武汉部分重点中学07-08学年高一期末-数学
湖北省部分重点中学0708学年度下学期期末联考试卷
湖北省部分重点中学07—08学年度下学期期末联考试卷高二语文命题人：武汉一中高一语文备课组审题教师：陈绪国张惠考试时间：6月25日上午 7：30—10：00本试卷第一、二、三大题为选择题，第四、五、六大题为非选择题。
全卷共8页。
满分150分。
考试用时150分钟。
一、（15分，每小题3分）1.下列加点字注音有两个错误的一项是（）A．盛筵． yàn 幢．chuáng节弱冠．guàn 沐猴而冠．guànB．咂．zhā摸绊．pàn倒伺．sì候伺．sì机而动C．偌．ruò大忤．hǔ逆风靡．mí靡．mǐ计不施D．栉．jié比刽．kuài子手挣揣． chuāi 揣．chuǎi度心思2．下列书写完全正确的一项是（）A．厄运瓦砾吞噬不惶顾及B．冗繁缔视敲诈卑鄙无赖C．惭祚蓬蒿罪愆前合后偃D．裨益谂知辛酸湛湛青天3．将下列词语依次填入各句横线处，最恰当的一组是（）①这些花城园艺工人培育的花卉，一定能为汶川人民带来无限的关爱与温暖。
②近期，联合国粮农组织及世界银行等机构的专家对今后国际粮油价格的作出了预测。
③保健医生建议大家，在节日期间尽量做到心情，轻松度假，并且还为大家献上了一份健康套餐。
④“同一个世界，同一个梦想”“四城同创，我知晓，我参与，我奉献”等巨幅标语在武汉的广场、街头_______在目。
A．经心态势弛缓显然B．精心走势弛缓赫然C．精心态势迟缓显然D．经心走势迟缓赫然4．下列各句中，加点的熟语使用恰当的一项是（）A. 废墟下的“红领巾”虽然伤势严重，但是她玲珑剔透．．．．，大家非常喜欢她。
B.由于太平洋暖流的影响，去年春天来得早，春节刚过，北海公园就涣然冰释．．．．，让喜欢滑冰的人大失所望。
C．我国《物权法》在经历13年的争论和立法机构高层人士空前绝后．．．．的7次审读之后，最终于今年3月份获得通过。
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．4cos10a °B ．2cos10a °．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为二、多选题9．已知复数1z ，2z ，3z 是方程310z -=的三个解，则下列说法正确的是（ ）．A ．1231z z z ++=B ．1231z z z =C ．1z ，2z ，3z 中有一对共轭复数D ．1223311z z z z z z ++=-10．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记录这n 次实验的结果，设事件M ＝“n 次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N ＝“n 次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．四、解答题17．某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，设球的半径为R，则tan30OAAB==°3tan10RBC AC AB R a =-=-=°，12．ACD【分析】由已知利用棱锥的结构特征棱锥体积判断C；由线面角的定义求出大小【详解】由题意知2,3==，AC BC由此求l 的取值范围.【详解】以SA 为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如下：则从从点A 到点B 的最短路径为线段A B ¢，在A B ¢上任取一点P ，连接SP ，则SP 的长表示点P 到山顶的距离，若1A B S ¢Ð为直角，观察可得当点P 从点A 向点1B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达1B 的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，若2A B S ¢Ð为钝角，观察可得当点P 从点A 向点2B 运动时，SP 的长逐渐变小，即从A 出发沿着这条公路到达2B 的过程中，一直在上坡，与条件矛盾，则10000.52520´=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖18．(1)0.65(2)0.105【分析】（1）甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得两个事件的概率再求和即可；（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公式即可求解．【详解】（1）甲第一关没通过的概率为10.70.3-=，第一关通过且第二关没通过的概率为0.7(10.5)0.35´-=，故甲没有得奖的概率0.30.350.65P=+=．（2）记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件E，通过了第二关且最后获得一等奖为事件F，则()0.5(10.3)0.35P E=´-=，()0.50.30.15P F=´=，Q甲和乙最后所得奖金总和为700元，\甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为10.350.150.0525P=´=，若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为20.350.150.0525P=´=，\甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率120.05250.05250.105P P P=+=+=．。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
2023-2024学年湖北省武汉市高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖北省武汉市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，则Z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是()A.这组数据的平均数为7B.这组数据的众数为7C.这组数据的中位数为7D.这组数据的方差为73.设m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题为真命题的是()A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则4.下列结论正确的是()A.平行向量不一定是共线向量B.单位向量都相等C.两个单位向量之和不可能是单位向量D.5.某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图图、“90后”从事快递行业岗位分布条形图图，则下列结论中错误的是()A.快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的C.快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D.快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则()A. B. C. D.8.已知矩形ABCD，，，将沿BD折起到若点在平面BCD上的射影落在的内部不包括边界，则四面体的体积的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.武汉某中学为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是()A.B.该样本数据的中位数和众数均为85C.若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D.为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人10.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.已知m ，，i 是关于x 的方程的一个根，则D.若复数z 满足，则的最大值为11.在锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则下列结论正确的有()A.B.B 的取值范围为C.的取值范围为D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2007-2008学年湖北黄冈中学第二学期高一年级期末考试理0001
2007-2008学年度湖北省黄冈中学第二学期高一期末考试数学(理)试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.4 『丁\ 31. 若sin ' =—,sin ，则v角的终边在( ) * ' 5 12 丿5A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限斗■ 4 4 呻彳*2. 若a =(1,2), b=(4, k), c=0，则(ab)c= ( )C. 4 2kD. 8 k3•已知a,b为非零实数，且a b，则下列不等式一定成立的是( ) A . a2 b2B. 1::1C. |a | |b| D. 2a- 2ba b4 .若向量a与b不共线，a b = 0，且c = a -(a a )b，则向量a与c的夹角为( )a bn n nA .B .C .D . 02 6 35.若a > 0,b > 0,且a，b=2，则下列不等式一定成立的是( )A . 、、ab < —B . . ab > -C . a2 b2< 2D . a2 b2> 22 26.函数y =2sin「xcos「x C ■ • 0)的最小正周期为二，则函数一个单调增区间是n (x)二2sin( x 孑)的3K［二弓7.已知函数f(x)=tan(2x-b二)的图象的一个对称中心为解析式为兀D . [°,H 1(,0)，若|b| ，则f (x)的3 2( )兀JTA . tan(2x —)JI JI C . tan(2x )或tan(2x )TtB .删气)3T J[D . tan(2x )或tan (2x )6 3&已知偶函数f (x)满足：f (x^ f (x 2)，且当x • ［0,1］时，f (x) = sin x，其图象与1 —直线y = 2在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P, FMli ，则PP F2R 等于()A . 2B . 4C . 8D . 169•设 m,x R,M =x 2 2mx 2m 2,N =x -2，则 M , N 的关系为()二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.T11.在平行四边形 ABCD 中，若AB=(2,4) , AC =(1,3)，则AD = __________ .(用坐标表示)12 .已知三点A(1,2),B(2, -1),C(2,2) , E,F 为线段BC 的三等分点，则取值范围是 __________ .14.已知关于x 的方程sinx • cosx = a 与tanx ■ cotx = a 的解集都是空集，则实数 a 的取 值范围是 _____________ .15 .已知实数a 、b 、c 满足条件ab bc c^ 1，给出下列不等式： ① a 2b 2 b 2c 2 c 2a 2 > 1 :②-1 >2 3 ;abc1③(a b c)2 2 ；④ a 2bc ab 2c abc 2 <3其中一定成立的式子有 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步216.(本小题满分 12分)解关于x 的不等式：log a (x -4x 3p ：： log a^x 1),(a 0,且(I)若点A, B,C 能构成三角形，求 x,y 满足的条件;10 .设S 是 ABC 的面积，代B,C 的对边分别为 a, b, c , 且 2Ssin A ■ (BA BC)sin B ,A . =ABC 是钝角三角形B . .ABC 是锐角三角形 C . ABC 可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形D .无法判断AE AF =13 .若函数 f (x)=x x 22(a 2)x 3a(x > 1)能用均值不等式求最大值,则需要补充a 的17.(本小题满分12分)已知向量 OA = (3, -4), OB = (6, —3),OC = (5 - x, -3 - y).(n)若:ABC 为等腰直角三角形，且.B 为直角，求x,y 的值.418.(本小题满分 12分)若将函数f(x)=si nx 的图象按向量a =(-二，-3)平移后得到函 数g(x)的图象.(I)求函数g(x)的解析式；1(n)求函数F(x)=f(x)-臥的最小值.19.(本小题满分12分)在△ ABC 中，cosA 二土1717(I)求角C 的大小;(n)若 △ ABC 最大边的边长为,17，求最小边的边长.20.(本小题满分13分)“ 5 12 ”汶川大地震中，受灾面积大, 都会选择一个合理的位置， 使伤员能在最短的时间内得到救治。
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题(含答案)
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学质量检测试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）3i z =+1i z =+A ．B ．C ．D ．42i -42i+2i -2i+2．当时，曲线与直线的交点个数为（ ）()0,2πx ∈2cos y x =+13y x=A ．2B ．3C ．4D ．53．已知，，则在上的投影向量为（ ）()2,0a =()1,1b =a b A ．B ．C ．D ．()2,1()1,1()2,1()2,24．已知，，则下列说法正确的是（ ）1z 2z ∈C A ．若，，则B ．若，则3z ∈C 1323z z z z =12z z =12z z =12=z z C ．若，则D ．1212z z z z +=-120z z ⋅=1212z z z z +=-5．如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，P A x B y x T S 根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列tan x AT =cot y x =1cot tan x x =表示正确的是（ ）A ．B ．cot x OT =cot 6．已知单位向量，互相垂直，若存在实数a b则（ ）t =A ．B ．122-±1-1C ．该校高一年级男生身高的极差介于至之间15cm 25cmD ．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间170cm 175cm 10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，其提供阻力的运动过程可近似为单摆运动．若某阻尼器离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位：）满足函数y m x s 关系：（，，），某同学通过“五点法”计算了一个周期内()sin y A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的部分数据如下（其中，，，为未知数），则下列有关函数的描述正确的是a b c d ()y f x =（ ）x ωϕ+0π2π3π22πx a43b103d()f x 03cA ．函数的图象关于点对称()f x 16,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到()f x sin y A x ω=13C ．