高三第一轮复习一 集合与简易逻辑
高考数学知识点总结(全而精-一轮复习必备)
高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
新高考数学题型归纳,第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑第一节集合题型1、元素与集合的关系元素与集合的关系：属于和不属于。
常用数集的表示：C —复数集；R —实数集；Q —有理数集；Z —整数集；N —自然数集；N+或N*—正整数集。
1、【多选】下列关系中正确的是（）A.{}102，∉-B.(){}2|42x y x =∈，C.R ∈πD.Φ∈02、【2022·全国乙卷】设集合{}54321，，，，=U ，集合M 满足{}31，=M C U ，则（）A.M ∈2B.M ∈3C.M ∉4D.M∉53、【2018·北京】已知集合(){}241|≤-+≥-=ay x y ax y x y x A ，＞，，，则（）A ．()A R a ∈∈∀12，，B ．()AR a ∉∈∀12，，C ．当且仅当0＜a 时，()A ∉12，D ．当且仅当23≤a 时，()A ∉12，4、若集合{}2024||≤∈=x N x x P ，45=a ，则（）A.P a ∈B.{}P a ∈C.{}Pa ⊆D.Pa ∉题型2、集合相等集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。
集合相等，集合中元素完全相同，集合中元素之和相等，集合中元素之积相等。
1、若},,0{},,1{2b a a ab a +=，求20242024b a+的值.【答案：1】2、已知集合，，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数x 与y 的值.【答案：x=y=-1】3、设R b a ∈,,集合b}ab {0a}b a {1，，，，=+,则=-a b （）【答案：C 】A.1B.-1C.2D.-24、【2014·福建】若}2,1,0{},,{=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，求c b a ++10100的值.5、集合},2,0{a A =，},1{2a B =.若}16,4,210{，，=B A 则a 的值为（）【答案：D 】A ．0B ．1C ．2D ．4题型3、集合之间的基本关系集合与集合之间的关系：①包含关系，②相等关系，③真子集关系。
高考数学一轮复习必备(第05课时)：第一章 集合与简易逻辑-简易逻辑
（2）“2≤3”
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5.难度：中等
分别写出命题“若x2+y2=0，则x，y全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．
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6.难度：中等
例3．命题“若m＞0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．
A．若b2-4ac＞0，则ax2+bx+c=0没有实根
B．若b2-4ac＞0，则ax2+bx+c=0有实根
C．若b2-4ac≥0，则ax2+bx+c=0有实根
D．若b2-4ac≥0，则ax2+bx+c=0没有实根
二、解答题
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4.难度：中等
例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：
高考数学一轮复习必备（第05课时）：第一章 集合与简易逻辑-简易逻辑
一、选择题
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1.难度：中等
用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数
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2.难度：中等
命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（ ）
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
高三文理科第一轮总复习讲义：1-2.集合、简易逻辑与复数(讲义+习题)
【一轮复习】 1-2. 集合、简易逻辑与复数1.1 集合【知识要点归纳】1. 概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，记作： A ，B ， C ，D ， 集合中的每个对象叫做这个集合的元素，记作： a ， b ， c ， d ， ，元素与集合的关系集合{x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}集合的 意义口答：请指出下列集合中的元素是什么？（1） A { x | y x 2 2 x 1} ； （2） B { y | y x 2 2 x 1} ；（ 3）{( , ) | 221}Cyxx ；x y（ 4） D { x | x x 2 2x 1} ；（ 5） E {(,)| y x 2 2 x 1, x ,y Z } ；x y Z2. 分类：按照元素个数，分为、 和3. 关系：韦恩图记作子集真子集 集合的相等4. 运算5. 常用数集：自然数集记作 ，正整数集记作 ，整数集记作 ，有理数集记作 ，实数集记作6. 设集合 A 中元素个数为 n 个，则集合 A 的子集个数为【经典例题】x 2 y 2 x y ，则M N例 1：已知集合 M= x | 1 ， N= y |31 （）942A ．B ． {( 3,0),( 2,0)}C． 3,3D ． 3,2例 2：已知集合 A={x|x 2－ 3x －10≤0} ，集合 B={x|p ＋1≤x ≤2p － 1} ．若 B íA ，求实数 p 的取值范围．例 3：已知集合 A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8 ≤ 0} ，若 A∩ B≠φ，则实数 a 的取值范围为？．例4：有限集合P中元素的个数记作card(P). 已知card(M ) 10M ， B M，A B，且， Acard(A ) 2， card(B)3.若集合X满足X M，且A X ， B X ，则集合X 的个数是（）（A）672（ B）640（ C）384（D）3521.2简易逻辑【知识要点归纳】一、命题概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的题，判断为假的语句叫做假命题。
集合与简易逻辑知识点总结- 高三数学一轮复习
知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。
(经典)高考数学一轮复习专题：集合与简易逻辑
集合与简易逻辑考点一:集合(一) 知识清单1. 集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集正整数集整数集 有理数集实数集复数集符号*N 或+N2： 集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔子集A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2－1, 所有非空真子集的个数是22-n3：集合的基本运算1.两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且;2.两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;3.设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且4：方法指导1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.(二) 典型例题分析题型一：集合的概念 例1、已知全集UR =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 变式:下面四个命题正确的是( )（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2} （C ）0与{0}表示同一个集合（D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} 题型二：集合的性质 例2、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 例3、例3.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}例4、已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由 题型三：集合的运算 例5、 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N AC B = ( )A.}{1,5,7B.}{3,5,7C.