和视觉冲击力。
物理实验
02
在物理实验中，平行四边形机构常被用于测量长度、角度等物
理量，以及研究物体的运动规律。
工程测量
03
在工程测量中，利用平行四边形的性质可以进行距离、角度等
的测量和计算。
05
平行四边形相关数
学问题研究
平行四边形的存在性和唯一性问题
平行四边形的存在性
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。因此，只要一个四边形满足两组对边 分别平行，就可以判定该四边形为平行四边形。
04
平行四边形在生活
中的应用
建筑结构中的平行四边形元素
01
02
03
斜拉桥
斜拉桥的主梁和拉索构成 的平行四边形结构，使得 桥梁能够承受较大的荷载 并保持稳定。
悬索桥
八年级数学平行四边形的复习课件ppt
证明：（1）在△ADE与△CDE中， AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBD， ∴∠CDE=∠CBD， ∴BC=CD， ∵AD=CD， ∴BC=AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是菱形；
2.下列性质中，矩形不一定具有的是（ D ）。
(A)对角线互相平分且相等
(B)四个角相等
(C )既是轴对称图形，又是中心对称图形 (D)对角线互相垂直平分
3.菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ C ）。
(A)对边相等。 （对C角）相对等角。线互相垂直。
(B) (D)对角线互相平分。
4.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。
(A)对角Байду номын сангаас互相平分。
(B)对角线
（相C等）。对角线平分一组对角。 (D)对角线互相垂直。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
（三）填空题：
1、如图(1)，
ABCD中，BE平分∠ABC，已知∠ABE＝25° 则∠C = 50° ∠D＝_1_3_0_°____
轴对称 中心对称
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
根据性质填空：
1.两条对角线 互相平分 2.两条对角线 相 等 3.两条对角线 互 相 垂 直 4.两条对角线 互相平分且相等
矩形 有一个角是直角且邻边相等
(最新整理)初二平行四边形全章新课讲义学生版超级好用推荐
初二平行四边形全章新课讲义学生版超级好用推荐编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初二平行四边形全章新课讲义学生版超级好用推荐）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平行四边形-— 平行四边形的性质第1课时 平行四边形的边角的特征情景导入 生成问题展示图片：从以上图形中我们能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗?自学互研 生成能力【自主探究】1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．2．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形,这个四边形是．【合作探究】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2。
求证：四边形ABCD是平行四边形．知识模块二 平行四边形的边、角特征【自主探究】1．平行四边形的对边 ,对角__ __，邻角__ __．2．在▱ABCD中，AB＝5 cm，∠A＝55°,则CD＝_ _cm,∠B＝，∠C＝，∠D＝___ _．【合作探究】如图,点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP,EP。
求证：FP＝EP.知识模块三 两平行线间的距离【自主探究】1．夹在两条平行线间的平行线段、平行线间的距离．2．如图，直线l1∥l2，点A、E在l1上，点B、C、F在l2上，AD、EG分别是△ABC和△CEF 的高，则AD EG.（选填“＞"“＝”或“＜"）【合作探究】如图，在平行四边形ABCD中,AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC 有何位置关系？请证明．【交流总结】知识一 平行四边形的定义知识二 平行四边形的边、角特征知识三 两平行线间的距离【当堂检测】1．如图，点P在平行四边形ABCD内,过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有个平行四边形．2．在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则平行四边形ABCD的周长等于( ) A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm9；A第2课时 平行四边形的对角线的特征【学习目标】1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明问题．【学习重点】平行四边形对角线的性质．【学习难点】平行四边形对角线性质的运用．情景导入 生成问题如图，在平行四边形ABCD中,AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？解：S阴＝12.自学互研 生成能力【自主探究】1．平行四边形对角线．平行四边形是对称图形．2．如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ） A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB【合作探究】已知▱ABCD的周长为60 cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．【自主探究】1．如图,P是▱ABCD的边AD上一点．已知S△ABP＝3，S△PDC＝2，那么平行四边形ABCD的面积是( ）A．6 B．8C．10 D．无法确定2． 在▱ABCD中，如图①，O为对角线BD、AC的交点．（1)求证：S△ABO＝S△CBO;（2）如图②，设P为对角线BD上任一点（点P与点B、D不重合），S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等,请证明；若不相等，请说明理由．Error!【自主探究】如图，已知点A（－4，2）,B(－1,－2）,平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.（1)请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；(3）直接写出平行四边形ABCD的面积．【合作探究】如图，平行四边形ABCD中,AC、BD交于O点,点E、F分别是AO、CO的中点,试判断线段BE、DF 的关系并证明你的结论．【交流总结】知识一 平行四边形的对角线互相平分知识二 平行四边形的面积知识三 判断直线的位置关系【当堂检测】1．在▱ABCD对角线AC、BD相交于点O,若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△AOB的周长为．2．在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O，如果AC＝14，BD＝8,AB＝x,那么x的取值范围是．3．如图，M、N分别是▱ABCD的对角线AC上两点,AM＝CN，求证:BN＝DM.18．1。
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期末复习二——四边形
【知识要点】
【典型例题】