函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4()f x D ．函数的图象与函数的图象重合()f x ππ3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．在棱长为2的正方体中，是的中点，下列说法正确的是（ ）1111ABCD A B C D -Q 1CC A ．若是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值P 1AC P BQD -B ．三棱锥外接球的半径为1A BQD -666C ．若与平面，平面，平面所成的角分别为（），则AQ AC 1AD 1AB i θ1,2,3i =321cos 2ii θ==∑D ．若平面与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则ABQ ()1,,6i i θ= 612sin 4ii θ==∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则．()tan 1αβ+=()tan 2αβ-=tan 2α=(1)若为线段的中点，求证：E BP (2)求二面角的余弦值C AB P --18．某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖M BC(1)若点在线段上（不包括端点）范围；M AC(2)若点在线段上，求M BA(3)若点在线段上，作为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数()y f x a b =+-()y V x =0x 在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理()y V x =()00,x 0x由．3．B【分析】根据投影向量的定义及向量的坐标运算求解．【详解】由已知，2b =a选项D ，取，则，，D 错；1212i,z 12i z =+=-122z z +=12(12i)(12i)4i z z -=--+=-故选：B ．5．D【分析】利用三角形相似，即可求解.【详解】由图象可知，，OBS TAO 则，即，OB BSAT OA =1BS AT OB OA ⋅=⋅=所以.11cot tan BS xAT x ===故选：D 6．D【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.【详解】因为()()()()()222111111a t b t a b t a t a b t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-+=-+-+⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，1122t t t =-+-=-，，()()()()221111a t b a t bt +-=+-=+-()()()()221111t a b t a bt -+=-+=+-又与的夹角为，()1a t b +- ()1t a b-+ 60所以，即，()22211cos 60t t ⎡⎤-=+-⎣⎦ ()24411t t -=+-解得.13t =-±故选：D.7．A【分析】利用两角和与差的余弦公式，正弦的二倍角公式及诱导公式变形可得．【详解】1cos 20cos 40cos 20(cos 60cos 40)cos 202︒-︒︒=︒-︒︒[cos(5010)cos(4010)]cos 20=︒+︒-︒-︒︒(cos50cos10sin 50sin10cos50cos10sin 50sin10)cos 20=︒︒-︒︒-︒︒-︒︒︒2sin 50sin10cos 20=-︒︒︒2cos 20cos 40cos80=-︒︒︒2sin 20cos 20cos 40cos80sin 20-︒︒︒=︒．2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin1602sin 204sin 204sin 20-︒︒︒-︒︒-︒===︒︒︒sin 2014sin 204-︒==-︒故选：A ．8．C【分析】根据对称性，周期性，最值举例说明ABD 错误，解方程判断C 正确．【详解】选项A ，，，ππ()sin()sin(π)122f -=-+-=-πππ()sin sin π1()222f f =+=≠-即不可能恒成立，A 错；()()f x f x -=选项B ，，()()πsin π)+sin(2+2πsin sin 2f x x x x x+=+=-+即不可能恒成立，B 错；(π)()f x f x +=选项C ，，()sin 2sin cos sin (12cos )f x x x x x x =+=+由得或，()0f x =sin 0x =1cos 2x =-，则由得，由得，[π,π]x ∈-sin 0x =π,0,πx =-1cos 2x =-2π2π,33x =-即在上有5个不同的实根，C 正确；()0f x =[]π,π-选项D ，，D 错．πππ2()sin sin 124422f =+=+>故选：C ．9．AC【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A （利用频数），再由众数定义判断B ，由极差定义判断C ，求出身高期望值判断D ．【详解】选项A ，由统计表，身高小于170的频数为360，身高不小于170的频数为cm cm 340，因此身高的中位数小于170，A 正确；cm 选项B ，由统计表身高的众数在区间上，结合选项A 的判断知B 错误；[)170,175选项C ，由统计表，身高的极差最大为，最小为，C 正确；18015525cm -=17516015cm -=选项D ，身高的平均值为，D 错．601575120162518016752401725100177516893cm60120180240100......⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈++++故选：AC ．10．BC【分析】根据五点法求出的解析式，然后结合正弦函数的性质，诱导公式判断各选项．()f x 【详解】由五点法知，从而，，由正弦函数性质知，41073323b +==13a =133d =3c =-，，，，3A =2ππ131233ω==-π1023ϕ⨯+=π6ϕ=-所以，ππ()3sin()26f x x =-选项A ，，A 错；16π16π()3sin()33236f =⨯-=选项B ，，其图象可由的图象向右平移πππ1()3sin()3sin ()2623f x x x =-=-π3sin 2y x=个单位得到，B 正确；13选项C ，函数的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为，C()f x 22104()(23)433-+=正确；选项D ，，D 错．πππππππ()3sin()3sin()3cos()2623223f x x x x =-=+-=-+故选：BC ．11．ACD【分析】对于A ，连接交于点，连接，可证得∥平面，进而进行判断，AC BD O OQ 1AC BDQ 对于B ，根据线面垂直的判定定理可证得平面，设为等边三角形的外心，OQ ⊥1A BDG 1A BD过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，然后求解，对于G 1A BD 1A BQD -C ，取的中点，连接，可得与平面，平面，平面11,DD BB ,M N ,,,AM AN MQ NQ AQ AC 1AD 所成的角分别，然后求它们的余弦值即可，对于D ，由题意可得1AB ,,QAC QAM QAN ∠∠∠平面平面，平面平面，为二角面的平面ABQM ⊥11BCC B ABQM ⊥11ADD A QBC∠Q AB C --角，为二面角的平面角，然后求出它们的正弦值判断.1QBB ∠1Q AB B --【详解】对于A ，连接交于点，连接，AC BD O OQ 因为四边形为正方形，所以为的中点，ABCD O AC 因为是的中点，所以∥，Q 1CC OQ 1AC 因为平面，平面，所以∥平面，1AC ⊄BDQ OQ ⊂BDQ 1AC BDQ 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值，P 1AC P BDQ对于B ，因为平面，平面，所以1CC ⊥ABCD BD ⊂ABCD 因为，，平面，AC BD ⊥1AC CC C = 1,AC CC ⊂1ACC 所以平面，因为平面，所以BD ⊥1ACC 1AC ⊂1ACC BD ⊥A B AC ⊥对于D ，因为∥，MQ CD AB 因为平面，AB ⊥11BCC B AB 所以平面平面ABQM ⊥BCC AB ⊥BCC B BQ故选：ACD关键点点睛：此题考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是根据正方体的性质结合线面角和面面角的定义找出线面角和面面角，考查空间想象能力和计算能力，属于难题.12．3-时，由定义知，，x m ={}[]m m m ==()()0f x g x ==时，，，，12m x m <≤+{}[]x m x ==()f x m x =-()()g x x m f x =-≠时，，，，，112m x m +<<+{}1x m =+[]x m =()f x m x =-()(1)()g x x m f x =-+≠所以（），i x i =0,1,2,,2024i =⋅⋅⋅()()1202412024111012202410122025202520252n i i x =⋅+=+++⋅⋅⋅+=⋅=∑由偶函数对称性可知，．112101220242025ni i x ==⨯=∑故2024.方法点睛：本题考查函数新定义，关键是正确理解新定义并进行转化应用，解题方法是根据新定义对的值进行分类讨论，从而确定函数值并判断是否有．x ()()f x g x =15．(1)π2B =(2)16【分析】（1）利用两你用和与差的正弦公式对已知等式变形可求得角；B （2）由面积建立的关系，利用基本不等式求得的最小值，得面积最小值．也可用,,a b c b 角表示出边，然后利用正弦函数性质得面积的最小值．A ,a c 【详解】（1）因为，()πsin cos 2cos sin 3B C C B C ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭所以．13sin cos sin cos cos 2cos sin cos 22B C C B C B C C ⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭．sin cos sin cos cos sin cos 3cos cos B C C B C C B B C +-=+．因为最大，所以，()sin 1cos 3cos cos B C B C-=b cos 0C ≠从而，sin 13cos B B -=即，所以，即或（舍）sin 3cos 1B B -=π1sin 32B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ36B -=π5π36B -=从而．π2B =（2）法一：设面积为，，ABC S 1422S b b=⨯⨯=因为，所以，又，所以，π2B =222b a c =+12S ac=4b ac =所以，22222422161664a c a c b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=所以，8b ≥当且仅当时取等号，所以，面积的最小值为16．a c =216S b =≥ABC 法二：由边上的高为4，可得，即，AC 4sin A c =4sin c A =同理，444πsin cos sin 2a C AA ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，116161622sin cos sin 2ABC S ac A A A ===≥△当且仅当即时取等号．π4A =a c =面积的最小值为16．ABC 16．(1)最大值，最小值，单调递增区间为，．2222-3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2)或．22a =-22a =【分析】（1）由三角公式化简函数为形式，然后根据正弦函数的性质求()sin()f x A x ωϕ=+解；（2）方程化为或，求得在上有三个根，因此在()2f x =()f x a=()2f x =[]0,π()f x a =上有且仅有一个不同于的实数根，从而根据正弦函数性质可得结论．[]0,ππ0,,π4x =【详解】（1）由题意，()()31cos 21cos 22sin 2122x x f x x +-=-+-化简得，()()π2sin 2cos 222sin 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当，时，ππ22π42x k +=+Z k ∈即，，取得最大值；ππ8x k =+Z k ∈()f x 22当，时，ππ22π42x k +=-Z k ∈，，CD AP ∴⊥CD BP ⊥又，为中点.CA CP =D ∴AP 又为中点，E BP DE AB ∴∥又，，AB BP ⊥BP DE ∴⊥，平面，平面.CD DE D = ,CD DE ⊂CDE BP ∴⊥CDE （2）作于，连接，DF AB ⊥F CF 平面，平面，则，CD ⊥ PAB AB ⊂PAB CD AB ⊥又因为，平面，CD DF D ⋂=,CD DF ⊂CDF 平面，而平面，.AB ∴⊥CDF CF ⊂CDF AB CF ∴⊥又，为的中点，所以，CB CP CA == ,D F ∴,AP AB DF PB ∥又，.BP AB ⊥DF AB ∴⊥则即为二面角的平面角.CFD ∠C AB P --在中，.Rt CDF △cos DF CFD CF ∠=设，，则.CB CA a ==AC CB ⊥1222CF AB a ==因为，在中，，12BP AP =Rt ABP ()()222222BP BP AB a -==则，，.63BP a =1626DF BP a ==636cos 322aCFD a∠==18．(1)0.016m =(2)不正确(3)78.26【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【详解】（1）根据频率和为1，可知，()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=可得.0.016m =（2）由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为，()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=所以85%分位数位于内，[)230,240从而85%分位数为.0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-所以小明的估计不正确.（3）由题意，A 区的样本数为，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1x 2x L 40x x B 区的样本数，样本记为，，，，平均数记为；1000.440⨯=1y 2y L 40y y C 区样本数为，样本记为，，，，平均数记为.1000.220⨯=1z 2z L 20z z 记抽取的样本均值为，.ω0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=设该市第二档用户的月均用电量方差为，则根据方差定义，总体样本方差为2s ()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为，所以，()401ii x x =-=∑()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑同理，()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑，()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯由，得BMG BCA △∽△2x21123x B G =+1cos B MG ∠显然，设1//A M AB 'AM '=从而112A E A M M E ''''=+=在中，1Rt A E C ' 21A E E '+化简得，解得231628a +=关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键。