}{1,3,9 D.}{1,2,3变式：1. 若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥，则R C A =( )A.(]2,0(,)2-∞⋃+∞B.2(,)2+∞C.(]2,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎪⎣⎭D.2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ 2. 设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）A.P QB.Q PC.P=QD.P ∩Q=Q3.若{Un n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是3的倍数}，则()U A B =ð ．4.若{}3A x Rx =∈<，{}21x B x R =∈>，则A B = ．5.已知集合{1,1}M =-，11{|24,}2x N x x Z +=<<∈，则M N =( ).A. {1,1}-B. {0}C. {1}-D. {1,0}- 6．设集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 例6、 已知函数1()2x f x x +=-的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B （1）求集合A 、B（2）若A U B=B,求实数a 的取值范围． 题型四：图解法解集合问题例7、已知集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y ，则=N M （ ） A ．∅B ．)}0,2(),0,3{(C ．]3,3[-D ．{}2,3变式 1.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B 的元素个数为（ ）.A.4B.3C.2D.1变式2. 设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例8、设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。
高三数学第一轮复习集合与简易逻辑
第一单元 集合与 常用逻辑用语
│ 知识框架 知识框架
│ 考纲要求 考纲要求
│ 考纲要求
│ 命题趋势
命题趋势
本单元内容属于工具性知识，高考每年对本部分内容都 有考查，近几年究 要点探究
１．高考对集合的考查有两种主要形式： (1)直接考查集合的概念； (2)以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用． 从所涉及的知识点上来看，常与映射、函数、方程、不 等式等知识相联系，小题目综合化是近几年考题的特点．
│ 集合及其运算
│ 知识梳理 知识梳理
│ 知识梳理
│ 知识梳理
│ 知识梳理
高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)
第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念一．课题：集合的概念二．教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有21n-，非空子集有21n-个，非空真子集有22n-个． （二）主要方法：1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化． （三）例题分析：例1．已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ D ）()A P F =()B Q E = ()C E F =()D Q G =解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．例2．设集合{},,P x y x y xy =-+，{}2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．解：∵P Q =且0Q ∈，∴0P ∈．（1）若0x y +=或0x y -=，则220x y -=，从而{}22,0,0Q x y =+，与集合中元素的互异性矛盾，∴0x y +≠且0x y -≠； （2）若0xy =，则0x =或0y =．当0y =时，{},,0P x x =，与集合中元素的互异性矛盾，∴0y ≠； 当0x =时，{,,0}P y y =-，22{,,0}Q y y =-，由P Q =得220y y y y y -=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩ ① 或220y y y y y -=-⎧⎪=⎨≠⎪⎩ ②由①得1y =-，由②得1y =，∴{01x y ==-或{01x y ==，此时{1,1,0}P Q ==-．例3．设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则（ B ）()A M N = ()B M N ⊂≠ ()C M N ⊇ ()D MN φ=解法一：通分； 解法二：从14开始，在数轴上表示． 例4．若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围．解：（1）若A φ=，则240a ∆=-<，解得22a -<<；（2）若1A ∈，则2110a ++=，解得2a =-，此时{1}A =，适合题意； （3）若2A ∈，则22210a ++=，解得52a =-，此时5{2,}2A =，不合题意； 综上所述，实数m 的取值范围为[2,2)-．例5．设2()f x x px q =++，{|()}A x x f x ==，{|[()]}B x f f x x ==， （1）求证：A B ⊆；（2）如果{1,3}A =-，求B ．解答见《高考A 计划（教师用书）》第5页．（四）巩固练习：1．已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为1{0,2,}3-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个．2．已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-． 3．调查100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75 ，最小值为 55 ． 4．设数集3{|}4M x m x m =≤≤+，1{|}3N x n x n =-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{}|x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的长度的最小值是112．五．课后作业：《高考A 计划》考点1，智能训练4，5，6，7，8，9，11，12．第2课时 集合的运算一．课题：集合的运算二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2．AB A A B =⇔⊆，A B A A B =⇔⊇；3．()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．（三）例题分析：例1．设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3AB =，{}1,5,7U AC B =，{}9U U C A C B =，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8． 解法要点：利用文氏图．例2．已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤，{}|2A B x x =>-，求实数a 、b 的值．解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，∴(2,1)(0,)A =--+∞，又∵{}|02A B x x =<≤，且{}|2A B x x =>-，∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根， 由韦达定理得：{1212a b -+=--⨯=，∴{12a b =-=-． 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．例3．已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2y B x y x -==-，则A B =φ； A B ={(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第6题）．解法要点：作图．注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．例4．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22B y y x x x ==-+≤≤，若A B φ=，求实数a 的取值范围． 