(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一专题训练1

例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.

（1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.

A D

E

变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°

,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

(1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ．

D

B

C

F A

E

M N

D C

B A M

N

D C

B

A

(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ．

D

B

C

F A

E

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？

变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

Ｆ

Ｆ

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）

A 17

B 22

C 17或22

D 13

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小

与∠A的大小有什么关系？

若∠1=1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

若∠1=1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（ ） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定

例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。

例3、如图，已知BC=3，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，OE ∥AB ，OF ∥AC ，求△OEF 的周长。

A B C A

B

F

C

O

E

例4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 上中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，连接DE ，试说明DB=DE 。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450

，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形

例6、（1）等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 。 （2）直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为 ； （3）若直角三角形三边为1，2，c ，则c= 。

例7、下列说法：①若在△ABC 中a 2

+b 2

≠c 2

，则△ABC 不是直角三角形；

②若△ABC 是直角三角形，∠C=900

，则a 2

+b 2

=c 2

； ③若在△ABC 中，a 2

+b 2

=c 2

，则∠C=900；

④若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。

例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点

有（ ）

（A ）1个（B ）4个（C ）7个（D ）10个

例9. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（ ） A ．2

B ．3

C ．22

D ．23

例10. 已知△ABC 为正三角形，P 为其内一点，且AP=4，BP=32，CP=2，则△ABC 的边长为 （ ）

A B C D

E