等腰三角形三线合一
三线合一等腰三角形ppt课件
情景引入：
小学时，我们学习过等腰三角形的初步知识，现在 我们进一步研究有关等腰三角形的知识。
探究新知：
请同学们把一张长方形纸对折，并剪去阴影部分， 再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
拓展提高:
. 1 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为____度．
2 如图(2) 在△ABC中, AB＝AC, CD⊥AB于D, 则下列判断正确的是 A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD
3 如图(3), 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE. 求证：BD=CE
你从以上的证明中还能得出什么结论？
性质：
1 等腰三角形两个底角相等（简写为“等边对等角”）
2 等腰三角形顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高相互重合。 （简称“等腰三角形三线合一”）
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
在△ABC中，∠A=36 ° ∠ABC=∠C=72 °
巩固训练 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个角 的度数是多少呢？
2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两 个角的度数是多少呢？
A A
D
B 图(2)
B C
D 图(3)
等腰三角形的“三线合一”
等腰三角形的“三线合一”
一、证明线段相等
例1（1） 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .
（2）如图，∠A=∠D=90°，AB=CD ，AC 与BD 相交于点F ，
E 是BC 的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
二、证明两条线垂直
例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD .
三、证明角的倍半关系
例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝
1
2
∠BAC .
C
D E F 图1
B A F D
图2
B
E
C
A F E 图3
D C
B
A
四、证明线段的倍半关系
例4 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .
五、证明一个角是直角
例5 如图5，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.
六、证明线段的和差关系
例6 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且∠ABC ＝2∠C .求证：CD ＝AB +BD .
图5
A
B
C
D
E 图4 B
F D
E C
A
D 图6
C
E B
A。
等腰三角形的三线合一”定理应用
等腰三角形的三线合一”定理应用全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是一种特殊的三角形，其中两条边长度相等。
在等腰三角形中，存在一个重要的定理，即“等腰三角形的三线合一”定理。
这个定理指出，在一个等腰三角形中，等腰线、中位线和高线三条线段会共点于一个点，这个点被称为三角形的垂心。
等腰三角形的三线合一定理在几何学中有着重要的应用。
通过这个定理，我们可以推导出很多三角形的性质，并且可以帮助我们解决一些几何问题。
下面我们将通过几个具体的例子来展示等腰三角形的三线合一定理的应用。
我们来看一个简单的例子。
设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是边AC的中位线，E是边BC的中点，连接DE。
我们要证明线段BD 与CE相交于垂心H。
根据等腰三角形的性质，我们知道角B和角C是等的，所以三角形ABC是等腰的。
根据等腰三角形的三线合一定理，我们知道线段BD、CE和AH相交于一个点H，即三角形ABC的垂心。
接下来，我们可以利用这个性质来解决几何问题。
我们可以通过这个定理来证明等腰三角形的顶角相等，或者计算等腰三角形的面积等等。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是具有对称性和稳定性，是几何学中常见的形状之一。
在等腰三角形中，有一定的定理和性质可以应用，在解决几何问题时起到重要作用。
本文将重点介绍等腰三角形的三线合一定理及其应用。
一、三线合一定理的概念在等腰三角形中，连接等腰三角形顶点与底边中点的直线被称为等腰三角形的三线合一。
三线合一定理指的是在等腰三角形中，三条线段的端点在同一直线上。
这是等腰三角形的一个重要性质，可以通过几何推理和证明加以验证。
假设在等腰三角形ABC中，AB=AC。
连接顶点A与底边BC的中点D，并将直线AD延长至E点。
因为AD是BC的中线，根据中线定理可知AD=DC。
又因为ABC 为等腰三角形，所以AB=AC，由此可得BD=DC。
考虑△ADE和△ACD，根据两边相等、夹角相等、以及对应边角对应相等的条件可以得出△ADE≌△ACD。
等腰三角形性质：三线合一”专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。
求证：BE=CE。
变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。
求证：AD垂直平分BC。
变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF。