解答见教师用书第9页．例5．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠，求实数m 的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．解法一：由{22010x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ①∵A B φ≠，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，首先，由2(1)40m ∆=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-． 设方程①的两个根为1x 、2x ，（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ⋅=知1x 、2x 都是负数，不合题意； （2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ⋅=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数， 故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．解法二：问题等价于方程组{221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ①或22(1)401022(2)22(1)10m mf m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312m -<≤，∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．（四）巩固练习：1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有 （ D ）①A B A =，②U C A B φ=，③U U C A C B ⊆，④U A C B U =，()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]- ．五．课后作业：《高考A 计划》考点2，智能训练3，7， 10，11，12，13．第3课时 含绝对值的不等式的解法一．课题：含绝对值的不等式的解法二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法．三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间的交、并等各种运算．四．教学过程： （一）主要知识：1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离2．当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． （二）主要方法：1．解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2．去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．（三）例题分析：例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,)(,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x >，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤-时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53x >，此时2x ≥．综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞．例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞．解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >．例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥．解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a bx -≥①或2()2a b x x a b+≤⇒≤+②， 当0a b >>时，由①得2x a b ≥-，∴此时，原不等式解为：2x a b ≥-或2x a b≤+； 当0a b =>时，由①得x φ∈，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+；当0a b <<时，由①得2x a b ≤-，∴此时，原不等式解为：2x a b≤+．综上可得，当0a b >>时，原不等式解集为22(,][,)a b a b-∞+∞+-，当0a b <≤时，原不等式解集为2(,]a b-∞+． 例4．已知{||23|}A x x a =-<，{|||10}B x x =≤，且A B ⊂≠，求实数a 的取值范围． 解：当0a ≤时，A φ=，此时满足题意；当0a >时，33|23|22a ax a x -+-<⇒<<，∵A B ⊂≠， ∴3102173102aa a -⎧≥-⎪⎪⇒≤⎨+⎪≤⎪⎩， 综上可得，a 的取值范围为(,17]-∞．例5．（《高考A 计划》考点3“智能训练第15题”）在一条公路上，每隔100km 有个仓库（如下图），共有5个仓库．一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？解：以一号仓库为原点建立坐标轴，则五个点坐标分别为12345:0,:100,:200,:300,:400A A A A A ， 设货物集中于点:B x ，则所花的运费5||10|100|20|200|y x x x =+-+-， 当0100x ≤≤时，259000y x =-+，此时，当100x =时，min 6500y =； 当100400x <<时，57000y x =-+，此时，50006500y <<； 当400x ≥时，359000y x =-，此时，当400x =时，min 5000y =．综上可得，当400x =时，min 5000y =，即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．（四）巩固练习：1．||11x x x x >++的解集是(1,0)-；|23|3x x ->的解集是3(,)5-∞； 2．不等式||1||||a b a b +≥-成立的充要条件是||||a b >； 3．若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a ∈(7,)+∞；4．不等式22|2log |2|log |x x x x -<+成立，则x ∈(1,)+∞ ．五．课后作业：《高考A 计划》考点3，智能训练4，5，6，8，12，14．第4课时 一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式．三．教学重点：利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法． 四．教学过程：（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零； 3．高次不等式要注重对重因式的处理． （二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）260x x --<；（2）23100x x -++<；（3）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-．解：（1）23x -<<；（2） 5 2x or x ><-； （3）原不等式可化为(1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0x x x x x x or x or x x x +-+-≥⎧⇒-<≤-≤<≥⎨+-≠⎩．例2．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤， （1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围； （2）若B A ⊆，求a 的取值范围． 解：{|12}A x x =≤≤，当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤． （1）若A B ⊂≠，则122a a a >⎧⇒>⎨>⎩；（2）若B A ⊆，当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意． 所以，a 的取值范围为[1,2)．例3．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩，解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-．例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．