2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷(含答案)
2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高一期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(1−z)i=2，则复数z的虚部为( )A. −iB. −1C. 2iD. 22.已知向量a与b的夹角为30∘，|a|=3，|b|=2，则|a−b|=( )A. 1B. 2−3C. 2+3D. 133.已知一组数据8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的25%分位数是( )A. 3.5B. 4C. 4.5D. 54.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为x i(i=1,2,3,4,5)，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为y i(i=1,2,3,4)，平均数为y，下面说法正确的是( )A. 新数据的极差不可能等于原数据的极差B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数C. 若x=y，则新数据的方差一定小于原数据方差D. 若x=y，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为20cm.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如图)，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共1000人，需要准备的粘土量(不计损耗)约为( ) (参考数据：π≈3.14)A. 1.3m 3B. 1.5m 3C. 1.8m 3D. 2.2m 36.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α，l⊄β，则( )A. α//β，l//αB. α⊥β，l ⊥βC. α与β相交，且交线平行于lD. α与β相交，且交线垂直于l7.如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AC ⊥BC ，∠DAC =30∘，∠BAC =45∘现将△ACD 沿AC 折起，并连接BD ，使得平面ACD ⊥平面ABC ，若所得三棱锥D−ABC 的外接球的表面积为8π，则三棱锥D−ABC 的体积为( )A. 14B.34C.38D.338.已知棱长为4的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1，点E 是棱AB 的中点，点F 是棱CC 1的中点，动点P 在正方形AA 1D 1D(包括边界)内运动，且PB 1//面DEF ，则PD 的长度范围为( )A. [ 13,19]B. [3355,25]C. [121717,25]D. [3395,19]二、多选题：本题共3小题，共15分。
2022-2023学年湖北省部分重点中学高一上学期期末联考数学试题(解析版)
湖北省部分重点中学高一上学期期末联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1. 函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. (0,)+∞D. ,1(1,)∞∞--⋃-+（）【答案】C 【解析】【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可. 【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义， 所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >， 所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞， 故选：C.2. 已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限. 【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限， 所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上， 所以角α终边位置在第二象限， 故选：B.3. 设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b<c<aD. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0 的关系，由正切函数性质分析c 与1和0 的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <， 故c b a <<， 故选：A.4. 函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A. ()01，B. ()12，C. ()23，D. ()34，【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案. 【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数， 当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，， 故选：B5. 奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（） A. 72-B.32 C.72D.552【答案】A 【解析】【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=， ()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+， ()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.6. 函数()πcos 2x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=的部分图像大致是（） A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.【详解】因为()πcos sin 2x x x f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭==,()()()sin sin x xf x f x x x--==-=--. 所以()f x 为奇函数,故AB 选项错;()0,,sin 0x x π∈>()0f x >,故D 选项错;故选:C .7. 已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（） A. 5[,4)2 B. 5[,)2+∞ C. 511[,)22 D. 5[,4]2【答案】A 【解析】【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围. 【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得：5[,4)2ω∈. 故选：A8. 已知函数f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤3x 2−8x +16,x >3，若方程()y f x m =-有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则341211()()x x x x ++=（）． A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B 【解析】【分析】作出f (x )图像，由图可知方程()y f x m =-的4个不同的零点为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 图像的四个交点的横坐标，由图可知，1212x x x x =+且3x 48x +=.【详解】作函数()f x =()22log 1,13816,3x x x x x ⎧-<⎪⎨-+>⎪⎩的图像如图，()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，可得3x 48x +=，且()()2122log 1log 1x x -=-，即为()()2122log 1log 10x x -+-=， 即有()()12111x x --=，即为1212x x x x =+， 可得()343412118x x x x x x ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的的0分.9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若0a b >>，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b <<D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解. 【详解】对于A ：当0c ，22ac bc =，故A 错误；对于B ：0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b时，则24a =，2ab =，21b =， 则22a ab b >>，故C 错误；对于D ：0a b <<，∴11a b>，故D 正确； 故选：BD.10. 下列说法正确的是（ ）A. 命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤.B. 2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C. 若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =D. 函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称 【答案】AD 【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2xy =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确； 对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2xy =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD11. 已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A. 函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B. 函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 C. 若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD. 函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】【分析】利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈ ，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为 22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A 正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B 不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确； 对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC【点睛】本题主要考查了利用三角函数对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题12. 已知函数123,12()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列说法正确的是（ ）A. 函数1()6y f x x =-有3个零点 B. 关于x 的方程*1()0(N )2n f x n -=∈有24n +个不同的解C. 对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立D. 当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当312x ≤≤时，()22f x x =-，当322x <≤时，()42f x x =-，当23x <≤时，则3122<≤x ，1()1222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当34x <≤时，则3222<≤x，1()2222⎛⎫==- ⎪⎝⎭x x f x f ，当46x <≤时，则232<≤x，11()2822x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当68x <≤时，则342<≤x，1()1282x x f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示，对于A ，由1()06f x x -=，得1()6f x x =，令16y x =，由图象可知16y x =与()y f x =的图象只有3个交点，所以函数1()6y f x x =-有3个零点，所以A 正确，对于B ，当1n =时，1()02f x -=，即1()2f x =，由图象可知12y =与()y f x =的图象只有3个交点，所以关于x 的方程1()02f x -=有3个不同的解，而当1n =时，246+=n ，所以B 错误，对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3()2≤f x x恒成立，由图可知函数()f x 的图象的每一个上顶点都在曲线32y x =上，所以3()2≤f x x恒成立，所以C 正确，对于D ，当1n =时，则[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为111122⨯⨯=，当2n =时，则[2,4]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1112222⨯⨯=，当3n =时，则[4,8]x ∈，此时函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为1114242⨯⨯=， ……，当1*[2,2](N )n n x n -∈∈时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形的面积为11111(22)222n n n --⨯-⨯=，所以D 正确， 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_____________． 