例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。
例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。
图1例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。
图2例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：M 是BE 的中点。
图3 AB CED8、、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=21∠DAB ； ④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC12，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。
三线合一证明等腰三角形
三线合一证明等腰三角形
腰三角形是数学中一种常见的形状，它由三条不同的直线组成。
腰三角形的特征是它有两组平行的边，第三条边它们之间的距离是相等的。
比如一个等腰三角形，它的三条边都是相等的长度。
腰三角形有许多有趣的特性，一个特别重要的特性是关于它的角度和边长的推定。
例如，一个等腰三角形的内角和边长之间有一个确定的关系，那就是一个等腰三角形的内角总是相等的，因为它有两组平行的边，所以它的角度也相等，具体来说，三个内角的角度都是60°。
腰三角形的特性对于多种应用都非常有用。
比如，建筑物的构造通常会使用到等腰三角形，因为它可以创建出许多稳定的结构，从而使建筑物更稳定和结实。
另外，腰三角形也被用于科学和数学中，可以帮助求解许多未知数字，其中包括三边长度之积和其余两个内角之和，以及互相平分另一条边的几何。
定义等腰三角形并不复杂，其基本原理是，三条边都是相等的长度。
所以，当需要证明一个三角形是等腰三角形时，只需要证明三条边都是相等的长度就可以了。
具体来说，要做的是将三线看作一条，然后从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
总之，腰三角形是非常常见的几何形状，它有着广泛的应用，也有简单易懂的特性，在证明等腰三角形时，可以将三条边看作一条，从一点开始量出三条边的长度，如果长度都一样，就说明是等腰三角形。
八级数学上册2.3等腰三角形的“三线合一”性质课件(新版)浙教版
知2－练
2 如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形 ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作 法，保留作图痕迹)
（来自《点拨》）
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底 边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角． 2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等 、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试 作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
（来自《点拨》）
解： 如图所示，△ABC就是所求作的三角形．
知2－讲
总结
知2－讲
利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含 条件：有两条边相等；两个角相等.
知2－练
1 已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.
（来自《教材》）
结论
知1－讲
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线 互相重合，简称等腰三角形三线合一 .
知1－讲
【例1】已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC. 求证：AD丄BC.
（来自《教材》）
证明： 如图，延长AD，交于点E.
知1－讲
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的 “三线合一”性质
等腰三角形的“三线合一”
1 课堂讲解 用尺规作等腰三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一
等腰三角形是一种特殊的三角形，其特点是有两条边长相等，这两条相等的边被称为腰，而第三条边则被称为底边。
在等腰三角形中，有一些几何性质非常有趣，其中最著名的就是“三线合一”定理。
等腰三角形三线合一定理：在等腰三角形中，底边上的高（垂直平分线）、底边上的中线以及顶角平分线是重合的。
定理的证明：
1. 设A、B、C是等腰三角形的三个顶点，其中AB=AC，BC是底边。
2. 设D是BC的中点，那么BD=DC（因为D是中点）。
3. 从A点作垂线至BC，垂足为E，那么AE就是底边上的高。
4. 由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，AE同时平分了∠BAC，即AE 也是顶角BAC的平分线。
5. 根据三角形的中位线定理，DE是三角形ABC的中位线，所以DE平行于AB，且DE=1/2AB。
6. 由于DE平行于AB，且DE=1/2AB，根据相似三角形的性质，三角形AED与三角形ABC相似。
7. 相似三角形的对应角相等，所以∠AED=∠BAC/2，即AE也是∠BAC 的平分线。
8. 由于AE是底边BC上的高，也是顶角的平分线，同时DE是底边的中线，因此三线合一定理成立。
定理的应用：
1. 在解决几何问题时，利用三线合一定理可以简化问题，快速找到解法。
2. 在证明其他几何性质时，三线合一定理可以作为一个重要的辅助定理。