解法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24x x or x ><，∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20c x b x a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42x x <<．解法二：由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x or x ><．例5．（《高考A 计划》考点4“智能训练第16题”）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？ 解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩， ∴14a =，∴14c =，∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．（四）巩固练习：1．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-． 2．若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．3．关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围为3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞．4．不等式2(1)(2)0(4)x x x x +-≥+的解集为(,4)(0,2] 1or x -∞-=-．五．课后作业：《高考A 计划》考点4，智能训练3，4，5，9，13，14，15．第5课时 简易逻辑一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系． （二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ⌝且q ⌝”、“p 且q ”的否定为“p ⌝或q ⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ”的形式； 4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾． （三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假： （1）菱形对角线相互垂直平分． （2）“23≤”解：(1)这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形的对角线相互垂直；:q 菱形的对角线相互平分， ∵p 为真命题，q 也是真命题 ∴p 且q 为真命题． （2）这个命题是“p 或q ”形式，:p 23<；:q 23=， ∵p 为真命题，q 是假命题 ∴p 或q 为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若220x y +=，则,x y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题． 解：否命题为：若220x y +≠，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y +=逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． 解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴140m ∆=+>，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题； 又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则0m ≤”．∵20x x m +-=无实根∴140m ∆=+<即104m <-≤，故原命题的逆否命题是真命题． 例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到：240m m ⎧∆=->⎨>⎩ ∴2m >由命题q 可以得到：2[4(2)]160m ∆=--< ∴26m -<<∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴,p q 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，262,6m m m orm >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩当p 为假，q 为真时，22226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数()f x 对其定义域内的任意两个数,a b ，当a b <时，都有()()f a f b <，证明：()0f x =至多有一个实根． 解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根12,x x ，不妨假设12x x <， 由方程的定义可知：12()0,()0f x f x == 即12()()f x f x =①由已知12x x <时，有12()()f x f x <这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A.假设,,a b c 都是偶数 B.假设,,a b c 都不是偶数 C.假设,,a b c 至多有一个是偶数 D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确2．“若240b ac -<，则20ax bx c ++=没有实根”，其否命题是 （ ）A. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=没有实根 B. 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=有实根 D. 若240b ac -≥，则20ax bx c ++=没有实根五．课后作业：《高考A 计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．第6课时 充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q ⇒是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件． （3）取120,30A B ==，p 不能推导出q ；取30,120A B ==，q 不能推导出p所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+ 如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件．解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>， 欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立，只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>，即101(2)t t t t<<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >2t ≠． 例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？ （2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件． （2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥五．课后作业：《高考A 计划》考点6，智能训练2，7，8，15，16．。
高考数学一轮总复习：第一章 集合与简易逻辑
0≤m≤52.
得 m<－2 或 0≤m≤52.
【答案】 m<－2 或 0≤m≤52
(3)设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}， ①若 B⊆A，则实数 a 的取值范围为________； ②若 A⊆B，则实数 a 的取值范围为________．
(2)已知集合 A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m
＋1}．若 B⊆A，则实数 m 的取值范围为________．
【解析】 A＝{x|－1≤x≤6}．∵B⊆A，∴B＝∅或 B≠∅.
当 B＝∅时，m－1>2m＋1，即 m<－2.符合题意．
当
m－1≤2m＋1， B≠∅时，m－1≥－1， 解得
则 A∩(∁RB)＝( ) A．{x|0<x≤1}
B．{x|0<x<1}
C．{x|1≤x<2}
D．{x|0<x<2}
答案 B
解 析 因 为 B ＝ {x|x≥1} ， 所 以 ∁RB ＝ {x|x<1} ． 因 为 A＝ {x|0<x<2}，所以 A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}，故选 B.