【答案】12 【解析】 【分析】由于17633πππ-=-，进而结合诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：12.14. 已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示. 则函数()f x 的解析式为_________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【解析】【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ. 【详解】由图可知，2A =，313341234T πππ=-=， ∴T π=，2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得3πϕ=.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+.15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.【解析】【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧AB 与AB 所围成的弓形的面积为222113sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，所以该勒洛三角形的面积3934242S ππ⎛-=+⨯-= ⎝⎭.故答案为：92π-. 16. 函数())ln2f x x =是定义在R 上的奇函数，且关于x 的不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为________.【答案】[0,)+∞ 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性求解实数a ；再利用定义证明函数的单调性，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题，利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解即可. 【详解】函数()f x 的定义域为R ， 由函数()f x 为R 上的奇函数， 可得()()))()22ln2ln2ln 140f x f x x x ax x -+=+=+-=，即221414ax x a +-=⇒=， 则实数4a =； 所以())ln2f x x =，任取12,R x x ∈，设12x x <， 则()()))1212ln2ln2f x f x x x -=-=，2112142xx x +<，1<，则ln10<=，所以()()12f x f x <， 则函数()f x 为R 上增函数； 又函数()f x 为R 上的奇函数，所以不等式()()22sin cos 0f m m x f x -+≥恒成立，转化为()()()222sin cos cos f m m x f x f x -≥-=-，即22sin cos m m x x -≥-对x ∀∈R 恒成立， 所以2sin sin 210x m x m +--≤对x ∀∈R 恒成立，即()()222sin 42sin 3sin 132sin 42sin 2sin 2sin x x x m x x x x---+-≥==-+----，令2sin t x =-， 因1sin 1x -≤≤， 则12sin 3x ≤-≤， 即13t ≤≤，则332sin 4442sin x t x t-+-=+-≥-，当且仅当t =时取等号，由双勾函数的单调性知：t ⎡∈⎣，函数单调递减，t ⎤∈⎦，函数单调递增，当1t =时，340t t +-=，当3t =时，340t t+-=，所以342sin 402sin x x≤-+-≤-，所以0m ≥，故实数m 的取值范围为[)0,∞+. 故答案为：[)0,∞+.【点睛】关键点睛：本题考查函数奇偶性的定义，以及利用奇偶性，单调性解不等式恒成立问题，利用奇偶性和单调性将不等式恒成立问题转化为分离参数问题是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈. （1）求sin α的值；（2）求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【答案】（1）45-（2）14【解析】【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解； （2）由同角三角函数的关系即可求解. 【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α ∵3(,2)2παπ∈ ∴sin 0α<∴4sin 5α==-. 【小问2详解】原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅ 又∵sin tan s 43co ααα==- ∴原式4113443-==-18. 某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ． 【解析】【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x=，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．19. 设函数()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）π，37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）最大值为1；最小值为2- 【解析】【分析】（1）代入正弦函数的周期公式与单调递减区间即可求解； （2）根据正弦函数单调区间与定义域即可求出最大值和最小值. 【小问1详解】由题知，()sin 2,R 4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令3222,Z 242k x k k πππππ+≤-≤+∈，得37,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为37,,Z 88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】 因为384x ππ≤≤， 所以50244x ππ≤-≤， 所以当242x ππ-=即38x π=时，()f x 有最大值，最大值为1；当5244x ππ-=即34x π=时，()f x 有最小值，最小值为20. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度v （米/秒）之间满足关系：5102033vq v =⨯≤≤（），其中q 表示燕子耗氧量的单位数． （1）当该燕子的耗氧量为720个单位时，它的飞行速度大约是多少？（2）若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：lg20.3≈，lg30.48≈）【答案】（1）31（米/秒） （2）8（米/秒） 【解析】【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将5v表示为对数，然后求出v 即可． （2）记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ，则可得21523v v -=，然后化为对数运算即可． 【小问1详解】当720q =时，5720102v=⨯，即5272v=，所以22222lg 3log 72log 8log 932log 33 6.25lg 2v ==+=+=+≈， 所以31v ≈，即它的飞行速度大约是31（米/秒）． 【小问2详解】记燕子原来的耗氧量为1q ，飞行速度为1v ，现在的耗氧量为2q ，飞行速度为2v ， 则213q q =，即21551023102v v ⨯=⨯⨯， 所以21523v v -=，212log 35v v -=， 所以212lg35log 358lg2v v ⎛⎫-==⨯≈⎪⎝⎭， 所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）． 21. 已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值． 【答案】(1) (,2][2,)-∞-+∞；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3)1,2a b ==； 【解析】【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b ≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，， 当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-， 则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中． 22. 设函数()212x x af x =+-(a 为实数). （1）当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解； （2）当1a =-时，（ⅰ）存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；（ⅱ）设函数()2,g x x b =+若对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，求实数b 的取值范围.【答案】（1）=1x -或23log 2x = （2）（ⅰ）(3,)+∞；（ⅱ）3[,1]2-- 【解析】【分析】（1）将0a =代入()f x 中，直接求方程1|()|2f x =的实数根即可； （2）将1a =-代入()f x 中，根据指数函数的性质判断()f x 的单调性. （ⅰ）根据条件，可得()2min2k t t>+，求出()2min2t t +，即可得到k 的取值范围；（ⅱ）求出()f x 和()g x 的值域，根据条件得到11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，再求出实数b 的取值范围. 【小问1详解】当0a =时，()21x f x =-， 则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=⇔=1x -或23log 2x =.【小问2详解】 当1a =-时，1()212x xf x =--. 因2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12x y =在(,)-∞+∞上单调递减， 所以1()212x xf x =--在R 上单调递增. （ⅰ）因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min2k t t>+，又当[1,2]t ∈时，()2min23t t+=，所以3k >，即k 的取值范围为(3,)+∞.（ⅱ）当[0,1]x ∈时，()2g x x b =+的值域为[,2]b b +； 当[0,1]x ∈时，1()212x x f x =--的值域为1[1,]2-. 因为对任意的1[0,1],x ∈总存在2[0,1],x ∈使12()()f x g x =，所以11,[,2]2b b ⎡⎤-⊆+⎢⎥⎣⎦，所以1122b b ≤-⎧⎪⎨+≥⎪⎩，解得312b -≤≤-，所以实数b 的取值范围为3[,1]2--. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
湖北省武汉市部分重点中学高一数学下学期期末试卷理(含解析)
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A． b﹣a＞0 B． a3+b3＜0 C． a2﹣b2＜0 D． b+a＞02．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B． 0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D． 0＜k＜2 4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D． 26．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A． S圆＞S圆环B． S圆=S圆环C． S圆＜S圆环D．不确定8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A． 4cm2B． 12cm2C． 8+4cm2D． 4+4+2cm29．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B． 2 C． 5 D． 710．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B． [﹣2，0] C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D． [0，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A． b﹣a＞0 B． a3+b3＜0 C． a2﹣b2＜0 D． b+a＞0考点：不等关系与不等式．专题：压轴题．分析：由题意可以令a=1，b=0分别代入A，B，C，D四个选项进行一一排除．解答：解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．点评：此题利用特殊值进行代入逐一排除错误选项，方法简洁、直观，此题为基础题．2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：A．c=0时不成立；B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．3．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B． 0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D． 0＜k＜2考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），因此1⊙k2＜3化为＜3，（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，解出即可．解答：解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．故选：A．点评：本题考查了“新定义”、一元二次不等式的解法，属于基础题．4．不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0（a＜0）的解集为（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据a＜0，把不等式化为（x﹣）（x﹣1）≤0，求出解集即可．解答：解：不等式ax2﹣（a+2）x+2≥0可化为（ax﹣2）（x﹣1）≥0，∵a＜0，∴原不等式可化为（x﹣）（x﹣1）≤0，解得≤x≤1，∴原不等式的解集为[，1]．故选：A．点评：吧考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D． 2考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；作图题．