3. 在实际测量中，如果已知等腰三角形的底边和高，可以利用三线合一定理来确定其他边长和角度。
通过上述证明和应用，我们可以看到等腰三角形的三线合一定理在几何学中的重要性。
它不仅帮助我们理解等腰三角形的内在联系，还为解决更复杂的几何问题提供了有力的工具。
等腰三角形三线合一性质应用
等腰三角形专题全然知识总结：一、全然概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此〔如：假设明白三角形的两个底角相当，那么需要利用等角对等边，证明边相等才可〕二、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，那么知足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：假设取cm AB 2=，那么点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，那么符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用〔知二即知三〕应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，假设D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 别离交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：假设DM ⊥DN 别离和BA 、AC 延长线交于M 、N 。
问DM 和DN 有何数量关系。
变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足别离为F E 、，求证：〔1〕DF DE =；〔2〕DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、别离是ABD ∆和ACD ∆的高。
求证：AD 垂直平分EF .例4：四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、别离为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．〔线段垂直平分线的性质〕②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D 、E 别离是AB 、AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AC=AB.例6：，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,D 为垂足，AB>AC 。
等腰三角形三线合一逆定理
等腰三角形三线合一逆定理
以上
等腰三角形三线合一逆定理，也称为同一等腰三角形逆定理，是几何中有关等腰三角形的重要定理。
它的应用在几何中非常广泛，它是判断两个等腰三角形是否具有同一等腰三角形时必不可少的定理。
等腰三角形三线合一逆定理，英文名称为The Inverse Theorem of the Coincidence of 3 Lines of an Isosceles Triangle，简称为TCTLIT，它是由希腊几何学家几何学家苏格拉底发展出来的一个定理。
该定理认为：
在几何中，假设ABC为等腰三角形，且AB=AC；设C'D=AE，C'F=AF，及C'D、C'F和AB所成的三角形相等。
则右边的三条线AE, AF和AB也会相等。
这就是等腰三角形三线合一的逆定理。
TCTLIT的正确性由下列推导得出：
由于等腰三角形ABD和C'F内角相等，则由三角形内角相等定理可知: ∠ABD＝
∠C'F，∠AEB＝∠AC'F
故有AF=AE, AB=AE，由此可知，AE=AF=AB，即满足等腰三角形三线合一的逆定理。
由此可见，等腰三角形三线合一的逆定理是正确的。
等腰三角形三线合一的逆定理有两个重要的应用：
（1）若两个等腰三角形的三条腰的长度都相等，则这两个三角形就是同一个等腰三
角形。
等腰三角形三线合一的逆定理是一个重要的几何理论，使得许多书本中几何问题的求解变得更加简单。
此定理的应用可以帮助学生对等腰三角形有更深刻的理解和掌握，这也是学习几何方面知识的重要理论基础。
等腰三角形三线合一ppt优秀课件
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
？A
B
C
复习
等腰三角形的两底角相等。（简写为“等边对等角”）
A
∵AB=AC （已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
B
C
【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中。
实践验证
做一做
剪一张等腰三角形的纸片，每人所剪的等腰三角形的大
小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重
A DC
学以致用
例 1 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，
求∠1和∠ADC的度数。
A
你是怎 样考虑 的？
12
B
D
C
证明：∵AB=AC，BD=CD
∴AD⊥BC
∴∠BDA=∠ADC=90°
∴∠B+∠1=90°
又∵∠B=30°
∴∠1=60°
∴∠1=60°∠ADC=90°
C
例3.
综合探究
在△ABC中，已知∠A=900，AB=AC，D为BC的中点，E,F分别 是AB，AC边上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。
证明：连接AD
∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点， ∴AD⊥BC, ∠BAD＝∠CAD＝∠B＝45° ∴AD＝BD＝CD， 在△BDE和△ADF中，
.