4．(2019·皖南八校联考)已知集合 P＝{x|x2－5<0}，Q＝{x|x
(6)如图所示，用集合 A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部 分所表示的集合分别是__A__∩_B__；__A_∩__(∁_U_B_) _；__B_∩_(_∁_UA_)___； __∁_U(_A_∪__B_)或__(∁_U_B_)∩__(∁_U_A_) _．
(7)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－_c_a_r_d(_A_∩_B_)_．
高三数学一轮复习-集合与简易逻辑：第一章 集合 含解
重点列表：重点1：集合的概念【要点解读】1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个总体，这个总体就叫集合，其中每一个对象叫元素.2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性．(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性；(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性；(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性． 3、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接． 4、集合的表示常见的有四种方法．（1）自然语言描述法：用自然的文字语言描述.如：英才的所有团员组成一个集合. （2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上.如：{0,1,2,3}（3）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法.它的一般格式为)}(|{x P x ，“|”前是集合元素的一般形式，“|”后是集合元素的公共属性.如2{|230}x x x --=、 2{|23}x y x x =--、2{|23}y y x x =--、2{(,)|23}x y y x x =--.（4）Venn 图法：如：75315、常见的特殊集合：（1）非负整数集（即自然数集）N （包括零）（2）正整数集N*或+N (3)整数集Z (包括负整数、零和正整数) （4）有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合.（3）空集 ：不含任何元素的集合 【考向】集合的含义【例题】【2017届山东潍坊临朐县高三10月月考数学】已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②{(,)|sin }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|lg }M x y y x ==.其中所有“理想集合”的序号是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B 【解析】【名师点睛】1、用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；2、集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．重点2：集合间的基本关系【要点解读】 1、表格比较：AB （1）子集对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集.记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集.记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为21n-． 【考向】集合间的基本关系【例题】设集合254{|}M x x a a a R ∈＝＝－＋，，2{|442}N y y b b b R ∈＝＝＋＋，，则下列关系中正确的是( )A ．M N ＝B ．M N ⊂≠C ．M N ⊆D ．M N ∈ 【答案】A【解析】集合254{|}M x x a a a R ∈＝＝－＋，＝2{|()2}1x x a a R ∈＝－＋，＝{}1|x x ≥，2{|442}N y y b b b R ∈＝＝＋＋，＝221{|(}1)y y b b R ∈＝＋＋，＝{}1|y y ≥． ∴M N ＝．【名师点睛】1、判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2、已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．重点3：集合的运算【要点解读】 1、集合的基本运算2、交集与并集的性质A A A =， A ∅=∅ ， AB B A = ， A A A =， A A ∅=， A B B A =．3、补集的性质(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．4、重要结论A B A A B =⇔⊆, A B A B A =⇔⊆, ()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =．【考向一】求交集 【例题】【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学】已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，则=N M （ ）A.]1,1[-B.),0[+∞C.)1,0(D.]1,0[ 【答案】D 【解析】试题分析：{|01}N y y =≤≤⇒=N M ]1,0[,故选D. 【考向二】求并集 【例题】【2017届河北定州高三高补班上月考二数学试卷】已知集合，1,2,3}{=A 则满足A B A =⋃的非空集合B 的个数是（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 【答案】C 【解析】【考向三】集合的角、并、补的综合运算 【例题】 【2017届山东枣庄三中高三10月学情调查数学】已知集合{}{}2ln(1),x A x y x B y y e ==-==，则集合R C AB =（ ）A.(]0,1B.[1,)+∞C.(][),11,-∞-+∞D.(](),10,-∞-+∞【答案】D 【解析】 试题分析：2{|ln(1)}{|10}{|11}A x y x x x x x ==-=->=-<<，R C {|1x 1}x x A =≤-≥或，集合{|}{|0}x B y y e y y ===>，{|10}R C AB x x x ∴=≤->或，故答案为D.【考向四】利用集合的基本运算求参数的取值（范围） 【例题】【2017届江西玉山县一中高三上月考二数学（理）试卷】设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若AB =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,1]-∞-B.(,1]-∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：1,12,},2{},1|{-≤≤+=+=>=a a B A a B x x A 则φ ,故选A. 【名师点睛】1、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.2、涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．难点列表：难点详解：难点1：如何破解集合间的关系类问题【要点解读】1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．4．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.【考向】集合间的关系类问题方法一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例题】【2017湖南省长沙市长郡高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．【答案】{－1，4}【解析】∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．方法二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 【例题】【2017山西省怀仁县第一高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．【答案】(,4]-∞方法三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．【例题】已知集合2{4260,},{0}A x x mx m x R B x x =-++=∈=<，},若AB ≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】{|1}m m ≤-【解析】由题意知A ≠∅，故设全集2{|(4)4(26)0}{|1U m m m m m =--+≥=≤-或1.5}m ≥假设A B =∅，则有：040260m m ∆≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，解得32m ≥，若AB ≠∅，则集合{| 1.5}m m ≥在U 中补集{|1}m m ≤-即为所求.难点2：新定义集合问题新定义题型是近几年高考命题中经常出现的一种命题方式，考查考生阅读、迁移能力和继续学习的潜能．当题目的条件中提供一种信息，需要解题者很好地把握这种信息，并恰当地译成常见数学模型，然后按通常数学模型的求解方法去解决．这种信息常常用定义的方式给出，有时规定一种运算，有时把一些未学过的知识内容拿来用定义方式给出．因此，解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算.以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等． 【考向一】定义新运算 【例题】【2017江西省新余市第一高三调研】设,A B 是非空集合, 定义{}|,A B x x A x B =∈∉且,已知{}2|20,|A x x xB x y ⎧=--≤==⎨⎩,则A B =（ ）A ．∅B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．(]1,2 【答案】C【解析】由题意可知()R A B AB Θ=ð，A=-1,2],B=(,1)-∞,故[1,)R B =+∞ð，所以()[1,2].R A B A B Θ==ð【考向二】定义新概念 【例题】【2017四川省成都市高三摸底】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝N B ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q【答案】D（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解. 