分析：可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．解答：解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C点评：本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确的命题序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据恢复的正方体可以判断出答案．解答：解：根据展开图，画出立体图形，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故③④正确．故选：C点评：本题考查了空间直线的位置关系，属于中档题．7．如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A． S圆＞S圆环B． S圆=S圆环C． S圆＜S圆环D．不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），根据①②得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．8．已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A． 4cm2B． 12cm2C． 8+4cm2D． 4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，故S△PAB=S△PAD=×2×2=2cm2，PB=PD=CD=2cm，AC=2cm，PC=cm，故PB⊥BC，S△PBC=××4=4cm2，等腰△PCD底边PC上的高为：=cm，故S△PCD=××=2cm2，故棱锥的侧面积S=2×2+4+2=4+4+2cm2，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9．已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B． 2 C． 5 D． 7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞，∴4x﹣5＞0．则函数y=4x+=4x﹣5++5+5=7，当且仅当x=时取等号．∴函数y=4x+取最小值为7．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③B．②③C．②④D．①④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．点评：本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．11．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．解答：解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B． [﹣2，0] C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D． [0，1]考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．解答：解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣）=﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a ＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y===t+﹣2，而函数y=t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，y min=1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A点评：本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．14．若正实数a使得不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2对于任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是0＜a≤．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：首先分析题目已知不等式|3x﹣2|+|2x﹣1|≥a2恒成立，求a的取值范围，故可以考虑设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，从而求出答案．解答：解：设y=|2x﹣1|+|3x﹣2|，当≤x≤时，y=2x﹣1﹣（3x﹣2）=﹣x+1≥当x＞时，y=2x﹣1+3x﹣2=5x﹣3＞当x＜时，y=﹣（2x﹣1）﹣（3x﹣2）=﹣5x+3＞，故y=|2x﹣1|+|3x﹣2|有最小值．不等式|2x﹣1|+|3x﹣2|≥a2恒成立，即a2必小于等于y=|2x﹣1|+|3x﹣2|的最小值，由a2≤，解得：﹣≤a≤，∵a是正实数，故答案为：点评：此题主要考查绝对值不等式的解法问题，其中涉及到分类讨论去绝对值的思想，题目计算量小，涵盖知识点少，属于基础性题目．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=AD=2，AA1=3，棱AD在平面α内，则长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围是4≤S≤2．考点：平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．分别求出最小与最大，即可求出长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围．解答：解：由题意，四边形ABCD和ADD1A1的面积分别为4和6，长方体在平面α内的射影可由这两个四边形在平面α内的射影组合而成．显然，S min=4．若记平面ABCD与平面α所成角为θ，则平面ADD1A1与平面α所成角为﹣θ．它们在平面α内的射影分别为4cosθ和6cos（﹣θ）=6sinθ，所以，S=4cosθ+6sinθ=2sin（θ+φ）（其中，tanφ=），因此，S max=2，当且仅当θ=﹣φ时取到．因此，4≤S≤2．故答案为：4≤S≤2．点评：本题考查长方体在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围，考查三角函数知识，属于基础题．16．若x＞0，y＞0，且+=2，则6x+5y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：6x+5y===，当且仅当，a=时取等号．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A={x|﹣x2+3x﹣2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0}（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A⊊B时，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（Ⅰ）B是不等式的解集，解一元二次不等式可得B，由不等式的解法，容易解得B；（Ⅱ）通过解不等式求得集合A，结合限制性条件A⊊B来求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由x2﹣（a+1）x+a≤0得（x﹣a）（x﹣1）≤0当a＜1时，B={a，1}当a=1时，B={1}当a＞1时，B={1，a}；（Ⅱ）∵由﹣x2+3x﹣2＞0得x2﹣3x+2＜0，即1＜x＜2，∴A={x|1＜x＜2}若A⊊B时，由（Ⅰ）知a＞1，且a≥2，故实数a的取值范围是a≥2．点评：本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．18．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球（球A和球B），圆柱的底面直径为2+，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球B（Ⅰ）求球A的体积；（Ⅱ）求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R，利用勾股定理可求出r的值，进而得到球A的体积；（Ⅱ）分别求出球的表面积和圆柱的侧面积，可得答案．解答：解：（Ⅰ）设圆柱的半径为R，小球的半径为r，且r＜R由圆柱与球的性质知AB2=（2r）2=（2R﹣2r）2+（2R﹣2r）2，即r2﹣4Rr+2R2=0，∵r＜R，∴∴球A的体积…（6分）（Ⅱ）球B的表面积圆柱的侧面积∴圆柱的侧面积与球B的表面积之比为．…（6分）点评：本题考查的知识点是旋转体，球的体积与表面积公式，圆柱的侧面积公式，其中求出球的半径r是解答的关键．19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点，（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）先证明PQ⊥底面ABCD，即为底面ABCD上的高，进而即可求出其体积；（2）连接底面的对角线交于点O，再连接OM，利用三角形的中位线即可证明；（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一条直线与BQ垂直即可，由平面几何的知识可知，只要取AB的中点N即可．解答：解：（1）连接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD．∴=．（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．3）存在，N为AB中点．证明：取AB的中点N，连接CN交BQ于点E．由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PQB．点评：熟练掌握线面、线面的平行与垂直的判定定理与性质定理即锥体的体积是解题的关键．20．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．如图所示，在多面体A1B1D1﹣ABCD，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由线面平行的判定定理证明：B1C∥A1DEF，即可证明EF∥B1C；（Ⅱ）将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD，取B1C的中点G，A1D的中点H，连接C1G，GH，C1H，则∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，即可求二面角E﹣A1D﹣B1的正切值；（Ⅲ）连接EC，A1C，证明∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，利用余弦定理即可求直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C∥A1D，B1C⊄平面A1DEF，A1D⊂平面A1DEF由线面平行的判定定理有B1C∥A1DEF又过B1C的平面B1CD1与平面A1DEF相交于EF，由线面平行的性质定理有B1C∥EF（Ⅱ）解：将多面体A1B1D1﹣ABCD补成正方体A1B1C1D1﹣ABCD如图，并设棱长为a，∴二面角E﹣A1D﹣B1即为C1﹣A1D﹣B1取B1C的中点G，A1D的中点H，连接C1G，GH，C1H可知C1G⊥平面A1B1CD，∵GH⊥A1D，∴C1H⊥A1D，故∠C1HG是二面角C1﹣A1D﹣B1的平面角，在RT△C1HG中，，∴则二面角E﹣A1D﹣B1的正切值为．（Ⅲ）解：连接EC，A1C∵B1D1⊥平面AA1C1C，∴平面B1CD1⊥平面AA1C1C．∴EC是A1C在平面B1CD1上的射影，故∠A1CE是直线A1C与平面B1CD1所成的角，在△C1AE中，，∴则直线A1C与平面B1CD1所成角的余弦值为．点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面角、二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．22．设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜﹣1，且x2＜﹣1；（3）如果，试求a的最大值．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：（1）把（1+x1）（1+x2）展开，再利用根与系数的关系即可得出；（2）令f（x）=ax2+x+1，由，可得抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，可知f（x）图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，即可得出．（3）由（1）可得，．于是．进而得到，利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．∴，．∴．（2）令f（x）=ax2+x+1，由，∴抛物线f（x）的对称轴．又f（﹣1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（﹣1，0）的左侧，故x1＜﹣1，且x2＜﹣1．（3）由（1），．．∴，故当时，a取得最大值为．点评：熟练掌握二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系等是解题的关键．。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）cos210°等于（）A．B．﹣C．﹣D．2．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，则•的值为（）A．2B．﹣2 C．2D．﹣23．（5分）已知f（x）=log2x+x﹣2，则零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）4．（5分）为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，只需把函数y=2sinx的图象（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移个单位长度D．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，再把所得图象向左平移个单位长度5．（5分）非零向量和满足2||=||，⊥（+），则与的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）已知cos（60°+α）=，且α为第三象限角，则cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，图象与x轴交点A 及图象最高点B的坐标分别是A（，0），B（，2），则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）函数f（x）=2sinωx在上单调递增，那么ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，2]C．D．9．（5分）已知a=sinl，b=tanl，c=tan，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜v＜b D．a＜b＜c10．（5分）四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是（3，4），M、N分别是边AB、BC的中点，则•的最大值为（）A．