推理验证
已知：△ABC中AB=AC，BD=DC。 求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
证明：在△ABD和△ACD中： ∵ BD=DC
AB=AC AD=AD ∴△ADB≌△ADC（S.S.S) ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC ∵∠ADB+∠ADC=180° ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD
等腰三角形三线合一的用法有哪些
等腰三角形三线合一的用法有哪些等腰三角形作为一种基本的几何形状，在数学和几何学中扮演着重要的角色。
等腰三角形的三条特殊线段，即高线、中线和角平分线，有着独特的性质和应用。
本文将介绍等腰三角形的三线合一的用法。
一、高线的应用高线是等腰三角形的边上的垂直线段，从顶点垂直地绕过底边与底边相交。
高线的性质使得它有多种应用。
1.确定等腰三角形的顶点：当我们只知道等腰三角形的底边和底角时，可以通过画底边上的高线来确定等腰三角形的顶点。
通过在底边上作高线，然后找到高线与底边的交点，便可以得到顶点的位置。
2.计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过底边和高线的乘积的一半来计算。
通过测量底边和高线的长度，可以利用面积公式进行计算。
3.寻找等腰三角形的垂心：等腰三角形的三条高线相交于一个点，这个点被称为垂心。
垂心是一个重要的几何中心，与等腰三角形的特性密切相关。
垂心的位置是通过底边上的高线来确定的。
二、中线的应用中线是等腰三角形的两个底角的角平分线，将底边平分为两等分。
中线也有一些重要的应用。
1.寻找等腰三角形的重心：等腰三角形的三条中线相交于一个点，这个点被称为重心。
重心是一个重要的几何中心，与等腰三角形的性质密切相关。
重心的位置是通过底边上的中线来确定的。
2.计算等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过底边和中线的乘积的一半来计算。
通过测量底边和中线的长度，可以利用面积公式进行计算。
3.确定等腰三角形的顶点角度：当我们只知道等腰三角形的两条底边和中线的长度时，可以通过计算得到顶点角的大小。
通过计算底边和中线的关系，可以用反三角函数来确定顶点角度。
三、角平分线的应用角平分线是等腰三角形的两个底角的平分线，将顶点角平分为两等分。
角平分线也有一些重要的应用。
1.确定等腰三角形的底边角度：当我们只知道等腰三角形的顶点和两条底边的长度时，可以通过计算得到底边角的大小。
通过计算底边和角平分线的关系，可以用反三角函数来确定底边角度。
等腰三角形三线合一性质的证明
证明： A ∵△ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C（等边对等角） ∵AD⊥BC ∴∠BDA=∠CDA=90° B C 在△ABD和在△ACD中 D ∠B=∠C 已知：在等腰△ABC中， ∠BDA=∠CDA AD⊥BC AB=AC 求证：点D为BC中点,AD ∴△ABD≌△ACD（AAS） 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD BD=CD ∴点D为BC中点,AD平分∠BAC
等腰三角形“三线合一”性质的证明
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合(三线合一).
证明： ∵AD平分∠BAC A ∴∠1=∠2 ∵△ABC为等腰三角形 1 2 ∴∠B=∠C（等边对等角） 在△ABD和在△ACD中 B C ∠B=∠C D AB=AC ∠1=∠2 已知：在等腰△ABC ∴△ABD≌△ACD（ASA） 中，AD平分∠BAC ∴BD=CD,∠BDA=∠CDA 求证：点D为BC中点， ∵∠BDA+∠CDA=180° AD⊥BC ∴∠BDA=∠CDA=90° ∴点D为BC中点，AD⊥BC
证明： A ∵点D为BC中点 ∴BD=CD ∵△ABC为等腰三角形 ∴∠B=∠C（等边对等角） AB=AC B C 在△ABD和在△ACD中 D AB=AC 已知：在等腰△ABC中， ∠B=∠C BD=CD 点D为BC中点 ∴△ABD≌△ACD（SAS） 求证：AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA ，AD⊥BC ∵∠BDA+∠CDA=180° ∴∠BDA=∠CDA=90° ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC
等腰三角形三线合一典型题型1
添加标题
解题思路：首先，由于AB=AC，所以∠B=∠C。再根据等腰三角形的性质，∠B+∠C=∠BAC。由于AD是BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。最后，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明。
添加标题