例1-1 在□ABCD中，若AB∶BC=2∶3且它的周长为30㎝，则CD= ㎝
例1-2 在□ABCD中，若∠A=120°，则∠D=
例1-3 在□ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠B=
例1-4 □ABCD中，若∠A∶∠B=1∶3,那么∠A=___，∠B=___，∠C=____，∠D=___ 例1-5 在□ABCD中，已知∠A－∠B=20°，则∠C=
例1-6 已知菱形ABCD中，AB=AC=6，则BD=
例1-7 矩形ABCD中，已知∠ACB=30°，则∠BDC=
例1-8 已知正方形的面积等于8m2，则它的边长等于
例1-9 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，BC=BD，∠A=120°，求其余各个内角．
C
例1-10 有一等腰三角形的木格子(如图)，里面的每一同方向木条都互相平行，已知等腰三角形的腰长是30cm ，底边长是50cm ，你能帮木工师傅算出拼木格子所需木条的总长度吗？（不计接头）。
例2-1 已知菱形的周长等于40㎝，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是（ ） A 、12㎝，16㎝ B 、6㎝，8㎝ C 、3㎝，4㎝ D 、24㎝，32㎝
例2-2 如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的周长是（ ）
A 、 6
B 、 8
C 、 9
D 、 10
例2-3 在□ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求此四边形的周长。
例2-4 矩形ABCD 中,AB=3cm ，∠ACB ＝30°,求矩形ABCD 的对角线和面积。
例2-5 菱形ABCD的两条对角线相交于O，且OA=3cm,OB=4cm，求菱形ABCD的周长和面积。
例2-6 正方形ABCD的对角线为4cm，求正方形ABCD的边长和面积。
例3-1 如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m的取值范围是________.
例3-2 平行四边形一边长为 10 ,则它的两条对角线可以是( )
A、6 ,8
B、8, 12
C、8, 14
D、6, 14 例3-3 如图，□ABCD中，AB=3，BC=4，求BO的长度的取值范围。
例3-4 若△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上中线的长x的取值范围是。
B C
例4-1 如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是_______.
例4-2 如图，四边形ABCD 是矩形，DH⊥AC，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形是多少？
例4-3 矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是BC 的中点，DE⊥AM，E 为垂足．（1）求△ABM 的面积．（2）求DE 的长．（3）求△ADE 的面积．
B
H
D
C
B
A
例4-4 如图，□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，5=AB ，12==OB AO ， ① AC 、BD 互相垂直吗？为什么？
② 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？ ③ 求四边形ABCD 的面积。
例5-1 顺次连结四边形各边中点得到什么图形？请说明理由。
（要求自己作图）
例5-2 试证明：平行四边形各内角平分线围成矩形。
例5-3 已知四边形的四条边分别为a 、b 、c 、d ，且满足a 2+b 2+c 2+d 2
=2ac+2bd ，则此四边形是 形，说明理由。
例6-1 将一张矩形纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是什么？
例6-2 将长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD=_______度
例6-3 如图，把一张长方形ABCD 的纸片，沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数。
例6-4 已知如图，在矩形ABCD 中，AD>AB ，O 为对角线的交点，过O 作一直线分别交BC 、AD 于M 、N 。
（1）求证：梯形ABMN 的面积等于梯形CDNM 的面积；
（2）当MN 满足什么条件时，将矩形ABCD 以MN 为折痕翻折后能使点C 恰好与点A 重合（只写满足的条件，不用证明） O
N
A
B
D
C
M
A
B
（3）在（2）中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的1/2，求BM ∶MC 的值。
例6-5 如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD ，先沿着对角线BD 对折,点C 落在点C ′的位置上（如图），BC ′交AD 于G ，求⊿BGD 的面积.
例6-6 若将上题的图再折一次，使点D 与A 重合，得折痕EN （如图），EN 交AD 于点M ，求EN 的长。
B D
A
B
D
A
例7 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=4cm ，AB=12cm,CD=8cm ，点P 从A 开始沿AB 边向B 以3cm/s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边向D 以1cm/s 的速度移动。
如果点PQ 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
设运动时间为t(s)。
（1）当t 为何值时，四边形APQD
（2）当t 为何值时，四边形APQD 是等腰梯形？
例8-1 已知，□ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 的中点，连结BE 、CE ，∠BEC=90°。
（1）求证：BE 平分∠ABC ； （2）EC=4，且3 AB
BE
，求四边形ABCE 的面积。
C
例8-2 如图，□ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与AB 、CD 的延长线分别交于E 、F 。
（1）求证：△BOE ≌DOF 。
（2）连接CE 、AF ，当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形？并证明你的结论。
例8-3 如图13，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n . （1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；
（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形3333D C B A 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.
例8-4 已知：如图1，点C为线段AB上的一点，△ACM和△CBN是等边三角形，直线AN、CM交于点E，直线BM、CN交于点F，
求证：（1）AN=BM；
（2）△CEF是等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90º，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）（2）结论是否仍然成立。
（不要求证明）
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八年级数学。