【趁热打铁】1．【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学（文）】已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，则=N M （ ）A.]1,1[-B.),0[+∞C.)1,0(D.]1,0[2．【2016届高三（亮剑快乐考生）三轮冲刺猜题（三）】已知集合{|21,}x A y y x R ==-∈，2{|20}B x x x =--<，则（ ）A ．1A -∈B BC ．()R AC B A =D ．A B A =3．【2017届湖南长沙长郡高三上第三次月考模拟文数试卷】若集合},2|{R x y y A x ∈==，},|{2R x x y y B ∈==，则=B A （ ）A ．AB B ．B AC ．B A =D ．∅=B A4．【2017届江西抚州七校高三上期联考理数试卷】若集合{}|6M x N x =∈<，{}2|11180N x x x =-+<，则MN 等于（ ）A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,55．【2017届河北武邑高三周考8.28数学（理）试卷】已知:2sin f x x →是集合[]()0,2A A π⊆到集合B 的一个映射，若10,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A 中的元素个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．【2016届广东省华南师大附中高三5月测试理科数学】非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，G b ∈，都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈，使得对一切G a ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数，⊕为整数的加法；②{}G =偶数，⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量，⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式，⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数，⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 7．【2016届浙江省温州市十校联合体高三上学期期初联考】设集合{}1,2,3,,n S n =，若Z是n S 的子集，把Z 中的所有数的和称为Z 的“容量”（规定空集的容量为0）．若Z 的容量为奇（偶）数，则称Z 为n S 的奇（偶）子集． 命题①：n S 的奇子集与偶子集个数相等；命题②：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等 则下列说法正确的是（ ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立8．【2016届上海市七宝高三模拟考试数学】已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则MN =_____．9．【2017届湖北襄阳一中高三10月月考数学】已知集合(){}(){}222,y |,,1,,|,,41A x x y R x y B x y x y R y x =∈+==∈=-，则A B 的元素个数是____________．10．【2017届江西玉山县一中高三上月考二数学】已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x .（1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值范围.。
高三数学第一轮复习(1)—集合和简易逻辑
高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑第I 卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，若}6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M ，则N －M 等于（ ） A ．M B ．N C ．{1，4，5} D ．{6}2、全集U ={x ∈N |1≤x ≤9},A ={1,3,5,7,8}，则满足A ∩B ={1，3，5，7}的集合B 的个数为A . 1B . 4C . 15D . 16 （ ） 3、下列四组条件中，p 是q 的充分非必要条件是 （ ）A . p ：x ≠0，q ：xy ≠0B . p ：a >b ，q ：ba 11< C . p ：a =b ，q ：a ＋b =2ab D . p ：⎩⎨⎧<<<<1010b a ，q ：⎩⎨⎧<-<-<+<1120b a b a4、命题“M ∩N =M 则M ⊆N ”的否命题是 （ ）A . 如果M ⊆N 则M ∩N =MB . 如果M ⊆N 则M ∩N ≠MC . 如果M ∩N ≠M 则M ⊄ND . 如果M ∩N ≠M 则N ⊆M5、若非空集S ⊆{1,2,3,4,5},且若a ∈S,必有(6－a)∈S,则所有满足上述条件的集合S 共有 A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9 个 （ ）6、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（ ） A ．“若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等” B ．“若△ABC 任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形” C ．“若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形”D ．“若△ABC 任何两个角相等，则它是等腰三角形” 7、（05年高考天津卷）给出下列三个命题： ① 若1->≥b a ,则bba a +≥+11； ② 若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-； ③ 设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切；其中假命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38、两个集合A 与B 之差记作“/A B ”定义为：/{|,}A B x x A x B =∈∉，如果集合2{|log 1,}A x x x R =<∈，集合{||2|1,}B x x x R =-<∈，那么/A B 等于 （ ）A.{|1}x x ≤B. {|3}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|01}x x <≤ 9、已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为 （ ）① (0,]2M N P π=； ② [0,)MN P π=；③ ()[0,]2MN P π=； ④ ()(0,)2MN P π=.A. 4B. 3C. 2D. 1 10、（06年江西）若0,0a b >>，则不等式1b a x-<<等价于 （ ）A. 10x b -<<或10x a <<B. 11x a b-<<C. 1x a <-或1x b >D. 1x b <-或1x a>11、（06年山东）设1232,()log (1),x e f x x -⎧=⎨-⎩ 2.2.x x <≥，则不等式()2f x >的解集为（ ） A. (1,2)(3,)+∞B. )+∞C. (1,2)(10,)+∞D. (1,2)12、(06年湖北) 有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题： ① AB =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；② A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤； ③ A B ⊄的充分条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =.其中真命题的序号是 （ ）A. ③、④B. ①、②C. ①、④D. ②、③高三数学第一轮复习（1）—集合和简易逻辑姓名： 得分：第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上）13、设集合A= {x |x 2+x －6=0}，B={x |m x +1= 0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是___ ____. 14、已知{}1(,)|3,(,)|31y A x y B x y y kx x -⎧⎫====+⎨⎬+⎩⎭，全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈。
高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合
数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一．集合的概念：集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类：根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 4、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *二．集合的表示法：1.列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；2.描述法：例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 3.韦恩图： 4.区间法：三．集合间的基本关系：1.元素与集合的关系，用∈或∉表示；属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
高考数学第一轮复习 集合与简易逻辑
XX年高考数学第一轮复习集合与简易逻辑
一、集合的概念与运算
知识梳理
1.集合的有关概念
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
（1）元素与集合：“∈”或“ ”.