解题过程：第一步，由题目已知，AB=AC，所以∠B=∠C。第二步，根据等腰三角形的性质，∠B+∠C=∠BAC。第三步，由于AD是BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。第四步，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质进行证明。
证明方法：利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理进行证明
典型例题：通过具体例题展示如何运用三线合一的性质解题
注意事项：强调解题时需要注意的细节和易错点
02
等腰三角形三线合一的典型例题解析
题目1解析
添加标题
题目描述：一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，D是BC的中点，AD垂直于BC，E是AD上的一点。
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形高、中线、角平分线三线合一
等腰三角形两底角相等
三线合一的定义
等腰三角形的高、中线、角平分线重合
等腰三角形顶角的角平分线与底边的垂直平分线重合
等腰三角形底边的垂直平分线与顶角平分线重合
三线合一的证明方法
定义：等腰三角形三线合一是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线重合
结合题目给出的条件，利用三线合一的性质求解
总结解题思路，强调等腰三角形三线合一的重要性和应用
解题思路三
确定等腰三角形三线合一的条件
利用等腰三角形的性质，将问题转化为求证线段相等或垂直
结合已知条件，利用全等三角形或相似三角形的性质进行证明
总结解题思路，强调等腰三角形三线合一在解题中的应用
等腰三角形三线合一几何语言表达
等腰三角形三线合一几何语言表达嘿，你们知道等腰三角形嘛？就是那种两边边长一样的三角形，咦，其实挺好认的，就像我们小时候画的那种三角形，一边一边都一
样长的，哎呀，简直就是太好画了。
唉呦，说到等腰三角形，嗨，你们知道它有三条特殊的线吗？哟，就是垂心线、中位线和高线！这三条线其实还挺有趣的，唉，虽然听
上去有点难，但是其实一点也不难啦。
哎哟，先说说垂心线吧，它就是从一个顶点垂直地往对边延伸出
去的那条线！嗨，这条线真是太神奇了，它和三角形的对边交于一点，这个交点叫做垂足，听起来好像挺高大上的，其实也挺简单的。
咦，再来说说中位线吧，它是等腰三角形的一条特殊线啦，就是连接两个角的中点，而且它和对边也是交于一点的哟！中位线的交点叫做中线足，听着好像挺专业的嘛，哎，但其实也就是个点而已。
嘿，最后再来说说高线，这条线就是从一个顶点到对边上的垂直线啦，哟，这条线最厉害了，嗨，因为它有一个特别的性质，就是三条高线的交点叫做垂心，所以垂心线就从这个名字来的呀。
总之等腰三角形的三条特殊线合一，但是其实每条线都有自己的特点，哎，很有趣吧！所以大家以后画三角形的时候，记得观察这些特殊线哦，嘿，说不定还会发现更多有趣的规律呢！。
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.选择题（共11小题）1. （2017?绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）【分析】根据轴对称图形的定义求解可得.【解答】解：A ,此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意;B 、 此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C 、 此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；D 、 此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A .【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿 一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解.【解答】解：A 、不是轴对称图形，不合题意;B 、不是轴对称图形，不合题意;C 、 是轴对称图形，符合题意；D 、 不是轴对称图形，不合题意.故选：C.【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合.3. （2017?呼和浩特）图中序号（1） （2） （3） （ 4）对应的四个三角形，都是△A .2. （2017?重庆）下列图形中是轴对称图形的是（ B.)ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可.【解答】解：•••轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，•••通过轴对称得到的是（1）.故选：A.【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断.4•如图，已知点P到AE, AD, BC的距离相等，有下列说法:①点P在/ BAC的平分线上；②点P在/ CBE的平分线上；③点P在/ BCD的平分线上；④点P在/ BAC，/ CBE / BCD的平分线的交点上.C.④D.