5B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知=（﹣5，5），=（﹣3，4），则（﹣）在方向上的投影等于．12．（5分）函数f（x）=2x﹣x2的零点个数是．13．（5分）已知△ABC中，||=||=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，=λ+μ，则λ+μ=．14．（5分）如图摩天轮半径10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（速率均匀），人从最低点A上去且开始计时，则t分分钟后离地面米．15．（5分）函数f（x）=|sin+cos|+|sin﹣cos|﹣在区间上的零点分别是．三、解答题16．（12分）已知f（x）=2sin（2x+）+1（1）在直角坐标系中用“五点画图法”画出f（x）一个周期的图象（要求列表、描点）（2）直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合．17．（12分）已知点A，B，C的坐标分别是A（，0），B（0，），C（cosα，sinα）其中α∈（，），且A，B，C三点共线，求sin（π﹣α）+cos（π+α）的值．18．（12分）在△OAB中，=，=，若•=|﹣|=2：（1）求||2+||2的值；（2）若（+）（﹣）=0，=3，=2，求•的值．19．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，（1）求ω的值；（2）当x∈时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，求实数m的取值范围．20．（13分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00水深10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．Ⅰ）如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？21．（14分）已知连续不断函数f（x）=cosx﹣x，x∈（0，），g（x）=sinx+x﹣，x∈（0，），h（x）=xsinx+x﹣，x∈（0，）（1）证明：函数f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点；（2）现已知函数g（x），h（x）在（0，）上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数f （x），g（x），h（x）的零点分别为x1，x2，x3．求证：①x1+x2=；②判断x2与x3的大小，并证明你的结论．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）cos210°等于（）A．B．﹣C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，则•的值为（）A．2B．﹣2 C．2D．﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，结合正三角形的定义，注意向量的夹角为π﹣B，计算即可得到所求值．解答：解：由于△ABC是边长为2的正三角形，则•=||•||•cos（π﹣B）=﹣2×2×cos60°=﹣4×=﹣2．故选B．点评：本题考查向量的数量积的定义，注意向量夹角的定义是解题的关键．3．（5分）已知f（x）=log2x+x﹣2，则零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式判断f（x）在（0，+∞）单调递增，计算特殊函数值，f（1）=﹣1＜0，f（）=log2﹣2=log23＞0，f（2）=1＞0，根据函数零点的判断定理可得出区间．解答：解：∵f（x）=log2x+x﹣2，∴可以判断f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（1）=﹣1＜0，f（）=log2﹣2=log23＞0f（2）=1＞0，∴ 根据函数零点的判断定理可得：零点所在的区间是（1，）故选：C点评：本题考查了函数的零点的判断方法，对于基本函数的解析式的求解，属于中档题．4．（5分）为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，只需把函数y=2sinx的图象（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移个单位长度D．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，再把所得图象向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=2sinx的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为：y=2sin（x+），再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为：y=2sin（2x+），故选：B．点评：本题考查的知识要点：函数图象的变换问题平移变换和伸缩变换，属于基础题型．5．（5分）非零向量和满足2||=||，⊥（+），则与的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，结合夹角的定义，即可得到所求．解答：解：由2||=||，⊥（+），则•（+）=0，即为+=0，即为||2+||•||•cos＜，＞=0，即||2+2||2cos＜，＞=0，即cos＜，＞=﹣，由0≤＜，＞≤π，则与的夹角为．故选D．点评：本题考查向量数量积的定义和性质，主要考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）已知cos（60°+α）=，且α为第三象限角，则cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意和同角三角函数基本关系可得sin（60°+α）=﹣，由诱导公式可得原式=cos+sin=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α），代值计算即可．解答：解：∵cos（60°+α）=，且α为第三象限角，∴sin（60°+α）=﹣=﹣，∴cos（30°﹣α）+sin（30°﹣α）=cos+sin=sin（30°﹣α）+cos（30°﹣α）=故选：C点评：本题考查三角函数求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式，属基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，图象与x轴交点A及图象最高点B的坐标分别是A（，0），B（，2），则f（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由图象可得：A=2，=，从而解得ω的值，由B（，2）在函数图象上，|φ|＜π，可解得φ的值，从而求得函数解析式，从而可求f（﹣）的值．解答：解：由图象可得：A=2，=，从而解得：T=π．所以ω===2．由因为：B（，2）在函数图象上．所以可得：2sin（2×+φ）=2，可解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，即有φ=2kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜π，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（﹣）=2sin（﹣2×﹣）=，故选：C．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．8．（5分）函数f（x）=2sinωx在上单调递增，那么ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，2]C．D．考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，结合已知中函数y=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，推出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．解答：解：由正弦函数的性质，在ω＞0时，当x=﹣，函数取得最小值，x=函数取得最大值，所以，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，若函数y=2sinωx（ω＞0）在上单调递增则﹣≤﹣且≥解得0＜ω≤2故选：B．点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，其中根据正弦型函数的性质，得到ω＞0时，区间是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，进而结合已知条件构造一个关于ω的不等式组，是解答本题的关键，属于中档题．9．（5分）已知a=sinl，b=tanl，c=tan，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜v＜b D．a＜b＜c考点：正切函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的单调性分别判断a，b，c的范围进行判断即可得到结论．解答：解：∵＜1＜，∴sin＜sin1＜sin，即＜sin1＜，tan＜tan1＜tan，即1＜tan1＜，tan=tan（﹣π），∵1＜﹣π＜，∴tan（﹣π）＞tan1，即tan＞tan1，故a＜b＜c，故选：D点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据三角函数的图象和性质结合函数的单调性是解决本题的关键．10．（5分）四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是（3，4），M、N分别是边AB、BC的中点，则•的最大值为（）A．5B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，运用向量的三角形法则，可得•=﹣•，再由向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，•=（﹣）•=•﹣•=0﹣•=﹣•，由四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，即有正方形的边长为，则||=，由||==5，即有﹣•=﹣||•||•cos∠POM=﹣cos∠POM，当OP，OM反向共线时，取得最大值．故选C．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义，主要考查向量垂直的条件和余弦函数的值域，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知=（﹣5，5），=（﹣3，4），则（﹣）在方向上的投影等于2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：求出向量的差以及向量的模，和（）•，由（﹣）在方向上的投影为，代入计算即可得到．解答：解：由=（﹣5，5），=（﹣3，4），则﹣=（﹣2，1），（）•=（﹣2）×（﹣3）+1×4=10，||==5，则（﹣）在方向上的投影为==2．故答案为：2．点评：本题考查向量的加减和数量积的坐标运算，主要考查向量的投影的求法，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=2x﹣x2的零点个数是3．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：可以转化为；g（x）﹣2x，h（x）=x2图象的交点个数，运用图象判断即可．注意（2，4）点．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣x2的图象，∴可以转化为；g（x）﹣2x，h（x）=x2图象的交点个数，据图象可判断；有3个交点，所以函数f（x）=2x﹣x2的零点个数是3．故答案为：3点评：本题考查了指数函数，幂函数的图象，运用图象解决函数零点的个数问题，难度很小，属于容易题，但是特别容易出错，图象没画完，漏掉（2，4）点．13．（5分）已知△ABC中，||=||=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，=λ+μ，则λ+μ=0．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，||=||=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，可得四边形OACB为菱形，再利用向量的平行四边形法则及其向量基本定理即可得出．解答：解：如图所示，∵||=||=1，∠ACB=120°，O为△ABC的外心，∴四边形OACB为菱形，∴，又=λ+μ，则λ+μ=0．故答案为：0．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量基本定理、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）如图摩天轮半径10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（速率均匀），人从最低点A上去且开始计时，则t分分钟后离地面10sin（t）+10.5或10.5﹣10cos（πt）米．考点：在实际问题中建立三角函数模型．分析：本题先算出每分钟摩天轮转的角度，再算出t分钟转的角度，利用三角函数很容易求出答案．解答：解：设t分钟后相对于地面的高度为y米，由于摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（即2π），所以每分钟转π弧度，t分钟转πt弧度∴y=10sin（t）+10.5或10.5﹣10cos（πt）故答案为：10sin（t）+10.5或10.5﹣10cos（πt）．点评：本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力，属于基础题．15．（5分）函数f（x）=|sin+cos|+|sin﹣cos|﹣在区间上的零点分别是或﹣或﹣或．考点：余弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：令f（x）=|sin+cos|+|sin﹣cos|﹣=0，可解得：|cosx|=，由x∈即可解得在区间上的零点．解答：解：令f（x）=|sin+cos|+|sin﹣cos|﹣=0可得：+=两边平方，得：2+2|cosx|=3，可解得：|cosx|=，即cosx=∵x∈∴x=或﹣或﹣或故答案为：或﹣或﹣或．点评：本题主要考察了三角函数的图象与性质，函数的性质及应用，属于基本知识的考查．三、解答题16．（12分）已知f（x）=2sin（2x+）+1（1）在直角坐标系中用“五点画图法”画出f（x）一个周期的图象（要求列表、描点）（2）直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象．专题：作图题；三角函数的图像与性质．分析：（1）列表、描点即可用五点法作出函数y=Asin（ωx+φ）的图象；（2）结合函数图象即可直接写出函数f（x）的单调递增区间以及f（x）取最大值时的所有x值的集合．解答：解：（1）列表：…（3分）2x+0 π2πxy 1 3 1 ﹣1 1描点、画图：…（8分）（2）f（x）的单调增区间是：（k∈Z）（可写开区间）f（x）取得最大值时的所有x值的集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}…（12分）．