八年级数学上册 13.3 等腰三角形 利用等腰三角形的“三线合一”性质解题素材 (新版)华东师大版

利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等
例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .
分析 由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以要证明DE ＝DF ，只要证明点D 是∠BAC 的平分线上的点，于是连结AD ，而由AB ＝AC ，BD ＝CD 即可证明AD 是∠BAC 的平分线.
证明 连结AD .因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，所以AD 是等腰三角形底边BC 上的中线，即AD 又是顶角的平分线.
又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF . 二、证明两条线垂直
例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD .
分析 由已知条件AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，显然只要连结AC 、AD ，则△ABC ≌△AED ，于是AC ＝AD ，而CF ＝DF ，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF ⊥CD .
证明 连结AC 、AD .因为AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED （SAS ）， 所以AC ＝AD ，
又因为CF ＝DF ，所以AF 是等腰三角形底边CD 的中线， 所以AF 也是CD 边上的高，即AF ⊥CD .
三、证明角的倍半关系
例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝1
2
∠BAC . 分析 要证明∠DBC ＝1
2
∠BAC ，只要作出∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证明
F E 图3
D C B
A
C
D E
F 图1
B
A
F D 图2
B
E
C
A
证明 作∠BAC 的平分线AE .因为AB ＝AC ，所以由等腰三角形的“三线合一”可知
AE ⊥BC .
又因为BD ⊥AC ，所以∠ADB ＝90°，而∠BFE ＝∠AFD ，所以∠DBC ＝∠CAE ， 故∠DBC ＝
1
2
∠BAC . 四、证明线段的倍半关系
例4 如图4，已知等腰Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .
分析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线
BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，
而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，从而问题获解.
证明 延长线BA 、CD 交于点E .因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以可得BC ＝BE ，DE ＝DC ， 又因为∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，所以可得∠ABF ＝∠DCF ， 又AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，所以△ABF ≌△ACE （SAS ），即BF ＝CE ， 故BF ＝2CD .
五、证明一个角是直角
例5 如图5，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.
分析 要证明∠A ＝90°，可构造出直角，然后使∠A 与之相等.由于条件中有两个倍半的关系，因此首先考虑对∠ACB ＝2∠B 和BC ＝2AC 进行技术处理，可先作倍角的平分线和BC 边上的垂线，这样利用等腰三角形的“三线合一”性质和全等三角形的知识即可解决问题.
证明 作CD 平分∠ACB 交AB 于D ，过D 作DE ⊥BC 交BC 于E ，则∠ACD ＝∠BCD ＝1
2
∠ACB ，∠DEC ＝90°.
图5
A
B
C
D
E
图4 B F D
E
C
A
D 图6
C
E B
A
因为∠ACB＝2∠B，所以∠B＝1
2
∠ACB＝∠BCD，即DB＝DC.
又DE⊥BC，所以DE是BC边上的中线，即E是BC的中点，所以BC＝2CE.
又因为BC＝2AC，所以AC＝CE.
所以△ACD≌△ECD（SAS），所以∠A＝∠DEC＝90°.
六、证明线段的和差关系
例6 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD.
分析要证明CD＝AB+BD，可以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，趁下来的问题只要能证明DE＝DB，CE＝AE即可，而由已知条件结合等腰三角形的“三线合一”性质和等腰三角形顶角的外角与底角的关系即证.
证明以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC.
因为AD⊥BC，所以AD是BE的中线，即DE＝BD.
又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C，
而∠∠AEB＝∠CAE+∠C，所以∠CAE＝∠C，即CE＝AE＝AB，
故CD＝AB+BD.。