②③【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可.【解答】解：•••点P到AE, AD的距离相等,•••点P在/ BAC的平分线上，①正确；•••点P到AE, BC的距离相等，•••点P在/ CBE的平分线上，②正确；•••点P 到AD , BC 的距离相等，•••点P 在/ BCD 的平分线上，③正确；•••点P 在/ BAC , / CBE / BCD 的平分线的交点上，④正确， 故选：A .【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平 分线上相等是解题的关键是解题的关键.5. 如图，△ ABC 中，/ B=90°,两直角边 AB=3, BC=4, AC=5.三角形内有一点 P 到各边的距离相等，则这个距离为（【点评】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线， 解题的关键是构造辅助线,且直角三角形的面积有两种表示方法： 一是整体计算；二是等于三个小三角形的A . 1 B. 3 C. 4 D . 5【分析】连接AP ，BP,即可求得该距离的长. CP,设PE=PF=PD=x 根据直角三角形的面积列出方程, 【解答】解：连接AP ， B P, CP.设 PE =PF =PD =x 则 &A *AB x x 」AC x x BC X x 令(AB+BC+AC ) ?xx x=6x,••S 2 X AB X CB=6,• 6x=6,解得x=1.故选（A ）RE C面积和，这也是列方程的依据.6. 如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD是/CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，则/ BDE的度数是（）A E5A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【分析】由在△ ABC中，/ C=90, AD是/ CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，易得/ B=Z DAB=Z CAD,继而求得/ B的度数，则可求得/ BDE的度数.【解答】解：：DE是AB的垂直平分线，••• AD=BD•••/ DAB=Z B，••• AD是/CAB的平分线，•••/ CAD=Z DAB,•••在△ ABC中，/ C=90,••• 3/ B=90°，•••/ B=30°，•••/ BDE=90 -Z B=60°.故选D.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质. 此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.7. 如图，线段AC, AB的中垂线交于点O,已知OC=2cm则OB等于（）A. 1cmB. 2cmC. 4cmD.不能确定【分析】首先连接0A ,由线段AC, AB 的中垂线交于点0,根据线段垂直平分 线的性质，可得0A=0C=0B【解答】解：连接0A ,•••线段AC, AB 的中垂线交于点0,•••0A=0C 0A=0B0B=0C=2cim【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质. 此题难度不大，注意掌握辅助线的 作法，注意掌握数形结合思想的应用.8. 如图,△ ABC 中,DE// BC, FB, FC 分别平分/ B 和/C ,已知 BC=20 AB=18, AC=16,则厶ADE 的周长是（ ）【分析】根据DE / BC, FB, FC 分别平分/ B 和/C,可得：/ DBF=Z FBC W DFB, 进而得出DF=DB 同理得出EF=EC 所以△ ADE 的周长为AB+AC,然后根据AB 和AC 的长度即可求出结果.【解答】解：：DE// BC,• / BFD=/ FBC / EFC 2 BCF••• FC 分别平分/ B 和/ C ,• / DBF=/ FBC / ECF / BCF• / BFD=/ DBF, / EFC /ECFD . 36••• DF=DB EF=EC•••△ ADE的周长=AD+AE+DE, DE=DI+EF,•••△ ADE 的周长=AD+BD+AE+EC=ABAC,••• AB=18, AC=16,•••△ ADE 的周长=34.故选C.【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB EF=EC然后进行正确的等量代换求出•••△ ADE的周长=AD+BD+AE+EC=ABAC.9 .同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱0C与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头着地时，/ OAC=25，则当跷跷板的另一头B着地时/ AOA等于（）A. 25°B. 50°C. 60°D. 130【分析】欲求/ A O的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可知/ A OA/ OAC+Z OB C又OA=OB，根据等边对等角，可知/ OAC=Z OB C=20°【解答】解：：OA=OB,•••Z OAC=/ OB C=25•••Z A OA/OAG Z OB C=Z OAC=50.