点评：本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（12分）已知点A，B，C的坐标分别是A（，0），B（0，），C（cosα，sinα）其中α∈（，），且A，B，C三点共线，求sin（π﹣α）+cos（π+α）的值．考点：直线的斜率；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用向量共线定理可得sinα+cosα=，再利用同角三角函数基本关系式可得sinα，cosα，利用诱导公式即可得出．解答：解：∵=，=，A，B，C三点共线，∴=﹣，化为sinα+cosα=，∵α∈（，），sin2α+cos2α=1，∴sinα=，，sin（π﹣α）+cos（π+α）=sinα﹣cosα==．点评：本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）在△OA B中，=，=，若•=|﹣|=2：（1）求||2+||2的值；（2）若（+）（﹣）=0，=3，=2，求•的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；（2）通过条件（+）•（﹣）=0，化简整理可得||=||，由（1）的结论即有△OAB为正三角形，再由向量垂直的条件，即可计算得到所求值．解答：解：（1）由于|﹣|=2，则|﹣|2=（）2=+﹣2=4，又=2，则有||2+||2=+=8；（2）由（+）•（﹣）=0，则+﹣﹣=||﹣||+﹣=（||﹣||）（1+）=0，则有||=||，由（1）的结论得||=||=2，又||=||=2，所以△OAB为正三角形，则=（+）•，因为N为AB的中点，ON⊥AB，从而=0，||=×2=，则有•=（）2=3．点评：本题考查向量的数量积的性质，考查正三角形的性质，考查运算能力，运用向量垂直的条件是解题的关键．19．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）在（0，]上单调递增，在（，2π]上单调递减，（1）求ω的值；（2）当x∈时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3恒成立，求实数m的取值范围．考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由x=时f（x）取得最大值1，从而有8ω=12K+4，k∈z，又由题意且，可得0，从而可求ω的值；（2）令t=，可求f（x）的值域为，由题意可得，从而解得实数m的取值范围．解答：解：（1）由已知条件知，x=时f（x）取得最大值1，从而有=2kπ，k∈Z，即8ω=12K+4，k∈z…（3分）又由题意可得该函数的最小正周期T满足：且，于是有T，0，满足0＜12K+4≤6的正整数k的值为0，于是…（6分）（2）令t=，因为x∈，得t∈，由y=sint，t∈得y∈，即f（x）的值域为，由于x∈时，不等式m﹣3≤f（x）≤m+3，恒成立，故有，解得﹣2≤m，即m的取值范围是…（12分）点评：本题主要考查了正弦函数的周期性和复合函数的值域，考查了不等式的解法，属于中档题．20．（13分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：时刻0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00水深10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．Ⅰ）如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：（1）设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．（2）Ⅰ）据题意列出不等式，利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出t的范围．Ⅱ）设f（x）=3sin x+10，x∈，g（x）=11.5﹣0.5（x﹣2）（x≥2）对它们进行比较从而得到答案．解答：（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图．根据图象，可考虑用函数y=Asin（ωx+φ）+h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出A=3，h=10，T=12，φ=0，由T==12，得ω=，所以这个港口水深与时间的关系可用y=3sin t+10近似描述…（4分）（2）Ⅰ）由题意，y≥11.5就可以进出港，令sin t=，如图，在区间内，函数y=3sin t+10 与直线y=11.5有两个交点，由sin t=或，得x A=1，x B=5，由周期性得x C=13，x D=17，由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时…（8分）Ⅱ）设在时刻x货船航行的安全水深为y，那么y=11.5﹣0.5（x﹣2）（x≥2）．设f（x）=3sin x+10，x∈，g（x）=11.5﹣0.5（x﹣2）（x≥2）由f（6）=10＞g（6）=9.5且f（7）=8.5＜g（7）=9知，为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货…（13分）点评：本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式．21．（14分）已知连续不断函数f（x）=cosx﹣x，x∈（0，），g（x）=sinx+x﹣，x∈（0，），h（x）=xsinx+x﹣，x∈（0，）（1）证明：函数f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点；（2）现已知函数g（x），h（x）在（0，）上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数f （x），g（x），h（x）的零点分别为x1，x2，x3．求证：①x1+x2=；②判断x2与x3的大小，并证明你的结论．考点：函数零点的判定定理；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由零点存在性定理知f（x）在区间（0，）上有零点，运用单调性定义证明；f（x）在（0，）上是单调递减函数．（2）将其变形为：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，在（0，）上有唯一零点，从而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2=0，Ⅱ）判断x2＜x3，运用零点存在性定理和定义判断证明即可．解答：解：（1）先证明f（x）在区间（0，）上有零点：由于f（0）=1＞0，f（）=﹣，由零点存在性定理知f（x）在区间（0，）上有零点，再证明f（x）在（0，）上是单调递减函数：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（cosx x﹣x1）﹣（cosx2﹣x2）=（cosx1﹣cosx2）﹣（x1﹣x2）由于y=cosx在（0，）上递减，所以cosx1﹣cosx2＞0又﹣（x1﹣x2）＞0从而f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上是单调递减函数．故函数f（x）在（0，）有且只有一个零点，（2）Ⅰ）因为x2是g（x）的零点，所以有sinx2+x2=0，将其变形为：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，从而有f（﹣x2）=f（x1）=0，又因为﹣x2，x1∈（0，），且由（1）的结论f（x）在（0，）上有唯一零点，从而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅱ）判断x2＜x3，证明如下：由于h（0）=＜0，h（1）=sin1=1﹣＞sin=+1，由零点存在性定理和已知得0＜x3＜1，从而有0=x3sin x3+x3＜sinx3+x3=g（x3），g（x2）=0所以有g（x2）＜g（x3），又由已知g（x）在（0，）上单调递增，所以x2＜x3．点评：本题综合考查了函数的性质，零点问题，分类转化，不等式问题，综合性较强，难度较大，属于。
湖北省部分重点中学2007—2008学年度高一下学期期末联考试卷(数学)
湖北省部分重点中学07—08学年度下学期期末联考试卷高一数学命题学校：武钢三中 命题教师：周国栋 审题教师：钟燕考试时间：6月25日下午3：50—5：50一、选择题：（5’×10=50’）1、已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，则b →为（ ） A 、()2,4- B 、()2,4 C 、()2,4-或()2,4-D 、()2,4--或()2,42、下列结论正确的是（ ）A 、当0>x 且1≠x 时，2lg 1lg ≥+x x B 、当0>x 时，21≥+xx C 、当2≥x 时，x x 1+的最小值为2 D 、当20≤<x 时，xx 1-无最大值3、若22ln =a ，33ln =b ，55ln =c ，则（ ）A 、c b a <<B 、a b c <<C 、b a c <<D 、c a b << 4、对任意锐角α、β，下列不等式中正确的是（ ）A 、()βαβαsin sin sin +>+B 、()βαβαcos cos sin +>+C 、()βαβαsin sin cos +<+D 、()βαβαcos cos cos +<+5、已知向量→--1OP 、→--2OP 、→--3OP 满足→-→--→--→--=++O OP OP OP 321，1231OP OP OP ===，则321P P P ∆为（ ）A 、等边三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形6、已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且()→--→--→---+=OA OB OM λλ1，()0,1-∈λ，则（ ）A 、点M 在线段AB 上 B 、点B 在线段AM 上C 、点A 在线段BM 上D 、O 、A 、M 、B 四点一定共线 7、在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，则其中有两解的是（ ）A 、10=b 045=∠A 070=∠C B 、20=a 48=c 060=∠B C 、7=a5=b098=∠AD 、14=a 16=b045=∠A8、如图，→→--=a OA ，→→--=b OB ，且OA BC ⊥于C ，设→→--=a OC λ，则λ等于（ ）A 、2→→→⋅aba B 、→→→→⋅ba b aC 、2→→→⋅bbaD 、→→→→∙ba ba9、已知向量→→≠e a ，1=→e ，满足对任意R t ∈恒有→→→→-≥-e a e t a ，则（ ）A 、→→⊥e aB 、⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→e a aC 、⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→e a eD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→e a e a10、若x 、y 是正数，则222121⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x 的最小值为（ ） A 、3 B 、4 C 、27D 、29二、填空题：（5’×5=25’）11、已知直线x y 3=上一点P 的横坐标为a ，有两定点()1,1-A 、()3,3B ，那么使向量→--PA 与→--PB 夹角为钝角的a 的取值范围为 。
武汉部分重点中学07-08学年高一期末-历史
武汉市部分重点学校2007—2008学年度高一第二学期期末调研测试历史试题说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷答在“答题卡”上，第Ⅱ卷答在试卷上。
本试卷满分100分。
考试时间90分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需修改，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答在试卷上无效。
3．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共25小题,共50分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三湾改编（）A．出现在南昌起义时B．揭开了中共创建人民军队的序幕C．是八七会议作出的重要决议D．确立了党对军队的绝对领导2．关于图1的叙述正确的是（）①点燃了“工农武装割据”的星火②朱德、毛泽东率领的军队胜利会师③壮大了革命力量④标志着红军长征的胜利结束A．①②③④B．①②④C．②③D．①②③中国共产党在不同历史时期采用不同的土地政策，推动了革命和建设事业的发展。
回答3～5题。
3．下列关于中国共产党1931年土地革命总路线的说法，正确的是（）A．调动了一切反封建因素B．实行社会主义公有制C．适应了全民族抗战的需要D．彻底否定了私有制4．新中国土地改革的意义不包括（）C．标志着农业社会主义改造的完成D．有利于经济的恢复和发展5．从1949年到十一届三中全会后，我国农村经济形式的变化趋势是（）A．封建土地所有制→农民土地所有制→社会主义公有制→家庭联产承包责任制B．封建土地所有制→社会主义公有制→合作社→家庭联产承包责任制C．封建剥削制度→个体小农经济→社会主义合作生产→土地包给个人自负盈亏D．互助组→个体小农经济→社会主义台作生产→人民公社化6．193年春,红军在周恩来、朱德的领导下打破了国民党对中央苏区的（）A．第一次“围剿”B．第二次“围剿”C．第四次“围剿”D．第五次“围剿”7．标志着中国共产党从幼稚走向成熟的会议是（）A．八七会议B．遵义会议C．瓦窑堡会议D．洛川会议8．之所以说抗日战争为民主革命在全国的胜利了奠定基础．主要是因为（）A．抗日战争是正义的战争B．抗日战争是反帝的战争C．抗日战争壮大了中共的力量，进一步扩大了中共的影响D．抗日战争是得到了全世界进步力量支持的战争9．1946年初，“美国计划将中共以一种类似西欧共产党所占的地位．纳人一个实际政体的政治和军事范围之内，敌对两党共同参加一个以蒋介石为首的经过改组的联合政府”。
湖北省重点高中2024届数学高一第二学期期末监测试题含解析
湖北省重点高中2024届数学高一第二学期期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设0.40.6a =，0.4log 6b =，0.6log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．624B ．624C ．324D ．3243．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4．已知2sin()3πα-=cos(2)3πα+=（ ）A ．59-B ．23-C ．23D ．595．已知圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的半径长为( )A ．B ．C ．3D 6．已知直线l 的方程为1y x =+，则该直线l 的倾斜角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．1357．已知数列{a n }为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1，若2()1xf x x =-，则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝( )A ．-22019B ．22020C ．-22017D ．220188．若函数()g x 的图象可由函数()sin 22f x x x = 的图象向右平移6π个单位长度变换得到，则()g x 的解析式是（ ）A ． ()2sin 2g x x =B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2cos2g x x =D ．2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．210．下列结论中错误的是（ ） A ．若0ab >，则2b aa b+≥ B ．函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2C ．函数22x x y -=+的最小值为2D ．若01x <<，则函数1ln 2ln x x+≤- 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届湖北省武汉市部分学校数学高一上期末调研试题含解析