（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
3.集合的运算
（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，
叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}. （2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，
叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}. （3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S
中的补集（或余集），记为 S A，即S A={x|x∈S且x A}.
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1.集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，那么集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}
B.{x|x＞3}
C.{x|－1＜x＜2}
D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1
＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
2.集合A={x∈R|x＜5－ }，B={1，2，3，4}，那么（ RA）∩B等于
A.{1，2，3，4}
B.{2，3，4}
C.{3，4}
D.{4}
解析：RA={x∈R|x≥5－ }，而5－∈（3，4），∴（ RA）∩B={4}.。
高考数学一轮复习专题集合与简易逻辑
集合与简易逻辑考点一:集合(一) 知识清单1. 集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言 符号语言属于 不属于4.常见集合的符号表示 数集 自然数集正整数集整数集 有理数集实数集复数集符号*N 或+N2： 集合间的基本关系关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔子集A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB （φ≠B ）若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2－1, 所有非空真子集的个数是22-n3：集合的基本运算1.两个集合的交集:A B I= {}x x A x B ∈∈且;2.两个集合的并集: A B U ={}x x A x B ∈∈或; 3.设全集是U,集合A U ⊆,则U C A ={}x x U x A ∈∉且4：方法指导1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.(二) 典型例题分析题型一：集合的概念 例1、已知全集UR =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 变式:下面四个命题正确的是( )（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2} （C ）0与{0}表示同一个集合（D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} 题型二：集合的性质 例2、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 例3、例3.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}例4、已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由 题型三：集合的运算 例5、 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I( )A.}{1,5,7B.}{3,5,7C.}{1,3,9 D.}{1,2,3变式：1. 若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭≥，则R C A =( )A.(]2,0(,)-∞⋃+∞B.2(,)+∞C.(]2,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎪⎣⎭D.2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ 2. 设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）A.P QB.Q PC.P=QD.P ∩Q=Q3.若{Un n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是3的倍数}，则()U A B =U ð ．4.若{}3A x Rx =∈<，{}21x B x R =∈>，则A B =I ．5.已知集合{1,1}M =-，11{|24,}2x Nx x Z +=<<∈，则M N =I ( ). A. {1,1}- B. {0} C. {1}- D. {1,0}- 6．设集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B =I 例6、 已知函数1()2x f x x +=-A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B （1）求集合A 、B（2）若A U B=B,求实数a 的取值范围． 题型四：图解法解集合问题例7、已知集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y ，则=N M I （ ） A ．∅B ．)}0,2(),0,3{(C ．]3,3[-D ．{}2,3变式1.已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B I 的元素个数为（ ）.A.4B.3C.2D.1变式2. 设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例8、设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。
【复习方案】高考数学一轮复习 第1单元 集合与简易逻辑课件 文 大纲
第一单元 │ 知识框架 知识框架
第一单元 │ 考纲要求
考纲要求
【考试内容】 集合.子集.补集.交集.并集. 逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.
第一单元 │ 考纲要求
考纲要求
【考试要求】 (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解 空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义. 掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单 的集合. (2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及 充要条件的意义.
第一单元 │ 复习策略
复习策略
本单元是整个高中阶段的起始内容，集合语言和充要条 件贯穿高中数学之中，是基本数学语言和重要解题工具.集合 在高考中以考查集合的概念，元素与集合、集合与集合之间 的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合 的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件，以充要条件 为重点考查内容.在高考中，本单元有1～2道题，分值5～10 分，题型为选择题或填空题，难度中低等.预计在2012年的高 考中，这种命题模式将会继续保持不变.
第1讲 │ 编读互动
建议教学时主要是帮助学生理清概念，尤其是对描述法 的理解．在集合的运算教学中，要渗透数形结合的思想．本 讲在例题部分，由浅入深，循序渐进设计五个例题，在能力 提升中，加强了集合中创新题型的训练．
第1讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.集合的基本概念与集合间的关系
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性 、无序性.
