等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形性质：三线合一”专题

等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】

例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。

例二：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若CD＝4，且△BDC周长为24，求AE

的长度。

A

例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。

图1

分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB =

1

2

α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==

ββα1

2

。 例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =

1

2

，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

图2

分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。 证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ，

∴BD BC =

1

2 又∵CE BC =1

2

，

∴BD=CE 。

在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ，

∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。 ∴∠ACE=∠B

例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：M 是BE 的中点。

图3

分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，因此只需证DB=DE ，即证∠DBE=∠E ，根据等边△ABC ，BD 是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。 证明：联结BD ，

∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵CD=CE ，

∴∠CDE=∠E=30° ∵BD 是AC 边上中线，

∴BD 平分∠ABC ，即∠DBC=30° ∴∠DBE=∠E 。 ∴DB=DE

又∵DM ⊥BE ，

∴DM 是BE 边上的中线，即M 是BE 的中点。 巩固练习一：

1、已知ABC ∆的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ∆的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ）

A ．cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20

2、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=300

，AD=AE ，则∠EDC=（ ）

A ．100 B. 12.50 C.150 D.200

3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中全等三角形共有（ ） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对

4 、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连

结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )

A ．∠AED>∠AGF

B ．∠AED ＝∠AGF

C ．∠AED<∠AGF

D ．不能确定

5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，且BD=BE ，∠A=84°，则∠DEC=

6、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥BD ，DA=DB ，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE 的长为 。

D A

B C E F 第3题图 A B D

E

C 第2题图

第4题图

A D

D E

A

E

D

7、如图，在等腰△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，则△ABC 的面积为

8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=

2

1

∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)

9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC

1

2

，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

10、如图△ABC 中，AB=AC D 为AC 上任意一点，延长BA 到E 使得AE=AD 连接DE ，求证DE ⊥BC

11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ．

E

D

C

B

A