2024届湖北省武汉市部分学校数学高一上期末调研试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若1,2,a b c a b ===+，且c d ⊥则a 与b 的夹角为（ ）A.30B.60C.120D.1502．一个扇形的面积是21cm ，它的半径是1cm ，则该扇形圆心角的弧度数是A.12B.1C.2D.2sin1 3．已知()y f x =是奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当(0,1)x ∈时，21()log 1f x x=-，则()y f x =在(1,2)内是A.单调增函数，且()0f x <B.单调减函数，且()0f x >C.单调增函数，且()0f x >D.单调减函数，且()0f x < 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1 23 4 ()f x 5 3 2-5- 那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是（）A.()–,1∞B.()1,2C.()2,3D.()3,45．若01a b <<<，则错误的是A.32a b <B. 23a b <C.23log log a b <D.log 2log 3a b <6．已知 2log 3a =, 2log b e =, ln2c =, 则a,b,c 的大小关系是A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >> 7．若函数()sin()4f x x π=+，()sin(2)3g x x π=+，则函数()f x 的图像经过怎样的变换可以得到函数()g x 的图像 ①先向左平移12π个单位，再将横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变. ②先向左平移12π个单位，再将横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标保持不变.③将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移24π个单位，纵坐标保持不变. ④将横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移12π个单位，纵坐标保持不变.A.①③B.①④C.②③D.②④ 8．若向量a ＝13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，|b |＝23，若a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角（） A.6π B.4π C.3π D.2π 9．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个 10．已知，则的值为（ ） A.3B.6C.9D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一上学期10月联考数学试题含答案
武汉市部分重点中学2022——2023学年度上学期10月联考高一数学试卷命题学校：汉阳一中 命题教师：涂元 审题教师：尹青考试时间：2022年10月11日上午8:00——10：00 试卷满分：150分一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
)1．设集合{}21,N A x x n n ==+∈，{}41,N B x x n n ==+∈，则A B =（ ） A ．{}41,N x x n n =+∈ B ．{}42,N x x n n =+∈C ．{}43,N x x n n =+∈D ．∅2．已知命题p ：200R x x ∃∈，+1>0，则p ⌝为（ ） A ．200R x x ∃∈，+1≤0 B ．200R x x ∃∈，+1>0C ．2R x x ∀∈，+1<0D ．2R x x ∀∈，+1≤03．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +>>4．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．“23x <<”是“112x >-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．b a a b a b ->- B ．11b b a a +>+ C ．11a b a b+>+ D ．22a b aa b b +>+ 7．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+-D．y =8．已知函数2()(2)1f x ax a x =--+，()g x x =，若对于任意实数,()x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤≤ B．44a -<<+ C ．04a ≤<- D．04a ≤<+二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
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武汉市部分重点学校2007—2008学年度高一第二学期期末调研测试数 学 试 题说明：本试卷分第I 卷和第II 卷。
第I 卷为选择题，第II 卷为非选择题。
第I 卷答在“答题卡”上，第II 卷答在试卷上。
本卷满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标事情，在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，将答题卡、第II 卷一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．︒330cos 的值为 （ ）A ．21B ．-21C ．23 D ．-23 2．在ABC ∆中，已知a=8，b=6，A=30°，则B sin 等于（ ）A ．21 B ．23 C ．83D ．43A ．BA BC 21+- B ．21--C ．21-D ．21+4．已知)4tan(,53sin ),,2(πααππα+=∈则等于 （ ）A ．71B ．7C ．-71D ．-75．下列各式中，值为23的是（ ）A ．︒︒15cos 15sin 2B ．︒-︒15sin 15cos 22C ．115sin 22-︒D ．︒-︒15cos 15sin 226．设为则且轴上的投影为在上的投影为在b b b b a a ,14||,2,225),3,4(≤=x （ ）A ．（2，14）B ．)72,2(-C ．（72,2-） D ．（2，8）7．将函数)0(sin >=ωωx y 的图象按向量)0,6(π-=平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应的函数解析式是（ ）A ．)6sin(π+=x y B ．)6sin(π-=x y C ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y8．P 是平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC ∆的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心ππ（ ）A ．32 B ．23 C ．2 D ．310．设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和)sin 2,(α+=mm b ，其中αλ,,m 为实数。
若 mλ则,2b a =的取值范围是（ ）A ．[-6，1]B ．[4，8]C ．(]1,∞-D ．[-1，6]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上。
2．答卷前，将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题后的横线上。
11．若向量,的夹角为)(,1||||,60-⋅==︒则= 。
12．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。
13．在ABC ∆中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则C 2cos = 。
14．函数)2sin()3sin(ππ++=x x y 的最小正周期T= 。
15．如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若n m ==,，则m+n 的值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答出应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分） 已知αααπαπαπαtan )cos()2sin()cot(.02,31cos ⋅-+⋅--<<-=求且的值。
17．（本小题满分12分） 已知函数].,2[,cos 2)6sin(2)(πππ∈-+=x x x x f（I ）若,54sin =x 求函数)(x f 的值； （II ）求函数)(x f 的值域。
18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长。
已知a ，b ，c 成等比数列，且cBb A bc ac c a sin ,22的大小及求∠-=-的值。
19．（本小题满分12分）设两个非零向量21e e 与不共线。
（I ）如果)(3),4(2,212121e e CD e e BC e e AB -=+=+=，求证：A ，B ，D 三点共线； （II ）试确定实数k ，使2121ke e e ke ++和共线；（III ）若2121,3||,2||e e e e 与==的夹角为60°，试确定实数k ，使2121ke e e ke ++和垂直。
20．（本小题满分13分）已知函数.,cos 2cos sin 3sin )(22R ∈++=x x x x x x f （I ）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数)(x f 的图象可以由函数)(2sin R ∈=x x y 的图象经过怎样的变换得到？21．（本小题满分14分）（I ）设四个向量b a d b c a d c b a d c b a 和但共线和共线和且满足,,,,,,+=+不共线，试证明：a=c ，b=d ；（II ）在四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，DA 的中点，连结BE 、BF 分别交AC 于T 、R ，证明：T 是AC 的一个三等分点也是BE 的一个三等分点。
参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1—5 CCAAB 6—10BCDBA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．21 12．-21 13．257 14．π 15．2三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16．（本小题满分12分） 解：,02,31cos <<-=απα.42c o t s i n s i n c o t .42c o t ,322c o s 1s i n 2=-=⋅-=∴-=-=--=∴ααααααα原式17．（本小题满分12分） 解：（I ）],2[,54sin ππ∈=x x .53354)(,54s i n ,c o s s i n 3c o s 2)c o s 21s i n 23(2)(,53c o s +==-=-+=-=∴x f x x x x x x x f x 时当知由 （II ）当（I ），得),6sin(2)(π-=x x f.1)6s i n (21,6563,2≤-≤≤-≤∴≤≤ππππππx x x]2,1[)(的值域为函数x f ∴。
18．（本小题满分12分） 解：c b a ,, 成等比例数列，.,.222222bc b c a bc ac c a ac b -=--∴-=-=∴又在ABC ∆中，由余弦定理得,2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A .60︒=∠∴A在ABC ∆中，由正弦定理得.sin sin aA bB =.2360sin 60sin sin ,60,22=︒=︒=∴︒=∠=ca b c B b A ac b 19．（本小题满分12分）解：（I ）,6)(621e e =+=++= AD AB 与∴是共线向量，又AD AB 与∴有公共点A ， 所以，A ，B ，D 三点共线。
（II ）若2121ke e e ke ++和共线，是存在实数λ，使)(2121e e e ke +=+λ 即,0)1()(21=-+-e k e k λλ因为1e 与2e 是两个不共线的非零向量，所以⎩⎨⎧=-=-.01,0k k λλ解得.1±=k（III ）依题意2121ke e e ke ++和相互垂直，则有 .0)()(2121=+⋅+ke e e ke.613313,03133,0||60cos ||||)1(||,0||)1(||222212212221221±-==++=+︒++=+⋅++k k k e k e e k e k e k e e k e k 解得所以即20．（本小题满分13分） 解：（I ）x x x x f 2cos 12sin 2322cos 1)(+++-=.22)(.23)62sin(232cos 212sin 23πππ==∴++=++=T x f x x x 的最小正周期由题意得,,226222Z ∈+≤+≤-k k x k πππππ即.,63Z ∈+≤≤-ππππk x k)(x f ∴的单调增区间为.],6,3[Z ∈+-k k k ππππ（III ）先把x y 2sin =图象上所有点向左平移12π个单位长度， 得到)62sin(π+=x y 的图象，再把所得图象上所有点向上平移23个单位长度， 就得到23)62sin(++=πx y 的图象。
21．（本小题满分14分）证明：（I ）由条件，存在实数μλ,，使,,b d a c μλ==代入等式d c b a +=+，整理得 b a )1()1(0μλ-+-=由于a 和b 不共线，根据平面向量基本定理 .1,1,01,01===-=-μλμλ即 所以a=c ，b=d 。
（II ）由题意，得,22)(22+=+===+ 注意到和TC 共线，ET TB 和共线，和不共线。
根据（I ）的结论，=2，=2。
故T 是AC 的一个三等分点也是BE 的一个三等分点。