故选B.【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质.角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.10. 如图，等腰三角形ABC中，Z BAC=90,在底边BC上截取BD=AB过D作DE丄BC交AC于E,连接AD,则图中等腰三角形的个数是（）【分析】三角形ABC 是等腰三角形，且/ BAC=90,所以/ B=Z C=45,又DE ± BC,所以/ DEC K C=45°,所以△ EDC 是等腰三角形，BD=AB,所以△ ABD 是等 腰三角形，/ BAD=Z BDA,而/ EAD=90-/ BAD, / EDA=90-Z BDA 所以/ EAD=Z EDA 所以△ EAD 是等腰三角形，因此图中等腰三角形共 4个.【解答】解：•••三角形ABC 是等腰三角形，且/ BAC=90,/•/ B=/ C=45,••• DE 丄 BC,•••/ EDB=/ EDC=90 •••/ DEC / C=45,•••△ EDC 是等腰三角形，••• BD=AB•••△ ABD 是等腰三角形，•••/ BAD=/ BDA而/ EAD=90 -/ BAD, / EDA=90 -/ BDA•••/ EAD=/ EDA•••△ EAD 是等腰三角形,因此图中等腰三角形共4个.故选D .【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理； 由已知条件 利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键.11. 如图，点0是厶ABC 中/ ABC 与/ACB 的平分线的交点，OD// AB 交BC 于D 点，OE// AC 交BC 于E 点，若BC=20cm 则厶ODE 的周长为（ ）D . 4A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 22cm【分析】△ ODE的周长=OD+DE+OE,可以先证明BD=OD, CE=OEJ则OD+DE+OE=BC 得出.【解答】解：T OD// AB•••/ ABO=Z BODT OB平分/ ABC•••/ ABO=Z OBD•••/ ABO=Z BOD••• BD=OD则同理可得CE=OE•••△ODE 的周长=OD+DE+OE=BBDE+EC=20cm故选C.【点评】本题利用了：①两直线平行，内错角相等；②角的平分线的性质；③等边对等角.二.解答题（共8小题）12. （2016秋？宝塔区期中）如图，已知AE平分/ BAC, BE丄AE于E, ED// AC,【分析】已知AE平分/ BAC, ED// AC,根据两直线平行同旁内角互补，可求得 / DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得/ BED度数.【解答】解：T BE! AE：/ AEB=90T AE平分/ BAC••/ CAE=/ BAE=42又••• ED// AC/-Z AED=180-/ CAE=180- 42°138°•••/ BED=360-/ AEB-Z AED=132【点评】此题考查平行线的性质和三角形外角和定理.两直线平行，同旁内角互补.13. 在△ ABC中，Z ABC=2/ C, BD平分Z ABC,交AC于D, AE丄BD,垂足为E.求证：AC=2BE【分析】首先过点A作AF// BC,交BD的延长线于点F,由在△ ABC中，Z ABC=2 Z C, BD平分Z ABC,易证得△ ADF,A ABF,A DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE即可证得AC=2BE【解答】证明：过点A作AF// BC,交BD的延长线于点F,•••Z F=Z DBC, Z FAD=/ C,vZ ABC=2/ C, BD 平分Z ABC,•Z ABD=Z DBC=/ C,•Z F=Z FAD=/ ABD, BD=CD•AD=DF, AB=AFv AE丄BD ,•BE=EF二BF,2v AC=At+CD=D!+BD=BF•AC=2BE【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定.此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用.14. 如图所示.△ ABC 中，AE 是/A 的平分线，CD 丄AE 于D .求证：/ ACD > / B.【分析】延长CD 交AB 于F 点，可证明△ ACD 与厶AFD 全等.根据/ AFC >^ BCF 的外角可证结论.••• AE 是/ A 的平分线，CD 丄AE, •••/ FADK CAD,Z ADCN ADF=90 .又AD 公共，•••△ ADC^A ADF,•••/ ACD2 AFD.vZ AFCMA BCF 的外角,•••/ AFOZ B.•••Z ACD>Z B.