(2集合的分类：按所含元素个数分为 空有集限. 集 无限集
、
、
(3)集合的表示方法：
、
、图示法.
列举法 描述法
高考第一轮复习集合与简易逻辑
(2)任何集合都是它本身的子集，即 A A.
(3)子集、真子集都有传递性，即若A B,B C,则A C;若A B
B C,则A C.
(4)n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有
2n-2个.
3. 集合的基本运算
符号表示
集合的并集 A∪B
集合的交集 A∩B
集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为CUA
2. 高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对 四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断； 三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况.命 题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、 立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为 主打题型，预计2011年这里出解答题的可能性不大.
2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化.
3. “数形结合”思想方法 对集合中较抽象或较复杂的问题，首先认清集合特征，准确地转化为 图形关系，借助图形能够使问题得到直观、具体的解决， 因此特别要 注重数形结合思想方法的运用.如：数轴、几何图形、Venn图等.
范围.
解析：A={x|a-2≤x≤a+2},B=x|x≥2或x≤
-5
2
∵ A B ,∴A∩B=A,如图所示.
∴a+2≤ - 或5 a-2≥2,∴a≤ 2
或- a9≥4.
2
题型三集合的运算
【例3】已知全集I=R,A={x|x2＞4},
B
{x
|
x3 x 1
x2x1},求(CRA)∩(CRB).
分析解决本题的关键：
图形表示
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第一章――集合与简易逻辑
一、本章知识结构：
二、考点回顾
1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；
3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；
4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；
5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；
6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
三、经典例题剖析
考点1、集合的概念
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
（2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
（3）集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。
③文氏图法（韦恩图法）注：列举法最好不用于表示无限集
2、两类关系：
∈或∉表示；
（1）元素与集合的关系，用
（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，
称A是B的真子集。
3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论
常见结论：
一．1.∅⊆ A 特别地∅⊆∅ 2. A⊆A 3.传递性：A⊆B B⊆C 则A⊆C 二．1.A≠⊂B , B≠⊂C, 则A≠⊂C 2.若A≠∅，则∅≠⊂A（但∅≠⊂∅错误）
三．若集合A中有N个（N属于N+）则A的子集有2∧N个，真子集2∧N-1个，非空真子集为2∧N-2个
四．1.∅∈｛∅｝或者∅⊆｛∅｝是正确的。
2.｛0｝∈｛｛0｝｝或者｛0｝,⊄
Ø｛｛0｝｝
是对的。
考点2、集合的运算
1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；
2、运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），
C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。
3、学会画Venn图，并会用Venn图来解决问题。
考点3、逻辑联结词与四种命题
1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
2、复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
3、复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。
对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
4、四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q 则p“，逆否命题为”若非q则非p“。
其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。
因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
考点4、充分条件与必要条件
1、定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
2、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又
不必要条件。
从集合角度看，若记满足条件p 的所有对象组成集合A ，满足条件q 的所有对象组成集合q ，则当A ⊆B 时，p 是q 的充分条件。
B ⊆A 时，p 是q 的充分条件。
A=B 时，p 是q 的充要条件；
3、当p 和q 互为充要时，体现了命题等价转换的思想。
4、.要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假
5、要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等
6、.数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质
7、从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B
互为充要条件
8、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
命题点一 集合与集合之间的关系
1.（2010浙江理数）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2
x <4｝，则 （A ）p Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R
p Q C ⊆
（D ）
R Q P C ⊆
2.（2010江西理数）2.若集合{}
A=|1x x x R ≤∈，，{}
2
B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）
A. {}|11x x -≤≤
B. {}|0x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D. ∅ 3.课时作业（一） 6.
命题点二 集合的运算与含参
4.已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2
m }．若B ⊆A ，则实数m ＝ ．
5课时作业（一）12. 6.课时作业（一）14
命题点三 元素与集合之间的关系 命题点四 集合个数及与元素个数问题
7. （2010湖北理数）2．设集合()22
{,|
1}416
x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8.课时作业（一）8.
命题点五 有关集合的信息应用题，以及综合性题
9.（2010湖北文数）10.记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x }，最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤）,定义它的倾斜度为
max{,,}min{,,},a b c a b c
t b c a b c a
=•
则“t=1”是“ABC ∆为等边三解形”的
A,充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
10.课时作业（一）第9题
命题点六 简易逻辑
11.已知命题:p 方程2
10x mx ++=有两个不相等的负数根；:q 方程
244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范
围．
12.（2008安徽卷）0a <是方程2
210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
13.课时作业（一）10 14.课时作业（一）14。