【点评】此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质. 作出辅助线建 立两角的联系是难点.15. 如图，在等腰厶ABC 中，AB=AC AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是边AB 、 AC 上的点，且EF// BC.(1) 试说明△ AEF 是等腰三角形；(2) 试比较DE 与DF 的大小关系，并说明理由.【解答】证明：延长CD 交AB 于F 点.【分析】(1)首先利用等腰三角形的性质得到/ B=Z C,再结合平行线的性质得到/AEF=/ AFE利用等角对等边即可证得；(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得.【解答】解：(1)v EF// BC,•••/ AEF=/ B,/ AFE=/ C.又••• AB=AC•••/ B=/ C,•••/ AEF=/ AFE,••• AE=AF即A AEF是等腰三角形；(2) DE=DF理由如下：••• AD是等腰三角形ABC的底边上的高，••• AD也是/ BAC的平分线.又•••△ AEF是等腰三角形,••• AG是底边EF上的高和中线，••• AD 丄EF, GE=GF••• AD是线段EF的垂直平分线,••• DE=DF【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键.16. 如图,在厶ABC中,AB=AC D , E分别是BC和AC上的点,且DE/ AB ,EA=ED 请你说明AD垂直平分BC.【分析】由平行线的性质、等腰△ AED的性质推知AD平分/ BAC,则由等腰三角形三合一’的性质”证得结论.【解答】证明：如图EA=ED•••/ 2=Z 3.又••• DE// AB,•••/ 仁/ 3,•••/ 仁/ 2.即卩AD平分/ BAC.又••• AB=AC••• AD是边BC的中垂线，即AD垂直平分BC.D【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质.难度不大，属于基础题.17. (2017春？蓝田县期末)如图，在△ ABC中，点D是AB的中点，点F是BC 延长线上一点，连接DF，交AC于点E,连接BE,/ A=Z ABE(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB=AC / A=46°时，求/ EBC及/ F 的度数.【分析】(1)根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；(2)根据等腰三角形的性质求出/ ABE结合图形计算即可.【解答】(1)证明:I / A=Z ABE,••• EA=EB••• AD=DB••• DF是线段AB的垂直平分线；(2)解：I / A=46°,/•/ ABE=/ A=46°,••• AB=AC•••/ ABC=/ ACB=67 ,•••/ EBC/ ABC- / ABE=21,/ F=90°-/ ABC=23 .【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键.18. (2017?平谷区二模)如图,在厶ABC中,BD平分/ ABC交AC于点D , DE//BC交AB于点E , EF丄BD于点F.求证：/ BEF/ DEF【分析】根据角平分线的定义得到/ ABD=/ CBD,根据平行线的性质得到/ EDB= / CBD,等量代换得到/ EDB=/ ABD,于是得到结论.【解答】证明：：BD平分/ ABC,•••/ ABD=/ CBD,•••DE// BC,•••/ EDB=/ CBD,•••/ EDB=/ ABD,••• EB=ED••• EF丄BD于点F,•••/ BEF" DEF.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.19. (2017春？文登区期中)如图，在△ ABC中，/ BAC=90, BE平分/ ABC, AM 丄BC于点M， AD平分/ MAC,交BC于点D，AM交BE于点G.(1)求证：/ BAM=Z C;(2)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由.【分析】(1)根据余角的性质即可得到结论；(2)由AD平分/ MAC，得到/ 3=7 4，根据三角形的外角的性质得到/ BAD= / ADB,推出△ BAD是等腰三角形，于是得到结论.【解答】解：(1)v AM丄BC,•••7 ABC+Z BAM=90 ,vZ BAC=90,•7 ABC+Z C=90,•7 BAM=7 C;(2) BE垂直平分AD,理由：v AD 平分7 MAC,•7 3=7 4,v7 BAD=7 BAM+7 3,7 ADB=7 C+7 4,/ BAM=Z C,•••/ BAD=Z ADB,•••△ BAD是等腰三角形，又•••/ 3=Z4,••• BE垂直平分AD.【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质, 三角形的内角和, 线段垂直平分线的性质,熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键.。